Álgebra4to(18-21)

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63

lgebra

18InecuacionesIrracionales

Una inecuacin irracional en una variable tiene la forma:

P(x)

0

donde P(x)

es una expresin algebraica irracional.

TEOREMA 1

x, y R; n N; 2n x + 2n y 0x 0 y 0

TEOREMA 2

x, y R : x < y ; si y slo si(x 0 y > 0 x y2)

TEOREMA 3

y < 0 ; x y x 0

TEOREMA 4

y 0 ; x > y x 0 x > y2

1. Resuelve x R:2x + 6 > x + 1

Resolucin:

Aplicamos: ab[(b0)ab2)(b < 0a0)]

P Q

P: Six + 1 0 ( 2x + 6)2> (x + 1)2

x -1 2x + 6 > x2+ 2x + 1

0-1- 5 5

A

-1-3

2. Resuelve x R: x + 2 < 2x -1

Resolucin:

- +5 - 418 5 + 418

12

-2

El universo solucin es x + 2 0 x -2

Si 2x -1 > 0 {( x + 2)2

< (2x -1)2

} x > 1/2 { x + 2 < 4x2-4x + 1} x > 1/2 {0 < 4x2-5x -1} x > 1/2 {0 < x2-5/4x -1/4} x > 1/2 {0 < x2-5/4x + 25/64 -25/64 -1} x > 1/2 {0 < (x -5/8)2-41/64} x > 1/2 { (x -5/8)2> 41/64} x > 1/2 { (x -5/8 > 41/8 x -5/8 < - 41/8} x > 1/2 { (x > (5 + 41)/8 x < (5 - 41)/8}

A

C.S. = x

5 > x2

x2 < 5 x -1 - 5 < x < 5

A

P = [-1, 5>

Q: Si x + 1 < 0 2x + 6 0 x < -1 x -3

Q = [-3, -1>

Conclusin: P Q = [-3, 5>

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64

4to Secundaria

3. Resuelve: x2-2x -24 > -4

Resolucin:

I. Anlisis:

El primer miembro de la inecuacin propuesta essiempre positivo, luego la inecuacin se satisfacepara todo valor de x que pertenece al campo de lavariacin.

x2-2x -24 0(x -6)(x + 4) 0[x -6 0 x + 4 0] [x -6 0 x + 4 0](x 6 x -4) (x 6 x -4)

x 6 x -4

II. Ilustracin grfica:

\ SFx

6-4- +

4. Resuelve: x + 3 + x < 3

Resolucin:

I. Anlisis:x + 3 0 x 0

x -3 x 0 x 0\ S

1= [0, >

II. Eliminando radicales:

( x + 3 + x)2< 32

2x + 3 + 2 x x + 3 < 9

x x + 3 < 3 -x 3 -x > 0

x2+ 3x < x2-6x + 9 x < 3 9x < 9

x < 1 x < 3

x < 1

\ S2=

III. La grfica: S1 S

2

\ SF= x [0, 1>

10 +-

Resolucin:

I. Anlisis:

Dominio de la variable contenida en el radical.

x2-2x -48 0

(x + 6)(x -8) 0

(x + 6 0 x -8 0) (x + 6 0 x -8 0)

(x-6 x8) (x -6 x8)

x 8 x -6

\ S1= x

II. x2-2x-48 > x -4 x -4 < 0

x

2

-2x -48 > x

2

-8x + 16 x4 6x > 64

x > 32/3 x 4

\ S2=

III. x2-2x-48 > x -4 x -4 < 0

x2-2x -48 0 x < 4

(x + 6)(x -8) 0

x 8 x -6 x < 4

x -6

\ S3= x

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lgebra

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3Resuelve:

5x -2 3

Resolucin:

Resuelve:

3x + 1 > -2

Resolucin:

Resuelve:

2 -2x < 4

Resolucin:

Resuelve:

x2-8x + 30 > -2

Resolucin:

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4to Secundaria

Rpta:

5

Rpta:

6

8. Resuelve:

x + 6 < x

a) [-3, > b) 4

a) [-1, 0] b) c) [-4, 1] [2, >d) e)

12. Resuelve:

4x -20 b) [5, >

c)

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lgebra

2. Resuelve:

x + 6 -1

a) [-7, > b) [-5, > c) [-6, -1]

d)

1. Resuelve:5 -x < 3

a) [-5, > b) b)

11. Resuelve:

2x + 3 > 2x + 4

a) [-2, > b) [-3/2, >c) [-2, -3/2]d) R e)

10. Resuelve:

3x -1 + x >4

a) [-2, 1]b) [-2, >c) 5x + 9

a) b) b) [-8/3, ]c)

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4to Secundaria

19 Funciones I

El concepto de funcin es una de las ideas fundamentales

en la matemtica. Casi cualquier estudio que se refiere a la

aplicacin de la matemtica a problemas prcticos o que re-

quiera el anlisis de datos emplea este concepto matemtico

que explicaremos a continuacin:

INTRODUCCIN

Las compaas como Luz del Sur o Edelnor tienen

como unidad de medida para facturar sus recibos el kilowatt

-hora (kw-h). El (kw-h) indica cuntos kilowatts se hanconsumido de electricidad en casa. Adems el (kw-h) cuesta

S/. 2.

Supongamos que hoy pap nos dice que vayamos a pagar

el recibo mensual de luz, en el camino observas que el

monto a pagar es de S/. 80, entonces t rpidamente haces

clculos. Si por 1 kw-h nos cobran 2 soles, cuntos kw-h

consumimos en casa?

Ejemplo:

1 kw-h S/.2

x kw-h S/. 80

Ahora piensas y dices: si hubiera consumido 30 kw-h,

cunto habramos pagado?, realizas otra regla de tres y el

resultado es S/. 60. Es decir, nos damos cuenta de que entre

lo que pagamos y lo que consumimos existe una relacin. Si

consumes ms, pagas ms, si consumes menos, pagas menos.

Tambin podemos decir que el pago que efectuamos dependede la electricidad que consumimos o el pago est en funcin

de la electricidad que consumimos.

Este ejemplo es uno de los muchos que existen cuandohablamos de funcin.

Aqu algunos ms que aclaran la idea:

El rea de un crculo depende o est en funcin de lalongitud de su radio.

Las cuentas mensuales de agua y electricidad dependende la cantidad de agua o electricidad que se utilicen.

El desarrollo muscular y firmeza de un cuerpo dependede los ejercicios fsicos que se practiquen.

Estas ideas nos ayudarn a entender el siguiente marco

terico.

Rpta.: x = 40 kw-h

FUNCIONES

1. Par Ordenado

Es un conjunto formado por dos elementos dispuestosen determinado orden.

1. (a; b) (b; a) (no conmutativa)

2. Si (a; b) = (c; d) a = c b = d

Propiedades

(a , b)

Primeracomponente

Segundacomponente

2. Producto Cartesiano

Dados dos conjuntos "A" y "B" no vacos, se llama

producto cartesiano (AxB) al conjunto de pares

ordenados (a; b) donde "a" "A" y "b" "B", es decir:

A x B = {(a; b)/ a A b B}

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lgebra

Ejemplo:

Sea: A = {1; 2; 3} B = {2; 3; 4}

A x B = {(1; 2), (1; 3), (1; 4),(2; 2), (2; 3), (2; 4),(3; 2), (3; 3), (3; 4)}

1. n(A x B) = n(B x A)

2. n(A x B) = n(A) x n(B)

Propiedades:

3. Relacin

Dados dos conjuntos "A" y "B" no vacos, se llama relacinde "A" en "B" a todo subconjunto "R" del producto cartesiano"A x B", es decir, "R" es una relacin de "A" en "B" "R" "Ax B".En particular, si A = B, "R" se llama relacin en "A"(relacin entre elemento de "A").

La definicin anterior de relacin exige la comparacinde elementos pares, por eso suele llamarse "relacionesbinarias".

Ejemplo:

En el conjunto:A = {9; 8; 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1}

establecemos las siguientes relaciones:* "a" es el doble de "b".* "a" es igual a "b".

Escribe los pares que cumplen las relaciones,respectivamente:

R1 = {(a; b)/"a" es el doble de "b"}

= {(2; 1), (4; 2), (6; 3), (8; 4)}

R2 = {(a, b)/"a" es igual a "b"}

= {(1; 1); (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5), 6; 6), (7; 7), (8; 8), (9; 9)}

* Si "R" es una relacin entre elementos de "A" y "B",al conjunto "A" se le llama conjunto de partida dela relacin y a "B" conjunto de llegada.

* Se llama Dominio de una relacin "R" al conjuntode todos los elementos (a A) tales que existe porlo menos un (b B) con(a, b) R.

* Se llama Rango de una relacin "R" al conjunto detodos los elementos (b B), tales que existe porlo menos un (a A) con (a, b) R.

Ejemplo:

Sea la relacin:

R1={(1; 2), (2; b), (2; 7), (3; 2), (-1; 2)}

DR1

={1; 2; 3} RR1

={2; b; 7; -2}

DEFINICIN DE FUNCIONES

Sean "A" y "B" dos conjuntos no vacos (pudiendo serA = B), llamaremos funcin definida en "A" a valores en"B" (funcin de "A" en "B") a toda relacin:

F A x B

que tiene la propiedad:

(a; b)F y (a; c)F; entonces b = cEs decir, una funcin es un conjunto de pares ordenadosde elementos, tal que dos pares distintos nunca tienen elmismo primer elemento.

Notacin:Si "F" es una funcin de "A" y "B" se designa por:

F: A B o

Se lee:"F" es una funcin de "A" en "B".

a b

F

A B

abc

1

FA B

Siendo abc, diremos: A F BF = {(a; 1), (b; 1), (c; 1)} es funcin

123

FM N

abcd

F = {(1; c), (2; d), (3; b)} es funcin

Ejemplo 2:

Ejemplo 1:

MF

N

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4to Secundaria

12

FM S

a

bc

F = {(1; b), (2; a), (2; c)}

* Si abc, luego no es funcin porque se repite el primer

elemento.

* Si a = c b, es funcin.

Ejemplo 3:

M F S

Observacin

Toda funcin es una relacin, pero no toda relacines una funcin.

Ejemplo:

Halla los valores de "a" y "b" para que el conjunto de paresordenados:

A = {(2; 5), (-1; -3), (2; 2a-b), (-1; b-a), (a+b2; a)}

sea una funcin.

Resolucin:

En una funcin dos pares distintos nunca tienen el mismoprimer elemento.

\ (2;5) y (2;2a-b) A 5= 2a-b... (1)

(-1;-3) y (-1;b-a) A b -a= -3...(2)

De (1) y (2), resolviendo:

a = 2; b = -1 \ F = {(2; 5), (-1; -3), (3; 2)}

* Si "F" es una funcin de "A" en "B", el conjunto "A"se llamar conjunto de partida de la funcin y "B" elconjunto de llegada.

* El dominio de una funcin "F" se designa por "DF" y se

define como el conjunto siguiente:

DF= {xA/ y; tal que (x; y)F}

* El rango (o imagen) de una funcin "F" se designa por

"RF" o "ImF" y se define como el conjunto siguiente:

RF={yB/ x; tal que (x; y)F}

Ejemplo:

Resolucin:

Sea la funcin:

F={(2;3),(3;4),(7;3),(-2;6),(4;1)}

halla:

M = F(2)

+F(3)

+F(7)

+F(-2)

+F(4)

Como:

F(2)

=3; F(3)

=4; F(7)

=3; F(-2)

=6;

F(4)

=1

\ M = 17

* Es decir son las segundas compo-nentes de los paresordenados.

* Si el par ordenado (a; b) F, escribiremos b = F(a)

ydiremos que "b" es imagen de "a" por "F" ( o tambin,

que "b" es el valor de "F" en "a").

F={(a;b)AxB/ b = F(a)

; a DF}

REGLA DE CORRESPONDENCIA

Para que se pueda definir bien una funcin es suficiente

conocer su dominio (DF) y una regla que permita asignar

para cualquier x DF ; su imagen F(x).

Ejemplos:

1. Halla el dominio de las siguientes funciones:

a) F = {(2;3), (4;5), (6;3), (-2;a)} D

F= {2; 4; 6; -2}

b) F(x)

= x -2

DF=x-2 0; x 2 DF=[2; +>

c) F(x)

= +

DF= 0 x - 3 0

x - 2x+5

xx-3

x - 2x+5

DF=[2 ;+>-{3}

+ +

-5 2- + 3

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lgebra

y=2x2+3x+2 2x2+3x+(2-y)=0

x =

Si "x"R, luego "y" tambin R.Pero: 0; 9 - 8(2 - y) 0

y

RG

= ;+

78

2. Halla el rango de las siguientes funciones:

a) F={(2;3),(4;6),(5;7),(7;6),(-2;3)}

RF= {3; 6; 7}

b) Sea F(x) = x2

y = x2 x R; y R+ {0} D

F= ; R

F= [0; +>

Tenemos varias formas de hallar rangos, pero presentaremoslas ms conocidas:

Cuando tenemos una funcin donde su dominio nopresenta rango, se despeja x en funcin de y.

Cuando tenemos un intervalo como dominio, usamosdesigualdades.

c) Para la funcin definida por:

G(x)

= 2x2+3x + 2 ; x R

d) Para la funcin definida por:

H(x)

= x2-4x + 7 ; x [2 ; 3]

y = x2-4x + 7

y = (x-2)2+ 3

como: 2 x 3

0 x -2 1al cuadrado:

0 (x -2)2 1

ms tres:

3 (x -2)2+ 3 4 3 y 4\ R

H= [3 ; 4]

Resolucin:

Resolucin:

-3 9 - 4(2)(2 - y)2(2)

78

d) Para la funcin:

F(x)

=

Resolucin:

x2

x2+1

y = ; yx2+ y = x2

x2(y - 1) = -y

x2= x =

\ 0; 0

x2

x2+1

y1- y

y1- y

yy-1

y1- y

y [0; 1> RF= [0; 1>

Sea F una funcin real, la grfica de F es el conjunto G

de todos los puntos (x , y) en el plano, tal que x est en eldominio de F e y es la imagen de x por F; es decir:

G= {(x,y) R2/y =F(x)

; x DF}

Una grfica cualquiera ser funcin, si y slo si, al trazaruna paralela al eje y corta a la grfica en un slo punto.

a) F(x)es una funcin, entonces L1 es la recta paralelaal eje yque corta a la grfica en un solo punto.

Ejemplos:

GRFICA DE UNA FUNCIN

L1

F(x)

x

y

+ +

0 1- +

-

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4to Secundaria

b) G(x)

no es funcin, entonces L2 es la recta paralela al

eje y que corta a la grfica en ms de un punto.

L2y

G(x)

x

Dos pares distintos no tienen la misma primera componente,entonces:

(7 ; 9) y (7 ; n2) F

9 = n2 n = 3 (no cumple)

n = -3 (cumple con la funcin)

Resolucin:

2. Indica la suma de los elementos del rango de la funcin:

F(x)

= 3x + 1

siendo el dominio:

DF= {1; 2 ; 3 ; 4}

1. Calcula n en la funcin:

F = {(7; 9) , (n ; 2) , (3 ; 4) , (7 ; n2)}

D(F)

= x + 1 0 1 -x 0

x -1 1x

Luego:

DF= x [-1 ; 1 ]

Para:

x=1F(x)

= 4 x = 3F(x)

= 10

x = 2F(x)

= 7 x = 4F(x)

= 13

Luego, la suma de los elementos del rango ser:

4 + 7 + 10 + 13 = 34

3. Halla el dominio de la funcin:

F(x)= x + 1 + 1 -x

Resolucin:

Resolucin:

4. Halla el dominio y rango de la siguiente funcin:

F(x)

= -x2

DF= RR

F: despejar x en funcin de y.

y -3 =

Luego: y R

5. Halla el dominio y el rango de la siguiente funcin:

F(x)

= x + 2x + 8

x2

-x=2y-6x = 6-2y

DF = R -{-8}

RF

: despejar x en funcin de y

x + 2x + 8

y = yx + 8y = x + 2

yx -x = 2 -8y x(y -1) = 2 -8y

2 -8yy -1

x =

Luego: y R - {1}

Resolucin:

- + -1 1

+3

-

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lgebra

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3Halla "ab" si el conjunto de pares ordenadosrepresenta una funcin.

F={(2;3),(3;a-b),(2;a+b),(3;1)}

Resolucin:

Si el conjunto de pares ordenados representa

una funcin, seala el dominio y rango de la

funcin:

f={(2;4a-b),(3;b),(2;3),(5;6),(3;1)}

Resolucin:

Reconoce el rango de la funcin:

f={(2;a),(2;3a-4),(3;a-1),(4;a2)}

Resolucin:

y

x

y

x

y

x

De las grficas, cuntas corresponden a una

funcin?

y

x

y

x

Resolucin:

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4to Secundaria

Rpta:

5

Rpta:

6Del siguiente diagrama:

calcula el valor de:

Resolucin:

g

123

f

253

523

f(2)

+g(f(2))

f(3)

+g(f(3))

Halla el dominio de la funcin:

F(x)

=

Resolucin:

7x+1x - 7

7. Cuntos enteros presenta el dominio de lafuncin?

F(x)

=4

1+x +8

3 - x

8. Halla el rango en:

M(x)= x+2x+8

9. Halla el rango en:

F(x)

= x2+4x+7; x R

10. Calcula el dominio de la funcin:

F(x)

=

5

x2- 4


F(x)=3x2+2x+1


f(x)

= x+1 + 1 -x

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lgebra

1. Si el conjunto de pares ordenados representauna funcin, calcula "xy".

F={(2;4),(3;x+y),(5;6),(3;8),(2;x -y)}

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

2. Halla el dominio de:

F(x)

= x+9 + 4

a) x R+b) x R-c) x Rd) x [9;+>e) x [-9;+>

3. Halla el dominio si:

f(x)

=

a) b) [-1; 1> c)

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4to Secundaria

20InecuacionesIrracionales

FUNCIONES ESPECIALES1. Funcin Constante

Regla de correspondencia: Fx= k

DF= R; R

F= k

Significa que:

F ={... , (0 ; k) , (1 ; k) , (2 ; k), ... } \F = {(x ; y) /F

x= k}

Grfica:

2. Funcin Identidad

Regla de correspondencia: F(x)

= x D

F= R; R

F= R

Significa que:

F ={... , (1; 1) , (2 ; 2) , (3 ; 3), ... } \F

(x)= {(x ; y) /F

x= xx = y}

Grfica:

3. Funcin Valor Absoluto

Regla de correspondencia:F

(x)= x

Significa que: F ={... , (-2; 2) , (-1 ; 1) , (0; 0), (1 ; 1)... } F

(x)= |x|

y =|x| x = 1 ; y = 1 x = -1 ; y = 1

Grfica:

x=x ; si x 0

-x ; si x < 0

DF= R; R

F= R+{0}

4. Funcin Raz Cuadrada


(x)= x

DF= R+ {0} ;R

F= R+{0}

Significa que:

F ={(0; 0) , (1 ; 1) , (2; 2), (3 ; 3),...}

Grfica:

F(x)

= x

x

y

y = x

x

y

2 3 6

F(x)

= k

x

y

k

0

y

y =|x|

x

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lgebra

5. Funcin Lineal


(x)= ax + b

a y b son constantes cualesquiera, a 0D

F= R ;R

F= R

Su grfica es una recta, con pendiente a e interceptob.

Grfica:

y = mx + bm > 0

x

y

b

y = mx + bm < 0

x

y

b

m: pendiente de la rectam = tg

Resolucin:

Ejemplo:

Calcula la funcin lineal que tenga

F(1)

= 3 y adems F(2)

= 2F(3)

.

F(x)

= mx + bF

(1)= m+ b = 3 ... ()

Adems:2m + b = 2(3m + b)2m + b = 6m + 2b

b = -4m ... ()De () y ()

m = -1 b = 4

\F(x)

= -x + 4

a > 0 > 0

6. Funcin Cuadrtica

Es una funcin con dominio en el conjunto de losnmeros reales y cuya regla de correspondencia es:

F(x)= ax2+ bx + ca; b; c R ; a 0

Su grfica es una parbola simtrica respecto a una

recta vertical, llamada eje de simetra, abierta haciaarriba si a>0; y hacia abajo si a 0

b2a

F

y

x1

xx2

b2a

V

a > 0 = 0

{x1

; x2} races de la ecuacin, cuando y = 0.

y

xV

x1

= x2

=b2a

V: vrtice

V: vrtice

( (

b2a

F

y

x1

x

x2

b2a

V ( (

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78

4to Secundaria

OTRAS FUNCIONES

a > 0 < 0

a < 0 = 0

{x1

; x2} races iguales de la ecuacin, cuando y = 0.

y

xV

x1

= x2

=b

2a

y

x

Vb2a

b2a

F( (

Esta funcin, cuando y = 0, los valores de x son nmeroscomplejos.

a < 0 < 0

y

V

x

b2a

b2a

f( (

Funciones Pares

Son aquellas funciones que se caracterizan por ser simtricasrespecto al eje "y"; y se cumple que:

I. Si: x Df -x Df

II. f(x)

= f-x

x Df

Funciones Impares

Son aquellas funciones que se caracterizan por ser simtricasrespecto del origen.

I. Si: x Df -x Df II. f

(x)= - f

(-x) x D

f

Ejemplo:

Indica qu funciones son pares, impares o ni par ni impar.

I. F(x)

= x4+ 1

II. G(x)

= x3

III. H(x)

= x -|x|

Resolucin:

I. F(x)

es par, porque:

F(-x)

= (-x)4+1

F(-x)

= x4+1

F(-x)

= F(x)

\ F(x)

es par

II. G(x)

es impar, porque:

G(-x)

= (-x)3

G(-x)

= -x3

-G(-x)

= x3

-G(-x)

= G(x)

\ G(x)

es impar

III. H(-x)

= -x -|x|

-H(-x)

= x+|x|

-H(-x)

H(x)

;

tambin: H(-x)

H(x)

\ H(x)

no es ni par ni impar

DESPLAZAMIENTOS

a) Desplazamiento horizontal

h > 0

y

x

F(x+h)

y

x

F(x)

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17/28

79

lgebra

1. Indica cul es la grfica de:

F(x)

= |x|?

b) Desplazamiento vertical

y

x

F(x-h)

h>0

y

x

F(x)

- h

y

x

F(x)

y

x

F(x)

+h

REFLEJOS

a) Reflejo en el eje x

b) Reflejo en el eje y

c) Con valor absoluto

y

x

F(x)

y

x

-F(x)

y

x

F(x)

y

x

F(-x)

y

x

F(x)

y

x

|F(x)

|

Resolucin:

Si: x 0 |x|= x

\ F(x)

= x

es la funcin raz cuadrada.

Si x < 0 |x|= -x

\ F(x)

= -x

simtrica a x con respecto al eje y.

De las dos condiciones:

y

x

h > 0

h > 0

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18/28

80

4to Secundaria

Resolucin:

2. Indica la grfica de:

F(x)

= 7 -|x - 2|

Grfica 1: y = |x|

(funcin valor absoluto)

Grfica 2: y = |x -2| se desplaza dos unidades a laderecha respecto a y = |x|

y

x

y

x

Grfica 3: y = -|x -2| es simtrica a y = |x -2| conrespectoa al eje x.

Grfica 4: y = 7 -|x -2| se desplaza hacia arriba 7unidades.

y

x

y

x2

7

Resolucin:

3. Segn el grfico de f(x)

y = f(-x)

es simtrica a respecto al eje "y".

indica el grfico de f(-x)

-1

y

x

1

-2

f(x)

y = f(-x)

-1 se desplaza una unidad hacia abajo.

y

x

1

2

y

x

-1

2

Resolucin:

4. Esboza el grfico de: F

(x)= 4x(x+m) + m2

siendo: m < 0

F(x)

= 4x2+ 4xm + m2

trinomio cuadrado perfecto

F(x)

= (2x +m)2

Grfica 1: y = (2x)2= 4x2

(funcin cuadrtica simple)

Grfica 2: y = (2x+m)2 se desplaza "m" unidadesa la derecha, pues m < 0

y

x

y

xm

Efectuando

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81

lgebra

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3Grafica:f

(x)= -2

Resolucin:

Grafica:

f(x)

= 2x+3

Resolucin:

Grafica:

f(x)

= x + 2

Resolucin:

Grafica:

F(x)

= x|x|

Resolucin:

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82

4to Secundaria

Rpta:

5

Rpta:

6Grafica:

y = |x|- 8

Resolucin:

Grafica:

F(x)

= ||x| -3|

Resolucin:

7. Grafica:

F(x)

= (x - 5)2 +3

8. Grafica:

F(x)

= 1- x2

9. Construye la grfica de la funcin:

F(x)

= - x -2

10. Halla el rea de la regin sombreada formada porla recta "L" y los ejes de coordenadas, siendo:

F(x)

=10 -2x

5

x

F(x)

L

11. Grafica:

f(x)

= 4 - 2x

12. Determina el rea de la regin formada por lafuncin:

F(x)

= -|x|+4

y el eje de las abcisas.

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22/28

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23/28

85

lgebra

21 Logaritmos I

INTRODUCCIN

En la poca de los grandes descubrimientos, lasoperaciones aritmticas fueron clasificadas en tres especies:la primera especie la conformaban las operaciones de adiciny sustraccin; las de segunda especie eran la multiplicaciny divisin; y por ltimo la potenciacin y radicacin eran detercera especie. Resolver un problema de clculo aritmticoconsista en transformar uno de segundo o tercera especieen una especie inferior (primera especie) de manera que seams sencilla.

Entonces el gran problema era hallar un proceso que

permitiese transformar las operaciones de potenciacin,radicacin, multiplicacin y divisin en una divisin osustraccin y as que el matemtico y telogo escocs JohnNapier (1550-1617) public la primera tabla de logaritmosen el ao 1614. Posteriormente, trabajando en formaindependiente, el suizo Joost Brgi (1552-1632), fabricantede instrumentos astronmicos, matemtico e inventor,publica su tabla de logaritmos en 1620.

Una tabla de logaritmos consta de dos columnas denmeros. A cada elemento de la columna de la izquierdale corresponde su logaritmo que es el nmero ubicado a su

derecha.

Si bien es cierto que realizar la tabla de logaritmos noha sido sencillo, gracias a ella podemos multiplicardos nmeros sumando logaritmos, dividir dos nmerosrestando logaritmos, hallar una potencia multiplicandola base por el ndice; es por ello que los logaritmos fueronindispensables durante tres siglos en el clculo aritmtico,el cual actualmente ha sido sustituido por las mquinaselectrnicas, sin embargo siguen ejerciendo un papelimportante en el campo de las ciencias qumicas, fsicas,econmicas, estadsticas, etc.

A lo largo de la historia se han establecido muchas tablasde logaritmos, pero la ms usual es la de los logaritmos

decimales, la cual fue elaborada por el matemtico inglsHenry Brigss (1561-1631) en colaboracin con Napier.

Actualmente los logaritmos se utilizan para trabajarcantidades sumamente elevadas, reducindolas a escalasms pequeas, donde se pueden trabajar cmodamenteutilizando lo que se conoce como "papel logartmico".

DEFINICIN

Se denomina logaritmo de un nmero real positivoal exponente que se debe elevar una base positiva y distintade la unidad, para obtener una potencia igual al nmeropropuesto, es decir:

logbN = x bx= N

Donde: x : logaritmo x R b : base (b>0 ; b 1) N : nmero al cual se le toma

logaritmo (N>0).

log525 = 2 ; porque 52= 25

log232 = 5 ; porque 25= 32

log1/3

9 = -2 ; porque (1/3)2= 9

log31 = 0 ; porque 30= 1

Ejemplos:

IDENTIDAD FUNDAMENTAL

De la definicin, se desprende que:

5 log53= 3

7 log72 = 2

blogbN= N ; N>0; b>0; b 1

Ejemplos:

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24/28

86

4to Secundaria

Efecta: 4log25 + 27log34

4log25+27log34=(22)log25+(33)log34

=(2log25)2+(3log34)3

=(5)2+(4)3= 89

Resolucin:

A continuacin vamos a ver las propiedades generales delos logaritmos que se cumplen para cualquier sistema delogaritmos.

1. logb1 = 0

log51 = 0

2. logbb = 1

log77 = 1

3. logxab = log

xa + log

xb

log2(15) = log

2(3)(5)

= log23 + log

25

4. logxa/b = log

xa log

xb

log25/9 = log

25 log

29

5. logxbn= nlog

xb

log

22100= 100 log

22 = 100

P R O P I E D A D E S G E N E R A L E S D E L O S L O G A RITMOS

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

Se define como cologaritmo de un nmero allogaritmo del inverso multiplicativo de dicho nmero, esdecir:

antilogbN = bN

Cologaritmo

Antilogaritmo

El antilogaritmo de un nmero es el nmero al quecorresponde un logaritmo dado.

cologbN = log

b( )1

N

Nota

logb(antilog

bN) = N;

antilogb(log

bN) = N

Cambio de base:

logba =

logxa

logxb

Regla de la cadena:

logba . log

cb . log

dc = log

da

1. Calcula el valor de las siguientes expresiones:

Resolucin:

log381 = 3x= 81 x = 4

8log8a = a;

(identidad fundamental)

log4(3x) = log43 + log4x;(x > 0) log

3(5/4) = log

35 -log

34

antilog42 = 42= 16

2. El logaritmo de qu nmero en base 2 2 es 8?

Resolucin:

log2 2

N = 8 (2 2)8= N

28. 28= N \ N = 4 096

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25/28

87

lgebra

3. Calcula el logaritmo de 64 en base 32.

Resolucin:

log 3264 = x

(3

2)x

= 64 2x/3= 26

= 6 x = 18x3

4. El logaritmo de 2 3 en base x es 0,1. Halla x.

Resolucin:

logx2 3 = 1/10

x1/10= 2 3

x = (2 3)10

x = 210. 3 10

x = 248 832

3 x 4= 16 x = 416 3

x = 23

\ x = 8

5. Halla x en:

log 3x16 = 4

Resolucin:

Joseph-Louis Lagrange

Naci el 25 de enero de 1736 en Turn, Sardinia-

Piedmont (Ahora Italia).A los diecisis aos de edad , fue nombrado profesor dematemticas en la Escuela Real de Artillera de Turn.A los diecinueve aos de edad, obtuvo famaresolviendo el as llamado problema isoperimtrico,que haba desconcertado al mundo matemticodurante medio siglo. Comunic su demostracin enuna carta a Euler, el cual se interes enormemente porla solucin, de modo especial en cuanto concordabacon un resultado que l mismo haba hallado. Eulercon admirable tacto y amabilidad respondi aLagrange, ocultando deliberadamente su propia obra,

de manera que todo el honor recayera sobre su jovenamigo. En realidad Lagrange no slo haba resuelto unproblema, tambin haba inventado un nuevo mtodo,un nuevo clculo de variaciones, que sera el temacentral de la obra de su vida.En Prusia, produjo obras de alta distincin, queculminaron en su Mcanique analytique. Decidipublicarla en Francia, a donde fue llevada a salvo poruno de sus amigos.

Le gustaba la msica. Deca que le aislaba y le ayudabaa pensar, ya que interrumpa la conversacin general.La escucho durante los tres primeros compases; luegono distingo nada, pero me entrego a mis pensamientos.De esta manera he resuelto muchos problemasdifciles. Se cas dos veces: primero cuando vivaen Berln, donde perdi a su esposa, despus de unalarga enfermedad, en la cual la cuid con dedicacin;luego en Pars, se cas nuevamente con la hija de unclebre astrnomo. Feliz en su vida hogarea, sencilloy bastante austero en sus gustos, pas sus tranquilosaos fructferos, hasta que muri en 1813, a los setentay seis aos de edad.

Augustin Louis Cauchy(Pars 21 de agosto 1789 -23 de mayo 1857)

Ca u chy , ma tem t i cofrancs, fue pionero enel anlisis y la teora depermutacin de grupos.T a m b i n i n v e s t i g l a c o n v e r g e n c i a yl a d i v e r g e n c i a d e

l a s s e r i e s i n f i n i t a s ,ecuaciones diferenciales,determinantes,probabilidady fsica matemtica.En 1814, l public Lamemoria de la integral definida que lleg a ser la base dela teora de las funciones complejas. Gracias a Cauchy,el anlisis infinitesimal adquiere bases slidas.

Cauchy precisa los conceptos de funcin, de lmite y decontinuidad en la forma actual o casi actual, tomando elconcepto de lmite como punto de partida del anlisis yeliminando de la idea de funcin toda referencia a una

expresin formal, algebraica o no, para fundarla sobre lanocin de correspondencia.

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26/28

88

4to Secundaria

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3Calcula:

S = log315 -log

35+log

21

Resolucin:

Indica el equivalente de:

M = 31+log32 + 21+log23

Resolucin:

Reduce:

T = (log2+log50)3log34

Resolucin:

Calcula:

5log

53log23 log35 log52J =

Resolucin:

7/25/2019 lgebra4to(18-21)

27/28

89

lgebra

Rpta:

5

Rpta:

6Calcula el valor de:

R = log52.log2 + log

25.log5 - log

510 . log

210

Resolucin:

Si: log35 = a y log

32 = b, halla log

3(2, 7) en

funcin de "a" y "b".

Resolucin:

7. Si logab = 2 y log

bc = 3, calcula log

a3(b2c4)

8. Efecta:

3

log245+3

2

log340+2

1

log572+1+ +

9. Reduce:

E = colog4log

2log

2antilog

4log

1,41,96

10. Si {a,b,c}R+-{1}, simplifica:

10log100

logabc+1

10log100

logbac+1

10log100

logcab+1

+ +

11. Reduce:

M = log8

16log43(log23)

-1

12. Siendo log42

2 = a y log42

3 = b, halla log42

49

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28/28

4to Secundaria

1. Simplifica:

R = (log64+log

69)log3(5+log216)

a) 2 b) 3 c) 5d) 4 e) 16

2. Si:

L = log3[log

2(log

2256)];

halla

a) 1 b) 1/2 c) 2d) 0 e) 3/2

L - 12

3. Reduce:

A = 21+log25 . 51+log53

a) 220 b) 150 c) 100d) 12 e) 42

4. Calcula:

a) 4 b) 3 c) 2d) 1 e) 0

11log4

log11log72 log37 log53 log25M =

5. Reduce:

a) 1/6 b) 1/2 c) 0d) -1 e) 1

1log

215+1

1log

310+1

1log

56+1

+ +

6. Calcula: antilog

3(log

2(antilog

2(colog

28)))

a) 32 b) 27 c) -1/27d) 1/27 e) -1/9

4 63

7. Si log23 = m, halla log36243 en funcin de m.

a)5m

2m+1 b)

3m2m+1

c)5m

2m+2

d) 2m+15

e) 2m+13

8. Indica qu es igual:

81log23E =

a) 4 b) 9 c) 16d) 25 e) 49

9. Calcula:

J =

1

5log75+

1

-log 110( )

3

a) 2 b) 1 c) -1d) 8 e) 0

10. Al reducir:

colog

.log2log

antilog

4(log

1,31,69)se obtiene:

a) 1 b) -1 c) 1/2d) -1/2 e) 0

-14

22

11. Si a, b, c R+- {1} ab = 1, calcula:

loga(bc).logb(ac)-1log

ac.log

bc

E =

a) 2 b) -2 c) 1d) -1 e) 4

12. Simplifica:

L = (7log 2+14)log7( 2-1) + (4log2+ 33)

log4(2- 3)

a) 1/12 b) 1/6 c) 5/6

d) 7/12 e) 1/4

Documents

Álgebra4to(18-21)