Análisis Matemático III - Guía de Trabajos Prácticos - T.P. No 1 Variable Compleja - Álgebra y Topología en Complejos

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T. P. No 1 - EJERCICIOS RESUELTOS

Enunciado

12.7 Analizar la siguiente proposición:

212121 zzzzzz +≤+≤−

Resolución

Resuelto por: Rodrigo Cetera (1º cuatrimestre de 2011)

Revisado por: Miguel Goldstein - Eduardo G. Murmis - Gustavo M. Murmis

Partiendo de la expresión central 21 zz + y escribiendo los números en su

forma exponencial, obtenemos:

1 2

1 2 1 2

i iz z e e

φ φρ ρ+ = +

( ) ( )1 2 1 1 1 2 2 2cos sen cos senz z i iρ φ φ ρ φ φ+ = + + +

1 2 1 1 1 1 2 2 2 2cos sen cos senz z i iρ φ ρ φ ρ φ ρ φ+ = + + +

Agrupando la parte real e imaginaria de ambos términos, nos queda:

( ) ( )1 2 1 1 2 2 1 1 2 2cos cos sen senz z iρ φ ρ φ ρ φ ρ φ+ = + + +

Si calculamos el módulo como la raíz de la suma de los cuadrados de la parte real e imaginaria, obtenemos:

( ) ( )2 2

1 2 1 1 2 2 1 1 2 2cos cos sen senz z ρ φ ρ φ ρ φ ρ φ+ = + + +

Expandiendo los cuadrados y agrupando términos, queda:

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2

1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2cos sen cos sen 2 cos cos sen senz z ρ φ φ ρ φ φ ρ ρ φ φ φ φ+ = + + + + +

Teniendo en cuenta que 2 2cos sin 1φ φ+ = , nos queda:

( )2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 cos cos sen senz z ρ ρ ρ ρ φ φ φ φ+ = + + +

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Como 1 2 1 2 1 2cos cos sen sen cos( )φ φ φ φ φ φ+ = − , tenemos:

2 2

1 2 1 2 1 2 1 22 cos( )z z ρ ρ ρ ρ φ φ+ = + + −

Si completamos cuadrados en la expresión que está dentro de la raíz,

sumando y restando 212 ρρ :

2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 cos( ) 2 2z z ρ ρ ρ ρ φ φ ρ ρ ρ ρ+ = + + − + −

2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2 cos( ) 2z z ρ ρ ρ ρ ρ ρ φ φ ρ ρ+ = + + + − −

( ) 21 2 1 2 1 2 1 2 1 22 cos( ) 2z z ρ ρ ρ ρ φ φ ρ ρ+ = + + − −

( ) [ ]2

1 2 1 2 1 2 1 22 cos( ) 1z z ρ ρ ρ ρ φ φ+ = + + − − (1)

Por otro lado, es sencillo demostrar que la función coseno es acotada entre 1 y -1. Por lo tanto,

1 21 cos( ) 1φ φ− ≤ − ≤

1 21 1 cos( ) 1 1 1φ φ− − ≤ − − ≤ −

1 22 cos( ) 1 0φ φ− ≤ − − ≤

Por lo tanto, se puede decir que la expresión (1) queda acotada en función de

las cotas de 1 2cos( ) 1φ φ− − , como se ve a continuación:

( ) ( ) [ ] ( )2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 ( 2) 2 cos( ) 1ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ φ φ ρ ρ+ + − ≤ + + − − ≤ +

Como 1ρ y 2ρ son módulos, ambos deben ser mayores o iguales a cero, y su

suma 1 2ρ ρ+ también lo será. Entonces, la expresión anterior se puede

escribir como:

( ) 21 2 1 2 1 2 1 22 ( 2) z zρ ρ ρ ρ ρ ρ+ + − ≤ + ≤ +

Recordando que 1ρ es el modulo de 1z y 2ρ es el modulo de 2z , reescribimos:

( ) 21 2 1 2 1 2 1 22 ( 2) z z z zρ ρ ρ ρ+ + − ≤ + ≤ +

Expandiendo el término ( ) 21 2 1 22 ( 2)ρ ρ ρ ρ+ + − , obtenemos:

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2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2 ( 2) z z z zρ ρ ρ ρ ρ ρ+ + + − ≤ + ≤ +

2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 4 z z z zρ ρ ρ ρ ρ ρ+ + − ≤ + ≤ +

2 2

1 2 1 2 1 2 1 22 z z z zρ ρ ρ ρ+ − ≤ + ≤ +

( )2

1 2 1 2 1 2z z z zρ ρ− ≤ + ≤ +

( )2

1 2 1 2 1 2z z z z z z− ≤ + <= +

Expresando la raíz del cuadrado como el módulo, llegamos a la expresión que queríamos demostrar:

1 2 1 2 1 2z z z z z z− ≤ + ≤ +