7/26/2019 AMG HOJA 06B Derivadas Parciales 2012-13 A

http://slidepdf.com/reader/full/amg-hoja-06b-derivadas-parciales-2012-13-a 1/2

ANÁLISIS MATEMÁTICO (Grados en ECO Y ENI)UAH - Departamento de Economía 1 

Cálculo en varias variables: Derivadas parciales y direccionales HOJA 6B

1

 

1. (Sydsaeter, prob. 1, p. 405) Hallar  x z´ y  y

 z´ para las funciones siguientes:

a) 22 3 y x z   +=   b)  xy z  =   c) 524 25   xy y x z   −=   d)  y xe z  +

=  

e)  xye z  =   f)  ye z   x / =   g) )ln(   y x z   +=  

2. (Sydsaeter, prob. 3, p. 405) Hallar todas las derivadas parciales de primero y segundo orden

de las funciones siguientes:

a)  y x z 43   +=   b) 23 y x z  =   c) 525 3   y y x x z   +−=  

d)  y x z  / =   e) ) /()(   y x y x z   +−=   f)22

 y x z   +=  

3. Calcular los gradientes y Hessianas de los campos:

a)  x y x y x f  sin),(

22+=

 en P(π

, 1) b) 22),(  y x

 xy

 y xg +=

 en Q(−

1, 2)

4. Dadas las funciones: (a)  y x y x f    +=),( ; (b)  y x y xg 2),( 2−= ; (c) 2)(),(   y x y xh   −= ,

calcular, para cada una de ellas y en el punto P(2, 3), la derivada según la dirección que va de

P a Q(5, 7).

5. La elasticidad de una función z = f ( x, y), con respecto a cada una de sus variables x e y, se

define como x

 y x f 

 y x f 

 x

 x

 z

 z

 x z El x

∂

∂=

∂

∂=

),(

),( y

 y

 y x f 

 y x f 

 y

 y

 z

 z

 y z El y

∂

∂=

∂

∂=

),(

),(.

( El x z es la variación porcentual causada en z por un aumento porcentual infinitesimal de x, es decir,

aproximadamente la variación porcentual causada en z por un aumento del 1% en el valor de x).

a) Calcular la elasticidad con respecto a las variables x e y de las funciones (a), (f) y (g)del problema 1.

b) Calcular la elasticidad con respecto a la variable y, en el punto (0, 1), de las funciones

(a), (e) y (f) del problema 2.

c) Calcular la elasticidad con respecto a las variables K  (Capital) y L (Trabajo) de la

función de producción Cobb-Douglas   β α  L AK  LK  f    =),( , en la que A, α  y β  son constantes.

Algunas preguntas test propuestas en exámenes:

6. La temperatura en el punto ( x, y) de una placa viene dada por22

),( y x

 x y xT 

+= . La

dirección de mayor crecimiento del calor en el punto (3, 4), viene dada por el vector:a) (24, 7) b) (1, 0) c) Ninguna de las anteriores.

7. La derivada direccional de  y x y x f  2sin),(2

=  en (1, π /4) en la dirección del vector (3, –4), es:

a) –8/5 b) 6/5 c) –2/5

8. La derivada direccional del campo 3)2(),(   y x y x f    −= según la dirección del vector ( p, 3), en

el punto (3, 5), es 3:

a) Si p = 0 b) Si p = 4  c) Ninguna de las anteriores.

9. La dirección de crecimiento nulo del campo22),(   py xe x y x f    −

= , en el punto (1, 0), viene

dada por el vector:

a) (0, 1) sólo si p = 0 b) (0, 1) para todo p  c) (1, 0) para todo p.

7/26/2019 AMG HOJA 06B Derivadas Parciales 2012-13 A

http://slidepdf.com/reader/full/amg-hoja-06b-derivadas-parciales-2012-13-a 2/2

ANÁLISIS MATEMÁTICO (Grados en ECO Y ENI)UAH - Departamento de Economía 2 

Cálculo en varias variables: Derivadas parciales y direccionales HOJA 6B

2

 

10. La derivada direccional de 22 23),(   y x y x f    −= , en el punto (−1, 3), en la dirección del

vector (2, −5), vale:

a) 10 / 36 b) 29 / 48   c) Ninguna de las anteriores

11. El gradiente de la función1

sin),(

2

++= y

e y x y x f 

 x

, en el punto (1, 0), vale:

a)  ( )ee f    −=∇ 1,2)0,1( b) ( )2,)0,1(   e f    =∇   c) e f    +=∇ 1)0,1(

12. La dirección de máximo crecimiento del campo  xye y x y x f  )(),(   +=  en el punto

(−1, −1) viene dada por el vector:

a) ur

 = (3e, -3e) b) vr

= (1, 1) c) Ninguna de las anteriores.

13. El valor de la máxima pendiente del campo 2)1ln(),(   y x xy y x f    +−=  en el punto (2, 1)

es: a) 8 b) vr

 = (2, 2) c) Ninguna de las anteriores. 

Soluciones e indicaciones:1. a)  x z x 2= ;  y z y 6= . b)  y z x   = ;  x z y   = . c)

523 220   y y x z x   −= ; 44 1010   xy y x z y   −= .

d)  y x x   e z

  += ;  y x

 y   e z   += . e)  xy

 x   ye z   = ;  xy y   xe z   = . f)  ye z

  x x  / = ; 2 /  ye z   x

 y   −= .

g) ) /(1   y x z x   += ; ) /(1   y x z y   += .

2. d)  y z x  / 1=

;

2

 /  y x z y  −=

; 0=

 xx z ;

2

 / 1   y z xy  −=

;

3

 / 2   y x z yy  =

. e) ( )

2

 / 2   y x y z x  +=

;( )2

 / 2   y x x z y   +−= ;… f) 22 /    y x x z x   += ; 22 /    y x y z y   += ;… → (Ver libro.)

3. a) )1,(  π∇ f  = (2π − 1, 0);  

  

 

−

−=π

02

22)1,(   Hf  .

b) )2,1(  −∇g  = (6/25, 3/25);  

  

 

−−

−=−

125 / 4125 / 7

125 / 7125 / 44)2,1(   Hg .

4.  PQ = (3, 4). a) 7/5; b) 4/5; c) 2/5.

5. (a)  a)  x y x

 x

 x

 z

 z

 x z El x 2

3 22+

=∂

∂= ,  y

 y x

 x

 y

 z

 z

 y z El y 6

3 22+

=∂

∂=   f)  x z El

 x   =  , 1−= z El y

  g) y x y x

 x z El x

++=

1

)ln(,

 y x y x

 y z El y

++=

1

)ln( 

(b)  a) 1)1,0(;43

4=

+=   z El

 y x

 y z El  y y   e) 0)1,0(;

))((

2=

+−

−=   z El

 y x y x

 xy z El  y y  

f) 1)1,0(;22

2

=+

=   z El y x

 y z El  y y .

(c)  α =),(   LK  f  ElK  ,  β =),(   LK  f  El L .