ANLISIS NUMRICO ICM ESPOL

Ing. Luis Rodrguez Ojeda, MSc.

1.10 Eficiencia de los Mtodos Iterativos Lo mtodos iterativos proporcionan una respuesta aproximada para un problema, utilizando repetidamente una frmula, comenzando con un valor inicial. Estos mtodos, cuando convergen, son auto-correctivos pero se deben cumplir algunas propiedades para que el resultado tenga la precisin esperada. 1.11 Error de Truncamiento La precisin de la respuesta que proporciona un mtodo iterativo est dada por el error de truncamiento, es decir la distancia entre el ltimo valor calculado y la respuesta buscada. Definicin: Error de Truncamiento Sean r : Respuesta del problema (valor desconocido) Xi : Valor calculado en la iteracin i (valor aproximado) Xi+1: Valor calculado en la iteracin i +1 (valor aproximado) Entonces iE = r Xi : Error de truncamiento absoluto en la iteracin i i 1E + = r Xi+1: Error de truncamiento absoluto en la iteracin i + 1 1.12 Convergencia de los mtodos iterativos Definicin: Convergencia de un Mtodo Iterativo Sean r : Respuesta del problema (valor desconocido) Xi : Valor calculado en la iteracin i (valor aproximado) Xi+1: Valor calculado en la iteracin i +1 (valor aproximado) Si un mtodo iterativo converge, entonces

ii

x r .

Equivalentemente, si el mtodo converge ii

limE 0 = . 1.13 Criterio para terminar un proceso iterativo Con la la definicin de convergencia se puede establecer un criterio para finalizar el proceso iterativo. Consideremos los resultados de dos iteraciones consecutivas: i i+1X , X Si el mtodo converge,

ii

x r y tambin

i 1i

x r+

Si restamos estas dos expresiones: i 1 ii

x x 0+ , con lo cual se puede establecer el criterio:

Definicin: Criterio para Finalizar un Proceso Iterativo Sea algn valor positivo suficientemente pequeo, Si el mtodo converge, se cumplir que en alguna iteracin i:

|Xi+1 - Xi| < .

Este valor es el error de truncamiento absoluto y puede considerarse como la precisin en la respuesta calculada. Su magnitud debe estar relacionada con la magnitud del resultado esperado. Tambin puede usarse la definicin de error relativo para que sea independiente de la magnitud del resultado.

ANLISIS NUMRICO ICM ESPOL

Ing. Luis Rodrguez Ojeda, MSc.

Por otra parte, el error de redondeo que se introduce en los clculos aritmticos, no debe ser mayor que el error de truncamiento. Ejemplo. Se desea que la respuesta calculada para un problema con un mtodo iterativo tenga un error absoluto no mayor que 0.0001. Entonces el algoritmo deber terminar cuando se cumpla que |Xi+1 - Xi| < 0.0001 1.14 Orden de convergencia de un mtodo iterativo Sean iE , i 1E + los errores de truncamiento en las iteraciones consecutivas i, i + 1 respectivamente. Se supondr que estos valores son pequeos y menores a 1. Si el mtodo converge, entonces | i 1E + | < | iE |. Si la relacin entre estos valores puede especificarse como | i 1E + | = k | iE |, siendo k alguna constante positiva menor que uno, entonces se dice que la convergencia es lineal o de primer orden y se puede escribir i 1 iE O(E )+ = con la notacin O( ) Si fuese posible disear un mtodo en el que cada iteracin reduzca el error ms rpidamente, tal como 2i 1 iE O(E )+ = entonces el mtodo tendra convergencia cuadrtica o de segundo orden. Definicin: Orden de Convergencia de un Mtodo Iterativo Sean iE , i 1E + los errores en las iteraciones consecutivas i, i + 1 respectivamente Si se pueden relacionar los errores en la forma: ni 1 iE O(E )+ = Entonces el mtodo iterativo tiene convergencia de orden n. Si un mtodo iterativo tiene convergencia cuadrtica o mayor, entonces si el mtodo converge, lo har muy rpidamente . 1.15 Eleccin del valor inicial Los mtodos iterativos normalmente requieren que el valor inicial sea elegido apropiadamente. Si es elegido al azar, puede ocurrir que no se produce la convergencia. Si el problema no es complejo, mediante algn anlisis previo puede definirse una regin de convergencia R tal que si el valor inicial y los valores calculados en cada iteracin permanecen en esta regin, el mtodo converge. PREGUNTAS Conteste las siguientes preguntas (no necesita entregar sus respuestas) 1) Por que el error de redondeo no debe ser mayor que el error de truncamiento? 2) Una ventaja de los mtodos iterativos es que son auto-correctivos, es decir que si se introduce algn error aritmtico en una iteracin, en las siguientes puede ser corregido. cuando no ocurrira esta auto-correccin?