ANALISIS CUASIÓPTICO DE BOCINAS CORRUGADAS

ANALISIS CUASIÓPTICO DEBOCINAS CORRUGADAS

Informe Técnico del OAN nº 2001-2

Félix Tercero Martínez, José Antonio López Fernández,Enrique García Muñoz*

* ETSIT Madrid

Informe Técnico nº 2001-2. Análisis cuasióptico de bocinas corrugadas

1

I.- INTRODUCCION.

Las bocinas corrugadas son las más adecuadas como alimentadores enradioastronomía. Esto es debido a su diagrama de radiación altamente simétrico y subaja polarización cruzada. Desgraciadamente, a sus altas prestaciones radioeléctricas seune su complejidad de fabricación. La gran mayoría de ellas no puede realizarse en untaller con instrumentación tradicional y se necesitan procesos de electroformado para suconstrucción. A medida que aumenta la frecuencia de funcionamiento, las corrugacionesse hacen más pequeñas e incluso la fabricación del molde para electroformado es muycomplicado. Por ello, y a partir de longitudes de onda milimétricas, su construcción noes en absoluto un proceso repetitivo.

También el análisis electromagnético de la bocina corrugada parece losuficientemente complicado. No obstante, debido a la alta gausicidad de su lóbuloprincipal, su análisis se hace sorprendentemente simple y exacto mediante el empleo dela cuasi-óptica.

En el presente informe desarrollaremos una herramienta de análisis de lasbocinas corrugadas empleando métodos cuasi-ópticos. Esta herramienta nos servirátambién para estimar las dimensiones de las bocinas corrugadas necesarias para nuestrasaplicaciones. Fundamentalmente la iluminación del radiotelescopio de 40 metros.

II.- LA BOCINA CORRUGADA. IDEAS PRINCIPALES.

El principio de operación de las bocinas corrugadas está explicado en diferentestextos [1,2] y no tiene sentido repetirlo aquí. En resumen, puede decirse que lascorrugaciones cambian los campos en la bocina de forma que se consiga simetría axial,bajos lóbulos secundarios y baja polarización cruzada.

Figura 1: Bocina corrugada.

El requisito para producir un campo radiado simétrico y con baja polarizacióncruzada es que el campo en la apertura sea lineal. Esto es imposible para guías de onda


2

monomodo (con dependencia radial y angular). Sólo un modo híbrido puedeconseguirlo. Baste para nosotros decir que el modo híbrido es el modo fundamental dela guía circular TE11 modificado por el efecto de las corrugaciones.

Figura 2: Campo en la apertura. a) Guía circular. b) Guía circular corrugada.

En una guía de ondas circular de radio a, cuando la profundidad de lascorrugaciones es un cuarto de la longitud de onda, la variación angular del modo TE11

desaparece y el campo tiene sólo dependencia radial. Esta es la condición de modohíbrido balanceado, HE11. Si la guía de onda es suficientemente larga y el periodo de lascorrugaciones es al menos λ/3, la distribución de campo en la apertura es:

( )ar

ara

rJrE

>

≤

⋅=

0

405.20 (1)

Como el campo es independiente del ángulo, este tipo de bocina se denominaalimentador escalar. Obviamente su diagrama de radiación es simétrico. Bajo lacondición híbrida balanceada la polarización es uniforme y su pureza muy alta.

Cuando varía la frecuencia, la reactancia de las corrugaciones cambia y lacondición del modo híbrido balanceado deja de cumplirse. El campo ideal dado por laecuación anterior tiene ahora una pequeña dependencia angular y la pureza depolarización decrece. Esto limita la banda de funcionamiento de la bocina. Paraaumentar la banda se han desarrollado diversas técnicas [3].


3

III.- EXPANSION MODAL DEL CAMPO EN LA APERTURA.

Bajo la condición de modo híbrido balanceado el campo en la apertura de unabocina cónica corrugada, figura 3, de longitud Rh y radio a es:

( )

( ) ( ) hR

rki

cT

ay

ax

erkJArE

rE

⋅⋅⋅−

⋅⋅⋅=

=

20

20

0(2)

Figura 3: Geometría de la bocina corrugada

donde

vérticeel en centro conapertura la en

equifase superficiela decurvatura de radio

2

405.2

0

222

=

⋅=

=

+=

h

c

R

k

ak

yxr

λπ (3)

y

( ) ( )405.20

405.200 >

<=

x

xxJxJ T (4)

Este campo puede expandirse en una serie de modos ortogonales de Gauss-Laguerre [4]:


4

( ) ∑∞

=

−⋅

⋅⋅=⋅0

2

20

0

2

2

2

p

W

r

ppcT e

W

rLArkJ (5)

donde p=0,1,2,3,...es el índice radial al que llamaremos orden, ( )xLp0 es el polinomio de

Laguerre de índice angular cero y orden p y W es una constante por ahora arbitraria.

Los coeficientes AN se obtienen teniendo en cuenta que se trata de una serie defunciones ortogonales. Lo que lleva a:

( ) udue

a

W

uLuJ

a

WA a

W

u

NN ⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

=

−

∫2

2

1

0 2

20

02

2405.2

4(6)

donde aru ⋅= .

El interés de la aproximación cuasi-óptica está en emplear el mínimo número demodos en la aproximación para que la descripción de los campos generados sea lo mássimple posible. Esta idea nos lleva a elegir un valor de W/a que maximiza la potencia enel modo fundamental gausiano o de orden cero.

En [4] se encuentra que el valor de W (waist en la apertura) que maximiza laenergía en el modo fundamental es:

aW ⋅= 6435.0 (7)

correspondiendo a una fracción de potencia de 0.9792 al modo fundamental.

IV.- ANALISIS CON EL MODO FUNDAMENTAL GAUSIANO.

Para encontrar el beam-waist, ω0, y su posición z con respecto al plano deapertura de la bocina, conocemos el radio del haz, W waist, y el radio de curvatura, Rh,del frente de fase en la apertura, ver figura 3.

Y encontramos una expresión para el beam-waist del haz de la bocina:

( ) 220

644.01

644.0

⋅

⋅⋅+

⋅=

hR

a

a

λπ

ω (8)

y una expresión para la distancia desde el beam-waist al plano de apertura


5

( )

2

2644.01

⋅⋅

⋅+

=

a

R

Rz

h

h

πλ

(9)

Estas expresiones pueden reducirse a otras más intuitivas si empleamos el errorde fase en el borde de la apertura, β:

hR

a

⋅⋅=

λπβ

2

∆⋅⋅= πβ 2 (10)

y encontramos

( ) 5.02

0

172.01

644.0

βω

⋅+=

a 281.51

1−⋅+

=βhR

z(11)

De la observación de las fórmulas anteriores, se obtiene que en una bocinacorrugada con un error de fase pequeño (β≤2; ∆≤0.3) el beam-waist es esencialmenteindependiente de la frecuencia. Queda sólo determinado por el radio de la apertura. Estetipo de bocina corrugada se llama limitada en apertura o en difracción. Y el beam-waist es aproximadamente un tercio del diámetro de la apertura.

Cuando el error de fase en la apertura es grande(β≥6; ∆≥1), el beam-waist variacon la inversa de β y se obtiene:

a

Ra h

⋅⋅⋅=⋅=

πλ

βω

644.0

55.10 (12)

El radio de la apertura y la longitud de la bocina están relacionadas por:

( )αsen⋅= hRa (13)

donde α es el ángulo de abocinamiento. Y como el beam-waist y el ángulo dedivergencia en campo lejano están relacionados por

00 θπ

λω⋅

= (14)

se obtiene que este último queda definido por el ángulo de abocinamiento

( )αθ sen644.00 ⋅= (15)

A este tipo de bocinas se les llama limitadas en ángulo de abocinamiento o deángulo ancho.

El análisis de una bocina corrugada con el modo fundamental gausiano se realizaen el apéndice I.


6

Como estamos tratando con haces paraxiales. La formulación anterior tiene unmargen donde es válida. La restricción general

λω 9.00 ≥ (16)

resulta en que las bocinas limitadas en apertura para las cuales el análisis anterior esválida deben tener un diámetro de la apertura mayor que 2.8λ. Para bocinas limitadas enángulo de abocinamiento , esto se traduce en un ángulo de abocinamiento menor que31º.

V.- ANALISIS CON MODOS DE ORDEN SUPERIOR: BME.

El modo fundamental gausiano incluye el 98% de la potencia y nos ofrece unarepresentación razonable del lóbulo principal del diagrama de radiación de bocinascorrugadas con error de fase arbitrario. Para obtener información sobre lóbulossecundarios se necesita extender el análisis con los modos de orden superior. Esto seconoce como la expansión en modos del haz o BME. Los valores del waist W(z) y delradio de curvatura R(z) son independientes del orden del modo y se rigen por lasecuaciones conocidas de la propagación del modo fundamental:

( )2

12

0 1

+⋅=

cz

zzW ω ( )

+⋅=

2

1z

zzzR c

λωπ 2

0⋅=cz (17)

En cambio, el desfase es dependiente del modo,

( ) ( ) 0112 p

cp z

ztanpz Φ+

⋅+=Φ − (18)

los valores de Φp0 se eligen de manera que no hay desfase entre modos en la apertura

De esta manera se puede obtener el diagrama en campo cercano de la bocinamediante:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∞

=

⋅+Φ+

⋅

⋅−×

⋅⋅

⋅

=Ψ0

0

20

2

20

2

1

2 2exp

22,

pppp zkz

zq

rki

zW

rL

zWAzr

π(19)

( ) ( ) ( )zrzrzrP ,,, *Ψ⋅Ψ= (20)

En [4] se obtiene una expresión para el campo lejano:


7

( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

+⋅

⋅⋅−×

+⋅

⋅⋅×

⋅+⋅⋅⋅⋅

⋅=Ψ ∑∞

=

2

24

2220

2

24

22200

0

2

1

2

2422

220

6435.0

6435.014

exp

6435.0

6435.012

6435.0

6435.01cos2

βθ

βθ

βθπθ

tanaktanakL

F

akA

p

pp

(21)

El análisis de una bocina corrugada con los modos superiores, BME, se realizaen el apéndice II.


8

VI.- COMPARACION ENTRE BME Y SABOR[5]. CAMPO LEJANO.

De la comparación de ambos aproximaciones para una bocina a 22 GHz con lassiguientes dimensiones:

Diámetro: 295.37 mmLongitud Rh: 3332mm

se obtiene,

Bocina θ-3dB θ-8.7dB θ-12dB

SABOR 1.8455 2.9005 3.4275BME 1.776 2.979 3.495

En cuanto a los lóbulos secundarios:

Bocina Nivel 1st SL Angulo 1st SL Nivel 2nd SL Angulo 2nd SLSABOR -20 dB 5º -33dB 8.2ºBME -20 dB 5º -33dB 8.2º

Figura 4: Diagrama de radiación calculado: fundamental (p=0) y BME (p=20)

0

40

8.7

12

Pni

Pn0i

105.72957810

6.

5 8.33

θgi

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 1040

38

36

34

32

30

28

26

24

22

20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

0


9

Figura 5: Diagrama de radiación calculado con SABOR.

De las gráficas anteriores se observa que el error en la estimación del ancho dehaz con BME es del orden del 2% para niveles de 12 dB. Para niveles superiores, porejemplo –3 dB, este error es del 3.7%.

Del mismo modo se observa que el fundamental nos da una idea bastanteaproximada , del mismo orden de porcentaje, del lóbulo principal. Esto no es más queuna consecuencia de que el 98% de la potencia va en el modo fundamental gausiano.Cuando se desee información sobre lóbulos secundarios el fundamental es insuficiente yse requiere BME.

Se puede concluir pues que la estimación del diagrama de radiación en campolejano de una bocina corrugada puede realizarse con BME. Un máximo de 10 modospuede ser suficiente. Cuando sólo se desee información sobre el lóbulo superior, o delos niveles por encima de -20 dB, el modo fundamental nos proporciona informaciónsuficiente.


10

VII.- CAMPO CERCANO.

En la figura se presenta el diagrama de radiación en campo cercano, exactamentea una distancia de 467.35mm, la mitad de la distancia confocal. En el eje X serepresenta el cociente entre la distancia transversal al eje de propagación y el waist. Seobserva que, en campo cercano, el modo fundamental ofrece una fiel aproximaciónhasta niveles superiores a –20 dB. No obstante a niveles altos, la forma del lóbuloprincipal pierde su gausicidad, aunque mínimamente.

Figura 6: Diagrama de radiación campo cercano a zwaist/2: fundamental (p=0) y BME (p=20)

En definitiva se puede concluir que el modo fundamental es una muy buenaestimación de los campos lejano y cercano de una bocina corrugada circular. El empleode modos superiores se justifica, en campo lejano, cuando se requieren los valores delos lóbulos secundarios o el diagrama de radiación a niveles inferiores a –20 dB. Elempleo de estos modos en campo cercano se justifica cuando la distancia de interés esmuy próxima al beam-waist, z<zc/4. No obstante el modo fundamental es unaherramienta directa y precisa para el dimensionamiento de ventanas cuando se empleaeste tipo de bocinas.

0

60

8.7

Pznk

Pzn0k

40

1

rwk

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 460

54

48

42

36

30

24

18

12

6

0


11

VIII.- BIBLIOGRAFIA.

[1] A.D. Olver, “ Micowave Horns and feeds”, IEEE Electromagnetic wave series

[2] P.J.B. Clarricoats, “Corrugated horns for microwave antennas” IEEEElectromagnetics Series

[3] P.J. Goldsmith, “Quasioptical systems”, IEEE Press

[4] R.J. Wylde, “Millimetre-wave Gaussian beam-mode optics and corrugated feedhorns”, IEE Proceedings, Vol. 131, Pt. H, Nº. 4, August 1984

[5] SABOR, Software para análisis de bocinas y reflectores, ETSIT Madrid


12

APENDICE I

ANALISIS DE LA BOCINA CORRUGADA EN MODOFUNDAMENTAL


13

BOCINAS CORRUGADAS Y HACES GAUSIANOS

El presente documento sirve para calcular las dimensiones de una bocina corrugada según la óptica gausianaAdemás se analizará su comportamiento en una determinada banda de frecuencias. Según "Quasipotical systIEEE Press, Paul F. Goldsmith

I.- Variables de entrada.

freq 22 Frecuencia central en GHz

Longitud de onda en mmλ

300

freq

OPCION A:Comenzaremos con la definición del beam waist de salida de la bocina. Lo haremos teniendo en cuenta que bocina va a formar parte de un sistema cassegrain con una determinada F/D.

FEDin 7.9 F/D de la bocina

T 12 Taper en dB del sistema

Este es el beam waist de la bocina en milímetrosωin

2 λ. FEDin. Tln 10( )

20..

πωin 80.61=

Esta es la distancia confocal en milímetzc

π ωin2.

λ

OPCION B:Otra opción es calcular la bocina a partir de la directividad. Para ello se supondrá que el haz es puramente gausiano.

Dir0 10 log36190

2 λ.180

π2 ωin..

2 3

8.7.

. Que es la directividadde la bocina anterior.

Valor base opción A Dir0 34.404=

Elección: Dir Dir0

teta3dB36120

10

Dir

10

teta87dB teta3dB8.7

3. ωin

λ

π tanπ

180

teta87dB

2..

zcπ ωin

2.

λωin 80.61=


14

II.- Cálculo de la bocina..

Para una bocina con error de fase D en la apertura

∆max 10 ∆min 0.001j 1 1001..

∆j

j 1

1000∆max ∆min( ). ∆min

βj

2 π. ∆j

.

se obtiene un valor para el radio de la bocina en milímetros

aj

ωin 1 0.171472 βj

2..

0.6435el radio Diam

j2 a

j. es el diámetro

la longitud de la bocina, slant length, es

Rhj

π aj

2.

βj

λ.

y la posición del beam waist desde el plano de apertura

zwaistj

Rhj

1 5.8318 βj

2.


15

aj

∆j

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

500

1000

Rhj

∆j

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

5000

1 104

1.5 104

2 104

zwaistj

∆j

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

5000

1 104

1.5 104


16

III.- BANDA DE FUNCIONAMIENTO.

Elijamos una solución de entre las anteriores

∆0 0.24 β0 2 π. ∆0.

se obtiene un valor para el radio de la bocina en milímetros

a0ωin 1 0.171472 β0( )

2..

0.6435mm a0 147.685=


Rh0π a0( )2.

β0 λ.Rh0 3.332 10

3=

y su proyección es proy0 Rh02 a02 proy0 3.329 103=


zwaist0Rh0

1 5.8318 β0( )2. zwaist0 934.808=

Definamos una banda de frecuencias cuya frecuencia central sea,freq 22= GHz

i 1 201.. ∆f 6 ffreqi

∆f

200i 1( ). freq

∆f

2landa

i

300

ffreqi

betai

π a02.

landaiRh0.

variación del beam waist con la frecuenciawaistin

i

0.644 a0.

1 0.172 betai

2.

1

2 waistin10

83.414=

zetai

Rh0

1 5.81 betai

2.variación de la distancia del beam wasit al plano de apertur

semi ancho del hazradiado

Feqi

waistini

π.

2 landai

. Tln 10( )

20..

F/D equivalente del haradiadoteta

i

landai

π waistini

.180

π.


17

waistini

landai

12 13 14 1570

75

80

85

90

tetai

landai

12 13 14 152.8

3

3.2

3.4

3.6

Feqi

landai

12 13 14 157

7.5

8

8.5

9

zetai

landai

12 13 14 15700

800

900

1000

1100

1200


18

APENDICE II

ANALISIS DE LA BOCINA CORRUGADA CON MODOSSUPERIORES, BME.


19

DISEÑO DE UNA BOCINA CORRUGADA (BEAM WAVE MODE)

I.- INTRODUCCION. DATOS DE PARTIDA.

Vamosa diseñar una bocina corrugada mediante expansión en beam wave modes del campo en la apertura. Seguiremos a R.J: Wylde IEE Proc. 1984.

freq 22 λ300

freqesta es la frecuencia y la longitud de onda

OPCION A: Se conoce F/D

FEDin 7.9 es la F/D de la bocina

T 12

ωin

2 λ. FEDin. Tln 10( )

20..

πωin 80.61= zc

π ωin2.

λparámetros cuasiópticos

β 1.5079 error de fase en la apertura. Este parámetro va a ser determinante en el diagrama de radiacExiste un valor que produce que el lóbulo principal del diagrama de radiación se asemeje gausiana. El valor óptimo es β=1.25, ∆=0.2.

aωin 1 0.171472 β( )

2..

0.6435el radio a 147.683= Diam 2 a. es el diámetro


Rhπ a( )2.

β λ.Rh 3.332 10

3=


zwaistRh

1 5.8318 β( )2.

zwaist 934.763=


20

OPCION B: Se conoce la geometría

Aqui tenemos la opción correspondiente a cuando se conoce la geometría de la bo

a1 a Rh1 Rh

*** Se seleccionan aquí:

a a1 Rh Rh1

β πa

2

λ Rh..

ωin a0.6435

1 0.171472 β( )2.

.

zcπ ωin

2.

λ

zwaistRh

1 5.8318 β( )2.


21

II.- Diagrama de radiación en campo cercano. Sección transversal.

La constante de espacio libre es k02 π.

λ

y la expresión de los modos de Laguerresimétricos es Laguerre n u,( )

0

n

l

n ! u( )l.

n l ! l !. l !.=

La distancia a la que queremos calcular el campo es a zzwaist

2

El haz tiene los siguientes parámetros de propagación

k 1 501..

rrk

k 1( ) 1. distancia al eje de propagación.

w z( ) ωin 1z

zc

2

1

2

. R z( ) z 1zc

z

2.

rwk

rrk

w z( )

Φ p z,( ) 2 p. 1( ) atanz

zcatan

zwaist

zc. desfase modal

q z( )1

1

R z( )

2

k0 w z( )2.j.

parámetro complejo q(z)

Estos son los coeficientes de los modos:

p 0 20..

Ap

4

w zwaist( )2

0

a

rJ0 2.405r

a. Laguerre p 2

r( )2

w zwaist( )( )2.,. e

r2

w zwaist( )2

. r. d.

y la fracción de cada uno de ellos sobre el total es:

Aptot

0

20

l

Al

2

=Frac

p

Ap

2

Aptot


22

Campo en z :

Λ r z,( )

0

20

p

Ap

2

π w z( )2.

1

2. Laguerre p

2 r2.

w z( )2,. exp Φ p z,( ) j.

k0 r2.

2 q z( ). j..

=

Campo correspondiente al fundamental:

Λ0 r z,( )

0

0

p

Ap

2

π w z( )2.

1

2. Laguerre p

2 r2.

w z( )2,. exp Φ p z,( ) j.

k0 r2.

2 q z( ). j..

=

Diagrama de radiación:

Ωk

Λ rrk

z, Λ rrk

z,. Ω0k

Λ0 rrk

z, Λ0 rrk

z,.

Ωnk

Ωk

Ω1

Ωn0k

Ω0k

Ω01

Pznk

10 log Ωnk

. Pzn0k

10 log Ωn0k

.


23

0

60

8.7

Pznk

Pzn0k

40

1

rwk

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 460

54

48

42

36

30

24

18

12

6

0


24

III.- Diagrama de radiación en campo lejano

Pasemos a calcular el diagrama de radiación en campo lejano:

Fa( )2 8.

λF 1.28 10

4= esta es la distancia

Barrido en ángulo:

i 1 1000..

θi

i 1

40

π180

. 0.0000001 θgi

θi

180

π. v

ik0 a. sin θ

i.

u1i

k02 a2.

2 π. F2. cos θi

2. 1 0.6444 β2.

0.6442.

1

2

u3i

k02 a2. tan θi

2.

41 0.6444 β2.

0.6442.

u2i

k02 a2. tan θi

2.

21 0.6444 β2.

0.6442.

Campo radiado:

ψi

0

20

p

Ap

u1i

. Laguerre p u2i

,. exp u3i

. exp 2 p. 1( )π2

atan 0.64352 β.. j..

=

Campo radiado del fundamental:

ψ0i

0

0

p

Ap

u1i

. Laguerre p u2i

,. exp u3i

. exp 2 p. 1( )π2

atan 0.64352 β.. j..

=

Valores de campo normalizado:

Eni

ψi

ψ1

En0i

ψ0i

ψ01

Valores de potencia normalizados:

Ψi

Eni

Eni

.Ψ0

iEn0

iEn0

i.

Diagrama de radiación:

Pni

10 log Ψi

. Pn0i

10 log Ψ0i

. Pn139

11.92= θ140

0.061=


25

0

40

8.7

12

Pni

Pn0i

105.72957810

6.

5 8.33

θgi

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 1040

38

36

34

32

30

28

26

24

22

20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

0

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ANALISIS CUASIÓPTICO DE BOCINAS CORRUGADAS