áLgebra y ecuaciones 1º

301� MATEMÁTICAS 1.° ESO � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �

Introducción al Álgebra6INTRODUCCIÓN

Aunque los alumnos ya han estudiado el lenguajenumérico y algebraico, se presentan por primera vezen esta unidad situaciones en las que se aplican deforma directa este tipo de expresiones. Este hecho va a suponer un esfuerzo significativo en el razonamientoabstracto de los alumnos, por lo que hay queintroducir gradualmente el uso de letras por números,aproximándose a estos conceptos con ejemplossencillos y de la vida cotidiana hasta que se generaliceel procedimiento.

Realizar con agilidad las operaciones aritméticas con números naturales y enteros servirá de apoyo para sumar, restar, multiplicar y dividir monomios.Métodos tales como los de ensayo-error y el cálculomental reforzarán las operaciones con monomios.

La resolución de ecuaciones de primer grado es unode los objetivos de la unidad. Primero se resolveránecuaciones sencillas por tanteo y, posteriormente, seutilizarán las reglas básicas para resolver ecuacionesmás complejas.

RESUMEN DE LA UNIDAD

• El lenguaje numérico expresa la informaciónmatemática solo con números.

• El lenguaje algebraico expresa la informaciónmatemática mediante números y letras.

• Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras unidos por los signos de las operaciones aritméticas.

• El valor numérico de una expresión algebraicaes el número que se obtiene al sustituir las letras por números y operar.

• Los monomios son expresiones algebraicasformadas por productos de letras y números. El grado de un monomio es la suma de los exponentes de las letras que lo forman.

• Un polinomio es la suma algebraica de monomios.

• Una ecuación es una igualdad algebraica que solose verifica para algún valor de las letras.

• Una ecuación de primer grado con una incógnitaes una ecuación que tiene una sola incógnita y su grado es 1.

1. Diferenciar entre lenguajenumérico y algebraico.

2. Utilizar y comprender las expresiones algebraicas.Obtener el valor numérico de una expresión algebraica.

3. Identificar monomios. Distinguirentre monomios y polinomios.Realizar operaciones conmonomios.

4. Comprender el significado deigualdad, identidad y ecuación.

5. Resolver ecuaciones sencillasde primer grado.

• Lenguaje numérico y algebraico.Sustitución de letras por números.

• Expresiones algebraicas.

• Valor numérico de unaexpresión algebraica.

• Monomios. Nomenclatura.Monomios semejantes.

• Polinomios.

• Operaciones con monomios:suma, resta, multiplicacióny división.

• Concepto de igualdad, identidady ecuación.

• Términos y nomenclatura.

• Las ecuaciones y su estructura.Nomenclatura.

• Resolución de ecuacionespor tanteo y reglas prácticas.

• Expresión de situaciones de la vida cotidiana mediante el lenguaje algebraico.

• Lectura y comprensión de expresiones algebraicas.

• Obtención del valor numérico de expresiones algebraicas.

• Identificación y reconocimientode monomios y polinomios.

• Realización de operacionesaritméticas con monomios.

• Identificación y diferenciación de igualdades, identidades y ecuaciones.

• Determinación de los miembros,incógnita y solución de unaecuación.

• Uso de reglas prácticas para resolver ecuaciones.

OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS

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• Potencia es la forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales.

an = a ⋅ a ⋅ a ⋅ … ⋅ a (n veces) 43 = 4 ⋅ 4 ⋅ 4

• Perímetro de un polígono es la medida de su contorno, es decir, la suma de sus lados.

Rectángulo: P = a + b + a + b Cuadrado: P = a + a + a + a

• Área de un polígono es la medida de su superficie.

Rectángulo: A = b ⋅ a Cuadrado: A = a ⋅ a = a2 Triángulo: A =

El lenguaje que utilizamos habitualmente se llama lenguaje usual, y es con el que escribimos y/o hablamos. También usamos el lenguaje numérico, en el que empleamos números y signos aritméticos.

b h⋅2

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NOMBRE: CURSO: FECHA:

OBJETIVO 1

DIFERENCIAR ENTRE LENGUAJE NUMÉRICO Y ALGEBRAICO

a

a

bb

b a

a

b

a

a

aa

Expresa las siguientes frases con lenguaje numérico.

a) El triple de dos es seis.b) Veinte dividido entre cinco es cuatro.c) Quince menos ocho es siete.d) El cubo de dos es ocho.e) La cuarta parte de doce es tres.f) La suma de once más nueve es veinte.g) Catorce entre dos es siete.

1

h

Lenguaje usual Lenguaje numérico

La suma de dos más cuatro es seis. 2 + 4 = 6

Diez menos tres es siete. 10 − 3 = 7

Ocho dividido entre dos es cuatro. 8 : 2 = 4

El cuadrado de tres es nueve. 32 = 9

La mitad de doce es seis.12

26=

EJEMPLO

• Además del lenguaje escrito y el lenguaje numérico, se utilizan letras, normalmente minúsculas, para designar a un número cualquiera y para sustituir números.

• El lenguaje que utiliza letras en combinación con números y signos se llama lenguaje algebraico. La parte de las Matemáticas que estudia la relación entre números, letras y signos se denomina Álgebra.

• Las letras más usuales son: x, y, z, a, b, c, m, n, t, r, s, y representan a cualquier número.

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LENGUAJE USUAL LENGUAJE ALGEBRAICO

El doble de un número

Un número disminuido en 3 unidades

La mitad de un número

El cuadrado de un número

El triple de un número

Un número aumentado en 5 unidades

Completa la siguiente tabla.2

EXPRESIÓN LENG. NUMÉRICO LENG. ALGEBRAICO SE EXPRESA

La suma de 15 y 20 Sí No 15 + 20

La diferencia entre a y b

El cuadrado de c

La diferencia entre 15 y 9

El doble de 6

El triple de y

El doble de x más dos unidades

Escribe con lenguaje numérico o algebraico, según corresponda.3

EXPRESIÓN LENG. NUMÉRICO LENG. ALGEBRAICO SE EXPRESA

La diferencia entre a y b es igual a 10 No Sí a − b = 10

Tres elevado al cuadrado es igual a 9

La cuarta parte de x es 6

La suma de diez y nueve es diecinueve

El triple de diez veces y es igual a doce

El doble de nueve es 18

Tu edad hace cuatro años

Tu edad dentro de cuatro años

Escribe las frases en lenguaje numérico o algebraico, según corresponda.4

Lenguaje usual Lenguaje numérico

La suma de dos números. a + b

Un número aumentado en cuatro unidades. x + 4

El triple de un número. 3 ⋅ m

EJEMPLO

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OBJETIVO 2

OBTENER EL VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA

• El área de un cuadrado se obtiene multiplicando la medida de sus lados:

A = l ⋅ l = l2

• El perímetro de un campo de fútbol es la suma de sus lados (bandas):

P = x + y + x + y

EJEMPLO

a + b 2 ⋅ a

+ 1 x2 + 1

3 ⋅ (a + b) x + y − 5

x

3

EJEMPLO


EXPRESIÓN ESCRITA EXPRESIÓN ALGEBRAICA

El doble de la suma de dos números

El área de un cuadrado de lado 2

El cuadrado de un número más 4 unidades

El perímetro de un campo de baloncesto (largo b y ancho a)

El producto de tres números cualesquiera

La mitad de un número

El doble de un número más 3 unidades

2 ⋅ (x + y)

Utiliza expresiones algebraicas para expresar las siguientes informaciones.1

EXPRESIÓN ESCRITA EXPRESIÓN ALGEBRAICA

a + bx

4

m + 2

3 ⋅ (a ⋅ b)

x

32+

2 ⋅ (x − y)

Inventa frases para estas expresiones algebraicas.2

Una expresión algebraica es el conjunto de números y letras combinados con los signos de las operaciones aritméticas: suma, resta, multiplicación, división y potenciación.

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Halla el valor numérico de la expresión 3 ⋅ x − 5 cuando x toma los valores.

a) x = 0 c) x = 1 e) x = −1

3 ⋅ 0 − 5 = 0 − 5 = −5

b) x = 2 d) x = −2 f) x = −3

3

Calcula el valor de las expresiones para estos valores.4

Valor de x 3 ⋅ x − 2 x 2 + 1

x = 1−

x = 2−

x = −1

x = 0−

x = −2

3 ⋅ 1 − 2 == 3 − 2 = 1

12 + 1 == 1 + 1 = 2

Valor de a y b 5 ⋅ a − 2 ⋅ b (a + b)2

a = 0

b = 1

a = 1

b = 2

a = −1

b = −2

a = 2

b = 3

a = −2

b = −3

5 ⋅ 0 − 2 ⋅ 1 == 0 − 2 = −2

(0 + 1)2 == 12 = 1

Halla el valor numérico de la expresión 2 ⋅ x + 1, para x = 1.Primero habrá que sustituir la x de la expresión por el valor que se indica: 1.

2 ⋅ 1 + 1

Realizamos la operación y obtenemos el resultado, el valor numérico:

2 ⋅ 1 + 1 = 2 + 1 = 3

EJEMPLO

El valor numérico de una expresión algebraica es el número que resulta de sustituir las letras por números y realizar las operaciones que se indican.

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REGLAS PARA ESCRIBIR MONOMIOS

1.a El factor 1 no se pone:

1 ⋅ x ⋅ y es igual que x ⋅ y.

2.a El exponente 1 no se indica:

−3 ⋅ x1 ⋅ y2 es igual que −3 ⋅ x ⋅ y2.

MONOMIOSUn monomio es la expresión algebraica más simple y está formada por productos de letras y números.

• Los números se denominan coeficientes.

• Las letras se denominan parte literal.Ejemplos de monomios: 2 ⋅ x; 5 ⋅ x2; −x; x; −3 ⋅ y2; 3 ⋅ a ⋅ b



Completa las siguientes tablas.1

MONOMIO COEFICIENTE PARTE LITERAL

−5ab

x3

−5


4xyz

−3ab2c

4


2 ⋅ x 2 x


−3 ⋅ a ⋅ b −3 a ⋅ b


VALOR DE x COEFICIENTE PARTE LITERAL GRADO EXPLICACIÓN DEL GRADO

2x

−4a2bc3

3x3

2 x 1

3.a El signo de multiplicación no se pone ni entre losnúmeros ni entre las letras:

2 ⋅ a ⋅ b2 es igual que 2ab2.

OBJETIVO 3

IDENTIFICAR MONOMIOS. REALIZAR OPERACIONES CON MONOMIOS

EJEMPLO

MONOMIO GRADO EXPLICACIÓN

2x 1 El exponente de x es 1.

−4x2y 3 La suma de los exponentes de x2y1 es 3.

−5ab 2 La suma de los exponentes de a1b1 es 2.

GRADO DE UN MONOMIOLos monomios se clasifican por grados. El grado de un monomio es el número que resulta de sumar todos los exponentes de la parte literal del monomio.

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Para cada monomio escribe dos que sean semejantes y sus partes literales.3

MONOMIO SEMEJANTE SEMEJANTE PARTE LITERAL

3x

−2a2b

−5x3

−y2z3


POLINOMIO TÉRMINOS T. INDEPENDIENTE GRADO DEL POLINOMIO

−2x2 + 3x − 1

4ab − 2a2b

6x3 − 5x2 + 2x − 4

7xy + 2y

EJEMPLO

MONOMIOS PARTE LITERAL ¿SON SEMEJANTES?

2x 3x

4x2y 2xy2

x

x2y

x

xy2

Sí

No

EJEMPLO

POLINOMIO TÉRMINOS

3x3 + 5x − 4

−2ab + 4b

3x3 5x −4

−2ab 4b

T. INDEPENDIENTE

−4

No tiene

GRADO DEL POLINOMIO

El grado de x3 es 3

El grado de a1b1 es 2

MONOMIOS SEMEJANTESDos o más monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.

POLINOMIOSUn polinomio es una expresión algebraica formada por sumas y/o restas de dos o más monomios no semejantes.

• Cada uno de los sumandos se denomina término.

• Un término puede tener coeficiente y parte literal, o solo coeficiente y/o parte literal.

• Existen términos que solo tienen números, son los términos independientes.

• Los polinomios también se pueden clasificar por grados.

El término de mayor grado determina el grado del polinomio sumando los exponentes de su parte literal.

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Escribe un polinomio de grado 3 que tenga dos términos y otro con tres términos.5

Indica el grado de los siguientes monomios y polinomios.

a) 4x + 3x2 + 1 c) x3 − 1

b) 4x2y d) 3x + 4x2 − 2x3 − 8

6

Realiza las siguientes operaciones.

a) x + x + x + x + x + x = d) 5a − 2a − 4a =

b) x2 + x2 = e) 2x3 − x3 =

c) 5ab + 3ab − 2ab = f) 6p + 2p + 5p =

7

Escribe dos monomios semejantes y súmalos.

a) x + ........ + ........ = c) ........ + 2x3 + ........ =

b) ........ + ........ + 3a = d) ........ + ........ + 3xy =

8

Escribe otro monomio semejante y réstalos.

a) 6x − ........ = c) 8ab − ........ =

b) ........ − 5x2 = d) ........ − 3xy =

9

Reduce las siguientes expresiones.

a) x2 + 4x + 5x2 + x = 6x2 + 5x

b) 6x2 − 7x + 2x2 − x =

c) 3x3 − 2x + 5x2 − x3 + 4x2 =

d) 7ab + 5ab − ab + 6ab − 2ab =

e) 3xy − xy + 2xy + 5x − 2y + y + x =

f) 2a − 5a + 4a − a + 10a − 6a =

10

SUMA Y RESTA DE MONOMIOS

• La suma o resta de monomios se puede realizar si son semejantes, es decir, si tienen la misma parte literal.

• El resultado es otro monomio que tiene por coeficiente la suma o resta de los coeficientes y la misma parte literal.

+ = � Son monomios semejantes.3p + 2p = 5p La parte literal es p.

− = � Son monomios semejantes.5p − 2p = 3p La parte literal es p.

+ = � Son monomios no semejantes.3p + 2g = 3p + 2g La suma se deja indicada.

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Realiza las siguientes operaciones.

a) 3a ⋅ 2a = c) 2x ⋅ 3x ⋅ 4x = e) x ⋅ x ⋅ x =

b) 5a ⋅ (−5a2) = d) (−3a) ⋅ (−4a2) = f) (−4x ) ⋅ (3x2) =

11

Opera y reduce, eliminando los paréntesis. Fíjate en el ejemplo.

Ejemplo: 2 ⋅ (2x − 3) = 2 ⋅ 2x − 2 ⋅ 3 = 4x − 6

a) 2 ⋅ (x + 1) = c) 2 ⋅ (x − 2) =

b) 3 ⋅ (x 2 + x) + 5x = d) −4 ⋅ (x 2 − x) − 2x =

12

FF

Opera.

a) b) c) d)15

3

2

2

x

y=6

2

4

3

a

a=−

=3

5

4

2

x

x

x

x

3

=

13

2x ⋅ 3x 2 −4x 2 ⋅ 5x 3

� 2x ⋅ 3x2 = 6x3 � −4x2 ⋅ 5x3 = −20x5−4 ⋅ 5 = −20x2 ⋅ x3 = x5

2 ⋅ 3 = 6x ⋅ x2 = x3

EJEMPLO

− = −4 ⋅ 1 = −4

8 : 2 = 4; x 2 : x = x2−1 = x −12 : 3 = −4; x 5 : x 5 = x5−5 = x0 = 1

123

5

5

xx

= − ⋅12

3

5

5

x

x

82

2xx

= ⋅ =8

24

2x

xx

EJEMPLO

MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS

• La multiplicación entre monomios es otro monomio que tiene:

– Por coeficiente, el producto de los coeficientes (números).

– Por parte literal, el producto de las partes literales (letras).

• Recuerda el producto de potencias de la misma base, la multiplicación de números enteros y la regla de los signos.

+ ⋅ + = + + ⋅ − = −x2 ⋅ x3 = x2+3 = x5 − ⋅ − = + − ⋅ + = −

DIVISIÓN DE MONOMIOS

• La división de dos monomios es otro monomio que tiene:

– Por coeficiente, el cociente de los coeficientes.

– Por parte literal, el cociente de las partes literales.

• Recuerda la división de potencias de la misma base, la división de números enteros y la regla de los signos.

+ : + = + + : − = −x5 : x 2 = x5−2 = x3 − : − = + − : + = −

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x + x = 2x a + b = b + a

Si x = 1: 1 + 1 = 2 ⋅ 1; 2 = 2 Si a = 1, b = 2: 1 + 2 = 2 + 1; 3 = 3

EJEMPLO

Escribe tres igualdades numéricas y otras tres algebraicas.

Numéricas Algebraicas

1

Indica si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas. Razona tus respuestas.

a) (3 ⋅ 7) + 21 = 15 + 10

b) 22 − 10 = 8 ⋅ 2

c) (6 ⋅ 4) − 5 = (7 ⋅ 2) + 7

d) 25 : 5 = (10 ⋅ 5) − (9 ⋅ 5)

2

Comprueba que las identidades se cumplen; da valores y verifica la igualdad.

a) 2x + x = 3x b) a ⋅ b = b ⋅ a

3

Di si son verdaderas o falsas las siguientes identidades.

a) a + b = b + a c) a − b = b − a e) x + x = x2

b) x + x = 2x d) x ⋅ x = x2 f) x ⋅ x = 2x

4


OBJETIVO 4

COMPRENDER EL SIGNIFICADO DE IGUALDAD, IDENTIDAD Y ECUACIÓN

IDENTIDADUna identidad es una igualdad algebraica (números y letras) que se cumple para cualquier valor de las letras.

IGUALDADUna igualdad es una expresión matemática separada por un signo igual (=).

Las igualdades pueden ser:

• Numéricas, si solo aparecen números:

5 + 2 = 7 o verdadera

5 + 2 = 8 o falsa

• Algebraicas, si aparecen números y letras:

10 + x = 13

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Indica cuáles de las expresiones son igualdades, identidades o ecuaciones.5

Halla mentalmente el valor x en las siguientes ecuaciones.6

EXPRESIÓN TIPO

6 + 5 = 11

3 + x = 15

a + b = b + a

7 + 3 = 10

20 − x = 4

x + x + x = 3x

EXPRESIÓN VALOR DE x RAZONAMIENTO

5 + x = 7

11 − x = 6

9 − x = 1

10 − x = 3

x + 1 = 1

10 − 2x = 4

x = 2 5 + 2 = 7

Completa los huecos para verificar las ecuaciones.

a) ........ + 5 = 15 c) ........ − 6 = 11 e) ........ + 8 = 12

b) 3 − ........ = 3 d) 17 + ........ = 20 f) 22 − ........ = 12

7

x + 2 = 8 Solo se cumple cuando x toma el valor 6:6 + 2 = 8.F

EJEMPLO

ECUACIÓNUna ecuación es una igualdad algebraica que solo se cumple para determinados valores de las letras.

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ECUACIÓN PRIMER MIEMBRO SEGUNDO MIEMBRO TÉRMINOS INCÓGNITA GRADO

7 + x = 20

18 = 2x

5x = 12 + x

14 − 3x = 8 + x

Indica la solución de las ecuaciones.

a) 7 + x = 20 c) 3x = 6

b) 15 − x = 12 d) 18 = 2x

2

RESOLUCIÓN DE ECUACIONESResolución por tanteoEste método utiliza el razonamiento y la intuición para probar valores numéricos en enunciados sencillos y obtener su solución.

• En la ecuación: x + 5 = 12, la pregunta sería: ¿Qué número sumado a 5 da 12?

• Solución: x = 7, ya que 7 + 5 = 12.

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OBJETIVO 5

RESOLVER ECUACIONES SENCILLAS DE PRIMER GRADO

LAS ECUACIONES Y SU ESTRUCTURAMiembrosUna ecuación es una igualdad algebraica que está separada por un signo igual (=).

Este signo diferencia dos partes en la ecuación, llamadas miembros, que contienen términos formados por números y/o letras.

Primer miembro = Segundo miembro

5 + x = 12

Términos: 5, x Término: 12

IncógnitasLa incógnita es el valor que desconocemos y queremos hallar. Es un valor numérico y se representa habitualmente por las letras x, y, z, a, b.

• En la ecuación 5 + x = 12, x es la incógnita, el valor que desconocemos.

• El término x tiene grado 1, x = x1, por lo que estas ecuaciones se denominan ecuaciones de primer grado con una incógnita.

SoluciónLa solución es el valor numérico que debemos hallar para que se verifique una ecuación.

• En la ecuación 5 + x = 12, x = 7 es la solución de la ecuación.

• Si sustituimos la incógnita por su valor se verifica la ecuación: 5 + 7 = 12.

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6

Resuelve la ecuación 5 + x = 12.1.º 5 + x = 12. Observamos que la incógnita está en el primer miembro.

2.º No hay términos semejantes para reducir.

3.º 5 + (−5) + x = 12 + (−5). Despejamos x. Transponemos 5, sumando su opuesto (−5) en ambos miembros.

4.º 0 + x = 12 − 5. Reducimos términos semejantes.

5.º x = 7. Despejamos y hallamos el valor numérico de la incógnita.

EJEMPLO

Completa la tabla.3

ECUACIÓN PREGUNTA SOLUCIÓN COMPROBACIÓN

x + 8 = 11

x − 6 = 9

18 = 2x

x2 = 4

¿Qué número sumado a 8 da 11? x = 3 3 + 8 = 11

Calcula la solución por tanteo.4

ECUACIÓN SOLUCIÓN

x + 1 = 7

14 = 2xx

63=

x2 = 9

Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) x + 10 = 16 b) 12 = 6 + x c) x − 7 = 3

x + 10 = 16

x + 10 + (−10) = 16 + (−10)

x + 0 = 16 − 10

x = 4

5

REGLAS PRÁCTICAS PARA RESOLVER ECUACIONESEl objetivo de resolver ecuaciones es encontrar y hallar la incógnita. Para ello, debemos conseguir «dejarla sola», despejarla y encontrar el valor numérico que verifica la igualdad.

1.º Observamos la ecuación. Detectamos en qué miembro/s está/n la/s incógnitas/s.

2.º Si los hubiera, reducimos términos que sean semejantes (números y/o letras).

3.º Para despejar la incógnita debemos transponer los términos que acompañan a las incógnitas mediante operaciones aritméticas.

Si en los dos términos de una ecuación se efectúa la misma operación: suma, resta, multiplicación o división, la igualdad no varía, y se obtiene otra equivalente.

4.º Reducimos términos semejantes (números y/o letras).

5.º Despejamos la incógnita y hallamos su valor numérico.

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Resuelve estas ecuaciones.

a) 3x + 2 + x = 8 + 2x b) x + 8 = 3x − 6 c) 5x − 3x = 20 + x

7

Completa la resolución de las ecuaciones, dando prioridad a las operaciones entre paréntesis.

a) 3(x − 3) = 5(x − 1) − 6x b) 3x + 8 − 5x − 5 = 2(x + 6) − 7x3x − 9 = 5x − 5 − 6x −2x + 3 = 2x + 12 − 7x

8

Halla la solución de las ecuaciones.

a) 4x − 7 = 3 − x

4x − 7 + (+7) + x = 3 − x + (+7)

4x − 7 + 7 = 3 − x + 7

4x = 10x4x + (+x) = 10 − x + (+x)

4x + x = 10

5x = 10

x = 2

b) 6x − 2x = 8 c) 8x − 5x = 12

5

5

10

5

x=

6

Las incógnitas están en el primer y segundo miembro.No hay términos semejantes para reducir.

Agrupamos las incógnitas y los números por separado.

Transponemos −7 sumando su opuesto (+7) en ambos miembros.

Reducimos términos semejantes.

Transponemos −x sumando su opuesto (+x) en ambos miembros.

Reducimos términos semejantes.

Transponemos 5 dividiendo entre 5 en ambos miembros.

Reducimos términos.

Despejamos la incógnita y hallamos su valor numérico.

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áLgebra y ecuaciones 1º