Algebra Lineal Dario Sanchez

Darío Sánchez H ALGEBRA LINEAL 1 .

Algebra Lineal

José Darío Sánchez Hernández Bogotá-Colombia, Junio del 2005

[email protected] [email protected]

El objeto de estas notas es brindar al lector un modelo de aprendizaje. A continuación encontrará más decien resultados básicos, entre los cuales se hallan definiciones, teoremas, corolarios y algunos ejemplos, esposible que encuentre la manera de volver a redactar algunos, entonces hágalo de forma que los puedarecordar después. Para las demostraciones es indispensable el uso de una biblioteca con un buen númerode textos de Algebra Lineal, en esta forma el estudiante utiliza tácticas de investigación y emplea labiblioteca. Luego encontrará resultados en donde se ha dado una posible demostración, la cual se suponees correcta, sin descartar la posibilidad de que haya algunos errores, el lector deberá revisarlas analizandocual de los resultados básicos se han utilizado en la prueba.

§1. RESULTADOS BASICOS

1.ÞUn ANILLO es un conjunto , junto con dos operaciones yO Bß C È B C

Bß C È BC, las cuales satisfacen los siguientes axiomas:E" ÈÞ O Bß C B C O es un grupo conmutativo bajo la operación ( es un grupoconmutativo bajo la adición).E#Þ BC D œ B CD es multiplicativamente asociativo .E$Þ B C D œ BC BDß C D B œ CB DB Ð se tienen las dos leyes distributivas).ì B C Oß OSi BC œ CB para todo , en se dice que el anillo es conmutativo.ì Si existe un elemento en tal que para todo se dice un" O "B œ B" œ B Bß O

anillo con unidad identidad y a se le llama de " OÞ

2.Sea un anillo con elemento unidad, un número entero y sea una funciónO 8 H

que asocia a cada -matriz sobre , un escalar en . Se dice que8 ‚ 8 E O H E OH 8 3 " Ÿ 3 Ÿ 8 H 3 es " -lineal " si para cada , , es una función lineal en la -ésima filacuando las otras filas se dejan fijas.8 "

3.Una combinación lineal de funciones -lineales, es -lineal.8 8

4.Sea una función lineal. Decimos que es si las siguientesH 8 H alternada condiciones son equivalentes:EP"Þ H E œ ! E siempre que , tenga dos filas igualesEP#Þ E E Si es una matriz obtenida de por intercambiar dos filas, entoncesw

H E œ H E Þw

Darío Sánchez H 2EPKIFVE PMRIEP

5.Sea un anillo con elemento unidad, un número entero y sea una funciónO 8 H

que asocia a cada -matriz sobre , un escalar en . Se dice que8 ‚ 8 E O H E O

H H 8 H M œ "Þ es una si es -lineal, alternada y fun ión determinantec6. Sea una función -lineal con la propiedad de que para toda matrizH # H E œ ! E

# ‚ # O Hsobre teniendo dos filas iguales. Entonces es alternada.7. Sea una función -lineal en las matrices sobre . Supóngase que tieneH 8 8 ‚ 8 O H

la propiedad de que siempre que dos filas adyacentes de son iguales.H E œ ! E

Entonces es alternada.H

8.Si y es una matriz sobre , denotemos por la matriz8 " E 8 ‚ 8 O E 3l4

8 " ‚ 8 " 3 4 Eobtenida suprimiendo la -ésima fila y la -ésima columna de . SiH 8 " E 8 ‚ 834 es una función -lineal y es una matriz , se denotaH E œ HÒE 3l4 Ó34

9.Sea y sea una función -lineal alternada en las matrices8 " H 8 "

8 " ‚ 8 " O 4 " Ÿ 4 Ÿ 8 I sobre . Para cada , la función definida por4

I E œ " E H E 8 E4 34 343œ"

834 , es una función -lineal alternada en el conjunto de

las matrices sobre . Si es una función determinante, también lo es cada8 ‚ 8 O Huna de las I Þ4

10. Sea un anillo conmutativo con elemento unidad y un número enteroO 8

positivo. Existe al menos una función determinante en el conjunto de las matrices8 ‚ 8 Osobre .11. Sea es una permutación , definimos laÆ 5 5œ Ö À Ö"ß #ßá ß 8× Ö"ß #ßá ß 8×Î ×

función si es par si es impar=31 œ

"ß "ß

555œ

ì ./> 8 ‚ 8 ODenotando por la función determinante en las matrices sobre dadapor

./> E œ =31 E "ß " âE 8ß 85 Æ−

5 5 5

donde E œ E 3ß 4 Þ

12. Sea un anillo conmutativo con unidad y sea un número entero positivo.O 8

Existe exactamente una función determinante en el conjunto de las matrices 8 ‚ 8sobre y es la función definida porO

./> E œ =31 E "ß " âE 8ß 85 Æ−

5 5 5

ñ H 8 8 ‚ 8 Si es cualquier función -lineal, alternada en el conjunto de las matrices sobre , entonces para cada una de tales matrices , se tiene .O E H E œ ./>E H M

13. Sean un anillo conmutativo con unidad, y matrices sobre .O E F 8‚ 8 O

Entonces , ./> EF œ ./>E ./>F ./> E œ ./> E>

14. Una fórmula muy práctica de hallar el determinante de una matriz 8 ‚ 8ß

debida a Cramer es dada por: Si fijamos cualquier columna 4


./> E œ " E ./>E 3l43œ"

834

34

Al escalar es usualmente llamado el " ./>E 3l4 3ß 434 cofactor de EÞ

15.Si tomamos entonces la anterior fórmula toma la forma;- œ " ./>E 3l43434

./>E œ E - ß 4Þ 8 ‚ 8 +.4Eß para cada La matriz , que es la transpuesta de la3œ"

8

34 34

matriz de cofactores de es llamada Eß adjunta clásica de , asíE

+.4E œ - œ " ./>E 4l3 Þ34 3434

16. Sea una matriz sobre . Entonces es invertible sobre si y sólo siE 8 ‚ 8 O E O

./>E O E E es invertible en . Cuando es invertible, el único inverso para esE œ ./>E +.4EÞ" "

En particular, una matriz sobre un cuerpo es invertible si y sólo si, su8 ‚ 8determinante es diferente de cero.17. Sean subespacios de un espacio vectorial . Diremos que[ ß[ ßá ß[ Z" # 5

[ ß[ ßá ß[ â œ !ß − [ ß" # 5 " # 5 3 3 son linealmente independientes si α α α α

entonces α3 œ !ß a3Þ

18.Sea un espacio vectorial sobre un cuerpo Sean subespaciosZ J Þ [ ß[ ßá ß[" # 5

de y sea . Las siguientes afirmaciones son equivalentes:Z [ œ [ [ â[" # 5

3 [ ß[ ßá ß[ son linealmente independientes." # 5

33 [ Cada vector de puede ser únicamente expresado en la formaαα α α α αœ â [ 3 œ "ß #ßá ß 5" # 5 3 3 con en , .333 4ß # Ÿ 4 Ÿ 5 [Para cada , el subespacio es disyunto con la suma4

[ [ â [ 3/ß[ ∩ [ [ â[4 " œ Ö!× Þ" # 4" 4 " #+ + +19.Sea un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo y seanZ J

[ ß[ ßá ß[ Z" # 5 subespacios de . Las siguientes afirmaciones son equivalentes:3 Z œ [ Š[ ŠâŠ[" # 5.

33 [ ß 3 œ "ß #ßá ß 5 Z Þ5

Si es una base de entonces = es una base de " µ "3 3 3∪3 œ "

20. Si , entonces .Z œ [ Š[ ŠâŠ[ .37Z œ .37[ â .37[" # 5 " 5

Sea un entero positivo y un subcuerpo de los números complejos y sea el8 J Zespacio de las matrices sobre . Sea el subespacio de las matrices8 ‚ 8 J ["

simétricas, 3/ß matrices tales que . Sea el subespacio de las matricesE œ E [>#

8 ‚ 8 ß 3/ß E E œ EÞ Z œ [ Š[ anti-simétricas matrices tales que Entonces .>" #

ì Si es cualquier matriz en , la única expresión de como suma directa,E 8 ‚ 8 Z E

en y la otra en es donde .[ [ ß E œ E E E œ EE ß E œ E E" # " # " #" "# #

> >

21. Sea un espacio vectorial y una transformación lineal en . Si es unZ X Z [

subespacio de , diremos que es Z [ invariante bajo X , si para cada vector αen , el vector[ está en , está contenido en .X [ 3/ß X [ [α


22.Si , entonces existen operadores lineales Z œ [ Š[ ŠâŠ[ 5 I ßI ßá ßI" # 5 " # 5

en tales queZ+ I ß 3/ß I œ ICada es una proyección o un proyector3 33

#

, I I œ !ß 3 Á 4 si 3 4

- I [El rango de es .3 3

Inversamente, si son operadores lineales en que satisfacen lasI ßá ßI 5 Z" 5

condiciones y , y si es el rango de entonces .+ ß , - [ I ß Z œ [ Š[ ŠâŠ[3 3 " # 5

23.Sea un operador lineal en un espacio vectorial , sean y X Z [ ßá ß[ I ßá ßI" 5 5"

como en Entonces una condición necesaria y suficiente para que cada##Þ

subespacio sea invariante bajo es que conmute con cada proyector [ X X I ß 3/ß3 3

XI œ I X ß 3 œ "ßá ß 53 3 .24. Sea un operador lineal en un espacio vectorial de dimensión sobre unX 8

cuerpo . Un J valor característico o valor propio, o autovalor de es unX

escalar en tal que existe un vector en tal que . Si es un- J Z X œ - -no nulo α α α

valor característico de entonces cada tal que es llamado X X œ -α α α vectorcaracterístico o vector propio o autovector de asociado con el valorX

característico .-25.Las siguientes afirmaciones son equivalentes:3 - X Þ es un valor característico de 33 X -M El operador es singular no invertible333 ./> X -M œ !Þ

26. Si es una matriz sobre , un valor característico de es un escalar enE 8 ‚ 8 J E -

J E -M tal que la matriz es singular no inversible .27. Para hallar los valores característicos se considera la matriz polinomial BM E

de donde se obtiene el polinomio . Claramente los valores0 B œ ./> BM Epropios de son aquellos escalares tales que Por esta razón esE - − J 0 - œ !Þ 0

llamado de . Es de notar que es un polinomiopolinomio característico E 0

mónico que tiene grado exactamente .8ì Las matrices similares tienen el mismo polinomio característico. PuesF œ T ET ß E µ F" entonces./> BM F œ ./> BM T ET œ ./> T BME T œ ./>T ./> BME † ./>T œ ./> BME" " "

28.TEOREMA DE CAYLEY-HAMILTON Sea un operador lineal en el espacio vectorial de. X Z

dimensión ó sea una matriz sobre el cuerpo y sea el polinomio8 Ò ß E 8 ‚ 8 J Ó 0

característico de o, Entonces o .X E 0 X œ ! Ò ß 0 E œ !Ó

29. Sea un operador lineal en el espacio vectorial de dimensión Existe unX Z 8Þ

polinomio de grado no mayor que tal que . En el espacio de1 8 1 X œ ! Z ß Z# ¿

dimensión los operadores deben ser linealmente dependientes.8 Mß X ßá ß X# 8#

ì 1 J ÒBÓ 1 X œ !El conjunto de todos los polinomios en tal que es un ideal.Además este ideal contiene un polinomio mónico de grado el polinomio8ßcaracterístico de . Así existe un único polinomio mónico que genera al ideal deX :


todos los en tales que Este polinomio es llamado 1 J ÒBÓ 1 X œ !Þ : polinomiominimal de .X

ñ X Del teorema de Cayley-Hamilton se sigue que: El polinomio característico de esdivisible por el polinomio minimal de . Se sigue también que los valoresXcaracterísticos de son precisamente las raíces del polinomio minimal, y delXpolinomio característico. Así estos dos polinomios tienen exactamente las mismasraíces.30. Sea un operador lineal en un espacio de dimensión finita . Diremos que X Z X

es cuyos componentes son los vectoresdiagonalizable si existe una base para Zcaracterísticos de .X

31. Sea cualquier operador lineal en un espacio de dimensión finita , seanX Z

- ßá ß - X [ X - M" 5 3 3 valores característicos distintos de y sea el núcleo de .Entonces los espacios son linealmente independientes.[ ßá ß[" 5

32.Si es un operador diagonalizable en el espacio de dimensión finita yX Z

- ßá ß - X" 5 son valores característicos distintos de , entonces existen operadoreslineales en tales queI ßá ßI Z" 5

+ X œ - I â - I " " 5 5

, M œ I â I " 5

- I I œ !ß 3 Á 4 3 4

. I œ I #3 3

/ I X El recorrido de es el espacio de vectores característicos de asociado con el3

valor propio Vea el teorema Espectral-3

33. Sea un operador lineal en un espacio vectorial de dimensión finita .X Z

Supóngase que existen escalares distintos y operadores lineales no5 - ßá ß - 5" 5

nulos en que satisfacen las propiedades del numeral .I ßá ßI Z + ß , ß - $#" 5

Entonces es diagonalizable, son precisamente los valores característicosX - ßá ß -" 5

de y los también satisfacen las condiciones y del numeral X I . / $#Þ3

34. Sea un operador lineal en un espacio vectorial de dimensión finita sobreX Z

un cuerpo Entonces una condición necesaria y suficiente para que seaJ Þ X

diagonalizable es que el polinomio minimal de sea de la formaX: œ B - â B - - ßá ß - J" 5 " 5 donde son escalares distintos de .35.Sea una matriz sobre un cuerpo . Entonces es similar sobre a unaE 8 ‚ 8 J E J

matriz diagonal si y solamente si el polinomio minimal de es de la forma:: E: œ B - â B - - ßá ß - J" 5 " 5 donde son escalares distintos de .ñ T T ET E œ ÒX Ó Para hallar tal que sea diagonal, donde , se hace uso de los"

µ

polinomios de Lagrange de donde se hallan los y con losT œ I œ T X4 4 43Á4

B-- -

# 3

4 3

vectores de las bases de los s se obtiene .I T4ß


36.Para un operador diagonalizable , la dimensión del espacio de los vectoresX

característicos asociados a cada valor propio es la multiplicidad como raíz del-3polinomio característico de .X

37. Sean y operadores lineales diagonalizables en un espacio de dimensiónX Y

finita . Si y conmutan, entonces ellos son simultáneamente diagonalizables;Z X Yesto es, existe una base para en la cual cada uno de sus vectores, es vectorZ ßcaracterístico de y también vector característico de .X Y

38.Sean y matrices sobre un cuerpo , cada una de las cuales es similarE F 8 ‚ 8 J

sobre a una matriz diagonal. Si y B conmutan, existe una matriz inversibleJ E T8 ‚ 8 J T ET T FT sobre tal que ambas y son diagonales." "

39.TEOREMA DE DESCOMPOSICION PRIMARIA. Sea un operador lineal en un espacio vectorial X Z

de dimensión finita sobre un cuerpo . Sea el polinomio minimal para ,J : X: œ : ß : ßá ß : : J << <

" # 5<

3 3" # 5 donde los son polinomios mónicos irreductibles sobre y

son enteros positivos. Sea el núcleo de , . Entonces[ : X 3 œ "ß #ßá ß 53 3<3

+ Z œ [ ŠâŠ[ " 5

, [ X Þ Cada es invariante bajo 3

- X [ Xß Si es un operador inducido en por entonces el polinomio minimal3 3

para es .X :3<33

40. Si son las proyecciones asociadas con la primera descomposición deI ßá ßI" 5

X I X, entonces cada es un polinomio en y por consiguiente si un operador lineal3

Y X Y Iconmuta con entonces conmuta con cada uno de los , ie, cada subespacio3

[ Y3 es invariante bajo .41.Sea un operador lineal en un espacio vectorial . Decimos que esR Z R

nilpotente si existe algún número entero tal que .< R œ ! <

42. Sea un operador lineal en un espacio vectorial de dimensión finita sobreX Z

un cuerpo . Supongamos que el polinomio minimal para se descompone sobreJ X

J en un producto lineal de polinomios. Entonces existe un operadordiagonalizable en y un operador nilpotente en tal queH Z R Z+ X œ H R , HR œ RH ì El operador diagonalizable y el operador nilpotente son únicamenteH Rdeterminados por y , cada uno de ellos es un polinomio en .+ , X

43.Sea un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpoZ

algebraicamente cerrado, por ejemplo el cuerpo de los números complejos.Entonces cada operador lineal en puede ser escrito como suma de unX Zoperador diagonalizable y un operador nilpotente que conmutan. EstosH Roperadores y son únicos y cada uno es una polinomial en .H R Xñ De esto resulta que, el estudio de los operadores lineales sobre un espaciovectorial sobre un cuerpo algebraicamente cerrado es esencialmente reducido alestudio de operadores nilpotentes.


44. Si es cualquier vector en , el subespacio -cícloco generado por es elα αZ X

subespacio de todos los vectores de la forma siendo en Si^ à X 1 X ß 1 J ÒBÓÞα α

^ à X œ Z Xα α, entonces es llamado para .vector cíclico 45.Si es algún vector en , el -anulador de es el ideal en α α αZ X Q à X J ÒBÓ

consistiendo de todos los polinomios sobre tal que El 1 J 1 X œ !Þα únicopolinomio mónico : Xα que genera estos ideales será también llamado el -anuladorde . El -anulador divide al polinomio minimal del operador α X : X Þα

46. Sea cualquier vector no nulo en y sea el -anulador de α αZ : Xα

+ : ^ à X El grado de es igual a la dimensión del subespacio cíclico α α

, : 5 ß X ß X ßá ß X Si el grado de es , entonces los vectores forman la baseα α α α α# 5"

de ^ à Xα- Y ^ à X X Si es un operador lineal en inducido por , entonces el polinomioα

minimal de es .Y :αñ Una consecuencia particular de este resultado es el siguiente: Si sucede que esα

un vector cíclico de , entonces el polinimio minimal de debe tener grado igual aX X

la dimensión del espacio ; Z por lo tanto el polinomio minimal de es el polinomioX

característico de . Se sigue que X X tiene un vector cíclico si y solamente si elpolinomio minimal y el polinomio característico de son idénticos.X

47. Si es un operador lineal en un espacio de dimensión finita , entonces Y [ Y

tiene un vector cíclico si y solamente si existe alguna base ordenada de en la[cual es representado por la matriz asociada acompañante del polinomioY

minimal de . La matriz acompañante es: Y

! ! â ! -" ! â ! -! " â ! -ã ã ä ã ã! ! â " -

Ô ×Ö ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÕ Ø

"

#

$

5

48.Si es una matriz acompañante de un polinomio mónico , entonces esE : :

simultáneamente polinomio minimal y el polinomio característico de EÞ

49. Sea un operador lineal en un espacio de dimensión finita sobre y sea X Z J [

un subespacio de que es invariante bajo . Una condición necesaria y suficienteZ Xpara que tenga un subespacio complementario -invariante es la siguiente: Si [ X "es un vector en y es un polinomio sobre tal que este en , entoncesZ 0 J 0 X ["existe un vector en tal que .α α "[ 0 X œ 0 X

50.Un subespacio es llamado si[ subespacio -admisible X

3 [ es invariante bajo X33 0 X [ [ 0 X œ 0 X Þ Si esta en , existe un en tal que " α α "


51.Sea un subespacio -invariante de y sea algún vector en . Sea [ X Z Z W à[" "

el subespacio de todos los polinomios sobre el cuerpo de escalares tal que0 J0 X [" esta en . Entonces+ W à[ J ÒBÓ es un ideal no nulo de "

, [ W à[ œ W à[ Si es cualquier vector en , entonces α " α "- ^ à X [ W à[ X" " "es disyunto de si y sólo si es el -anulador de , ie, si y sólo

si el generador mónico de es el -anulador de .W à[ X" "

52. Sea un subespacio propio -admisible de Entonces existe un vector no[ X Z Þ

nulo en tal que el subespacio cíclico es disyunto de α α" "Z ^ à X [ Þ

53.Sea un subespacio -admisible de y sea un vector en tal que[ X Z Zα"

" ^ à X [ Þ es disyunto de α"

# ^ à X [ tiene dimensión máxima entre todos los subespacios disyuntos de ,α"

esto es, si implica que .[ ∩^ à X œ Ö!× .37^ à X Ÿ .37^ à X" " α"

Entonces el subespacio es -admisible.[ Š^ à X Xα"

54. Sea un subespacio propio -admisible de . Entonces existe un vector no[ X Z

nulo en tal que es disyunto de . Si es escogido tal que α α α α" " " "Z ^ à X [ ^ à Xtiene dimensión máxima entre todos los subespacios -cíclicos disyuntos de ,X [tenemos+ [ Š ^ à X X El subespacio es -admisible.α"

, ^ à X [ Š ^ à X Si es cualquier vector tal que es disyunto de , entonces" " α"

el -anulador de divide al -anulador de .X X" α"

55.TEOREMA DE DESCOMPOSICION RACIONAL. Sea un operador lineal en un espacio deX

dimensión finita . Entonces existen vectores no nulos en Z .37Z " < ßá ß Zα α" <

con respecto a -anuladores tales queX T ßá ßT" <

+ Z œ ^ à X ŠâŠ^ à X α α" <

, " Ÿ 5 Ÿ < " T T Si , entonces divide a .5" 5

Además el entero y los anuladores son determinados unívocamente< T ßá ßT" <

por las condiciones y y el hecho de que ningún es .+ , !α5

56. Si es un operador lineal en un espacio vectorial de dimensión finita [o, si X Z E

es una matriz sobre un cuerpo ], entonces los factores primos del8 ‚ 8 Jpolinomio minimal de [o, de ] son los mismos factores primos del polinomioX Ecaracterístico de [o, de ].X E

57.Sea un operador lineal en un espacio vectorial de dimensión finita X Z Þ

Entonces es un vector cíclico si y solamente si los polinomios mínimo yXcaracterístico de son idénticos.X

58.Si tenemos un operador y una descomposición racional en suma directa dadaX

por el numeral , sea para&& Ö ß X ßá ß X ×µ α α α3 3 3 35 ""la base ordenada cíclica" 3

^ à X 5 ^ à Xα α3 3 3. Donde denota la dimensión de , esto es el grado del anuladorT X3 3 3. La matriz del operador inducido en la base ordenada , es la matriz deµcomposición de la polinomial . Así si consideramos la base ordenada para T Z3 µ


que es la reunión de los arregladas en el orden entonces la matriz deµ µ µ3 " <ßá ß

X E œ E 5 ‚ 5

E ! â !! E â !ã ã ä ã! ! â E

en la base será: donde es la matriz deµ

Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø

"

#

<

3 33

descomposición de .T3

ñ 8 ‚ 8 E La matriz que es la suma directa de las matrices de composición de lospolinomios mónicos no escalares tales que divide a paraT ß T ßá ßT T T" # < 3" 3

3 œ "ß #ßá ß < " será llamada .forma racional59.Si es un cuerpo y es una matriz sobre Entonces es similar sobreJ F 8 ‚ 8 J Þ F

el cuerpo a una y solamente una matriz que esta enJ forma racional Þ60.Supongamos que sea un operador lineal sobre y que el polinomioX Z

característico de se descomponga sobre como sigue: X J 0 œ B - â B -" 5. ." 5

donde son elementos distintos de y entonces el polinomio- ßá ß - J . "ß" 5 3

minimal de será donde .X : œ B - â B - " Ÿ < Ÿ ." 5 3< <" 5

3

ñ [ œ 5/< X - M Si entonces el teorema de la descomposición primaria nos dice3 3<3

que y que el operador posee un polinomio minimalZ œ [ Š[ ŠâŠ[ X œ Xl" # 5 3 [3

igual a .B -3<3

ñ R [ R œ X - M R Sea el operador lineal sobre definido por , entonces, es3 3 3 3 3 3

nilpotente y su polinomio minimal es . Sobre , actua como más el escalarB [ X R<3 3

3

-3 veces el operador idéntico.ñ [ Supongamos que tenemos una base del espacio correspondiente a la3

descomposición clásica del operador nilpotente , entonces la matriz de enR X3 3

relación a esta base ordenada será la suma directa de las matricesÔ ×Ö ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÕ Ø

- ! â ! !" - â ! !! " â ! !ã ã ä ã ã! ! â " -

- œ -cada una con . Una matriz de esta forma es llamada3

matriz elemental de Jordan con .valor característico -

ñ [ Z Reuniendo todas las bases de los obtenemos una base de . Describamos la3

matriz de en relación a esta base ordenada, así laE X E œ ß

E ! â !! E â !ã ã ä ã! ! â E

Î ÑÐ ÓÐ ÓÏ Ò

"

#

5

matriz es suma directa de las matrices donde cada matriz esta dadaE E ßá ßE ß E" 5 3

por y donde cada es una matriz elemental deE œ N

N ! â !

! N â !ã ã ä ã

! ! â N

3

3"

3#

38

34

Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ Ò

3


Jordan con valor característico . Además de eso, dentro de la matriz las- E3 3

dimensiones de las matrices disminuyen a medida que aumenta.N 43

4

ñ 8 ‚ 8 E Diremos que una matriz que satisface todas las condiciones descritashasta ahora en este numeral para ciertos escalares distintos esta bajo la- ßá ß -" 5

forma de Jordan .61.OBSERVACIONES. + E Todo elemento de que no este en la diagonal principal oinmediatamente abajo de ella es nulo. En la diagonal de aparecen los valoresE 5característicos distintos de , además cada se repite veces, siendo - ßá ß - X - . ." 5 3 3 3

la multiplicidad de como raíz del polinomio característico, esto es, .- . œ .37[3 3 3

, 3ß E 8 Para cada la matriz es la suma directa de matrices elementales de3 3

Jordan, , con valor característico . El número es exactamente la dimensiónN - 83

4 3 3

del espacio de los vectores característicos asociados al valor característico En- Þ3efecto, es el número de bloques nilpotentes elementales de la forma racional de83

X - M 5/< X - M3 3 siendo por tanto igual a la dimensión del . En particularnotemos que es diagonazable si y solamente si para todo X 8 œ . 3Þ3 3

- 3ß N E < ‚ < < Para cada el primer bloque en la matriz es una matriz siendo la3" 3 3 3 3

multiplicidad de como una raíz del polinomio minimal de . Esto se sigue del- X3

hecho de que el polinomio minimal del operador nilpotente es .X - M B3 3<3

62.Es claro que tenemos, como siempre, el mismo resultado para matrices si esF

una matriz sobre el cuerpo y si el polinomio característico de se8 ‚ 8 J Fdescompone completamente sobre , entonces es semejante sobre a unaJ F Jmatriz bajo la forma de Jordan. es única a menos del orden de los8 ‚ 8 E E

valores característicos. Decimos que es la de .E Fforma canónica 63.Sea un espacio vectorial de dimensión finita sobre el cuerpo y sea unZ J X

operador lineal sobre . Decimos que es si todo subespacioZ X semi-simpleX Xinvariante posee un subespacio suplementario -invariante.64.Sea un operador lineal sobre el espacio vectorial de dimensión finita y seaX Z

Z œ [ ŠâŠ[ XÞ 8" 5 la descomposición primaria de En otras palabras, si es elgrado del polinomio característico de y es la descomposición de X : œ : â: 8<

"<5

" 5

en factores primos, entonces es el núcleo de . Sea un subespacio[ : X [4<

4

3

arbitrario de que sea invariante bajo , entonces .Z X [ œ [ ∩[ ŠâŠ [ ∩[" 5

65.Sea un operador lineal sobre y supongamos que el polinomio minimal de X Z X

sea irreductible sobre el cuerpo de escalares, entonces es .J X semi-simple(Aquí es necesario recordar lo siguiente: admite un suplementario invariante[Í 0 − J ÒBÓ • − Z 0 X − [ Ê b − Z 0 X œ 0 X" " α " α es tal que tal que ).

66.Sea un operador lineal sobre el espacio vectorial de dimensión finita. UnaX Z

condición necesaria y suficiente para que sea es que el polinomioX semi-simpleminimal de sea de la forma , siendo polinomiosT X T œ T †á † T T ßá ßT" 5 " 5

irreductibles distintos sobre el cuerpo de escalares.J


67.Si es un operador lineal sobre un espacio vectorial de dimención finita sobreX

un cuerpo algebraicamente cerrado, entonces es si y solamente si,X semi-simpleX es diagonalizable.ì XEs interesante destacar que es si y solamente si existe unsemi-simplepolinomio , que sea un producto de primos distintos tal que Esto difiere0 0 X œ !Þ

apenas superficialmente de la condición de que el polinomio minimal sea unproducto de primos distintos.68.FORMULA DE TAYLOR: Sea un subcuerpo del cuerpo de los números complejos yJ

sean , polinomios sobre . Si es un polinomio cualquiera sobre con1 2 J 0 J1<+ 0 Ÿ 8ß entonces

0 1 œ 0 2 0 2 1 2 1 2 â 1 2" 0 2 0 2#x 8x

# 8# 8

.69.Sea un subcuerpo del cuerpo de los números complejos, sea un polinomioJ 0

sobre y sea la derivada de . Las siguientes afirmaciones son equivalentes:J 0 0w

3 0 J Þ es un producto de polinomios irreductibles y distintos sobre 33 0 0 y son relativamente primos.w

333 0 Considerado como un polinomio con coeficientes complejos, no poseeraíces múltiples.70. Sea un subcuerpo del cuerpo de los números complejos, sea un espacioJ Z

vectorial de dimensión finita sobre y sea un operador lineal sobre . Sea J X Z µuna base ordenada de y sea la matriz de en relación a la base ordenada .Z E X µ

Entonces, es si y solamente si la matriz es semejante, sobre elX Esemi-simplecuerpo de los números complejos, a una matriz diagonal.71. Sea un subcuerpo del cuerpo de los números complejos, sea un espacioJ Z

vectorial de dimensión finita sobre y sea un operador sobre . Existe unJ X Zoperador semi-simple sobre y un operador nilpotente sobre tales queW Z R Z3 X œ W R 33 WR œ RW .

Además de eso, el operador semi-simple y el operador nilpotente queW Rsatisfacen las condiciones y son únicos y cada uno es un polinomio en .3 33 X

72. Sea el cuerpo de los números reales o el cuerpo de los números complejos yJ

sea un espacio vectorial sobre . Un sobre es una funciónZ J ZPRODUCTO INTERNOque asocia a cada par ordenado de vectores , en un escalar en deα " α "Z ß Jmanera que:+ ß œ ß ß ß α " # α # " #, - ß œ - ß ß α " α "

- ß œ ß , donde la barra indica conjugado complejo," α α ". ß ! Á ! , si .α α α

73. m m œ ßα α αÈ es denominada la forma cuadrática determinada por el productointerno, conocida con el nombre de de .norma α

Síguese de la definición quem „ m œ m m „ #V/ ß m mα " α α " "# # #


Así en el caso real α " α " α "ß œ m m m m "" "

% %# #

En el caso complejo también podemos usar y obtenerα " α " α "ß œ V/ ß 3V/ ß 3una expresión más completa

α " α " α " α " α "ß œ m m m m m 3 m m 3 m #" " 3 3% % % %

# # # # la ecuaciones y son denominadas las" # identidades de polarización.74.Un espacio con producto interno es un espacio vectorial real o complejo dotadode un producto interno sobre aquel espacio.ì ZSi es un espacio con producto interno, entonces para cualesquier pareja devectores , en y todo escalar se tieneα " Z -+ m- m œ l-lm m à , m m ! Á ! à - m ß m Ÿ m mm m à .α α α α α " α "para m m Ÿ m m m mα " α " .Para mostrar tómese calculando . La desigualdad en es- œ ! Ÿ ß -# " α # #" α

αß

m m#

conocida como la desigualdad de auchy-SchwarzC Þ

75.Sean y vectores en un espacio con producto interno. Decimos que y α " α "Z

son si .ortogonales α "ß œ !

ì W © Z WSi , decimos que es un conjunto si dos cualesquiera vectoresortogonal distintos en son ortogonales.Wì Un conjunto ortonormal es un conjunto ortogonal con la propiedad adicional deque para todo .m m œ " − Wα α

76.Un conjunto ortogonal de vectores no nulos es linealmente independientes.ì Si un vector es una combinación lineal de un conjunto ortogonal de vectores"no nulos entonces es exactamente la combinación linealα α α "" # 7ß ßá ß

" αœ5œ"

7ß

m m 5" αα

5

5#

ì Todo espacio de dimensión finita con producto interno posee una baseortonormal.Para tal fin tómese una base de y aplíquese el proceso deÖ ßá ß × Z" "" 8

ortogonalización de Gram-Schmidt, para construir dondeÖ ß ßá ß ×α α α" # 8

α " α " α α " α" " # # " 5" 5" 4ß

m m m m4œ"

5ß

œ ß œ á œ " αα α

" α# "

" 4# #

5" 4, ,

77.Sea un espacio con producto interno y sea un conjunto arbitrario deZ W

vectores de El de es el conjunto de todos losZ Þ W Wsuplemento ortogonal ¼

vectores en que son a todos los elementos de .Z Wortogonalesì [ ZSi es un subespacio de dimensión finita de un espacio con productointerno, entonces Z œ [ Š[ Þ¼

ì ßá ß ZSea { } un conjunto ortogonal de vectores no nulos en un espacio conα α" 7

producto interno. Si es un vector arbitrario en , entonces" Z

5œ"

∞l ß lm m

#" αα

5#

5# Ÿ m m Þ"


Además la igualdad vale si y sólo si ." αœ5œ"

7ß

m m 5" αα

5

5#

Esta igualdad es conocida con el nombre de En este casodesigualdad de Bessel.particular en que es un conjunto ortonormal, la desigualdad de BesselÖ ßá ß ×α α" 7

será .5œ"

7

5# #l ß l Ÿ m m" α "

ì [ ZSe afirma que si es un subespacio de dimensión finita de un espacio conproducto interno, ya mostramos que . Se sigue que existe una únicaZ œ [ Š[¼

proyección con imagen y núcleo . Denominaremos esta proyección I [ [ I¼

como la proyección ortogonal de sobre .Z [

78.Sea un espacio de dimensión finita con producto interno y un funcionalZ 0

lineal sobre , entonces existe un único vector en tal que paraZ Z 0 œ ß" α α "todo en . Tómese una base ortonormal para , en cuyo casoα αZ Ö × Z3 "Ÿ3Ÿ8

" α α α α " α αœ 0 0 œ ß Ê 0 œ 04œ"

8

4 4 5 5 y sea ." "

NOTA: Este resultado no es válido cuando la dimensión de es infinita. Basta tomarZ

Z œ Ö0 − ÒBÓ× 0ß 1 œ 0 > 1 > .> P‚ y y se da el funcional lineal definido por'!"

P 0 œ 0 D 1 0ß 1 œ P 0 0 − Z entonces no existe tal que para todo .79.Para cualquier operador lineal sobre un espacio de dimensión finita conX Z

producto interno, existe un único operador lineal sobre tal queX Z‡

X ß œ ß X Zα " α " α "‡ para todo , en .ì Z œ Ö ßá ß ×Sea un espacio de dimensión finita con producto interno y unaµ α α" 8

base ortonormal ordenada de . Sea un operador lineal sobre y sea unaZ X Z Ematriz de en relación a la base ordenada , entonces .X E œ X ßµ α α54 4 5

ì @ − ZSi es una base ortogonal, tenemos que todo puede ser escrito en laµ

forma donde @ œ @ß œ Ö ßá ß ×5œ"

8

5 5 " 8α α µ α α

ì Z XSea un espacio de dimensión finita con producto interno y sea un operadorlineal sobre . En relación con cualquier base ortonormal de , la matriz de esZ Z X‡

la transpuesta conjugada de la matriz de .X

80. Sea un operador lineal sobre un espacio con producto interno. DecimosX Z

que posee si existe un operador lineal sobre tal queX X Z un adjunto ‡

X ß œ ß X Z Þα " α " α "‡ para todo y en ì Dos comentarios deben ser hechos acerca del caso de dimensión finita" X X El adjunto de depende no sólo de sino también del producto interno.# ÒX Ó ÒX Ó Para una base ordenada arbitraria , la relación y es más complicadaµ µ µ

‡

de la presentada en el último resultado de (*Þì Z 8 ‚ 8 J ESea el espacio vectorial de las matrices sobre un cuerpo . Si está enZ E ><E œ E E âE el de es el escalar y es una funcional lineal yatrazo "" ## 88

que , además .>< -E F œ - >< E >< F >< EF œ >< FE


81.Sea un espacio de dimensión finita con producto interno. Si y sonZ X Y

operadores lineales sobre y es un escalarZ -+ X Y œ X Y , -X œ -X - XY œ Y X . X œ X‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡, , , .ì X X œ XUn operador lineal tal que es llamado .‡ auto-adjunto hermitiano o ì Z ÒX Ó œ ÒX Ó XSi es una base ortonormal de entonces y entonces es auto-µ ‡ ‡

µ µ

adjunto si y solamente si su matriz, en relación a toda base ortogonal, es unamatriz auto-adjunta.ì Los operadores auto-adjuntos son importantes por las siguientes razones:" Para un operador de este tipo existe una base ortonormal formada por vectores

característicos# Muchos operadores que surgen en la práctica son auto-adjuntos.

82. Sea un espacio vectorial con producto interno y un operador sobre SeaZ X Z Þ

: Z la función definida sobre las parejas ordenadas de vectores , en porα ": ß œ X ß :α " α " . La función es un producto interno si y solamente si el operadorlineal satisfaceX

œ X ß œ ß XX ß ! Á !

‡α " α "α α αsi

Un operador que satisface es llamado X ‡ positivo.ì X :El operador lineal es positivo si y solamente si la función definida por: ß œ X ß Xα " α " es un producto interno. Nótese que en este caso es auto-adjunto.83. Sea un espacio de dimensión finita con producto interno . Si es unZ ß :

producto interno sobre , entonces existe un único operador lineal positivo Z Xsobre tal que para cualquier , en .Z : ß œ X ß Zα " α " α "ì Z XSea un espacio de dimensión finita con producto interno y un operadorlineal sobre . Entonces es positivo si y solamente si existe un operador linealZ Xinvertible sobre tal que .Y Z X œ Y Y‡

ì Z X ZSea un espacio complejo con producto interno y un operador lineal sobre .Si es real para todo en , entonces es autoadjunto.X ß Z Xα α αì XUn operador sobre un espacio con producto interno es positivo si y solamentesi su matriz, en relación a una base ortogonal , satisface Además siµ E œ E Þ‡

B ßá ß B Á !ß E B B !" 8 54 4 54 5

entonces .

84. Sea una matriz con elementos complejos. Decimos que esE 8 ‚ 8 E positivosi vale lo siguiente: Siempre que sean números complejos no todos nulosB ßá ß B" 8

entonces .4 5

54 4 5E B B !

ì ZSea un espacio de dimensión finita con producto interno y una baseµordenada de . Si es un operador lineal sobre , entonces Z X Z X es positivo siy solamente si la matriz de en relación a esta base ordenada esXpositiva.


ì E 8 ‚ 8Si es una matriz con elementos complejos, entonces E es positiva siy solamente si existe una -matriz inversible tal que 8 ‚ 8 T E œ T T‡ .Si es una matriz positiva y posee elementos reales entonces donde esE E œ T T T>

una -matriz invertible con elementos reales.8 ‚ 8ì 8 ‚ 8 E \ß ] œ ] E\Una -matriz es positiva si y solamente si ‡

ì El criterio de positividad es basado en dos observaciones:3 E ./>E ! Si es una matriz positiva, entonces


33 E " Ÿ 5 Ÿ 8 E œ

E E â EE E â Eã ã ä ã

E E â E

Si es una matriz positiva y , la matriz 5

"" "# "5

#" ## #5

5" 5# 55

es una -matriz positiva.5 ‚ 5Para ver basta observar que3

./> E œ ./> T T œ ./> T ./> T œ ./> T † ./> T !‡ ‡

85.Sea una -matriz. Los de son los escalaresE 8 ‚ 8 E 8menores principalesdefinidos por ../>E ß 5 œ "ß #ßá ß 85

ì E 8 ‚ 8Sea una -matriz sobre el cuerpo de los números complejos y supongamosque es auto-adjunta hermitiana , entonces es positiva si y solamente si losE Emenores principales de son todos positivos.Eì E 8 ‚ 8Si es una -matriz sobre el cuerpo de los números complejos las siguientesafirmaciones son equivalentes:3 E B B ! B ßá ß B A es positiva, esto es, siempre que son números

4 554 4 5 " 8

complejos no todos nulos.33 \ß ] œ ] E\ 8 ‚ " es un producto interno sobre el espacio de las -matrices‡

complejas.333 \ß ] œ ] \ 8 ‚ " En relación al producto interno canónico sobre las -matrices‡

el operador lineal es positivo\ È E\3@ E œ T T 8 ‚ 8 T para alguna -matriz invertible sobre .‡ ‚@ E œ E E y los menores principales de son positivos.‡

ì ESi todo elemento de es real, estas afirmaciones son equivalentes a:@3 E œ E E B B ! B ßá ß B y siempre que sean números reales no>

4 554 4 5 " 8

todos nulos.@33 \ß ] œ ] E\ 8 ‚ " es un producto interno sobre el espacio de las -matrices>

reales.@333 \ß ] œ ] \ 8 ‚ " En relación al producto interno canónico sobre las ->

matrices reales, el operador lineal es positivo.\ È E\B3 T E œ T T Existe una matriz invertible con elementos reales, tal que .>

86.Sean y espacios con producto interno sobre el mismo cuerpo y sea unaZ [ X

transformación lineal de en . Decimos que siZ [ X conserva productos internosX ß X œ ß Z Z [α " α " α " para todo , en . Un de en es unisomorfismo


isomorfismo del espacio vectorial en que también conserva productosX Z [internos.87.Sean y espacios de dimensión finita con producto interno sobre el mismoZ [

cuerpo, que tengan la misma dimensión. Si es una transformación lineal de X Zen las siguientes afirmaciones son equivalentes:[3 X conserva productos internos,33 X es un isomorfismo de espacios con producto interno ,333 X Z [ lleva toda base ortonormal de en una base ortonormal de .3@ X Z [ Þ lleva alguna base ortonormal de en alguna base ortonormal de ì Z [Sean y espacios de dimensión finita con producto interno sobre el mismocuerpo. Entonces y son isomorfos si y solamente si tienen la mismaZ [dimensión.ì ZNotese que si la dimensión de no es finita todas las afirmaciones de estenumeral no son verdaderas como se puede ver tomandoZ œ Ö0 À Ò!ß "Ó Î0 × 0ß 1 œ > 0 > 1 > .>'‘ es continua con como producto interno!

" #

[ œ Z ß Ò ß Ó Ò0 ß 1Ó œ 0 > 1 > .> X À Z [ X0 > œ >0 >'donde y dada por aquí!"

0 ß 1 œ ÒX0ß X1Ó Z [ y no es isomorfo a .88.Sean y espacios con producto interno sobre el mismo cuerpo y sea unaZ [ X

transformación lineal de en . Entonces conserva producto interno si yZ [ Xsolamente si para todo en mX m œ m m Z Þα α α

ì Un sobre un espacio con producto interno es unoperador unitario isomorfismo del espacio en si mismo.ì Y Z YSea un operador lineal sobre un espacio con producto interno. Entonces es unitario si y solamente si el adjunto de existe y .Y Y YY œ Y Y œ M‡ ‡ ‡

ì 8 ‚ 8 E E E œ MUna -matriz compleja se dice si .unitaria ‡

ì Z YSea un espacio vectorial de dimensión finita con producto interno y sea unoperador lineal sobre . Entonces es unitario si y solamente si la matriz de enZ Y Yalguna toda base ortonormal ordenada es una matriz unitaria.ì 8 ‚ 8 E E E œ MUna -matriz real o compleja se dice si ortogonal ‡

ì E F 8 ‚ 8 FSean y -matrices complejas. Se dice que es unitariamenteequivalente a si existe una -matriz unitaria tal que .E 8 ‚ 8 T F œ T ET‡

ì F E 8 ‚ 8 TDecimos que es a si existe una -matriz ortogonalmente equivalenteortogonal tal que .F œ T ET‡

89. Sea un espacio de dimensión finita con producto interno y un operadorZ X

lineal sobre Decimos que es si conmuta con su adjunta, esto es,Z Þ X normalX X œ XX Þ‡ ‡

ì Todo operador auto-adjunto es normal, como también lo es todo operadorunitario.


ì Z XSea un espacio con producto interno y un operador lineal auto-adjuntosobre . Todo valor característico de es real. Los vectores característicos de Z X Xasociados a valores característicos distintos son ortogonales.90.En un espacio de dimensión finita positiva con producto interno, todo operadorauto-adjunto posee un vector característico no nulo .ì ZEs necesario que sea de dimensión finita, pues un operador auto-adjuntosobre un espacio de dimensión infinita con producto interno puede no tenervalores característicos, por ejemplo; sea el espacio vectorial de las funcionesZcomplejas o reales continuas, definidas sobre el intervalo unitario con el! Ÿ > Ÿ "

producto interno . El operador es auto-adjunto y'0ß 1 œ 0 > 1 > .> X0 > œ >0 >!"

no posee valores característicos.ì Z X Sea un espacio de dimensión finita con producto interno y sea un operadorlineal arbitrario sobre . Supongamos que sea un subespacio de que seaZ [ Zinvariante bajo Entonces el suplemento ortogonal de es invariante bajo .X Þ [ X

91.Sea un espacio de dimensión finita con producto interno y sea un operadorZ X

auto-adjunto sobre . Entonces existe una base ortonormal de cuyos vectoresZ Zson vectores característicos de .Xdivídase y muéstrese el resultado por inducción Z œ [ Š[¼

ì E 8 ‚ 8Sea una matriz hermitiana auto-adjunta . Entonces existe una matrizunitaria tal que sea diagonal ( es unitariamente equivalente a una matrizT T ET E‡

diagonal). Si es una matriz simétrica real, existe una matriz ortogonal real talE Tque sea diagonal.T ET>

ì Z XSea un espacio de dimensión finita con producto interno y un operadornormal sobre . Entonces todo vector característico de también es un vectorZ Xcaracterístico de .X *

ì Z XSea un espacio complejo de dimensión finita con producto interno y sea unoperador normal sobre . Entonces posee una base ortonormal, donde cadaZ Zvector es un vector característico de .X

ì 8 ‚ 8 E EE œ E EUna matriz compleja se dice si .normal ‡ ‡

ì E 8 ‚ 8 TSea una matriz con elementos complejos. Existe una matriz unitaria talque sea diagonal si y solamente si . En otras palabras, esT ET EE œ E E E‡ ‡ ‡

unitariamente equivalente a una matriz diagonal si y solamente si es normal.E

92.Sea una proyección, . Las siguientes afirmaciones son equivalentes:I I œ I#

3 I II œ I I es normal, .‡ ‡

33 I I œ I es auto-adjunta, ‡

333 I es la proyección ortogonal sobre su imagen.93. Sean subespacios de y sea la proyección sobre ,[ ß[ ßá ß[ Z I [" # 5 4 4

4 œ "ßá ß 5. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:3 Z œ [ ŠâŠ[ y esta es una suma directa ortogonal" 5

33 M œ I âI I I œ ! 3 Á 4 y para " 5 3 4

333 [ 4 œ "ßá ß 5ß Si es una base ortonormal de , entonces la reunión de las µ µ4 4 4

es una base ortonormal de .Z


ì X X œ ! X œ !Sea un operador normal y un vector tal que , entonces . Enα α α#

otras palabras, la imagen y el núcleo de un operador normal son disyuntos.ì X 0Sea un operador normal y un polinomio con coeficientes complejos.Entonces el operador es normal.0 Xì El polinomio minimal de un operador normal posee raíces distintas.94.TEOREMA ESPECTRAL. Sea un operador normal sobre el espacio complejo deX Z

dimensión finita con producto interno. Sea los valores característicos- ßá ß -" 5

distintos de y sea la proyección ortogonal sobre el espacio de los vectoresX I4

característicos asociados al valor propio . Entonces-4+ X œ - I â - I ," " 5 5

, M œ I âI ," 5

- I I œ ! 3 Á 4 si .3 4

Además, la descomposición en la parte es única, en el siguiente sentido:+Supongamos que sean números complejos distintos y - ßá ß - I ßI ßá ßI" 5 " # 5

operadores lineales no nulos sobre tales que las condiciones y seanZ + ß , -satisfechas, entonces son exactamente los valores característicos- ßá ß -" 5

distintos de y para cada , es la proyección ortogonal de sobre el espacio deX 3 I Z3

los vectores característicos de asociados al valor característico .X -3ì X œ - I â - ISe denominará a la descompoción " " 5 5 resolución espectralde . Es de resaltar que si es un operador lineal arbitrario que tiene unaX Xresolución tal que y para , entonces X œ - I â - I I œ I I I œ ! 3 Á 4 X" " 5 5 4 3 4

‡4

es normal.ì X ZSi es un operador normal, entonces posee una base ortonornal formada devectores característicos de .Xì X Z XSea un operador lineal sobre . Entonces es normal si y solamente si eladjunto es un polinomio en .X X‡

ì X X œ - I â - ISi es un operador normal con resolución espectral " " 5 5

entonces .X œ - I â - I‡" " 5 5

ñ X X œ X Decir que es auto-adjunto es decir que , o sea‡

- - I â - - I œ !" " " 5 5 5 .Usando el hecho de que para y el hecho de que ningún es elI I œ ! 3 Á 4 I3 4 4

operador nulo, vemos que es auto-adjunto si y solamente si .X - œ -4 4

95.Sea un operador normal sobre el espacio complejo de dimensión finita conX Z

producto interno. Entonces, siempre queX es auto-adjunto positivo o unitariotodo valor característico de sea real, positivo o de valor absoluto .X "

ñ X Z Note que si es un operador lineal cualquiera sobre que tiene valores propiosreales no implica necesariamente que sea auto-adjunto pues X X debe ser normalpara que tal afirmación acontezca.ì X ZSea un operador lineal sobre un espacio complejo con producto interno.Decimos que es si para todo en .X X ß ! Zno negativo α α α

ì Z XSea un espacio complejo de dimensión finita con producto interno y sea unoperador no negativo sobre . Entonces posee una única raíz cuadrada noZ X


negativa, esto es, existe uno y sólo un operador no negativo sobre tal queR ZR œ XÞ#

ì Z XSea un espacio complejo de dimensión finita con producto interno y sea unoperador lineal arbitrario sobre . Entonces existe un operador unitario y unZ Yoperador no negativo sobre tal que . El operador no negativo esR Z X œ YR Rúnico. Si es invertible, el operador también es único. (Tómese yX Y R œ X X# ‡

Y œ XR X [ R" cuando sea inversible, en caso contrario sea la imagen de , existeun isomorfismo de en y se toma entonces Y [ X Z Y œ X Y ß! !

¼ ¼α " #

α " #œ R ).La descomposición se denomina de .X œ RY X descomposición polar 96.Sean y operadores normales sobre que conmutan. Entonces existe unX Y Z

operador normal sobre con estas propiedades:W Z3 X Y WÞ Tanto como son polinomios en 33 W Z X Y conmuta con todo operador lineal sobre que conmute con y .ì X ßá ß X Z XSean un número finito de operadores normales sobre tales que " 8 3

conmuta con para todos los . Entonces existe un operador normal sobre X 3ß 4 X Z4

tal que sea un polinomio en .X X4 ì ZSea una familia arbitraria de operadores normales sobre , todos los cuales¹conmutan. Entonces existe un operador normal sobre tal que todo operadorX Zde la familia sea un polinomio en .¹ Xì ZSi es una familia arbitraria de operadores normales sobre los cuales¹conmutan, existe una base ortonormal ordenada de tal que todo operador enµ Z¹ µ sea representado por una matriz diagonal en relación a la base .97. Sea un espacio vectorial sobre un cuerpo . Una sobre esZ J Zforma bilinealuna función que asocia a cada par ordenado de vectores , en un escalar0 Zα "0 ß Jα " en y que satisface

0 - ß œ -0 ß 0 ßα α " α " α "" # " #

0 ß - œ -0 ß 0 ßα " " α " α "" # " # .ì Z œ Ö ß ßá ß × Sea un espacio vectorial de dimensión finita y sea una baseµ α α α" # 8

ordenada de . Si es una forma bilineal sobre , la matriz de en relación a laZ 0 Z 0base ordenada es la -matriz con elementos . A veces,µ α α8 ‚ 8 E E œ 0 ß

34 3 4

indicaremos esta matriz por Ò0 Óµì Z JSea un espacio vectorial de dimensión finita sobre el cuerpo . Para cada baseordenada de , la función que asocia a cada forma bilineal sobre su matriz enµ Z Zrelación a la base ordenada es un isomorfismo del espacio en elµ P Z ß Z ß Jespacio de las -matrices sobre el cuerpo .8 ‚ 8 J .P Z ß Z ß J œ Ö0 À Z ‚ Z JÎ0 ×es forma bilinealì œ Ö ßá ß × Z U œ ÖP ßá ßP ×Si es una base ordenada de y es la base dualµ α α" 8 " 8

‡

de , entonces las formas bilinealesZ 8‡ #

0 ß œ P P ß " Ÿ 3 Ÿ 8ß " Ÿ 4 Ÿ 8 − Z34 3 4α " α " α " , ,forman una base del espacio . En particular, la dimensión de P Z ß Z ß J P Z ß Z ß Jes .8#


ì P À Z Z P À È P ß 0Sea dada por de manera semejante, determina una0 0 0‡ α α

transformación lineal de en . Para cada fijo en , es lineal en .V Z Z Z 0 ß0‡ " α " α

V À Z Z ß È V œ 0 ß0 0‡ " " " .

ì 0 ZSea una forma bilineal sobre un espacio vectorial de dimensión finita. SeanP V Z Z0 0

‡ y las transformaciones lineales de en definidas por ,P œ 0 ß œ V0 0α " α " " α

entonces .<+819 P œ <+819 V0 0

ì 0 Z 0Si es una forma bilineal sobre el espacio de dimensión finita, el de rangoes el entero .< œ <+819 P œ <+819 V0 0

r .- El rango de una forma bilineal es igual al rango de la matriz de la forma"

bilineal en relación a cualquier base ordenada.r .- Si es una forma bilineal sobre el espacio vectorial -dimensional las# 0 8 Z ßsiguientes afirmaciones son equivalentes:3 <+819 0 œ 8 33 Z Z 0 ß Á ! Para cada no nulo en , existe un en tal que α " α "

333 Z Z 0 ß Á !Þ Para cada no nulo en , existe un en tal que " α α "

ì 0 ZUna forma bilineal sobre un espacio vectorial se dice no-degeneradao no-singular si satisface las condiciones y del numeral anterior.3 33

98.Sea una forma bilineal sobre el espacio vectorial . Decimos que es0 Z 0

simétrica si para todos los vectores , en .0 ß œ 0 ß Zα " " α α "

ì 0 0Si es una forma bilineal simétrica, la a es laforma cuadrática asociadafunción de a definida por .; Z J ; œ 0 ßα α αì JSi es un subcuerpo del cuerpo de los números complejos la forma bilinealsimétrica es completamente determinada por su forma cuadrática asociada, de0acuerdo a la identidad de .polarización 0 ß œ ; ; α " α " α "" "

% %

ì 0 ß ! Á !Una forma bilineal se dice cuando si . definida positiva α α α

ì ZSea un espacio vectorial de dimensión finita sobre un subcuerpo del cuerpo delos números complejos y sea una forma bilineal simétrica sobre . Entonces0 Zexiste una base ordenada de en relación a la cual es representada por unaZ 0matriz diagonal.ì J E 8 ‚ 8Sea un subcuerpo del cuerpo de los números complejos y sea una -matriz simétrica sobre . Existe una -matriz inversible tal que seaJ 8 ‚ 8 T T ET>

diagonal.ì ZSea un espacio vectorial de dimensión finita sobre el cuerpo de los númeroscomplejos. Sea una forma bilineal simétrica sobre que tiene rango . Entonces0 Z <existe una base ordenada de tal queµ " "œ Ö ßá ß × Z" 8

3 0 La matriz de en relación a la base ordenada es diagonal.µ

œ33 0 ß œ"ß 4 œ "ßá ß <!ß 4 <

" "4 4

ì Z 8Sea un espacio vectorial -dimensional sobre el cuerpo de los números realesy sea una forma bilineal simétrica sobre que tenga rango . Entonces existe0 Z <una base ordenada en en relación a la cual la matriz de es diagonalÖ ßá ß × Z 0" "" 8


y tal que , . Además, el número de vectores de la base0 ß œ „ " 4 œ "ßá ß <" " "4 4 4

para los cuales es independiente de la elección de la base.0 ß œ "" "4 4

99.Una forma bilineal sobre se dice si para0 Z 0 ß œ 0 ßantisimétrica α " " α

todos los vectores en . Supongamos que sea una forma bilineal arbitrariaα "ß Z 0sobre . Si hacemosZ

1 ß œ Ò0 ß 0 ß Óα " α " " α"#

2 ß œ Ò0 ß 0 ß Óα " α " " α"#

entonces es una forma bilineal simétrica sobre y es una forma bilineal1 Z 2antisimétrica sobre . Además de eso de manera única.Z 0 œ 1 2ì Z 0Si es de dimensión finita, la forma bilineal es antisimétrica si y solamente si,su matriz en relación a alguna o a toda base ordenada es antisimétrica,EE œ EÞ>

ì 0 0Cuando es antisimétrica, la matriz de en relación a cualquier base ordenadatendrá todos los valores de la diagonal nulos.ì Z 8Sea un espacio vectorial -dimensional sobre un subcuerpo de los númeroscomplejos y sea una forma bilineal antisimétrica sobre . Entonces el rango de0 Z <0 < œ #5 Z es par, y si existe una base ordenada de en relación a la cual la matrizde es la suma directa de la matriz nula y copias de la 0 8 < ‚ 8 < 5 # ‚ #

matriz .” •! " " !

100.Sea una forma bilineal sobre el espacio vectorial y sea un operador0 Z X

lineal sobre . Decimos que si para todo y Z X 0 0 X ß X œ 0 ßconserva α " α " α "

en .Zì 0 ZSea una forma bilineal no degenerada sobre un espacio vectorial dedimensión finita. El conjunto de los operadores lineales sobre que conservan Z 0es un grupo en relación a la operación de composición.ì E 8 ‚ 8En lenguaje matricial tenemos: Si es una -matriz invertible, el conjuntode las -matrices tales que es un grupo en relación a la8 ‚ 8 Q Q EQ œ E>

multiplicación matricial.Si , entonces esta en este grupo matricial si y solamente si, E œ Ò0Ó Q Q œ ÒX Óµ µ

donde es un operador lineal que conserva .X 0ì 0 X 0Supongamos que sea una forma bilineal simétrica. Un operador conserva

si y solamente si, conserva la forma cuadrática asociada a .X ; œ 0 ß 0α α α

ì Z 0 0 ß œ B CSea el espacio o el espacio . Sea la forma bilineal donde‘ ‚ α "8 8

4œ"

8

4 4

α "œ B ßá ß B œ C ßá ß C 0" 8 " 8y . El grupo que conserva es denominado el grupoortogonal 8-dimensional. Como la matriz de en relación a la base canónica es , este grupo consiste deñ 0 Mlas matrices que satisfacen . Una tal matriz se denomina una Q Q Q œ M Q 8‚ 8>

matriz ortogonal.


ì 0Sea la forma bilineal simétrica sobre con forma cuadrática‘8

; B ßá ß B œ B B 0 #: 8ˆ ‰" 84œ" 4œ:"

:# #4 4

8‡. Esta es no degenerada y tiene signatura .

El grupo de las matrices que conservan una forma de este tipo es denominado ungrupo seudo-ortogonalˆ ‰‡ Sean

Z œ Ö − œ Z à 0 ß œ "×3 4 3 3" " " " >,

Z œ Ö − œ Z à 0 ß œ "× 3 4 3 3" " " "

el número es llamado de ..37Z .37Z 0 signaturaì Z 8Sea un espacio vectorial dimensional sobre el cuerpo de los númeroscomplejos y sea una forma bilineal simétrica no degenerada sobre . Entonces el0 Z

grupo que conserva es isomorfo al complejo 0 8ß Þgrupo ortogonal b ‚

ì Z 8Sea un espacio vectorial dimensional sobre el cuerpo de los números reales ysea una forma bilineal simétrica no degenerada sobre . Entonces, el grupo que0 Zconserva es isomorfo a un -grupo seudo-ortogonal.0 8 ‚ 8ì 0Sea una forma bilineal simétrica sobre con forma cuadrática‘%

; Bß Cß Dß > œ > B C D X# # # # %. Un operador lineal sobre que conserva esta‘

forma bilineal (o cuadrática) particular es denominada una transformación deLorentz Lorentz y el grupo que conserva se dice el grupo de 0 .

§ RESULTADOS PROBADOS#Þ

1.Sea un espacio vectorial de dimensión , subespacios vectoriales deZ 8 [ ßá ß[" 5

Z tales que

y .Z œ [ [ â[ .37Z œ .37[" # 5 33œ"

O

Probar que .Z œ [ Š[ ŠâŠ[" # 5

SOLUCIÓN. En efecto, sea una base para ,µ α $3 34 3 3 3œ Ö × [ ß " Ÿ 3 Ÿ 5ß " Ÿ 4 Ÿ .37[ œ

mostremos que si = es una base para entonces µ µ∪5

3 œ "3 " # 5Z Z œ [ Š[ ŠâŠ[

Sea entonces existen tal que @ − + − [ " Ÿ 3 Ÿ 5 @ œ + ß[ [ â[" # 5 3 3 33œ"

5

donde entonces por lo tanto genera .+ − [ Ê + œ - @ œ - Z3 3 3 34 34 34 344œ" 3ß4

$3α α µ

Ahora # . Como # , genera y es.37Z œ Ê œ .37Z œ .37Z œ Z5

3 œ "3œ"

5

3 3$ µ µ µ µ µ∪

una base de por tanto Z Z œ [ Š[ ŠâŠ[" # 5.


2. Sea V un espacio vectorial sobre y . Si donde J 0 − J ÒBÓ [ œ Ö − Z Î0 > œ !× Xα α

es un endomorfismo lineal de entonces es invariante por .Z [ X

SOLUCIÓN.-Usaremos el hecho fácilmente verificable de que si es lineal,X À Z Z0 − J ÒBÓ X0 X œ 0 X X entonces .Así ,α α− [ Ê 0 X œ !

0 X X œ 0 X † X œ X0 X œ X 0 X œ X ! œ !α α α α

0 X X œ ! Ê X − [α α .Luego o sea es invariante por .X [ § [ [ X

3.Si es un espacio vectorial real y es un operador lineal indenpotente en ,Z I Z

esto es una proyección, entonces es invertible. Determine .M I M I "

SOLUCIÓN.- Supongamos que sea un espacio vectorial real cualquiera.+Ñ Z

Mostremos que es inyectivoM Iα α α α− 5/< M I Ê M I œ ! Í I œ !

I I œ ! Ê #I œ ! Ê I œ ! − 5/<Iα α α α α entonces Pero

α α αœ Iasí

! œ M I œ M I I œ M I I I œ M I œ ! Ê M œ Iα α α α α α α α α α α

de donde5/< M I œ Ö!×

M I es sobreyectiva.Dado tómese tenemos@ − Z à @ œ @I@

# "ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰M I @ œ M @ I @ œ @ I@ œ @I@ I@ I@ I@ I@# # # # #Å

I œ I#

O sea para todo , existe tal que . Así es@ − Z A œ @ − Z M I A œ @ M II@#

biyectiva entonces es invertible.M I

Denotemos a tenemos así que . multiplicando por M I œ X M I X œ M I"

recibimos o sea I I X œ I #IX œ I Ê IX œ ‡# I#

Por otro lado se tiene M I X œ M Ê X IX œ M Í X œ M IX Ê X œ M ‡

I#

Verificación

ˆ ‰M I M œ M I œ MI I I# # #

ÆI œ I#

ˆ ‰M M I œ M I œ MI I I# # #Å

I œ I#

Observación: Si podemos resolver el ejercicio con argumentos que.37Z œ 8ß $Þ

envuelven sumas directasSi es una proyección entonces I À Z Z Z œ M7I Š 5/<IEn efecto: Para todo y pues@ − Z ß @ œ I@ @ I@à I@ − M7I @ I@ − 5/<II @ I@ œ I@ I @ œ I@ I@ œ !#

.37Z œ 8 8 œ .37 M7I .37 5/<I entonces .


Por el ejercicio , tenemos que ." Z œ M7I Š 5/<I

Pero por que entonces .Il œ 3./8>3.+. @ − M7I @ œ I6 Ê I@ œ I 6 œ I6 œ @M7I

#

Il œ ! @ − O/<I Ê I@ œ !O/<I

, pues .Tomando para una base que es reunión de una base de con una base de ,Z I 5/<I

tenemos que la matriz de referente a esta base es donde es unaI E œ MM !! !” •

matriz donde . La matriz de referente a esta base es< ‚ < < œ .37 M7I M I

F œ#M !! M” •

Como tenemos que es invertible y./>F Á ! M I

F œ œ œ M M ! M !

! M ! !

M !! M

"" "# # E

#” • ” • ” • .

Luego .M I œ M " I#

4.Determine los polinomios característicos y mínimo de la matriz realÔ ×Õ Ø

" $ $$ " $ $ $ &

.

SOLUCIÓN.-Su polinomio característico es

./> BM E œ œ B " B #B " $ $ $ B " $$ $ B &

â ââ ââ ââ ââ ââ â#

El polinomio minimal divide al polinomio característico y tiene a cada valorcaracterístico como raíz; los únicos candidatos a polinomio mínimo son:

B " B # B " B # o #

Pero Ô ×Ô × Ô ×Õ ØÕ Ø Õ ØE M E #M œ œ

! $ $ $ $ $ ! ! !$ ! $ $ $ $ ! ! ! $ $ ' $ $ $ ! ! !

Luego es el polinomio mínimo.B " B #

5.Si y son matrices sobre entonces y tienen los mismosE F 7‚7 Jß EF FE

valores característicos.SOLUCIÓN.-Sea valor propio de o sea- œ ! EF Ê ./> !M EF œ ./> EF œ !

! œ ./>E † ./>F œ ./> F † ./> E œ ./> FE œ ./> !M FE - œ ! entonces es valorpropio de .FESea un valor característico de entonces existe tal que .- Á ! EF @ Á ! EF @ œ -@

Pongamos así como , tenemos que .F@ œ A EA œ -@ @ Á ! - Á ! EA Á ! Ê A Á !

Ahora de donde . Como seEA œ -@ Ê F EA œ F -@ FE A œ -F@ œ -A A Á !

sigue que es un valor propio de entonces es valor característico de - FE - EFÞ


6.Sea es continua , considerado como espacio vectorial real.Z œ Ö0 À Î0 ×‘ ‘

Muestre que el endomorfismo lineal definido por noX À Z Z X0 B œ 0 > .>'!B

posee valores característicos.SOLUCIÓN.-Por absurdo, supongamos que existe valor propio de , entonces- Xexiste tal que entonces entonces 0 − Z ß 0 Á ! X0 œ -0 X0 B œ 0 > .> œ -0 B 0'

!B

es diferenciable por tanto . Si entonces o sea 0 B œ -0 B - œ ! 0 B œ !ß aB 0 ´ !w

lo cual es contradictorio (pues )0 Á !

Si la solución de la ecuación es de donde se- Á ! 0 B -0 B œ ! 0 B œ 5/ ß 5 Á !wC-

tiene que lo cual es contradictorio.'X0 B œ 5/ .> œ 5/ l œ 5-Ò/ "Ó Á -0 B!B >Î- >Î- B BÎ-

!

Observese que si entonces haciendo tenemos5-/ 5- œ -/ B œ !BÎ- BÎ-

! œ 5- 5- œ - Ê - œ !ß - es supuesto diferente de cero.

7. Muestre que si es un valor característico de la matriz sobre el cuerpo - E J

entonces es un valor característico de donde .1 - 1 E 1 − J ÒBÓ

SOLUCIÓN.-Si valor propio de entonces existe tal que .- − J E @ Á ! E@ œ -@

Tenemos que . Por que para (por la hipótesis)E @ œ - @ a8 " 8 œ " E@ œ -@8 8

supongamos que entonces tenemosE @ œ - @8" 8"

E @ œ E E @ œ E - @ œ - E@ œ - -@ œ - @8 8" 8" 8" 8" 8

Así, si , entonces1 E œ + E â + E + M8 " !8

1 E @ œ + E @ â + E@ + M@ œ + - @ â + -@ + @ 8 " ! 8 " !8 8

œ + - â + - + @ œ 1 - @8 " !8

o sea y .@ Á ! 1 E @ œ 1 - @

Luego es un valor propio de .1 - 1 E

8.Las matrices

E œ ßF œ ß G œ$ " " ' $ ## # " % " ## # ! "! & $

! " ! !! ! " !! ! ! "" ! ! !

Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø


¿Son -similares a matrices diagonales? ¿Son -similares a matrices diagonales?‘ ‚

SOLUCIÓN.-Se aplica el resultado: Si es una matriz en el cuerpo entoncesE 8 ‚ 8 JE J : E en es similar a una matriz diagonal si y sólo si el polinomio minimal de esde la forma , son distintos.: œ B - â B - - ßá ß - − J5 " 5

+Ñ E B " B # el polinomio característico de es E œ$ " "# # "# # !

Ô ×Õ Ø #

Como , el polinomio minimal de es entonces E M E #M Á ! E B " B # E#

no es ni -similar, ni -similar a una matriz diagonal.‘ ‚


,Ñ : œ B # B " œ : B " tiene , es irreducible en F œ' $ #% " #"! & $

Ô ×Õ Ø - 3

# # ‘

: œ B # B 3 B 3 F3 en , luego es -similar a una matriz diagonal pero no es‚ ‚‘-similar.

-Ñ G œ : œ B " œ B " B " B " œ :

! " ! !! ! " !! ! ! "" ! ! !


, - 3% #

B "# es irreducible en .‘Luego la matriz no es -similar pero es -similar a una matriz diagonal.G ‘ ‚

9.Sea el operador lineal representado en relación a la base canónica deX À ‘ ‘$ $

‘$, por . Pruebe que no posee vector cíclico. ¿Cual es el espacioÔ ×Õ Ø# ! !! # !! ! "

X

X "ß "ß $-cíclico de generado por el vector ?‘$

SOLUCIÓN.- el polinomio característico de es+Ñ X À ß ÒX Ó œ# ! !! # !! ! "

‘ ‘$ $Ô ×Õ Øµ-

X

B # B " X B # B " @ −# $ y el polinomio minimal de es , si existiese ‘cíclico, entonces esto es contradictorio..37 œ $ Á 1<+.: œ #‘$

3

,Ñ Z @ œ "ß "ß $ es el subespacio cíclico de generado por el vector ,‘$

X @ œ #ß #ß $ @ß X@ , tenemos que son linealmente independientes. Como .37Z Ÿ # .37Z œ # @ X@, tenemos que . Obsérvese que y pertenecen al planoB C œ ! Z œ Ö@ B C œ !× y son linealmente independientes, luego del plano/ .

10.Pruebe que si el operador tiene un vector cíclico entonces tiene unX À Z Z X#

vector cíclico. ¿La recíproca es verdadera?SOLUCIÓN.- , sea el grado del polinomio mínimo de . Si es cíclico+Ñ X À Z Z 5 X Z# #

en relación a entonces existe tal que es una baseX @ Ö@ß X @ßá ß X @ßá ß X @×# # #3 # 5"

para entonces generan entonces es un vectorZ Ö@ß X @ßá ß X @ßá ß X @× Z @# #3 # 5"

cíclico de .X,Ñ X À X

È La recíproca es falsa, pues considere es obviamente lineal‘ ‘# #

@ ß @ @ ß @" # # "

@ œ !ß " Ê X@ œ "ß ! Ö@ß X@× @ œ !ß "y genera a , entonces es cíclico en‘#

relación a . Obsérvese ahora que e no posee vector cíclico (polinomioX X œ M M#

minimal tiene grado menor que la dimensión del espacio)."

Otro ejemplo es y generanX À X "ß ! œ !ß " Ö "ß ! ß X "ß ! ×È

‘ ‘# #

@ ß @ !ß @" # #

Z œ Ê "ß ! X X œ !‘# #es un vector cíclico de . Obsérvese ahora que que no poseevectores cíclicos.


11. Sea un operador cíclico, ie, existe un vector cíclico para . Pruebe queX À Z Z X

si es un operador que conmuta con , entonces es un polinomio en .Y À Z Z X Y X

SOLUCIÓN.-Si es un operador cíclico existe tal que para todo X À Z Z A @ − Z ß

@ œ + X A 5 œ X Y À Z Z Y3œ!

5"

33 donde grado del polinomio minimal de . Así , conmuta

con tenemos para todoX

@ − Z Ê Y @ œ Y + X A œ + Y X A œ + X + X A œ + + X X AŒ3œ! 3œ! 3œ! 4œ! 3ß4œ"

5" 5" 5" 5" 5"

3 3 3 4 3 43 3 3 4 3 4

œ + X + X A œ + X @Œ4œ! 3œ! 4œ!

5" 5" 5"

4 3 44 3 4

Luego entonces es un polinomio en así Y œ + X Y X ß YA − Z Ê YA œ + X A4œ! 4œ!

5" 5"

4 44 4

12.Determine el polinomio minimal y la forma canónica racional de las siguientes

matrices reales: Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø ” •! " " - ! "

" ! ! ! - " " ! ! " " -

ß ß-9= =/8 =/8 -9=

) )) )

SOLUCIÓN.- su polinomio característico es , su+Ñ E œ BÔ ×Õ Ø

! " "" ! ! " ! !

$

polinomio mínimo es , ya que . Tenemos entonces que es cíclicoB EßE Á ! X$ #

ÒX À ÒX Ó œ Eß Ó‘ ‘ µ ‘$ $ $ es un operador tal que es la base canónica de . Así laµ

forma racional de es E Ð+ œ !ß + œ !ß + œ !Ñ! " #Ô ×Õ Ø! ! !" ! !! " !

,Ñ F œ su polinomio característico es:Ô ×Õ Ø

- ! "! - " " " -

Š ‹Š ‹Š ‹ Š ‹È ÈB - B #-B - # œ B - B - # B - ## #

que es igual al polinomio minimal de , y la forma canónica racional seráF À

Ô ×Ö ÙÕ ØÈ È- ! !

! - # !

! ! - #

-Ñ G œ B #-9= † B " su polinomio característico es: ” •-9= =/8 =/8 -9=

) )) )

# )

como = tenemos que es irreductible en? ) ) )%-9= % œ %=/8 Ÿ ! B #-9= † B "# # # ‘ ). Luego el polinomio minimal es . Tenemos ahora algunasB #-9= † B "#

consideraciones.


3Ñ =/8 Á ! Ê - Á -M # Sea en ese caso el grado del polinomio minimal es . Así el) #

operador cuya matriz asociada a es cíclico. La forma canónica racional esX G

” •+ œ "ß + œ #-9=! "" #-9=! " )

)

33Ñ =/8 œ !ß -9= œ ") )

que es la forma canónica racional.” •" !! "

œ M

333Ñ =/8 œ !ß -9= œ ") )

que es la forma canónica racional.” • " !! "

œ M

13. Sea la matriz real determine la matriz real tal que E T T ET" $ $$ " $ $ $ &

Ô ×Õ Ø "

es una matriz en la forma racional.SOLUCIÓN.-Usaremos el hecho de que si son dosµ α α µœ Ö ßá ß × ß œ Ö@ ßá ß @ ×" 8 " 8

w

bases de y si es un operador lineal sobre y si es una matriz deZ X À Z Z Z Tcambio de base entonces . Así, calculemos la forma canónica paraÒX Ó œ T ÒX Ó Tµ µw

"

al matriz El polinomio característico es E œ B # B *B $)Ô ×Õ Ø

" $ $$ " $ $ $ &

. #

puesto que el polinomio es un polinomio irreductible en se sigueB *B $)# ‘

que la matriz en la forma canónica racional será . CalculemosF œ # ! !! ! $)! " *

Ô ×Õ Ø

la base de en la que el operador (cuya matriz relativamente a la baseµ ‘w $ X

canónica de sea ) tenga por matriz . Pongamos sabemos que‘ µ$ w" # $E F œ Ö@ ß @ ß @ ×

Z œ @ œ 5/< B # X" espacio generado por "

Z œ @ @ œ 5/< B *B $) X# # $#espacio generado por .

Como es cíclico, podemos tomar tal que . PeroZ @ @ œ X@# # $ #

A œ Bß Cß D − Z Í X #M A œ ! Í XA #A œ !"

Í B $C $Dß $B C $Dß $B $C (D œ !

Í$B $C $D œ !$B $C $D œ ! Í B C œ !ß D œ !

$B $C (D œ !

ÚÛÜ

A œ Bß Cß D − Z Í X A *XA $)M œ ! Í $!B $!Cß $!B $!Cß ! œ !ß !ß ! Í##

B œ C.Así tomamos @ œ "ß "ß ! ß @ œ "ß "ß ! ß @ œ X@ œ %ß %ß '" # $ #

y la matriz dada por el cambio de base será T T œ" " % " " %! ! '

Ô ×Õ Ø

Por el resultado de arriba tenemos F œ T ET Þ"


14.Considere dos matrices reales que son similares sobre el cuerpo de8 ‚ 8 E C F

los números complejos, entonces ellas son similares sobre el cuerpo de los reales. SOLUCIÓN.- y similares sobre existe compleja tal que E F Ê T E œ T FT‚ " "

""

entoncesT E œ FT Ê T E FT œ ! ‡" " " "

Consideremos la ecuación matricial TE FT œ ! ‡‡

La ecuación es un sistema lineal homogéneo de incognita y ecuaciones;‡‡ 8 8# #

T ‡‡ E F" es una solución no trivial de en . Pero los coeficientes y son reales‚y como existe solución no trivial de en , tenemos que los coeficientes reales‡‡ ‚

dados por los elementos de y cumplen las condiciones de la E F alternativa deRoche, luego existe una solución de en o sea ; real entoncesT ‡‡ E œ T ET T‘ "

E F y son similares en .‘

15.Sea una matriz real tal que Pruebe que es par y que esE 8 ‚ 8 E M œ !Þ 8 E#

similar, sobre el cuerpo de los reales a la matriz donde es la matriz” •! MM !

M

identidad donde .5 ‚ 5 8 œ #5

SOLUCIÓN.- el polinomio minimal de es que tiene grado . El+Ñ E M œ ! Ê E B " ## #

polinomio característico de tiene grado y debemos tener que toda raíz delE 8

polinomio característico es raíz del polinomio minimal, se sigue que B "# 5

debe ser el polinomio característico de para entonces tiene gradoE 5 " B "# 5

#5 Ê 8 œ #5 8 entonces es par.,Ñ E X À Pensando en como en un operador (relativa a la base canónica)‘ ‘8 8

tenemos que existe ; , , subespacios de tales que= − ß < − ß " Ÿ 3 Ÿ = Z á Z ‘3 " =8

‘8 <" = Zœ Z ŠâŠ Z Xl T : y además es cíclico y su polinomio mínimo es . Así

33

.37Z œ 1<+. T † < 8 œ .37 œ .37Z œ : <3

. y .3 3 38

3œ" 3œ"

= =

‘

Pero el polinomio mínimo es y tenemos para todo , .B " < œ " 3 1<+. T œ ## "3

Así . La forma canónica de será constituida de bloques8 œ #= Ê = œ œ 5 E 58#

F œ G œ! " ! F â !" ! ã ã ä ã

F ! â !

! ! â F

3

"

#

5

” •Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø

o sea

-Ñ F F œ! MM !

Busquemos la forma canónica racional de la matriz dada por ” •5

5

siendo la matriz identidad. es el polinomioM 5 ‚ 5 ./> BM F œ B " Ê B "5# #

minimal de .F

F M œ œ M ! M ! ! !! M ! M ! !

# 5 5

5 5” • ” • ” •


La forma canónica racional de la matriz será entonces F G œ

F ! â !! F â !ã ã ä ã! ! â F


"

#

5

La misma de la matriz . Así es similar a , es similar a de donde seE E G F Gconcluye que y son similares.E F

16. Sean matrices nilpotentes sobre el cuerpo . Demuestre que yR ß R $ ‚ $ J R" # "

R# son similares si y solamente si ellas tienen el mismo polinomio minimal.SOLUCIÓN.- ) tienen el mismo polinomio característico ya queÊ R µ R Ê R ß R" # " #

bTÎT R T œ R Ê ./> BM R œ ./> BM T R T œ ./>ÒT BM R T Ó œ" " "" # # " "

œ ./>T † ./> BM R † ./>T œ ./> BM R œ !"" "

É Ñ R ß R R CSupongamos ahora que tienen el mismo polinomio característico. " # "

R < ß < − R œ !ß R œ ! B#< <" #

< entonces existen tales que . Luego divide al" #

" # "

polinomio minimal de , análogamente divide al polinomio minimal de R B R" #<#

entonces con . Así el polinomio característico de y : œ B ß : œ " Ÿ 5 Ÿ $ R R" #

" #5 53 " #

es . Ahora de la hipótesis se tiene .B : œ : Ê 5 œ 5$" #" #

Teniéndose que si entonces 5 œ " R œ R œ ! Ê R µ R" " # " #

si 5 œ # R µ µ R Ê R µ R! ! !" ! !! ! !

# " # " #

Ô ×Õ Ø

si 5 œ $ R µ µ R Ê R µ R! ! !" ! !! " !

" " # " #

Ô ×Õ Ø

Observación: El mismo resultado se probaría para matrices de dimensión menorque .$

17. Sean y dos matrices sobre el cuerpo . Si y tienen:E F 8 ‚ 8 J E F

+Þ - B œ B - â B - - Á - El mismo polinomio característico con" 5 3 4. ." 5

. Ÿ $ " Ÿ 3 Ÿ 53 para todo .,Þ El mismo polinomio minimal.Entonces y son similares.E F

SOLUCIÓN.-Tenemos , donde y E µ F µ E FE â ! F â !ã ä ã ã ä ã! â E ! â F


" "

5 5

" 3

son matrices de dimensión . El polinomio mínimo de y es . Ÿ $ E F B -3 3 3 3<3

Ê E - Mß F - M3 3 3 3 son nilpotentes entonces .E - M œ T F - M T œ T F T - M Ê E œ T F T3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 33 3 3

" " "

Luego . Así a3ß " Ÿ 3 Ÿ 5 E µ F E µ µ µ F Ê E µ FE â ! F â !ã ä ã ã ä ã! â E ! â F

3 3

" "

5 5



18.Cual es el número de matrices complejas , dos a dos similares cuyo' ‚ '

polinomio característico es - B œ B # B "% #

SOLUCIÓN.-Posibilidades para el polinomio minimal. Si ,: B œ B # B "entonces" < œ #ß < œ " Ê < œ < œ < œ < œ "ß < œ < œ "Forma canónica racional " # "" "# "$ "% #" ##

Si , entonces: B œ B # B "#

# < œ #ß < œ " Ê < œ #ß < œ #ß < œ < œ "" # "" "# #" ## $ < œ #ß < œ " Ê < œ #ß < œ < œ "ß < œ "ß < œ "" # "" #" ## "# "$

Si , entonces: B œ B # B "$

%Þ < œ $ß < œ " Ê < œ $ß < œ < œ "ß < œ " ." # "" #" ## "$

Si , entonces: B œ B # B "%

& < œ %ß < œ " Ê < œ %ß < œ < œ "" # "" #" ##

Si , entonces: B œ B # B " #

' < œ "ß < œ # Ê < œ "ß < œ #ß < œ < œ < œ "" # "" #" "# "$ "% .Si , entonces: B œ B # B "#

( < œ #ß < œ #ß < œ < œ """ #" "# "$ .) < œ #ß < œ #ß < œ #"" #" "#

Si , entonces: B œ - B"! < œ %ß < œ #ß < œ %ß < œ #" # "" #" .Así tenemos diez posibilidades para la forma canónica o sea es le número de"!

matrices complejas dos a dos similares.' ‚ '

Posibilidades para el polinomio mínimo.: œ : œ B # B " : œ B # B "7 7! "

-% # %

Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø

# ! ! ! ! ! # ! ! ! ! !" # ! ! ! ! " # ! ! ! !! " # ! ! ! ! " # ! ! !! ! " # ! ! ! ! " # ! !! ! ! ! " ! ! ! ! ! " !! ! ! ! " " ! ! ! ! ! "

: œ B # B " : œ B # B "7 7# $$ # $


# ! ! ! ! ! # ! ! ! ! !" # ! ! ! ! " # ! ! ! !! " # ! ! ! ! " # ! ! !! ! ! # ! ! ! ! ! # ! !! ! ! ! " ! ! ! ! ! " !! ! ! ! " " ! ! ! ! ! "

: œ B # B " : œ B # B "7 7% %# # # #

" #

: œ B # B # : œ B # B #/ /# # #

" #



# ! ! ! ! ! # ! ! ! ! !" # ! ! ! ! " # ! ! ! !! ! # ! ! ! ! ! # ! ! !! ! " # ! ! ! ! ! # ! !! ! ! ! " ! ! ! ! ! " !! ! ! ! " " ! ! ! ! " "

: œ B # B " : œ B # B "7 7& &# #

: œ B # B # : œ B # B #/ /# # #

" #Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø

# ! ! ! ! ! # ! ! ! ! !" # ! ! ! ! " # ! ! ! !! ! # ! ! ! ! ! # ! ! !! ! " # ! ! ! ! ! # ! !! ! ! ! " ! ! ! ! ! " !! ! ! ! ! " ! ! ! ! ! "

: œ B # B " : œ B # B "' (7 7

# Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø

# ! ! ! ! ! # ! ! ! ! !! # ! ! ! ! ! # ! ! ! !! ! # ! ! ! ! ! # ! ! !! ! ! # ! ! ! ! ! # ! !! ! ! ! " ! ! ! ! ! " !! ! ! ! " " ! ! ! ! ! "

19.Determine la forma canónica de Jordan de la matriz complejaÔ ×Ö ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÕ Ø

# ! ! ! ! !" # ! ! ! ! " ! # ! ! !! " ! # ! !" " " " # !! ! ! ! " "

œ E

SOLUCIÓN.-El polinomio característico de es .E B # B "&

El polinomio minimal de es E B # B "%

, , < œ % < œ % < œ "" "" "#

, , < œ " < œ " < œ "# ## #"

Así la forma canónica de es:

-

E

# ! ! ! ! !" # ! ! ! !! " # ! ! !! ! " # ! !! ! ! ! # !! ! ! ! ! "

Ô ×Ö ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÕ Ø

20.Pruebe que toda matriz compleja es similar a su transpuesta.8 ‚ 8


SOLUCIÓN.- E µ ¾ E œE â !ã ä ã ã ä ã! â E ! â N

N â !Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø

"

5 - <

3

- <3 33

3 33

polinomio minimal E œ B -3 3<3

N œ

- ! â !" - â !ã ã ä ã! ! â -

- <

3

3

3 < ‚<

3 34

34 34


en esta forma N µ -- < B-3 34 3<34

Observación: matriz nilpotente es similar a Q Ê Q Q>

Q Á ! Q œ ! Q Á !, y < <"

< − Q œ Q > << >

Así el polinomio minimal de es polinomio característico de y es aún elQ B œ Q B< <

polinomio minimal y característico de Q>

Pero Q µ µ Q Ê Q µ Q

! ! â ! !" ! â ! !ã ã ä ã ã! ! â " !


> >

Ahora el polinomio mínimo de entonces yN œ B - N - M œ !- < 3 - < 3< <

3 34 3 34

34 34ˆ ‰ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰Š ‹N - M Á ! N µ N N - M µ N - M- < 3 - < - < - < 3 - < 3

< " > >3 34 3 34 3 34 3 34 3 34

34 entonces así por lotanto existe no singular tal queTˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰N - M œ T N - M T œ T N T - M Ê N œ T N T- < 3 - < 3 - < 3 - < - <

> >" " "3 34 3 34 3 34 3 34 3 34

Así

E µ E " Ÿ a3 Ÿ 5 Ê E µ µ ‡E â ! E â !ã ä ã ã ä ã! â E ! â E

3 3>

" "

5

>

5>

Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø,

Pero pues si entonces existe no singular tal queE µ F Ê E µ F E µ F T> >

F œ T ET Ê F œ T ET œ T E T E µ F" > " > > > > >> " entonces

Así

E µ Ê E µ ‡‡E â ! E â !ã ä ã ã ä ã! â E ! â E


" "

5

>

>

5>

De y se deduce que .‡ ‡‡ E µ E>

21.Usando la fórmula para el binomio para la serie , determine una raíz" >"#

cuadrada para donde son matrices complejas la identidad y M Rß MßR 8 ‚ 8ß M R

nilpotente.

SOLUCIÓN.- +ÑÞ " B œ B ß lBl " −ˆ ‰α α

8œ!

∞

88 α ‘

donde ˆ ‰ ˆ ‰α α α α α! 8 8x

" â 8"œ "ß œ ß 8 "


,Ñ − y tenemosα " ‘ ˆ ‰ˆ ‰ ˆ ‰ˆ ‰ ˆ ‰ˆ ‰ ˆ ‰α " α " α " α "! 8 " 8" 8 ! 8

â œ

-Ñ " B œ B lBl " Así Š ‹"#

"#

8œ!

∞

88

Tomando tenemos+ œ8 8Š ‹"#

ˆ ‰ˆ ‰ ˆ ‰ˆ ‰ ˆ ‰ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰5œ!

8

5 85 ! 8 " 8" 8 ! 8 8 "+ + œ â œ œ œ !

,

Å=3 8 #

α α α α α α α α

.Ñ Mostremos ahora por inducción que

Œ8 # + B œ " B 85œ!

8"

55

#

términos de grado

Si 8 œ # Ê + B œ " B œ " B BŒ ˆ ‰5œ!

"

55 #

#" "# 8

##

Supongamos que términos de grado entoncesŒ5œ!

8"

55

#

+ B œ " B 8 8 " #

Œ Œ Œ5œ! 5œ! 5œ! 5œ!

8 8" 8" 8"

5 5 8 5 5 85 5 8 5 # #8 85

# # #

8+ B œ + B + B œ + B + B # + + B œ " B

8 " # + + B #+ + B 8 "términos de grado + términos de grado 5œ"

8"

5 85 ! 88 8

+ B œ " B # + + B 8 " œ

œ !

# #8 88

5œ!

8"

5 85ï términos de grado

términos de grado œ " B 8 "

Así términos de grado Œ5œ!

8"

55

#

+ B œ " B 8 a8 −

/Ñ R Ê b8 R œ ! Ê R œ ! a5 8 Ahora si es nilpotente tal que . Tomemos8 5

F œ + R5œ!

8"

55 entonces

términos de grado nF œ + R œ " B œ M R ! œ M RÅ

# #

5œ!

8"

5

#

BœRŒya que ,R œ ! a5 85

Luego es una raíz cuadrada de F M RÞ

22.Use el ejercicio anterior para mostrar que toda matriz compleja no8 ‚ 8

singular posee una raíz cuadrada.SOLUCIÓN.-Aplicando el ejercicio es fácil ver que si entonces existe una#"Þ - Á !

raíz cuadrada de . Sea el polinomio minimal de .-M R : œ B - â B - E" 5< <" 5

- ßá ß - E ./>E Á ! - Á !ß" 5 3son valores característicos de y tenemos que " Ÿ a3 Ÿ 5.


Pero con polinomio minimal de , E µ E œ B - a3E â !ã ä ã! â E

Ô ×Õ Ø

"

5

3 3<3

Sabemos que existe diagonal y nilpotente tales que donde losH R E œ H R3 3 3 3 3

valores característicos de son los mismos de asíH E3 3

H µ œ - M Ê T H œ T - M T- â !ã ä ã! â -

3 3 3 3 3 3

3

3

"3 existe tal que

Ô ×Õ Ø

LuegoE œ T - M T T T R T T œ T - M R T

µ3 3 3 3 3 3 3 3 3

" " " "3 3 3 3 Š ‹

pero es nilpotente entonces es nilpotente, luego existe una matriz tal queR R Gµ

3 3 3

G œ - M Rµ#

3 33 tenemos entoncesQ œ T G T Ê Q œ T G T œ T - M R T Ñ œ E

µ3 3 3 3 3 3 3 3 3

" " # "3 3 3 3

# Š ‹ .

Entonces es raíz cuadrada de , . Sea teniéndoseQ E " Ÿ 3 Ÿ 5 Q œQ â !ã ä ã! â Q

3 3

"

5

Ô ×Õ Ø

que entonces existe tal queQ œ œ µ E WQ â !ã ä ã

! â Q

E â !ã ä ã! â E

#

#"

#5

"

5


E œ W Q W œ W QW W QW EÞ" # " "#. Así es raíz cuadrada de

23.Determine las clases de similaridad de las matrices complejas tales queE 8 ‚ 8

E œ M8

SOLUCIÓN.- es divisible por el polinomio mínimo deE œ M Í E M œ ! Ê B "8 8 8

E B " 8 - ßá ß - :. Ahora posee raíces distintas en , . Así debe ser8" 8‚

B - B - â B - : E" # 8 entonces sólo tiene factores lineales así es siemprediagonalizable. Luego si conocemos el polinomio mínimo y el polinomiocaracterístico de , conocemos su clase de similaridad. Las posibilidades para elEpolinomio mínimo : puede contener factores de la forma y obviamente: 5 B -3en este caso tenemos escalares. Tomando una elección para , las- : :5

8 !

posibilidades para son aquellos polinomios divisibles por de grado con los0 : 8!

mismos factores lineales : œ B - â B -

! 3 5

0 œ B - â B -3 5< <3 5

con , . Obsérvese que el orden de los es importante. Así< â < œ 8 < " <3 5 3 3

si anotamos por el número total de posibilidades de elecciones de los ,: 8ß 5 <3

tenemos que el número total de clases de similaridad es .5œ"

8

85- : 8ß 5


24. Muestre que cualquier transformación lineal , de dimensión finitaX À Z Z Z

sobre descompone en una suma directa de subespacios -invariantes yJ Z X

cíclicos , tales que si es el polinomio minimal entoncesZ œ Z ŠâŠ Z Xl œ 0 B" < Z 33

0 B l0 B # Ÿ 3 Ÿ < 0 X3 3" " para y =al polinomio minimal de . En particular, muestreque existe un vector tal que si entonces el polinomio@ − Z Z œ Ö@ß X@ßá ß X @ßá×"

5

minimal polinomio minimal de . Esto implica que si el polinomio minimalX l œ XZ"

de polinomio característico de entonces es cíclico.X œ X X

SOLUCIÓN.-Sabemos que existen subespacios y números reales tales que siZ <34 34

: œ : X Z œ Z Z# 93œ"

5<3 343

34 es el polinomio minimal de entonces , es cíclico y los

polinomios donde . TomemosX œ X l œ : < œ < < â <34 Z 3" 3#<

334 334

3 jW œ 7+BÖW ß W ßá ß W × < œ ! W Ÿ 4 Ÿ =ß Z œ Ö!× @" # 5 34 3 34 34 y por definición si . Tomemos

un vector cíclico de y pongamos donde .Z A œ @ " Ÿ 4 Ÿ =34 4 343œ"

5

[ œ ÖA ß XA ß X A ßá×4 4 4 4# .

Obviamente es -invariante y cíclico. Sea A X 0 œ : â:4 4 "< <

5"4 54

0 X A œ : â: X @ œ : â: X @ œ !4 4 34 34" "< < < <

5 53œ" 3œ"

5 5Œ"4 54 "4 54

ya que y polinomio mínimo de y aquí aplicamos la@ − Z X œ X l œ :34 34 34 Z<3

ˆ ‰34

34

conmutatividad del producto de polinomios. Así , es el polinomio0 X l œ ! 04 [ 44

mínimo por que: â: â: X A œ : â: â: X @s" "< < < < < <

3 35 54 34"4 34 54 "4 34" 54 .

Si es cero entonces , se tienea − Z œ 2 X @α α34 34

: â: â: X œ 2Ò: â: â: X Ó@ œ ! Ê : â: â:s s s" " "< < < < < < < < <

3 3 35 5 534"4 34 54 "4 34 54 "4 34 54α

es divisible por polinomio mínimo de lo cual es un absurdo.: Z<3 3434

Conclusión: y cualquier polinomio que divide no divide en0 X l œ ! : 0 X4 [ 44

[ : X l Á ! 0 X l4 [ 4 [ˆ ‰4 4

entonces es polinomio mínimo de .Obsérvese que

0 œ : â: œ : â: œ X œ 0"< <" "

< <5 5

"" "5" 5 polinomio mínimo de .0 œ : â: ß 0 œ : â:4 4"" "

< < < <5 5

"4 54 "4" 54" Pero Así y < Ÿ < ß " Ÿ a3 Ÿ 5Þ 0 œ 0 0 l34 34" " 4 04"

Mostremos ahora que

Z œ [ œ Š Z9 9 Œ4œ" 4œ" 3œ"

= = 5

4 34

Basta mostrar que .[ œ Z4 343œ"

59Sea

α α α− [ Ê œ 2 X [ œ 2 X @ œ 2 X @ Ê − Z4 4 34 34 343œ" 3œ" 3œ"

5 5 5Œ2 X − Z34


Así , es cíclico y [ § Z ŠâŠ Z [ :96 † 738 † X l œ :4 "4 54 4 [3œ"

5<34

34#.37[ œ < œ .37Z œ .37 Z4 34 34 34

3œ" 3œ" 3œ"

5 5 5

Luego, .[ œ Z ŠâŠ Z4 "4 54

Obsérvese finalmente que es tal que y[ [ œ ÖA ß XA ßá×" " " "

:96 † 738 † X l œ :96 † 738 † X :96 † 738 † X œ :96 † XZ". Claro que característica de

entonces es cíclico..37[ œ 1<+. † :96 † 738 † X œ .37Z Ê Z œ [ Ê Z" "

25. Muestre que toda matriz real es similar a una matriz de la forma8 ‚ 8

donde

Ô ×Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ ÙÕ Ø

Ô ×

Õ Ø

E ! â ! ! â !! ä ã ã ã ãã â E ! â !! â ! F â !ã â ã ã ä ã! â ! ! â F

E œ

= S â S SM = â S Sã ã ä ã ãS S â = SS S â S =

"

5

"

5

3

3 # # #

# 3 # #

# # 3 #

# # # 3

siendo

S œ ß M œ ß = œ! ! " ! ! ! ! "# # 3

3 3

3 3” • ” • ” •α "

" α

y cada tiene la formaF4

F œ

! â !" â !ã ã ä ã! ! â

4

4

4

4

Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø-

-

-

SOLUCIÓN.-Sea el polinomio característico de . Como es real entonces - B E E - Btiene coeficientes reales es raíz de entonces es tambiénÊ 3 - B - Á ! 3α " α "raíz de . Cada vez que de en de en , se- B : B œ :96 † 738 E œ :96 † 738 E‚ ‘puede decir lo mismo para el polinomio característico. Tomemos entonces: B œ ÒB 3 Ó ÒB 3 Ó ÒB 3 Ó ÒB 3 Ó âα " α " α " α "" " " " # # # #

< < < <" " # #

ÒB 3 Ó ÒB 3 Ó B â Bα " α " - -5 5 5 5 " 4< < > >5 5 " 4

denotemos : La forma canónica de Jordan tomará la formaα "3 3 3 3 œ -


N ! â ! ! â !! ä ã ã ã ãã â N ! â !

! â ! N â !ã â ã ã ä ã! â ! ! â N

- < 8

- <

>

>

" " "

5 585

" "

4 4

-

-

y sabemos que es similar a Estudiemos la -matriz siguiente:EÞ #< ‚ #<34 34


” •

Ô ×Ö ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÕ Ø

N !

! N ! ! â ! œ

3 ! ! ! ! ! â !! 3 â ! ! ! â !" ! â ! ! ! â !! " â ! ! ! â !ã ã ä ã ã ã ä ã! ! â 3 ! ! â !- <

- < 3

3 3

3 3

3 33 34

3 34

α "α "

α "α 3 ! â !

! ! â ! ! â !! ! â ! " ! â !! ! â ! ! " â !ã ã ä ã ã ã ä ã! ! â ! ! ! â 3

œ G"

α "

α "

3

3 3

3 3

Sea = una base de tal que la matriz del operador relativamente aµ Ö@ ßá ß @ × Z X" #< 3

la base sea la matriz . Si esto esµ µG œ Ö@ ß @ ß @ ß @ ßá ß @ ß @ × Àw< "< # #< < #<

A œ @#4" 4

A œ @ " Ÿ 4 Ÿ <#4 4<

Tenemos si o X @ œ 3 @ @ " Ÿ 4 Ÿ < " < " Ÿ 4 Ÿ #< "3 4 4 4"α "

si o X @ œ 3 @ 4 œ < 4 œ #<3 4 4α "

entonces

ÒX Ó œ

- ! ! â ! ! ! â ! ! !! - ! â ! ! ! â ! ! !" ! - â ! ! ! â ! ! !! " ! â ! ! ! â ! ! !ã ã ã ä ã ã ã ä ã ã ã! ! ! â - ! ! â ! ! !! ! ! â ! - ! â ! ! !

! ! ! â " !

3

3

3

3

3

3

µw

Ô ×Ö ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÕ Ø

- â ! ! !

ã ã ã ä ã ã ã ä ã ã ã! ! ! â ! ! ! â " ! -

3

3

Colocando y .H œ M œ- ! " !! - ! "3 #3

3” • ” •

Así

ÒX Ó œ ¾ H µ œ W

H ! â !M H â !! M â !ã ã ä ã! ! â H

µw


” •3

# 3

#

3

3 33 3

3 3 α "

" α

por que el polinomio característico de es . ElH B - B - œ :96 † 738H3 3 3 3

polinomio característico de es . Como el grado de W B - B - œ :96 † 738W H3 3 3 3 3

y de es dos tenemos ver observación , concluimos que y sonW /BÞ "( H W3 3 3

similares.


Así

G µ ÒX Ó µ œ E

W ! â ! !M W â ! !! M â ! !ã ã ä ã ã! ! â W !! ! â M W

3 3 3

3

# 3

#

3

# #

µw


.

Luego

E µ

E â ! ! â !ã ä ã ã ä ã! â E ! â !! â ! N â !ã ä ã ã ä ã! â ! ! â N


"

5

=

=

-

-

" ""

3 484

26. Sea un espacio vectorial real o complejo dotado de un producto interno.Z

Demuestre que + para cualesquiera , ,m m m m œ #m m #m m − Zα " α " α " α "# # # #

siendo la norma inducida por el producto interno.m m

SOLUCIÓN.-En efecto, +m m œ ß œ ß ß ß ß α " α " α " α α α " " α " "#

œ m m m m ß ß "α " " α α "# #

m m œ ß œ ß ß ß ß α " α " α " α α α " " α " "#

œ m m m m ß ß #α " " α α "# #

De y tenemos:" #m m m m #m m #m mα " α " α "+ + = + .# # # #

27. Sea un espacio vectorial real normado tal que para cualquier , valeZ − Zα "

m m m m œ #m m #m m 0 À Z ‚ Zα " α " α " ‘# # # #. Muestre que si se define por#0 ß œ m m m m m m 0 Zα " α " α "# # #, entonces es un producto interno de el cualinduce la norma m m.SOLUCIÓN.-Por hipótesis sabemos que0 ß œ Òm m m m m m Óα " α " α ""

## # #

m m m m œ #m m #m m ‡α " α " α "# # # # !Ñ0 ß œ 0 ßα " " α lo cual es obvio de mostrar."Ñ Por hipótesis

#0 ß œ m m m m m m "α " # α " # α " ## # # Por otro lado#Ò0 ß 0 ß Ó œ Òm m m m m m m m m m m m Óα # " # α # α # # " " ## # # # # #

œ Òm m m m Ó Òm m m m Ó #m m #m m #m m œ‡

α # " " # α # α "# # # # # # #

" "# #

# # # # # #Òm m m m Ó Òm m m m Ó #m m #m m α " # α # " α " # # α " # α

#m m œ m m Òm m m m Ó #m m #m m #m m œ‡

" α " # # α " # α " # α "# # # # # # #"#


œ m m m m m m #Òm m m m m m Ó œ‡

α " # # α " # α "# # # # # #

m m m m m m #m m #m m #m m #m m #m m œα " # # α " α " # α "# # # # # # # #

œ m m m m m m #α " # α " ## # #

Reemplazando y tenemos " # 0 ß œ 0 ß 0 ßα " # α # " ##Ñ 0 - ß œ -0 ß ß a- − Mostremos que .α " α " ‘

3Ñ 0 8 ß œ 80 ß ß 8 − α " α "

Por inducción , la igualdad es obvia.8 œ !

Si tenemos0 8 " ß œ 8 " 0 ßα " α "

0 8 ß œ 0 8 " ß œ 0 8 " ß 0 ß œ"

α " α α " α " α "œ 8 " 0 ß 0 ß œ 8 " " 0 ß œ 80 ßα " α " α " α "

33Ñ 8 8 œ " Sea entero negativo, si tenemos

0 ß œ Òm m m m m m Ó œ Òm m #m m #m m m m m m Ó‡

α " " α α " α " α " α "" "# #

# # # # # # # #

œ 0 ßα "Si es cualquier número negativo tenemos8

0 8 ß œ 0 8 ß œ 0 8 ß œ 8 0 ß œ 803

α " α " α " α " α"333Ñ − Ê ß 7ß 8 − ß 8 Á ! Ahora sea =- - ™7

8

0 ß œ 0 ß œ Òm m m m m m Ó œ Òm7 8 m m7 m m8 m Óˆ ‰-α " α " α " α " α " α "7 " 7 7 "8 # 8 8 #8

# # # # # ##

œ 0 7 ß 8 œ 0 ß 8 œ 0 8 ß œ 80 ß œ 0 ß œ 0 ß3 ! 3" 7 7 7 7

8 8 8 8 8# # # #α " α " α " α " α " - α "

Ahora si - − Ê - œ :‘ lim8Ä∞: −

8

8

0 - ß œ 0 : ß œ 0 : ß œ : 0 ß œ -0 ßŠ ‹α " α " α " α " α "lim lim lim8Ä∞ 8Ä∞ 8Ä∞

8 8 8

$Ñ0 ß œ Ò%m m m m m m Ó œ m m Ê 0 ß ! Á !α α α α α α α α α"#

# # # # si .0 ß œ ! Ê œ !α α α

Luego es un producto interno y tenemos o sea tal producto0 0 ß œ m mÈ α α α

interno induce la norma .m m

28.Sea una transformación lineal del espacio vectorial dotado de unX À Z Z Z

producto interno . Muestre que si para cualquier , entoncesß mX m œ m m − Zα α α

X ß X œ ß − Z ß Ñα " α " α " para cualquier , (así la norma es inducida por .SOLUCIÓN.-Usamos el hecho

ß œ / ß 3 / ß 3 "α " e α " e α " mX m œ m m Ê X ß X œ ß ‡α α α α α α

Seaα " α " α " α " α " α " α ", , , =− Z X ß X œ X X ß X X œœ X ß X X ß X X ß X X ß X œα α α " " α " "œ ß ß # / X ß X α α " " e α "

Pero , = , , # / ß α " α " α α " " e α "

Tenemos entonces para todo , . Tambiéne α " e α " α "/ ß œ / X ß X − Ztenemos


.e α " e α " α " α "/ ß 3 œ / X ß 3X Ê ß œ X ß X "

29.Sea un espacio vectorial con producto interno . Muestre que si , ,Z ß − Zα "

si y solamente si para cualquier .α " α # " # #œ ß œ ß − Z

SOLUCIÓN.- ) = entonces , estoÊ ß œ ß Ê ß œ ß a − Zα " α # " # α # " # #aplicando la definición.É Ê œ !ß a − Z) , = , , α # " # α " # #

Ê ß œ ! Í œ ! Í œ Þα " α " α " α "

30. Sea el espacio de las matrices complejas con producto interno dadoZ 8 ‚ 8

por EßF œ X<+D9 EF‡

+ ß Muestre que de arriba es un producto interno., ÞDetermine el complemento ortogonal de las matrices diagonales

.- SOLUCIÓN Œ+ "Ñ EßF œ ><+D9 EF œ + , œ , + œ ><+D9 FE‡

3œ4 5 545 45 45 45

3œ4

‡

œ ><+D9 FE œ FßE ‡

#Ñ E FßG œ ><+D9 E F G œ ><+D9EG ><+D9FG œ EßG FßG ‡ ‡ ‡

$Ñ EßF œ ><+D9 E F œ ><+D9EF œ EßF - - - -‡ ‡

%Ñ EßE œ ><+D+ EE œ + + œ l+ l ! + Á !ß E Á !‡ #

3œ4 3535 45 3 3 si algún esto es

implica que es en efecto un producto interno."Ñß #Ñß $Ñ C %Ñ ß

, [ œ ÖE − Z à EßF œ ! F× cualquiera que sea la matriz diagonal ¼

EßF œ ! Í ><+D9EF œ ! Í + , œ !‡

3œ435 45Œ

Í + , œ ! Í + , œ ! Í , œ !ß 5 œ "ßá ß 8Œ3œ4 5 5

35 45 55 55 55

Así posee todos los elementos diagonales nulos[ œ ÖE − Z à E ×¼

31. Considere un espacio de polinomios reales de dotado de productoZ 1<+. Ÿ $

interno 0ß 1 œ 0 > 1 > .>'!"

+Ñ Determine el complemento ortogonal de los polinomios escalares,Ñ Z Ö"ß Bß B ß B ßá×Determine una base ortogonal de a partir de la base aplicando# $

el procedimiento de Gran-Schmidt.SOLUCIÓN.- Sea el conjunto de los polinomios escalares+Ñ [

donde es un escalar real[ œ Ö: − Z à :ß 5 œ ! 5 ×¼

: − [ Í :ß 5 œ ! a5 − Í 5 + + B + B + B .B œ !¼ # $!"

! " # $‘ 'Í 5Ò+ Ó œ ! a5 − Í + œ !! !

+ + + +# $ % # $ %

+ +" # " #$ $, ‘

Una base para puede ser: ya que pues[ Ö " #> ß " $> ß " %> × .37[ œ $¼ # $ ¼

.37[ œ "


,Ñ œ " α"

α " α α# # " ß Bß"m m " # #!

" > ""! #œ œ B " œ B >.> œ D l Ê œ B " α

α# "

"#

'α " α α α$ $ # " $

ß ß m m m m $ # '

# #" " "œ œ B B Ê œ B B " α " αα α$ # $ "

# "#

"#""#

1 ˆ ‰α " α α α% % " # $

ß ß ß m m m m m m % # "'

$ #" " "œ œ B B B B " α " α " αα α α% " % # % $

" # $# #

$ "%! "#!" ""# )!

ˆ ‰ ˆ ‰Ê œ B B B Þα%

$ #$ $ "# & #!

32.Sea un espacio vectorial de dimensión finita con producto interno .Z 8

Sea un operador tal que . Demostrar que es auto-adjuntoI À Z Z I œ I I#

Í II œ I I‡ ‡ .SOLUCIÓN.- ) es auto-adjunto entonces Ê I Ê I œ I II œ II œ I I‡ ‡ ‡

É II œ I I Ê mI m œ mI m I œ ! Í I œ ! − Z à) . Por consiguiente . Sea ‡ ‡ ‡ ‡α α α α α

entonces entonces deI œ I Í I I œ ! I I œ ! Í I I œ !α α α α α α α α# # ‡

donde entonces I I I œ ! Ê I œ I I ß a I œ I I "‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡α α α α α

Ahora I œ I œ I I œ I I œ I‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡" "

33.Sea un espacio vectorial de dimensión finita con producto interno , .Z 8

Sea un operador positivo. Sea definida porX À Z Z : À Z ‚ ZX

‘

: ß œ X ß Y Z YXα " α " . Sea un operador lineal sobre y el operador adjunto.‡

Probar que es unitario si y sólo si .Y X œ Y XY‡

SOLUCIÓN. ) unitario .Ê Y Ê : Y ßY œ : ß œ X ß X X

α α α α α α

Ahora: Y ßY œ XY ßY œ Y ß XY œ ßY XY

Xα α α α α α α α ‡

Entonces ß X œ ßY XY a Ê X œ Y XYα α α α α‡ ‡,

É ÑX œ Y XY ß‡ entonces X œ ßY XY Ê : ß œ : Y ßY ß aα α α α α α α α α, ‡

X X

entonces es unitario.Y

34. Sea un operador lineal normal en un espacio vectorial complejo deX Z

dimensión finita, dotado de un producto interno. Pruebe que donde ÒX Ó œ ÒX Ó‡ ‡µ µ µ

es una base ortogonal de .Z

SOLUCIÓN.- Sea la base ortogonal de , sea la matriz de"Þ Ö ß ßá ß × Z ÒX Ó œ ÒE Óα α α" # 8 34µ

X Þ en esa base

#Þ X ß œ E ß œ E ß œ E ß œ puesto que ,Œα α α α α α α α $3 4 53 5 4 53 5 4 43 5 4 545œ" 5œ"

8 8

así E œ X ß 43 3 4α α

$Þ ÒX Ó œ ÒF Ó X Sea la matriz de es la base . En este caso siguiendo el mismo‡ ‡34µ µ

raciocinio de recibimos .#Þ X ß œ F‡3 4 43α α


%Þ F œ X ß œ ß X œ X ß œ E ß F œ E Pero así lo cual43 3 4 3 4 4 3 34 43 34‡α α α α α α

implica que es la transpuesta conjugada de así:ÒF Ó ÒE Ó43 34

ÒX Ó œ ÒF Ó œ ÒE Ó œ ÒX Ó‡ ‡ ‡34 34µ µ

35. Sea un operador lineal normal en un espacio vectorial complejo deX Z

dimensión finita dotado de un producto interno y un subespacio de Puebe[ Z Þ

que es normal.X l[

SOLUCIÓN. Con indicaremos a los subespacios de un espacio vectorial dado."Þ § I

Sea entonces .Z § Z XZ § Z Í X Z § Zw w w ‡ w wI I I

¼ ¼

En efecto, sean , tales que y en este casoα " α "− Z − Z ßw w¼

,X − Z a − Z Ê X ß œ ! Ê ßX œ !Š ‹α α α " α "w w ‡a −Za −Zα"

w

w¼

Š ‹a −Za −Z

‡ w ‡ w w¼ ¼ ¼α"

w

w¼ Ê X − Z Ê X Z § Z"

#Þ Por otra parteX[ § [ Ê X [ § [ œ [ Ê X [ § [¼ ¼ ‡ ¼ ¼ ‡¼ ¼

Å"

$Þ X X X X [ a − [ß Sean entonces y las restricciones de y a respectivamente, " #‡ α

a − [" tenemosX ß œ X ß œ ßX œ ßX ÊX œX X ÒX œX œX−[ −[

" # # [ #‡ ‡ ‡ ‡ ‡

" [α " α " α " α "α " | |o sea "œ

%Þ − [ Así para todo se tieneα

X X œ X X œ XX œ X X œ X l X" " [‡ ‡ ‡ ‡ ‡" α α α α α

α αα

− [ ÅX − [ ÅXX œ X X X − [

‡‡ ‡

œ X X œ X X l œ X X‡ ‡ ‡" " "[ "α α α

Å− [α

Luego .X X œ X X" "

‡ ‡" "

EntoncesX l X l œ X l X l Ê Xl[ [ [ [ [

‡ ‡ es normal.

36.Sea operador lineal sobre el espacio complejo de dimensión finita conX Z

producto interno. Pruebe que es normal si y sólo si , donde es noX X œ RY R

negativo, unitario y conmuta con .Y R Y

SOLUCIÓN. . Si existen y tal que donde es unitario y positivo" Y R X œ YR Y R

luego auto-adjunto tenemos además que: X œ YR œ R Y œ RY‡ ‡ ‡ "‡

X X œ RY YR œ R‡ " #

# X X. es un operador positivo por que‡

X X ß œ X ß X œ mX m ! mX m ! X Á !‡ α α α α α α α y si como es un operador no singular tenemos que:X

o sea X œ ! Í œ ! Á ! Ê X Á !α α α α

Así,


α α α α αÁ ! Ê X Á ! Ê mX m ! X X ß ! Ê X X entonces es un operador‡ ‡

positivo$. es un operador positivo luego no negativo y normal. Siendo un espacio X X Z‡

complejo esto asegura la existencia de una raíz cuadrada no negativa de .X X‡

Vamos a probar que esa raíz cuadrada es de hecho positiva ya que lo es .X X‡

Sea la resolución espectral de donde y ,- I â - I X X - − - !" " 5 5 3 3‡ ‘

3 œ "ßá ß 5, .una vez que es positivoX X‡

En el caso su raíz cuadrada no negativa tendrá como resolución espectralR È È Èˆ ‰- I â - I - !" " 5 5 3

como , será un operador positivo.- ! a3 Ê R3

% X R œ X X) Si es no singular también lo es por que:È ‡

X œ ! Í mX m œ ! Í X ß X œ ! Í X X ß œ ! Íα α α α α α‡

ÅX X œ R‡ #

R ß œ ! Í R ßR œ ! Í mR m œ ! Í R œ !#α α α α α α .Å

Res positivo luego autoadjuntoEntonces es no singular inversible .α α αœ ! Í X œ ! Í R œ ! Ê R

& X œ YR Y œ XR XR) Si entonces . Resta probar que es un operador unitario" "

puesto que

YY œ XR XR œ XR R X œ XR R X œÆ‡ " " " " ‡ " " ‡‡

Ê RR

" autoadjuntoautoadjunto

.XR X œ X R X œ X X X X œ XX X X œ M † M œ M# ‡ # ‡ ‡ ‡ " ‡ ‡" " "

ÅR œ X X# ‡

así . Luego es operador unitario.Y œ Y Y‡ "

' X) Así tenemos que : Si es un operador lineal no singular normal sobre unespacio vectorial complejo con producto interno entonces

X œ YRY œ

R œ donde unitario

positivoœsiendo raíz cuadrada positiva de y .R œ X Xß Y œ XR‡ "

37.Sea un cuerpo, un entero positivo y sea el espacio de las matrices J 8 Z 8 ‚ 8

sobre Si es una matriz fija sobre , sea el operador lineal sobre J Þ F 8 ‚ 8 J X ZF

definido por . Consideremos la familia de los operadores linealesX E œ EF FEF

XF obtenido haciendo que recorra el conjunto de las matricesF

diagonales. Demostrar que los operadores de esta familia son simultaneamentediagonalizables.SOLUCIÓN. Sea

/ œ / œ

" ! â !! ! â !ã ã ä ã! ! â !

! â ! â !ã ä ã ä ã! â " â !ã ä ã ä ã! â ! â !

"" 34

Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø


4

3


Ò/ Ó Z œ Q 8 F34 "Ÿ3ß4Ÿ8genera una base para . Supóngase diagonalizable entonces

F œ X Ò/ Ó, â !ã ä ã! â ,

Ô ×Õ Ø

"

8

F 34 3ß4. Vamos a determinar la matriz de en la base .

Basta notar que X / œ / F F/ œF 34 34 34

œ

! â ! â ! ! â ! â !ã ä ã ä ã , â ! , â ! ã ä ã ä ã! â " â ! ã ä ã ã ä ã ! â " â !ã ä ã ä ã ! â , ! â , ã ä ã ä ã! â ! â ! ! â ! â !

Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø


4 4

3 3

" "

8 8

œ œ

! â ! â ! ! â ! â !ã ä ã ä ã ã ä ã ä ã! â , â ! ! â , , â !ã ä ã ä ã! â ! â !

! â ! â !ã ä ã ä ã! â , â !ã ä ã ä ã! â ! â !

Ô × Ô × Ô ×Ö Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø Õ Ø

4 4

3 3

4

34 4 33

ã ä ã ä ã! â ! â !

œ

œ , , /4 3 34

Vamos a probar ahora que si y ,E − Z F œ ß G œ, â ! - â !ã ä ã ã ä ã! â , ! â -


" "

8 8

entonces esto es cualquier dos elementos de la familiaX X E œ X X EF G G F

conmutan y entonces son diagonalizablesE − Z Ê E œ E / E / â E /

3œ" 3œ" 3œ"

8 8 8

"3 "3 #3 #3 83 83

y X X E œ X E X / â E X / œF G F "3 G "3 83 G 83

3œ" 3œ"

8 8Œ œ E X X / â E X X / œ

3œ" 3œ"

8 8

"3 F G "3 83 F G 83

œ E X - - / â E X - - / œ3œ" 3œ"

8 8

"3 F 3 " "3 83 F 3 8 83

œ E - - X / â E - - X / œ3œ" 3œ"

8 8

"3 3 " F "3 83 3 8 F 83

œ E - - , , / â E - - , , / œ X X E3œ" 3œ"

8 8

"3 3 " 3 " "3 83 3 8 3 8 83 G F

38.Sea un cuerpo, un entero positivo y sea el espacio de las matrices J 8 Z 8 ‚ 8

sobre . Mostrar que , siendo cualquierJ +Ñ T ET œ T E T a8 − ß aE − Z T" " 88

matriz no singular de Sea un polinomio conZ ,Ñ 1 B œ + + B + B â + B! " # 8

# 8

coeficientes en entonces , siendo cualquierJ 1 T ET œ T 1 E T aE − Z T" "

matriz no singular de Z Þ

SOLUCIÓN. +Ñ


T E T œ T E † E † E †â † E † T œ T ET † T ET â T ET œ T ET" 8 " " " " " 8

ÅT T œ M"

,Ñ 1 T ET œ + + T ET + T ET â + T ET œ" " " "! " # 8

# 8

œ + + T ET + T E T â + T E T œ T + + E + E â + E! " # 8 " # 8" " # " 8 " # 8

!T

œ T 1 E T Þ"

39.Sea una matriz triangular sobre un cuerpo . Demostrar que losE 8 ‚ 8 J

valores característicos de son los elementos de la diagonal, esto es los escalaresE

de la forma + Þ33

SOLUCIÓN. Primero hallemos el determinante de una matriz triangular .E œ +34

Denotaremos con una permutación cualesquiera del conjunto ,5 3 Ö"ß #ßá ß 8×

entoncesdet E œ =38 3 + + á+

3œ"

8

" " 8 85 5 5# #5

Tenemos si entonces hay dos posibilidades o .5 5 5" Á " " " " "

Si , entonces en esta forma .5 " " + œ ! + + á+ œ !" " " " 8 85 5 5# #5

Si entonces y no aparece como sumando.5 " "ß + Á ! + + á+" " " " 8 85 5 5# #5

Si , entonces o .5 5 5# Á # # # # #

Si por ser triangular entonces .5 # #ß E + œ ! + + á+ œ !# # " " 8 85 5 5# #5

Si , algún estará por debajo de la diagonal y en ese caso5 # # +3 35

+ + á+ œ !" " 8 85 5# #5.

Continuando en esta forma llegamos a la conclusión de que el determinante deuna matriz triangular es el producto de los elementos de la diagonal. Comoconclusión, dado que la matriz es triangular tenemos queE M-

./> E M œ + œ ! E#- -3œ"

8

33 , luego los valores característicos de son los

elementos de la diagonal de .E

40.Sea un espacio vectorial de dimensión y sea un operador lineal sobre .Z 8 X Z

Supongamos que sea diagonalizable. Si posee un vector cíclico, mostrarX +Ñ X

que posee valores característicos distintos. Si posee vectoresX 8 ,Ñ X 8

característicos distintos y si es una base formada de vectoresÖ ß ßá ß ×α α α" # 8

característicos de , mostrar que es un vector cíclico de X œ â XÞα α α" 8

SOLUCIÓN. Siendo diagonalizable entonces su polinomio característico será+Ñ X

dado por y el polinomio mínimo será0 B œ B - â B -" 5. ." 5

: B œ B - â B - - Á - 3 Á 4 X" 5 3 4 donde si . Si tiene un vector cíclico ,αentonces ^ à X œ Z 1<+.9 : B œ 8 œ .37Z : B œ B - â B -α y . Luego " 8

donde si , esto implica que tiene valores propios distintos.- Á - 3 Á 4 X 83 4

,Ñ X 8 0 B œ : B œ B - â B - Como tiene valores propios distintos entonces " 8


Sea entonces de donde se sigue que [ œ 5/< X - M Z œ [ ŠâŠ[ .37[ œ "3 3 " 8 3

o sea esto es se tiene . Sean las[ œ Ò Ó a@ − [ @ œ ß − I À Z [3 3 3 3 3 3 3 3 3α - α - ‘3

proyecciones asociadas a la descomposición entoncesZ œ [ ŠâŠ[" 8

I @ â @ œ @3 " 8 3. Por el teorema de descomposición primaria tenemos que cadaI Xß I œ 2 X 2 B − J ÒBÓÞ3 3 3 3 es un polinomio en esto es, donde Si , entonces , donde , entonces @ − Z @ œ @ â @ @ − [ @ œ â" 8 3 3 " " 8 8- α - α

donde , entonces ,- ‘ - α - α - α - α3 " " 8 8 " " 8 8− @ œ I â I Ê @ œ 2 X â 2 X

entonces .@ œ Ò 2 X â 2 X Ó œ 1 X − ^ à X- - α α α" " 8 8

41. Sea un operador lineal sobre un espacio de dimensión finita y sea laX Z V

imagen de . Demostrar que posee un subespacio suplementario -X + V X

invariante si y solamente si, es disyunto del núcleo de .V R X

, V R R X Si y son disyuntos, demostrar que es el único subespacio -invarianteque es un suplementario de .V

SOLUCIÓN. + X œ Ö!× es invariante bajo si y solamente si . Im Ker M œ V X ∩ V

É Ñ V ∩R œ Ö!× Ê Z œ V ŠR a − R X œ ! − R Ê X R © R y tenemos estoα α

implica que es -invariante.R XÊ Ñ [ § Z Z œ V Š[ • X [ © [Si existe tal que . Entonces.37Z œ .37V .97[ Í .37[ œ .37Z .37 Þ‘

Así como entonces o sea queX[ © [ − [ Ê X − [ Ê X − XZ œ Vα α αÅ

[ © Z

X − [ • X − V Ê X − [ ∩V œ Ö!× [ ŠV œ Z X œ !α α α α ya que , entonces a − [ Ê [ © [ œα Ker KerX œ R X œ R, así concluimos que y como[ ∩V œ Ö!× V ∩R œ Ö!× entonces ., R ∩ V œ Ö!× Ê Z œ R ŠV [ X[ © [ • Z œ [ ŠV Ê R œ [si existe tal que .

42.Sea el operador lineal sobre que es representado en relación con la baseX ‘$

canónica por la matriz . Sea el núcleo de Demostrar que noÔ ×Õ Ø# ! !" # !! ! $

[ X #MÞ [

posee ningún subespacio suplementario invariante.X

SOLUCIÓN. Tenemos Ô ×Ô × Ô ×Õ ØÕ Ø Õ ØX #M Bß Cß D œ œ Ê B œ !ß C œ +ß D œ !! ! ! B !" ! ! C !! ! " D !

!ß "ß ! œ Ker X #M œ [ .Sea , entonces" œ "ß !ß !

Ô ×Ô × Ô ×Õ ØÕ Ø Õ ØX #M œ œ −! ! ! " !" ! ! ! "! ! " ! !

" Ker X #M

entonces .X #M œ ["Mostremos ahora que , en efecto, sea yX[ © [ − [ Ê œ !ß "ß !# # α


,X œ œ œ # − [# ! ! ! ! !" # ! # "! ! $ ! ! !

# αα αÔ ×Ô × Ô × Ô ×Õ ØÕ Ø Õ Ø Õ Ø

esto nos indica que es invariante.[ X Supongamos ahora que y se tiene que .a − [ a0 B − J ÒBÓ 0 X œ 0 Xα " α

Tomando tenemos que0 X œ X #M

0 X œ X #M œ !ß "ß ! œ X #M !ß Bß ! œ œ! ! ! ! !" ! ! B !! ! " ! !

Ô ×Ô × Ô ×Õ ØÕ Ø Õ Ø" " esto

implicaría que uno es igual a cero lo cual es contradictorio, así no existe talα − [que 0 X œ 0 X Þ" α

43.Sea el operador lineal sobre que es representado en relación a la baseX J %

ordenada canónica por la matriz . Sea el núcleo de .Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø- ! ! !" - ! !! " - !! ! " -

[ X -M

+ [ Demostrar que es el subespacio generado por .%%, Determinar los generadores unitarios de los ideales W à[ ß W à[ ß W à[ ß% % %% $ #

W à[%" .

SOLUCIÓN. Ô ×Ô × Ô × Ô ×Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÖ ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÕ ØÕ Ø Õ Ø Õ Ø

+ œ œ Í B œ !ß C œ !ß D œ !ß

! ! ! ! B ! !" ! ! ! C B !! " ! ! D C !! ! " ! A D !

A A œ " cualquiera, en particular podemos tomar así tenemos que[ œ !ß !ß !ß " œ %%, W à A œ Ö0 − J ÒBÓÎ0 X − [× Se sabe que asíα α

3Ñ W à[ œ Ö0 − J ÒBÓÎ0 X − [×Þ 5% %% % Tomemos el polinomio constante en estecaso entonces 5 † − [ ß W à[ œ " † J ÒBÓ œ J ÒBÓ% %% %

33Ñ W à[ œ Ö0 − J ÒBÓÎ0 X − [× 7 B œ B -% %$ $ #. Se afirma que , en efectoÔ ×Ô ×Ö ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÕ ØÕ Ø

X -M œ œ !ß !ß !ß " − [ B -

! ! ! ! !" ! ! ! !! " ! ! "! ! " ! !

en esta forma es el polinomio

de menor grado posible.333ÑW à[ œ Ö0 − J ÒBÓÎ0 X − [× 7 B œ B - œ B #-B -% %# # $

# # # Afirmamos que en efectoàX -M œ#

#%Ô ×Ô × Ô ×Ô ×Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ ÙÖ ÙÖ Ù Ö ÙÖ ÙÕ ØÕ Ø Õ ØÕ Ø

X -M œ X -M !ß !ß "ß ! œ œ

! ! ! ! ! ! ! ! ! !" ! ! ! " " ! ! ! !! " ! ! ! ! " ! ! "! ! " ! ! ! ! " ! !

%%


esto indica que es el polinomio de menor grado pues B - X -M œ Â [Þ## $% %

3@Ñ W à[ œ Ö0 − J ÒBÓÎ0 X − [×% %" " . En forma análoga se afirma que7 B œ B - œ B $-B $- B -%

$ $ # # $ , ahoraÔ ×Ô ×Ö ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÕ ØÕ Ø

X -M œ X -M œ X -M !ß "ß !ß ! œ

! ! ! ! "" ! ! ! !! " ! ! !! ! " ! !

$ # #" %% %

y es el de menor grado posible pues .B - X -M œ Â [$ #" $% %

44. Sea un operador lineal sobre un espacio vectorial sobre un cuerpo . SeaX Z J

0 J Z 0 œ 0 X ßá ß un polinomio sobre y está en , sea . Supongamos que α α α α α" <

sean vectores en tales que . Demostrar queZ Z œ ^ à X ŠâŠ^ à Xα α" <

0 Z œ 0^ à X ŠâŠ 0^ à X œ ^ 0 à X ŠâŠ^ 0 à X α α α α" < " <

( es el conjunto de los en etc.)0Z 0 ß Z ßα α

SOLUCIÓN. + 0 X ^ à X ŠâŠ 0 X ^ à X 0 Á !α α" < es suma directa para . Suponga que @ œ 0 X 1 X â 0 X 1 X œ" " < <α α

œ 0 X 2 X â 0 X 2 X − ^ à X ŠâŠ^ à X "" " < < " <α α α α

pero ahí la suma es directa entonces 0 X 1 X œ 0 X 2 X3 3 3 3α α, @ − ^ 0 X à X ŠâŠ^ 0 X à X Ê @ œ 1 X 0 X â 1 X 0 X Sea porα α α α" < " " < <

lo tanto por se sigue que , esto completa la prueba." @ − ^ à X ŠâŠ^ à Xα α" <

45.Sean y como en el ejercicio . Supongamos que y sean vectores enX Z %% α "

Z X 0 0 con el mismo -anulado. Demostrar que, para todo polinomio , los vectores α

y tienen el mismo -anulador.0 X"

SOLUCIÓN. Sabemos que notemos entonces con:Z œ ^ à X ŠâŠ^ à Xα α" < Q àX œ Ö1 − J ÒBÓÎ 1 X œ !× œ T B † J ÒBÓα α α

Q àX œ Ö1 − J ÒBÓà 1 X œ !× œ T B † J ÒBÓ" " "

: B œ T B œ T B Ê Q àX œ Q àXα " α "

T œ X 0 T œ X 00 0α "anulador de , anulador de . Tenemos queα "

T 0 œ ! Ê T 0 œ ! Ê TlT 0 "0 0 0α α αα α ˆ ‰ˆ ‰T 0 œ ! Ê T 0 œ ! Ê TlT 0 #0 0 0" " "" "

Notemos que:T 0 œ ! Ê T 0 œ 0 ! œ ! Ê T lT0 0 0α α α

α αˆ ‰ˆ ‰T 0 œ ! Ê T 0 œ 0 ! œ ! Ê T lT0 0 0" " "" "

ŒT œ ! Ê T 0 œ ! Ê T 0 œ ! Ê T lT $" " ""

0 0 0 0α α " α

Œ ˆ ‰T œ ! Ê T 0 œ ! Ê T 0 œ ! Ê T lT %α α α#

0 0 0 0" " α "

de y se recibe que puesto que son polinomios mónicos.$ % T œ T0 0α "


46.Sea el operador lineal sobre el cual se representa en relación a la baseX ‘$

canónica por . Determine vectores no nulos queÔ ×Õ Ø

$ % % " $ ## % $

œ E ßá ßα α" <

satisfacen las condiciones del teorema de descomposición racional. (vea de los resultados básicos)&&Þ .SOLUCIÓN. ÒX Ó œ E Ê 0 B œ ./> BM E œ B "µ

$ , también X M X M œ ! Ê : B œ B " #

En la descomposición de el primer vector tiene a como -anulador ( esX ß : Xα α" 3

dado por el teorema de la forma racional); como y como estamos en el1<+.: œ #

espacio de dimensión , entonces existe que genera un subespacio de$ α#

dimensión uno, esto es debe ser un vector característico de y su anuladorα# X X : B " : † : œ 0 B# " #debe ser porque debemos tener

E µ œ œ FG !

! G

! " !" # !! ! "

” • Ô ×Õ ØB"

B"

#

Tenemos α" "œ /

X/ œ œ / Þ$ % % " $ " $ # ! "# % $ ! #

" "

Ô ×Ô × Ô ×Õ ØÕ Ø Õ Øno es múltiplo de

Entonces^ / à X œ / ß X/ œ Ö+/ ,X/ ß +ß , − ×" " " " " ‘

+ß !ß ! $,ß ,ß #, œ + $,ß ,ß #, œ @ ß @ @" #ß $ .Ahora @ œ Z œ 5/< B " X" "

@ ß @ œ Z œ 5/< B #B " X ß# " ##

tomando .@ œ X@$ #

Bß Cß D œ A − Z Í X M Bß Cß D œ !ß !ß !"Ô ×Ô × Ô × Ô ×Õ ØÕ Ø Õ Ø Õ Ø

# % % B #B %C %D ! " # # C B #C #D !# % % D #B %C %D !

œ œ Í #B %C %D œ !B œ #C #DB œ #+ #,

Así @ œ #ß "ß #"

Sea ahora entoncesA − @ ß @ " #

X #X M A œ#Ú ÞÛ ßÜ à

Ô ×Ô × Ô × Ô × Ô ×Õ ØÕ Ø Õ Ø Õ Ø Õ Ø

$ % % $ % % $ % % " ! ! B " $ # " $ # " $ # ! " ! C# % $ # % $ # % $ ! ! " D

# œ

Ú ÞÛ ßÜ à

Ô × Ô × Ô × Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø Õ Ø Õ Ø Õ Ø

& ) ) ' ) ) " ! ! B ! # & % # ' % ! " ! C !% ) ( % ) ' ! ! " D !

œ


Ô ×Ô × Ô × Ô ×Õ ØÕ Ø Õ Ø Õ Ø! "' "' B ! "! ! ! C ! "! ! ! D ! "

œ Í "'C "'D œ ! @ œC œ D

, así #

Ahora . En esta forma tenemos que@ œ X@ œ œ$ % % " $ " $ # " !# % $ " "

$ #

Ô ×Ô × Ô ×Õ ØÕ Ø Õ Ø

α α α" # $œ #ß "ß # ß œ "ß "ß " œ $ß !ß " y son los vectores deseados.

47.Demostrar que si y son matrices sobre un cuerpo , una condiciónE F $ ‚ $ J

necesaria y suficiente para que y sean semejantes sobre , es que posean elE F J

mismo polinomio característico y el mismo polinomio minimal. Dar un ejemploque demuestre que esto es falso para matrices .% ‚ %

SOLUCIÓN. Si entonces y tienen el mismo polinomioT ET œ F E F"

característico pues./> BM F œ ./> BT T T ET œ ./>ÖT BM E T× œ ./> T ./> BM E ./>T" " " "

œ ./> BM E .También si entonces ellas tienen el mismo ideal de anuladores puesT ET œ F"

1 E œ ! Ê 1 F œ 1 T ET œ T 1 E T œ !" " .Supongamos que y son tales que y se tiene:E F T œ T 0 œ 0E EF F

"Ñ T œ T œ 0 œ 0 œ B + B + B + Supóngase inicialmente que entoncesE EF F 9 #$ #

"

E µ G œ G µ F! ! +" ! +! " +

T T

!

"

#

E F=

Ô ×Õ Ø

#Ñ T œ T œ B + B + 0 œ 0 œ B + † TE E EF " ! F# , y se tiene

E µ œ µ FG !! G

G !! G” • ” •T

B+

T

B+

E F

$ÑT œ T œ B + 0 œ 0 œ B +E EF F$ , entonces

E µ œ µ FG ! !! G !! ! G

G ! !! G !! ! G


T

T

T

T

T

T

E

E

E

F

F

F

Veamos el contra ejemplo, tómese las siguientes matrices % ‚ %

E œ F œ T œ T œ B

! ! ! ! ! ! ! !" ! ! ! " ! ! !! ! ! ! ! " ! !! ! ! ! ! ! ! !

Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø

, estas dos matrices tienen yE F#

0 œ 0 œ B E µ F µ E F

! ! ! ! ! ! ! !" ! ! ! " ! ! !! ! ! ! ! ! ! !! ! ! ! ! ! " !

E F% pero , pero no es similar a .



47.Sea un subcuerpo del cuerpo de los números complejos y sea una matriz… E

8 ‚ 8 Þ : E E sobre Sea el polinomio minimal de . Si consideramos como una…

matriz sobre , entonces poseerá un polinomio minimal , cuando es‚ E 0

considerada como una matriz sobre . Usar un teorema sobre ecuaciones8 ‚ 8 ‚

lineales para demostrar que : œ 0Þ

SOLUCIÓN.-Sea entonces . Para cada ,: œ B + B : E œ E + E œ ! 55 4 5 4

4œ! 4œ!

5" 5"

4 4

tenemos un sistema de ecuaciones en las incógnitas . Para8 + ß + ßá ß +#! " 5"

5 œ 1<+.0ß 0 E 0 E œ !ßdonde es el polinomio minimal de sobre , como ‚

tenemos la SOLUCIÓNes digamos . Luego por el teorema de la+ ß + ßá ß + −! " 5" ‚alternativa de Rouche se tiene que las SOLUCIÓNes .+ ß + ßá ß + − Ê : œ 0! " 5" …

48.Sea un operador lineal sobre un espacio vectorial de dimensión finita.X Z

Demostrar que existe un vector en con la siguiente propiedad: Si es unα Z 0

polinomio y entonces ,0 X œ !ß 0 X œ !α (Un tal vector es denominado unα

vector separador para el álgebra de los polinomios en ).X

SOLUCIÓN.-Resulta del teorema de la forma canónica racional que existe un α − Z

tal que el -anulador de es el polinomio mínimo de X : X Z œ ^ à X :α αα αŒ 9" Ÿ 3 Ÿ <

3

es el menor polinomio tal que . Entonces si es tal que : X œ ! 0 − J ÒBÓ 0 X œ !α α α

entonces pues es el polinomio0 œ ; † : œ ; † : Ê 0 X œ 1 X † : X œ 1 X † ! œ ! :α

mínimo de .X

49.Si es una matriz compleja con polinomio característicoE & ‚ &

0 B œ B # B ( : œ B # B ( ß$ # # y polinomio minimal ¿cual es la formacanónica de Jordan de ?.E

SOLUCIÓN. : E œ B # B ( ß :7 E œ B # B ( œ B -- 3$ # # <

3

# 3

entonces donde yE µ E œ

E ! á !! E á !ã ã ä ã! ! á E

N á !ã ä ã! á N


Ô ×Õ Ø

"

#

5

3

- ß<

- ß<

3 3"

3 3=3

N œ

- ! á !" - á !! " á !ã ã ä ã! ! á -

- ß<

3

3

3

3 34


,

se tiene entonces:+ E . ‚ . . œ - es una matriz , donde multiplicidad de como raíz de3 3 3 3 3

: œ .37- Ker E - M3<3


, N œ < œ - Orden de multiplicidad de como raíz del polinomio minimal- ß< 3 33 3 "

- El número de matrices elementales de Jordan que cumplen a la matrizE œ .373 Ker X - M3En ese caso, tenemos por lo tanto- œ #ß - œ (ß . œ $ß . œ #ß < œ #ß < œ "" # " # " #

E µ E $ ‚ $ . œ $ ß E # ‚ # . œ #E !! E” •"

#" " # # donde es una matriz es una matriz

dadas por , , finalmente se recibeE œ E œN !! N ! N

N !" #

##

#" (ß"

(ß"” • ” •

E µ

# ! ! ! !" # ! ! !! ! # ! !! ! ! ( !! ! ! ! (


50.Clasificar a menos de semejanzas, todas las matrices complejas talesß $ ‚ $ E

que E œ MÞ$

SOLUCIÓN. E œ M Í E M œ ! : E B "$ $ $7de donde es divisor de y tenemos la

descomposición siguiente: =B " B " B B $ "3 $ "3 $

# #Š ‹Š ‹È ÈLas posibilidades son:" Þ: E œ B " : E œ B " - œ - œ 7 - " #

$ "3 $ "3 $# #, con y È È

es en este caso la forma canónica de JordanE µ" ! !! " !! ! "

Ô ×Õ Ø

Ô ×Õ Ø# Þ: E œ B - Ê E µ- ! !! - !! ! -

7 "

"

"

"Ô ×Õ Ø$ Þ: E œ B - Ê- ! !! - !! ! -

7 #

#

#

#

% Þ : E œ B " B - Ê 0 œ B " B -7 " - "#

o también E µ ß E œ" ! ! " ! !! " ! ! - !! ! - ! ! -


" "

"

& Þ ' Þ : E œ B " B - Ê 0 œ B " B - 0 œ B " B -7 # - # - ## # ,o,

,o, E µ E œ" ! ! " ! !! " ! ! - !! ! - ! ! -


# #

#

( Þ ) Þ: E œ B - B - 0 œ B - B - 0 œ B - B -7 " # - " # - " ## # ,o,


,o, E µ E µ- ! ! - ! !! - ! ! - !! ! - ! ! -


" "

# "

# #

* Þ: E œ B " B - B - œ 07 " # -

.E µ" ! !! - !! ! -

Ô ×Õ Ø"

#

51.Clasificar a menos de semejanzas, todas las matrices complejas talesß 8 ‚ 8 E

que E œ MÞ8

SOLUCIÓN. E œ M Ê E M œ ! : E B " : E8 8 87 7, entonces es divisor de entonces

es divisor de donde son las raíces -ésimas de laB - B - á B - - ßá ß - 8" # 8 " 8

unidad y luego es siempre diagonalizable . Las posibilidades para - Á - E : B3 4

son

Caso "Þ : B œ

B -B -ãB -

ÚÝÝÛÝÝÜ"

#

8

tenemos entonces posibilidades, para de grado y a cada unaG : B "8"

/<

corresponde un solo pues tiene los mismos factores irreducibles que 0 B ß 0 B : Bde esta forma tiene solamente clases de singularidades en el caso.G "8

"/<

Caso 2. por consiguiente en este caso tenemos: B œ B - B - 3 Á 4 G3 48#

posibilidades de elección del polinomio y para cada uno de ellas sera del: B 0 B

tipo donde y son todos los posibles enteros positivos tales queB - B - + ,3 4+ ,

+ , œ 8 = 8ß # = 8ß #. Llamando el número de enteros tenemos clases desimilaridad para ; haciendo variar ordenadamente obtenemosB - B - 3ß 43 4

G † W 8ß #8# clases de similaridad en el segundo caso.

Caso . , por lo tanto en este caso tenemos$ : B œ B - B - B - 3 Á 4 Á 5 Á 33 4 5

G : B8$

posibles polinomios minimales y para cada uno de ellos0 B œ B - B - B - +ß ,ß -3 4 5

+ , - donde son todos posibles enteros positivostales que . Llamando el número de esos enteros y haciendo+ , - œ 8 = 8ß $3ß 4ß 5 G † = 8ß $ variar. obtenemos clases de similaridad en el tercer caso.8

$

8 G = 8ß 8é=379 88caso. serán las clases de similaridad en este caso. El final será dada

por las clases de similaridad.5œ"

885G = 8ß 5

52. Sea un entero positivo, y sea una matriz sobre un cuerpo 8 8 # R 8 ‚ 8 J

tal que pero . Demostrar que no posee ninguna raíz cuadrada,R œ ! R Á ! R8 8"

esto es, que no existe ninguna matriz tal que .8 ‚ 8 E E œ R#

SOLUCIÓN. y ya vimos que en esta situación tiene un vectorR œ ! R Á !ß R8 8"

cíclico esto es el conjunto genera a . Pero si tiene una raízÖ ßR ßá ßR × Z Rα α α8"


cuadrada debemos tener , entonces es nilpotente,E œ R Ê E œ R œ ! E# #8 8

entonces .E œ !8

+ 8 # 8 œ #5 # Ÿ 8 "Si es par, tenemos que y y entonces tenemos8#

! œ E œ E œ R Ÿ 8 " Ê R8 # 8#

8#

8# donde no es nilpotente, llegando a una

contradicción., # Ê 8 $ 8 " Ÿ 8 " Si es impar , entonces es par, luego . Tenemos8"

#

! œ E œ E œ R Ÿ 8 " R œ ! ß8" # 8"8"#

8" 8"# # , de donde Luego también es

contradictorio.

53.Aplicar el proceso de Gram-Schmidt a los vectores " "" #œ "ß !ß " ß œ "ß !ß " ß

" ‘$$œ !ß $ß % , para obtener una base ortonormal de con el producto interno

canónico.SOLUCIÓN. luego α " α α" " " "

# #œ œ "ß !ß " Ê m m œ " " œ #ß m m œ #

α " α# # " ß m m #

"ß!ß" ß "ß!ß" œ † œ "ß !ß " † "ß !ß " œ "ß !ß "" αα# "

"#

α " α$ $ " ß

m m m m ß œ œ" α

α α" α$ "

" ## #

$ #

œ !ß $ß % "ß !ß " "ß !ß " œ !ß$ß% ß "ß!ß" !ß$ß% ß "ß!ß" # #

œ !ß $ß % "ß !ß " "ß !ß " œ !ß $ß % #ß !ß # #ß !ß # œ !ß $ß !% %# #

La base deseada será entoncesÖ ß ß × œ Ö ß !ß ß ß !ß ß !ß "ß ! ×Þα α

α α αα" #

" #m m m m m $m$ " " " "

# # # #Š ‹ Š ‹È È È È

54.Sea el subespacio de generado por el vector . Usando el producto[ $ß %‘#

interno canónico para . Sea la proyección otogonal de sobre determinar:‘ ‘# #I [ ß

+ I B ß B Una fórmula para ." #

, I La matriz en relación a la base canónica- [ ¼

. I Una base ortonormal en relación a la cual sea representado por la matriz

” •" !! !

SOLUCIÓN. + [ œ Ò $ß % Óß I œ œ [ Š[ ß [ œ Ò %ß $ Ó‘# ¼ ¼

Sea B − Ê B œ B "ß ! B !ß " œ $ß % %ß $ Í B ß B œ $ % ß % $‘ α " α " α "#" # " #

Ê Ê Ê $ œ B B$ % œ B% $ œ B

% œ B

% $ œ Bœ œα "

α "α "

α "" ""

#

"' %$ $ "

#

"' %$ $# "

Ê œ Í œ#&$ $ #&

$B %B $B %B" "# " # " .Por otra parte

$ % œ B Ê $ œ B œ Í œα α α$B %B#& #& #& #&" "

"#B "'B "#B *B %B $B# " # " " "# #

AsíB œ B / B / œ Þ" " # # " #

$B %B $B %B#& #&" # # "α α

Por lo tanto


I B ß B œ" # "$B %B

#&" #α

, I "ß ! œ œ œ $ß % œ / / $! $ $ * "##& #& #& #& #&" " " #α α

.I !ß " œ œ / /% "# "'#& #& "&" " #α

En esta forma obtenemos la matriz

ÒIÓ œÖ/ ß/ ×

* "##& #&"# "'#& #&

" # – —- [ œ Ò %ß $ Ó¼ ˆ ‰. œ $ß % ß œ œ ß α %" " m m #& #&

$ %αα"

"

α %# # m m #& #&% $œ %ß $ ß œ œ ßˆ ‰ α

α#

#

I œ I ! œ œ !ˆ ‰% α α α % %" " # " " #" "#& #&

I œ I ! œ ! !ˆ ‰% α α % %# " # " #"#& .

En esta forma recibimosÒIÓ œ Þ

" !! !Ö ß ×% %" # ” •

55.Sea un espacio con producto interno, el subespacio generado por unZ [

vector no nulo y una proyección ortogonal de sobre . Si es un vector enα "I Z [

Z , mostrar quem I m Ÿ m m" " " #- -

para todo en# .[

SOLUCIÓN. Lo que se quiere significa que la altura de un triángulo es siempremenor o igual que uno de los lados

I œ ß œ" α # - ß m m m m" αα α

α# #

mI m œ œ ßI œ I ß " " " " "# l ß lm m" αα

#

#

Por lo tantom I m œ I ß I œ" " " " " "- - -#

œ m m ßI I ß I ßI œ m m œ m m mI m" " " " " " " " " "# # # #l ß lm m" αα

#

# .Por otro ladom m œ ß œ m m m m ß ß œ" # " - " - " # α " " α- # # #

m m m m m m m mα α - -α α α α# # # #

œ m m m m ß ß œ m m m m #" # α " α " " ## # # #m m m m- -α α# # d/ ß -

αm m# α "

Entoncesm m m I m œ m m mI m #" # " " # "# # # # d/ ß œ I ß I œ

‡-αm m# α " # " # "

m I m !# " #

‡ ß ß œ I ß I œ m m mI m # " # " # "# #m m-α # α " " α-

αm m#

œ m m mI m ß ß œ m m mI m #d/ ß # " α " α " # " α "# # # #m m m m m m- - -α α α# # # .


56.Sea un espacio de dimensión finita con producto interno y sea Z Ö ßá ß ×α α" 8

una base ortonormal de Mostrar que para cualesquier pareja de vectores , enZ Þ α "

Z ß œ ß ß, .α " α α " α5œ"

8

5 5

SOLUCIÓN. Sean α α " αœ B ß œ C3œ" 3œ"

8 8

3 3 3 3

Œα α α α α α α αß œ B ß œ B ß œ B ß œ B4 3 3 4 3 3 4 4 4 4 43œ" 3œ"

8 8

Œα α α α α α α α4 4 3 3 3 4 3 4 4 4 43œ" 3œ"

8 8

ß œ ß B œ B ß œ B ß œ B

Análogamente" α α "ß œ C ß ß œ C4 4 4 4 ,

en esta forma

Œα " α α α α α " α α " αß œ B ß C œ B C œ ß ß œ ß ß3œ" 3œ" 3œ" 3œ" 3œ"

8 8 8 8 8

3 3 4 4 3 3 3 3 34 .

57.Sea un subespacio de dimensión finita de un espacio con producto interno[ Z

y sea una proyección ortogonal de sobre . Demostrar que I Z [ I ß œ ßIα " α "

para todos los vectores , en .α " Z

SOLUCIÓN. Sea una base ortogonal de . EntoncesÖ ßá ß × [α α" 7

, I œ I œα "α α " αα α

3œ" 3œ"

7 7 ß ß m m m m 3

3 3

3 3# #3α α

ŒI ß œ ß œ ß α " α " α "3œ" 3œ"

7 7 ß ß m m m m 3α α α αα α

3 3

3 3# #3

Œα " α α α α α αß I œ ß œ ß œ ß 3œ" 3œ" 3œ"

7 7 7 ß ß ß m m m m m m3 3 3" α " α α "α α α

3 3 3

3 3 3# # #

œ ß 3œ"

7 ß m m 3" αα

3

3# α α

De donde se tiene que I ß œ ßIα " α " .

58.Sea un subespacio de un espacio con producto interno. Mostrar que W Z ÐW Ñ¼ ¼

contiene un subespacio generado de . Para de dimensión finita mostrar queZ Z

W W¼ ¼ es el subespacio generado por . SOLUCIÓN. α α α α α− ÒWÓ Í œ ? ? â ?" " # # 7 7

? −W "Ÿa3Ÿ7− "Ÿ3Ÿ7Š ‹ˆ ‰3

3α …

W œ Ö@ − Z à @ß @ œ ! a? − W×ß ÐW Ñ œ ÖA − Z à Aß @ œ ! a − W ×¼ ¼ ¼ ¼ , ,Notemos que si

α αœ ? ? − Wß @ − W3œ"

7

3 3 3¼, ,

entonces


Œα α αß @ œ ? ß @ œ ? ß @ œ ! ? ß @ œ ! a3ß3œ" 3œ"

7 7

3 3 3 3 3, pues ,

entoncesα α α α− W ß @ œ ! • @ − Z ß − W Ê − W¼ ¼ ( ),

pero tambiénα αß @ œ ! @ − W • − Zy ,¼

entoncesα − ÐW Ñ¼ ¼,

luegoÒWÓ © ÐW Ñ¼ ¼

, ÐW Ñ œ ÒWÓ ÒWÓ œ W¼ ¼ ¼ ¼ Notemos que valen las relaciones

,Z œ ÒWÓ Š ÒWÓ œ W Š ÐW Ñ¼ ¼ ¼ ¼

entonces.37ÐW Ñ œ .37ÒWÓ¼ ¼

y comoÒWÓ © ÐW Ñ Ê ÒWÓ œ ÐW Ñ¼ ¼ ¼ ¼.

59.Sea un espacio de dimensión finita con producto interno y seaZ

µ α αœ Ö ßá ß × Z X Z E" 8 una base ortogonal de . Sea un operador lineal sobre y lamatriz de en relación a la base ordenada . Demostrar que X E œ X ßµ α α34 4 3 .SOLUCIÓN. Z œ Ò ßá ß Ó Ä Z ÒX Ó œ E œ Eα α" 8 34

X el operador y , entoncesµ

ÒX Ó œ X/ œ E X/ œ E âßX/ œ E

E E â EE E â Eã ã ä ã

E E â E

µ


"" "# "8

#" ## #8

8" 8# 88

" 3" 3ß # 3# 3ß 8 38 3ß3œ" 3œ" 3œ"

8 8 8

donde α α α

se sigue entonces que

ŒX ß œ E œ E œ E Þα α α α α α4 3 54 5ß 3 54 5ß 3 345œ" 5œ"

8 8

60.Supongamos que y que y sean productos internos sobre Z œ [ Š[ 0 0 [" # " # "

y respectivamente. Mostrar que existe un único producto interno sobre tal[ 0 Z#

que3 [ œ [ à #

¼"

33 0 ß œ 0 ß [ ß 5 œ "ß #Þα " α " α "5 5, cuando , estan en SOLUCIÓN. α α α α− Z œ [ Š[ Ê œ " # " #

" " " "− Z œ [ Š[ Ê œ " # " #

0 ß œ 0 ß œ 0 ß 0 ßα " α α " " α " α "" # " # " " " # # #

3 − [ − [ Tomemos y α α" " # #

0 ß œ 0 !ß ! œ 0 ß ! 0 !ß œ !Å

α α α α α α" # " # " " # #

0 ß 0 =98 :<9.?->9= 38>/<89=" #


y entonces [ © [#¼"

33 ß − [ 0 ß œ 0 !ß ! œ 0 ß 0 !ß ! œ 0 ß Þα " α " α " α " α "" " # " tenemos

61.Sea un espacio con producto interno y un subespacio de de dimensiónZ [ Z

finita. Existen, en general, muchas proyecciones que tienen a por imagen. Una[

de estas, la proyección ortogonal sobre , tiene la propiedad de que [ mI m Ÿ m mα α

para todo en . Demostrar que si es una proyección con imagen , tal queα Z I [

mI m Ÿ m m Z I [α α α para todo en , entonces es una proyección ortogonal sobre .

SOLUCIÓN. Sea la base ortogonal de y entonces .Ö ßá ß × [ I œα α α α" 7 33œ"

8 ß m mα αα

3

3#

Por la desigualdad de Bessel, tenemos 3œ"

8l ß l

m m#α α

α3

#

3# Ÿ m mα

mI m œ I ßI œ ß œ ß œα α α α α α α#

5œ" 5œ" 5œ" 5œ"

8 8 8 8 ß ß ß ß m m m m m m m m5 5 5 5α α α α α α α αα α α α

5 5 5 5

5 5 5 5# # # #

œ ß œ ß œ5œ" 5œ" 5œ"

8 8 8 8 ß ß ß m m m m m m m m m m

4œ"

ß 5 4 5 5

l ß lα α α α α αα α α α α

α α α α5 5 5

5 4 5 5 5# # # # #

4 5#

α α α α

Entonces se recibemI m Ÿ m m Ê mI m Ÿ m mα α α α# #

AhoraI Z œ I [ Š[ œ [¼ .

Si es una proyección con y , entonces I À Z [ I œ I I † Z œ [ mI m Ÿ m m I# α αes la proyección ortogonal en .[

62.Sea el espacio real con producto interno que consiste del espacio deZ

funciones continuas, definidas en el intervalo , tomando valores reales, " Ÿ > Ÿ "

con el producto interno '0ß 1 œ 0 > 1 > .>"" .

Sea el subespacio de las funciones impares, esto es, funciones que satisfacen[

0 > œ 0 > [. Determinar el suplemento ortogonal de .SOLUCIÓN. Se tiene que

Z œ Ö0 À Ò "ß "Ó Î0 ×‘ ,es continuay

[ œ Ö0 − Z à 0 > œ 0 > ×.Nótese que si es impar tenemos:0' ' ' '" " " "" " " "0 > .> œ 0 > .> œ 0 > .> œ 0 > . > œ' ' ' ' ' '

" ! " ! " "! " ! " " "0 > . > 0 > . > œ 0 > .> 0 > .> œ 0 > .> œ 0 > .>

Å> œ >

De donde se deduce que '""0 > .> œ !

Afirmamos que , en efecto si es impar y es par[ œ Ö1 − Z à 1 > œ 1 > × 1 0¼

tenemos luego es impar entonces tenemos0 > 1 > 0 > 1 > 10† œ


' ðñò0ß 1 œ 0 > 1 > .> œ !""

impar

.

63.Sea el espacio con el producto interno canónico. Sea un operadorZ ß X‚#

definido por . Si , determinar X œ "ß # ß X œ 3ß " œ B ß B X Þ% %" #α α" #

‡

SOLUCIÓN. Aquí ‚ ‚ ‘#" # " # " # " #œ Ö +ß , Î+ß , − × œ Ö + 3+ ß , 3, Î+ ß + ß , ß , − ×

X œ X œ "ß ! !ß # œ "ß ! # !ß "%" "ß! î îœ œ% %" #

X œ X œ 3 "ß ! " !ß " œ 3 "%# !ß" " #% %

En esta forma la matriz asociada será dada por

ÒX Ó œ ÒX Ó œ œ œ" 3 " 3 " 3 " # # " # " # " 3 "µ µ” • ” • ” • ” • ‡

¼ ¼

X B ß B œ œ B #B ß 3B B" # B 3 " B

‡" # " # " #

"

#” • ” •

X ß œ ß C ß C œ B 3B ß #B B ß C ß C œ" 3 B # " B

α " ” •” •"

#" # " # " # " #

œ B 3B C #B B C "" # " #" #

ß X œ B ß B ß œ B ß B ß C #C ß 3C C œ" # C 3 " C

α "‡ " # " # " " #"

#” •” • #

œ B C #C B 3C C œ B C #B C B 3C B C œ" " # # " # " " # #" # " #

œ B 3B C #B B C #" # " #" #

De y se sigue que " # X ß œ ß X α " α "‡

64.Sea un operador lineal sobre definido por , X X œ " 3ß # X œ 3ß 3 Þ‚ % %#" #

Usando el producto interno canónico, determinar la matriz de en relación a laX‡

base canónica. ¿ conmuta con ?X X‡

SOLUCIÓN. X "ß ! œ " 3 "ß ! # !ß " ß X !ß " œ 3 "ß ! 3 !ß "

entonces tenemos que

ÒX Ó œ ÒX Ó œ œ œ" 3 3 " 3 3 " 3 3 " 3 ## 3 # 3 # 3 3 3µ µ” • ” • ” • ” • y ‡

¼¼

X ß œ X B ß B ß C ß C œ ß C ß C œ" 3 3 B# 3 B

α " ” •” •" # " # " #"

#

" 3 B 3B ß #B 3B ß C ß C œ " 3 B 3B C #B 3B C" # " # " # " # " #" #

ß X œ B ß B ß œ" 3 # C 3 3 C

α "‡ " #"

#” •” •

œ B ß B ß " 3 C #C ß 3C 3C œ B " 3 C #C B 3C 3C œ" # " # " # " " # # " #

œ B " 3 C #C B B C 3 B C 3 œ " 3 B 3B C #B 3B C" " # # " # " #" # " # " #.Ahora veamos la conmutatividad entre X C X ‡

XX œ œ œ" 3 3 " 3 # " 3 3 # #3 3 $ $ #3# 3 3 3 $ #3 &# #3 3 % 3

‡# # #

# #” • ” • ” • ” •


X X œ œ œ" 3 # " 3 3 " 3 % 3 3 #3 ' $3 " 3 3 # 3 " $3 # 3 3 #3 3 3

‡# #

# # #” •” • ” • ” •Luego X X Á XX‡ ‡

65.Supongamos que sea con el producto interno canónico. Sea unZ X‚$

operador lineal sobre cuya matriz en relación a la base ordenada canónica esZ

definida por . Determinar una base del núcleo de E œ 3 ß 3 œ " X4545 # ‡.

SOLUCIÓN. ÒX Ó œ œ œE E E " 3 "E E E 3 " 3E E E " 3 "

3 3 3

3 3 3

3 3 3µ

Ô × Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø Õ Ø

"" "# "$

#" ## #$

$" $# $$

# $ %

$ % &

% & '

ÒX Ó œ œ œ" 3 " " 3 " " 3 " 3 " 3 3 " 3 3 " 3" 3 " " 3 " " 3 "

‡

¼ ¼

µ


Así tenemos que

X B ß B ß B œ † œ " 3 " B !3 " 3 B !" 3 " B !

‡" # $

"

#

$


de donde el sistema B 3B B œ !" # $

3B B B œ ! Ê B œ B B" # $ # " $"3

B 3B B œ !" # $

tomando " B œ 3ß B œ !ß Ê B œ 3 œ "" $ #"3

.# B œ !ß B œ 3 Ê B œ 3 œ "" $ #w w w "

3

LuegoKerX œ 3ß "ß ! ß !ß "ß 3 ‡ .

66.Sea un espacio de dimensión finita con producto interno y un operadorZ X

lineal sobre . Si es inversible, mostrar que es inversible y Z X X X œ X‡ ‡ "" ‡Þ

SOLUCIÓN. Por hipótesis existe tal que entoncesX XX œ X X œ M" " "

œ XX œ X X œ M œ M

X X œ X X œ M œ MÊ X X œ X X œ M

" " ‡‡ ‡

" ‡ " ‡‡ ‡‡ " " ‡‡ ‡

Luego es inversible y su inverso es tal que .X X œ X‡ " ‡‡ "

67. Sea un espacio de dimensión finita y , vectores fijos en . Mostrar queZ Z" #

X œ ß Z Xα α " # define un operador lineal sobre . Mostrar que posee un adjunto ydescribir explícitamente. Supongamos ahora que sea con el productoX Z‡ 8‚

interno canónico, y . ¿Cual es el elemento de la" #œ C ßá ß C œ B ßá ß B 4ß 5" 8 " 8

matriz de en relación a la base ordenada canónica?X


SOLUCIÓN. Por hipótesis sea

X À Z ZÈ X œ ßα α α " #

3 œ Ê ß œ ß ß en efectoα α α " α "" "

α α α α " " α " α " α " α " œ ! • ß œ !ß œ ! Í ß ß œ ! Í ß œ ß" " " "

Ahoraα " α " α " α " # # α " # α " #ß ß œ ! Ê ß ß œ ! a Í ß ß œ !" " ", ,

entonces α " # α " # α αß œ ß Í X œ X" "

33 X es linealX - œ - ß œ - ß ß œ - ß ß œα α α α " # α " α " # α " α " #" " " "

œ - ß ß œ - ß ß œ -X Xα " # α " # α " # α " # α α" " " .Luego es un operador lineal.XComo no se sabe si es finita, no podemos aplicar el resultado . Debemos.37Z (*

entonces hallar tal queX‡

X ß œ ß X ß − Zα α α α α α" # " # " #‡ para todo

X ß œ ß ß œ ß ß œ ß ß œ ß ß α α α " # α α " # α # α α " α # α "" " " # " # # " " #

œ ß ß α α # "" #

Entonces basta definir y tenemosX œ ß‡α α # "

œ X ß œ ß ß ß X œ ß ß

Ê X ß œ ß X α α α " # α

α α # α α "α α α α" # " #

" # # "‡ " # " #

‡ .

333 Z œ X œ ß ÒX Ó œ E‚ α α " #834 por hipótesis , sea entonces . Para laµ

determinación de los sabemos queE34

E œ X/ ß / œ / ß ß / œ / ß ß / œ / ß C / B / ß / œ34 4 3 4 3 4 3 4 5 5 5 5 35œ" 5œ"

8 8Œ" # " #

5œ" 5œ"

8 8

5 4 44 5 5 5 3 3 3C / ß / B / ß / œ C B œ B C ÞÅ

/ ß / œ / ß / œ œ"ß =3 5 œ 3!ß =3 5 Á 35 3 5 3 53 œ$

68.Mostrar que el producto de dos operadores auto-adjuntos es auto-adjunto, si ysolamente si los dos operadores conmutan.SOLUCIÓN. 3 R œ R X œ X RX œ XR Hipótesis general y , así, si suponemos ‡ ‡

tenemosRX œ XR œ R X œ RX ß‡ ‡ ‡ ‡

de donde es auto-adjuntoRX33 RX œ RX Ahora la hipótesis es ‡

XR œ X R œ RX œ RXß Ê ß X R‡ ‡ ‡ y conmutan.

69.Sea el espacio vectorial de los operadores sobre de grado menor o igual aZ ‘

$ 0ß 1 œ 0 > 1 > .> >, con el producto interno . Si es un número real, determinar el'!"

polinomio en tal que 1 Z 0ß 1 œ 0 > Þ> >


SOLUCIÓN. Definamos . es una función lineal y , usando J À Z J .37Z œ %0 È J > œ 0 >

‘

el resultado básico existe un único tal que , es obtenido de() 1 − Z J 0 œ 0ß 1 1> > >

la siguiente manera. Tómese una base ortonormal de y calculandoÖ0 ß 0 ß 0 ß 0 × Z" # $ %

se tiene

1 œ J 0 0 œ 0 > 0 œ 0 > 0> 4 4 4 4 4 44œ" 4œ" 4œ"

% % %

y por el resultado tenemos .() 0 > œ J > œ 0ß 1>

70.Sea el espacio con producto interno y un operador lineal sobre . MostrarX Z

que la imagen de es el suplemento ortogonal del núcleo de X X‡ .SOLUCIÓN. Debemos mostrar que dondeX Z œ‡ ¼KerX

X Z œ ÖX @à @ − Z ×‡ ‡

yKer KerX X¼ œ Ö? − Z à ?ß @ œ ! a@ − ×,

y œ Ö? − Z à ?ß @ œ ! X@ œ !×

Notemos primeramente que , en efecto yX Z § œ X − X Z‡ ‡ ‡¼KerX α "# α # " # # " # "− X œ ß X œ X ß œ !KerX tenemos , = ,‡ ‡

Å− 5/<X#

por lo tanto α − • X Z §Ker KerX X¼ ¼‡

Para demostrar el recíproco sea entonces , tenemos que# " α− X Z a œ X − X Z‡ ‡ ‡¼

X œ ! Í X ß œ ! a − Z Ê X œ !# α # α α #, , ‡

entonces# − Ker Ker KerX • X Z § X Í X Z § X Þ‡ ‡¼ ¼

71.Sea el espacio de las matrices sobre el cuerpo de los númerosZ 8 ‚ 8

complejos, con el producto interno Sea una matriz invertible EßF œ >< EF Þ T‡

fija y sea el operador lineal sobre definido por Determinar elX Z X E œ T ET ÞT T"

adjunto de X ÞT

SOLUCIÓN. Haciendo las evaluaciones, recibimos X EßF œ T ET ßF œ >< T ETF œ >< T E TF œ >< TF T ET

" " ‡ " ‡ ‡ "Å

>< EF œ >< FE

œ >< T FT E œ >< E T FT œ Eß T FT œ Eß X F ˆ ‰ ˆ ‰ˆ ‰ ˆ ‰" ‡ " ‡ " ‡‡ ‡ ‡‡ ‡T ‡

Luego .X œ XT‡

T‡

72.Sea un espacio complejo de dimensión finita con producto interno y sea unZ X

operador lineal sobre . Demostrar que es auto-adjunto si y sólo si esZ X X ßα α

real para todo en α Z .SOLUCIÓN. + X œ X Supongamos que , tenemos‡


X ß œ ß X œ ß X œ X ß a − Zα α α α α α α α α‡ , entonces , (recuérdese que si X − D œ D • D − Ê D − Ñα α ‘ ‚ ‘

, X − ß a − Z ß − Z Si , entonces dados , tenemosα α ‘ α α " X ß œ X ß X ß X ß X ß −α " α " α α " " α " " α ‘

entonces X ß X ß −α " " α ‘

Ahora X 3 ß 3 −α " α " ‘

Åß − Z Ê 3 − Zα " α "

,

pero X 3 ß 3 X ß 33 X ß 3 X ß 3 X ß œα " α " α α " " " α α "=œ X ß X ß 3 X ß 3 X ß −α α " " " α α " ‘entonces

3 X ß 3 X ß −" α α " ‘En virtud de esto tenemos X ß X ß œ X ß X ß œ ß X ß X Mα " " α α " " α " α α " 3 X ß 3 X ß œ 3 X ß 3 X ß œ 3 ß X 3 ß X MM" α α " " α α " α " " αHaciendo ahora tenemos3 ‚ MM M

X ß X ß X ß X ß œ" α α " α " " αœ ß X ß X ß X ß X α " " α " α α "

entonces# X ß œ # ß X Ê X ß œ ß X α " α " α " α " ,

así tenemos queX œ X a − Z Ê X œ X‡" " ", *.

73.Determinar una matriz unitaria que no sea ortogonal y recíprocamentedeterminar una matriz ortogonal que no sea unitaria.

SOLUCIÓN. ” •+ E œ ß Á 5 =/8# Á !" !

! /Consideremos la matriz donde 3) ) 1 )

Tomemos entoncesE œ" !

! /‡

3” •)E E œ œ œ œ M

" ! " ! " !

! / ! / ! /

" !! "

‡3 3 3 3” •” • ” • ” •) ) ) )

Luego es una matriz unitaria, ahoraE

E œ" !

! />

3” •) y tenemos que

E E œ œ" ! " ! " !

! / ! / ! />

3 3 #3” •” • ” •) ) )

luego eso indica que no es ortogonal.E E Á M E>

, + œ 3ß , œ " 3 + , œ " #3 #3 œ " Sean , entonces É È

È ÈÉ È

" &

#

#

" &

# #


Consideremos la matriz y tenemosE œ+ , , +” •

E E œ œ œ œ M+ , + , + , +, ,+ " !, + , + ! "+, ,+ , +

># #

# #” •” • ” • ” •Luego es ortogonal, ahoraE

E E œ œ œ+ , + , ++ ,, +, ,+

, + ,+ +, + , , +‡

# #” •” • ” • œ Á M

" 3 " 3 " 3 3

+619 "

Ô ×Ö ÙÕ Ø

É ÉÈ ÈÈ ÈÈ È

É ÉÈ È" & " &

# #

# #

" & " &

Así no es unitaria.E

74.Sea matrices complejas con producto interno dado porZ œ Ö 8 ‚ 8×

EßF œ >< EF Q − Z ß X‡Q. Para cada sea el operador lineal definido por

X E œ QE X QQ Q. Mostrar que es unitaria si y sólo si es una matriz unitaria.SOLUCIÓN. Ê X Eß X F œ EßF œ >< EF aEßF − Z ") , Q Q

‡

X Eß X F œ QEßQF œ >< QE QF œ >< QE † F QQ Q‡ ‡ ‡

así es unitaria.œ >< Q Q † EF œ >< EF Ê Q Q œ M Q‡ ‡ ‡ ‡"

É Q Q Q œ M) Supongamos que es unitaria, es decir , entonces‡

EßF œ >< EF œ >< M † EF œ >< Q Q † EF œ >< EF † Q Q œ >< QEF Q‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

œ >< QE † QF œ QEßQF œ X Eß X F Ê X‡Q Q QÅ

Hipótesis

es unitario.

75.Sea el espacio con el producto interno canónico. Si es un operadorZ Y‘#

unitario sobre , mostrar que la matriz de en relación a la base ordenadaZ Y

canónica es

” • ” •-9= =/8 -9= =/8=/8 -9= =/8 -9=

) ) ) )) ) ) )

,o,

para algún , . Sea el operador lineal correspondiente a la primera) ) 1! Ÿ # Y)

matriz, esto es, es una rotación de un ángulo . Ahora es posible convencerseY) )

de que todo operador unitario sobre es una rotación o una reflección al eje Z ""

seguida de una rotación.+Ñ Y Y ¿Qué es ?) 9

,Ñ Y œ Y Mostrar que ) )‡

-Ñ œ Ö ß × Sea un número real fijo e la base ortonormal obtenida girando9 µ α α" #

Ö ß × œ Y% % 9 α % )" # 4 4un ángulo , esto es, . Si es otro número real, ¿cuál es la matriz9

de en relación a la base ordenada ?Y)

µ


SOLUCIÓN. Z œ Y À Z Z Y Y œ M Z Y‘# ‡, unitario . Como es real, va a serortogonal, esto es tenemos que hallar tal que ,o tal que .Y Y Y œ M E E E œ M> >

Tomemos , o donde . Entonces existe ,E œ E œ + , œ "+ , + ,, + , +” • ” • # # )

! Ÿ Ÿ # + œ -9= , œ =/8 ß) 1 ) ) tal que , luego

” • ” •-9= =/8 -9= =/8=/8 -9= =/8 -9=

) ) ) )) ) ) )

,o,

Y / œ † œ -9= ß =/8-9= =/8 "=/8 -9= !) ” • ” •"

) )) )

) )

Y / œ † œ -9= ß =/8-9= =/8 !=/8 -9= ") ” • ” •# ) )

) )) )

donde da una rotación de un ángulo con los ejesY) )

-Y / œ † œ -9= ß =/8-9= =/8 "=/8 -9= ! ") ” • ” •) )

) )) )

Y / œ =/8 ß -9= #) ) )

Luego es la reflección en relación a y laY /" !! " ") ” •

rotación de donde” •-9= =/8=/8 -9=

œ Y) )) ) )

Y œ œ Y ‰ Y-9= =/8 " !=/8 -9= ! " ) ) )” •” •) )

) )

+ÑY Y œ œ-9= =/8 -9= =/8=/8 -9= =/8 -9=) 9 ” •” •) ) 9 9

) ) 9 9

œ œ-9= -9= =/8 =/8 -9= =/8 =/8 -9==/8 -9= -9= =/8 =/8 =/8 -9= -9=” •) 9 ) 9 ) 9 ) 9

) 9 ) 9 ) 9 ) 9

œ œ Y-9= =/8 =/8 -9= ” •) 9 ) 9

) 9 ) 9 ) 9

,Ñ Y œ Y Y Y œ Y Y œ M) ) )) ) )‡ ‡ ‡

, de donde

Y Y œ Y œ Y œ œ M" !! " !) ) ) ) ” •

-Ñ − ß œ Ö ß × œ Y / ß œ Y / œ Ö/ ß / ×9 ‘ µ α α α α % sea una base donde siendo " # " " # # " #9 9

la base canónica, entoncesÒY Ó œ T ÒY Ó T ÒY Ó œ

-9= =/8=/8 -9=) µ 9 % 9 %

" , donde , ahora” •9 99 9

α 9 9" " " # 3" 33œ"

#

œ Y / œ -9= / =/8 / œ T /9

α 9 9# # " # 3# 33œ"

#

œ Y / œ =/8 / -9= / œ T /9

Por lo tantoT œ T œ T œ

-9= =/8 -9= =/8=/8 -9= =/8 -9=” • ” •34

"9 9 9 99 9 9 9

y


76.Sea un espacio de dimensión finita con producto interno y sea unZ [

subespacio de Entonces , esto es, cada en puede serZ Þ Z œ [ Š[ Z¼ α

expresado de una única manera bajo la forma , con en y en α " # " #œ [ [ Þ¼

Definamos un operador lineal por .Y Y œ α " #

+ Y Demostrar que es auto-adjunto y unitario., Z [ Si es con el producto interno canónico y es el subespacio generado‘$

por encontrar la matriz de en relación a la base ordenada canónica."ß !ß " ß Y

SOLUCIÓN. + Y œ œ Y Notemos que pues"α " # α

YY œ Y œ œ œα " # " # " # αSean y , entonces tenemosα " # α " #" " " # # #œ œ Y ß œ ß œ ß ß ß α α " # " # " " # " " #" # " " # # " # " # " #

ß œ ß ß Å

# # " " # #" # " # " #

ß œ ! • ß œ !" # # "3 3 3 3

Análogamente ßY œ ß œ ß ß α α " # " # " " # #" # " " # # " # " #

Luego Y ß œ ßY Ê Y œ Yα α α α" # " #

‡

Pero de donde y entonces , o sea es unitario.Y œ Y Y œ Y Y Y œ YY œ M Y" ‡ " ‡ ‡

, [ œ Ò "ß !ß " Ó œ Ò/ / Ó " $

[ œ Ò !ß "ß ! ß "ß !ß " Ó œ Ò/ ß / / Ó¼# " $

α - - -œ B / B / B / œ / / / / /" " # # $ $ " " $ # # $ " $

œ / / /- - - - -" $ " # # " $ $

por lo tanto,- - - - - - - -" $ " # # " $ $ " # # $ "

B B B B B B# # # œ B ß œ B ß œ B Ê œ ß œ B ß œ B œ" $ " $ " $

Entonces

α œ Ò / / Ó ÒB / / / Óèëëëëëëéëëëëëëêðóñóò èëëëëëëëëëëéëëëëëëëëëëêðóóóóóóóóóóñóóóóóóóóóóòB B

# #" $ # # " $B B" $ " #

œ

− [ − [

œ" #

¼

,

asíY œ œ / / B / / / œα " # B B B B

# #" $ # # " $" $ " $

ˆ ‰ ˆ ‰B B B B# # # # # # # #

B B B B" # # $ $ " # # " $

" " " "$ $ $ $ / B / / œ B / B / B /

Y/ œ / ß Y/ œ / ß Y/ œ /" $ # # $ " luego

ÒY Ó œ! ! "! " !" ! !

µ

Ô ×Õ Ø

77.Sea un espacio complejo interno con producto interno y un operador linealZ X

auto-adjunto sobre . Mostrar queZ

+ m 3X m œ m 3X m Z Þ para todo en α α α α α


, 3X œ 3X ß œ si y solamente si, .α α " " α "

- M 3X es no singular.. M 3X es no singular./ Z Y œ M 3X M 3XSupongamos que sea de dimensión finita; demostrar que

es un operador unitario; es denominado una transformada de Cayley de . EnY X

cierto sentido, , donde Y œ 0 > 0 B œ "3B"3B Þ

SOLUCIÓN. + m 3X m œ 3X ß 3X œα α α α α α#

œ ß 3 ß X 3 ß X 33 X ß X œα α α α α α α α œ ß 3 ß X 3 ß X X ß X œα α α α α α α α œ ß X ß X "α α α αm 3X m œ 3X ß 3X œα α α α α α#

œ ß 3 ß X 33 X ß X 3 ß X œα α α α α α α α œ ß 3 ß X 3 ß X 3 3 X ß X œα α α α α α α α œ ß X ß X #α α α αDe y tenemos " # +, 3X œ 3X Ê œ 3X 3X œ 3X ß ß 3X œ ! y α α " " α " " α " α α " α "

Por la parte tenemos+! œ m 3X m œ 3X ß 3X œα " α " α " α " α " α "#

œ ß 3X ß 3X œ m m m3X m œ"

α " α " α " α " α " α "# #

œ m m mX m Í œα " α " α "# #

- , Por tenemosα α " " α " α " α 3X œ 3X Í œ 3X œ ! 3X! Í œ ! M 3X por lo tanto y entonces es no singular (ya que es inyectiva). m M 3X m œ m 3X m œ m 3X m œ m M 3X m œ ! Í œ !α α α α α α α

+

Luego es singular.M 3X

/ Y œ Ò M 3X Ó M 3X œ M 3X M 3XNotemos que y que‡ ‡" ‡ "

œ M 3X M 3X œ M X

M 3X M 3X œ M XÊ M 3X M 3X œ M 3X M 3X

#

#

luegoY Y œ M 3X M 3X M 3X M 3X œ M 3X M 3X M 3X M 3X œ MÞ‡ " " " "

78.Si un espacio real, demostrar que las matrices siguientes son unitariamente)

equivalente.

” • ” •-9= =/8 / !=/8 -9= ! /

) )) )

, 3

3

)

)-

SOLUCIÓN. Tenemos G œ / G œ /" #3 3) )

E œ G Ê œ / Bß C-9= =/8 B=/8 -9= C

α α) )) )"

3 ” •” • )

Ê B-9= C=/8 œ / B œ -9= † B 3=/8 † B) ) ) )3)

B=/8 C-9= œ / C œ -9= † C 3=/8 † C) ) ) )3)


Ê Ê Z œ Ò "ß 3 Ó C=/8 œ 3B=/8 Ê B œ 3CB =/8 œ 3C =/8 Ê C œ 3Bœ ) )

) ) "

E œ G Ê œ / Bß C-9= =/8 B=/8 -9= C

α α) )) )#

3” •” • )

ÊB-9= C=/8 œ B/ œ B -9= 3B =/8

B =/8 C -9= œ C/ œ C-9= 3C =/8œ ) ) ) )

) ) ) )

3

3

)

)

Ê Ê Z œ Ò "ß 3 ÓC =/8 œ 3B =/8 Ê C œ 3BB =/8 œ 3C=/8 Ê B œ 3Cœ ) )

) ) #

entonces como entoncesT œ l+l l,l œ "" " 3 3

w # #” •T œ œ

3 3

" " 3 3

Ô ×Õ Ø ” •

È ÈÈ È È# #

# #

# ## #

##

T œ T T œ œ œ M" 3 " " " 3 # !" 3 3 3 " 3 ! #

‡ ‡## # #

" "È ” • ” •” • ” •,

luego es unitaria.T

T ET œ œ" 3 -9= =/8 " "" 3 =/8 -9= 3 3

‡ "# ” •” • ” •) )

) )

œ œ-9= 3=/8 =/8 3-9= " "-9= 3=/8 =/8 3-9= 3 3

"#” •” •) ) ) )

) ) ) )

œ œ-9= 3=/8 3=/8 -9= -9= 3=/8 3=/8 -9=-9= 3=/8 3=/8 -9= -9= 3=/8 3=/8 -9=

"#” •) ) ) ) ) ) ) )

) ) ) ) ) ) ) )

œ œ œ F# -9= 3=/8 ! / !

! # -9= 3=/8 ! /"#

3

3” • ” •) )) )

)

)

79.Sea un espacio de dimensión finita con producto interno y un operadorZ X

lineal positivo sobre . Sea el producto interno sobre definido porZ T ZX

T ß œ X ß Y Z YX‡α " α " . Sea un operador lineal sobre y su adjunto en relación a

ß Y T. Demostrar que es unitario en relación al producto interno si y solamenteX

si X œ Y XY Þ‡

SOLUCIÓN. es unitarioÊ T œ Y ßY œ T ß ß) Si entonces en efecto,Y X Xα α α αðóóóóóñóóóóóòT Y ßY œ XY ßY œ Y ß XY œ ßY XY X‡

α α α α α α α

ll

ÅX /= :9=3>3@9

α

T ß œ X ß œ ß X X α α α α α αÊ ßX œ ßY XY ß a − Z Ê X œ Y XYα α α α α‡ ‡ É Y XY œ ß X a − Y) Si entonces , ,X œ Y XY‡ α α α α α‡

o seaT Y ßY œ T ß a − ZX Xα α α α α,

Luego es unitario.Y


80. Sea un espacio de dimensión finita con producto interno. Para cada par , Z α "

en . Sea el operador lineal sobre definido por MostrarZ X Z X œ ß Þα " α "ß ß # # " α

que+ X œ X à ‡

ß ßα " " α

, ><+D X œ ß α "ß α "

- X X œ X α " # $ α " # $ß ß ß ß

. X ¿En que condiciones es auto-adjunto?α "ß

SOLUCIÓN.+ X ß œ ß ß œ ß ß œ ß ß α "ß # $ # " α $ # " α $ α $ # "

œ ß ß œ ß ß œ ß X # α $ " # $ α " # $" αß

Entonces X œ Xα " " αß‡

ß

, œ Ö/ ß / ßá ß / ×Sea la base ortogonal con respecto a este producto internoµ " # 8

X / œ / ß œ / ß C / œ C ßα "ß " " " 3 33œ"

8

"" α α α

X / œ C ßá ß X / œ Cα " α "ß # ß 8# 8α α

siendo =α3œ"

8

3 3B /

ÒX Ó œ

C B C B á C BC B C B á C Bã ã ä ã

C B C B á C B

α " µß

" # 8" " "

" # 8# # "

" # 88 8 8


><+DÒX Ó œ C B œ ß α " µß 33œ"

8

3 α "

- X † X B œ X Bß œ Bß X œ Bß ß " α " # $ α " α "ß ß ß ß$ # $ # $ # " α

X B œ Bß ß œ ß Bß œα " # $ß ß " # $ α " # $ α Bß ß #$ # " α de y tenemos la igualdad." #

. X œ X œ X ?‡ß ß ßα " " α α "

?X œ ß œ X œ ß Þα " " αß ß# # " α # # α "

luego si , entonces, es autoadjunto.α "œ Xα "ß

81.Para cada una de las siguientes matrices simétricas reales , encontrar unaE

matriz ortogonal real tal que sea diagonal.T T ET>

” • ” • ” •" " " # -9= =/8" " # " =/8 -9=

, , ) )) )

SOLUCIÓN. ” •+ E œ" "" "

- œ !ß - œ #ß œ "ß " ß œ "ß "" # " #" "

# # α αÈ È

T œ T œ" " " " " " " "

, " "

# #>È È” • ” •


T T œ œ M T" !! "

> ” • , de donde es ortogonal y

T ET œ œ œ œ HÞ" " " " " " ! ! ! !" " " " " " ! % ! #

> " " "

# # #È È ” •” •” • ” • ” •” •, E œ œ E ÒX Ó œ E" ## "

>, %

./> BM E œ œ B #B " % œ B #B $ œ B $ B "B " # # B "º º # #

- œ "ß - œ $ X œ - Ê œ Bß C" # B# " C" # " " " , " " ” •” •

luego

œB #C œ B#B C œ C

Ê B œ C

así" α" " m m

"

#œ " " œ œ "ß ", , "

""

" ÈX œ - Ê œ $ Bß C Ê Ê B œ C

" # B B #C œ $B# " C #B C œ $C

" "# # # ” •” • œde donde

" α# # m m"

#œ "ß " œ œ "ß " , "

"#

# ÈTomando y entonces µ α αœ Ö ß × ÒX Ó œ œ H

" !! $" # µ ” •

y para , , tenemosT œ T œ" " " " " " " "

" "

# #>È È” • ” •

T ET œ œ œ œ" " " # " " " " " " # ! " !" " # " " " $ $ " " ! ' ! $

> " " "# # #” •” •” • ” •” • ” • ” •

” •- E œ-9= =/8=/8 -9=

) )) )

aquí , E œ E ÒX Ó œ Eß ./> BM E œB -9= =/8 =/8 B -9=

>% º º) )

) )

œ B -9= =/8 œ B " œ B " B " Ê - œ "ß - œ "# # # #" #) ) .

Ahora =” •” • œ-9= =/8 B -9= † B =/8 † C œ B

=/8 -9= C =/8 † B -9= † C œ CBß C Ê

) ) ) )) ) ) )

3 =/8 œ ! -9= œ " Si , tenemos y entonces en la segunda ecuación tendríamos) )

C œ C Ê C œ ! œ "ß ! œ y entonces " α" " ˆ ‰33 =/8 Á ! Ê -9= Á „ " C œ B œ Si entonces note que y) ) =/8 "-9= =/8"-9= =/8 "-9=

) ) )) ) )

tenemos , " α" "=/8

"-9= m mœ "ß œˆ ‰)) "

"""

X œ - Ê Bß C Ê-9= =/8 B -9= † B =/8 † C œ B=/8 -9= C =/8 † B -9= † C œ C

" ") ) ) )) ) ) )# # # ” •” • œ=

333 =/8 œ ! -9= œ " Si entonces y en la primera ecuación tenemos) )

B œ B Ê B œ ! œ !ß " œ en esta forma " α# "

3@ =/8 Á ! -9= Á „ " C œ Si entonces y entonces ) ) =/8-9= "

))


ˆ ‰ ˆ ‰note que y entonces , =/8 -9= " =/8-9= " =/8 -9= " m m# #

) ) )) ) ) "

"œ œ "ß œ" α #

#

Combinando y tenemos ,o, 3 333 œ Ö "ß ! ß !ß " × œ Ö !ß " ß "ß ! ×µ µ

Considerando y tenemos donde siendo33 3@ œ Ö ß × œ ß œ ßµ α α α α" # " #m m m m" "" "" #

" #

" "" #=/8 =/8

"-9= -9= "œ "ß œ "ßˆ ‰ ˆ ‰) )) ), .

82.¿ Una matriz simétrica compleja es autoadjunta? ¿Es normal?SOLUCIÓN. + Una matriz compleja simétrica puede no ser autoadjunta, como en elsiguiente caso de la matriz y sin embargoE œ œ E

3 !! 3” • >

E œ Á E 3 !! 3

‡ ” •, Una matriz compleja simétrica puede no ser normal pues si tomamos

E œ œ E E œ3 " 3 "" ! " !” • ” •> ‡ y tenemos

ÚÝÝÛÝÝÜ” •” • ” •” •” • ” •

E E œ œ 3 " 3 " # 3" ! " ! 3 "

EE œ œ3 " 3 " # 3" ! " ! 3 !

Ê E E Á EE

‡

‡

‡ ‡

83.Para existe una matriz ortogonal real tal que seaE œ T T ET œ H" # $# $ %$ % &

Ô ×Õ Ø >

diagonal. Determinar esta matriz diagonal.SOLUCIÓN.-Notemos primero que Entonces existe ortogonal tal queE œ E Þ T>

T ET œ H œ Ö/ ß / ß / × ÒX Ó œ E>" # $ es diagonal. Sea la base canónica para la cual .0 0

Hallemos base ortonormal tal que µ α α αœ Ö ß ß × ÒX Ó œ- ! !! - !! ! -

" # $

"

#

$

µ

Ô ×Õ Ø

./> BM E œ œ B " B $ B & "' # # B & "#B " # $ # B $ % $ % B &

â ââ ââ ââ ââ ââ â $ ) $ B $ œ B *B 'B œ B B *B ' œ B B B Š ‹Š ‹$ # # * "!& * "!&

# #

È È

Luego H œ

! ! !

! !

! !


* "!&#

* "!&#

ÈÈ

84. Sea el espacio con el producto interno canónico. Sea un espacioZ X‚#

vectorial sobre que es representado en relación a la base ordenada canónica porZ


la matriz . Mostrar que es normal y determinar una base ortonormalE œ X" 33 "” •

de constituida de vectores característicos de Z X Þ

SOLUCIÓN. ÒX Ó œ œ Eß E œ" 3 " 33 " 3 "0 ” • ” • ,‡

teniéndoseE E œ œ

" 3 " 3 # ! 3 " 3 " ! #

‡ ” •” • ” •EE œ œ

" 3 " 3 # !3 " 3 " ! #

‡ ” •” • ” •,

entonces es normal, de donde es normal.E XHallemos base ortonormal de tal que esto es cada esµ α α ‚ α α αœ Ö ß × X œ -" # 3 3 3 3

#

un vector característico de .X

./> BM E œ œ B #B # œ ! B œ œ " „ 3B " 3 3 B "º º # #„ %)

# entonces Ède donde - œ " 3ß - œ " 3" #

X œ - Ê œ " 3 Bß C" 3 B3 " C

" "" " " ” •” •

de donde se obtiene el siguiente sistema

œB 3C œ B 3B3B C œ C 3C

Ê B œ C œ "ß " œ œ "ß " de donde y " α" " m m"

#

"""

" ÈX œ - Ê œ " 3 Bß C

" 3 B3 " C

" "# # # ” •” • ,

por lo tanto

œB 3C œ B 3B3B C œ C 3C

Ê B œ C œ "ß " œ œ "ß ", de donde y " α# # m m"

#

""#

# Èluego µ œ Ö "ß " ß "ß " ×Þ" "

# #È È

85.Sea un operador normal sobre un espacio complejo de dimensión finita conX

producto interno. Demostrar que es autoadjunto positiva o unitaria según queX

todo valor característico de sea real positivo o de valor absoluto uno.X

SOLUCIÓN. + X X œ X Todo valor característico de es real, entonces .‡Como es normal, existe base ortonormal de donde cada vectorX œ Ö ßá ß × Zµ α α" 8

característico de o sea donde cada es un valorX ÒX Ó œ -- á !ã ä ã! á -

µ

Ô ×Õ Ø

"

8

3

característico de X Þ

Por el resultado del numeral de los resultados básicos, todo vector% *"

característico de corresponde a un valor característico , es también vectorα3 3X -característico de correspondiente al valor característico X -‡

3

X œ - Ê X œ -α α α α3 3 3 3 3 3‡ .

Entonces


ÒX Ó œ - − Ê - œ -- á !ã ä ã! á -

‡"

8

3 3 3µ

Ô ×Õ Ø, pero ‘

luego .X œ X‡

, - ! Ê X X ß !ß a − Z3 es positivo. Falta apenas mostrar que α α α

α α α α α α α αœ B ß X ß œ X B ß B œ B X ß B œ3œ" 3œ" 4œ" 3œ" 4œ"

8 8 8 8 8

3 3 3 3 4 4 3 3 4 4 entonces

œ B B X ß œ B B - ß œ B B3 - ß œ - lB l !3œ" 4œ" 3œ" 4œ" 3œ" 3œ"

8 8 8 8 8 8

3 4 3 4 3 4 3 4 3 3 3 3 3 3#α α α α α α

3

pues .- !3

- l- l œ " l- l œ " Si entonces , entonces3 3#

ÒX X Ó œ œ œ œ M- á ! - á ! l- l á ! " á !ã ä ã ã ä ã ã ä ã ã ä ã! á - ! á - ! á "! á l- l

‡" " "

8 8

#

8#

µ

Ô ×Ô × Ô × Ô ×Õ ØÕ Ø Õ Ø Õ Ø

Luego es unitario.X

86.Sea un operador lineal sobre un espacio de dimensión finita con productoX

interno y supongamos que sea positivo y unitario. Demostrar que X X œ MÞ

SOLUCIÓN. Por ser positivo entonces es autoadjunto, por el primer enunciadoX Xdel numeral de los resultados básicos, existe una base *" œ Ö ßá ß ×µ α α" 8

ortonormal tal que entoncesX œ -α α3 3 3

pues .ÒX Ó œ œ ÒX Ó ß X œ X- á !ã ä ã! á -

µ µ

Ô ×Õ Ø

"

8

‡ ‡

Por ser unitario tenemos y entoncesX œ X XX œ X X œ M‡ ‡ ‡

o sea , Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø- á !ã ä ã ã ä ã

! á -

œ ß - œ " Ê - œ „ " a3Þ" á !

! á "

#"

#8

#3 3

Ahora por ser positivo , , o seaX X ß ! a3α α3 3

- ß ! ß - ß œ - † " !3 3 3 3 3 3 3α α α α0, .Entonces , , luego- œ " a33

ÒX Ó œ" á !ã ä ã! á "

µ

Ô ×Õ Ø

y entonces .X œ M

87.Dar un ejemplo de una matriz tal que sea normal pero no sea# ‚ # E E E#

normal.SOLUCIÓN.

E œ ß E œ œ! ! ! ! ! 33 ! 3 ! ! !” • ” • ” • ‡

¼


E E œ œ! 3 ! ! " !! ! 3 ! ! !

‡ ” •” • ” •EE œ œ

! ! ! 3 ! !3 ! ! ! ! "

‡ ” •” • ” •entonces y en esta forma no es normal.EE Á E E E‡ ‡

AhoraE œ Ê E œ

! ! ! !! ! ! !

# # ‡” • ” •En esta forma

E E œ E E# # # #‡ ‡

Luego es normal.E#

88.Demostrar que es normal si y solamente si donde y sonX X œ X 3X X X" # " #

operadores autoadjuntos que conmutan.SOLUCIÓN.X X œ X 3X X 3X œ X 3X X 3X œ X X 3X X 3X X X X œ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

" # " # " # " " # #‡

" # " # " #

.œ X 3X X 3X X X œ X X# # # #" # " ## " " #

XX œ X 3X X 3X œ X 3X X 3X œ X X 3X X 3X X X X œ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡" # " # " # " # " #

‡" # " " # #

.œ X 3X X 3X X X œ X X# # # #" # " ## " "#

Luego y es normal.X X œ XX X‡ ‡

Escribimos ahora , donde ,X œ X 3X X œ X X X œ X X" # " #" "# #3

‡ ‡

Tenemos X œ X X œ X‡ ‡

""# "

X œ X X œ X X œ X‡ ‡ ‡#

" "#3 #3 #

luego y son autoadjuntos.X X" # X X œ X X X X œ X X X XX X œ X X" #

" " "%3 %3 %3

‡ ‡ # ‡ ‡ ‡ # ‡# #ˆ ‰ ˆ ‰ X X œ X X X X œ X XX X X X œ X X# "

" " "%3 %3 %3

‡ ‡ # ‡ ‡ ‡ # ‡# #ˆ ‰ ˆ ‰En esta forma y conmutan.X X" #

89.Demostrar que una matriz simétrica real posee una raíz cúbica simétrica real;esto es, si es simétrica real, existe una matriz simétrica real tal que E F F œ EÞ$

SOLUCIÓN. Por el numeral de los resultados básicos, tenemos que existe una*"Þ

matriz real unitaria tal queT T T œ M>

T ET œ œ - − Þ- á !ã ä ã! á -

>"

8

3

Ô ×Õ Ø diagonal, donde ‘

EntoncesE œ T HT "> ""

Tomemos


I œ Ê I œ H #

- á !

ã ä ã! á -

Ô ×Ö ÙÕ Ø

ÈÈ

$

$

"

8

$

Tómese , entoncesF œ T IT> ""

F œ T IT T IT œ T I T T IT œ T I T# > " > " > > " > # "" " " " " Ahora

F œ T I T œ T HT œ E$ > $ " > "" "# "

90.Demostrar que toda matriz positiva es el cuadrado de una matriz positiva.SOLUCIÓN. Si es positiva, entonces y resulta normal. Entonces estudiandoE E œ E‡

el numeral de los resultados básicos se sigue la existencia de una matriz*"

unitaria tal que diagonal.T T ET œ H œ œ- á !ã ä ã! á -

‡ ‡"

8

Ô ×Õ Ø

Ahora

H œ T ET œ T E T œ T ET œ H Ê - œ - a3‡ ‡ ‡ ‡ ‡‡3 3

ÅE œ E‡

, y entonces ,- − a3Þ3 ‘

Pero si es positiva, también es positiva, dado que si entonces asíE H Á ! T Á !α α

H ß œ T ET ß œ ET ßT !α α α α α α‡Æ

T Á !α

.Luego

ß œ ß œ - B B !- á ! B B - B Bã ä ã ã ã ã ã! á - B B - B B

Ô ×Ô × Ô × Ô × Ô ×Õ ØÕ Ø Õ Ø Õ Ø Õ Ø

" " " " " "

8 8 8 8 8 83œ"

8

3 3 3

para todo con algún . Tenemos y entoncesB ßá ß B − B Á ! !ßá ß "ßá ß ! −" 8 38 8‚ ‚

- " † " ! - ! a3 -3 3 3 de donde , . Luego existe y entonces tenemos la matrizÈI œ Ê I œ H F œ T IT

- á !

ã ä ã! á -

Ô ×Ö ÙÕ Ø

ÈÈ

"

8

# > "" y tomando tenemos

F œ T I T œ T HT œ E# > # " > "" " .F T FT œ I es positiva puesto que es positiva.>

91ÞDemostrar que si un operador es normal y nilpotente entonces es el operadornulo.


SOLUCIÓN. Como es normal entonces existe una base ={ } ortonormalX ßá ßµ α α" 8

donde y . Si es nilpotente entonces yX œ - ÒX Ó œ X X œ !- á !ã ä ã! á -

α α3 3 3

"

8

8µ

Ô ×Õ Ø

también o sea , de donde H œ !ß ã ä ã œ ! Ê - œ !a3 - œ ! a3 ß- á !

! á -

8 8

8"

88

3 3

Ô ×Õ Ø

asíÒX Ó œ ! Í X œ !µ .

92ÞSi es un operador normal, demostrar que los vectores característicos de X X

asociados a valores característicos distintos son ortogonales.

SOLUCIÓN. œX œ -X œ -

- Á - Xα α" "

3

43 4con . Si es normal entonces existe una base

ortonormal tal que .µ ÒX Ó œ H œ- á !ã ä ã! á -

µ

Ô ×Õ Ø

"

8

Si y respectivamente ,α " α "Á !ß Á ! X- M œ ! X- M œ !3 4

α − Ker X - M œ 3 3αrespectivamente " − Ker X - M œ Í œ4 4 3 3α α - α

respectivamente y entonces" - αœ 4 4

, . œ œ ß œ !α " - α - - α α- α3 3ß 4 4 3 4 3 4

93Þ Sea un operador normal sobre un espacio complejo de dimensión finita conX

producto interno. Demostrar que existe un polinomio , con coeficientes0

complejos, tales que X œ 0 X‡ .SOLUCIÓN. Como es normal, existe una base ortonormal tal queX œ Ö ßá ß ×µ α α" 8

ÒX Ó œ X œ - X œ -- á !ã ä ã! á -

µ

Ô ×Õ Ø

"

8

3 3 3 3 3 3‡ , donde, y α α α α

Supóngase que y que además0 œ + + B â + B! " 55

0 X œ + M + X â + X œ X Þ! " 55 ‡

Entonces debemos tener ,0 X œ Xα α3 3‡

o sea + + X â + X œ -! 3 " 3 5 3 3 3

5α α α α

y entonces ,+ + - â + - œ - Í + + - â + - œ - ß a −! 3 " 3 3 5 3 3 3 ! " 3 5 3 3 3 33 3

5 5α α α α α α α µˆ ‰de donde

+ + - â + - œ - ß 3 œ "ß #ßá ß 8! " 3 5 335 .

Luego donde y .0 œ 0 0 - œ - 0 - œ ! ß 3 Á 43œ"

8

3 3 3 3 3 4


Por consiguiente y 0 œ - œ - 0 œ 03 3 3 3B- â B- â B-s

- - â - - â - -s4Á3

B-- -

3œ"

8" 3 8

3 " 3 3 3 8

4

3 4

#Comprobación:

0 X œ 0 X œ 0 - œ 0 - œ - œ Xα α α α α α4 3 4 3 4 4 4 4 4 4 4 43œ" 3œ"

8 8‡

Luego .X œ 0 X‡

94.Si dos operadores normales conmutan, demostrar que su producto es normal.SOLUCIÓN. Lema: Si y , son normales, entonces yYX œ XY Y X X Y œ YX‡ ‡

Y X œ XY Þ‡ ‡

Por el resultado anterior tenemos , entoncesX œ 0 X ß Y œ 1 Y‡ ‡

X Y œ 0 X Y œ Y0 X œ YX‡ ‡

Y X œ 1 Y X œ X1 Y œ XY‡ ‡

Entonces

XY XY œ Y X XY œ Y XX Y œ Y XYX œ XY YX œ XYY X œ XY XY‡ ‡‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡Æ Æ Æ ÆX X œ XX P/7+ P/7+ Y Y œ YY‡ ‡ ‡ ‡

Luego es normal. En forma análoga resulta normal.XY YX

95.Sea un espacio de dimensión finita con producto interno. Si y sonZ X Y

operadores positivos sobre , entonces es también un operador positivo.Z X Y

Dar un ejemplo en el cual se muestre que no necesariamente es positivo.XY

SOLUCIÓN. + X œ X Y œ Y Á ! Por hipótesis y , sea entonces,‡ ‡ α

X Y ß œ X Y ß œ X ß Y ß !α α α α α α α α α

Además X Y œ X Y œ X Y‡ ‡ ‡ÚÝÝÛÝÝÜ” •” •, ß XY œ Y X œ YX Á XY

X œ Ê X œ X# ## #

Y œ Ê Y œ Y" 3 3 "

Sea pero ‡

‡

‡ ‡ ‡

además no es positivo.XY

96.La suma de dos operadores normales puede no ser normal.SOLUCIÓN. Tomemos y entonces y sonX Bß C œ Bß ! Y Bß C œ Cß B ß X Ynormales puesß

œ ” •X "ß ! œ "ß ! œ " † "ß ! ! † !ß " " !X !ß " œ !ß ! œ ! † "ß ! ! † !ß " ! !

Ê ÒX Ó œ œ ÒX Óµ µ‡

Además X X œ XX œ" !! !

‡ ‡ ” •œ ” • ” •Y "ß ! œ !ß " œ ! † "ß ! " † !ß " ! " ! "Y !ß " œ "ß ! œ " † "ß ! ! † !ß " " ! " !

Ê ÒY Ó œ ÒY Ó œµ µ y ‡

teniéndose


Y Y œ œ YY œ œ! " ! " " ! ! " ! " " ! " ! " ! ! " " ! " ! ! "

‡ ‡” •” • ” • ” •” • ” • , y ,

así .Y Y œ YY‡ ‡

AhoraX Y œ X Y œ

" " " "" ! " !” • ” •, y , ‡

” •” • ” •X Y X Y œ œ" " " " # "" ! " ! " "

‡

” •” • ” •X Y X Y œ œ" " " " # " " ! " ! " "

‡

Se sigue entonces que no es normal.X Y

97.Sea un espacio con producto interno. Una proyección sobre se diceZ I Z

perpendicular si y solamente si y son subespacios ortogonales.V I R I

Demostrar que es perpendicular si y sólo si I I œ I‡

SOLUCIÓN. É Ñ − V I ß − R I Ê I œα " α α

ß œ I ß œ ßI œ ßI œ ß ! œ !α " α " α " α " α‡

Ê Ñ I ß œ I ßI M I œ I ßI œ ßI Ê I œ I Þα " α " " α " α " ‡

98.Dada la matriz Mostrar que existe tal que E œ Þ F F œ E" ! !" " !! " "

Ô ×Õ Ø # Þ

SOLUCIÓN.

E œ œ œ M R R" ! ! " ! ! ! ! !" " ! ! " ! " ! !! " " ! ! " ! " !

Ô × Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø Õ Ø donde es nilpotente, entonces

F œ M R R œ ß ß F œ E

" ! !" ! !

"

" "# )

# #

" ") #

Ô ×Õ Ø y .

99.Cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles falsas, justifiquesucintamente las respuestas falsas.+ En un espacio vectorial complejo de dimensión finita con producto interno los

operadores diagonalizables coinciden con los operadores normales., En un espacio vectorial complejo de dimensión finita con producto interno, seaX Z Z ÒX Ó œ ÒX Ó un operador lineal en y una base de . Entonces .µ ‡ ‡

µ µ

- X ß W En un espacio vectorial complejo de dimensión finita y dos operadoreslineales en . Entonces y son semejantes si y sólo si tienen los mismosZ X W

polinomios característicos y mínimos.


. ß En un espacio vectorial complejo de dimensión finita con producto interno Unoperador lineal en es normal si y sólo si , donde es el polinomioZ Z X œ : X :‡

minimal./ En un espacio vectorial complejo de dimensión finita con producto interno, dos

operadores normales y conmutan si y sólo si existen un tercer operadorX W

normal y dos polinomios y tales que Y > = X œ > Y ß W œ = Y

SOLUCIÓN. + Falso - Pueden existir operadores lineales diagonalizables segúnbases ortonormales lo cual ocasiona que ellos no sean normales. Por ejemplo seaZ œ œ Ö "ß ! ß "ß " × [ ß^‚ µ# con el producto interno canónico y con la base . Sean los subespacios generados por y respectivamente, sea la proyección"ß ! "ß " Isobre de . no es proyección ortogonal luego es no normal y además[ ^ I

I œ I" !! !µ ” • o sea es diagonal.

, Falso - La igualdad sólo es válida para bases ortogonales.- X W Falso - Dos operadores y pueden tener los mismos polinomios

característicos y minimal, no obstante presentan formas canónicas de Jordandiferentes. Por ejemplo sean y operadores lineales tales que sus formasX Ycanónicas de Jordan son

, y, ÒX Ó œ ÒY Ó œ

- ! - !" - " -

! !

! !- ! - !! - " -

µ µ


” • ” •” • ” •

" "

" "

" "

" "

Teniéndose que:96Þ-+<+->ÞX œ B - :96Þ738ÞX œ B -" "

% # y y :96Þ-+<+->ÞY œ B - :96Þ738ÞY œ B -" "

% #

X Y y no son semejantes por presentar formas canónicas de Jordan distintas sinembargo tienen los mismos polinomios característicos y minimales.. *"Þ Verdadero lea los resultados básicos numeral / *"Þ Verdadero lea los resultados básicos numeral

100.Sea un operador lineal en un espacio vectorial de dimensión finita sobreX Z

un cuerpo algebraicamente cerrado. En este caso su polinomio característico seJ

escribe con distintos, pertenecientes a y0 B œ B - â B - - ßá- J" 5 " 5. ." 5

. . â . œ .37Z" # 5 . Entonces el número de bloques elementales de dimensión< - con en la diagonal de su forma de Jordan y dado por3

7 œ #.37 Ò X - M Ó .37 Ò X - M Ó .37Ò X - M Óß < œ "ß #ßá3< 3 3 3

< <" <"a a donde a W œ /=:+-39 8?69 ./ WÞnúcleoSOLUCIÓN. El polinomio mínimo de es de la formaX

: œ B - â B - ß " Ÿ < Ÿ ." 5 3 3< <" 5


Sabemos que , por su descomposición racional y queX œ X ŠâŠ X" 5

:96Þ-+<+->ÞX œ B - Þ Ò X - M Ó œ Ò X - M Ó3 3 3 3 3. 7 73 De esto resulta que , paraa a

cualquier . Sea y la base en la cual esta en la forma de7 " R œ X - M R3 3 3 3 3µ

Jordan:

ÒR Ó œ

! ! á ! !" ! á ! !ã ã ä ã ã! ! á " !

5

á !

ã

! !3"

µ3

Ô ×Ö ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÕ Ø

ðóóóóóóóóóñóóóóóóóóóòÔ ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø

ðóóóóóóóóóñóóóóóóóóóò


á ! !" ! á ! !ã ã ä ã ã! ! á " !

!

! 5 ä

5 5 â

#

" #

Es inmediato que el rango de es igual a una dimensión menos el número deÒR Ó3 µ3

bloques elementales (ya que cada bloque elemental contiene una matriz identidadde orden y ninguna otra de rango superior, donde es su dimensión). En5 " 5

4 4

otras palabras la nulidad de es igual al número de columnas constituídas porÒR Ó3 µ3

ceros. Elevando al rango de cada bloque de dimensión aportará una nuevaR #3

columna, y así sucesivamente. En general podemos escribir:. œ .37 Ò X - M Ó œ 8 ÒR Ó" 3 3 3a 9 de bloques elementales en µ3

. œ .37 Ò X - M Ó œ . 8 ÒR Ó# 3 3 " 3# de bloques elementales en .a 9

µ3

ã ã . œ Ò X - M Ó œ . 8 ÒR Ó< 3 3 <" 3

<a 9 de bloques elementales en µ3

Tomando de bloques de dimensión 8 œ 8 339

de bloques de dimensión 7 œ 8 œ 339

tenemos entonces y . œ 8 8 œ 7 7 7 â" " " " # $

y . œ . 8 8 œ 7 7 â# " # # # $

ã ã

y . œ . 8 8 œ 7< <" < < <

De aquí resulta: y 8 œ . 7 œ 8 8" " " " #

y 8 œ . . 7 œ 8 8# # " # # $

ã ã ã

y 8 œ . . 7 œ 8 8< < <" < < <"

Por lo tanto , 7 œ #. . . < #< < <" <

Tomando , por definición, la expresión resulta valida para . œ ! < "!

De esto resulta la expresión final, dada por 7 œ #.37 Ò X - M Ó .37 Ò X - M Ó .37Ò X - M Ó < œ "ß #ßá

3< 3 3 3

< <" <"a a

APENDICE


ESPACIO DUALUna función , a valores escalares, definida en un espacio vectorial0 À Z ‘satisfaciendo las condiciones , 0 ? @ œ 0 ? 0 @ ?ß @ − Z , y 0 ? œ 0 ? ? − Z ß −α α α ‘

un escalar es denominada o sobre el espaciofuncional lineal forma lineal vectorial .ZLlamamos al conjunto de las funciones lineales sobre el espacio vectorial .Z Z‡

Es fácil verificar que si y es un escalar, entonces 0ß 1 − Z 0 1 − Z ß 0 − Z‡ ‡ ‡α αdonde

0 1 ? œ 0 ? 1 ?α α0 ? œ 0 ?

Con estas operaciones, constituye un espacio vectorial denominado Z ‡ espaciodual de . De la misma manera que los elementos de un espacio vectorial sonZ Z

llamados vectores contravariantes vectores, los elementos de son llamados Z ‡

covariantes.Sea una base del espacio vectorial . Una funcional lineal µ œ Ö/ ß / ßá ß / × Z 0 − Z" # 8

‡

queda determinada cuando conocemos los números:8 .0 / œ ß 0 / œ ßá ß 0 / œ" " # # 8 8α α α

De hecho, si entonces@ œ /3œ"

83

30

0 @ œ 0 / œ 0 / œŒ3œ" 3œ" 3œ"

8 8 83 3 3

3 3 30 0 0 α .

Por otro lado en una base de dada una arbitraria deµ œ Ö/ ß / ßá ß / × Z 8 ?:6+" # 8

números determina una funcional a saber, el funcional definido porα α" 8ßá ß 0

0 @ œ3œ"

83

30 α

donde los son las coordenadas del vector en la base .0 µ3 @A cada base del espacio corresponde una baseµ œ Ö/ ß / ßá ß / × Z" # 8

µ µ‡ " # 8 ‡œ Ö/ ß / ßá ß / × Z del espacio dual , llamada de , así definida: sibase dual

@ œ /3œ"

83

30 entonces

/ @ œ 3 œ "ß #ßá ß 83 30 esto es, es el funcional lineal que al vector asocia su coordenada en/ @ 3 =37+3 éla base . Debemos demostrar que es, en efecto, una base. El sistemaµ µ‡

µ -‡ " # 8 3

3œ"

8

3œ Ö/ ß / ßá ß / × / œ ! es linealmente independiente, pues significa

Œ3œ" 3œ"

8 8

3 33 3- -/ @ œ / @ œ ! @ − Z Þ, cualesquiera que sea el vector Haciendo

sucesivamente , obtenemos , y como@ œ / ß 4 œ "ßá ß 8 / / œ !ß 4 œ "ßá ß 84 3 43œ"3Á4

83-


/ / œ"ß =3 3 œ 4!ß =3 3 Á 4

34 œ

La suma del primer miembro se reduce a , por lo tanto . Se- -4 4 œ !ß 4 œ "ßá ß 8

sigue que todo funcional lineal es combinación lineal de los elementos de ,0 µ‡

pues de como ,y, obtenemos0 @ œ 0 / œ 0 / ß œ / @ 0 / œ ßŒ3œ" 3œ"

8 83 3 3 3

3 3 3 30 0 0 α

0 @ œ / @ œ / @ 0 œ / ßŒ3œ" 3œ" 3œ"

8 8 8

3 3 33 3 3α α α, esto es, lo que demuestra totalmente

nuestra afirmación.EJEMPLO: Sea un abierto de y una función real diferenciable, definida en .E 0 E‘8

La forma más conveniente de definir la diferencial de en el punto es como0 : − Euna funcional lineal sobre el espacio vectorial . Es lo que hacemos en seguida, la‘8

derivada de la función , en el punto , relativamente a un vector es`0`@

8: 0 : @ − ‘

definida cuando el siguiente límite existe:lim>Ä∞

0 :>@ 0 :>

si @ œ ßá ßα α"8 , se demuestra facilmente, usando la regla de derivación de las

funciones compuestas que`0 `0`@ `B

3

3: œ :3 α

Usándose esta última expresión, es fácil verificar que goza de las siguientes`0`@ :

propiedades:"Ñ : œ : : ß @ß A −`0 `0 `0

` @A `@ `A8 ‘

#Ñ : œ : ß @ −`0 `0` @ `@

8- - ‘ - y escalar.

Así, dados y , una función , de en es una funcional lineal. Esto es,: 0 @ :`0`@

8‘ ‘

por definición, la de en el punto la cual se indica por . De estadiferecial 0 :ß .0:manera, aplicada en el vector toma los valores.0 @ œ ßá ß:

" 8α α`0 `0 `0`@ `B `B

3 3

3 3:: œ : .0 @ œ3 3α α, esto es, .

Como sabemos, el espacio posee una base ‘8 canónica formada por los vectores/ œ "ß !ßá ß ! ßá ß / œ !ß !ßá ß " Þ B À E" 8

3Las funciones coordenadas , que‘

asocian a cada punto su coordenada , forman las diferenciales; − E 3 =37+ B ;é 3

lineales las cuales, en el punto son como ya vimos funcionales.B ßá ß .B ß ; − Eß" 8

lineales o sea Afirmamos que es una base dual de la base.B − Þ .B ßá ß .B4 8 " 8‡‘

canónica En efecto, si vemos queÖ/ ßá ß / ×Þ @ œ ß ßá ß" 8" # 8α α α

.B @ œ ß 4 œ "ßá ß 84 3

3

`B`B

4

3α ,

como , obtenemos que , por lo tanto si si

`B`B

4 4 " 84

3 œ .B @ œ Ö.B ßá ß .B ×"ß 3 œ 4!ß 3 Á 4œ α

constituyen una base dual de la base como queríamos demostrar. LaÖ/ ßá ß / ×" 8

expresión conocida.0 œ : .B

: 3

3

`0`B

3


que expresa la diferencial de una función como combinación lineal de los ,0 .B3

puede ser obtenida sustituyéndose en , por su valor .0 œ : .B @ ß: 3

3

`0`B

3 3 3α α

3 œ "ßá ß 8 .0 @ œ : .B @. En efecto, procediendo así, obtenemos para cada: 3

3

`0`B

3

vector , lo que significa .@ − .0 œ : .B‘: 3

3

`0`B

3

Como una base y su dual tiene el mismo número de elementos, la dimensiónµ µ‡

del espacio dual de un espacio vectorial es igual a la dimensión de por loZ Z ßtanto y son isomorfos. Si y es la baseZ Z œ Ö/ ß / ßá ß / × œ Ö/ ß / ßá ß / ×‡ ‡ " # 8

" # 8µ µ

dual de , la aplicación que al vector el cual depende de laµ αX À Z Z @ œ /µ‡ 3

3œ"

8

3

base , asocia la funcional es un isomorfismo queÖ/ ß / ßá ß / × X @ œ /" # 83œ"

83 3

µ α

depende de la base pues si tomamos otra base laÖ/ ß / ßá ß / × œ Ö0 ß 0 ßá ß 0 ×" # 8 " # 8¹

aplicación definida de manera análoga a , será también unX À Z Z X¹‡

isomorfismo, más no necesariamente el mismo. No nos es siempre posibleconstruir un isomorfismo canónico entre y , y por lo tanto no debemosZ Z ‡

identificarlos. Pero es posible identificar con como mostraremos aZ Z ‡‡

continuación:AFIRMACION: Existe un isomorfismo canónico entre y ¼ Z Z Þ‡‡

En efecto, podemos definir la trasformación lineal así: si es la¼ ¼@ − Z ß @funcional que asocia a cada el escalar esto es, La: : ¼ : :− Z @ @ œ @ Þ‡

aplicación es biunívoca, esto es . En efecto, significa que¼ ¼@ œ ! Ê @ œ ! @ œ !

¼ : : : µ@ œ @ œ ! − Z Ö/ ß / ßá ß / × Z cualquiera que sea . Sea = una base de y‡" # 8

supóngase que . Entonces cualquiera que sea @ œ / @ œ / œ ! − Z Þ3œ" 3œ"

8 83 3 ‡

3 3α : α : :

Considerando la base dual y tomando sucesivamenteµ‡ " # 8œ Ö/ ß / ßá ß / ×

: : : α α αœ / ß œ / ßá ß œ / ß œ !ß œ !ßá ß œ ! @ œ !" # 8 " # 8obtenemos que de donde .Como y tienen la misma dimensión se sigue que es un isomorfismoZ Z ‡‡ ¼(porque y son de dimensión finita).Z Z ‡‡

El lector podrá observar fácilmente que la definición de no envuelve ninguna¼elección arbitraria, por lo tanto es un isomorfismo canónico.¼OBSERVACION: Solamente para espacios de dimensión finita existe el isomorfismoentre y . Esto se expresa diciendo que tales espacios son . CuandoZ Z ‡‡ reflexivosla dimensión de es infinita dada una base = de , el conjunto Z Ö/ × Z œ Ö/ ×µ µα

α‡

definida de manera análoga es formada por funcionales linealmente/‡

independientes, más nunca generan . Luego no es una base para Así laZ Z Þ‡ ‡

aplicación lineal : es siempre biunívoca pero no es sobre a menos que¼ Z Z Z‡‡ ‡‡

la dimensión de sea finita como en la afirmación. En esta forma solamente losZespacios de dimensión finita gozan de la propiedad de ser reflexivos. El lectorpodra encontrar en el análisis funcional la aplicación de que ciertos espacios dedimensión infinita que son reflexivos, mas es bueno tener en mente que allí talesespacios poseen topología, y las funciones lineales consideradas son apenas


continuas. En el caso puramente algebraico el cardinal de una base de , cuandoZ ‡‡

es infinito es siempre mayor que el número cardinal de una base de , esto esZ.37Z .37Z‡‡ .

BIBLIOGRAFIA

- Algebra Moderna, Birkhoff & MacLane, Editorial Teide, Barcelona, 1960.- Bourbaki, N., , Fascicule de Résultats, Hermann,Théorie des ensembles París, 1958.- Carakushansky, Mina S. & La Penha, G., , McGraw-Hill,Algebra Lineal Book Company, Bogotá, 1980.- Grossman, S.I., , Grupo Ed. Iberoamérica, 1983.Algebra Lineal- Halmos, P.R., , Cecsa, México D.F., 1965.Teoría Intuitiva de Conjuntos- Herstein, I.N., , Blaisdell Pub., London, 1964.Topics in Algebra- Hoffmann & Kunze, , Editora Polígono, Sao Paulo, 1971.Álgebra Linear- Kaplan, W. & Lewis, D.J., , Wiley Int.Ed. 1970.Calculus and Linear Algebra- Lang, S., , Fondo Ed. Interamericano, Sao Paulo, 1975.Algebra Lineal- Mostow, Sampson & Meyer, , McGrawFundamental Structures of Algebra -Hill Book Company, N.Y., 1963.- Muñoz, J.M., , 4a. Ed., U.N., 2002. Introducción a la Teoría de Conjuntos- Suppes, P., , Editorial Norma, Cali,Teoría Axiomática de Conjuntos Colombia, 1968.

D‘’LLƒ

Espero que el lector haya obtenido algún provecho de este trabajo en elaprendizaje del Álgebra Lineal con operadores .

Quiero agradecer a mi hijo Juan Armando quien ha sido un animador permanente de este proyecto de aprendizaje enmatemática avanzada y que sin él, habría sido imposible realizarlo. También a mi esposa Nohora quien leyó todos losoriginales y cuidó del buen manejo del lenguaje español. A la ingeniera Esperanza Nieto quien gentilmente ha leído grannúmero de los temas que han salido al ciberespacio.

Exitos y bienvenidos a la investigación por internet. Cualquier comentario favorhacerlo llegar a: [email protected],


[email protected]

Copyright© Darío Sánchez Hernández

Documents

Algebra Lineal Dario Sanchez