- 1 +

- -1 +

+ - +

DOMINIO DE UNA FUNCIÓN

El dominio de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable x y se representa por Dom f(x)

FUNCIONES POLINÓMICAS El dominio son todos los reales.

FUNCIONES RACIONALES El dominio son todos los reales excepto los que hacen que el denominador sea cero.

Ejemplo: Si f ( x ) = 5x - 14 + x

se iguala el denominador a cero: 4 + x = 0 x = -4 Dom f(x) = R - {-4 }

FUNCIONES CON RADICALES Si el índice es impar no hace falta tenerlo en cuenta pero si el índice es par, todo

lo de dentro de la raíz debe ser mayor o igual que cero.

Ejemplo: Si f ( x ) = √x2 - 1 + 1 = x se construye la inecuación siguiente:

x2 – 1 ≥ 0 x ≥ ±1 1 Dom f(x) = [1, ∞) -1

FUNCIONES CON RADICALES EN EL DENOMINADOR Funcionan igual que en el caso anterior pero con el signo

de desigualdad sin el igual

FUNCIONES CON EXPRESIONES RACIONALES DENTRO DE UN RADICAL si el índice es impar se estudia solo la

función racional, si es positivo se iguala a cero numerador y denominador y se estudian los resultados

gráficamente.

Ejemplo: f(x) = √ x + 1x - 1

{ x +1 = 0 → x = -1 x - 1 = 0 → x = 1

Dom f(x) = (-∞ , -1] U [1, +∞)

FUNCIONES EXPONENCIALES El dominio es todos los reales siempre que la base sea positiva.

FUNCIONES LOGARÍTMICAS Los logaritmos de números negativos o cero no existen. Así, el dominio será el

intervalo en el que la función dentro del logaritmo sea mayor que cero.

Ejercicios:

1. Calcula el dominio de las siguientes funciones:

a) f(x) = 2x - 2

b) f(x) = 2 (x + 1) - 3(x - 2)

c) f(x) = √x - 1

d) f(x) = ln (-x2 + 2x – 1)

e ) f(x) = 2

x2 - 4x + 3

f ) f(x) = √x2- x - 2

g ) f(x) = √2x - 6

h) f(x) = log (x3 + 2x – 3)

i ) f(x) = 2

3 x2- 12

j ) f(x) = √x2 – 3x

k ) f(x) = 2x

l ) f(x) = √-x2 + 1

m) f(x) = ln (x2 – 5x)

n ) f(x) = 2

x2 + 1

ñ)

o ) f(x) = √ x2 - 4x + 1

p) f(x) = ex + 7x

q ) f(x) = 5√x + 1

x

r ) f(x) = √ x - 4x + 5

s ) f (x )= log5(x - 2

x2 + 1 )

t ) f(x) = 1

5√x -

12

u ) f(x) = √

x - 2x + 3

v) f ( x ) = 1

log ( x2 + 1 ) - 1

w) f (x ) = log5(x + 1x - 1 )COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

La composición de funciones se basa en introducir una función dentro de la otra.

PROCEDIMIENTO:

Se tienen dos funciones, f(x) y g(x), f compuesto con g se expresa f ∘ g (x).

Esto significa que en la función f(x), cada vez que haya una 2, se sustituirá por la función g(x) completa.

Ejemplo:

f (x ) = √2x + 2 g ( x ) = x2- 1 } f ∘g (x ) = f ( g (x ) ) = √2· ( x2- 1 ) + 2 = √2x2- 2 + 2 = √2 x2 = x√2

FUNCIÓN INVERSA Y RECORRIDO

El recorrido de una función es el conjunto de valores que puede tomar la y. Se representa como R f(x).

Para hallar el recorrido se calcula el dominio del a función inversa, que se expresa como f-1(x).

CÁLCULO DE LA FUNCIÓN INVERSA: Ejemplo: f(x) = 2x + 4 f-1(x) = (x – 4) / 2

1º Cambiar la x por la y y viceversa. Ejemplo: y= 2x + 4 x = 2y + 4

2º Despejar la y. x – 4 = 2y y = (x – 4 )/ 2

Ejercicios:

2. Calcula la inversa y el recorrido de la funciones siguientes, comprobando el resultado de la función inversa.

a) f (x ) = 3x + 21 - x

b) f ( x ) = √2x + 3

c) f (x )= 2x + 1x + 3

d) f ( x ) = log(x)

e) f (x ) = (x - 1)3

f) f (x ) = ex + 1

g) f ( x ) = √x2 + 2x + 1

h) f(x) = ln(5x + 1)

i) f ( x ) = x + 52x - 2

j) f (x ) = 2x + 1x - 1

COMPROBACIÓN:

f ∘ f-1 (x ) = x

f -1 ∘ f (x ) = x

CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN

1. DOMINIO

2. RECORRIDO

3. CONTINUIDAD Una función es continua cuando, al dibujarla, no hace falta levantar el lápiz del papel. En caso contrario, hay que clasificar las discontinuidades:

Discontinuidad evitable Salto finito Salto infinito Discontinuidad no evitable

4. PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES Punto de corte con el eje x: Sustituir por y = 0 y obtener x Punto de corte con el eje y: Sustituir por x = 0 y obtener y

5. MONOTONÍA Crecimiento: Se expresan los intervalos en los que la pendiente de la función es positiva. Decrecimiento: Se expresan los intervalos en los que la pendiente de la función es negativa.

6. MÁXIMOS Y MÍNIMOS Puntos en los que la pendiente cambia de signo.Máximos y mínimos absolutos Cuando coincide que el punto es el mayor o menos de la función.Máximos y mínimos absolutos El resto de máximos y mínimos.

7. SIMETRÍA

8. PERIODICIDAD Una función es periódica cuando cada cierto tiempo se repite un intervalo. El intervalo que se repite se llama periodo.

9. ASÍNTOTAS Líneas imaginarias a las que se aproxima la función sin llegar a tocarla.Asíntotas verticales x = kAsíntotas horizontales y = k

10. ACOTACIÓN Se trata de definir los valores de y superiores o inferiores que delimitan la funciónCota superior : Valor real bajo el cual se encuentra toda la funciónCota inferior: Valor real sobre el cual se encuentra toda la función

Simetría par:

Respecto del eje y

f(-x) = f(x)

Simetría impar:

Respecto del (0, 0)

f(-x) = - f(x)

Ejercicios:

4. Analiza las características de las siguientes funciones:a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j) k) l)

m) n)

FUNCIONES A TROZOS

Cuando se representa una función a trozos es como si se representaran varias funciones diferentes pero solo se

dibujan en el intervalo marcado. Así, cuando se vayan a sacar los puntos se debe tener cuenta en qué intervalo

existe.

Ejercicios:

5. Representa las siguientes funciones a trozos:

a) f (x )= { x - 1 x ≤ 0 x x > 0

b) f ( x ) ={ 2x x ≤ 1 –x + 3 x > 1

c ) f (x )= { x + 2 x < 0 x2 - 2 x ≥ 0

d ) f (x ) ={ x + 1 x ≤ -2 3 -2 < x < 0 x2 - 3x 0 ≤ x

e ) f (x )= { x2 x < 0 x x > 0

f) f (x ) ={ 1 - x2 x ≤ -1 2 -1 < x < 1x2 - 1 1 ≤ x

g) f ( x )= { x2 x ≤ -1 1 - x -1 < x < 2 x2 2 ≤ x

h) f (x ) ={ 4 - x2 x ≤ -1 x2 - 1 -1 < x < 1 x2 +1 1 ≤ x

i) f ( x ) = { 2x x ≤ 0

2x 0 < x ≤ 2 2 x > 2

j) f (x ) ={ x + 2 x ≤ 1 ln x 1 < x < 4

4x

x ≥ 4

k) f (x )= { 2x x ≥ 0 x2 – 5x + 4 x < 0