Análisis cualitativo de sistemas lineales conmutados … · aplicados, físicos, ingenieros, cientíﬁcos de materiales y economistas dedicados a este estudio. Por tanto, se espera

Análisis cualitativo de sistemas linealesconmutados por histéresis

Jhon Everardo Cerón Caicedo

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Departamento de Matemáticas y Estadística

Manizales, Colombia

2014

Análisis cualitativo de sistemas linealesconmutados por histéresis


Tesis de grado presentada como requisito parcial para optar al título de:

Magister en Ciencias - Matemática Aplicada

Director:

Dr. Gerard Olivar Tost

Codirector:

Dr. Simeón Casanova Trujillo

Línea de Investigación:

Análisis de Sistemas Dinámicos

Grupo de Investigación:

Percepción y Control Inteligente - PCI

Analysis ABC Dynamics - Bifurcations and Control of Dynamics

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Departamento de Matemáticas y Estadística

Manizales, Colombia

2014

Qualitative Analysis ofSwitched Linear Systems Hysteresis


Thesis submitted as partial requirement for the degree of:

Master of Science - Applied Mathematics

Supervisors:

Dr. Gerard Olivar Tost

Dr. Simeón Casanova Trujillo

Line of Research:

Analysis of Dynamical Systems

Research Groups:

Perception and Intelligent Control - PCI

Analysis ABC Dynamics - Bifurcations and Control of Dynamics

University National of Colombia

Faculty of Exact and Natural Sciences

Departament of Mathematics and Statistics

Manizales, Colombia

2014

Dedicatoria

En primer lugar, doy gracias a mi Dios a

quien sirvo en mi espíritu en la predicación del

evangelio de su Hijo, y agradezco a mi abuela,

tios y tias quienes han logrado guiarme por

el camino de la humildad para llevar a cabo

cada uno de los proyectos que me encomienda

Dios. . .

Agradecimientos

Agradezco a todas las personas que de manera directa o indirecta tuvieron parte en larealización de este trabajo, a nuestros maestros de postgrado y a nuestros compañeros deestudio, especialmente a quien fue el director de esta tesis, y también mi maestro, Dr.GerardOlivar Tost, por su valiosa asesoría, como también a los docentes Simeón Casanova, GustavoOsorio y compañeros de maestría y doctorado en Ingeniería - Automatización IndustrialJhonny Valencia Calvo, Guillermo Gallo, Jorge Amador Moncada y a todos los miembros delos grupos de investigación PCI, ABC-Dynamics, CEIBA por su gran colaboración y apoyopermanentes.

Adicionalmente, agradezco a la Universidad Nacional de Colombia - Sede Manizales, alDepartamento de Matemáticas y Estadística; por brindarme la oportunidad de la realizacióny divulgación de este trabajo.

Atentamente,

JHON EVERARDO CERÓN CAICEDOUniversidad Nacional de ColombiaSede ManizalesFebrero 2014

Contenido

Agradecimientos IX

Resumen XII

1. Introducción 1

1.1. Motivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Objetivos de la Tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1. Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.2. Objetivos Específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3. Metodología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4. Estudio de literatura de sistemas dinámicos no suaves . . . . . . . . . . . . . 9

2. Dinámica no suave de los sistemas lineales conmutados por histéresis 13

2.1. Planteamiento del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2. Soluciones: Sistemas Dinámicos Suaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.1. Soluciones de Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.2. Soluciones de los Sistemas Lineales no Homogéneos . . . . . . . . . . 16

2.3. Zona de Conmutación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3.1. Diagrama de Transición de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4. Soluciones Periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.4.1. Caso I: � = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.4.2. Caso II: � < 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.4.3. Caso III: � > 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.5. Dominio de Atracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.5.1. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.5.2. Dominio de Atracción Paramétrico: 2-Dimensional . . . . . . . . . . . 38

2.6. Bifurcación Inducida por Discontinuidades: Bifurcación de Órbitas Periódicas. 382.6.1. Bifurcación de Órbitas Periódicas.: � = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3. Conclusiones y recomendaciones 39

3.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2. Recomendaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Contenido xi

A. Apéndice: Simulaciones Numéricas 42

A.1. Zona de Conmutación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42A.2. Órbitas Periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50A.3. Dominio de Atracción: Condiciones Iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52A.4. Dominio de Atracción Paramétrico: 2-Dimensional . . . . . . . . . . . . . . . 56A.5. Bifurcación de Órbitas Periódicas: � = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Bibliografía 60

Resumen

En este trabajo se desarrolla un método sistemático a través de la teoría cualitativa de lossistemas dinámicos suaves por partes sin deslizamiento, para el estudio local y global desistemas dinámicos conmutados lineales que presentan histéresis descritos por

w = f(w) =

{

f 1(w) w ∈ S1

f 2(w) w ∈ S2, w ∈ ℝ2

donde las f i corresponden a funciones suaves definidas en las regiones disjuntas Si descritaspor las superficies de conmutación Σi, i = 1, 2, respectivamente. Igualmente, se muestrany se analizan los respectivos diagramas de fases de las soluciones del sistema basado en undiagrama de transición de estados, como también se presentan los conjuntos solución de laexistencia de órbitas periódicas, además se estudia la coexistencia de los diferentes tipos deatractores a partir de su dominio de atracción y por medio de un diagrama paramétrico2-dimensional. Finalmente, se incluye un análisis numérico que permite indagar sobre losdistintos comportamientos del sistema, los cuales requieren un tratamiento especial, porello, sus rutinas se construyen bajo el esquema basado en eventos implementado por mediodel lenguaje de cálculo Matlab.

Palabras clave: Histéresis, sistemas dinámicos suaves a trozos, órbitas periódicas, dominio

de atracción.

Contenido xiii

Abstract

This paper develops a systematic approach through qualitative theory of picewise dynamicalsystems without sliding, to the local and global study of switched linear dynamical systemsthat exhibit hysteresis described by

w = f(w) =

{

f 1(w) w ∈ S1

f 2(w) w ∈ S2, w ∈ ℝ2

where f i are smooth functions defined in disjoint regions Si described by switching surfacesΣi, i = 1,2, respectively. Similarly, viewing and analyzing the respective phase diagramsof system solutions based on a state transition diagram, as are also the solution sets ofthe existence of periodic orbits its also studied the coexistence of different types attractorfrom its attraction domain and by means of a two-dimensional parametric plot. Finally, anumerical analysis is included that allows investigate the different behaviors of the system,which require special treatment, so their routines are built under the scheme based on eventsimplemented by the language of technical computing Matlab.

Keywords: Hysteresis, piecewise smooth dynamical systems, periodic orbits, domain

of attraction.

1. Introducción

1.1. Motivación

“La investigación en el campo de fenómenos que presentan histéresis ha logrado un ampliocarácter interdisciplinar y alcance internacional que ha impulsado el activo grupo decientíficos dedicados a esta área. Se considera de gran utilidad práctica en áreas talescomo almacenamiento magnético de datos y tecnologías de imanes permanentes; en otras, seconsidera perjudicial por lo cual debe ser cuidadosamente controlada, en campos tales comoel desarrollo de dispositivos de ubicación y diseño de pequeños equipos de transmisión deenergía de una cantidad de carga considerable a una de carga menor.

La descripción de los diferentes fenómenos de histéresis es de notable complejidad físicamatemática, cuyas propiedades se remontan a propiedades de memoria inducida derivadasde las no linealidades que presenta este fenómeno ([28], [11]), lo cual hace que su investigaciónsea compleja pero al mismo tiempo la hace que sea atractiva e interesante.

Particularmente, se exponen y reúnen diversos aspectos de las ciencias matemáticas, físicasy relaciones intrínsecas entre ellas especialmente en propiedades de materiales; entre susprincipales contribuciones se encuentran los modelos matemáticos de ecuaciones diferencialescon sus respectivos operadores de histéresis [2], los aspectos estocásticos de histéresis, lateoría de los sistemas de control con histéresis, los modelos de histéresis de desempleo en laeconomía, los modelos físicos de la histéresis magnética y temas relacionados con la dinámicade la magnetización, tales como: el campo de mecánica estadística donde se tienen losmodelos con histéresis de Ising, el efecto Barkhausen (ruido), los aspectos termodinámicos,analíticos y numéricos del micromagnetismo observados desde una perspectiva moderna ynovedosa. En otro plano se tiene aspectos generales de la dinámica de la magnetizaciónde Landau-Lifshitz, aplicaciones al análisis de la conmutación precesional, fenómenos derelajación, auto-oscilación y el cambio inducido por el espín polarizado de corriente deinyección, la onda de spin, fenómenos de magnetización en grandes movimientos.

En los fenómenos de histéresis en materiales, las principales contribuciones que se pueden darsobre la histéresis, son la de los materiales magnéticos convencionales y nanoestructurados,la histéresis tipo II de superconductores con afiladas y graduales transiciones resistentes ehistéresis de los materiales piezoeléctricos y ferroeléctricos.

2 1 Introducción

La investigación en histéresis támbien contribuye en modelos con memoria de formatales como aleaciones, materiales geofísicos e histéresis Soil-moisture son también ofre-cidas prominentemente. El estudio de la ciencia que posee esta teoría basada en estefenoméno es invaluable tanto para expertos como para principiantes en este campo, cuyaaplicación servirá como fuente única de ideas, conceptos y hechos para los matemáticosaplicados, físicos, ingenieros, científicos de materiales y economistas dedicados a esteestudio. Por tanto, se espera que se preserve, dado que es un campo que se ha formadocon el gran esfuerzo colectivo de diversos investigadores y el cual no hay que descuidarlo [15]".

La idea de este estudio surge y se basa en las ventajas que proporciona el fenómenode histéresis. Como se observó anteriormente lo que se busca en este tipo de sistemases compensar o eliminar los efectos que produce en ellos. Por ejemplo, imanes, sensores,transformadores, máquinas industriales como taladros de pavimento, etc. ([12], [13], [22]).(Figura 1-1).

Figura 1-1.: Ciclo de histéresis: Máquina con vibración aislada de su bloque de inercia y su base .

Fuente: Leyton [12].

Pero existen otras áreas en que dicho fenómeno ofrece grandes ventajas al momento de reducirciertas inestabilidades y comportamientos tales como el caos que se produce en el flujo deestos sistemas por los cuales se ocupan estas áreas. Por ejemplo, en la ingeniería automáticaes de gran utilidad para contrarrestar los efectos de perturbaciones en los sistemas dinámicosy los procesos que influyen en ellos.

1.1 Motivación 3

De este modo, cuando sus estados empiecen a evolucionar se espera que sus estados finalesa pesar de dichas perturbaciones (por ejemplo, variaciones en los parámetros del sistema)alcancen o permanezcan en las cercanías de los estados iniciales en el menor tiempo posible[9] (Dominios de Atracción).

En esa idea, se buscan estrategias que permitan estabilizar el o los estado(s) final(es) a un(os)estado(s) dado(s). En esa búsqueda, una herramienta que ha resultado de gran utilidad es elcontrol de estados bajo una banda de histéresis la cual procura que dichos estados no oscilenconsiderablemente alrededor del o los ya dado(s). En caso contrario, la descompensaciónque se produzca conllevaría a consecuencias irremediables [30]. En el mejor de los casos adeteriorar las componentes del sistema automático, pero en caso de que en el sistema semanejen escalas reducidas como por ejemplo en las transformaciones físico - químicas que serealizan en un reactor nuclear las consecuencias resultarían catastróficas.

Figura 1-2.: Estabilización de procesos sobre la banda de histéresis .

Fuente: Metring [18].

En la Figura 1-2, se puede apreciar cómo se estabiliza el estado final alrededor de un estadoya dado, cuando se le implementa una banda de histéresis, a continuación describimos algunosde los parámetro implícitos en ella.

x : Variable que se mide con el propósito de tomar acciones sobre el proceso que lo lleven aestabilizarlo.

w: Variable que se desea mantener en un determinado valor a lo largo del tiempo.Consigna.

xm: Máximo valor de la diferencia entre el valor deseado y la variable del proceso respecto aw.Sobrepico.

Ta: Tiempo necesario para que la variable x alcance el valor deseado.Tiempo de Aproximación.

4 1 Introducción

Ts: Tiempo necesario para que la variable x oscile dentro de la banda de histéresis.Tiempo de Estabilización.

Dx: Error respecto del valor final dentro del cual puede oscilar la variable x.Banda de Histéresis.

Luego, enfocándose en estos aspectos se inicia la tarea por buscar propiedades de sistemasdinámicos suaves a trozos bajo una banda de histéresis.

Pero antes de ello es importante conocer algunos principios básicos de este efecto, de hechocuando una de las trayectorias de los estados empieza a crecer de la frontera inferior de labanda a la superior, ocasionalmente esta decrece hasta el mismo estado inicial y lo hace através de una completamente diferente a la inicial (Transición de estados – Regla de Eventosdel Sistema) [4], [5]. En ese caso se forma un ciclo (órbita periódica) al cual se la conocecomo ciclo de histéresis [14]. ( Figura 1-1).

Particularmente, restringiéndose al sistema en estudio, este se puede describir como:

w = g (w (t) , u (t))

donde, w (t) corresponde a los estados del sistema, u (t) es su respectiva regla de eventos,ℎ1 = −ℎ2 las fronteras de conmutación en la banda de histéresis.

u (t) =

{

b1 si x2 > ℎ1

b2 si x2 < ℎ2.

Al utilizar el cambio de variable u (t) = ℎ (w (t) , t) el sistema se reduce a la forma:

w = f (w (t) , t)

o simplementew = f (w) .

Esto de alguna manera permite que las trayectorias que se producen en la banda no generenaltas frecuencias sobre las mismas. Pero si se encuentran se debería compensar esto conrespecto al tiempo que duren las frecuencias porque si en un mínimo periodo se presentanaltas frecuencias nuevamente generaría una descompensación considerable sobre la dinámicadel sistema, de esta forma se deberían adoptar estrategias que puedan contrarrestar dichosefectos. Esta es una razón más para considerar el estudio de dichos sistemas que actúan bajoesta banda y este fenómeno [6].

Este estudio se basa en el criterio de estabilizar un sistema lineal oscilatorio de estructuravariable o sistema en tiempo discreto PWS, es decir que a partir de funciones continuas seproveen funciones discontinuas del sistema las cuales se mantengan o fluctúen en el menortiempo con el mínimo error respecto a un punto o permanezcan dentro de una banda dehistéresis, particularmente se pretende que se aproximen a una consigna.

1.1 Motivación 5

Así, se podría ver a la banda de histéresis como un filtro o compensador de las solucionesprovistas por el sistema, algunas de las cuales se puedan mantener cerca de dicho punto [8].

Muchas veces los comportamientos de estas funciones en los sistemas son complejos, porello es necesario implementar y seleccionar técnicas, métodos o estrategias que permitanestablecer las condiciones para que dichos comportamientos se reduzcan a unos de menorcomplejidad y puedan ser analizados y permitan garantizar que sus soluciones o funcionesobtengan una aproximación óptima hacia dichos puntos.

De este modo, una de las herramientas que permite relacionar estos elementos en los sistemas,y analizar sus comportamientos ha sido la teoría de los sistemas dinámicos suaves a trozos,una teoría que poco a poco ha ido emergiendo, pero la cual ha adoptado procesos y métodosde gran interés por parte de la comunidad científica al momento de tomar decisiones frenteal comportamiento de estos sistemas, a pesar de que ellos se sometan a perturbaciones ygeneren comportamientos complejos sobre sus soluciones.

El propósito explícito de esta investigación apunta a caracterizar y clasificar las soluciones desistemas lineales conmutados por histéresis, estudiando la existencia de órbitas periódicas,estabilidad en las soluciones de equilibrio y sus respectivos diagramas de dominios deatracción.

En esa instancia, la comunidad científica, entre ingenieros, físicos, matemáticos, handespertado su interés por esta clase de sistemas teniendo una gran acogida para la ramade investigación que ha surgido basada en las técnicas tanto cualitativas como cuantitativasde la teoría de los sistemas dinámicos suaves por partes. Muy a menudo el comportamientode estos sistemas es complejo (por ejemplo las oscilaciones subarmónicas) y por ello el es-fuerzo de formalizar estos fenómenos en términos matemáticos ha llevado a cabo una seriede resultados producto de su gran relevancia. Aunque la teoría está en un estado de avancepreliminar, entre algunos de ellos se pueden mencionar:

“ Las inclusiones diferenciales de Filippov como un icono referencial en este estudio, tambiénencontramos las bifurcaciones de Feigin, las singularidades de Teixeira. Además, sin dejarde lado se encuentran las singularidades tipo Graizing como centros de organización paraestudiar la estabilidad del sistema, de la misma manera están las bifurcaciones de cicloslímite descrito por Mario di Bernardo (2008), y las rutas al caos por Galvanetto (1997)di Bernardo (1998); Zhusubalyev y Mosekilde (2003), entre otros. En este sentido, hay quedistinguir dos casos: las singularidades que están descritas hasta al momento en el cual elcuerpo de trabajo dedicado a este caso imparte su propia metodología entre algunos de ellosse pueden mencionar (Teixeira (1993)) y el segundo caso esta basado en el estudio de ladinámica global en este tipo de sistemas, obsérvese, Kunze(2000), Leine y Nijmeijer (2004);Kowalczyk y di Bernardo(2005); di Bernardo (2008). "[19].

6 1 Introducción

Así, aunque el intento sistemático de mantener las dos componentes juntas es escaso paraentender la dinámica en torno a las singularidades genéricas, el trabajo ha sido una pruebafiel de la teoría que poco a poco está emergiendo.

En síntesis, el interés que han despertado este tipo de sistemas está enfocado a describirlos cambios dinámicos que se producen, derivados de la evolución de sus soluciones en lasregiones invariantes donde están definidos, particularmente cuando el flujo de soluciones delsistema impactan ciertas superficies de conmutación donde él mismo presenta discontinuidad.

Luego, es aquí en la teoría cualitativa de los sistemas dinámicos suaves por partes ([10], [24],[26]) que se fundamenta básicamente el desarrollo de está investigación, enfocada a describiralgunos cambios dinámicos que se producen sobre el flujo de las soluciones de los sistemasdinámicos lineales conmutados por medio de una banda de histéresis.

El desarrollo de este estudio consta de dos capítulos. En la primera parte se describe elmodelo, en particular, se presentan los resultados y los avances alcanzados hasta el momentopor la comunidad científica tanto en la teoría basada en el fenómeno de histéresis como loscriterios que se encuentran contenidos en la teoría de los sistemas dinámicos no suaves.

La segunda parte de este estudio es el cuerpo de este trabajo, el cual se centra en el análisisdel modelo, esencialmente, se estudian las siguientes características del sistema:

Se presenta una justificación matemática del modelo.

Fundamentándose en las definiciones y los resultados de la teoría de los sistemasdinámicos suaves, se analizan las soluciones de los sistemas dinámicos no homogéneosque influyen en cada una de las regiones en las cuales se encuentran definidas; asímismo se determina la estabilidad respectiva de sus soluciones de equilibrio.

Dado que en este tipo de sistemas las condiciones de existencia y unicidad de lassoluciones no se garantizan generalmente, es decir, que las soluciones no dependencontinuamente de los datos del problema, se hace necesario tomar condiciones quepermitan garantizar la existencia de las soluciones y las cuales conmuten con cadauna de las fronteras de la banda de histéresis para ello se construye un diagrama detransición de estados.

Se definen los conjuntos solución de existencia de órbitas periódicas basados en loscriterios inmersos en el teorema de la función implícita.

Se caracterizan los distintos tipos de atractores y sus respectivas regiones, a partir desus condiciones iniciales y variación de parámetros incluidos dentro sistema.

Se presenta una clase de bifurcación inducida, en el caso de que los puntos de equilibriocorrespondan a centros. Esto conduce a la existencia y destrucción de órbitas periódicasal variar un parámetro en la segunda componente de los mismos.

1.2 Objetivos de la Tesis 7

1.2. Objetivos de la Tesis

1.2.1. Objetivo General

Caracterizar y clasificar las soluciones de algunos sistemas lineales conmutados por histéresisaplicando los conceptos sobre la teoría de los sistemas dinámicos suaves por partes.

1.2.2. Objetivos Específicos

▪ Clasificar los puntos de equilibrio del sistema lineal conmutado por histéresis en lasregiones invariantes de los sistemas suaves implícitos a él.

▪ Desarrollar un método sistemático que permita analizar detalladamente las solucionescercanas a los puntos de equilibrio hiperbólicos y no hiperbólicos, cuando impactan las dossuperficies de conmutación al variar los respectivos parámetros del sistema.

▪ Determinar la existencia de soluciones periódicas.

▪ Analizar los distintos tipos de dominios de atracción que presentan las solucionesdel sistema.

▪ Realizar implementaciones en MATLAB, MATCONT, PHASER u otro lenguaje decálculo con el fin de verificar los resultados teóricos obtenidos, así como también para buscarotro tipo de comportamiento de las órbitas del sistema.

8 1 Introducción

1.3. Metodología

Este estudio hace una parte integral del desarrollo en el campo de las matemáticas aplicadas,por ello en esta tesis se incluyó el siguiente esquema de procesos:

i. Proceso de Modelación: Se contextualizó y describió el modelo específicocorrespondiente al sistema que se analizó. En esa vía esta etapa está constituida porplantear el problema bajo los cánones de la modelación dinámica de este tipo de sistemas.

ii. Proceso Teórico: Este proceso permitió darle una consolidación a los objetivospropuestos, basándose en aspectos fiables de tipo matemático, físico, técnico entre otros quesoportarán los argumentos que se reflejen en el desarrollo y forma del cuerpo sistemáticodel problema. Con respecto a ellos se tomaron temas específicos dentro de la teoría de lossistemas dinámicos por partes cuyos referentes principales en este aspecto son [1], [24], [7],[16] y [19].

iii. Proceso Analítico: En este proceso se contrastó la teoría examinada, paraser reinterpretada y reelaborada y poderla utilizar óptimamente en el análisis delcomportamiento de las soluciones del sistema, teniendo en cuenta como pautas elseguimiento de cada uno de los objetivos propuestos.

iv Proceso Numérico: En esta fase, se utilizaron lenguajes de cálculo tales comoMATLAB, MATCONT, PHASER, entre otros; los cuales se aprovecharon para estudiaraproximadamente el comportamiento de las soluciones del sistema y por ende constatar losresultados en el proceso iii .

v. Proceso Final: En esta etapa, se discutió las ventajas y desventajas proporcionadaspor este estudio, como además se mostraron los resultados para verificar si se lograron acabalidad los objetivos propuestos como también los aportes que se dan, encaminados agenerar nuevas investigaciones e incentivar a la comunidad científica en el estudio de estetipo de sistemas, lo cual estará consignado en está tesis de maestría. Los resultados serandivulgados por medio de publicaciones de artículos en revistas indexadas, ponencias eneventos y participación en congresos a nivel nacional e internacional.

1.4 Estudio de literatura de sistemas dinámicos no suaves 9

1.4. Estudio de literatura de sistemas dinámicos no

suaves

Esta investigación y el análisis del sistema que modela los sistemas lineales conmutados porhistéresis se realiza básicamente de acuerdo con las teorías, técnicas y métodos desarrolladossegún las distintas singularidades que se pueden presentar en la teoría culitativa de lossistemas dinámicos suaves y suaves por partes de la cual se han tomado algunas definiciones,teoremas y apartados que servirán como soporte para cumplir el propósito de este trabajo.

Un primer aspecto a tener en consideración son las distintas clases de sistemas dinámicossuaves por partes [1] que se han encontrado hasta el momento, entre ellas se tienen:

⋅ Clase A. Sistemas con Impactos.

Los sistemas con impactos se caracterizan por poseer una discontinuidad por saltosdebido a las superficies rígidas que tienen esta clase de sistemas.

⋅ Clase B. Sistemas de Filippov.

Estos sistemas son sistemas de deslizamiento, y por ello las órbitas son continuas perono continuamente diferenciables.

⋅ Clase C. Sistemas sin Deslizamiento.

En estos sistemas en comparación a los anteriores, las órbitas son continuamentediferenciables pero las derivadas de primer, segundo y de orden superior de los camposvectoriales son discontinuas.

En ese caso, este estudio se enfocará en la tercera clase de estos sistemas conocidos flujossuaves a trozos continuos. Para ello, es necesario adquirir algunos conceptos preliminarespara analizar este tipo de sistemas, entre los más destacados se encuentran:

Definición 1.4.1. ( [7], Cáp. 2, Def. 2.1).Los flujos suaves por partes se describen por un conjunto finito de ecuaciones diferencialesordinarias de la forma

x = fi(x), x ∈ Ri ⊂ ℝn (1-1)

donde los campos vectoriales fi(x) son suaves, definidos en las regiones disjuntas Ri

separadas por las fronteras de conmutación Σi variedades diferenciales (n−1)-dimensionales.Luego, la unión entre ellos conforman el espacio de estados D ⊂ ℝ

n = Σi ∪ Ri.

10 1 Introducción

Ahora, la existencia y unicidad de la soluciones bien definidas de estos sistemas se aseguranpor los teoremas de Picard y Lindelöf [23], si ellas están alejadas de la frontera de conmutaciónsiempre que cada fi es suficientemente regular, pero no se cumplen donde el campo vectorialpresenta discontinuidad, es decir sobre Σi, por tanto, este problema se resuelve remplazandolopor la inclusión diferencial (Filippov),

x ∈ F (x), (1-2)

donde, F = fi, si x ∈ Ri. Ahora, y F es el conjutno de valores de x ∈∑

i evaluados enfi, dados por la envolvente convexa de f1, ..., fm cuando x se encuentra en la frontera de lasregiones R1, ..., Rm. Para el caso, cuando n = 4 una inclusión diferencial de dimensión trescon cuatro regiones es ilustrada en la Figura 1.4.

Figura 1-3.: Un sistema suave por partes donde los campos vectoriales saltan entre los valores de fi.

Fuente: Colombo [7].

Definición 1.4.2. ( [7], Cáp. 2, Def. 2.2).Una función x(t) es una solución de (1-1), si y sólo si, esta es una solución de la inclusióndiferencial (1-2).

Definición 1.4.3. ( [7], Cáp. 2, Def. 2.3).Las soluciones constantes de (1-1) sobre la frontera de conmutación, vienen dadas por

i) Equilibrio: Es un punto donde fi(x) = 0, para algún i.

ii) Pseudoequilibrio: Es un punto donde 0 ∈ F (x), x ∈ Σ.

Por ejemplo, en n-dimensiones, los valores del campo vectorial cambian entre f1 (en R1) yf2 (en R2) cruzando la superficie Σ. Así, la inclusión diferencial está dada por

x ∈ F (x) = {�f1 + (1− �)f2} (1-3)

1.4 Estudio de literatura de sistemas dinámicos no suaves 11

donde � = 1 en R1, � = 0 en R2 y � ∈ [0, 1] en Σ.

Así por (1-3) aparece un pseudoequilibrio cuando f1 y f2 son linealmente dependientes yapuntando en dirección opuesta como se ilustra en la Figura 1-4.

Figura 1-4.: Un pseudoequilibrio en un sistema con dos regiones aparece cuando los dos campos

vectoriales son antiparalelos .Fuente: Colombo [7].

Definición 1.4.4. ( [7], Cáp. 3, Def. 3.1).Un vector deslizante es cualquier vector fs ∈ F que se encuentra tangente a Σ.

Según la definición 1.4.2, las soluciones del sistema (1-1) que llegan a Σ pueden cruzar a travésde ella si F no contiene vectores deslizantes, o deslizan a lo largo de Σ si contienen vectoresdeslizantes. Así, la superficie de conmutación es particionada en tres regiones distintas comose sigue.

Definición 1.4.5. ( [16], Cáp. 2, Sec. 2.1).

En una región de Cruce, F no contiene vectores deslizantes.

En una región de deslizamiento, F en todas partes contiene al menos un vectordeslizante y todos los campos vectoriales cercanos fi apuntan hacia Σ.

En una región de escape, F en todas partes contiene al menos un vector deslizantey al menos uno de los campos vectoriales cercanos fi apunta hacia fuera de Σ.

Finalmente, un concepto que es de suma importancia es el de bifurcación, el cual se definecomo:

Definición 1.4.6. ( [16], Cáp. 4, Sec. 4.1). Una bifurcación se produce por una pequeñaperturbación del sistema lo cual produce un sistema no topológicamente equivalente al inicial.Además, se dice que dicha bifurcación es inducida por la discontinuidad si afecta elretrato de fase en más de una región.

12 1 Introducción

De este modo, existen distintas clases de bifurcaciones. Frecuentemente, se estudian aquellasen las cuales se varía un parámetro (o de codimensión-1 ), dirigiéndose primero a lasbifurcaciones de los equilibrios y pseudoequilibrios y continuando con los ciclos límites ([3],[21], [25]). Entre las más relevantes se encuentran:

Border Colisions: Colisiones en las fronteras.

Boundary Equilibrium: Bifurcaciones de los puntos de equilibrio en la frontera.

Grazing Bifurcations: Bifurcaciones de ciclos límite.

Sliding and Sticking: Bifurcaciones de deslizamiento y adherencia.

Boundary intersection crossing: Intercepción entre dos variedades.

De esta manera, se puede observar una pequeña muestra de las distintas singularidades quese presentan en los sistemas dinámicos suaves por partes.

2. Dinámica no suave de los sistemas

lineales conmutados por histéresis

El propósito central de este capítulo es básicamente presentar una justificación matemáticadel modelo y examinar la dinámica de los sistemas a partir de un exhaustivo análisisnumérico y cualitativo que permita establecer un criterio que conduzca a definir un espaciode transición de estados que sea coherente con la dinámica de este tipo de sistemas, comotambién las distintas singularidades que presenta el comportamiento de sus soluciones.

2.1. Planteamiento del modelo

Una vez observadas las distintas singularidades que se pueden presentar en la dinámica desistemas modelados a trozos, el enfoque consiste en determinar una aproximación sobre elcomportamiento de sus soluciones, para ello previamente hay que considerar los posiblescambios que se pueden producir a corto o largo plazo sobre sus soluciones cuando estasinteractúan con las distintas zonas donde se presenta la discontinuidad de sus respectivassoluciones, de esta manera el análisis que se desarrolla a continuación consiste en utilizar lasdiferentes herramientas tanto cualitativas como cuantitativas que permitan aproximarse alcomportamiento de las soluciones de los siguientes sistemas

w = f(w) =

{

f 1(w) w ∈ S1

f 2(w) w ∈ S2, w ∈ ℝ2 (2-1)

donde, f i(w) = Aw +Bi corresponden a los respectivos campos vectoriales suaves - linealesdefinidos en las regiones disjuntas Si descritas por las superficies de conmutación∑

i = {w ∈ ℝ2 ∣x2 = ℎi }, i = 1, 2, respectivamente.

Donde ℎ1 ⋅ ℎ2 < 0, ℎ2 = −ℎ1, ℎ1 < ℎ2, A =

(

� �

−� �

)

, � ∈ ℝ, � ∈ ℝ+, Bi =

(

0

bi

)

,

bi ∈ ℝ, siempre que, bi ∕= bj , ∀i ∕= j, i = 1, 2. Para el caso � ∕= 0, b1 = −b2 y en el caso � = 0

se tiene b1 ⋅ b2 < 0.

14 2 Dinámica no suave de los sistemas lineales conmutados por histéresis

S1 ={

w ∈ ℝ2∣

∣x2 > ℎ1, ℎ1 ∈ ℝ}

y S2 ={

w ∈ ℝ2∣

∣x2 < ℎ2, ℎ2 ∈ ℝ}

son sus respectivasregiones invariantes, las cuales se consideran disjuntas en el complemento de la banda dehistéresis. En adelante, en las figuras, se muestra en color azul el flujo de las trayectoriascorrespondientes al sistema f 1(w); y en color rojo las trayectorias correspondientes alsistema f 2(w).

x2

x1

h1

h2

Figura 2-1.: Sistema Lineal Suave por Partes Regiones S1-S2.

x2

x1

h1

h2

Figura 2-2.: Sistema Lineal Conmutado por Histéresis Regiones S1-S2.

Lo anterior propuesto como un modelo que generaliza sistemas dinámicos linealesconmutados por histéresis, donde sus respectivos puntos de equilibrio corresponden a focoso centros.

El espacio paramétrico está conformado por los parámetros bi, �, �, i = 1, 2, donde losparámetros bi están asociados a los puntos de equilibrio de los respectivos sistemas suaves,� permite determinar su estabilidad, � corresponde a la velocidad de rotación logarítmicaque poseen las soluciones cercanas a dichos puntos.

2.2 Soluciones: Sistemas Dinámicos Suaves 15

Para su desplazamiento se varía la segunda componente x2, fijando la primera x1, teniendoen cuenta, que se trasladan a través de la recta que pasa por el origen en la dirección delvector

→

v = (� − �)T .

De esta manera se desprende un amplia variedad de soluciones de equilibrio, para las cualesse analiza su respectivo diagrama de atracción y retrato de fases.

El carácter de este tipo de estudios permite extender el campo en la teoría que está surgiendocomo también ayuda a reducir el análisis que surgen en varios fenómenos. Entre ellos, elcontrol de oscilaciones subarmónicas refiriéndose al campo electrónico cuando se busca elrendimiento de cierto tipo de procesador o circuito electrónico, o en distintas aplicacionesque presentan la dinámica no suave bajo el fenómeno de histéresis como en la economía, laecología, la señalización neuronal, los potenciales genéticos y nuevos efectos no lineales delos superconductores ([15], [20]).

2.2. Soluciones: Sistemas Dinámicos Suaves

En este sección se realiza un análisis preliminar sobre el comportamiento de las soluciones delos respectivos sistemas dinámicos suaves que forman parte de los sistemas dinámicos suavesa trozos.

2.2.1. Soluciones de Equilibrio

Considerando los sistemas suaves f i(w) = Aw+Bi en las regiones disjuntas, sus respectivassoluciones de equilibrio son los puntos w ∈ ℝ

2 que verifican Aw + Bi = 0, es decir,w = −A−1Bi. De este modo, las soluciones de equilibrio para los respectivos sistema suavesson

w∗

i =bi

�2 + �2

(

�

−�

)

, (2-2)

notándose que se desprende un amplia variedad de soluciones de equilibrio los cuales setrasladan en la recta que pasa por el origen en la dirección del vector

→

v = (� − �)T .

La matriz jacobiana asociada a cada sistema en dichos puntos es la matriz A, cuyos valorespropios son los valores complejos conjugados � = � + �i, �.

Entonces, si � ∕= 0 el punto de equilibrio w∗

i es hiperbólico y corresponde a un foco; pero si� = 0, w∗

i es un punto de equilibrio no hiperbólico y corresponde a un centro.

Luego, las órbitas cercanas a estos puntos de equilibrio son curvas espirales de tipologarítmico o elipses o circunferencias, donde � es su respectivo ángulo de rotación.


Figura 2-3.: Focos-Centro

2.2.2. Soluciones de los Sistemas Lineales no Homogéneos

Considérese el sistema lineal de ecuaciones diferenciales no homogéneo

wi = Awi +Bi(t).

Entonces

w(t)i = eAt

⎛

⎝w0i +

t∫

0

e−A�Bi(�)d�

⎞

⎠

es una solución de este sistema que satisface la condición inicial wi(0) = w0i, de la cualtomando la forma canónica de Jordan de la matriz A y la condición inicial w0i = (x0i, y0i)

se transforma en(

x(t)

y(t)

)

i

= e�t(

cos (�t) sen (�t)

−sen (�t) cos (�t)

)

⎧

⎨

⎩

(

x (t)0y (t)0

)

i

+

t∫

0

(

e−��

(

cos (��) −sen (��)

sen (��) cos (�� )

)(

0

bi

)

d�

)

⎫

⎬

⎭

= e�t

{

(

cos (�t) sen (�t)

−sen (�t) cos (�t)

)(

x(t)0y(t)0

)

i

+bi

�2 + �2

(

� (e−�t − cos (�t)) + �sen (�t)

−� (e−�t − cos (�t)) + �sen (�t)

)

}

o de la misma forma en

(

x(t)

y(t)

)

i

= e�t(

x(t)0icos (�t) + y(t)0isen (�t) + bi�2+�2 [�e

−�t + �sen (�t)− �cos (�t)]

−x(t)0isen (�t) + y(t)0icos (�t) +bi

�2+�2 [−�e−�t + �cos (�t) + �sen (�t)]

)

(2-3)

2.3 Zona de Conmutación 17

2.3. Zona de Conmutación

Generalmente las soluciones de los sistemas conmutados se simulan bajo un esquema basadoen eventos, en este caso por medio del lenguaje de cálculo científico Matlab, los cualespermiten manejar con mayor propiedad el flujo del sistema. Para el sistema en cuestión hayque considerar los casos en que los puntos de equilibrio son opuestos con respecto a un eje,es decir, donde b1 ⋅ b2 < 0 con el fin de que el flujo conmute con las franjas, en el caso en quelos puntos de equilibrio correspondan a focos (� ∕= 0) estos serán opuestos respecto al eje x1

y en el caso de que ellos correspondan a centros (� = 0) con respecto al eje x2, para � > 0.

Para ver un breve reflejo del comportamiento de las órbitas se considera y supone que lospuntos de equilibrio de cada sistema vienen dados por xA y xR. De esta forma, se presentanlos siguientes casos:

a. Si b1 > 0, b2 < 0 y � < 0, los puntos de equilibrio se encuentran: xA en el I y xR en elIII cuadrante.

b. Si b1 < 0, b2 > 0 y � < 0, los puntos de equilibrio se encuentran: xA en el III y xR enel I cuadrante.

c. Si b1 > 0, b2 < 0 y � > 0, los puntos de equilibrio se encuentran: xA en el IV y xR enel II cuadrante.

d. Si b1 < 0, b2 > 0 y � > 0, los puntos de equilibrio se encuentran: xA en el II y xR enel IV cuadrante.

e. Si b1 < 0, b2 > 0 y � = 0, los puntos de equilibrio se encuentran en el eje x: xA entre elII y III y xR en el I y IV cuadrante.

f. Si b1 > 0, b2 < 0 y � = 0, los puntos de equilibrio se encuentran en el eje x: xA entre elI y IV y xR en el II y III cuadrante.

Cualquier caso diferente a los propuestos previamente serán un objeto de estudio de graninterés a partir del enfoque que se presenta en esta investigación, además una muestra de loscomportamientos de los sistemas restringidos a estas condiciones lo reflejarán las distintassimulaciones numéricas.

Tabla 2-1.: Espacio de Estados: Sistema No Suave - Zona de Conmutación � ∕= 0: 1

� = 1 � = −1 Ci : (0.5,-0.6) ℎ1 = −14

ℎ2 = −ℎ1

Simulacionesb1 ∖ b2 0 0.4 0.5 0.6 1-0.6 1


−0.5 0 0.5−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

−0.5 0 0.5−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Figura 2-4.: Espacio de Estados: Sistema No Suave - Zona de Conmutación � ∕= 0

−0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

−0.5 0 0.5 1−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

−0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

Figura 2-5.: Soluciones Periódicas Sistema no Suave � = 0: 2− 5


Tabla 2-2.: Soluciones Periódicas Sistema no Suave � = 0: 2− 5

� = 1 � = 0 Ci :(0.5, -0.6)Simulaciones

b1 ∖ b2 0 0.1 0.6-0.1 50 4

0.1 20.6 3

2.3.1. Diagrama de Transición de Estados

En esta sección se establecen las condiciones necesarias que permiten que el flujo del sistemaconmute con las respectivas fronteras de la banda de histéresis, este hecho se cumple silas ordenadas de los puntos de equilibrio se aproximán a las fronteras de conmutación,respectivamente. Para ello, se considera el siguiente diagrama de transición de estados:

Figura 2-6.: Diagrama de Transición de Estados

1. Estados:

Como se observó previamente, el sistema dinámico se divide en dos regiones en lascuales evoluciona el flujo de cada uno de los espacios vectoriales suaves de tipo lineal.

Además, teniendo en cuenta la posición de los puntos de equilibrio

xA = b1(�,−�)�2+�2 y xR = b2(�,−�)

�2+�2 ,

se toma en el plano el respectivo conjunto de condiciones iniciales que permiten que elflujo conmute entre las franjas.

De este modo, los estados que influiyen sobre el flujo del sistema dinámico no suavevienen determinados por:

E0 : Estado: condiciones iniciales w0 = (x0, y0).

E1 : Estado: flujo primer sistema dinámico suave: f 1.

E2 : Estado: flujo segundo sistema dinámico suave: f 2.

2. Transiciones (Eventos) o Inclusiones Diferenciales:


Transición del estado:

a : E0 → E1 c1 : E1 → E2 d : E1 → E1

b : E0 → E2 c2 : E2 → E1 e : E2 → E2

3. Restricciones Paramétricas:

En esta parte se tiene en cuenta tanto las posiciones de los puntos de equilibrio, comosu respectiva estabilidad en cada una de las zonas invariantes del sistema dinámico.En consecuencia se establecen las siguientes restricciones y se presentan sus respectivoscasos como:

Restricciones :

⎧

⎨

⎩

P1 : b1 < b2,

P2 : b1 > b2,

P3 : � < 0, b1 = −b2,

P4 : � > 0, b1 = −b2,

P5 : � = 0.

Casos :

⎧

⎨

⎩

CI : P31

CII : P32

CIIII : P41

CIV : P42

CV : P51

CV I : P52

Pij : Representan todos los posibles casos para los cuales el flujo del sistema conmutebajo la banda de histéresis. El índice i determina la estabilidad de los puntos deequilibrio si corresponden simultaneamente a focos o a centros, en cambio el indicej permite establecer la posición de los puntos de equilibrio que se trasladan sobre larecta que pasa por el origen en la dirección del vector −→v = (� − �)T .


4. Causas-Dirección de Estados: A continuación se muestran las diferentesrestricciones que se debe considerar entre las condiciones iniciales, los parámetros ylas componentes de las distintas posiciones de los puntos de equilibrio.

Causas :

⎧

⎨

⎩

I1 : y0 ≥ ℎ1 ∧ y0 > ℎ2,

I2 : y0 ≥ ℎ1 ∧ y0 < ℎ2,

I3 : y0 < ℎ1 ∧ y0 ≤ ℎ2,

I4 : xA2 < ℎ2 ∧ xR2 > ℎ1,

I5 : xA1 ⩽ x0 < 0,

I6 : xR1 ⩾ x0 > 0,

I7 : y0 ⩾ ℎ1 ∧ y0 > ℎ2,

I8 : y0 > ℎ1 ∧ y0 ⩾ ℎ2,

I9 : y0 < ℎ1 ∧ y0 ⩽ ℎ2,

I10 : y0 ⩽ ℎ1 ∧ y0 < ℎ2,

I11 : I1 ∧ I2,

I12 : I4 ∧ I5,

I13 : I4 ∧ I6,

I14 : y0 > 0,

I15 : y0 < 0,

I16 : I1 ∧ I14,

I17 : I2 ∧ I14,

I18 : I1 ∧ I15,

I19 : I2 ∧ I15,

I20 : I9 ∧ I15,

I21 : x0 ⩾ xA1 + y0,

I22 : x0 ⩽ xA1 − y0,

I23 : x0 ⩾ xR1 + y0,

I24 : x0 ⩽ xR1 − y0,

I25 : x0 ⩾ xA1 − y0,

Causas

⎧

⎨

⎩

I26 : x0 ⩽ xA1 + y0

I27 : x0 ⩾ xR1 − y0

I28 : x0 ⩽ xR1 + y0

Dir. Estados

{

"1 : y > 0

"2 : y < 0

Los valores de verdad que mostrarán las distintas pautas que se consideran en esteapartado se designarán como:

1 : True: Existencia de Solución,

0 : False: Inexistencia de Solución


5. Condicionales:

Para verificar si se cumplen o no las distintas transiciones o inclusiones diferenciales seestablecen los siguientes condicionales:

C09 : "1 ∧ CI = 1

C010 : "1 ∧ CII = 1

C011 : "1 ∧ CIII = 1

C012 : "1 ∧ CIV = 1

C057 : "1 ∧ CV = 1

C058 : "2 ∧ CV I = 1

⎫

⎬

⎭

c1 = 1

C013 : "1 ∧ CI = 1

C014 : "1 ∧ CII = 1

C015 : "1 ∧ CIII = 1

C016 : "1 ∧ CIV = 1

C059 : "2 ∧ CV = 1

C060 : "1 ∧ CV I = 1

⎫

⎬

⎭

c2 = 1

C017 : "2 ∧ CI = 1

C018 : "2 ∧ CII = 1

C019 : "2 ∧ CIII = 1

C020 : "2 ∧ CIV = 1

C061 : "2 ∧ CV = 1

C062 : "1 ∧ CV I = 1

⎫

⎬

⎭

d = 1

C021 : "2 ∧ CI = 1

C022 : "2 ∧ CII = 1

C023 : "2 ∧ CIII = 1

C024 : "2 ∧ CIV = 1

C063 : "1 ∧ CV = 1

C064 : "2 ∧ CV I = 1

⎫

⎬

⎭

e = 1


C01 : I11 ∧ CI = 1

C02 : I3 ∧ CII = 1

C03 : I7 ∧ I12 ∧ CIII = 1

C04 : I10 ∧ I13 ∧ CIV = 1

C025 : I21 ∧ I16 ∧ CV = 1

C026 : I21 ∧ I17 ∧ CV = 1

C027 : I22 ∧ I16 ∧ CV = 1

C028 : I22 ∧ I17 ∧ CV = 1

C029 : I23 ∧ I16 ∧ CV = 1

C030 : I23 ∧ I17 ∧ CV = 1

C031 : I24 ∧ I16 ∧ CV = 1

C032 : I24 ∧ I17 ∧ CV = 1

C033 : I25 ∧ I18 ∧ CV = 1

C034 : I25 ∧ I19 ∧ CV = 1

C035 : I26 ∧ I18 ∧ CV = 1

C036 : I26 ∧ I19 ∧ CV = 1

C037 : I27 ∧ I18 ∧ CV = 1

C038 : I27 ∧ I19 ∧ CV = 1

C039 : I28 ∧ I18 ∧ CV = 1

C040 : I28 ∧ I19 ∧ CV = 1

C041 : I21 ∧ I16 ∧ CV I = 1

C042 : I22 ∧ I16 ∧ CV I = 1

C043 : I23 ∧ I16 ∧ CV I = 1

C044 : I24 ∧ I16 ∧ CV I = 1

C045 : I25 ∧ I18 ∧ CV I = 1

C046 : I26 ∧ I18 ∧ CV I = 1

C047 : I27 ∧ I18 ∧ CV I = 1

C048 : I28 ∧ I18 ∧ CV I = 1

⎫

⎬

⎭

a = 1

C05 : I3 ∧ CI = 1

C06 : I11 ∧ CII = 1

C07 : I10 ∧ I13 ∧ CIII = 1

C08 : I8 ∧ I13 ∧ CIV = 1

C049 : I25 ∧ I20 ∧ CV = 1

C050 : I26 ∧ I20 ∧ CV = 1

C051 : I27 ∧ I20 ∧ CV = 1

C052 : I28 ∧ I20 ∧ CV = 1

C053 : I25 ∧ I20 ∧ CV I = 1

C054 : I26 ∧ I20 ∧ CV I = 1

C055 : I27 ∧ I20 ∧ CV I = 1

C056 : I28 ∧ I20 ∧ CV I = 1

⎫

⎬

⎭

b = 1

donde los condicionales C0k en las transiciones de estado ci, d y e determinan ladirección del flujo del sistema teniendo en cuenta los casos que le permmiten conmutarcon la banda de histéresis, en cambio para las transiciones de estado a y b de unacondición inicial a uno de los flujos suaves se tienen en cuenta todos los posibles casosen los cuales se restringen las ordenadas y las abscisas de la condición inicial conrespecto a las fronteras de conmutación cuando se aproximán o alejan de ellas.


6. Espacio de Transición de estados:

Una vez se ha verificado cada uno de los condicionales se da el paso a describir elespacio de transición de estados D ⊆ ℝ

2 mediante los siguientes diagramas:

dT i

⎧

⎨

⎩

dT1 : C01 ∧ C05 ∧ C09 ∧ C013 ∧ C017 ∧ C021,

dT2 : C02 ∧ C06 ∧ C010 ∧ C014 ∧ C018 ∧ C022,

dT3 : C03 ∧ C07 ∧ C011 ∧ C015 ∧ C019 ∧ C023,

dT4 : C04 ∧ C08 ∧ C012 ∧ C016 ∧ C020 ∧ C024,

dT5 : C0i ∧ C0j ∧ C057 ∧ C059 ∧ C061 ∧ C063, i = 25, ..., 40; j = 49, ..., 52,

dT6 : C0m ∧ C0n ∧ C057 ∧ C059 ∧ C061 ∧ C063, m = 41, ..., 48; n = 53, ..., 56.

Así, el espacio de transición de estados se puede describir de la siguiente manera:

D ={

w ∈ ℝ2 : dT i = 1

}

(2-4)

De este modo, se deduce que este sistema dinámico hace parte de los sistemas conocidoscomo sistemas dinámicos suaves por partes sin deslizamiento cuyo flujo se describe porun número finito de ecuaciones diferenciales ordinarias en cada región que separa cadafrontera de discontinuidad o conmutación del mismo.

De hecho, el teorema de existencia y unicidad sobre el flujo pierde en parte validez, locual está en relación con los distintos fenómenos que describen este tipo de sistemas, eneste caso en particular se adquiere el control sobre sí mismo mediante la adaptación deuna técnica basada en una banda histéresis la cual permitirá guardar la memoria delsistema para que su rendimiento sea óptimo sin que pierda algunas de su propiedadesiniciales junto con las distintas componentes que influyen sobre si mismo. (Véase A.1).

2.4. Soluciones Periódicas

Para determinar el aspecto de las órbitas periódicas en el sistema conmutado por histéresisse utilizará las soluciones de los Sistemas Lineales no Homogéneos (2-3) para lo cual seconsidera los casos en los cuales los puntos de equilibrio cambian de estabilidad, es decir,cuando � = 0, � > 0 y � < 0, además, donde el ángulo de rotación � es positivo y losrespectivos parámetros bi cambian de signo.

2.4 Soluciones Periódicas 25

Figura 2-7.: Órbitas Periódicas Sistema Conmutado

En este caso se considera las soluciones del sistema lineal no homogéneo (2-3) lascuales evolucionan a partir de las condiciones iniciales (x0, ℎ2), (x∗, ℎ1), respectivamente,suponiendo que dichas órbitas se interceptan en las fronteras de conmutación, así la órbitaperiódica que se genera puede expresarse implícitamente a través del sistema de ecuacionesno lineales F (z, �) = 0:

F1 (z, �) = e�t1{

x0cos (�t1) + ℎ2sen (�t1) + b1(

�2 + �2)

−1 [

�(

e−�t1 − cos (�t1))

+ �sen (�t1)]

}

− x∗

F2 (z, �) = e�t1{

−x0sen (�t1) + ℎ2cos (�t1) + b1(

�2 + �2)

−1 [

−�(

e−�t1 − cos (�t1))

+ �sen (�t1)]

}

− ℎ1

F3 (z, �) = e�t2{

x∗cos (�t2) + ℎ1sen (�t2) + b2(

�2 + �2)

−1 [

�(

e−�t2 − cos (�t2))

+ �sen (�t2)]

}

− x0

F4 (z, �) = e�t2{

−x∗sen (�t2) + ℎ1cos (�t2) + b2(

�2 + �2)

−1 [

−�(

e−�t2 − cos (�t2))

+ �sen (�t2)]

}

− ℎ2,

(2-5)

donde, F = (F1, F2, F3, F4), z = (x0, x∗, t1, t2), � = (b1, b2, ℎ1, ℎ2, �, �).

Estableciendo previamente los respectivos parámetros del sistema, se estudia su solución(z0, �0) con respecto a los resultados obtenidos en el análisis numérico que proporcionael paquete Maple, cuya solución permitirá determinar los requerimientos necesarios paraencontrar la respectiva órbita periódica.

Por otra parte, surge la siguiente pregunta ¿existe un conjunto abierto de la solución (z0, �0)

del sistema de ecuaciones no lineales?, es decir, ¿existen no sólo una sino varias órbitasperiódicas en un entorno abierto de (z0, �0)? o ¿cuándo la ecuación F (z, �) = 0 permiteresolver z en función de �, obteniendose una solución única? .


Para este caso, un criterio que permite garantizar dicha hipótesis localmente es el Teoremade la Función Implícita para el cual se varía(n) algún(os) parámetro(s) del sistema dinámicono suave, en un entorno cercano al punto solución (z0, �0) del sistema de ecuaciones nolineales 2-5.

Teorema 2.4.1. ([29], Cáp. 2, Sec. 2.6).

Sea F una aplicación de clase C1 definida en un conjunto abierto S ⊂ ℝ4+6 con valores

en ℝ4. Sea (z0, �0) ∈ S tal que F (z0, �0) = 0 y JF (z0,�0) ∕= 0. Entonces existen un entorno

abierto U ⊂ ℝ4+6 del punto (z0, �0) con � ∈ V ⊂ ℝ

6, tales que existe una única aplicacióng : V → ℝ

4, para la cual F (g (�), �) = 0 para todo � ∈ V , donde z0 = g (�0) y g (�) es C1

para todo � ∈ V y un único z ∈ ℝ4.

Como se mencionó en un principio la variación de los respectivos parámetros permitenestablecer los conjuntos solución que garantizan la existencia de órbitas periódicas, sujetos alas hipótesis establecidas en este teorema y bajo las condiciones impuestas en los diagramasde transición de estados se determinan:

1. El conjunto donde la función F es continuamente diferenciable viene dado por:

S := {(z, �) ∈ ℝ4+6 ∣t

1> 0, t2 > 0, b1 ⋅ b2 < 0, ℎ1 < ℎ2, ℎ1 ⋅ ℎ2 < 0, � > 0, � ∕= 0 ∨ � = 0}

2. Sea (z0, �0) ∈ S tal que F (z0, �0) = 0 y JF (z0,�0) ∕= 0, entonces por el Teorema de laFunción Implícita existen dos conjuntos abiertos, U y V, U de la forma:

U :={

(z, �) ∈ S ⊂ ℝ4+6 ∣F (z, �) = 0

}

,

V ⊂ ℝ6 se determinará según la estabilidad de los puntos de equilibrio, tal que z se

expresa de manera única en función de �. Para ello se considera los siguientes casos:

2.4.1. Caso I: � = 0.

En este caso, no es posible aplicar el teorema de la función implícita para encontrar V

de tal manera que z se pueda expresar de manera única en función de �, dado que paraalgunos valores (z0, �0) ∈ U , JF (z0,�0) = 0, lo que implica que el sistema F (z0, �0) = 0 notenga solución o tenga infinitas soluciones, esta implicación se sustenta en el hecho de queel sistema de ecuaciones no lineales F (z0, �0) = 0 se sutituye por un sistema de ecuacioneslineales cuya matriz de coficientes es la matriz jacobiana de F (z, �).

Luego, si existen infinitas soluciones o niguna la pregunta que surge es la siguiente ¿cuálesson los conjuntos para el cual hay un número infinito de órbitas periódicas o no hay ningunade ellas?. Para responder a esta pregunta se tienen en cuenta las siguientes consideraciones.


Consideraciones Iniciales

Previamente se considera las siguientes observaciones:

El punto de equilibrio wi∗es un centro, de este modo, las soluciones en las regiones invariantes

del sistema se describen como

(

x(t)

y(t)

)

i

=

(

x(t)0icos (�t) + y(t)0isen (�t) + bi�− bi

�cos (�t)

−x(t)0isen (�t) + y(t)0icos (�t) +bi�sen (�t)

)

,

las cuales representan la forma canónica de una circunferencia colineal en dicho punto, dadapor la expresión

(

x−bi

�

)2

+ y2 = R2i ,

donde

R2i (x(t)0i , y(t)0i) =

(

x(t)0i −bi

�

)2

+ y(t)20i.

Ahora, los puntos de intersección permitirán inducir la ubicación de las respectivas zonas deconmutación del sistema que garantizará parcialmente la existencia de soluciones periódicasen el sistema dinámico lineal conmutado bajo la banda de histéresis.

De este modo, la solución del sistema f 1(w) a partir de la condición inicial (x01, y01), vienedada por

(

x(t)

y(t)

)

i

=

(

x(t)01cos (�t) + y(t)01sen (�t) + b1�− b1

�cos (�t)

−x(t)01sen (�t) + y(t)01cos (�t) +b1�sen (�t)

)

,

o en forma canónica como(

x−b1

�

)2

+ y2 =

(

x(t)01 −b1

�

)2

+ y(t)201.

De la misma manera la curva solución del sistema f 2(w), partiendo de la condición inicial(x02, y02), viene dada por

(

x−b2

�

)2

+ y2 =

(

x(t)02 −b2

�

)2

+ y(t)202,

al interceptar estas curvas solución se obtiene los puntos

(xc, y1,2) =

⎛

⎝xc,±

√

(

x(t)0i −b1

�

)2

+ y(t)20i −

(

b1

�

)2

+

(

2b1�

)

xc − x2c

⎞

⎠


Figura 2-8.: Puntos de Corte

donde

xc =

{

�

2 (b1 − b2)

[

(

x(t)02 −b2

�

)2

−

(

x(t)01 −b1

�

)2

+ y(t)201 + y(t)202

]

+

(

b1 + b2

2�

)

}

los cuales dependen de las condiciones impuestas previamente en cada una de las solucionesde los sistemas dinámicos suaves, de donde las ordenadas de estos puntos se pueden imponercomo las respectivas fronteras de conmutación, así

(x(t)0i, y(t)0i) = (xc, ℎi), i = 1, 2,

donde

xc =

{

�

2 (b1 − b2)

[

(

xc −b2

�

)2

−

(

xc −b1

�

)2

+ ℎ21 + ℎ2

2

]

+

(

b1 + b2

2�

)

}

.

Simplificándose se obtiene la ecuación

ℎ21 = ℎ2

2

lo cual conduce a que las fronteras de conmutación son simétricas con respecto a una recta,en este caso al eje de las abscisas, es decir

ℎ1 = −ℎ2.

Como se mencionó anteriormente, esta condición no garantiza completamente la existencia desoluciones periódicas, entonces al escoger las condiciones iniciales consideradas previamentese tiene:


1. b1 < b2

El sistema no suave evoluciona con las soluciones del primer sistema dinámico suave suordenada debe superar la frontera de conmutación inferior (ed., y0 > ℎ1); análogamente, sise inicia con las soluciones del segundo sistema dinámico suave (ed., y0 < ℎ2).

Luego, suponiendo que las soluciones estan limitadas bajo las condiciones del teorema de lafunción implícita existiría un conjunto abierto a una solución (z0, �0) del sistema no linealque permite garantizar la existencia de órbitas periódicas cercanas a este punto al variar unode los parámetros en � (particularmente, fijando un bi y variando el otro) el cual vendríadado simplemente por

V ={

� ∈ ℝ6 ∣b1 < b2, ℎ1 = −ℎ2

}

.

2. b1 > b2

Análogamente, si el sistema no suave evoluciona con las soluciones del segundo sistemadinámico suave su ordenada debe superar la frontera de conmutación inferior (ed., y0 > ℎ1)o de lo contrario las órbitas respectivas a cada sistema se conducirán a sus respectivos puntosde equilibrio; análogamente, si se inicia con las soluciones del primer sistema dinámico suave(ed., y0 < ℎ2).

Nuevamente, suponiendo que las soluciones estan limitadas bajo las condiciones del teoremade la función implícita existiría un conjunto abierto a una solución (z0, �0) del sistema nolineal que permite garantizar la existencia de órbitas periódicas cercanas a este punto alvariar uno de los parámetros en � (particularmente, fijando un bi y variando el otro) el cualvendría dado simplemente por

V ={

� ∈ ℝ6 ∣b1 > b2, ℎ1 = −ℎ2

}

Conjuntos Solución: Existencia de Órbitas Periódicas

Dado que al interceptarse las curvas o las dos circunferencias colineales en su respectivaszonas de conmutación estas lo hacen en un punto en común que se conecta por medio de sueje radical, dichas curvas se conocen como circunferencias secantes.

Este tipo de curvas tienen como propiedad fundamental que la distancia entre los centros(puntos de equilibrio) debe ser menor que la suma de las distancias de los radios; para estecaso, los radios se determinan con respecto a los puntos de intersección de cada una de lasfronteras, respectivamente.


La anterior conjetura está basada en la desigualdad triangular dado que cuando se cortan losrespectivos radios con el eje radical y la distancia entre los centros, conforman un triángulorectángulo.

De este modo, esta es una de las respuestas al interrogante que se propuso inicialmente quepermiten garantizar la existencia de soluciones periódicas, dado que entre las abcisas de lospuntos de equilibrio se interceptan todas las circunferncias secantes posibles con centro enestos puntos, cuyo eje radical de cada una de ellas describirá una órbita periodica para elflujo del sistema no suave cuando conmuta con las fronteras de la banda de histéresis, deeste modo conmutarán un sin número de este tipo de órbitas en ese conjunto:

U1 :=

{

(z, �) ∈ U

∣

∣

∣

∣

x0 = x∗,b1

�< x0 <

b2

�, b1 < b2

}

o

U2 :=

{

(z, �) ∈ U

∣

∣

∣

∣

x0 = x∗,b2

�< x0 <

b1

�, b2 < b1

}

.

De este modo si en dichos conjuntos existen infinitas órbitas periódicas, fuera de ellosno existirá niguna. Esto se consideró previamente ya que para algunos puntos tales como(z0, �0) ∈ U el determinante de la matriz jacobiana era nulo lo que conducia a que el sistemade ecuaciones no tenga solución o tenga infinitas soluciones, luego en este caso no se puedeexpresar de manera única a z en función de � para cierto entorno abierto de (z0, �0).

En el caso de que � ∕= 0 para (z0, �0) ∈ U se tiene que JF (z0,�0) ∕= 0 lo que implica queel sistema F (z0, �0) = 0 tenga solución única del mismo modo el sistema de ecuacionesF (z0, �0) = 0 se sutituye por un sistema de ecuaciones lineales cuya matriz de coficientes esla matriz jacobiana de F (z, �).

Así, por el Teorema de la Función Implícita existen dos conjuntos abiertos, U y V , U comose definio inicialmente y V ⊂ ℝ

6 el cual se determinará según la estabilidad de los puntos deequilibrio, tal que z se puede expresar de manera única en función de �, por tanto se tienenen cuenta los siguientes casos:

2.4.2. Caso II: � < 0.

1. b1 < b2

En este caso el sistema no suave evoluciona con las soluciones del primer sistema dinámicosuave, su ordenada debe superar la frontera de conmutación inferior (ed., y0 > ℎ1) o de locontrario las órbitas respectivas a cada sistema se conducirán a sus respectivos puntos deequilibrio. Análogamente, si se inicia con las soluciones del segundo sistema dinámico suave(ed., y0 < ℎ2).


Luego, el entorno abierto a una solución (z0, �0) del sistema no lineal que permite garantizarla existencia de órbitas periódicas cercanas a este punto al variar uno de los parámetros en� (particularmente, �) viene dado por

V ={

� ∈ ℝ6∣

∣

∣b1 <

(

�2+�2

�

)

ℎ1 ∧ b2 >(

�2+�2

�

)

ℎ2

}

Este entorno se obtiene variando el parámetro � e implementando rutinas en Matlab, tambiénse estudia el comportamiento periódico de las soluciones cuando las ordenadas de los puntosde equilibrio se aproximan hacia sus respectivas fronteras de conmutación al variar losparámetros b1 y b2, tomando fijo los parámetros restantes.

Para observar este tipo de comportamiento se toman particularmente como parámetros fijos:ℎ2 =

14, ℎ1 = −1

4, � = −1.

i. � = 1

Puntos de equilibrio: xA = ( b12, b1

2) y xR = ( b2

2, b2

2)

Desplazamiento en→

v = (� − �)T : b1 → ℎ−

1 y b2 → ℎ+2

Conjunto solución: V ={

� ∈ ℝ6∣

∣b1 < 2ℎ1 ∧ b2 > 2ℎ2

}

ii. � = 2

Puntos de equilibrio: xA = (2b15, 2b1

5) y xR = (2b2

5, 2b2

5)


v = (� − �)T : b1 → ℎ−

1 y b2 → ℎ+2


� ∈ ℝ6∣

∣b1 <5ℎ1

2∧ b2 >

5ℎ2

2

}

iii. � > 0

Puntos de equilibrio: xA = b1�2+�2

(

�

−�

)

y xR = b2�2+�2

(

�

−�

)


v = (� − �)T : b1 → ℎ−

1 y b2 → ℎ+2


� ∈ ℝ6∣

∣

∣b1 <

(

�2+�2

�

)

ℎ1 ∧ b2 >(

�2+�2

�

)

ℎ2

}

2. b1 > b2

Análogamente al caso anterior cuando el sistema no suave evoluciona con las solucionesdel segundo sistema dinámico suave su ordenada debe superar la frontera de conmutacióninferior (ed., y0 > ℎ1) o de lo contrario las órbitas respectivas a cada sistema se conducirán asus respectivos puntos de equilibrio. Análogamente, si se inicia con las soluciones del primersistema dinámico suave (ed., y0 < ℎ2).


Luego, el entorno abierto a una solución (z0, �0) del sistema no lineal que permite garantizarla existencia de órbitas periódicas cercanas a este punto al variar uno de los parámetros en� (particularmente �) viene dado por

V ={

� ∈ ℝ6∣

∣

∣b1 <

(

�2+�2

�

)

ℎ2 ∧ b2 >(

�2+�2

�

)

ℎ1

}

De la misma forma que en el caso anterior, este entorno se obtiene variando el parámetro �

e implementando rutinas en Matlab, también se estudia el comportamiento periódico de lassoluciones cuando las ordenadas de los puntos de equilibrio se aproximan hacia sus respectivasfronteras de conmutación al variar los parámetros b1 y b2, tomando fijo los parámetrosrestantes.

Para observar este tipo de comportamiento se toman particularmente como parámetros fijos:ℎ2 =

14, ℎ1 = −1

4� = −1.

i. � = 1


2) y xR = ( b2

2, b2

2)


v = (� − �)T : b1 → ℎ−

2 y b2 → ℎ+1


� ∈ ℝ6∣

∣b1 < 2ℎ2 ∧ b2 > 2ℎ1

}

ii. Si � = 2


5) y xR = (2b2

5, 2b2

5)


v = (� − �)T : b1 → ℎ−

2 y b2 → ℎ+1


� ∈ ℝ6∣

∣b1 <5ℎ2

2∧ b2 >

5ℎ1

2

}

iii. � > 0


(

�

−�

)

y xR = b2�2+�2

(

�

−�

)


v = (� − �)T : b1 → ℎ−

2 y b2 → ℎ+1


� ∈ ℝ6∣

∣

∣b1 <

(

�2+�2

�

)

ℎ2 ∧ b2 >(

�2+�2

�

)

ℎ1

}

2.4.3. Caso III: � > 0.

1. b1 < b2

El sistema no suave evoluciona con las soluciones del primer sistema dinámico suave suordenada debe superar la frontera de conmutación inferior (ed., y0 > ℎ1) o de lo contrariolas órbitas respectivas a cada sistema se conducirán a sus respectivos puntos de equilibrio.


Análogamente, si se inicia con las soluciones del segundo sistema dinámico suave (ed., y0 <ℎ2).

Luego, el entorno abierto a una solución (z0, �0) del sistema no lineal que permite garantizarla existencia de órbitas periódicas cercanas a este punto al variar uno de los parámetros en� (particularmente �) viene dado por

V ={

� ∈ ℝ6∣

∣

∣b1 >(

�2+�2

�

)

ℎ1 ∧ b2 <(

�2+�2

�

)

ℎ2

}

Igualmente, este entorno se obtiene variando el parámetro � e implementando rutinasen Matlab, también se estudia el comportamiento periódico de las soluciones cuando lasordenadas de los puntos de equilibrio se aproximan hacia sus respectivas fronteras deconmutación al variar los parámetros b1 y b2, tomando fijo los parámetros restantes.

Para observar este tipo de comportamiento se escogen particularmente como parámetrosfijos: ℎ2 =

14, ℎ1 = −1

4, � = 1.

i. � = 1


2) y xR = ( b2

2, b2

2)


v = (� − �)T : b1 → ℎ−

2 y b2 → ℎ+1


� ∈ ℝ6∣

∣b1 > 2ℎ1 ∧ b2 < 2ℎ2

}

ii. � = 2


5) y xR = (2b2

5, 2b2

5)


v = (� − �)T : b1 → ℎ−

2 y b2 → ℎ+1


� ∈ ℝ6∣

∣b1 >5ℎ1

2∧ b2 <

5ℎ2

2

}

iii. � > 0


(

�

−�

)

y xR = b2�2+�2

(

�

−�

)


v = (� − �)T : b1 → ℎ−

2 y b2 → ℎ+1


� ∈ ℝ6∣

∣

∣b1 >

(

�2+�2

�

)

ℎ1 ∧ b2 <(

�2+�2

�

)

ℎ2

}


2. b1 > b2

El sistema no suave evoluciona con las soluciones del segundo sistema dinámico suave y suordenada debe superar la frontera de conmutación inferior (ed., y0 > ℎ1) o de lo contrariolas órbitas respectivas a cada sistema se conducirán a sus respectivos puntos de equilibrio.Análogamente, si se inicia con las soluciones del primer sistema dinámico suave (ed., y0 < ℎ2).

Luego, el entorno abierto a una solución (z0, �0) del sistema no lineal que nos permitegarantizar la existencia de órbitas periódicas cercanas a este punto al variar uno de losparámetros en � (particularmente �) viene dado por

V ={

� ∈ ℝ6∣

∣

∣b1 >

(

�2+�2

�

)

ℎ2 ∧ b2 <(

�2+�2

�

)

ℎ1

}

Como en el caso anterior, este entorno se obtiene variando el parámetro � e implementandorutinas en Matlab, también se estudia el comportamiento periódico de las soluciones cuandolas ordenadas de los puntos de equilibrio se aproximan hacia sus respectivas fronteras deconmutación al variar los parámetros b1 y b2, tomando fijo los parámetros restantes.

Para observar este tipo de comportamiento se escogen particularmente como parámetrosfijos: ℎ2 =

14, ℎ1 = −1

4� = 1.

i. � = 1


2) y xR = ( b2

2, b2

2)


v = (� − �)T : b1 → ℎ−

2 y b2 → ℎ+1


� ∈ ℝ6∣

∣b1 > 2ℎ2 ∧ b2 < 2ℎ1

}

ii. Si � = 2


5) y xR = (2b2

5, 2b2

5)


v = (� − �)T : b1 → ℎ−

2 y b2 → ℎ+1


� ∈ ℝ6∣

∣b1 >5ℎ2

2∧ b2 <

5ℎ1

2

}

iii. � > 0


(

�

−�

)

y xR = b2�2+�2

(

�

−�

)


v = (� − �)T : b1 → ℎ−

2 y b2 → ℎ+1


� ∈ ℝ6∣

∣

∣b1 >

(

�2+�2

�

)

ℎ2 ∧ b2 <(

�2+�2

�

)

ℎ1

}

2.5 Dominio de Atracción 35

4. Luego, si � ∕= 0 para cada � ∈ V que le corresponde un único z, tal que:

i. Si (z, �) ∈ U , F (z, �) = 0.

ii. Existe una aplicación g en V y suponiendo que se puede definir a z en función de� como z = g(�), entonces g es una aplicación C1 de V en ℝ

4, donde z0 = g(�0).

iii. Además, F (g(�), �) = 0 para cada � ∈ V .

(Véase A.2)

2.5. Dominio de Atracción

2.5.1. Preliminares

En la dirección de abordar la estabilidad de los diferentes comportamientos asintóticos quepresenta el flujo del sistema se hace necesario considerar el concepto de atractor.

De manera general un atractor se puede considerar como un subconjunto del espacio deestados de un sistema dinámico, el cual, a partir de ciertas condiciones iniciales a medidaque transcurra el tiempo dichas soluciones tiendan o se acerquen a él. Por este hecho, caberesaltar que un sistema dinámico tenga en su espacio de estados uno o más atractores. Entrelos más comunes se encuentran: puntos de equilibrio, órbitas periódicas o cuasiperiódicasy aquellos que muestran un comportamiento caótico también conocidos como atractoresextraños.

Por otra parte, para cada uno de estos atractores existe un conjunto de condiciones inicialesque a medida que transcurre el tiempo, obliga que su flujo a través de ellas se aproxime adicho atractor; este conjunto es el que se conoce como Cuenca, Base, Conjunto o Dominiode Atracción, cuya estructura depende de los diferentes atractores que contenga el sistemadinámico, y el cual puede variar de un sistema a otro. Es en este punto que se centrará elanálisis cualitativo del comportamiento asintótico del flujo de un sistema dinámico lineal atrozos conmutado bajo una banda de histéresis, para este caso se considera las siguientesdefiniciones.

Definición 2.5.1. ([31], Cáp. 1, Def. 1.1.11). Un conjunto A ⊂ ℝn cerrado e invariante se

dice que es un conjunto atractor si y sólo si existe una vecindad U de A tal que:

∀t ⩾ 0, � (t, U) ⊂ U y ∩t>0 � (t, U) = A.

donde, �t (x) corresponde al flujo del sistema x = f (x) , x ∈ D ⊂ ℝn.


Definición 2.5.2. ([31], Cáp. 1, Def. 1.1.12). La base o dominio de atracción de unconjunto atractor A viene dado por:

∪t⩽0 � (t, U)

donde U es cualquier conjunto abierto que satisface la definición 2.5.1.

En este caso los sistemas dinámicos presentan un comportamiento global, cuyo análisis bajola teoría de los sistemas dinámicos es poco efectiva. En este caso se recurre a técnicas ométodos numéricos que permitan representar de alguna forma dicho comportamiento.

En ese camino una de las rutinas más efectiva es la conocida como el método mapeo celdaa celda el cual permite ahorrar costo computacional cuando se quiere analizar este tipode comportamientos. Para mayores detalles se puede revisar el análisis de rutinas para laplataforma SICONOS [27].

Esta técnica fue implementada por C.S Hsu [17], basada en el principio de interpolación omapeo de celdas, en el cual se divide la región o vencidad que contiene el atractor medianteuna malla. Para este caso, escogiendo como condición inicial el punto medio de cada una delas celdas y considerándose en un inicio inexploradas, se marcan con un valor en específico.Una vez escogidas, se aplica el flujo del sistema en cada una de ellas marcándose con un valordistinto que indicará que se encuentrán en modo exploración. Ahora, es aquí donde entraa jugar un papel importante el atractor al cual se conducen algunas de ellas, debido a sucomportamiento. De este modo, se las diferenciará de otras celdas las cuales se encuentranen modo exploración, por ello se les asignará otro valor distinto al de exploración; luego, sien algún instante se llega a una celda a la cual ya se le ha asignado un valor, entonces semarca todas las que están en modo exploración con el mismo valor de la celda marcada; enel caso de que termine en una celda en exploración se marca con un valor diferente y se iteranuevamente el proceso. Este es uno de los criterios que se conoce en el método de mapeo deceldas como el criterio de celdas disjuntas. ( Figura 2-9).

2.5 Dominio de Atracción 37

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12

13 14 15 16 17 18

19 20 21 22 23 24

25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36

b

(x∗, y∗)

Ymax

Yminxmaxxmin

i

j

ℎ1

ℎ2

Figura 2-9.: Mapeo de Celdas

Se considera la malla de la región numerando sus respectivas celdas de izquierda a derecha(i = 1, ..., Nx, Nx : Número de columnas) y de arriba hasta abajo (j = 1, ..., Ny, Ny : Númerode filas), construyendo una matriz nula (de tamaño Nx × Ny) la cual permitirá recorrer laposición (i, j) de cada celda.

Tomando como paso de integración para el respectivo desplazamiento tanto horizontal comovertical ℎ1 = xmax−xmin

Nxy ℎ2 = ymax−ymin

Ny, se asigna a cada celda el punto medio (x∗, y∗) =

(xmin + ℎ12i+12

, ymin + ℎ22j+12

), el cual actuará bajo el flujo del sistema. Localizando la celdaque contiene la imagen de cada una de ellas se usa el criterio de celdas disjuntas para aquellasque representen el mismo atractor, asignando a cada valor un color diferente, por ejemplok = 0, 1, 2, 3..., según sea el caso.

Como se mencionó anteriormente, según los supuestos teóricos se va a mostrar algunosresultados por medio de este tipo de diagramas cuando se varían ciertos parámetros.

Dado que la estabilidad de los puntos de equilibrio en los respectivos retratos de fase delos sistemas dinámicos suaves depende del parámetro �, se considera en el caso de quedichos puntos correspondan a conjuntos atractores, es decir, cuando son puntos de equilibriohiperbólicos estables o cuando el parámetro � < 0.

Adicionalmente, se tiene en cuenta que en la zona de conmutación el sistema integra lassoluciones de los dos sistemas dinámicos suaves, de esa manera se omite un criterio quepermita seleccionar el flujo de uno de ellos, debido a que los resultados numéricos muestranque los distintos dominios de atracción son completamente equivalentes preservando losparámetros y condiciones que se utilizaron inicialmente. (Obsérve A.3).


2.5.2. Dominio de Atracción Paramétrico: 2-Dimensional

En esta sección se considera la exploración de cada uno de los atractores al variar losparámetros que influyen en la segunda coordenada de los sistemas suaves, que son de granrelevancia en el sentido práctico de este tipo de sistemas. Particularmente, se escogen losparámetros b1, b2 y � < 0. Además, los efectos que se observan en este diagrama, son el cambiode estabilidad que se produce en los puntos de equilibrio sobre los sistemas dinámicos suaves,como también los cambios producidos en las órbitas periódicas bajo la banda de histéresisque influyen en el mismo. (Ver A.4).

2.6. Bifurcación Inducida por Discontinuidades:

Bifurcación de Órbitas Periódicas.

Todas las bifurcaciones sobre el flujo de las soluciones de los sistemas dinámicos suavescontenidos en las regiones invariantes pueden ser estudiadas con base a la teoría de lasbifurcaciones para sistemas dinámicos suaves; sin embargo, existen otras bifurcacionesque son exclusivas de los sistemas dinámicos suaves por partes, ya que suelen incluirseinteracciones no genéricas de un conjunto invariante con una frontera de discontinuidaddel sistema. Por ello se utilizará el concepto no como bifurcación si no de manera másamplia como Bifurcación Inducida por Discontinuidad (Definición 1.4.6), ya que este términopermite identificar cualitativamente la elección topológica de los conjuntos invariantes conrespecto a las fronteras de conmutación.

Basados en este supuesto, se estudia el tipo de Bifurcación de Órbitas Periódicas,específicamente se analiza el comportamiento del sistema dinámico suave por partes cuandose perturba(n) uno(s) parámetro(s) lo cual producirá una no equivalencia topológica sobrelas órbitas periódicas que son tangentes a las fronteras de conmutación. En el apéndice A.5se muestrán algunos diagramas de ellos.

2.6.1. Bifurcación de Órbitas Periódicas.: � = 0

Para este caso se estudiarán dos tipos de diagramas de bifurcación de codimensión-1 dondese muestra la variación del parámetro b1 con respecto a los estados finales cuando la órbitaperiódica es tangente a las zonas de conmutación y la otra de codimensión-2 al variar losparámetros b1 y b2, la cual permitirá determinar la zona paramétrica en la cual coexisteneste tipo de órbitas, conservando de manera alternativa los parámetros adicionales junto ala condición inicial que forma la órbita.(Véase A.5)

3. Conclusiones y recomendaciones

3.1. Conclusiones

A través del desarrollo de este trabajo se generaron resultados de especial interés, enmarcandomodelación, simulación y análisis dentro del avance de la teoría de los sistemas dinámicos nosuaves objeto de investigación en diversos campos de las ciencias; a partir de este enfoque seadopta fundamentos que soportan y sustentan la estructura de este estudio, esencialmenteproporcionando ciertos elementos y propiedades que se tienen en cuenta en la caracterizacióngeométrica de las soluciones de este tipo de sistemas, en este caso de los sistemas dinámicosque modelan fenómenos cuyo comportamiento es de tipo lineal y los cuales conmutan bajouna banda de histéresis. De esta forma, algunos aportes de relevancia que brinda este análisisson:

Un papel decisivo en el estudio del comportamiento de las soluciones del sistema se diópor la determinación de su espacio de estados en vía a la conmutación con cada franjaque conforma la banda de histéresis, para este modelo las soluciones se simulan bajolas condiciones que generan los respectivos diagramas de transición de estados.

En un segundo plano, se analiza el comportamiento y obtienen el conjunto desoluciones de los respectivos sistemas dinámicos suaves, al mismo tiempo se clasificanlas soluciones de equilibrio mediante su respectiva posición sobre la recta que pasa porel origen y en la dirección del vector proporcional a su desplazamiento cuando se varíala segunda componente de estas soluciones.

Una técnica adicional como lo es el Teorema de la Función Implícita permite brindarlas condiciones necesarias para obtener los conjuntos que garantizan la existencia deórbitas periódicas para cada diagrama de transición de estados, respectivamente.

Se muestran las regiones de coexistencia de los distintos tipos de atractores que sepresentan en el flujo del sistema por medio de los dominios de atracción calculados pormedio de un mapeo de celdas, de los cuales se presentan: un diagrama de atracciónque proporciona una condición general y exhaustiva para la detección de un atractoren particular; análogamente, si el diagrama es de tipo paramétrico 2-dimensional elcual permite elegir los parámetros adecuados para que la respectiva solución se dirijaal atractor correspondiente.

40 3 Conclusiones y recomendaciones

Se presentó el análisis de un tipo de bifurcación inducida de tipo local 2-dimensional,en la cual después de sobrepasar un parámetro en particular a otro, más bien, loscorrespondientes a los puntos de equilibro se observó la respectiva destrucción dela órbita periódica al variar uno de ellos, esto en el caso, de que dichos puntos deequilibrio se comportaran como centros. Es frecuente que en este tipo de sistemassurjan distintos tipos de bifurcaciones de las cuales la mayoría son reportadas y otrasde ellas no, se podría decir que una de ellas es de estilo, generalmente esto depende delcomportamiento del sistema que se esté estudiando en el momento.

Con respecto a las rutinas implementadas, en un inicio se actuó bajo un esquema basadoen eventos para simular las soluciones del flujo del sistema; sin embargo, rutinas decontinuación se desarrollaron exclusivamente para el diseño de los dominios de atracciónde tipo paramétrico, de igual manera, el método estándar de mapeo de celdas permitióconstruir las distintas cuencas de atracción a partir de las condiciones iniciales en ciertaregión del espacio que generaba el respectivo diagrama de transición de estados.

3.2. Recomendaciones

Quedan abiertos diversos temas de investigación basados en este enfoque y objetos de análisisgenerados por este estudio, entre algunos de ellos:

Validar los resultados numéricos obtenidos, con los diferentes fenómenos que se adecuana este tipo de sistemas, principalmente aquellos que se ajusten a los principios de lateoría de control de sistemas dinámicos.

En un estudio posterior, realizar un completo análisis de los distintos tipos debifurcación inducida por discontinuidades que puedan surgir del comportamiento delas soluciones de este tipo de sistemas, clasificándose desde las de tipo local hasta lasde clase global.

Estudiar el sistema que modela los sistemas lineales conmutados bajo una banda dehistéresis aplicando teorías de mayor complejidad, como la teoría del caos.

Se hace necesaria una completa clasificación de los sistemas lineales conmutados bajouna banda de histéresis mediante transformaciones sobre cualquier región contenidaen el plano, sin tener en cuenta si los puntos de equilibrios correspondientes a losrespectivos sistemas dinámicos suaves sean o no centros o focos.

Otro punto de importancia son las rutinas implementadas para el desarrollo de lasrespectivas regiones de atracción las cuales pueden ser usadas como referentes en elanálisis de dominios de atracción en distintas clases de fenómenos que sean modeladospor sistemas dinámicos no suaves.

3.2 Recomendaciones 41

Finalmente consideramos que con este tipo de trabajos se está aportando y dandoun mayor impulso para incursionar en el análisis de temas relacionados con diferentescampos de las ciencias naturales, ciencias sociales y sus aplicaciones, lo que permitirá,de alguna medida, un mayor conocimiento e interpretación de los diferentes fenómenosque en ellas ocurren y las cuales contribuyen a que esta teoría avance.

A. Apéndice: Simulaciones Numéricas

A.1. Zona de Conmutación

Bajo el ambiente de eventos mediante el paquete numérico MATLAB se presenta losdistintos comportamientos que se describen por cada uno de los diagramas de transición deestados que se enunciaron previamente, para los cuales se pueden apreciar en color azul lastrayectorias correspondientes a las soluciones sistema dinámico suave f 1(w) y en color rojo lascorrespondientes al sistema dinámico suave f 2(w). Donde, XA = (XA1, XA2) y XR = (XR1, XR2)

corresponden a sus puntos de equilibrio, respectivamente.

Caso � > 0, � > 0, b1 < b2.

−3 −2 −1 0 1 2 3−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

X1

X2

α =1.5, β = 1, b1 =-0.4= −b2, h1 =-1.25= −h2

−3 −2 −1 0 1 2 3−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

X1

X2

α =1, β = 1, b1 =-2= −b2, h1 =-1.25= −h2

Figura A-1.: Transición de estados: ℎ1 < xA2< ℎ2 y ℎ1 < xR2

< ℎ2

A.1 Zona de Conmutación 43

−3 −2 −1 0 1 2 3−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

X1

X2

α =1.5, β = 1, b1 =-0.4= −b2, h1 =-0.75= −h2

−3 −2 −1 0 1 2 3−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

X1

X2

α =1 β = 1, b1 =-2= −b2, h1 =-0.75= −h2

Figura A-2.: Transición de estados: xA2> ℎ2 y xR2

< ℎ1

Caso � > 0, � > 0, b1 > b2.

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

X1

X2

α =1 β = 1, b1 =2= −b2, h1 =-1.25= −h2

−3 −2 −1 0 1 2 3−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

X1

X2

α =1 β = 1, b1 =2= −b2, h1 =-1.25= −h2


< ℎ2

−3 −2 −1 0 1 2 3−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

X1

X2

α =1 β = 1, b1 =2= −b2, h1 =-0.75= −h2

−3 −2 −1 0 1 2 3−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

X1

X2

α =1 β = 1, b1 =2= −b2, h1 =-0.75= −h2

Figura A-4.: Transición de estados: xR2> ℎ2 y xA2

< ℎ1

44 A Apéndice: Simulaciones Numéricas

Caso � < 0, � > 0, b1 < b2.

−3 −2 −1 0 1 2 3−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

X1

X2

α =-1, β = 1, b1 =-2= −b2, h1 =-1.25= −h2

−3 −2 −1 0 1 2 3−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

X1

X2

α =-1, β = 1, b1 =-2= −b2, h1 =-1.25= −h2


< ℎ2

−3 −2 −1 0 1 2 3−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

X1

X2

α =-1, β = 1, b1 =-2= −b2, h1 =-0.75= −h2

−3 −2 −1 0 1 2 3−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

X1

X2

α =-1, β = 1, b1 =-2= −b2, h1 =-0.75= −h2

Figura A-6.: Transición de estados: xR2> ℎ2 y xA2

< ℎ1


Caso � < 0, � > 0, b1 > b2.

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

X1

X2

α =-1, β = 1, b1 =2= −b2, h1 =-1.25= −h2

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

X1

X2

α =-1, β = 1, b1 =2= −b2, h1 =-1.25= −h2


< ℎ2

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

X1

X2

α =-1, β = 1, b1 =2= −b2, h1 =-0.75= −h2

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

X1

X2

α =-1, β = 1, b1 =2= −b2, h1 =-0.75= −h2

Figura A-8.: Transición de estados: xA2> ℎ2 y xR2

< ℎ1


Casos Diversos � ∕= 0

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

X1

X2

α =-1, β = 1, b1 =-0.4= −b2, h1 =-0.25= −h2

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

X1

X2

α =-1, β = 1, b1 =0, b2 =0.6, h1 =-0.25= −h2

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

X1

X2

α =-1, β = 1, b1 =-0.4, b2 =0, h1 =-0.25= −h2

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

X1

X2

α =-1, β = 1, b1 =-0.5=−b2, h1 =-0.25= −h2

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

X1

X2

α =-1, β = 1, b1 =-0.6=−b2, h1 =-0.25= −h2

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

X1

X2

α =-1, β = 1, b1 =-1 = −b2, h1 =-0.25= −h2


−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

X1

X2

α =-1, β = 1, b1 =-1=-b2, h1 =-0.25=-h2

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

X1

X2

α =-1, β = 1, b1 =-1=−b2, h1 =-0.25= −h2

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

X1

X2

α =-1, β = 1, b1 =-1=−b2, h1 =-0.25= −h2

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

X1

X2

α =-1, β = 1, b1 =-1=−b2, h1 =-0.25= −h2

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

X1

X2

α =-1, β = 1, b1 =-1=−b2, h1 =0.25= −h2

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

X1

X2

α =-0.1, β = 1, b1 =0.6=−b2, h1 =-0.25= −h2


−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

X1

X2

α =-0.1, β = 1, b1 =0.6=−b2, h1 =-0.25= −h2

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

X1

X2

α =-0.1, β = 1, b1 =0.6=−b2, h1 =-0.25= −h2

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

X1

X2

α =-0.57, β = 1, b1 =0.6=-b2, h1 =-0.25=-h2

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

X1

X2

α =-0.57, β = 1, b1 =0.6=-b2, h1 =-0.25=-h2

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

X1

X2

α =-0.57, β = 1, b1 =0.6=-b2, h1 =-0.25=-h2

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

X1

X2

α =-0.57, β = 3, b1 =0.6=-b2, h1 =-0.25=-h2


−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

X1

X2

α =-0.57, β = 3, b1 =0.6=-b2, h1 =-0.25=-h2

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

X1

X2

α =-0.57, β = 3, b1 =0.6=-b2, h1 =-0.25=-h2

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

X1

X2

α =-0.57, β = 3, b1 =0.6=-b2, h1 =-0.25=-h2

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

X1

X2

α =-0.57, β = 0.6, b1 =0.6=-b2, h1 =-0.25=-h2

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

X1

X2

α =-0.1, β = 3, b1 =0.6=-b2, h1 =-0.25=-h2

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

X1

X2

α =-0.1, β = 0.1, b1 =0.6=-b2, h1 =-0.25=-h2


−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

X1

X2

α =-0.1, β = 0.6, b1 =0.6=-b2, h1 =-0.25=-h2

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

X1

X2

α =-1, β = 0.6, b1 =0.6=-b2, h1 =-0.25=-h2

A.2. Órbitas Periódicas

Efectivamente, los resultados obtenidos en las secciones 2.4.1, 2.4.2 y 2.4.3, donde se estudiólos conjuntos abiertos en los cuales coexisten las soluciones periódicas del sistema, cuandolos puntos de equilibrio corresponden a centros o focos estables e inestables son verificadospor medio de las simulaciones numéricas implementadas en Matlab.

−0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

X1

X2

α =0, β = 1, b1 =-0.6= −b2, h1 =-0.25= −h2

−0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

X1

X2

α =0, β = 2, b1 =-0.5= −b2, h1 =-0.25= −h2

Figura A-9.: Órbitas Periódicas: Centros � = 0

A.2 Órbitas Periódicas 51

−0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

X1

X2

α =0, β = 2, b1 =1.25= −b2, h1 =-0.25= −h2

−0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

X1

X2

α =0, β = 1, b1 =0.4= −b2, h1 =-0.25= −h2

Figura A-10.: Órbitas Periódicas: Centros � = 0

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

X1

X2

α =1, β = 1, b1 =-0.4= −b2, h1 =-0.25= −h2

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

X1

X2

α =1, β = 2, b1 =-0.5= −b2, h1 =-0.25= −h2

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

X1

X2

α =1, β = 1, b1 =0.4= −b2, h1 =-0.25= −h2

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

X1

X2

α =1, β = 2, b1 =0.5= −b2, h1 =-0.25= −h2

Figura A-11.: Órbita Periódica: Focos Inestables: � > 0


−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

X1

X2

α =-1, β = 1, b1 =-0.6= −b2, h1 =-0.25= −h2

Figura A-12.: Órbita Periódica: Focos Asin. Estables: � < 0

A.3. Dominio de Atracción: Condiciones Iniciales

En los dominios o conjuntos de atracción se muestra en color azul todas aquellas condicionesiniciales de una cierta región del plano que permiten que el flujo del sistema lineal conmutadocon histéresis se dirijan a el punto de equilibrio del sistema suave f 1(w) de igual forma seaprecia la región en color rojo que corresponde al conjunto de condiciones iniciales quepermiten que las trayectorias del flujo del sistema no suave se dirijan al punto de equilibriodel sistema suave f 2(w), en cambio la región en color verde son todas aquellas condicionesiniciales que permiten que el flujo se dirija a una órbita periódica que conmuta bajo la bandade histéresis.

−3 −2 −1 0 1 2 3−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

X1

X2

α =-1, β = 2, b1 =-0.4= −b2, h1 =-0.25= −h2

−3 −2 −1 0 1 2 3−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

X1

X2

α =-1, β = 2, b1 =-0.4= −b2, h1 =-0.25= −h2

A.3 Dominio de Atracción: Condiciones Iniciales 53

X1

X2

−3 −2 −1 0 1 2 3

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

α =-1, β = 1, b1 =-0.4, b2 = 0,h1 =-0.25= −h2

−3 −2 −1 0 1 2 3−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

X1

X2

α =-1, β = 1, b1 =-0.4, b2 = 0,h1 =-0.25= −h2

−800 −600 −400 −200 0 200 400 600 800−800

−600

−400

−200

0

200

400

600

800

X1

X2

α =-0.57, β = 1, b1 =0.6= −b2, h1 =-0.25= −h2

−3 −2 −1 0 1 2 3−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

X1

X2

α =-0.57, β = 1, b1 =0.6= −b2, h1 =-0.25= −h2

X1

X2

−3 −2 −1 0 1 2 3

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

α =-0.57, β = 0.6, b1 =0.6= −b2, h1 =-0.25= −h2

−3 −2 −1 0 1 2 3−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

X1

X2

α =-0.57, β = 0.6, b1 =0.6= −b2, h1 =-0.25= −h2


X1

X2

−3 −2 −1 0 1 2 3

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

α =-0.57, β = 1, b1 =0.6= −b2, h1 =-0.25= −h2

−3 −2 −1 0 1 2 3−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

X1

X2

α =-0.57, β = 1, b1 =0.6= −b2, h1 =-0.25= −h2

−6 −4 −2 0 2 4 6−6

−4

−2

0

2

4

6

X1

X2

α =-0.57, β = 3, b1 =0.6= −b2, h1 =-0.25= −h2

−3 −2 −1 0 1 2 3−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

X1

X2

α =-0.57, β = 3, b1 =0.6= −b2, h1 =-0.25= −h2

X1

X2

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−3

−2

−1

0

1

2

3

α =-0.1, β = 3, b1 =-0.6= −b2, h1 =-0.25= −h2

−3 −2 −1 0 1 2 3−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

X1

X2

α =-0.1, β = 3, b1 =-0.6= −b2, h1 =-0.25= −h2

A.3 Dominio de Atracción: Condiciones Iniciales 55

X1

X2

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−3

−2

−1

0

1

2

3

α =-0.1, β = 3, b1 =-0.6= −b2, h1 =-0.25= −h2

−3 −2 −1 0 1 2 3−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

X1

X2

α =-0.1, β = 3, b1 =-0.6= −b2, h1 =-0.25= −h2

X1

X2

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−3

−2

−1

0

1

2

3

α =-3, β = 1, b1 =-0.6= −b2, h1 =-0.25= −h2

−3 −2 −1 0 1 2 3−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

X1

X2

α =-3, β = 1, b1 =-0.6= −b2, h1 =-0.25= −h2

X1

X2

−3 −2 −1 0 1 2 3

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

α =-1, β = 1, b1 =0, b2 =0.6, h1 =-0.25= −h2

−3 −2 −1 0 1 2 3−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

X1

X2

α =-1, β = 1, b1 =0, b2 =0.6, h1 =-0.25= −h2


X1

X2

−3 −2 −1 0 1 2 3

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

α =-1, β = 2, b1 =1.25= −b2 =, h1 =-0.25= −h2

−3 −2 −1 0 1 2 3−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

X1

X2

α =-1, β = 2, b1 =1.25= −b2 =, h1 =-0.25= −h2

A.4. Dominio de Atracción Paramétrico:

2-Dimensional

En este tipo de conjuntos se presenta tres tipo de regiones correspondientes a tres tiposde atractor entre ellas se tienen: la región en color azul, la cual se obtiene a partir de unpar de parámetros implícitos en la dinámica del sistema cuyos valores permiten que el flujodel sistema no suave se dirija al punto de equilibrio que rige el flujo del sistema f 1(w), deigual manera la región en color rojo corresponde a toda aquella pareja de parámetros quepermiten que este flujo se dirija al punto de equilibrio en cual actua el flujo del sistema f 2(w)

y finalmente en color verde se encuentra la región la cual esta conformada por el conjuntode parejas de parámetros que permiten que el flujo del sistema no suave se conduzca a unaórbita periódica, teniendo en cuenta que los los parámetros restantes permanecen invariantes.

0 0.5 1 1.5

−1.5

−1

−0.5

00 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

−0.8

−0.7

−0.6

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

A.4 Dominio de Atracción Paramétrico: 2-Dimensional 57

0 0.5 1 1.5

−1.5

−1

−0.5

0 b2

b1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

−0.8

−0.7

−0.6

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

α =-1, β = 1, x0 = 0, y0 = 1

3, h1 =-0.25= −h2

b2

b1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

−0.8

−0.7

−0.6

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

α =0, β = 1, x0 = 0, y0 = 1

3, h1 =-0.25= −h2

Figura A-13.: Dominio de Atracción Paramétrico: 2-Dimensional


A.5. Bifurcación de Órbitas Periódicas: � = 0

En esta parte se puede observar dos tipos de bifurcación inducida por discontinuidad; en elprimer diagrama se muestra como las órbitas periódicas que se generan al variar el parámetrob1 dejando invariante el parámetro b2 desaparecen cuando se compara con los respectivosestados finales en la segunda componente; de la misma manera, en el segundo diagramase puede observar el mismo comportamiento cuando se toman los respectivos parámetrosque hacen que los puntos de equilibrio se acerquen o se alejen uno del otro, considerandoque estos puntos corresponden a centros en los flujos de los sistemas suaves f 1(w) y f 2(w),respectivamente.

−0.5 0 0.5 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

b1

Xf

α =0, β = 1, b2 =0.6

Figura A-14.: Diagrama de Bifurcación Codimensión−1, estado x1 respecto b1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8−1.5

−1

−0.5

0

0.5

b2

b1

α =0, β = 1

Figura A-15.: Diagrama de Bifurcación Codimensión−2, b1 respecto b2

A.5 Bifurcación de Órbitas Periódicas: � = 0 59

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

X1

X2

α =0, β = 1, b1 =0,b2 =0.6, h1 =-0.25= −h2

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

X1

X2

α =0, β = 1, b1 =0.1,b2 =0.6, h1 =-0.25= −h2

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

X1

X2

α =0, β = 1, b1 =-0.1,b2 =0.6, h1 =-0.25= −h2

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

X1

X2

α =0, β = 1, b1 =0.6,b2 =0.6, h1 =-0.25= −h2

Figura A-16.: Bifurcación Órbitas Periódicas

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