ŀAlgebra y Geometría II – Selección de Temas y Ejercicios propuestos – Año 2011 1

ALGEBRA Y GEOMETRÍA II 2º semestre año: 2011 Esta selección de Temas y Ejercicios están extraídos del texto “ALGEBRA LINEAL CON APLICACIONES” de G. Nakos y D. Joyner. Unidad 1: Sistemas de Ecuaciones Lineales ( Capítulo 1 del Texto) Sección 1.1: Introducción a los sistemas lineales. Ejercicios propuestos: 1- 2- 3- 4- 7- 8- 9- 10- 12- 13- 14- 17- 18- 20- 24- 26- 28- 37- 38- 39- 43- 48 Sección 1.2: Eliminación de Gauss Ejercicios propuestos: 2- 5- 10- 14- 17- 19- 22- 23- 25- 27- 30- 31- 33- 34- 38- 41- 44- 52(a) – 53(b)

• Práctica Adicional sobre sistemas de ecuaciones, en la Fotocopiadora del Centro de Estudiantes Sección 1.3: Soluciones numéricas (No se da) Sección 1.4: Aplicaciones Ejercicios propuestos: 2- 5- 11- 16 – 18 Sección 1.5: Miniproyectos (No se da)

Unidad 2: Complementos sobre vectores ( Capítulo 2 del Texto) Sección 2.1: Operaciones vectoriales Ejercicios propuestos: 6- 12- 19- 21- 23- 31- 33- 35- 38- 42- 44(b)- 47- 51 (en el 51 un error, debe decir “para todos los vectores m “) Sección 2.2: Se suspende y pasa como primer párrafo del Cap. 8 Sección 2.3 y 2.4: No se desarrollan. Sección 2.5: El producto A x

Ejercicios propuestos: 1- 3 - 6- 9- 11- 18- 18- 19- 20

Erratas: En la definición de espacio nulo dice “El espacio nulo, ν(A), o nulidad de una matriz A…”, hay que suprimir o nulidad, la nulidad de A se definirá mas adelante y es un número. Observación : En la página 107, en los últimos renglones, suprimir desde el ítem 4 hasta el final de la página. Secciones 2.6 al 2.10: No se desarrollan.

Unidad 3: Matrices ( Capítulo 3 del Texto) Sección 3.1 Operaciones Matriciales Ejercicios propuestos: 1- 2- 4- 5- 7- 10- 11- 12- 13-14- 18- 20- 23- 24- 30- 31- 32. Sección 3.2 Matriz Inversa

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Ejercicios propuestos: 3- 4- 7- 8- 9- 11- 12 (a) 13(a-d)- 15- 17(a)- 18(b) 20- 24- 25- 26- 27- 28- 31- 32- 33- 41 Erratas: Teorema 7. Propiedad 1: dice (An) −1 = (A−1)n , debe decir (An)−1 = (A−1)n En la demostración del Teorema 8, 2º renglón pag. 173, comienza con C=CB, debe ser CA=CB. En el ejemplo 19, pag 173, dice “ Despeje X de la ecuación matricial CXA − B = 0…” La ecuación es AXC − B= 0

Ejercicios adicionales

1) Sabiendo que A es una matriz inversible y

=−

−

73

211A y

=−

40

32B , halle una matriz X

que satisfaga la ecuación matricial XABBXA T =+ .

2) Halle una matriz Y tal que DDCY T =− 3 siendo

=

=

−−

−−

−

−

−

234

321

101

253

132

001

, DC

Sección 3.3 a 3.7 No se dan

Unidad 4: Determinantes (Capítulo 6 del Texto) Sección 6.1 Determinantes y desarrollo por cofactores Ejercicios propuestos: 1- 3- 7- 9- 11- 13- 15- 17- 21- 29- 31- 33 Sección 6.2 Propiedades de los determinantes. Observación: Deben omitirse en este momento los ejemplos 10 y 11. Ejercicios propuestos: 1(a)- 2(a)- 3- 7- 8- 9- 11- 12- 15- 17- 18- 19- 23- 29- 33- 35- 37- 39- 40 Ejercicios adicionales

1) Sean 44, ×∈ MBA tales que 481 =− TBA y

21=A , determine si B es inversible.

2) Siendo

=

=

= −

−

−

1

11

1

,

01

22

11

20

11

03

,b

aTT

CBA y

=

200

000

003

D halle:

a) Una matriz X que verifique XBAABX TT=+ . b) Condiciones necesarias y suficiente sobre a y b para que la matriz DCA − resulte inversible.

c) Una matriz E de orden 3 tal que )det()det( ABE = y 5232212 === eee

3) Sean 33,, ×∈MCBA tales que

=−==

−

−−

300

1500

4111 y3,2 CBA

T , calcule, cuando sea

posible, los determinantes de las siguientes matrices: 41 ,3, BRBAQBCACP ==+= − , TTT BABAUAAATCBCS )(,5,, +=++=−=

Sección 6.3: La Adjunta. Regla de Cramer. Ejercicios propuestos: 1- 3- 5- 7- 11- 13- 15- 17. Secciones 6.4 a 6.7 : No se dan

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Unidad 5: Espacios Vectoriales ( Capítulo 4 del Texto) Sección 4.1 No se desarrolla. Algunos ejercicios van en secciones posteriores. Sección 4.2 Espacios Vectoriales Comenzar con: • sección 4-2 : 1- 4- 5- 6- 7, luego los de la • sección 4-1 : 3, 6, 12, 14, 21 y 25 , y después • sección 4-2 : 8- 9- 11- 12- 13- 15- 17- 18- 19- 25- 26- 28- 31. Sección 4.3 Independencia Lineal y Bases En la definición de la página 244 y en casi todo el párrafo hacer correcciones: donde dice “generador” debe decir “espacio generado”, etc. Comenzar con: • sección 2-3 (Generado por un subconjunto de Rn ): 1, 3, 5, 6, 15 y 27, continuar con • sección 4-3 (Generado por un subconjunto. de V): 1, 2, 8, 13 y 17, seguir con • sección 2-4 (Independencia lineal en Rn): 2, 3, 5, 19 y 20, continuar con, • sección 4-3 (Independencia lineal en V): 18, 19, 23, 24 y 25, seguir con. • sección 4-1 (Bases para subespacios de Rn ): 33, 37, 42,51,55, 57 y seguir con • sección 4-3 (Bases para subespacios de V): 31 y 32. Sección 4.4 Dimensión Ejercicios propuestos: 3- 4- 7- 8- 9- 12- 13- 15- 17- 19- 21- 23 Sección 4.5 Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Ejercicios propuestos: 1- 5- 7- 9- 11- 13- 17 Sección 4.6 Rango y Nulidad de una Matriz Ejercicios propuestos: 1- 3- 5- 6- 11- 13- 17- 19- 23- 31- 35- 36- 39- 41- 44- 51- 52- 53.

Erratas: En la ejercitación , pág. 285, dice “En los ejercicios del 1 al 7 …(recuerde que el subespacio cero tiene dimensión cero y es base del conjunto vacío). Debe decir ( recuerde que el subespacio cero tiene dimensión cero ya que el conjunto vacío es base del subespacio cero. Secciones 4.7 y 4-8 No se dan

Unidad 6: Transformaciones Lineales ( Capítulo 5 del Texto) Sección 5.1 Transformaciones matriciales Ejercicios propuestos: 1- 3- 4- 9- 11- 17- 21 Sección 5.2 Transformaciones Lineales Ejercicios propuestos: 1- 3- 7- 11 - 15 - 17- 21- 23- 24 – 25 – 27 - 29- 31- 36- 41 y 42

Sección 5.3 Núcleo y Contradominio ( o Recorrido) Ejercicios propuestos: 1- 3- 9- 10- 11- 13- 15- 17- 22- 25- 28- 31- 35- 41- 43- 45-47-49

Erratas:

En el Teorema 7, debe decir )()( ATKer ν= (espacio nulo de la matriz).

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En el Teorema 10, dice “mapea conjuntos linealmente dependientes en conjuntos linealmente independientes” y debe decir “mapea conjuntos linealmente independientes en conjuntos linealmente independientes” Sección 5.4 La Matriz de una Transformación Lineal Ejercicios propuestos: 1- 3 - 4 - 5 - 7- 9- 12- 13- 15- 16 al 19. Secciones 5.5 a 5-8 No se dan

Unidad 7: Eigenvalores y Eigenvectores (Autovalores y Autovectores - Capítulo 7

del Texto) Sección 7.1 Eigenvalores y Eigenvectores matriciales Ejercicios propuestos: 1 al 7 - 10- 11- 17- 19- 23- 24- 27- 31- 32 - 35- 37- 39- 42 Erratas: En el sexto renglón del subpárrafo “Cálculo de los eigenvalores y los eigenvectores” donde dice “v es un vector distinto de cero llamado espacio nulo de…” debe decir “v es un vector distinto de cero perteneciente al espacio nulo de …” En el ejercicio 32 hay una omisión, dice: “…tiene un eigenvalor si y solo si….”, debe decir “…tiene un eigenvalor 0 si y solo si…” Sección 7.2 Diagonalización Ejercicios propuestos: 3- 5- 9- 11- 15- 16- 19- 21 al 26.

Erratas: En el primer renglón del Teorema 7 donde dice “ Sean λ1, λ2,… λλλλn eigenvalores …” debe decir “Sean λ1, λ2,… λλλλl eigenvalores…”

Secciones 7.3 a 7.7 No se dan

Unidad 8: Producto punto y Producto Interno (Capítulo 8 del Texto)

Sección 2.2 : Producto Punto en nR (pag 78)

Ejercicios propuestos: 3 – 4 – 11(d) - 13 - 15(b y c) - 20 – 21 – 22 , 24 y 26 . Continuar con el Cap. 8. Sección 8.1 Conjuntos ortogonales y Matrices. De esta Sección se omite el subpárrafo “Matrices Ortogonales” en la pag. 511 Ejercicios propuestos: 1 – 3 - 9 - 11- 13- 15- y 16. Sección 8.2 Proyecciones ortogonales. Proceso de Gram-Schmidt Erratas: pag 516, en los renglones previos al Teo.12 donde dice …”productos punto de u cuyos elementos son una base…..” , debe decir ..” productos punto de u con los elementos de una base…” Ejercicios propuestos: 3- 4 -6- 7- 9- 13- 15- 17- 19 y 20 Secciones 8.3 al 8.11 No se dan