Universidad de los AndesFacultad de Humanidades y Educación

Escuela de Educación Mención MatemáticaDepartamento de Medición y Evaluación

Cátedra: Algebra I

PROPUESTA PARA LA ENSEÑANZA SISTEMA DE ECUACIONES

Autores:Peña Carrero

Militza Elisabeht C.I.: 14771047

Mérida, Marzo 2011.

Introducción

Proyecto didáctico dirigido a estudiantes de 9no grado de educación básica, cuya finalidad es afianzar el proceso de enseñanza-aprendizaje de Algebra en los estudiantes. Cabe resaltar que esta herramienta es un complemento al trabajo adicional que realizan los docentes en las aulas de clase.

En esta unidad didáctica se estudiará el sistema de ecuaciones lineales y la representación gráfica de sistema de ecuaciones con dos incógnitas, utilizando como sistema de referencia los ejes cartesianos. Conoceremos las distintas formas de expresar algebraicamente un sistema de ecuaciones, el concepto de ecuaciones lineales con dos incógnitas, así como, la solución del sistema conocidos dos ecuaciones. Dadas dos ecuaciones lineales, conoceremos sus posiciones relativas, es decir, si son paralelas, coincidan si se cortan.

Esta propuesta didáctica, nace con la finalidad de desarrollar habilidades en los estudiantes, tales como: pensamiento abstracto y lógico, y estrategias para la resolución de ejercicios. Además, como herramienta que oportuna un cambio a la metodología cotidiana de memorización forzada; de esta manera, se da un paso a la estimulación de los sentidos y la imaginación.

OBJETIVO GENERAL

Estudiar sistema de ecuaciones OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

Resolver gráficamente sistemas de ecuaciones con dos incógnitas. Resolver analíticamente sistemas de ecuaciones

CONTENIDOS CONCEPTUALES

CONTENIDOS PROCEDIMENTALES

CONTENIDOS ACTITUDINALES

1.-Sistema de ecuaciones:- Ecuaciones lineales con dos incógnitas- Solución de una ecuación lineal-Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas 2.- Sistema compatible incompatible e indeterminados-Clasificación de sistemas de ecuaciones lineales 3.-Método grafico de resolución4.-Método analítico de reducción 5.-Método analítico de sustitución 6.-Método analítico de igualación 7.-Sistemas de ecuaciones literales

Identificación de los métodos de resolución

Determinación de sistemas de ecuaciones de dos incógnitas

Representación gráfica de un sistema de ecuaciones con dos incógnitas

Aplicación de los contenidos en la resolución de problemas.

Valoración del sistema de ecuaciones como noción de sistema de referencia, que pueda ser utilizado en sus actividades diarias, en la localización de sistemas de ecuaciones de dos incognitas lineales

Mapa Conceptual

SUSTITUCIÓN

SISTEMA DE ECUACIONES

SISTEMA DE ECUACIONES

LINEALES CON DOS INCÓGNITAS

SISTEMA COMPATIBLES,

INCOMPATIBLES E INDETERMINADOS

SISTEMA DE ECUACIONES LITERALES

REDUCCÍON

MÉTODO GRAFICO DE RESOLUCIÓN

MÉTODO ANALÍTICO

IGUALACIÓN

Desarrollo de los contenidos:

Ecuaciones lineales con dos incognitas: Una ecuación que pueda escribirse en la forma Ax +By = C, donde los coeficientes A, B y C son números reales, se denomina ecuación lineal con dos incógnitas o variables. Ejemplo:

a) 2x – 3 = y es una ecuación lineal, ya que se puede escribir 2x –y = 3 También A = 1 , B = 0 , C = 5 será una ecuación lineal pues como es de la forma Ax +By = C entonces 1. X + 0.y = 5 entonces X = 5

Será x + 1 = 2 una ecuación lineal Y – 2 3Entonces 3. (x + 1) = 2. (y – 2) 3x + 3 = 2y - 4

3x – 2y = -4 -3 3x – 2y = -7 es una ecuación lineal de la forma Ax +By = C donde A = 3 B = -2 , C = -7

Solución de una ecuación lineal: un par ordenado (a, b) es solución de la ecuación lineal Ax +By = C si al cambiar x e y por a y b resulta una identidad, es decir, si se cumple la igualdad Aa + Bb = C.Ejemplo: 2x –y = 12 es una ecuación lineal; El par ordenado (6, 0) es una solución de la ecuación 2. 6 – 0 = 12 Cada ecuación lineal con dos incógnitas posee infinitas soluciones, pues una ecuación lineal Ax +By - C = 0 por lo tanto su representación gráfica es una recta.Ejemplo:2x – 3y = 6 se puede escribir 2x – 3y – 6 = 0 hallamos los puntos de cortes hacemos a y = 0 entonces 2x = 6 X = 3 hacemos x = 0 entonces - 3y = 6 Y = -2 los puntos de cortes (3, -2)

Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas: un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas es un conjunto finito de ecuaciones lineales. La solución del sistema es la solución que es común a cada ecuación del sistema. El sistema se dice Homogéneo si cada ecuación lineal es homogénea.

Considera los siguientes sistemas de ecuaciones lineales

a) 2x – 3y = 6 4x + 2y = 12

Solución: De cada ecuación hallamos los puntos de intersección 2x – 3y = 6 hacemos Y = 0 entonces 2x = 6 entonces X = 3 hacemos X = 0 entonces – 3y = 6 obtenemos Y= - 2 los puntos ( 3, -2) 4x + 2y = 12 de la segunda ecuación obtenemos los puntos de intersección hacemos Y= 0 entonces 4x = 12 obtenemos X = 3 hacemos X= 0 entonces 2y = 12 obtenemos Y = 6 los puntos (3, 6) por esta razón los de intersección de cada ecuación no es la solución es el punto de intersección de las dos ecuaciones como se ve en la gráfica la solución es (3, 0)

Sistema de ecuaciones Compatibles: si tiene soluciones; si un sistema compatible tiene una solución se denomina compatible determinado si tiene infinitas soluciones compatible indeterminado.Ejemplo:

a) X = 3 Y = 4

Solución: La solución de la primera es (3, y), la de la segunda es (x, 4); o sea si se representa ambas rectas en un plano cartesiano se obtienen la recta vertical x = 3 y la recta horizontal y = 4, que se cortan en el punto (3, 4), por lo tanto es la única solución y el sistema dado es compatible porque tiene solución y determinado porque tiene una sola solución.

b) x + y = 3

3x + 3y = 9

Las dos rectas que representan el sistema de ecuaciones lineales dado coinciden, ya que la segunda es tres veces la primera

Solución: Las soluciones de una son infinitas, son las soluciones de la otra. Por lo tanto, el sistema dado es compatible indeterminado. Entonces tomamos la primera ecuación y hacemos y = 3 – X le damos valores arbitrarios a X = 1 entonces y = 3 – 1 entonces Y = 2 el punto de intersección es (1, 2)

Sistema de ecuaciones Incompatibles: si no tiene soluciones.

Ecuación Lineal Homogénea: si su término independiente es cero.

Equivalente: dos ecuaciones lineales o dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si tienen exactamente las mismas soluciones.

a) X – Y = 2

- 2X + 2Y = 5

Las rectas dadas en el sistema son paralelas porque tienen la misma pendiente 1. Por ende el sistema de ecuaciones lineales dado tiene solución y es incompatible. Si dos rectas son paralelas y distintas entonces no tienen puntos en común. Si un sistema de ecuaciones lineales esta formado por dos rectas paralelas es incompatible, ya que no tiene soluciones.

Método Gráfico de Resolución: consiste en representar gráficamente las rectas de cada una de las ecuaciones lineales del sistema y determinar así la solución del sistema. Si las rectas son secantes el sistema tiene una solución, la cual es el punto de intersección; si las rectas coinciden la solución es cualquiera de las rectas por lo cual se tiene infinitas soluciones; si las rectas son paralelas el sistema no tiene solución.

Ejemplo: a) 2x + y = 4

3x + y = 5

Solución 1) Se hallan los puntos de corte de la primera recta con los ejes x e y

Para y = 0, se tiene que: 2x + 0 = 4 entonces x = 2 un punto de corte (2, 0)Para x = 0, se tiene que 2.0 + y = 4 entonces y = 4 un punto de corte (0, 4)

2) Se hallan los puntos de corte de la segunda recta con los ejes x e yPara y = 0 se tiene que: 3x + 0 = 5 entonces 3x = 5 entonces x = 5/3 un punto de corte (5/3, 0).Para x = 0, se tiene que: 3.0 + y = 5 entonces 0 + y = 5 entonces y = 5 el otro punto de cortes es (0,5)

3) Luego, se trazan ambas rectas y se observa que la intersección es el punto (1,2)

4) Se comprueba el resultado obtenido. Al sustituir las coordenadas del punto (1, 2) en la primera ecuación, resulta:

2x + y = 4 3x + y = 5 2.1+2 = 4 3.1 + 2 = 5 2 + 2 = 4 3 + 2 = 5 4 = 4 5 = 5Por lo tanto, la solución de este sistema es el punto (1, 2)

Método analítico de reducción: consiste en multiplicar cada ecuación del sistema por un número no nulo, de modo que los coeficientes de una de las incognitas sean opuestos; luego se suman las ecuaciones obtenidas para eliminar esa incógnita y hallar el valor de la otra Ejemplo:

X + 2Y = 9 a) 3X – y = 6

Solución: 1. Se transformara el sistema en otro equivalente de manera que los coeficientes

de una de las dos incógnitas sean números opuestos. Si se multiplica la segunda ecuación por 2 los coeficientes de y serán números opuestos

X + 2Y = 9 x + 2y = 9 Entonces 2. 3X – y = 6 6x – 2y = 12

2. Se suman miembro a miembro las dos ecuaciones para que se elimine una incógnita, en este caso y.

x + 2y = 9 6x – 2y = 12 7x = 21

3. Se resuelve la ecuación que queda con una sola incógnita; se halla el valor de x

7x = 21X = 21/7X = 3

4. Se sustituye el valor de la incógnita de X en una de las ecuaciones dadas para hallar el valor de la otra incógnita Y y resolver el sistema.

3 + 2y = 92y = 9 – 3 2y = 6 Y = 6/2 Y = 3

La solución del sistema es X = 3 e y = 3

Queda completamente comprobado

X + 2Y = 9 3 + 2 .3 = 9 9 = 9a) entonces entonces 3X – y = 6 3.3 – 3 = 6 6 = 6

Método analítico de sustitución: consiste en despejar en una de las ecuaciones una de las incógnitas y sustituirla en la otra ecuación, para que así quede una ecuación con una sola incógnita y pueda hallarse su valor; luego se halla el valor de la otra incógnita.

2X - Y = 3 a) 3X +5y = -2

Solución: a) Se despeja una de las incógnitas en una de las ecuaciones. En este ejemplo se despeja Y en la primera ecuación

Y = 2X - 3 (xx)b) Se sustituye la incógnita despejada en la otra ecuación del sistema

3X +5(2x – 3 ) = -2 3x + 10x -15 = -213x = -2 +1513x = 13 X = 13/13 X =1

c) El valor de X se sustituye en (xx)

Y = 2.1 - 3 Y = 2 – 3 Y = - 1

La solución es x =1 e y = -1, es decir, el par (1, -1), se comprueba igual que el anterior

Método analítico de igualación: consiste en despejar en cada una de las ecuaciones una de las incognitas e igualar los segundos miembros de ellas para

obtener una ecuación con una sola incógnita, hallar su valor y luego el de la otra incógnita.

X +3Y = 7 a) X - 2y = -3

Solución:

a) Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones lineales.

X = 7 - 3Y X = -3 + 2yb) Se igualan los segundos miembros de las ecuaciones despejadas

7 - 3Y = -3 + 2y7 + 3 = 3y + 2y 10 = 5y

Y = 10/5Y = 2

c) se despeja la incógnita resultante que en este caso es y d) Se sustituye este valor de la incognita y = 2 en una de las ecuaciones ya despejadas X = 7 - 3Y entonces X = 7 – 3.2 se obtiene X = 7 – 6 entonces X = 1

Luego la solución del sistema es el par (1,2) se comprueba igual que el anterior

Sistema de ecuaciones literales: contiene al menos una letra como coeficiente, la cual denota una constante. Ejemplo: ax -2y = 5 Un sistema de ecuaciones lineales con coeficientes literales es aquel sistema compuesto por ecuaciones lineales con coeficientes literales. Ejemplo: x + y = a+b

b2 a2 X – Y= ab(b-a )

El sistema de ecuaciones lineales dado se resuelve por uno de los métodos ya explicados como el de reducción.En este caso, primero se eliminan los denominadores y para ellos se multiplica la primera ecuación que los tiene a2 b2

x + y = a+b entonces (a2 b2) .x + (a2 b2). Y = (a2 b2) (a+b) b2 a2 b2 a2

a2 x + b2 y = a2 b2 (a+b) Se obtiene el sistema de ecuaciones a2 x + b2 y = a2 b2 (a+b) X – Y= ab(b-a )

La incógnita y tiene signos y coeficientes distintos. Por eso se multiplica la segunda ecuación por b2 ,para que los coeficientes sean opuestos a2 x + b2 y = a2 b2 (a+b) b2 X – Y= ab(b-a ) Entonces

a2 x + b2 y = a2 b2 (a+b) b 2 x - b 2 y = ab 3 (b – a) a2 x + b2 x = a2 b2 (a+b) + ab3 (b – a)

Al tomar factores comunes: x en el primer miembro y ab2 en el segundo miembro se obtiene: (a2 + b2)x = ab2 a ( a + b) + b ( b – a )

(a2 + b2)x = ab2 ( a2 +ab +b2 - ab)

(a2 + b2)x = ab2 (a2 + b2 ) entonces X = ab2

Por otro lado, se despeja y en la segunda de las ecuaciones dadas:X –y = ab(b – a) entonces x – ab(b - a) = y entonces y = x –ab (b - a)Luego, en esta ecuación despejada se sustituye x por el valor hallado Y = ab2 - ab( b - a) = ab2 - ab2 + ab2 = a2 b entonces y = a2 bPor lo tanto la solución del sistema es x = ab2 e y = a2 b o sea (ab2, a2 b)

Actividades

Lluvia de ideas, donde se trataran los conceptos de: Sistema de ecuaciones, ecuaciones lineales, sistema de ecuaciones con dos incognitas, método analíticos, método grafico, ecuaciones literales.

Se explicará a los alumnos los conceptos básicos de: ecuaciones suma de números enteros, así como también cómo localizar y/o ubicar puntos en él plano cartesiano para graficar las ecuaciones por medio de este blogs.

Juego didáctico, donde se evidenciará si el alumno ha entendido la explicación de sistema de ecuaciones. El estudiante deberá, ubicar en el plano cartesiano los sistemas de ecuaciones de dos incógnitas donde el aprecie la recta del sistema de ecuaciones de dos incógnitas.

Se continuará con el tema, tratando los puntos: método de reducción, sustitución, igualación, sistema de ecuaciones literales

Resolución de guía de ejercicios

Evaluación:El estudiante mediante un sondeo de entrada a través de la formulación de preguntas abiertas (lluvia de ideas), en la que se espera de los estudiantes nos den respuestas que nos permitan identificar el grado de conocimiento que tienen.Formulación de preguntas abiertas que se hará a los estudiantes:A.- ¿Qué es sistema de ecuaciones?B.- ¿Qué es Ecuaciones lineales con dos incognitas?C.- ¿ Qué es Equivalente?D.- ¿Cuál es la diferencia entre ecuación y sistema de ecuaciones?E.- ¿Qué quiere decir Compatibles, incompatibles e indeterminados?F.- ¿Qué quiere decir que dos ecuaciones sean perpendiculares?

B) Formativa

Participación en juego didáctico “UBICAR”, donde los estudiantes deben resolver un sistema de ecuaciones lineales de dos incógnitas correspondientes a ubicar en el plano cartesiano.

Aplicación de una prueba corta, con la resolución de una guía de ejercicios. De esta manera, podemos verificar si se han logrado los objetivos propuestos (ver anexo 2)

Materiales a utilizar:

Lápiz. Borrador. Sacapuntas. Juego Geométrico. Hojas tamaño carta. Juego Didáctico “UBICAR” plastilina

Anexos

Anexo N° 2:

Prueba Escrita

Grado: __________ Sección: __________

Instrucciones: A continuación se presenta una serie de actividades o ejercicios, usted deberá resolverlas. Al finalizar deberá ser publicada con sus resultados, los cuales serán publicados en este blogs.

1. Resuelve gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones e indica la clasificación de cada uno.

a) Y + 2 = 5 c) 2x –y = 2

3y =9 x = 1

b) 2x + 5y = 7 d) x + y/2 = 1

3x – y = 2 2x + y = 6

2. Identifica los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas cuales son Homogéneos

a) X – 5 = 0 b) x3 – 2x =0

Y – 7 = 0 y – x = 2

c) x = - 5y 2x = y

3. Clasifica cada sistema de ecuaciones lineales si es compatible o no, y si es determinado o no. Resuelve en cada caso el sistema de ecuaciones lineales dado

a) X = - 3 b) x + y =0

X +1 = 0 2x + 2y = 0

c) x +y = 0 x – y = 0

4. Resuelve cada sistema de ecuaciones lineales mediante el método de reducción, sustitución, igualación

a) X - y = - 5 b) 3 x - 2 y = 10

2 X +y = 10 2x + 5y = 5

c) x - 5y = 8 7x – 8y = - 25

a) 11X - 13y = -16 3 b) 3x + 2y /5=2

7y - 8x = 94 2x + y /3 =2

c) 100 x +33y = 21 70 x – 9y = 4

5. Identifica si cada sistema de ecuaciones dado es lineal.

a) 3X - y = - √3 b) 2√x - 3= 0

2 X +7y = 5 x + 5y = 0

c) x + y -7 = 0 5 a2 x – 2by = 1

Juego Didáctico UBICAR

Instrucciones: En el siguiente recuadro, usted deberá ubicar los puntos de intersección de los sistemas de ecuaciones lineal e indicar con tiras de plastilina sus pares ordenados para apreciar la recta al finalizar el recuadro, como se muestra en el ejemplo.

Ejemplo:2x – 3y = 6 se puede escribir 2x – 3y – 6 = 0 hallamos los puntos de cortes hacemos a y = 0 entonces 2x = 6 X = 3 hacemos x = 0 entonces - 3y = 6 Y = -2 los puntos de cortes (3, -2)