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Algebra lineal Unidad 2. Matrices Actividad 3. Método de Gauss

Problema

Instrucciones: Lee el problema y al final, realiza lo que se te pide.

Problema: Sustancias que funcionan como super proteínas a través de matrices

Un grupo de ingenieros en biotecnología realizaron una investigación para crear una sustancia que funcionara como una super proteína en un tipo especial de microorganismos que habita cerca de una zona petrolera. El objetivo era crear microorganismos más resistentes y en el caso de que existiera algún derrame petrolero cerca de la zona, utilizarlos para la limpieza. Durante la investigación se presentaron muchas dificultades, pues se tenían previstos tres proyectos diferentes, mismos que resultaron un rotundo fracaso. En cada uno de éstos se desarrolló una sustancia diferente y cuando se realizaron las pruebas con las sustancias, éstas no mejoraron a los microorganismos como se esperaba, por esto los frascos que contenían las sustancias respectivas de cada proyecto fueron vaciados a un mismo contenedor con capacidad de m litros, el cual se encontraba completamente limpio. Los ingenieros tomaron una muestra de la sustancia que resultó de la combinación de las tres que se vaciaron al contenedor y luego de ponerla en el microscopio observaron los resultados. La muestra era producto de un accidente científico.

Después cada grupo hizo colocó una marca al recipiente que contenía su respectiva sustancia, esto con el fin de tener en cuenta la medida que utilizaron y relacionarlo con el resultado que se obtuvo. Así, volvieron a utilizar la misma

medida que vaciaron al contenedor para formar una nueva sustancia, la probaron y el resultado fue exactamente el mismo que el que se encontraba en el contenedor.

Por consiguiente, se dieron cuenta que nadie sabía exactamente la cantidad que depositaron de la sustancia, sin embargo tenían el recipiente en el que señalaron la medida. Para saber las cantidades exactas, sugirieron formar un sistema de tres ecuaciones y así encontrarían los valores

exactos de los recipientes de cada uno de los grupos, entonces realizaron las siguientes pruebas:

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1


1. Utilizaron 2 vasos de la primera sustancia, 2 vasos de la segunda y un vaso más de la tercera y obtuvieron

4.5 litros de la sustancia final.

2. Utilizaron 4 vasos de la primera sustancia, 6 vasos de la segunda y 3 vasos más de la tercera, y obtuvieron

12 litros.

Nota: Para encontrar lo que se te pide supón que en las primeras dos pruebas (la del accidente y la repetición del mismo)

se colocaron 6 vasos de la primer sustancia, 9 vasos de la segunda y 7 vasos de la tercera.

Realiza lo siguiente:

1. Retoma los resultados de la Actividad 2: Representación matricial, mismos que publicaron en la base de datos y resuelve el problema por el método de Gauss.

2. Encuentra la cantidad en litros que se colocó en cada vaso de la primera, segunda y tercera sustancia

3. Comprueba tus resultados por alguno de los métodos que se comentaron en la Actividad 1. Foro: Planteamiento del problema.

DESARROLLO DEL TRABAJO.

La matriz siguiente es la propuesta generada para obtener las cifras que se están buscando a partir de la solución del problema mediante las ecuaciones simultáneas.


2


Sistema de ecuaciones.

20796

12364

5.422

zyx

zyx

zyx

Matriz.

697

463

221

A

20

12

5.4

B

20697

12463

5.4221

BA

Método de Gauss

20697

12463

5.4221

BA

275

150

53

X

A continuación se genera la matriz ampliada derivado del sistema de ecuaciones:

20697

12463

5.4221

A

Se busca la forma reducida de la matriz:


3


0475.01 xx

0410/112 xx

045/43 xx

Por lo tanto la matriz escalonada es la siguiente:

4

3

2

1

x

x

x

x

x

= 1

5/4

10/11

75.0

4

x

La matriz aumentada queda de la manera siguiente:

2, 6 y 7 se llaman pivotes, se pueden despejar las incógnitas usándolos como base; pero me es más sencillo si despejo usando las x de cada renglón.

En este caso voy a dividir el primer renglón o fila (de aquí en adelante) por entre 2, F2 – F1

Se multiplica por ½ toda la fila 1

Se multiplica por -4 y se suma a la fila 2


4


En la fila 3 se debe operar así: -6 * fila 1 + fila 3

Ahora el 2 de la fila 2 se multiplica por ½

Ahora la fila 1 se multiplica y suma y resta así: -1*f2+f1

La fila 3 operará así: -3*f2+f3

La fila 3 se multiplicará por 2/5

La fila 2 se multiplica por -1/2

Con esto se determina los valores de las incógnitas por medio de Gauss – Jordan


5


Los valores para las incógnitas son:

x=0.75

y= 11/10

z= 4/5

o x= 0.75, y= 1.1 y z= 0.8

Para encontrar los determinantes x, y y z, se realiza lo siguiente

Se obtiene la determinante del sistema:

= ((6*6*1)+(9*3*2)+(7*4*2)) – ((9*4*1)+(6*3*2)+(7*6*2))= (36+54+56)-(36+36+84)=

(146)-(156)= -10

La determinante del sistema es -10

Ahora se calculará la determinante x:

x= (120+121.5+168) – (108+120+189)= (409.5)-(417) = -7.5

La Determinante x del sistema es -7.5

Ahora se calculará la determinante y:


6


y= ((6*12*1)+(20*3*2)+(7*4*4.5)) – ((20*4*1)+(6*3*4.5)+(7*12*2))=

y= (318)-(329)

y= -11

La determinante y es igual a -11-

Ahora se calcula la determinante z.

z= ((6*6*4.5)+(9*12*2)+(20*4*2)) – ((4*9*4.5)+(6*12*2)+(20*6*2))=

z= (162+216+160) – (162 + 144 + 240)=

z= (538) – (546)

z= -8

La determinante z tiene un valor de -8.

Ahora se deben solucionar los valores para las determinaciones de cada una de las ecuaciones dadas.

Δ = -10

Δx = -7.5

Δy = -11

Δz = -8

Para la determinante x:


7


Para la determinante y:

Para la determinante z:

Ahora se comprueban las determinantes en las ecuaciones originales:

Se sustituyen las incógnitas x, y, z por aquellos valores respectivos en las determinantes x, y z.

Por lo que la primera ecuación está correcta.

Ahora se realiza la comprobación en la segunda ecuación.

Con lo cual se comprueba que la segunda ecuación también está correcta.

Ahora se comprobará para la tercera ecuación.


8


Con lo que se comprueba que la tercera ecuación también está correcta.

Encuentra la cantidad en litros que se colocó en cada vaso de la primera, segunda y tercera

Primera sustancia: el vaso contenía: 0.75 litros

Segunda sustancia el vaso contenía: 1.1 litros

Tercera sustancia el vaso contenía: 0.8 litros

Comprueba tus resultados por alguno de los métodos que se comentaron en la Actividad 1. Foro: Planteamiento del problema.

Por el sistema de Cramer.

Se representa el sistema de ecuaciones en formato de matriz

Se calculan los determinantes colocando todo en pequeñas partes


9


Ahora se debe aplicar


10


Para

Para

BIBLIOGRAFÍA

El aula virtual del álgebra lineal

http://algebra-lineal.blogspot.mx/2006/07/aplicaciones-de-lgebra-lineal-para.html

Álgebra Lineal http://es.wikipedia.org/wiki/Álgebra_lineal

Álgebra Lineal: Conceptos básicos http://cnx.org/content/m12862/latest/

Chang, R. Química. (1995) México: McGraw-Hill, 4ª edición, páginas 5 – 9.


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http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_lineal

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Ayres, F, Jr, y Mendelsson, E. Cálculo. (2010) México: Mc Graw-Hill, 5ª Edición. Cápitulo 50: Vectores en el espacio.


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