“INSTITUTO TECNOLOGICO DE LA

PAZ”

“CARPETA DE EVIDENCIAS”

ALGEBRA LINEAL

I Unidad

Prof. OSCAR GUERRERO PIÑERA

Jesús Patricio Franco Galván

Contador público

“NÚMEROS COMPLEJOS”

Números complejos: surgen al resolver ecuaciones algebraicas en las que hay que calcular raíces cuadradas de números negativos.

Números reales: estos números nos sirven para contar y ordenar, son para hacer sumas, restas, etc.

N= {1, 2, 3, 4…..}

¿Cuáles de las ecuaciones no se pueden resolver con los números naturales?

a) X+5=12 b) X+11=30

c) X+7=7 d) X+12=5

¿Cuáles no se pueden resolver con los números naturales?

a) X+25=27 c) X-6=0 e) X+4=1

b) X+4=20 d) X-7=4 f) X+14=10

¿Qué ecuaciones no se pueden resolver con los números enteros?

a) 3X=15 c) 11X=-341

b)-2X=18 d) 4X=34

Para que las ecuaciones del tipo AX=B tengan siempre solución, debemos usar el conjunto de los números racionales pues con los naturales no siempre se puede restar.

Q= { X/X = ABdonde: A, B, ∈ σ ≠ 0 }

¿Cuáles no se pueden resolver con los números enteros?

a) -5X=60 c) 2X+1=15 e) -3X-3=1

b) -7X=22 d) 6X-2=10 f) –X+7=6

¿Cuáles de ellas no tienen solución en los racionales?

R= d

¿Qué tipos de números han resultado cuando las soluciones no pertenecen a los números racionales (Q)?

a) 3X2-12=0 b) X2-6X+8=0

3X2=12 X2= 123

x=−6±√(−6)2−4 (1 )(8)

2(1)

X=√4 X=2

x=6±√36−322

6±√ 42 6±√2

b) 2X2+X-1=0 d) X2-2=0

x=−1±√(−1)2−4 (2 )(−1)

2(2)

X= √2

x=1±√−1−84

1 ±√−9

Números irracionales (decimales no periódicos infinitos).

Radicales no exactos √2, √3, √5….

a)5X2-15=0

b) X2-3X-4=0 x=−0±√(0)2−4 (5 )(−15)2(5)

x=−3±√(3)2−4 (1 )(−4)

2(1)

x=0±√30010

x=0±√3010

x=3±√9−162

X1=√3 X2=√−3

3±√−7

c)2X2+5X+1=0 d) X2-9=0

x=−5±√¿¿¿ x=−0±√(0)2−4 (1 )(9)

2 (1)

x=0±√362

x=5±√25−84

x=5±√174

x=0±√182

X±√9

X1=5±√174

X2=5±−√17

4 X1=√3 X2

=−√3

e) 7X2-7X=0

f) 2X2+3X=0 x=−0±√(0)2−4 (7 )(−7)2 (7) x=

0±√19614

x=−0±√(0)2−4 (2 )(3)

2(2) x=−0±√24

4

x=0±√1414

X1=1 X2=0 0±√6 X1=√6

X2=−√6

¿Qué ecuación se puede resolver en Q?

B, D, E, y F

¿Cuáles soluciones son racionales y cuales irracionales?

RAC.. b, d, e, y f. IRRAC.. a y c.

Paso de Q (racionales) a R (reales)

X2-4X+3=0 X2-2X+1=0

(X-1)(X-3) (X-1)(X-1)

X-1=0 X-3=0 X-1=0 X-1=0

X1=1 X2=3 X1=1 X2=1

X2-6X+11=0

x=−6±√¿¿¿

x=6±√¿¿¿ x=6±√8

Discriminante

x=−b±√b2−4ac2a

DISCRIMINANTE ECUACION FUNCION

Si D > 0 Dos soluciones Dos puntos de corte con el eje X

Si D = 0 Una solución Un punto de corte en el eje X

Si D < 0 Ninguna solución Ningún punto de corte en el eje X

RESOLVER

a¿X ¿2-2=0 b¿X ¿2-2X+1=0

X2=2 X=√2 (X-1) (X-1)

X-1=0 X-1=0

X1=1 X2=1

c ¿3 X ¿2+9=0 d ¿ X ¿2+1=0

X2=-9 X2=-1

X= −93

X=√−1

X1=-3 X2=√−3 e ¿5 X ¿2+10=0

5 X2=-10

X=−105

X1=-2 X2=√−2

¿Cuál de ellas no tienen solución en los R?

AYB

¿Qué signo tiene el discriminante de la ecuación cuando decimos que no tiene solución real? NEGATIVO

¿Qué operación no se puede resolver con los números reales?

RAICES NEGATIVAS

NUMEROS COMPLEJOS

i=√−1 NOTA 1: los reales también son complejos a+oi.

i2 =-1 NOTA 2: los complejos donde A=0 se llaman imaginarios 0+bi.

Z=a+bi NOTA 3: si a+bi es numero complejo a es la parte real y b imaginaria.

A y b son números reales.

EJEMPLO: 3+5i

12−√2 i -3i

CONJUGADOSZ=A+Bi Z=A-Bi

El conjugado de es..

3+2i= 3-2i

3-2i= 3+2i

7i= -7i

9= 9

OPUESTOSZ=A+Bi z=A+Bi

El opuesto de es…

3+2i= -3-2i

3-2i= -3+2i

7i= -7i 9= -9

1-ESCRIBIR LAS SIGUIENTES EXPRESIONES EN Bi.

a¿√−9 c ¿√−8 e ¿√−116

√9 √−1= √3 √−1 √8 √−1= √4 √−1 √ 116 √−1=

14 √−1

=3i =2 √2i

√ 14 ib¿√−100 d ¿√−7 f ¿ √−4

9

√100 √−1= √10 √−1 √7 √−1= √7 i √ 49 √−1=√ 23 =

√−1

√10 i

=√ 23 i2- DETERMINAR: A) LA PARTE REAL, B) LA PARTE IMAGINARIA, C) EL CONJUGADO, D) EL OPUESTO DEL NÚMERO CONJUGADO.

I. 1-i= a) 1 b) -1 c) 1-i d) -1-0iII. 1-i= a) 1 b) 0 c) 1+0i d) -1+0iIII. -2+4i= a) -2 b) 4 c) -2-4i d) 2-4iIV. 2= a) 2 b) 0i c) 2-0i d) -2-0iV. 2i= a) 0 b) 2 c) 0-2i d) -0-2i

VI. 3−5 i2 = a) 32 b) −5

2 c) 32 + 52 d) -32 +52

VII. -√2 + √3 i= a) -√2 b) √3 c) -√2 - √3 d) √2 - √3

VIII. 0= a) 0 b) 0i c) 0-0i d) -0-0i

SUMA Y RESTA DE COMPLEJOS

Z1+Z2= (A+Bi) + (C+Di)= (A-C) + (B-D)i

Z1−Z2= (A+Bi) - (C+Di)= (A-C) + (B-D)i

a) (3+i) + (1-3i)= (3+1) + (1-3)i= 4-2ib) (3+i) - (1-3i)= (3-1) + (1-3)i= 2+4ic)(-5+3i) + (6+4i)= (-5+6) + (3+4)i= 1+7id) (-5+3i) - (6+4i)= (-5-6) + (3-4)i= -11-ie) (1-4i) + (-1-i)= (1-1) + (-4+(-1))i= -5if) (1-4i) - (-1-i)= (1-1) + (-4-1)i= 2-3ig) (-4+2i) + (1+5i)= (-4+1) + (2+5)i= -

3+7ih) (-4-2i) - (1-5i)= (-4-(-1)) + (-2-(-5))i= -

5+3i

Ejercicio:

1) (4-4i)+4= (4+4) + (-4)i= 8-4i2) (4-4i4= (4-(-4)) + (-4)i= -4i3) (6+3i) + el conjugado de (6+3i)= (6+3i)

+ (6-3i)= (6+6) + (3+(-3))i= 12i4) )-5-i) – el opuesto de (-5-i)= (-5-i) - (-

5+i)= (-5-5) + (-1-1)i= -10-2i5) i+(-2+3i)=(-2)+(1+3)i=-2+4i6) i-(-2+i)=-(-2)-(1-1)= 2i

7) (0.5+5i)-(-3+0.6i)= (0.5-(-3))-(5-0.6)i=(0.5-(-3))-(5-0.6)i= 3.5+4.4i

8) (0.8-2.9i)+(5.2+2.9i)=(0.8+5.2)+(-2.9+2.9)i= 6i

9) (√3-2i)+(−2√3+2i)= (√3)+(−2√3)+(-2+2)=-2i10) (9+2bi)-(-3a-bi)=(a-(-3a))-(2-(-b))=

4a+3bi11) (5+2i)+(-5-2i)=(5+(-5))+(2+(-2))= 012) (8-√2i)+(8+√2i)=(8+8)+( -√2+√2)=16i

MULTIPLICACION DE COMPLEJOS

Si Z1= A+Bi Z2=C+Di Z1∗Z2= (A+Bi) * (C+Di)= (AC-BD) + (AD+BC)i

Si KER -> K(A+Bi)= KA+KBi

(2+3i)(4+7i)= (8+14i+12i+21i2)= 8+14i+12i+21(-1)= -13+26i

(2-7i)(3+4i)= (6+28)+(8-21)i= 34-13i

(1+i)(2-3i)= (2+3)+(-3+2)i= 5-1

Resolver:

1) (2+3i)(-2-3i)= (-4+9)+(-6-6)i= 5-12i2) (-1-2i)(-1+2i)= (1+4)+(-2+2)i= 53) 5(2+5i)=10+25i4) 2(3+2i)=6+4i5) (2+5i)(2-5i)= (4+25)+(-10+10)i= 29

6) (6+3i)(2+i)= (12-3)+(6+6)i= 9+12i

DIVICION

Si Z1= A+Bi Y Z2=C+Di siendo Z2≠0

Conjugado del denominador

z1z2 = (a+bi)

(c+di) = (a+bi )(c−di)

(c+di )(c−di) = ac+bd

c2+d2 ≠ bc−adc2+d2

Conjugado del denominado

3+2i−1+2 = (3+2i )(−1−2i)

(−1+2i )(−1−2i) = −3−6 i−2i−4 i1−4 i2 = 1−8 i5

a) 2+4 i4−2 i =

(2+4 i )(3−i)(3+i )(3−i) = 8+4 i+16 i+8 i

2

16−4 i2 = 20i20

b) 1−4 i3−i =

(1−4 i )(3−i)(3+i )(3−i) = 3−i−12 i+4 i

2

9−i2 = −1−13 i10

c) 5+i−2−i =

(5+i )(−2+i)(−2−i )(−2+i) = −10+5 i−2i+i

2

4−i2 = −11+3 i5

d) 4−2 ii =

(4−2 i ) (−i )( i ) (−i ) = −4 i+2 i

2

−i2 = −2−4 i1

e) −1+3i2−i =

(−1+3i )(3+ i)(2−i )(3+i) = −2−i+6 i+3 i

2

4−i2 = −5+5 i5 = -1+i

f) 1−4 i3−i =

(1−4 i )(3+i)(3−i )(3+ i) = 3+i−12 i−4 i

2

9+3 i−3 i−i2 = 710 = −1110 i

g) 5+i2+i =

(5+i )(2−i)(2+i )(2−i) = 10−5 i+2i−i

2

4−i2 = 11−3 i5

INVERSOS

Si Z1= A+Bi Z1≠0

1Z= 1

(A+Bi) = 1 (a−bi )(A+Bi)(A−Bi) = a

A2+B2 - b

A2+B2 i

1+2i= 11+2i = =

1 (1−2 i)(1+2i )(1−2i) =

1−2 i1−4 i2 – 1−2 i5 i

a) 3+2i= 13+2i = =

1 (3−2 i )(3+2i )(3−2 i) =

3−2 i9−4 i2 – 513 i

b) -3-2i= 1−3−2 i = =

1 (−3+2 i )(−3−2 i )(−3+2 i) =

−3+2 i9−4 i2 – −513

c)2i= 11+2i = =

1 (−2 i )(2i )(−2 i) =

−2i−4 i2 – −2i4

d) 5= 15 = = 1 (5 )

(5 )(5) = 525 =5