ANALISIS DE ENCUESTAS CON HERRAMIENTAS DE …...Title ANALISIS DE ENCUESTAS CON HERRAMIENTAS DE SPSS Author Presentaciones Created Date 3/12/2009 8:32:34 AM

Copyright 2003-4, SPSS Inc. 1

ANALISIS ESTADISTICO CON HERRAMIENTAS DE

SPSSSPSS ANDINO


Recolección De La Información Tipos de Variables

Cuantitativa Cualitativa

Tipos de Muestro Probabilísticos No probabilístico

Relación Entre Variables Categóricas Relaciones cruzadas Determinación de la relación Test Chi-Cuadrado Gráficos de relación

ESQUEMA DEL CURSO


Preparación De Datos Para El Análisis Outliers Agrupación y recodificación de variables Chequeo de no respuestas Ponderación de datos

Análisis De Variables De Escala Test para diferenciar grupos Test T para muestras independientes Test T para muestras pareadas Test para más de dos grupos Test no paramétricos

ESQUEMA DEL CURSO


Introducción a Modelos de Regresión Terminología y Notación Análisis de correlación Modelos de Regresión

ESQUEMA DEL CURSO


RECOLECCIÓN DELA INFORMACIÓN


X

Cualitativas

Cuantitativas

Nominal

Ordinal

Discreta

Continua

Razón

Intervalo

Razón

Intervalo

RECOLECCIÓN DE LA INFORMACIÓN

Tipos de Variables y Escalas de Medida


Universo deestudio


Variables deinterés

Margen de errorpermitido

Parámetros ainvestigar

Muestreomultietápico

Muestreosistemático

Muestreoproporcional

Muestreo aleatoriosimple

Muestreoconglomerados

Muestreoestratificado

Muestreo ajuicio

Muestreo porcuotas

Muestreo porconveniencia

Muestreobola de nieve

Tipos de Muestreo

n

M. Probabilístico

M. No Probabilístico


Universo de Estudio Universo Ideal: Conjunto sobre el cual el investigador pretende

obtener alguna información de los resultados basados en la encuesta.

Población Objetivo: Conjunto de elementos que pueden ser alcanzados por el investigador.

Marco Muestral: Dispositivo que permite identificar y ubicar los sujetos que toman parten en los procesos de selección al azar.

Población Susceptible de Encuesta: Conjunto de elementos con probabilidad mayor de cero de ser incluidos en la muestra.




El universo ideal: conductores deservicio público

Población Objetivo: conductores de servicio público antigüedad no menor de seis meses y dedicación

no inferior a 30 horas semanales en actividad del último semestre.Marco Muestral: Empresas de

transporte.

Población Susceptiblede Encuesta:

Conductores queaccedan a

contestar laencuesta.


Error de Muestreo Margen de Error: Es definido por el investigador, al momento de

extraer una fracción de la población.

Respuesta Sistemática: Producido intencionalmente por el sujeto estudiado.

Encuesta Sistemática: El encuestador desconoce lo que el encargado del diseño exactamente desea, dado a no contar con un entrenamiento adecuado.

Para minimizar los errores debe estudiarse muy bien el ámbito en que se va a llevar a cabo el estudio, el tipo de respondiente y una buena comunicación entre el diseñador y su equipo.




TAMAÑO DE LA

MUESTRA

ERROR

Mide el grado de dispersión de una variable dada.

Mide el nivel de precisión de los valores obtenidos.

La probabilidad de que la variable se encuentre en el intervalo.

CONFIANZAƒ


Variables de Interés Variable ideal del investigador: Es la medición que el

investigador esta interesado en determinar.

Variable operacional: Es aquella que esta en condiciones de ser observada y ser objeto de medición.

Seleccionar adecuadamente las variables.

Determinar y controlar las fuentes de variación de los procesos de medición, como la calibración de equipos, instrumentos y operarios, memoria de los fenómenos, ruidos, etc..



Parámetros a Investigar Son las características poblaciones de interés que se desean estimar

dentro del estudio.

Estimaciones Precisas: Obtener estimaciones que se acerquen al valor esperado.

Estimaciones Correctas: Las estimaciones se aproximan al valor verdadero.

Totales: Son la suma sobre el universo de la variable en estudio

El monto total de ventas en una determinada rama del comercio. La cantidad de hogares de la ciudad que consumen un determinado

producto.


y kUt y= ∑


Razón: Proporción de individuos que poseen una característica

El consumo de combustible en términos de kilómetros recorridos por galón de combustible en una empresa de transporte (Total de vehículos/Total de combustible consumido)

Demanda insatisfecha (Cantidad de usuarios que solicitaron y no recibieron servicio/cantidad total de usuarios que solicitaron servicio)

Indicadores Especiales: Promedio sobre el universo de la variable de estudio

Ingreso promedio de los usuarios de un servicio. Nivel medio de estudio en los hogares de una ciudad.


ky U

z zU

ytR

t y= = ∑

∑

1ky U

UU

ytY

N= = ∑

∑


Muestreo Probabilístico


• Se conoce la probabilidad de que un elemento de la población sea incluido en la muestra.

• Los elementos de la muestra se seleccionan por elementos mecánicos.

• El marco estadístico muestral coincide con la población

Muestra: Es el conjunto de elementos extraídos del universo por un método sin reposición, las muestras son menores o iguales al universo, o métodos con reposición, muestras mayores al universo.

Se sustenta en la determinación de una muestra en la que TODAS las unidades poblacionales tienen la misma probabilidad de ser seleccionadas en la muestra


Muestreo Aleatorio Simple (MAS)


Consiste en seleccionar sin reposición y en forma equiprobable, al interior de cada extracción, un elemento hasta completar un total de n, valor establecido antemano.

Cuando se selecciona el primer elemento de la muestra la probabilidad es igual para todos 1/N, en la segunda selección la probabilidad es 1/(N-1), y sucesivamente.



1

8 20

1018

5

12 1516

14

19

617

114

9

7

3

132

n

1218

45

Problemas: No están anotados en el marco.Haya elementos de más en el marco.La unidad de muestreo no exista.


Inconvenientes, si r=1 no se cuenta con un buen estimador y si existe un orden sistemático en el mismo orden de selección de la muestra, la varianza crece considerablemente.

Muestreo Sistemático (MS)


Consiste en dividir el universo en grupos de igual tamaño (A), en el primer grupo, mediante un muestreo MAS se seleccionan replicas (R) de elementos; los restantes elementos se obtienen brincando la cantidad a partir de los aleatorios.

Es útil por su versatilidad y las posibilidades de control y supervisión.

NAn

R Ran A

=

= +



1

8 20

10

18

5

1215

16

14

19

617

114

9

7

3

132

n

2 7 12

205

4

((2 5) 5) ...

A

R

= =

= + + +

17


Muestreo Proporcional (PPT)


Se basa en la disponibilidad de información auxiliar cuantitativa altamente correlacionada con la variable en estudio y la aplicación de un estimador del total conocido como MCR.

Este diseño se caracteriza por la simplicidad. Son sencillos los métodos de selección, y si la correlación entre las variables de interés y auxiliar es alta este muestreo es mucho más eficiente que los tratados anteriormente.

El mayor inconveniente lo constituye el manejo operativo de los elementos que salen de la muestra más de una vez, por cuanto se trata de un diseño con reposición.



1

8 20

10

18

5

1215

16

14

19

617

114

9

7

3

132

n

InformaciónComplementaria

r ≈ 1

2

713

17

15

10


Muestreo Estratificado (ME)


Es aquel que define subconjuntos homogéneos respecto a la variable principal en la población objetivo. En él todas las unidades se dividen en subconjuntos llamados estratos, dentro de ellos se muestrea de acuerdo al MAS o el MS, según convenga a cada estrato.

La población es heterogénea pero en su interior se definen perfectamente dos o más grupos que son parecidos en sus características internas respecto a la variable principal. Garantizando que se minimice la varianza y la muestra no resulte ser muy grande.

Inconvenientes : No todos los subconjuntos de la población presentan marco muestral.

Requiere que las características físicas, regionales, económicas, raciales u otras sean tan importantes como para generar estudios por separado.



1

820

10

185

1215

16

14

19 6

1711

49

7

3

132

n

125

14418 1 6

13

11


Muestreo De Conglomerados (MC)


Se caracteriza por que los objetos a ser seleccionados, no son elementos sino agrupaciones de elementos llamados conglomerados, en cada uno de ellos se estudian todos los elementos que lo conforman.

Se tiene la participación del universo U en subconjuntos U1, U2,..., UN. Una partición significa que cumple:

•Ninguno de los conglomerados es vacío•Todos son disjuntos dos a dos•La unión de todos los conglomerados reconstruye el universo

Del conjunto total de conglomerados se pueden escoger con cualquier tipo de muestreo anterior.

En los conglomerados de la muestra, se observan todos los elementos.



18

2010

18

512

15

16

14

19

6

17

11 49

73

13 2

n

116

1110

12

19

6


Muestreo Multietápico (MM)


Es un diseño de conglomerados en dos etapas. Cuando la correlación intraclásica es muy alta, es decir cuando al interior del conglomerado la semejanza entre los elementos es muy alta, entonces en vez de estudiar a todos los elementos se puede aplicar un muestreo probabilístico.

Se tiene la participación del universo U en subconjuntos U1, U2,..., UN. Denominadas unidades primarias del muestreo, UPM, Una partición significa que cumple:

•Ninguna de los UPMs es vacío•Todos son disjuntos dos a dos•La unión de todos las UPMs reconstruye el universo

En las UPMs de la muestra se construye el marco de elementos, procedimiento conocido con el nombre de enlistamiento.

En cada UPM de la muestra se extrae, con independencia e invarianza una muestra probabilística con un muestreo anterior.



18

2010

18

512

15

1614

19

6

17

11 49

73

13 2

n

n

116

1110

12

19

6 14

15

31 a Etapa

11 10 152 a Etapa


Tamaño de MuestraLa selección del tamaño de muestra puede hacerse desde dos perspectivas: Punto de vista teórico: no conduce a directamente a resultados concretos,

pero constituye la base sobre la cual se construye la siguiente posibilidad. Simulación: Es conveniente dejar fijo un esquema de selección muestral

para jugar únicamente con los tamaños en las diferentes etapas y en las distintas UPMs.



La precisión de una proporción muestral es aproximadamente igual a uno dividido por la raíz cuadrada del tamaño de la muestra

Tamaño de Muestra Precisión Valor

100 1/√100 0,1 o 10%

400 1/√400 0,05 o 5%

1600 1/√1600 0,025 o 2,5%

10000 1/√10000 0,01 0 1%

En la practica suelen elegirse tamaños entre 400 y 1600 sujetos para obtener una precisión de +/-5% o +/-2,5%



µ +Zc-Zc

Variable de EscalaParámetros:n = muestrae = errorZc = nivel de confianzaσ2 = varianza poblacionalS2 = cuasivarianza poblacionalN = tamaño población

Variable CualitativaParámetros:n = muestrae = errorZc = nivel de confianzaP(1-P) = varianza poblacionalN = tamaño población


Determinación Del TamañoDe La Muestra


Promedio

2

22

2( 1)

c

NnN eZ

σ

σ=

− +

2 2

2cZne

σ=

µ +Zc-Zc

N → ∞ 2 2

2cZ Sne

=


2

22

2( 1)

c

NSnN e SZ

=− +


Proporción

2

2

(1 )( 1) (1 )

c

P P NnN e P PZ

−=− + −

2

2

(1 )cZ P Pne

−=

µ +Zc-Zc

N → ∞ 2

24cZne

=


21NnNe

=+


Totales

2

22

2 2( 1)

c

NnN eN Z

σ

σ=

− +

µ +Zc-Zc


2

22

2 2( 1)

c

NSnN e SN Z

=− +


Estratificado

2 2

1

2 2 2

1

ki i

i ik

i ii

N Swn

N L N S

=

=

=+

∑

∑

µ +Zc-Zc


Promedio

2

4eL =

Proporción

2

24

(1 )i

eL

S P P

=

= −

Totales

2

24eLN

=


Muestreo No Probabilístico


• Los casos no son seleccionados aleatoriamente y puede decirse que llegaron a formar parte del estudio en forma accidental.

• El investigador o experto selecciona los elementos que formaran parte del estudio convenientemente para que brinden una información más exacta.

• Los resultados del estudio no pueden generalizarse a la población o al universo.

Se basa en suposiciones muy amplias acerca de las variables que se van a estudiar en la población.



VENTAJASLos costos son bajos.Requiere de menos tiempo.Facil de medir.Se utiliza con frecuencia en los proyectosde Investigación de Mercados.

DESVENTAJASMuestreo subjetivo.Fuerte tendencia en la selección o autoselección.La muestra no es representativa de ningunapoblación definida.Depende de la experiencia y creatividad delinvestigador.


Se utiliza confrecuencia

Se utilizaalgunas veces

Nunca seutiliza

15%

38%

47%

Marketing Research Business 1994


Se sustenta en el criterio de un expertopara definir el tamaño de la muestra ylas unidades poblacionales queconformarán la muestra.

Con frecuencia se selecciona a losentrevistados porque se encuentran enel lugar adecuado en el momentooportuno.Centros comerciales, cuestionarios derevistas, entrevistas en la calle.

Muestreo por Conveniencia


91,3%

8,7%

SiNo

Los elementos de la poblacion seseleccionan con base a juicio delinvestigador.

Muestreo a Juicio


Con su juicio o experiencia, elige loselementos que incluirá en la muestra,por que cree que son representativosde la población de interés o son dealguna manera apropiados.


Se sustenta en la conformación de unamuestra con el mismo perfil de lapoblación, en algunas de suscaracterísticas

0100200300400500600700800

Univ. TSU Br. Otro

PoblaciónMuestra

Muestreo por Cuotas


Se divide a la población en estratos ocategorías, y se asigna una cuota paralas diferentes categorías y, a juicio delinvestigador, se selecciona lasunidades de muestreo.


02

46

810

12

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Pacientes

Re

feri

do

Se sustenta en la conformación de una muestra, referida de un individuo a otro con la característica buscada por el investigador.

Muestreo Bola de Nieve


Se localiza a algunos individuos, los cuales conducen a otros, y estos a otros, y así hasta conseguir una muestra suficiente. Este tipo se emplea muy frecuentemente cuando se hacen estudios con poblaciones"marginales", delincuentes, sectas, determinados tipos de enfermos.


RELACIÓN ENTREVARIABLES CATEGÓRICAS


RELACIÓN ENTRE VARIABLESCATEGÓRICAS

Cross tabulationEs el análisis de variables categóricas, donde las filas y las columnas de una tabla están formadas por las categorías de dos variables. Se construyen tales tablas porque ellos muestran el comportamiento de las respuestas a preguntas con datos nominales u ordinales. Igualmente se estudia la relaciones entre dos o tres variablescategóricas.

Tabla de contingencia HAPPINESS OF MARRIAGE * GENERAL HAPPINESS

94 71 2 167

56,3% 42,5% 1,2% 100,0%

85,5% 49,7% 11,8% 61,9%

16 68 9 93

17,2% 73,1% 9,7% 100,0%

14,5% 47,6% 52,9% 34,4%

0 4 6 10

,0% 40,0% 60,0% 100,0%

,0% 2,8% 35,3% 3,7%

110 143 17 270

40,7% 53,0% 6,3% 100,0%

100,0% 100,0% 100,0% 100,0%

Recuento% de HAPPINESSOF MARRIAGE% de GENERALHAPPINESSRecuento% de HAPPINESSOF MARRIAGE% de GENERALHAPPINESSRecuento% de HAPPINESSOF MARRIAGE% de GENERALHAPPINESSRecuento% de HAPPINESSOF MARRIAGE% de GENERALHAPPINESS

VERY HAPPY

PRETTY HAPPY

NOT TOO HAPPY

HAPPINESSOF MARRIAGE

Total

VERY HAPPYPRETTYHAPPY

NOT TOOHAPPY

GENERAL HAPPINESS

Total



Test Chi-CuadradoH0: X y Y Independientes vs. H1: X y Y Dependientes

Se determina el nivel de significación con el cual se desea comprobar la hipótesis, α (0,01 a 0,1).

Si el valor resultante es menor que α, se rechaza la hipótesis nula.

Las correlaciones dan como resultado r, el coeficiente de correlación de Pearson, una medida de asociación lineal entre las variables que oscila ente 0 y 1.

χ2C


HAPPINESS OF MARRIAGE VERY HAPPYHAPPINESS OF MARRIAGE PRETTY HAPPYHAPPINESS OF MARRIAGE NOT TOO HAPPY

HAPPINESS OF MARRIAGE

GENERAL HAPPINESS VERY HAPPYGENERAL HAPPINESS PRETTY HAPPY

GENERAL HAPPINESS NOT TOO HAPPY

GENERAL HAPPINESS

0

25

50

75

Valo

res

Tabla de contingencia HAPPINESS OF MARRIAGE * GENERAL HAPPINESS

Estadísticos : Recuento


Gráficos de RelaciónPara entender la tabla, se podría fácilmente visualizar por medio de gráficos como un diagrama de barras que determina la relación de cada grupo asociado a otros grupos.


PREPARACIÓN DEDATOS PARAEL ANÁLISIS


Son observaciones que difieren claramente de otras; pueden ser problemáticos o no. Pueden identificarse desde una perspectiva univariante, bivariante o multivariante.

PREPARACIÓN DE DATOS PARA EL ANÁLISIS

Outliers (Datos Atípicos)

Histograma Gráfico de tallo y hojasDiagrama de caja

y bigotes



Agrupación y Recodificación de VariablesLos valores de datos se pueden modificar mediante la recodificación. Esto es particularmente útil para agrupar o cambiar categorías. Se puede recodificar los valores dentro de las variables existentes o crear variables nuevas que se basen en los valores recodificados de las variables existentes.


El investigador debe determinar las razones que subyacen los datos ausentes y que sean de forma aleatoria.


Chequeo de No Respuestas(Datos Faltantes)

Supresión de casos y/o variables que peor se comportan respecto a los datos ausentes, pero un tamaño de muestra inadecuado.

Métodos de imputación que estiman valores ausentes basados en valores válidos de otras variables y/o casos de la muestra.

Sustitución de datos ausentes sustituyendo con otras observaciones no muestrales, por la media, por un valor constante, por regresión o imputación múltiple.



Análisis de Datos Faltantes

En Variable

Estimar losvalores faltantes

o suprimir lavariable del

análisis

Excesivos Datos Faltantes

Por Encuestado

Eliminar elencuestado de

cualquieranálisis

Excesivos Datos Faltantes

En RelacionesBivariadas

Estimar losdatos faltantes

Datos Faltantes en el Modelo

En AnálisisMultivariado

Estimar losdatos faltantes

o suprimir elencuestado

y/o la variable

Datos Faltantes en el Modelo



Ponderación de Casos

Los valores de la variable de ponderación deben indicar el numero de observaciones representadas por casos únicos en el archivo de datos.

Los casos con valores perdidos, negativos o ceros para la variable de ponderación se excluyen del análisis.

Los valores fraccionarios son validos; se usan exactamente donde adquieren sentido y, con mayor posibilidad, donde se tabulan los casos.


ANÁLISIS DEVARIABLES DE ESCALA


ANÁLISIS DE VARIABLES DE INTERVALO

Test Para Una Muestra

H

0

: µ = µ

0

vs.

H

1

: µ ≠ µ

0

Se determina el nivel de significación α, y si el valor resultante es menor se rechaza la hipótesis nula

Para cada variable a contrastar se calcula, la media, desviación típica y error típico de la media. La diferencia promedio entre cada valor de los datos y el valor de contraste hipotetizado.

Contrasta si la media de una variable difiere de una constante especifica.



Test Para Muestras Independientes

H

0

: µ

1

= µ

2

vs.

H

1

: µ

1

≠ µ

2

Se basa en el tamaño de la muestra, media, desviación típica y error típico. Adicionalmente, se realiza la prueba de Levene sobre la igualdad de varianzas.

Compara las medias de dos grupos de casos. Para esta prueba, idealmente los sujetos deben asignarse aleatoriamente a dos grupos, de forma que cualquier diferencia en la respuesta sea debida al tratamiento (o falta de tratamiento) y no a otros factores.



Test Para Muestras Relacionadas

H

0

: µ

1

= µ

2

vs.

H

1

: µ

1

≠ µ

2

Para cada variable se calcula la media, tamaño de la muestra, desviación típica y error típico; y para cada pareja de variables correlación, diferencia promedio entre las medias, prueba t e intervalo de confianza, desviación típica y error típico de la diferencia entre las medias.

compara las medias de dos variables de un solo grupo. Calcula las diferencias entre los valores de las dos variables de cada caso y contrasta si la media difiere de 0.



Test Para Más De Dos Grupos

H

0

: µ

1

= µ

2

= ... = µ

k

vs.

H

1

: µ

a

≠ µ

b

Además de determinar que existen diferencias entre las medias, es posible que desee saber qué medias difieren. Existen dos tipos de contrastes para comparar medias: a priori y post hoc. También puede contrastar las tendencias existentes a través de las categorías.

El procedimiento ANOVA de un factor genera un análisis de varianza para una variable dependiente cuantitativa respecto a una única variable de factor. El análisis de varianza se utiliza para contrastar la hipótesis de que varias medias son iguales. Esta técnica es una extensión de la prueba t para dos muestras.



Para cada grupo se tiene en cuenta el número de casos, media, desviación típica, error típico, mínimo, máximo, intervalo de confianza al 95% para la media. Prueba de Levene sobre la homogeneidad de varianzas, tabla de análisis de varianza y contrastes robustos de igualdad de medias para cada variable.



Test No Paramétricos Prueba Chi-Cuadrado: Esta prueba de bondad de ajuste compara las

frecuencias observadas y esperadas en cada categoría para contrastar si todas las categorías contienen la misma proporción de valores o si cada categoría contiene una proporción de valores especificada por el usuario.

Prueba Binomial: Compara las frecuencias observadas de las dos categorías de una variable dicotómica con las frecuencias esperadas en una distribución binomial con un parámetro de probabilidad especificado.



Prueba de rachas: Este procedimiento contrasta si es aleatorio el orden de aparición de dos valores de una variable. Una racha es una secuencia de observaciones similares. Una muestra con un número excesivamente grande o excesivamente pequeño de rachas sugiere que la muestra no es aleatoria.

Prueba de Kolmogorov-Smirnov para una muestra: Para una muestra compara la función de distribución acumulada observada de una variable con una distribución teórica determinada, que puede ser la normal, la uniforme, la de Poisson o la exponencial.

Pruebas para dos muestras independientes: El procedimiento Pruebas para dos muestras independientes compara dos grupos de casos existentes en una variable.



Pruebas para dos muestras relacionadas: El procedimiento Pruebas para dos muestras relacionadas compara las distribuciones de dos variables.

Pruebas para varias muestras independientes: El procedimiento Pruebas para varias muestras independientes compara dos o más grupos de casos respecto a una variable.

Pruebas para varias muestras relacionadas: El procedimiento Pruebas para varias muestras relacionadas compara las distribuciones de dos o más variables.


INTRODUCCIÓN A MODELOS DE REGRESIÓN


En muchas situaciones que son de interés para investigadores que toman decisiones, el valor de una variable esta relacionado con el valor de otra u otras de alguna forma sistemática.

El análisis de Regresión se enfoca al establecimiento de una ecuación que permite que el valor desconocido de una variable se pueda estimar a partir del valor conocido de una o más variables.

TERMINOLOGÍA Y NOTACIÓNRegresión lineal

0 40 80 120

X

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

Y

1Y = 0.15 + 0.01 * xR-cuadrado = 0.68

INTRODUCCION A MODELOS DE REGRESION


Variables Independientes: Son variables cuyos valores se suponen conocidos y que se utilizan para explicar o predecir el valor de otra variable de interés, se denotan con la letra X.

Variable Dependiente: Es una variable cuyo valor se supone desconocido y que se explique o prediga con ayuda de otra u otras variables, se denota con la letra Y.

Relaciones Determinísticas: Se caracteriza por el hecho de que el valor de Y está determinado de manera única siempre que el valor de X se especifique



Relación Estocástica: Es imprecisa en el sentido de que muchos valores posibles de Y se pueden asociar con cualquier valor de X.

Relación Directa: Si los valores de la variable dependiente Y aumentan con los valores más grandes de la variable independiente X.




Las correlaciones miden cómo están relacionadas las variables o los órdenes de los rangos.

Calcula el coeficiente de correlación de Pearson, la rho de Spearman y la tau-b de Kendall con sus niveles de significación.

Análisis de Correlación


MODELOS DE REGRESIÓN Lineal

Logarítmico

Inverso

Cuadrático

Cúbico

Potencia

Compuesto

XY 10 ββ +=

)ln(10 XY ββ +=

)/( 10 XY ββ +=

2210 XXY βββ ++=

33

2210 XXXY ββββ +++=

10

ββ XY +=

XY 10 ββ +=



S

Logístico

Crecimiento

Exponencial

Lineal Múltiple

X

u

Y10

11

ββ ++=

XeY 10 ββ +=

XeY 10

ββ +=


)/( 10 XeY ββ +=

0 1 1 2 2 k kY X X Xβ β β β= + + + + +K

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