Instituto tecnológico de Culiacán

*Carrera: Mecatrónica*Materia: Vibraciones Mecánicas

*Trabajo: Amortiguamiento Viscoso*Profesor: M.C Dagoberto Tolosa*Alumno: Juan Roberto Almanza

11171158*Fecha de entrega: 13/10/20014

-Amortiguamiento Viscoso:Amortiguamiento que tiene lugar cuando una partícula de un sistema oscilante está sometida a una fuerza resistente de valor proporcional al módulo de la velocidad de la partícula y de sentido contrario al sentido de la velocidad de la partícula.

Los movimientos oscilatorios tienden a disminuir con el tiempo hasta desaparecer. Esto se debe al amortiguamiento que se presenta, el cual hace que parte de la energía se disipe. Las causas de este amortiguamiento están asociadas con diferentes fenómenos dentro de los cuales se puede contar la fricción de la masa sobre la superficie de apoyo, el efecto del aire que rodea la masa, el cual tiende a impedir que ocurra el movimiento, la no linealidad del material del resorte, entre otros. Existen numerosas maneras de describir matemáticamente el efecto de fricción. Dentro de estos modelos, uno de los más utilizados es el que se conoce como amortiguamiento viscoso.

-La ecuación diferencial para este tipo de movimiento será:

Siendo:

El parámetro   indica la intensidad del rozamiento y   es la frecuencia que tendría el oscilador si no hubiera rozamiento y recibe el nombre de frecuencia natural.

TIPOS DE MOVIMIENTO

Figura 3: Vibración libre de un sistema críticamente amortiguado, sobreamortiguado y subamortiguado

Si c=ccr ó =1 El sistema retorna a su posición inicial de equilibrio sin oscilar, por tal razón es llamado sistema críticamente amortiguado o sistema con amortiguamiento crítico.

Si c>ccr ó >1 El sistema no oscila pero retorna a su posición de equilibrio lentamente, por tal motivo es denominado sistema sobreamortiguado.

Si c<ccr ó <1 El sistema oscila alrededor de la posición de equilibrio con una amplitud que decrece progresivamente, y es llamado sistema subamortiguado.

El coeficiente de amortiguamiento crítico, ccr, llamado así debido a que es un valor pequeño de c que inhibe completamente la oscilación y representa la línea de división entre el movimiento oscilatorio y mono oscilatorio.

Las estructuras civiles (puentes, edificios, embalses, etc.) poseen una relación de amortiguamiento <1 la cual las cataloga como sistemas subamortiguados, es por esta razón que dichos sistemas se estudian con mayor preferencia.

-MOVIMIENTO SUBAMORTIGUADO-OSCILACIONES AMORTIGUADASEn muchos sistemas reales las fuerzas no conservativas como la fricción retardan el movimiento. En consecuencia, la energía mecánica del sistema disminuye en el tiempo y se dice que el

u(t)/u(0)

1/Tn

1

-1

0

1 2 3

subamortiguado, =0.1

criticamente amortiguado, =1

sobreamortiguado, =2

movimiento esta amortiguado. La energía mecánica perdida se transforma en energía interna en el objeto y el medio retardador.EJEMPLO:En la imagen el oscilador amortiguado es un objeto rígido unido a un resorte y sumergido en un líquido viscoso, como se puede observar la viscosidad del líquido hace que la velocidad en la masa disminuya hasta hacer que el movimiento se detenga por completo.

Cuando se habla de movimiento con oscilaciones amortiguadas se puede clasificar en tres casos diferentes, los cuales dependen de la relación que existe entre el objeto oscilador y el medio en el que oscila y estos son:

1. Movimiento sobreamortiguado b

2m>ω0

2. Movimiento subamortiguado b

2m<ω0

3. Movimiento críticamente amortiguado b

2m=ω0

Grafica comparativa de los diferentes tipos de movimiento con oscilaciones amortiguadas:

A-Movimiento subamortiguadoB-Movimiento críticamente amortiguado.C-Movimiento sobreamortiguado

En la gráfica se puede observar la posición como función de tiempo para un objeto que oscila en presencia de una fuerza restauradora: Cuando la fuerza retardadora es pequeña el carácter oscilatorio del sistema se conserva, pero la amplitud disminuye en el tiempo, con el resultado de que al final el movimiento cesa.

En muchos sistemas reales las fuerzas no conservativas como la fricción retardan el movimiento. En consecuencia, la energía mecánica del sistema disminuye en el tiempo y se dice que el movimiento esta amortiguado. La energía mecánica perdida se transforma en energía interna en el objeto y el medio retardador. Ejemplo: En la imagen el oscilador amortiguado es un objeto rígido unido a un resorte y sumergido en un líquido viscoso, como se puede observar la viscosidad del líquido hace que la velocidad en la masa disminuya hasta hacer que el movimiento se detenga por completo. Oscilaciones amortiguadas.Para un movimiento con unas constantes de resorte y masa de objeto determinadas las oscilaciones se amortiguan más rápidamente para valores más grandes de la fuerza retardadora.Cuando la magnitud de la fuerza retardadora es pequeña, tal que 𝑏/2𝑚<𝜔_0 se dice que el sistema esta subamortiguado.

Si estudiamos el sistema mostrado en la figura y el valor de la Constante de amortiguamiento es pequeño comparado a la Constante del resorte entonces el sistema esta subamortiguado y sus raíces son complejas.

AMORTIGUAMIENTO DEBILCuando la fuerza disipativa es pequeña en comparación con la fuerza de restitución, el carácter oscilatorio del movimiento se conserva pero la amplitud de la vibración disminuye con el tiempo y, finalmente el movimiento cesará.

Este sistema se conoce como oscilador subamortiguado. En el movimiento con una constante de resorte y una partícula masiva dadas, las oscilaciones se amortiguan con más rapidez a medida que el valor máximo de la fuerza disipativa tiende al valor máximo de la fuerza de restitución.

SISTEMA SUBAMORTIGUADO

Para un sistema subamortiguado (<1) el desarrollo de la ecuación 4.12 se encuentra en el Apéndice I, y su solución es:

u( t)=e−ξωn t[u(0 )cosωD t+( u̇(0 )+ξωnu( 0)

ωD ) senωD t ]Donde D es la frecuencia natural de vibración amortiguada y su valor es:

ωD=ωn√1−ξ2

Figura 4: Efecto del amortiguamiento en Vibración libre

Nótese que la ecuación 15 aplicada a un sistema no amortiguado (=0) se reduce a la ecuación 4.5. La Figura 4 ilustra una comparación entre un sistema subamortiguado y uno sin amortiguamiento; se observa que la amplitud del sistema no amortiguado es la misma en todos los ciclos de vibración, en cambio para el sistema amortiguado la amplitud decrece y lo hace en forma exponencial.

El valor del periodo natural de vibración amortiguado es:

TD=2πωD

y está relacionado con el periodo natural sin amortiguamiento de la siguiente forma:

TD=T n

√1−ξ2

La relación entre dos desplazamientos pico en un intervalo de tiempo TD es constante, y el decremento logarítmico está definido como el logaritmo natural de esta cantidad y está dado por:

δ= lnuiui+1

=ξωnTD=2 πξ

√1−ξ2≈2πξ

y la relación entre dos desplazamientos cuales quiera es:

δ=1jlnu1

u j+1

≈2πξ

SISTEMA SOBREAMORTIGUADO

Se da cuando el discriminante tiene un valor real, luego   y la solución es esta:

El sistema retorna a su posición de equilibrio sin vibrar en un tiempo mayor, que el que, se produce cuando el amortiguamiento es crítico.

CRITICAMENTE AMORTIGUADO:

Se da cuando el discriminante se anula, haciendo que la constante C reciba el nombre

de coeficiente de amortiguamiento crítico .

El coeficiente de amortiguamiento real "C" y el crítico "CC" están relacionados por el factor de amortiguamiento relativo (razón de amortiguamiento o factor amplificador o

índice de amortiguamiento) "  " (eta) o " " (zeta), de la siguiente manera:

Para el movimiento críticamente amortiguado , que no pertenece a un movimiento vibratorio. Para este caso, el sistema retorna a su posición de equilibrio sin vibrar en el menor tiempo posible

Para este caso la solución aquí está representada:

Representación gráfica de los distintos movimientos:

Figura F5-3.2.1

Referencias:http://www.unasam.edu.pe/cursodinamica/Curso/www/lecciones/tem05/lec05_4.html

https://es.scribd.com/doc/143021804/Fundamentals-of-Mechanical-Vibrations-2-ED-S-Graham-Kelly

https://es.scribd.com/doc/188611639/SUBAMORTIGUADOhttps://www5.uva.es/guia_docente/uploads/2012/455/42615/1/Documento33.pdf