1.3. ALGORITMOS PARA EL CALCULO DE An
INDUCCIN MATEMTICA
Calcular An,
El mtodo de demostracin conocido como induccin matemtica, se
puede utilizar para demostrar que una cierta proposicin p(n), que
se refiere a los nmeros naturales, es cierta para cada n. El mtodo
nos dice:
1. Demuestra que P(1) existe2. Demuestra que P(n) es cierta,
entonces P(n+1) es ciertaAs queda claro que P(n) es cierta
Para la matriz A empezamos calculando las sucesivas potencias de
la matriz cuadrada A:
A estas potencias las escribimos de otro modo:
Esto nos lleva a proponer la siguiente ecuacin general:
Demostramos por induccin que es verdad:
1. Comprobemos que es cierto para cada n=2, n=3 por ejemplo. 2.
Supongamos que la formula es cierta para n vamos a ver que tambin
es cierta para n+1
Por lo tanto queda demostrado por induccin que:
Ejemplo:Sea: , encontrar Bn
Primero encontramos sus primeras potencias tales como:
HI)
TI)
Demostracin:
B(k+1)=Bk*B1
BINOMIO DE NEWTON
Deduccin de la frmula del binomio de newton
Vamos a deducir la frmula que nos permitir elevar a cualquier
potencia de exponente natural, n, un binomio. Esto es la forma de
obtenerPara ello veamos cmo se van desarrollando las potencias de
(a+b)
Y ya podemos escribir la frmula general del llamado binomio de
Newton
Que tambin se puede escribir de forma abreviada as:
Tenemos:
PASOS PARA CALCULAR An1. Descomponer la matriz A en dos matrices
conmutables de la forma A=I+B
2. Aplicar Binomio de Newton
0 0 0
3. Simplificar:
4. Sustituir matrices y operar:
Ejemplo:Encontrar con el binomio de newton A n
1. Descomponer la matriz A en dos matrices conmutables de la
forma A=I+B
2. Aplicar Binomio de Newton
3. Simplificar:
Tenemos:
4. Sustituir matrices y operar:
