COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to. Ao SecundariaLGEBRA1er. Ao Secundaria

I.Objetivos Especficos:

1. Evita operaciones innecesarias sobre todo multiplicaciones, ubicando directamente el resultado en este caso el producto.

2. Consigue rapidez en la reduccin de expresiones cuyas formas aparentemente son operativas.

3. Conoce artificios diversos para minimizar el tiempo de resolucin de los ejercicios.

4. Interpreta geomtricamente los productos notables.

5.Identifica los productos notables a partir de los factores. As como el reconocimiento de los factores a partir del producto.

II.Procedimientos:

A.Iniciales

El razonamiento deductivo y las demostraciones matemticas

Si las matemticas tienen tanto prestigio entre las dems ciencias, se debe al papel especial que desempea en las matemticas el razonamiento deductivo, base de las demostraciones matemticas. Demostrar una propiedad es deducirla de otras anteriormente demostradas. Este tipo de razonamiento garantiza la verdad de la conclusin si la informacin de la que se parte (las premisas) es verdadera (o se supone verdadera).

La demostracin matemtica tiene las siguientes caractersticas :

-Se sabe ya la conclusin a la que se quiere llegar.

-Induccin y deduccin son inseparables en matemticas

-Es un concepto relativo que vara con el tiempo.

Afirma Raymond Wilder (E.U.A. 1898): Lo que constituye una demostracin vara de una cultura a otra y de una poca a otra.

Morris Kline, profesor de matemticas de la Universidad de New York, escribe: La tpica actitud en el siglo XVIII era: Para qu preocuparse tanto por demostrar lo evidente mediante abstrusos razonamiento, cosas que nunca se pusieron en duda? Para qu demostrar lo evidente mediante lo menos evidente? Incluso la geometra euclidiana fue criticada por presentar demostraciones que no se consideraban necesarias

La primera demostracin tal como se entiende hoy en matemticas parece haber sido hecha por Tales de Mileto unos 600 aos antes de nuestra era; l demostr que todo dimetro biseca a la circunferencia. Por qu esa necesidad de demostrar lo que es evidente e incontrovertible?

Una razn es que ninguna ciencia exacta puede basarse sistemticamente en lo que es obvio o evidente. Lo obvio es siempre subjetivo, inestable y sospechoso, casi nunca permite llegar a resultados importantes y menos cuando la ciencia se vuelve ms y ms abstracta.

La demostracin pretende convencer a todos los interlocutores, incluso a uno mismo: tambin pretende, y eso es importante en la docencia, aclarar y hacer comprender mejor lo que se quiere ensear. Si la demostracin no va a facilitar la comprensin, es mejor descartarla. Es lo que hicieron los matemticos chinos en el siglo XVII cuando, a travs de los misioneros jesuitas descubrieron la geometra euclidiana: adoptaron todo el contenido de la obra de Euclides excepto las demostraciones, que les parecieron demasiado verbosas y no explicaban nunca cmo se haban descubierto.

Otra particularidad de la demostracin matemtica es que establece propiedades que son verdaderas y vlidas en todos los casos, si se dan las mismas condiciones iniciales. Una vez demostrado el teorema de Pitgoras, por ejemplo, sabemos que es verdadero para cualquier tringulo rectngulo, con lados que tengan milmetros o kilmetros de largo. La generalizacin que produce la demostracin permite la aplicacin de un teorema dado a cualquier caso particular.

Hay otra razn que hace necesarias las demostraciones matemticas: La geometra, por ejemplo, no es una coleccin fortuita de verdades sobre propiedades especiales de las figuras, es tambin un sistema axiomtico o deductivo en el que cada teorema se deduce de otro, demostrado previamente, hasta llegar a un pequeo nmero de axiomas o postulados que no pueden ser demostrados y que hay que aceptar como verdaderos.

Pruebas Geomtricas

En cuanto se descubri el conjunto de los nmeros irracionales, se observ que la coleccin de las magnitudes geomtricas (por ejemplo los segmentos) era ms completa que el conjunto de los nmeros racionales, entonces se construy una herramienta matemtica ms amplia denominada lgebra geomtrica.

Los principales elementos del lgebra geomtrica fueron los segmentos de recta, donde a partir de ellos se definieron las operaciones de clculo, por ejemplo, la adicin se interpretaba como la unin de los segmentos. (En forma colineal uno a continuacin de otro), la sustraccin como la eliminacin de una parte del segmento minuendo igual al segmento sustraendo, la multiplicacin de segmentos origin la aparicin del sistema bidimensional (la representacin en el plano cartersiano), la divisin resultaba posible slo bajo la condicin de que la dimensin (tamao del segmento) dividendo era mayor que la dimensin del divisor.

Pruebas geomtricas de algunas identidades algebraicas:

El lgebra geomtrica tambin interpretaba las identidades algebraicas. Los ejemplos siguientes, conocidos desde tiempos inmemoriales, muestran claramente el uso de reas de figuras geomtricas para demostrar identidades algebraicas.

Trinomio Cuadrado Perfecto

Area de ABCD= (a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2

(a - b)2= a2 - b(a - b) - b(a - b) - b2

Diferencia de cuadrados

Desarrollo de un Trinomio al cuadrado:

B.Desarrollo

En la multiplicacin algebraica encontramos los factores que la constituyen con una caracterstica especial que har posible el conocimiento inmediato del producto.

Dicha multiplicacin notable generar como resultado un producto notable, generndose de esa manera las identidades algebraicas a mencionarse en la presente sesin:

Es importante que el alumno los estudie y los reconozca de inmediato para su posterior aplicacin no slo en el nivel secundario, sino tambin cuando est cursando estudios superiores.

Se denomina Producto al resultado de una multiplicacin y llamamos Notable a todo aquello que merece una nota o atencin, es decir a aquello importante que se da a notar.

Sin lugar a dudas los Productos Notables son importantes, cuyos resultados se deben conocer sin necesidad de efectuar operaciones.

Las multiplicaciones notables generan productos notables y la relacin de ambos recibe el nombre de identidades algebraicas o equivalencias algebraicas ya que se cumplen para cualquier valor que se d a la variables.

Los principales productos notables son:

I.Trinomio cuadrado perfecto:

El desarrollo de un binomio al cuadrado nos da el cuadrado del primer trmino, ms el doble del primer trmino por el segundo trmino, ms este elevado al cuadrado.

Consecuencias:

a2 + 2a + 1 ( (a + 1)2

a2 2a + 1 ( (a - 1)2

a2 + b2 = (a+b)2 2ab

a2 + b2 = (a-b)2 + 2ab

Identidades de Legendre

(a+b)2 + (a - b)2 ( 2(a2 + b2)

(a+b)2 (a-b)2 ( 4ab

Consecuencias:

(a+b)4 - (a - b)4= 8 ab(a2+b2)

2.Diferencia de cuadrados

El producto de dos binomios uno que presenta la suma de 2 expresiones y el otro la diferencia de las mismas expresiones es el cuadrado de la primera, menos la segunda al cuadrado.

(a+b)(a-b) = a2 b2

(am + bn) (am bn) ( a2m b2n

Consecuencias :

x y =

3.Desarrollo de un trinomio al cuadrado

Al desarrollar un trinomio al cuadrado se obtiene la suma de cuadrados de los tres trminos, ms el doble de la suma de los productos tomados de dos en dos. (Productos binarios).

Consecuencias:

4.Multiplicacin de binomios con un trmino en comn:

Al multiplicar dos binomios con un trmino en comn se obtiene: el comn al cuadrado, ms el producto de la suma de no comunes, ms el producto de no comunes, es decir:

(x+a)(x+b) (

Consecuencias:

5.Desarrollo de un binomio al cubo

Al desarrollar un binomio al cubo se obtiene: el cubo del primer trmino, ms el producto del triple del primero al cuadrado por el segundo, ms el producto del primero por el segundo al cuadrado, ms el cubo del segundo trmino.

Consecuencias:

(a+b)3 ( a3 + b3 + 3ab (a+b)

(a-b)3 ( a3 b3 3ab (a-b)

(a+b)3 + (a-b)3 ( 2a (a2+3b2)

6.Suma y diferencia de cubos

(a+b)(a2 ab + b2) ( a3 + b3

(a-b) (a2 + ab + b2) ( a3 b3PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES

A continuacin mencionaremos un resumen de las principales identidades algebraicas donde identificaremos los ms importantes productos notables:

01. Binomio al cuadrado:

* (a+b)2 = a2+2ab+b2

02. Suma por diferencia:

* (a+b)(a - b)=

03. Binomio al cubo:

04. Binomio por trinomio:

*

05. Binomio con un trmino comn:

* (x+a)(x+b)= x2+(a+b)x+ab

06. Producto de binomios:

* (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd

07. Trinomio al cuadrado:

*

*

08. Trinomio al cubo:

*(a+b+c)3=a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3b2a+3b2c+3c2a+3c2b+6abc

Forma desarrollada

* (a+b+c)3= a3+b3+c3+3(a+b)(a+c)(b+c)

Forma semidesarrollada

09. Polinomios de una variable

*(x+a)(x+b)(x+c)..............(n factores ) =

xn+((a) xn - 1+((ab) xn - 2+...+(abc...)

10. Identidades de Legendre:

* (a+b)2+(a - b)2= 2(a2+b2)

* (a+b)2 - (a - b)2= 4(ab)

Corolario:

* (a+b)4 - (a - b)4= 8 ab(a2+b2)

11. Identidades de Lagrande:

* (a2+b2)(x2+y2)= (ax+by)2+(ay - bx)2

* (a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=

(ax+by+cz)2+(ay - bx)2+(az - cx)2 + (bz - cy)212. Identidad de Argan:

* (x2+x+1) (x2 - x+1)= x4+x2+1

( Identidades auxiliares:

* a3+b3+c3 - 3 abc=

(a+b+c)(a2+b2+c2 - ab - ac - bc)

* a3+b3+c3 - 3 abc=

(a+b+c)[(a - b)2+(c - a)2 +(b - c)2

* (a+b+c)3 =

a3+b3+c3+3(a+b+c)(ab+ac+bc) - 3 abc

* (a+b+c)3+2(a3+b3+c3)=

3(a+b+c)(a2+b2+c2)+6 abc

(Identidades condicionales:

I. Si a+b+c= 0; se demuestra que:

* a2+b2+c2= - 2(ab+bc+ac)

* a3+b3+c3= 3 abc

* a4+b4+c4= 2(a2b2+a2c2+b2c2)

* a5+b5+c4= - 5 abc (ab+ac+bc)

* (a2+b2+c2)2= 2 (a4+b4+c4)

* (ab+aac+bc)2= a2b2+a2c2+b2c2

*

*

II. Si a2+b2+c2= ab+bc+ac

Donde a, b, c ( R

Se demuestra que: a= b= c

III. Si: a2n+b2n+c2n+...+m2n=0

Donde n ( N, es posible slo si:

a= b= c= .........= m= 0

PROBLEMAS EXPLICATIVOS 1

01.Sabiendo que: a - b= b - c=. Determine el valor numrico de:

a) 10b) 13c) 2

d) 16e) 12

Resolucin:

Del dato:

Reemplazando:

Efectuando obtenemos:

13

CLAVE B

02.Dadas las condiciones:

a2+b2+c2= 2

(a+b+c)(1+ab+ac+bc)= 32

Calcule: a+b+c

a) 4b)

c) 16

d) 64e) 2

Solucin:

Del dato:

a2 + b2 + c2= 2 ...............................(()

(a+b+c)(2+2ab+2ac+2bc)= 64 .........(()

(()en(():

Luego: (a+b+c)3= 64

Se concluye = a+b+c= 4

CLAVE A

03.Siendo:

ab=

Determine el valor de (a - b)4 - (a+b)4

a) 44b) 22c) - 88

d) 45e) 88

Solucin:

Se solicita: (a - b)4 - (a+b)4= - 8ab(a2+b2)

Reemplazando datos:

CLAVE C

04.Siendo a ( b ( c.

a+b+c=

Determine el valor numrico de:E=(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3+3 abc

a) 1b) 3c) 0

d)

e) - 1

Solucin:

Dato: a+b+c= 0

Luego:E=(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3+3 abc

E= - c3 - a3 - b3 + 3abc

E= - (a3+b3+c3)+ 3abc

E= - 3 abc + 3 abc= 0

CLAVE C

05.Siendo a3+b3+c3= 4 abc

Adems: a2+b2+c2= ab+ac+bc+1 ( abc ( 0

Reducir:

a) - 1b) - 3c) 0

d) - 2 e) 3

Solucin:

Del dato:

................. (()

Luego: a3+b3+c3 - 3 abc= a+b+c ......(()

Reemplazando (() en (() tenemos:

a+b+c= abc, luego:

CLAVE B

06.Si se cumple que: a3 + b3 + c3= 0, simplificar:

; abc ( 0

a) a+b+cb) abc

c) ab+bc+acd) 0

e) a2+b2+c2

Solucin:

Se solicita:

a+b+c

CLAVE A

07.Siendo: a + 4b + 9c= 0

Segn ello reducir:

a) abcb) 14c) - 14

d) - 36e) a+b+c

Solucin:

La expresin a reducir es:

= - 22

(- 1) + (- 9) + (- 4) - 22

- 36

CLAVE D

EJERCICIOS PROPUESTOS

01.Si x + . Halle

1.1 Si . Hallar E =

02.Si . Hallar :

E = (x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7)

2.1Si x = + . Hallar :E =

03.Si : a + b = 3 y ab = 2

Halle : N =

3.1 Si x , y ( 0

Calcular :

E =

04.Si a > 0. Hallar

E =

4.1Si (a + b) = 1 . Halle :

6 - 4

05.Si . Hallar :

M =

5.1Si

Hallar : E = a > b

06.Simplificar :

E =

6.1Simplificar :

E =

07.Si . Halle

7.1Si : x + y = ( xy =

Calcular e = si x,y ( R+08.Efectuar : (x+2)2 2(x+1)2 + x2

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 1

09.Reducir :

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

10.Calcular :

a) 2 b) 2 c) 2 d) e)

11.Reducir:

a) a b) b2 c) a2 d) b e) ab

12.Hallar :

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

13.Efectuar : (x2+5x+5)2 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

14.Reducir : (a+b+c)3 (a+b)3 3(a+b+c)(a+b)c

a) a3 b) b3 c) c3 d) 2a3 e) 2b315.Efectuar :

(a+b+c)(a+b+d)+(b+c+d)(a+c+d) (a+b+c+d)2

a) ab+cd b) ac+bd c) ad+bc

d) a2+b2+c2+d2 e) (a+b) (c+d)

16.Hallar la raz cuadrada de :

(a+b+c)4 4(ab+bc+ac)(a2+b2+c2+ab+ac+bc)

a) a2+b2+c2b) ab+bc+cac) a2+bc

d) b2+ace) c2+ab

17.Sabiendo que : a+b+c = 4

a2+b2+c2 = 6

Hallar : ab+ac+bc

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

18.Conociendo que : ax+by = 8

ay bx = 6

a2+b2 = 5

Calcule : x2+y2

a) 16 b) 18 c) 20 d) 24 e) 25

19.Si a+b+c = 3

a3+b3+c3 = 9

obtener : N = (a+b)(b+c)(c+a)

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

20.Dados : x+y = 3

x3+y3 = 9

Luego x.y resulta :

a) 1 b) 1 c) 2 d) 2 e) 3

PRACTICA DE FIJACION DE APRENDIZAJE

01.Si las variables x e y verifican la igualdad de x + y = 1 podemos afirmar que:

E = (x2 + y) (x y2) es equivalente a:

a) 1b) 2c) 0

d) 2e) 2

02.Si: x + x-1 = 3

Calcule: P =

a)

b) 2c) 3

d) 4e) N.a

03.Si : a + b = 5 ( a2 + b2 = 17

Hallar: a b , si a > b

a) 1b) 2c) 3

d) 4e) 5

04.Simplificar:

M = (x 1) (x + 3) (x + 1)+(x 1) (x 2) (x+ 4)

2(x + 3) (x +1) (x 2)

a) 0b) x + 7c) x 7

d) 7 xe) (x + 7)

05.Si:

a + b + c = 3 ............................ (()

a2 + b2 + c2 = 9 ........................ (()

Calcular:

E = (a + b)2 + (a + c)2 + (b + c)2

a) 9b) 12c) 15

d) 18e) 21

06.Empleando equivalencia algebraica, encuentre el equivalente de:

S =

a) 256b) 128c) 64

d) 32e) 16

07.Si: x + x-1 = 1. Calcular:

F =

a) 2-1b) 2c) 2

d) 20e) 2-108.Simplificar la expresin:

E =

a) (x + 1)17b) (x 1)17c) x17

d) xe) 1

09.Calcule M y N, si se sabe que son enteros, a partir de: 10022 + 1022 = 2(M2+N2)

a) 502 y 405 b) 552 y 450 c) 550 y 402

d) 562 y 452 e) N.a

10.Si se cumple que:

Calcule:

a) 1b) 2c) 3

d) 4e) N.a

11.Efectuar :

a) 1b) 2c) 3

d) 4e) 5

12.Si: . Calcular:

R =

a) 8b) 6c) 4

d) 12e) 16

13.Sabiendo que:

(3b+a)2 ( 3[(a+b)2 (b a)2]

Calcule:

a) 2b) 4c) 6

d) 8e) N.a

14.Reducir:

N = (a + b + c)2 + (a + b c)2 4(a b)2 + 2(a

+ b + c) (a + b - c)

a) 0b) 4abc) 8ab

d) 1e) 1bab

15.Si se cumple que:

a + b = 3 y ab = -2

Determinar el valor de a5+b5

a) 243b) 191c) 573

d) 373e) 753

16.A partir de: x4 + x-4 = 47

Calcular: P = x + x-1

a) 1b) 2c) 3

d) 4e) 5

17.Si se cumple que:

(x+y+z+w)2 = 4(x+y) (z+w)

Calcule el valor de:

a) 2b) 20c) 22

d) 23e) N.a

18.Encontrar el valor numrico de:

M = x3 + 3x - 4

Si: x =

a) 1b) 2c) 0

d) 1e) 2

19.Si: . Calcular:

G =

a) 1b) 1/3c) 9

d) 27e)

20.Si se cumple:

(x+a) (x+b) )(x+c) ( x3 + 3x2 + 3x + 2

Obtener el valor de:

K =

a) 3/4b) 3/2c) 2/3

d) 4/3e) 1

PRODUCTO NOTALE

MULTIPLIACION ALGEBRAICA

S5AL31BEl nuevo smbolo de una buena educacin....

S5AL31BEl nuevo smbolo de una buena educacin...."

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