ANALISIS COMBINATORIO 1

Docente: Luis Zamora

Análisis Combinatorio Razonamiento Matemático 2012

1. Factorial de un Número Natural.- Se define como el producto de los naturales consecutivos desde 1 hasta n.

n !=1x 2x 3 x 4 x… x (n−1 ) xnObservaciones:i) (−n )! No existe, pero −n ! si existe

ii) ( nm )!No existeiii) solotiene factorial los z+¿¿

iv) n !=(n−1)! xnv) 1 !=0!=1Ejemplos: 1. Calcular:

S=1 !0 !

+ 2!1!

+ 3 !2 !

+ 99!98!

+ 100 !99 !

2. Simplificar:

A=43 !+44 !+45!43 ! x 45

2. Principios Fundamentales de Conteo.

a) Principio de Multiplicación.- Si un evento “A” se puede efectuar de “m” maneras y para cada una de estas, otro evento “B” se puede efectuar de “n” maneras, entonces los eventos “A” y “B” se puede efectuar simultáneamente (o uno seguido del otro), de “m x n” maneras. Ejemplos:1. ¿Cuántos resultados diferentes se puede

obtener al lanzar una moneda y un dado simultáneamente?

2. Nátaly dispone de 3 blusas distintas, 4 faldas distintas y 2 pares de zapatos también distintos. ¿de cuantas maneras diferentes se puede vestir Nátaly utilizando los tres tipos de prenda?

b) Principio de Adición.- Se aplica cuando los eventos no ocurren simultáneamente, es decir, ocurre uno u ocurre el otro, mas no pueden ocurrir ambos a la vez. Si un evento “A” ocurre de “m” maneras y otro evento “B” de “n” maneras, entonces el evento “A o B” se puede efectuar de “m + n” maneras. Ejemplo:Placido desea viajar de Lima a Piura. Si dispone de 4 líneas aéreas y 2 líneas terrestres, ¿de cuantas maneras diferentes puede realizar el viaje?

3. Permutaciones.- a) Permutación Lineal.- Es un arreglo u

ordenación que se puede formar con todos los elementos de un conjunto, dispuesto en línea recta. En general el total de Permutaciones diferentes que se puede obtener con “n” elementos se designa por: Pn=n! Ejemplo: ¿De cuantas maneras distintas pueden ubicarse Ángel, Beto, Carlos y Daniel en una fila de 4 asientos?

b) Permutación Lineal con Elementos Repetidos.- El número de permutaciones diferentes de “n” elementos de los cuales hay “p” elementos iguales entre sí, “q” elementos iguales entre sí, “r” elementos iguales entre sí, etc. Se calcula de la siguiente manera:

Pp , q ,r ,…n = n !

p ! xq ! xr ! x…Ejemplo: Calcular el total de palabras diferentes (con o sin sentido) que se pueden obtener permutando las letras de cada una de las siguientes palabras:I) MANZANA II) ALAFALFA

c) Permutación Circular.- Es un arreglo u ordenación de elementos alrededor de un objeto. El número de permutaciones circulares de “n” elementos se designa por

Pc (n)=(n−1) ! Ejemplo: ¿De cuantas maneras distintas se pueden sentar alrededor de una mesa redonda 7 personas?

4. Variaciones.- Si disponemos de un determinado número de elementos y elegimos algunos de ellos (o todos) y los ordenamos en una fila, cada una de estas ordenaciones diferentes recibe el nombre de variación o arreglo. En una variación si interesa el orden de los elementos; el número de variaciones de “n” elementos tomados de “k” en “k” se

representa por V kn y se obtiene multiplicando “k”

factores enteros positivos decrecientes, a partir de n.

V kn=n (n−1 ) . (n−2 )… (n−k+1)

Esto es equivalente a: V kn= n !

(n−k )!Ejemplo: en una carrera participan 5 atletas. ¿De cuantas maneras diferentes pueden llegar a la meta los tres primeros lugares?

4.1. Variaciones con repetición (VR¿¿nm)¿.-

Esta dado por: VRnm=mn

5. Combinaciones.- El número de combinaciones de “n” elementos tomados de “k” en “k”, se calcula así:

C kn= n !k !(n−k )!

Ejemplo: ¿Cuántos grupos de 3 personas se pueden formar de un total de 7 personas?

5.1. Combinaciones con repetición

(CR¿¿mm)¿ Esta dado por:

CRnm=Cn

m+n−1

Ejemplo: ¿Cuántas agrupaciones de dos elementos se pueden formar con las letras A, B, C y D, si se permite repetición?

ACADEMIA PREUNIVERSITARIA “SEÑOR DE HUAMANTANGA”

K factores



EJERCICIOS

1. El valor de x que verifica:

( x+2 )!+( x+1 )!+ x !( x+2 )!−( x+1 )!−x !

=1.1

a) 20 b) 2 c) 10 d) 4 e) 32. Simplificar:

E= n!!!(n!!−1 ) ! (n!−1 )! (n−1)!n

a) 1 b) n ! c) n d) (n−1)! e) N.A.

3. Efectuar:

S=[ (3 !) ! ]!+719 !

721 !+ 7 !−0!

(3! )!a) 8 b) 9 c) 7 d) 10 e) N.A.

4. Simplificar:

A=(a−1 ) !+a!+(a+1)!

(a−1 )!+a !a) a b) a+1 b) 1 c) a+2 d) 2 e) N.A.

5. Calcular x en:

x !+ (x+1 ) !+(x+2)!x !

=x !+(x+1)!

xa) 3 b) 2 c) 4 d) 5 e) 6

6. Calcular (x+3)! si:

( x !+1 ) !−(x !)!( x ! )!−( x !−1 ) !(x !−1)

=6(x )!

a) 300 b) 200 c) 120 d) 720 e) 150

7. Si (n+7 ) !(n+5)!

(n+6 )!+(n+5)!=15 ! . El valor de “n” es.

a) 5 b) 10 c) 9 d) 20 e) 258. La simplificación de:

E=(n−4 )!+ (n−3 )!+ (n−2 )!n4−13n3+60n2−116 n+80

es :

a) (n+1)! b) (n−1)! c) (n+6)!d) (n−6)! e) (n+3)!

9. Si en una prueba de verdadero – falso hay tres preguntas, ¿De cuantas maneras diferentes pueden contestarse estas tres preguntas?a) 8 b) 6 c) 10 d) 4 e) 3

10. Raúl y Cesar intervienen en un torneo de ajedrez. La primera persona que gana dos juegos seguidos o que complete tres, gana el torneo. ¿Cuál es el número de maneras diferentes de cómo puede suceder el torneo?a) 8 b) 9 c) 10 d) 6 e) 7

11. Supongamos que una placa de moto consta de una letra seguida de un digito, si solamente se considera las letras x, y, z y los dígitos 2, 4, 6, 8 ¿Cuántas placas diferentes puede grabarse?a) 10 b) 7 c) 9 d) 8 e) 12

12. Si en una escuela de la universidad se ofrecen 10 cursos diferentes por la mañana, 8 por la tarde y 4 por la noche ¿Cuántas opciones diferentes tiene un estudiante de inscribirse en un solo curso?a) 88 b) 44 c) 160 d) 22 e) 320

13. ¿Cuántos números de dos cifras sin que se repitan se pueden formar con los dígitos: 2, 4, 6 y 8?a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18

14. ¿Cuántos números de dos cifras se pueden formar con los dígitos: 2, 4, 6 y 8 si se permite repetición?a) 10 b) 12 c) 16 d) 20 e) 14

15. Tres personas viajan en un vehículo que tiene dos paradas, si se hace distinción de personas ¿De cuántas maneras pueden bajarse las personas?a) 6 b) 2 c) 3 d) 9 e) 8

16. ¿De cuantas maneras diferentes pueden sentarse en fila 7 estudiantes para una foto, si tres de ellos han de estar juntas?a) 144 b) 720 c) 48 d) 36 e) 5040

17. ¿Cuántos números pares de 4 cifras distintas es posible formar con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 7 y 9?a) 250 b) 240 c) 120 d) 220 e) 140

18. ¿Cuántos números pares de 3 dígitos se pueden formar con los dígitos: 1, 2, 5, 6, 7, 8, y 9; si:a) Los dígitos del número pueden repetirse.b) Los dígitos del número no se repiten.a) 147; 90 b) 100; 60 c) 217; 70d) 97; 30 e) N.A.

19. En una reunión hay 6 hombres y 8 mujeres. ¿De cuantas maneras se pueden formar grupos de 5 personas donde 3 sean hombres y dos mujeres?a) 570 b) 562 c) 580 d) 540 e) 560

20. Con 7 fichas negras y 4 blancas se desea formar grupos de 6 fichas cada uno. ¿De cuantas maneras podrán formarse los grupos, si deben haber como mínimo 2 fichas blancas?a) 300 b) 370 c) 371 d) 350 e) N.A.

21. 3 mujeres y 3 hombres desean sentarse en una fila de 6 asientos. ¿De cuantas maneras diferentes pueden ordenarse si deben quedar sentados en forma alternada?a) 70 b) 71 c) 72 d) 76 e) 80

22. Hallar “x”, sabiendo que:

4C5x

4C6x=23

a) 10 b) 12 c) 13 d) 14 e) 1523. Hallar el valor de “E” sabiendo que:

E=3C3

7+C47

4C37

a) 1 b) 3/4 c) 1/4 d) 2 e) N.A.

24. Anhelí, su padre, sus tres hermanos y su novio salen al cine. ¿De cuantas formas podrán ubicarse en una fila de 6 asientos, si el padre es recontra celoso y siempre quiere estar entre Anhelí y su novio?a) 24 b) 48 c) 96 d) 72 e) 120




25. ¿De cuantas formas se podrán ubicar en una fila 4 hombres y 3 mujeres, si están deben ocupar los lugares pares?a) 120 b) 121 c) 144 d) 72 e) 36

26. En un congreso de estudiantes de ingeniería se está realizando un taller en una sala de exposiciones, donde participan 10 estudiantes, los cuales deben agruparse en 3 grupos: 2 de 3 personas y el ultimo de 4 personas? De cuantas formas se pueden agrupar los 10 estudiantes?a) 1020 b) 8200 c) 3600 d) 4200 e) 1600

27. ¿Cuántas banderas bicolores podemos formar usando los colores del arco iris?a) 49 b) 42 c) 36 d) 35 e) 128

28. Un coleccionista de artículos precolombinos ha sido invitado a exponer sus mejores cerámicas. Dicho coleccionista ha decidido presentar 8 cerámicas de las 10 de su colección. ¿De cuantas maneras puede seleccionarlos si 3 de ellas no pueden faltar en la exposición?a) 7 b) 3 c) 21 d) 8 e) 10


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