INSTITUTO TECNOLOGICO DE AGUASCALIENTES

Carrera: Ing. Electrónica

Materia: Análisis Numérico

Tema: Unidad 2 Solución de ecuaciones algebraicas

Nombre del profesor: Judith Mauricio de Anda

Nombre de los alumnos: José de Jesús Padilla Gómez

Jonny García

Aguascalientes, Aguascalientes a 08/03/2015

Ejercicio 1: Analiza la función f(x)=x^10-1, que tiene una raíz en [0,1.3], emplea una tolerancia de 1×10^-3 y realiza las corridas para ubicar esta raíz empleado los métodos de bisección y falsa posición.En base a los resultados obtenidos en dichas corridas, grafica la función en Geogebra y analiza las aproximaciones mediante el algoritmo de falsa posición y proporciona una explicación del comportamiento de este método para esta función en particular.

%Descripción: método de bisección%fecha: 05/02/2015%autor: JMA%************************************************************clccleartol=0.001;a=input('Dame el primer extremo (a): ');b=input('Dame el segundo extremo (b): ');N=input('Dame el numero de iteraciones: ');fa=F(a);fb=F(b);i=1;disp('i an bn pn f(pn)')while i<=N p=a+(b-a)/2; fp=F(p); absfp=abs(fp); fprintf('%d %.9f %.9f %.9f %.9f\n',i,a,b,p,absfp) if absfp<tol fprintf('La aproximación a la solución es %.9f\n',p) break elseif fa*fp>0 a=p; fa=fp; else b=p; fb=fp; end i=i+1;endif i>N fprintf('El método fracasó después de %d iteraciones\n',N)end

%descripción: Función de los métodos de la unidad 2%fecha: 05/02/2015%autor: JMA%************************************************************

function f=F(x)f=x^10-1;Dame el primer extremo (a): 0

Dame el segundo extremo (b): 1.3

Dame el número de iteraciones: 20

i an bn pn f(pn)

1 0.000000000 1.300000000 0.650000000 0.986537257

2 0.650000000 1.300000000 0.975000000 0.223670379

3 0.975000000 1.300000000 1.137500000 2.626720217

4 0.975000000 1.137500000 1.056250000 0.728491386

5 0.975000000 1.056250000 1.015625000 0.167706847

6 0.975000000 1.015625000 0.995312500 0.045898489

7 0.995312500 1.015625000 1.005468750 0.056053141

8 0.995312500 1.005468750 1.000390625 0.003913124

9 0.995312500 1.000390625 0.997851563 0.021277850

10 0.997851563 1.000390625 0.999121094 0.008754382

11 0.999121094 1.000390625 0.999755859 0.002438726

12 0.999755859 1.000390625 1.000073242 0.000732663

La aproximación a la solución es 1.000073242

%Descripción: Método de la falsa posición%Fecha: 10/02/2015%Autor: JMA%************************************************************clcclearXI=input('Dame el valor del intervalo izquierdo: ');XD=input('Dame el valor del intervalo derecho: ');EPS1=0.001;MAXIT=input('Dame el número máximo de iteraciones a calcular: ');I=1;FI=F(XI);FD=F(XD);disp('i XI XD XM f(XI) f(XD) f(XM)')while I<=MAXIT XM=(XI*FD-XD*FI)/(FD-FI); FM=F(XM); fprintf('%d %.6f %.6f %.6f %.6f %.6f %.6f\n',I,XI,XD,XM,FI,FD,FM) if abs(FM)<EPS1 fprintf('La aproximación a la solución es %.6f\n',XM) break end if FD*FM>0 XD=XM; FD=FM; else XI=XM; FI=FM; end I=I+1;endif I>MAXIT fprintf('El metodo no converge a una solución en la iteración%d\n',MAXIT)end

%descripción: Función de los métodos de la unidad 2%fecha: 10/02/2015%autor: JMA%************************************************************ function f=F(x)f=x^10-1;

Dame el valor del intervalo izquierdo: 0

Dame el valor del intervalo derecho: 1.3

Dame el número máximo de iteraciones a calcular: 50

i XI XD XM f(XI) f(XD) f(XM)

1 0.000000 1.300000 0.094300 -1.000000 12.785849 -1.000000

2 0.094300 1.300000 0.181759 -1.000000 12.785849 -1.000000

3 0.181759 1.300000 0.262874 -1.000000 12.785849 -0.999998

4 0.262874 1.300000 0.338105 -0.999998 12.785849 -0.999980

5 0.338105 1.300000 0.407878 -0.999980 12.785849 -0.999873

6 0.407878 1.300000 0.472583 -0.999873 12.785849 -0.999444

7 0.472583 1.300000 0.532572 -0.999444 12.785849 -0.998164

8 0.532572 1.300000 0.588145 -0.998164 12.785849 -0.995047

9 0.588145 1.300000 0.639544 -0.995047 12.785849 -0.988553

10 0.639544 1.300000 0.686943 -0.988553 12.785849 -0.976600

11 0.686943 1.300000 0.730446 -0.976600 12.785849 -0.956760

12 0.730446 1.300000 0.770099 -0.956760 12.785849 -0.926639

13 0.770099 1.300000 0.805908 -0.926639 12.785849 -0.884428

14 0.805908 1.300000 0.837874 -0.884428 12.785849 -0.829476

15 0.837874 1.300000 0.866028 -0.829476 12.785849 -0.762689

16 0.866028 1.300000 0.890457 -0.762689 12.785849 -0.686577

17 0.890457 1.300000 0.911328 -0.686577 12.785849 -0.604862

18 0.911328 1.300000 0.928885 -0.604862 12.785849 -0.521791

19 0.928885 1.300000 0.943436 -0.521791 12.785849 -0.441369

20 0.943436 1.300000 0.955334 -0.441369 12.785849 -0.366783

21 0.955334 1.300000 0.964946 -0.366783 12.785849 -0.300113

22 0.964946 1.300000 0.972630 -0.300113 12.785849 -0.242338

23 0.972630 1.300000 0.978719 -0.242338 12.785849 -0.193544

24 0.978719 1.300000 0.983510 -0.193544 12.785849 -0.153187

25 0.983510 1.300000 0.987257 -0.153187 12.785849 -0.120366

26 0.987257 1.300000 0.990174 -0.120366 12.785849 -0.094031

27 0.990174 1.300000 0.992436 -0.094031 12.785849 -0.073121

28 0.992436 1.300000 0.994184 -0.073121 12.785849 -0.056657

29 0.994184 1.300000 0.995534 -0.056657 12.785849 -0.043777

30 0.995534 1.300000 0.996573 -0.043777 12.785849 -0.033751

31 0.996573 1.300000 0.997371 -0.033751 12.785849 -0.025978

32 0.997371 1.300000 0.997985 -0.025978 12.785849 -0.019968

33 0.997985 1.300000 0.998456 -0.019968 12.785849 -0.015334

34 0.998456 1.300000 0.998817 -0.015334 12.785849 -0.011766

35 0.998817 1.300000 0.999094 -0.011766 12.785849 -0.009023

36 0.999094 1.300000 0.999306 -0.009023 12.785849 -0.006916

37 0.999306 1.300000 0.999469 -0.006916 12.785849 -0.005299

38 0.999469 1.300000 0.999593 -0.005299 12.785849 -0.004060

39 0.999593 1.300000 0.999689 -0.004060 12.785849 -0.003109

40 0.999689 1.300000 0.999762 -0.003109 12.785849 -0.002381

41 0.999762 1.300000 0.999818 -0.002381 12.785849 -0.001823

42 0.999818 1.300000 0.999860 -0.001823 12.785849 -0.001396

43 0.999860 1.300000 0.999893 -0.001396 12.785849 -0.001068

44 0.999893 1.300000 0.999918 -0.001068 12.785849 -0.000818

La aproximación a la solución es 0.999918

Observación

Jonny García: El método de bisección se aproximó más rápido a la raíz que el método de falsa posición

José de Jesús Padilla Gómez: El método se bisección fue más rápido.

Conclusión

Jonny García: Aunque el método de falsa posición se acercaba en línea recta a la raíz, el método de bisección resulto ser más rápido en su aproximación con todo y sus retrocesos.

José de Jesús Padilla Gómez: Es más eficiente usar el método de bisección para aproximarse al valor de una raíz.

Ejercicio 2: Emplea el método de la secante con una precisión de 1×10^-3 para

resolver el siguiente problema de aplicación en el área de Ingeniería Eléctrica.

Una corriente oscilatoria en un circuito eléctrico se describe mediante

I = 10e(-x)sin(2*pi*x)

en donde x está dado en segundos. Determínese todos los valores de x tales que I=2.

%descripción: Método de la secante%Fecha: 12/02/2015%Autor: JMA%************************************************************clcclearX0=input('Dame el valor de la primera aproximación: ');X1=input('Dame el valor de la segunda aproximación: ');EPS=0.001;%EPS1=0.001;MAXIT=input('Número máximo de iteraciones a calcular: ');I=1;disp('i X0 X1 X f(X0) f(X1) |X-X1|')while I<=MAXIT FX0=F(X0); FX1=F(X1); X=X0-(X1-X0)*FX0/(FX1-FX0); fprintf('%d %.6f %.6f %.6f %.6f %.6f %.6f\n',I,X0,X1,X,FX0,FX1,abs(X-X1)) if abs(X-X1)<EPS %criterio de convergencia fprintf('La aproximación a la solución es %.6f\n',X) breakend% FX=F(X);% if abs(FX)<EPS1 %criterio de exactitud% fprintf('La aproximación a la solución es %.6f\n',X)% break% end X0=X1; X1=X; I=I+1; endif I>MAXIT

fprintf('El método no converge a una solución en %diteraciones\n',MAXIT)end

%descripción: Función de los métodos de la unidad 2%fecha: 12/02/2015%autor: JMA%*************************************************************** function f=F(x) f=10*exp(-x)*sin(2*pi*x)-2;

Dame el valor de la primera aproximación: 0

Dame el valor de la segunda aproximación: 0.1

Número máximo de iteraciones a calcular: 5

i X0 X1 X f(X0) f(X1) |X-X1|

1 0.000000 0.100000 0.037605 -2.000000 3.318501 0.062395

2 0.100000 0.037605 0.032423 3.318501 0.254451 0.005182

3 0.037605 0.032423 0.033148 0.254451 -0.041408 0.000725

La aproximación a la solución es 0.033148

Dame el valor de la primera aproximación: 0.4

Dame el valor de la segunda aproximación: 0.5

Número máximo de iteraciones a calcular: 5

i X0 X1 X f(X0) f(X1) |X-X1|

1 0.400000 0.500000 0.449239 1.940042 -2.000000 0.050761

2 0.500000 0.449239 0.449261 -2.000000 0.000870 0.000022

La aproximación a la solución es 0.449261

Dame el valor de la primera aproximación: 1

Dame el valor de la segunda aproximación: 1.2

Número máximo de iteraciones a calcular: 6

i X0 X1 X f(X0) f(X1) |X-X1|

1 1.000000 1.200000 1.139639 -2.000000 0.864527 0.060361

2 1.200000 1.139639 1.070839 0.864527 0.460507 0.068800

3 1.139639 1.070839 1.107472 0.460507 -0.524436 0.036633

4 1.070839 1.107472 1.103415 -0.524436 0.065304 0.004056

5 1.107472 1.103415 1.102926 0.065304 0.007037 0.000490

La aproximación a la solución es 1.102926

Dame el valor de la primera aproximación: 1.3

Dame el valor de la segunda aproximación: 1.4

Número máximo de iteraciones a calcular: 5

i X0 X1 X f(X0) f(X1) |X-X1|

1 1.300000 1.400000 1.351812 0.591931 -0.550539 0.048188

2 1.400000 1.351812 1.357661 -0.550539 0.076054 0.005849

3 1.351812 1.357661 1.358173 0.076054 0.006127 0.000513

La aproximación a la solución es 1.358173

Ejercicio 3: Encuentra todas las soluciones de  4x⁴ – 24.8x³ + 57.04x² – 56.76x +

20.57, con una precisión de 1×10^-4, empleado los métodos de Newton vistos en

clase.

%Descripción: Método de Newton-Raphson%Fecha: 28/02/2015%Autor: JMAclcclearX0=input('Dame el valor inicial: ');%EPS=0.0001;EPS1=0.0001;MAXIT=input('Dame el número máximo de iteraciones: ');I=1;disp('I X0 X f(X) ')%m=3;while I<MAXIT %X=X0-m*F(X0)/DF(X0); X=X0-F(X0)/DF(X0); fprintf('%d %.6f %.6f %.6f\n',I-1,X0,X,abs(F(X))) %if abs(X-X0)<EPS %fprintf('El valor aproximado a la solución es %.5f\n',X) %break %end if abs(F(X))<EPS1 fprintf('El valor aproximado a la solución es %.6f\n',X) break end I=I+1; X0=X;endif I>MAXIT fprintf('No se encontró una solución en %d iteraciones\n',MAXIT)end

%descipsion: Funcion de los metodos de la unidad 2%fecha: 28/02/2015%autor: JMA%*************************************************************** function f=F(x) f=4*x^4-24.8*x^3+57.04*x^2-56.76*x+20.57;

%descripcion: funcion que sustituye el valor de x en la funcion derivada%fecha: 28/02/2015%autor: JMA%***************************************************************function df= DF(x) df=16*x^3-74.4*x^2+114.08*x-56.76;

Dame el valor inicial: 1Dame el número máximo de iteraciones: 6I X0 X f(X) 0 1.000000 1.046296 0.0133771 1.046296 1.072012 0.0034822 1.072012 1.085687 0.0008903 1.085687 1.092758 0.0002254 1.092758 1.096357 0.000057El valor aproximado a la solución es 1.096357