alumnos NUMEROS COMPLEJOS - UTP - 2015-I.pdf

NUMEROS COMPLEJOS Lic. Eduardo M. Bolvar Joo

[email protected]

2

Al trmino de la sesin, el estudiante

identifica y diferencia un numero complejo

de un nmero real, simplifica potencias de

un numero complejo y realiza operaciones

con nmeros complejos.

Logro de la Sesion:

Lic. Eduardo M. Bolivar Joo

Definicin:

Un nmero de la forma a + bi donde a y b son

nmeros reales, se conoce como un

nmero complejo .

1 i

La a se conoce como la parte real y la b se conoce como la

parte imaginaria del nmero complejo.

1i se conoce como la raz imaginaria.

Lic. Eduardo M. Bolivar Joo 3

Definicin

Al conjunto de nmeros

1;,/ 2 iRbRabiaC

se le conoce como el conjunto de nmeros complejos.


Ejemplos de nmeros complejos:

i35 )1

i47 )2

i61 )3

i5 )4

7 )5


Calcule las siguientes races.

4 1

11 i

1) 4

2) 25

3) 12

4) 11

i2

i5

2 3 i4 3 1

25 1

Races pares de nmeros negativos


Definicin:

Dos nmeros complejos son iguales si las partes reales son iguales y las partes imaginarias tambin son iguales.

Si: a + bi = c + di entonces a = c y b = d.


Potencias de i:

, ,1, 1.i i

1 2 i3 2 1i i i i i

4 2 2 1 1 1i i i Este ltimo resultado hace que las potencias de i solo

tengan como resultados a:

1i

Lic. Eduardo M. Bolvar Joo 8

Procedimiento para simplificar potencias de i 1. Divida el exponente por 4 y el resultado ser i elevado al residuo de la divisin.

2. Para simplificar use;

a. 10 i

b. 1i i

c. 2 1i

d. ii 3


Operaciones con Nmeros Complejos

1. : Suma a bi c di

idbca

Ej 5em 1: 6plo 2 i i

5 6 1 2 i

i11Lic. Eduardo M. Bolivar Joo 10

2. Resta : a bi c di

idbca

3Ejemplo 1: 2 6 3 i i

3 2 6 3i i

9 5i

a bi c di

La resta se cambia a la suma del opuesto del sustraendo.


3. Multiplicacin : .a bi c di

ac bd ad bc i

Aclaracin: La multiplicacin se puede llevar a cabo

como si fuera una multiplicacin de polinomios.

a bi c di ac ad i bc i 2bd i

1ac ad bc i bd

ac bd ad bc i


Ejemplo 1: 4 2 3 5 i i21062012 iii

12 14 10i

i1422

12 20 6 10 1i i


El conjugado de se define por .

Definicin

z a bi z a bi a bi

Encuentra el conjugado de cada

Ejemplo

nm

s:

ero.

i42

i42

i64

i2421

13

i42

i42

i64

i2412

13 Lic. Eduardo M. Bolivar Joo 14

8 7Ejemplo 1:

1 3

i

i

1 38 7

1 3 1 3

i

i

i

i

2

2

91

217248

i

iii

La divisin se hace multiplicando por el conjugado

del denominador.

4. Divisin:

a bi

c di

.

a bi c d i

c d i c d i


8 17 21 1

1 9 1

i

8 17 21

1 9

i

10

1729 i

i10

17

10

29


LOS NMEROS COMPLEJOS

Representacin grfica

Para representar un nmero complejo o de la forma a + bi, se utiliza un sistema de coordenadas rectangulares, en el cual la parte real se representa en el eje horizontal y la imaginaria en el eje vertical.


18

LOS NMEROS COMPLEJOS

El punto que representa a un nmero complejo se llama afijo. Si unimos el origen con el afijo, tenemos el vector representante de un nmero complejo.

Lic. Eduardo M. Bolvar Joo

http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Complejog1.png

Ejemplos:


21

FORMA POLAR Introduccin:

Z = a + bi es un conjunto representado en forma binmica, y que podemos verlo representado en el plano en el punto (a, b). Tambin podemos verlo asociado a un mdulo z y a un ngulo a , que llamaremos argumento quedando z = r a


22

Multiplicacin en forma polar

Para multiplicar en forma polar, multiplicamos los nmeros y sumamos sus grados.

EJEMPLO:


23

Divisin en forma polar Dividimos los nmeros y restamos sus grados

EJEMPLO:


24

Paso de forma polar a binmica

Para pasar de forma polar a su forma binmica o cartesiana utilizamos la forma trigonomtrica z = a + bi = r (cos q + i sen q).

EJEMPLO: z=

z= 2(cos14+ i sen 14)

z= 1,94+0,48 i


25

Paso de forma binmica a polar:

Tenemos z = a + bi y para pasarlo a forma polar hacemos su mdulo Luego sacamos su x = arctg b/a

Ejemplo:

z=3+4i =53,13


22 bar

543 22 r

3

4xtg

3

4x

a

bxtg


OPERACIONES CON COMPLEJOS

PRODUCTO:

212121 cos. qqqq isenppZ



COCIENTE:

21212

1 cos qqqq isenp

pZ



POTENCIA:

qqqq nisennpsenipZ nn coscos

Si p = 1 , se obtiene la FORMULA DE MOIVRE

qqqq nisennseniZ n coscos

Lic. Eduardo M. Bolivar Joo

Documents

alumnos NUMEROS COMPLEJOS - UTP - 2015-I.pdf