PLANTEO DE ECUACIONES

1. Por cada cuatro docenas de manzanas que un comerciante compra, le obsequian dos manzanas. ¿Cuántos son de obsequio si llevó 4800 manzanas?

A) 240 B) 176 C) 222D) 192 E) 184

RESOLUCIÓN4 doc <> 12 x 4 + 2 = 50 manz.

En los 4800 que llevo hay:

4800 =96 grupos de 50 ,50

donde habrá:

2 x 96 = 192 manz. de obsequio.

RPTA.: D

2. Juan es el doble de rápido que Pedro. Si juntos pueden hacer una obra en 10 días, cuánto tiempo le tomará a Juan hacerlo solo?

A) 13 días B) 14 díasC) 15 días D) 16 díasE) 17 días

RESOLUCIÓNJuan hace: 2 K

Juntos hacen 3 KPedro hace: 1 K

En 10 días hacen 30 K

Juan lo haría solo en 30K2K = 15 días

RPTA.: C

3. La mitad de un tonel contiene vino y cuesta S/. 800. Si se agregan 50 de vino de la misma calidad, el nuevo costo es S/. 1000. ¿Cuál es la capacidad del tonel?

A) 200 B) 250 C) 300 D) 350 E) 400

RESOLUCIÓNT2

<> S/. 800 S/. 1000

+ 50 ⇒ 50 < > S/. 200

Como T2

<> S/. 800

= 50 x 800 x 2T200

= 400

RPTA.: E

4. Un padre deja al morir a cada uno de sus hijos $ 12 500, pero uno de sus hijos no acepta y la herencia se reparte entre los demás, recibiendo cada uno $ 15 000. ¿Cuál es el valor de verdad de las siguientes proposiciones?

I. El número de hijos es 6II. El padre dejó a sus hijos $ 75 000III. Si los hijos hubieran sido 11 con, las

mismas condiciones, cada uno recibiría $ 7500.

A) VFF B) VVF C) VVVD) FVF E) FFF

RESOLUCIÓNc/u recibe adicionalmente $ 15000 − $ 12500 = $ 2500

⇒ los hijos que recibieron son:

=12500 52500

I. El número de hijos es: 5 + 1 = 6 → (V)

II. Herencia:12500 x 6 = $ 75000 → (V)

III. Si uno no aceptaría

⇒ c/u recibiría: 75000

10

= $ 7500 → (V)

RPTA.: C

5. Un comerciante compra un lote de 60 televisores por $ 27000. Vendió después 3 docenas de ellos ganando $ 150 en cada uno de ellos. Halle el precio de venta de cada uno de los restantes si quiere obtener un beneficio total de $ 12600.

A) $ 600 B) $ 750 C) $ 800D) $ 550 E) $ 450

RESOLUCIÓN

PcT = $ 27000 ; 60 Tv

PcU = =27000$ $450 / Tv60 Tv

Vende 36 Tv a $ 600 c/ Tv → PV1 = 36 x 600 = $ 21600

Los restantes 24 Tv a $x c/ Tv →PV2 = 24x

Teniendo en cuenta que:PvT = PcT + GT

Pv1 + Pv2 = PcT + GT

21600 + 24 x = 27000 + 12600 X = $ 750

RPTA.: B

6. Diana compró manzanas a 4 por 3 soles y los vende a 5 por 7 soles. ¿Cuál es el valor de verdad de las siguientes proposiciones?

I. Con 200 manzanas gana S/. 130II. S/. 208 es la utilidad de 320

manzanas.III. En una manzana gana S/. 0,70

A) VVV B) VVF C) VFVD) FVV E) FFF

RESOLUCIÓNCompra:4 manz _______ S/. 3 20 manz _______ S/. 15

Vende:5 manz _______ S/. 7 20 manz _______ S/. 28

En la compra y venta de 20 manz. gana S/. 13, entonces:

I. 200 manz gana 13 x 10 = S/. 130 → (V)

II. 320 manz gana 13 x 16 = S/. 208 → (V)

III. En una manzana gana:

=S /.1320 S/. 0,65 → (F)

RPTA.: B

7. Por una docena de manzanas que compré me obsequiaron 1 manzana. Si he recibido 780 manzanas, entonces son ciertas:

I. Compre 72 decenas.II. Si cada manzana cuesta S/. 0, 40 me

ahorre S/ 24,50.III. Gasté en total S/. 288.

A) VVV B) VVF C) VFVD) FVV E) FFF

RESOLUCIÓN

1 doc < > 12 + 1 = 13 manz.

# “docenas” = =780 6013

→ # manzanas compradas:

60 x 12 = 720 manzanas

I. # decenas = 72010 =

72 → (V)

II. En 60 manzanas, que fueron de regalo ahorré:60 x S/. 0,40 = S/. 24 → (F)

III. Gasté en 720 manzanas:720 x S/. 0,40 = S/. 288 → (V)

RPTA.: C

8. Hallar el mayor de dos números sabiendo que su suma es el máximo número de tres cifras diferentes y su diferencia es el máximo número de dos cifras iguales. Dar como respuesta la suma de las cifras de dicho número.

A) 16 B) 15 C) 14D) 18 E) 12

RESOLUCIÓN

.S = 987 ; D = 99

Mayor = + += =S D 987 99 5432 2

⇒ Σ = 5 + 4 + 3 = 12

RPTA.: E

9. Un alumno pregunta al profesor la hora y esté le responde: “Quedan del día 6 horas menos de las transcurridas”. Entonces son ciertas:

I. El ángulo que forman las agujas de un reloj es 90º.

II. Hace una hora eran las 2 pm.III. Dentro de una hora las agujas

formarán un ángulo de 120º.

A) VVV B) FFV C) VFFD) FVF E) FFF

RESOLUCIÓNS = 24 ; D = 6

Horas transcurridas = +24 6

2 =

15h = 3 pm

I. A las tres en punto se forma un ángulo recto. (V)

II. Hace una hora fue 2 pm (V)

III. Dentro de una hora será 4 pm, hora en la cual el ángulo que forman las manecillas son 120º

(V)

RPTA.: D

10. A un número se le agregó 10, al resultado se le multiplicó por 5 para quitarle enseguida 26, a este resultado se extrae la raíz cuadrada para luego multiplicarlo por 3, obteniendo como resultado final 24. ¿Cuál es el número?

A) 6 B) 8 C) 10D) 12 E) 14

RESOLUCIÓN

Ubicando las operaciones en el orden en que han sido mencionadas tenemos:

+ 10 x 5 − 26 x 3 = 24

Aplicando el “método del cangrejo”, tendremos:

24 ÷ 3 ↑2 + 26 ÷ 5 − 10 = 8

RPTA.: B

11.Mary tiene cierta suma de dinero que lo gasta de la siguiente manera: en gaseosas la mitad de su dinero, más S/. 2; en galletas la tercera parte del resto, más S/. 4 y en

cigarrillos las 3

4 partes del dinero

que le queda, más S/. 3. Si aún le quedan S/. 2, entonces podemos afirmar como verdadero:

I. Gastó en total S/. 76.II. Si cada paquete de galleta costó

S/.1, entonces compró 16.III. Gasta en cigarrillos S/. 22 menos

que en gaseosas.

A) Solo I B) I y IIC) II y III D) I y IIIE) Todas

RESOLUCIÓN

En gaseosas

En galletas

En cigarrillos

gasta ÷ 2 + 2 13 + 4

34

+ 3

queda 12

− 223 − 4

14

− 3

Aplicando “Método del Cangrejo”, obtendremos cuánto tenía:

2 + 3 x 4 + 4 x 32

+ 2 x 2

= 76

= 2

I. Gastó 76 − 2 = s/. 74 → (F)

En gaseosas gastó S/. 40→ quedó S/. 36En galletas gastó S/. 16→ quedó S/. 20

En cigarrillos gastó S/. 18II. # paquetes de galletas compradas =

=S /.16 16S /.1 → (V)

III. Gaseosas – Cigarrillos = 40 − 18 = 22 → (V)

RPTA.: C

12.Diana escribe cada día las 3

4

partes de las hojas en blanco de su diario, más 3. Si al cabo de 3 días escribió todas las hojas, cuántas hojas tiene su diario?

A) 252 B) 248 C) 240D) 192 E) 212

RESOLUCIÓN

1º día 2º día 3º día

Escribió+3 3

434

+ 334

+ 3

Le quedó

14

− 314

− 314

− 3

Aplicando “Método del Cangrejo”, tendremos:0 + 3 x 4 + 3 x 4 + 3 x 4 = 252

⇒ # páginas del diario : 252

RPTA.: A

13. Tres amigos; Andrés, Beto y Carlos están jugando a las cartas, con la condición de que el que pierde la partida doblará el dinero de los otros dos. Habiendo perdido cada uno de ellos una partida, en el orden de presentación, resulta que quedaron al final con S/. 64, S/. 72, y S/. 36, respectivamente. Entonces:

I. Andrés empezó con S/. 94.

II. Después de la primera partida, se quedaron con S/. 16, S/. 104 y S/. 52, respectivamente.

III. Después de la segunda partida, Beto tenía S/. 36Son ciertas:

A) Todas B) Solo IIC) II y III D) I y IIIE) Solo I

RESOLUCIÓNA B C

1º partida x 2 x 2 2º partida x 2 x 23º partida x 2 x 2

Al final 64 72 36

⇒ El dinero en juego es: 6 4 + 72 + 36 = 172

Aplicando el “Método del Cangrejo”:A B C64 72 36

↓ ÷ 2 ↓ ÷ 2 ↓32 36 104 ← 172 − 68

↓ ÷ 2 ↓ ↓ ÷ 216↓

104↓ ÷ 2

52↓ ÷ 2

← 172 − 68

94 52 26 ← 172 − 78

I. Andrés empezó con S/. 94 → (V)

II. Después de la primera quedaron con: S/. 16, S/. 104 y S/. 52 (V)

III. Después de la segunda partida Beto tenía S/. 36 (V)

RPTA.: A

14. ¿Que suma necesita el gobierno para pagar a 4 Coroneles, si el sueldo de 6 Coroneles equivale al de 10 Comandantes; el de 5 Comandantes al de 12 Tenientes; el de 6 Tenientes al de 9 Sargentos, y si 4 Sargentos ganan S/. 3280?

A) 19680 B) 1800 C) 16720 D) 20000 E) 14530

= 0

RESOLUCIÓNTomando en cuenta las equivalencias y aplicando la “Regla de conjunta”, tenemos:

S/. x <> 4 Cor.

6 Cor. <> 10 Com.

5 Com. <> 12 Ten.

6 Ten. <> 9 Sarg.

4 Sarg. <> S/. 3280

4 x 6 x 5 x 6 x X = 3280 x 9 x 12 x 10 x 4

X = 19680

RPTA.: A

15. Con 5400 monedas de a sol se hicieron 15 montones; con cada 3 de estos montones se hicieron 10, y con cada 2 de estos se hicieron 9. ¿Cuántos soles tenía uno de estos últimos montones?

A) 36 B) 32 C) 28D) 24 E) 20

RESOLUCIÓNAplicando “Regla de Conjunta”S/. 5400 <> 15 M1

3 M1 <> 10 M2

2 M2 <> 9 M3

1 M3 <> S/. x

5400 x 3 x 2 x 1 = 15 x 10 x 9 x X

X = 24

RPTA.: D

16. Eduardo, Mario y Hugo trabajan en construcción civil; Eduardo es el triple de rápido que Mario y Mario el doble de rápido que Hugo. Se sabe que juntos hacen una obra en 24 días; si Eduardo trabajando solo hace la mitad de dicha obra y luego Mario hace la tercera parte del resto, entonces cuál es el valor de verdad de las siguientes proposiciones, si Hugo termina la obra?

I. Hugo hace su parte en 72 horas.II. Mario hace su parte en 18 días.

III. De acuerdo a la condición la obra se termina en 108 días.

A) VVV B) VVF C) VFFD) FVV E) VFV

RESOLUCIÓN

Eduardo : 6kd

Mario : 2kd

Juntos: 9kd

Hugo : 1kd

En 24d x9 216k

Eduardo hace: 21

(216k) =108k

Mario hace :3

1(108k)=36k

Hugo hace : 108k -36k=72k

Hugo lo hace en: dkk72

= 72 días→V

Mario lo hace en: 36k2kd

= 72 días→V

III. Eduardo lo hace en:dkk

6108

= 18 días

∴ Total =108 días → VRPTA.: A

17. 10 m³ de madera de “abeto” pesan lo mismo que 7 m³ de madera de “acacia”; 10 m³ de madera de “cerezo” lo que 9 m³ de madera de “acacia”; 5 m³ de madera de “cerezo” lo que 3,6 m³ de madera de “eucalipto”, y esta última pesa lo mismo que el agua. Halle el peso de 1 m³ de madera de “abeto”.

A) 560 kg B) 460 kgC) 400 kg D) 390 kgE) 380 kg

RESOLUCIÓN

Aplicando “Regla de conjunta”

310m abeto <> 37m acacia39m acacia <> 310m cerezo35m cerezo <> 363 m, eucalipto31m eucalipto<> 31m agua31m agua <>1000kg

x kg. <> 31m abeto

10.9.5.1.1 x= 7.10.3,6.1.1000.1

x = 560RPTA.: A

18. Manuel tiene cierta cantidad de dinero que lo gasta de la siguiente

manera: en 5 chocolates, 58

de lo

que tiene; en 3 refrescos, 13

de lo

que queda y en 4 galletas 49

del

resto. Si aún le queda S/. 10;

I. Por un chocolate, un refresco y un paquete de galleta pagó S/. 14

II. Gasto en total S/. 62III. No es cierto que después de comprar

refrescos le quedan S/.18Son ciertas:

A) solo I B) solo III C) I y IID) II y III E) todas

RESOLUCIÓNChocolates refrescos galletas

Gasta85

31

94

Queda 8

3 3

2

9

5 =10

Aplicando “Regla del Cangrejo”:

910 S /.18 3 refrescos S /.95

1 refresco S /.3

× = <>

<>

2723

18 ./S=× 5 chocolates<> S/.45

7238

27 ./S=× 1 chocolate <> S/.9

Además: 4 galletas <> S/.81 galleta <> S/.2

I. 1Choc+1ref.+1galle<>3+9+2=S/.14 → V

II. Tenía: S/.72; quedó: S/.10→ gastó S/.62 → V

III.Si es cierto que le quedará S/.18. → F

RPTA.: C

19. Francisco es un vendedor de bolsas. Una mañana vendió sus bolsas de un modo muy especial; cada hora

vendió 34

de las bolsas que tenía en

esa hora y media bolsa más, quedándose al final de 3 horas únicamente con 2 bolsas. Luego:

I. Vendió 170 bolsasII. Si cada bolsa lo vendía a S/. 3

obtiene S/. 504III. Después de la segunda hora le

quedaron 10 bolsas.Son ciertas:

A) solo III B) II y IIIC) I y III D) I y IIE) N.A.

RESOLUCIÓN

Vende 43

+21

43

+21

43

+21

Queda41

-21

41

-21

41

-21

= 2

Aplicando “cangrejo”

14 2 102

+ =

14 10 422

+ =

14 42 1702

+ =

→ Tenía 170 y como le quedaron 2I. Vendió 170-2=168 →FII. Recaudó: 168 x3 =504→V

III. Después de la 2da. hora le quedó 10 bolsas →V

RPTA.: B

20. Un comerciante paga S/. 1881 por cierto número de pelotas y vende parte de ellas en S/. 799, a S/. 8,50 cada una, perdiendo S/. 1 por pelota. ¿A cómo debe vender cada una de las restantes para ganar S/. 218 en total?A) S/. 9,50 B) S/. 10,50C) S/. 11,50 D) S/. 12,50E) S/. 13,50

RESOLUCIÓN1881./SPcT = ; uPc S /.9,50= /pelota

Al vender parte de ellas en:

# Pelotas compradas= 19859

1881 =,

7991 ./SPv =508,./SPvu =

# Pelotas vendidas= 94598

799 =,

→ quedan 198 − 94= 104 pelotas, para vender a S/. x c/pelota

T 1 2 T tPv Pv Pv Pc G= + = +799 + 104 x =1881 + 218x= S/. 12,50

RPTA.: D

21. Compré cierto número de libros a 6 por S/. 7 y otro número igual a 17 por S/. 19. Si todos se venden a 3 por S/. 4 y gané S/. 117, cuántos libros vendí?

A) 153 B) 306 C) 612D) 624 E) 672RESOLUCIÓN

Compré: 6 S/.7 → 1Pc =67x

x 1Pc

Compré: 17 S/.19 → 2Pc = x1719

x 2Pc

Vende: 3 S/4 → TPv =38x

2x TPv

T 1 2 tPv Pc Pc G= + +

1171719

67

38 ++= xxx

Resolviendo x = 306∴ Vendí: 2 (306) = 612

RPTA.: C

22. Un examen consta de 70 preguntas, dando 5 puntos por pregunta correcta, 1 punto por pregunta en blanco y −2 por pregunta incorrecta. Un postulante obtuvo 38 puntos, dándose cuenta que por cada 5 buenas habían 12 malas. ¿Cuántas contestó en blanco?

A) 36 B) 28 C) 16D) 10 E) 24

RESOLUCIÓN

Buenas : 5k 70 Malas : 12k

“Blanco”: 70-17 → 70-17k

Puntaje total = 38

⇒ 5k(5)+12k(−2)+(70−17k)(1) = 38

25k – 24k +70-17k =38

k=2

∴” Blanco” : 70-17(2) =36

RPTA.: A

23.Halle el número cuyo quíntuplo,

disminuido en los 34

del mismo, es

igual al triple, de la suma de dicho número con cinco.

A) 10 B) 11 C) 12D) 13 E) 14

RESOLUCIÓN

Sea “x” el número

( )35x x 3 x 54

− = +

Por (4):

⇒ 20x − 3x = 12x + 6017x −12x = 60

5x = 60x = 12

RPTA.: C

24. El producto de tres números enteros consecutivos es igual a 600 veces el primero. ¿Cuál es la suma de dichos números?

A) −76 B) −81 C) 71D) 73 E) 3

RESOLUCIÓN

(x) (x+1) (x+2) = 600x

X[(x+1)(x+2) − 600] = 0

x = 0 ∨ (x+1) (x+2) = 600

x = 0 ∨ x² + 3x − 598 = 0

(x−23) (x+26) = 0

x = 0 ∨ x = 23 ∨ x = −20

x = 0 0, 1, 2 ⇒ 3=∑

x = 23 23, 24, 25⇒ 72=∑

x = −26 −26, −25, −24⇒ 75= −∑

RPTA.: E

25. ¿Cuál es el número negativo que sumado con su inverso, da igual resultado que el doble de su inverso, disminuido en el número?

A) −2 B) − 2 C) 22

−

D) −3 E) − 3

RESOLUCIÓN

Sea “x” el número

1 1x 2 xx x

+ = −

12xx

= 1 1 2x² x2 2 2

= ⇒ = ± g

2x² = 1 ⇒ 2x2

= ±

2x2

= −

RPTA.: C

26. Julio es asesor y gana el primer mes 7x soles, el segundo mes le duplicaron el sueldo, el tercer mes le pagan el triple del sueldo inicial, al cuarto mes lo despiden pagándole lo del primer mes. ¿Cuánto ganó en los 4 meses?

A) (49)x B) (35)x C) (35)4x D) 7x+1 E) 14x

RESOLUCIÓN

{ ( ) ( ) ( )x x x x x x 1

1ºmes2ºmes 3ºmes

7 2 7 3 7 7 7 7 7 ++ + + = =1 2 3 1 2 3

RPTA.: D

27. Si el recíproco, del inverso de un número disminuido en cinco; es disminuido en el opuesto aditivo del número disminuido en cinco, resulta 30. Halle el número.

A) 5 B) 10 C) 15D) 20 E) 25

RESOLUCIÓNSea “x” el número.

( )( ) ( )( )11x 5 x 5 30

−−− − − − =

x − 5 + x − 5 = 302x − 10 = 30

2x = 40x = 20

RPTA.: D

28. El cuádruplo de un número, aumentado en 3, es equivalente al triple, del número aumentado en

uno, más el número. Halle el número.

A) No existe tal númeroB) 0C) 1D) −2E) Cualquier número real

RESOLUCIÓNSea “x” el número.4x + 3 = 3(x+1)+x4x + 3 = 34x − 4x = 3 − 3(4 − 4) x = 00x = 0∴ x ∈ ¡ cualquier número real.

RPTA.: E

29. ¿Cuántos números cumplen lo siguiente: si al doble del número se le aumenta el número disminuido en 8, se obtiene el triple, del número disminuido en seis, más cuatro?

A) NingunoB) UnoC) DosD) Tres E) Todos los reales

RESOLUCIÓNSea “x” el número2x + (x − 8) = 3(x − 6) + 4

3x − 8 = 3x − 18 + 4 0x = −6 CS = φ

RPTA.: A

30. El largo de un rectángulo es el doble de un número, mas tres y el ancho es el exceso de cinco sobre el duplo del número. ¿Cuál es la máxima área del rectángulo?

A) 18 µ² B) 16 µ² C) 14 µ²D) 12 µ² E) 10 µ²

RESOLUCIÓN

5 − 2x

2x + 3

A(x) = (2x+3)(5−2x)

A(x) = 10x − 4x² + 15 − 6xA(x) = −4x² + 4x + 15A(x) = −(4x² − 4x+1 − 1) + 15A(x) = −((2x−1)² −1) + 15A(x) = (2x−1)² + 16

El máximo valor del área es 16 µ².

Para 1x2

=

RPTA.: B

31. Si el exceso de “a” sobre “b” es un factor, del exceso de “c” sobre “a” y el otro factor, es factor del exceso de a² sobre c². Indique ¿cuál es el otro factor de a² sobre c²?

A) a . c B) c C) aD) b − a E) (a+c)(b−a)

RESOLUCIÓN

(a−b)F = c − aF: el otro factor

⇒ F = c aa b

−−

c a y a² c²a b

− = − − g

( ) ( )c a y a c a ca b

− = + − −

⇒ y = (a+c)(b−a)RPTA.: E

32. Un número excede al cuadrado más próximo en 30 unidades y es excedido por el siguiente cuadrado en 29 unidades. Indique la suma de las cifras del número.

A) 14 B) 16 C) 18D) 20 E) 22

RESOLUCIÓNSea “x” el número.k² ............. x ................ (k+1)²

30 29

x − k² = 30 ...................(I)(k+1)² − x = 29 ..................(II)k²+2k+1−x = 292k + 1 = 29 + (x − k²)De (I)

2k + 1 = 29 + 302k + 1 = 59

k = 29

En (I) x − 29²= 30x = 871

Se pide:8 + 7 + 1 = 16

RPTA.: B

33. Se ha comprado cierto número de libros por 200 soles. Si el precio por ejemplar hubiese sido dos soles menos, se tendría 5 ejemplares más por el mismo dinero. ¿Cuántos libros se compro?

A) 30 B) 28 C) 25D) 23 E) 20RESOLUCIÓNSea “x” el número de libros comprados.

→ Uno cuesta: 200x

Sea: (x + 5) libros que se tendrá

→ Uno costaría: 200x 5+

Condición: 200 200 2x x 5

− =+

100 100 1x x 5

− =+

⇒ 100(x+5) = 100x = x(x+5)100x + 500 − 100x = x (x+5)

500 = x(x+5)500 = 20(25)x = 20

RPTA.: E

34. Se tienen 600 caramelos para ser distribuidos en partes iguales a un grupo de niños. Si se retiran 5 niños, los restantes reciben 4 caramelos más. ¿Cuántos niños habían inicialmente?

A) 20 B) 23 C) 25D) 28 E) 30

RESOLUCIÓNSea “x” el número de niños

c/u: 600x

Si se retiran 5, 600c /u:x 5−

Condición: 600 600 4x 5 x

= +−

600 600 4x 5 x

− =−

600x − 600x + 3000 =4(x)(x−5)3000 = 4x (x−5)

750 = x(x−5)750 =30(30−5)x = 30

RPTA.: E35. Si tuviera lo que no tengo, más la tercera parte de lo que tengo,

tendría 56

de lo que tengo, pero si

tuviera 10 soles más de lo que no

tengo tendría 56

de lo que tengo.

¿Cuánto no tengo?

A) 40 B) 35 C) 30D) 20 E) 15

RESOLUCIÓNx : tengo y : no tengo

x 5 xy x.......(I) y3 6 2

510 y x......(II)6

De(I) y (II) se tiene :x 10 x 303

y 15

+ = ⇒ =

+ =

= ⇒ =

∴ =RPTA.: E

36. Una persona compró objetos a los precios de 48 y 42 soles, pero no recuerda cuántos, solamente recuerda que gastó S/.1542 y que el número de objetos de S/.48 era impar y no llegaba a diez. ¿Cuántos objetos compró?

A) 19 B) 17 C) 51D) 36 E) 40

RESOLUCIÓNx : # objetos de S/. 48y : # objetos de S/. 42

48x + 42y = 15428x + 7y = 257

x : impar x 10257 8xy7 x :1,3,5,7,9

∧ <−= ∧

Evaluando para x = 5 → y = 31Se pide: x + y = 36

RPTA.: D

37. Dame S/. 30 y tendré tanto como tu tengas, pero si te doy S/. 40, tu tendrás el triple de los que yo tengo. ¿Cuánto tienes?

A) S/. 170 B) S/. 110C) S/. 80 D) S/. 100E) S/. 150

RESOLUCIÓNYo tengo: xTu tienes: y

⇒ x + 30 = y − 30 ⇒ x = y −60Yo tengo: xTu tienes: y

⇒ 3(x−40) = y + 403x −120 = y + 40

3(y − 60) − 120 = y + 403y − 180 − 120 = y +40

2y = 40 + 3002y = 340y = 170

RPTA.: A

38. Si subo una escalera de 4 en 4 escalones, doy 4 pasos más que subiendo de 5 en 5 escalones. ¿Cuántos escalones tiene la escalera?

A) 50 B) 60 C) 70D) 80 E) 90

RESOLUCIÓN

# pasos : x4

# pasos: x5

Condición:En el primero se dan 4 pasos más que en el segundo.

x x 44 5

− =

⇒ 5x − 4x = 80x = 80 escalones

RPTA.: D

39. De los gatitos que tenía Angela se le murieron todos menos los que se murieron. ¿Cuántos quedaron vivos?

A) Absurdo B) NingunoC) Todos D) La mitadE) Dos

RESOLUCIÓNTenía: xSe le murieron: α

Dato: α = x − α2α = x

⇒ α = x2

Se le murieron la mitad, quedaron vivos la otra mitad.

RPTA.: D

40. Jerry razonaba: tenía S/. 50, primero compré una camiseta y luego una gorra que me costó S/.15. Si no hubiera comprado la gorra, tan

sólo hubiera gastado 37

de lo que no

hubiera gastado. ¿Cuánto gasté en total?

A) S/. 20 B) S/. 30 C) S/. 35 D) S/. 25 E) S/. 45

RESOLUCIÓNTenía : 50

Camiseta: xGaste

Gorra :15

⇒ x + 15

Si no hubiera comprado la gorra hubiera gastado: xNo hubiera gastado: (50 − x)

Entonces: ( )3x 50 x7

= −

7x = 150 − 3 x10x = 150

⇒ x = 15Gasto total: x + 15 = 15 + 15 = S/. 30

4 esc

4 esc

“x” escalones “x” escalones

5

5

30

40

RPTA.: B

41. Los hijos de Pedro tienen tres hermanas cada uno y sus hijas tantos hermanos como hermanas. ¿Cuántos varones, por lo menos hay en la casa de Pedro?

A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6

RESOLUCIÓNCada hijo tiene 3 hermanas

→ Cada hija tiene 2 hermanas y 2 hermanos

∴ Hay 3 varonesRPTA.: B

42. El alcalde de un distrito ha observado con respecto a las mascotas de su distrito que por cada mono hay 3 gatos y por cada gato hay 4 perros. Si en total se han contado 768 extremidades de animales. ¿Cuántos monos hay?

A) 12 B) 11 C) 10D) 9 E) 8

RESOLUCIÓNMono : aGatos : 3a Total 16aPerros: 4(3a) = 12a cuadrúpedos

# extremidades: 4(16a) = 768

a = 12 monos

RPTA.: A

43. Al sumar tres números enteros consecutivos y dividir entre su producto se determina el numerador y denominador respectivamente de un número racional cuyo equivalente

es 1967840

. ¿Cuál es el menor de los

tres números?

A) −12 B) −13 C) 9D) 13 E) 12

RESOLUCIÓNx−1

Sean los números: xx+1

Condición: ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )x 1 x x 1 196

x 1 x x 1 7840− + + +

=− +

( ) ( ) ( )3x 1

40x 1 x x 1=

− +

x ≠ 1; x ≠ 0, x ≠ −1

2

120 x² 13 140 x² 121x 1

= −= ⇒ =−

⇒ x 11x 11

= = −

10x 11 11

12

= ⇒

12x 11 11

10

−= − ⇒ −−

RPTA.: A

44.Gaste los 35

de lo que no gasté y

aún me quedan 60 dólares más de los que gasté. ¿Cuánto tenía?

A) $ 250 B) $ 240 C) $ 200D) $ 190 E) $ 150

RESOLUCIÓN

Gasté : 3 x5

No gasté : x

Tenía : 3 8xx x5 5

+ =

x = 60 + 3 x5

5x = 300 + 3xx = 150

Tenía : ( )8 150 $.2405

=

RPTA.: B

45. Un anciano deja una herencia de 2mn dólares a cierto número de parientes. Sin embargo “m” de estos renuncian a su parte y entonces, cada uno de los restantes se beneficia en “n” dólares más. ¿Cuántos son los parientes?

A) (m+n) B) 2m C) 2n D) m E) n

RESOLUCIÓNSea “x” el # de parientes, c/u

inicialmente recibiría: 2mn

x* Pero “m” renuncian a su parte,

entonces cada uno recibe ahora: 2mnx m−

* Con lo cual cada uno de los restantes se beneficia en “n” dólares mas. 2mn 2mn nx m x

− =−

2mx − 2mx − 2m² = x (x−m)

( ) ( )1

2

x² mx 2m² 0 x 2m

x 2m x m 0 x m

− − = =

− + = = −

∴ x = 2mRPTA.: B

46. Un padre dispone de 320 soles para ir a un evento deportivo con sus hijos, si toma entradas de 50 soles le falta dinero y si las toma de 40 soles les sobra dinero. ¿Cuál es el número de hijos?

A) 7 B) 6 C) 5D) 4 E) 3

RESOLUCIÓNSea “x” el número de personas50x > 320 → x > 6,440x < 320 → x < 8

6,4 < x < 8x = 7

⇒ # de hijos es 6RPTA.: B

47. El cuadrado de la edad de Juan menos 3 es mayor que 165. En cambio el doble de su edad más 3 da un número menor que 30. ¿Cuántos años tiene Juan?

A) 20 B) 13 C) 18D) 11 E) 15

RESOLUCIÓNSea “x” la edad de Juan.x² − 3>165 → x²>168 → x > 12,9

2x + 3<30 → x<272

→ x < 13,5

12,9 < x < 13,5 ⇒ x = 13RPTA.: B

48. Si al número 8 se le agrega la raíz cuadrada de un número aumentado en dos, se obtiene 4, entonces el otro número es:

A) 14 B) −14C) 0 D) 16E) No existe tal número

RESOLUCIÓN

8 + x 2 4+ =

x 2 4+ = − (absurdo), ó también

x + 2 = 16

x = +14Comprobación8 + 16 = 416 ≠ 4

∴ No es soluciónRPTA.: E

49. Dos Cirios de igual altura se encienden simultáneamente, el primero se consume en 4 horas y el segundo en 3 horas. Si cada cirio se quemó en forma constante, cuántas horas después de haber encendido los cirios, la altura del primero es el doble de la del segundo?

A) 1 h B) 1,8 h C) 2 hD) 2,4 h E) 3 h

RESOLUCIÓN

I

II

d LV Vt 4

LV3

= ⇒ =

=

d L 2x L xt tL Lv4 3

− −= ⇒ = =

( ) ( )L LL 2x L x3 4

− = −

4(L − 2x) = 3(L − x)4L − 8x = 3L − 3x

L = 5x

5x x 4x 12t5x 5x 53 3

24t 2,4 h10

−= = =

= =

RPTA.: D

50. Un matrimonio dispone de una suma de dinero para ir al teatro con sus hijos. Si compra entradas de 8 soles le faltaría 12 soles y si adquiere entradas de 5 soles le sobraría 15 soles. ¿Cuántos hijos tiene el matrimonio?

A) 4 B) 5 C) 6D) 7 E) 8

RESOLUCIÓNSea “x” el número de hijos.Tiene “E” soles, luego:E = 8(x + 2) − 12E = 5(x + 2) + 15

8x + 16 − 12 = 5x + 10 + 158x + 4 = 5x + 253x = 21x = 7

RPTA.: D

51. En una reunión se cuentan tantos caballeros como tres veces el número de damas. Si luego de retirarse 8 parejas el número de caballeros que aún quedan es igual a 5 veces el número de damas. ¿Cuántos caballeros habían inicialmente?

A) 36 B) 42 C) 48D) 50 E) 18

RESOLUCIÓNC: # caballeros : 3xD: # damas : x

QuedanSe retiran ⇒ 3x − 8Caballeros 8 parejas ⇒ x − 8 Damas

Condición:3x − 8= 5(x−8)3x − 8= 5x − 4032 = 2xx = 16

⇒ C = 3(16) = 48RPTA.: C

52. Si la suma de dos números es cinco, y cuatro veces su producto es 21, ¿cuál es la menor diferencia de los cuadrados de dichos números?

A) −10 B) −8 C) 2D) 4 E) 10

RESOLUCIÓNSean los números “x, y”

x + y = 5

4x y = 21Se pide: x²−y² = (x+y)(x−y) = 5(x−y)

Pero: (x + y)² − (x − y)² = 4xy(5)² − (x−y)² = 2125−21 = (x−y)² → (x−y)²=4(x−y)= +2(x−y)= −2

Luego: 5(−2) = −10(x + y)(x −y)

RPTA.: A

2xx

L

L – 2x

L – x

I II

53. Cierta persona participa en un juego de azar, el cual paga el doble de lo que apuesta el ganador, arriesgando sucesivamente: S/. 1; 2; 3; 4; ..... de tal forma que gana todos los juegos en que interviene excepto el último. Retirándose entonces con una ganancia de S/.65. ¿Cuántos juegos ganó?

A) 15 B) 14 C) 13D) 12 E) 11

RESOLUCIÓNSea “n” el número de juegos en que interviene.

Arriesga o apuesta:

1 + 2 + 3 + .... + n = ( )n n 12+

Como ganó “n−1” juegos (perdió el último)

→ Gana: 2[1+2+3+.....(n−1)] = 2( ) ( )n 1 n

2 −

Gana: n (n−1)

Le queda al retirarse:

( ) ( )n n 1n n 1 65

2+

− − =

( ) ( )n 1n n 1 65

2 +

− − = 2n 2 n 1n 65

2− − − = n(n−3) = 130

n(n−3) = 13.10n = 13

∴ Ganó en 13 − 1 = 12 juegos.RPTA.: D

54. Un rectángulo de 30 cm por 100 cm, se va a agrandar para formar otro rectángulo de área doble; para ello se añade una tira de igual ancho en sus bordes. Si ha sobrado un pedazo de dicha tira, indique, ¿cuál es su área, si tiene la forma de un cuadrado?A) 36 cm² B) 64 cm²C) 81 cm² D) 100 cm²E) 144 cm²

RESOLUCIÓN

Ao = (30)(100)AF = 2Ao

(100+2x)(30+2x) =2(3000) 4x² + 2x(130) + 3000 = 60004x² + 2x (130) − 3000 = 0x² + 65x − 750 = 0(x + 75) (x − 10) = 0

x = −75 ∨ x = 10

Luego se pide:

A = (10)² cm²A = 100 cm²

RPTA.: D

55. El recíproco de un número aumentado en el triple del número es igual al exceso de 4 sobre el número. Indique el cubo del opuesto de dicho número.

A) −18

B) −16

C) −14

D)18

E) 12

RESOLUCIÓN

Sea: x el número:1 3x 4 xx

+ = −

1 4x 4 0x

+ − =

Pon (x) ⇒ 1 + 4x² − 4x = 04x² − 4x + 1 = 0

(2x − 1)² = 02x − 1 = 0

x = 12

Se pide:

30

100

30 + 2x

100 + 2x

xx

31 12 8

− = − RPTA.: A

56. Si el exceso, del duplo del cuadrado de mi edad sobre 3 excede a 507 y el exceso de 51 sobre el triple de mi edad excede a 2, entonces 90 excede al cuadruplo de mi edad en:

A) 32 B) 28 C) 26D) 24 E) 20

RESOLUCIÓNSea “x” mi edad:2x² − 3 > 507 ∧ 51−3x>22x² > 510 ∧ 51−2>3xx²>255 ∧ 16,3 x>

)

x>15,96... ∧ x<16,3)

Luego:

Luego : x = 16 añosSe pide : 90−4(16) = 26

RPTA.: C

57. La inscripción como socio de un club de natación cuesta 840 soles para las 12 semanas de la temporada de verano. Si un socio ingresa después de comenzada la temporada, sus derechos se fijan proporcionalmente. ¿Cuántas semanas después de iniciada la temporada ingresaron 3 socios simultáneamente si pagaron juntos 1680 soles?

A) 7 B) 6 C) 5D) 4 E) 3

RESOLUCIÓN12 semanas cuestan 840

⇒ 1 semana cuesta: 84012

⇒ x semanas cuestan:840 x12

⇒ los 3 socios pagan: 8403 x 168012

=

210x = 1680 x = 8(se les cobró por 8 semanas), luego ya habían transcurrido: 12 − 8 = 4 semanas

RPTA.: D

58. Un granjero amarra su vaca en la esquina de su casa. El observa que si la cuerda fuera alargada en 10 m, ella podría abarcar cuatro veces el área original. Entonces la longitud original de la cuerda es:

A) 20 m B) 15 m C) 10 m

D) 5 m E) 103

m

RESOLUCIÓN

Para el radio inicial: γ

El área será: 3 r²4

π

Si se alarga la cuerda 10 m. El área que abarcaría sería:

( )3 r 10 ²4

π +

Según condición:

( )3 3r 10 ² 4 r²4 4

π + = π 4r² = (r+10)²(2r)² − (r+10)² = 0(2r+r+10)(2r−r−10) = 0(3r+10)(r−10) = 03r + 10 = 0 ∨ r −10 = 0

10r r 103

= − ∨ =

RPTA.: C

59. En la biblioteca PRE-UNAC unos alumnos estudian Física, otros Aptitud Matemática, y la quinta parte

16 16,315,96 r

10

CASA

del total Aptitud Verbal; después 14 de ellos dejan Física por Aptitud Verbal, 2 dejan Aptitud Verbal por Física y 4 Aptitud Verbal por Aptitud Matemática. Resulta entonces que estudian Física tanto como los que estudian Aptitud Matemática y estudian Aptitud Matemática tantos como los que estudian Aptitud Verbal. ¿Cuántos alumnos hay en la biblioteca?

A) 35 B) 45 C) 55D) 65 E) 75

RESOLUCIÓNAsumiendo el total de alumnos: 15xEn un inicio estudian Aptitud Verbal la quinta parte del total: 3xAl final el # de alumnos que estudian las 3 materias es el mismo: 5xEntonces:

Inicio F AM AV FinalFísica −14 2 5xAp. Mat.

−2 4 5x

Ap. Verbal

3x 14 −4 5x

Para A.V. tenemos⇒ 3x + 14 − 4 = 5x

10 = 2x⇒ x = 5

∴ total= 15 (5) = 75RPTA.: E

60. Un comerciante tenía una determinada suma de dinero. El primer año se gastó 100 soles y aumento el resto con un tercio de este; el año siguiente volvió a gastar 100 soles y aumentó la suma restante en un tercio de ella; el tercer año gastó de nuevo 100 soles y después de que hubo agregado su tercera parte, el capital llego al doble del inicial. Halle el capital inicial.

A) 1480 B) 1840 C) 8140D) 4180 E) 1520

RESOLUCIÓNCapital inicial: x

Al final del primer año: x − 100

Al aumentar en ( )1 4 x 1003 3

→ −

Luego de tres años tendrá:

( )4 4 4 x 100 100 100 2x3 3 3

− − − =

( )4 4 3x 3x 200x 100 100 100 23 3 2

+ − − = + =

( )4 9x 600 9x 1400x 100 1003 8 8

+ +− = + =

32(x−100) = 3(9x+1400)5x = 7400x = 1480

RPTA.: A

61. La suma de dos números es tres y la suma de sus cuadrados 4,52. Halle la raíz cuadrada de la diferencia de sus cuadrados aumentada en cuatro centésimos.

A) 0,8 B) 0,6 C) 0,5D) 0,4 E) 0

RESOLUCIÓNx + y = 3x² + y² = 4,52

4x² y²100

− + ...............(I)

(x + y)² = x² + y² + 2xy3² = 4,52 + 2xy2xy = 4,48

(x−y)² = x² + y² − 2xy(x−y)² = 4,52 − 4,48x − y = 0,2

En (I): ( ) ( )x y x y 0,04+ − +

= ( ) ( )3 0,1 0,04 0,8+ =

RPTA.: A

62. Se hizo una encuesta a 50 personas sobre preferencias respecto a dos revistas A y B. Se observa que los que leen las dos revistas son el doble de los que leen solo A, el triple de los que leen solo B y el cuádruplo de los que no leen ninguna de las

dos revistas. ¿Cuántas personas leen la revista A?

A) 24 B) 30 C) 32D) 36 E) 40

RESOLUCIÓN

6x + 12x + 4x + 3x = 50 → x = 2 n(A) = 18(2) = 36

RPTA.: D

63. A una ceremonia asistieron 24 señoritas con cartera, 28 varones con corbata, 40 portaban casaca, 17 varones con corbata no tenían casaca, 9 señoritas portaban casaca pero no tenían cartera. ¿Cuántos varones con casaca no llevaron corbata, si 16 señoritas no llevaron cartera ni casaca y 28 señoritas no llevaron casaca?

A) 8 B) 9 C) 10D) 11 E) 12

RESOLUCIÓN

40 = 11 + 9 + 12 + x → x = 8

RPTA.: A

64. De los residentes de un edificio se ha observado que 29 de ellos trabajan y 56 son mujeres, de los cuales 12 estudian pero no trabajan. De los varones 32 trabajan o estudian y 21 no trabajan ni estudian, ¿cuántas mujeres no estudian ni trabajan, si 36 varones no trabajan?

A) 32 B) 30 C) 28D) 26 E) 34

RESOLUCIÓN

X = 56 – 24X = 32

RPTA.: A

65. En una clase de 50 alumnos, se practica tres deportes: Atletismo, Básquet y Fulbito.

* Los que practican atletismo o fulbito pero no básquet son 30.

* Los que practican básquet o fulbito pero no atletismo son 27.

* Los que practican atletismo y fulbito son 7.

* Los que practican fulbito pero no atletismo o básquet son 15.

* Los que no practican estos deportes son la cuarta parte de los que practican básquet y fulbito pero no atletismo.

* 4 practican atletismo y básquet pero no fulbito.

* Los que practican básquet pero no atletismo o fulbito son 4.¿Cuántos practican solo dos deportes o no practican ninguno?

A) 21 B) 17 C) 19D) 2 E) 18

12x 4x6x

A = 18x B

3x

U = 50

12 1217 11Corba

ta =

28

Casaca = 40 Cartera = 24

16

9x

H = M =

U =

M

H

56

T(29)E 21

1212

1517

x

RESOLUCIÓN

50 = 15 + 8 + (7−x) + x + 8 + x + 4 + 4 + 2

X = 50 − 48 = 2∴ solo 2 deportes o ninguno de los

tres: 5 + 4 + 8 + 2 = 19

RPTA.: C

66. Dado los conjuntos A; B y C contenidos en el universo de 98 elementos, tal que:

n(A − B) = 21n(B − C) = 25n(C − A) = 323n (A∩B∩C) = n(A∪B∪C )′

Hallar: ( )A B C ′∩ ∩

A) 93 B) 95 C) 87D) 77 E) 91

RESOLUCIÓNDiagrama de Ven –Euler para visualizar:

Planteando tenemos:98 = 4x + 21 + 25 + 3220 = 4x5 = x

Piden: ( ) ′∩ ∩A B C

( )U A B C 98 5 93 − ∩ ∩ = − =

RPTA.: A

67. Usando las leyes del álgebra de conjuntos, simplificar:

( ) ( ){ }A B B A B C − ∩ ∩ ∪ ∩

A) AC B) BC

C) U D) (A ∆ B)C

E) (A − B)C

RESOLUCIÓN

[(A−B)∩B] = φ

[(A∪B)∩C]C = (A∪B)C∪C

{[(A−B)∩B]∩[(A∪B)∩C]}C

{φ}C = URPTA.: C

68. En un condominio de 100 personas, 85 son casados, 70 son abonados de teléfono, 75 tienen bicicleta y 80 son empresarios. ¿Cuál es el mínimo número de personas que al mismo tiempo son casados, poseen teléfono, tienen bicicleta y son empresarios?

A) 15 B) 10 C) 20D) 24 E) 15

´

´´

8 + x

4 4

BA

F

28

x

7 - x

U = 50

15

A B

C

x

3x

98

RESOLUCIÓNTomando por partes:

= 10

RPTA.: B

69. En una encuesta a los estudiantes se determinó que:

* 68 se portan bien* 160 son habladores* 138 son inteligentes* 55 son habladores y se portan bien* 48 se portan bien y son inteligentes* 120 son habladores e inteligentes* 40 son habladores, inteligentes y se

portan bien.

¿Cuántos estudiantes son inteligentes solamente?

A) 10 B) 20 C) 40D) 12 E) 8

RESOLUCIÓN

Solo inteligentes = 10RPTA.: A

70.Un club consta de 78 personas, de ellas 50 juegan fútbol, 32 básquet y 23 voley. Además 6 figuran en los 3 deportes y 10 no practican ningún deporte. Si “x” es el total de personas que practican exactamente un deporte, “y” es el total de personas que practican exactamente 2 deportes, entonces el valor de (x−y) es:

A) 9 B) 10 C) 12D) 15 E) 16RESOLUCIÓN

15 55

30

45 30

25

70 10

20

70

30

15 45

CASADOS

TELÉFONO 75

25

CASADOS Y

TELÉFONO

85 55

AUTO

80

20

70 30

CASADOS, TELÉFONO Y AUTO

EMPRESARIOS

4080

2515

5

8

10

HABLADORES: 160

INTELIGENTES: 138

PORTAN BIEN: 68

U =

a

c6

b

44 –

a –

b

17 – b – c

V = 23

B = 32F = 50

10

U = 78

a + b + c = yx : solo un deporte

Del universo:44−a−b+b+17−b−c+32+10 = 78a + b + c = 25 = y

También:x + y + 6 + 10 = 78 → x = 37∴ x − y = 12

RPTA.: C

71. Dado el conjunto universal “U” y los subconjuntos A, B y C; se tiene los siguientes datos:

n(U) = 44 n(B∩C) = 12

n(A∩C) = 14 n[(A∪B∪C ′) ]=6

n(A∩B∩C) = 5 n(B) = 17

n(A) = 21 n(A∩B∩C ) =3

Hallar n(C)

A) 31 B) 27 C) 29D) 26 E) 28

RESOLUCIÓNn(A∩B∩ C ) =3n[(A∩B)−C] =3

21 + 2 + 7 + 6 + x = 44 → x = 8n(C) = 9 + 5 + 7 + 8 = 29

RPTA.: C

´

´

4 3 2

9

5

7

x C

B = 17A = 21

6

U = 44

´