Analisis de Esfuerzos Por Los Metodos Numerico y Analitico de Un Arbol de Levas Automotriz

ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR LOS MÉTODOS NUMÉICO-ANALÍTICO DE UN ÁRBOL DE LEVAS

AUTOMOTRIZ.

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y

ELÉCTRICA

UNIDAD PROFESIONAL ADOLFO LÓPEZ MATEÓS

SECCIÓN DE ESTUDIOS

DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN

Análisis de Esfuerzos por los

Métodos Numérico y Analítico

de un Árbol de Levas Automotriz

T E S I S

QUE PARA OBTENER EL GRADO DE:

MAESTRO EN CIENCIAS

CON ESPECIALIDAD EN

INGENIERIA MECANICA

P R E S E N T A:

Ing. Noé Jiménez Guido

.

DIRECTORES: DR. GUILLERMO URRIOLAGOITIA CALDERÓN

DR. MANUEL FARAÓN CARBAJAL ROMERO

MÉXICO D. F. 2013


ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN

RESUMEN Y ABSTRACT


AUTOMOTRIZ.

I

ANÁLISIS DE ESFUERZOS NÚMERICO-ANALÍTICO

DE UN ÁRBOL DE LEVAS AUTOMOTRIZ

RESUMEN Este trabajo es desarrollado para conseguir una evaluación exacta de los esfuerzos que se presentan en un árbol de levas de un automóvil volkswagen sedan del año 1990 al año 2013, cuando se encuentra sometido a las condiciones máximas de trabajo. Para este propósito se realizó una comparación entre los métodos numérico y analítico. Las condiciones de carga estática que se tomaron en cuenta fueron la flexión y en la dinámica la torsión. Inicialmente, el análisis numérico se llevo a cabo y fue validado con el analítico. Los resultados constituyeron el criterio para las evaluaciones analíticas y numéricas. El análisis mostró que el esfuerzo máximo se presenta en los dientes del engrane. También, se encontró que el árbol no requiere de cambio de geometría para distribuir mejor los esfuerzos, tampoco de reforzar las áreas más críticas.

ABSTRACT This work is developed in order to get an accurate evaluation of stress wich is developed in a shaft in a Volkswagen automobile from 1990 to 2013, when the car is subjected to the maximum conditions of work. For this purpose a numerical analytic approach was done. The static loading conditions that were born in mind was the bending and torsion in the dynamic. Initially the numerical analysis was carried out and validated by analytic. The results stablished the criteria for the numerical and analytical evaluations. The analysis showed that the maximum stress is presented in the tooth gear. Furthermore it was found that the shaft neither require the change of geometry for stress in order to distribute in a better way the efords, nor reinforce the areas which seems to be more critical.



SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACION

DEDICATORIAS


AUTOMOTRIZ. II

DEDICATORIAS. A mis directores de Tesis. Dr. Guillermo Urriolagoitia Calderón Dr. Manuel Faraón Carvajal Romero A la memoria de mi madre. Adela Guido Lemus Alguien muy especial. Martha Elba Ferreyra L. A la Familia. Romero Ferreyra. Alguien que es casi mi hijo. Lic. Rodrigo Gris Suárez. Familia Gris Suárez. Sr. Alfredo y Sra. Violeta, Jocelyn y Carlos. A mis compañeros y amigos. Ing. Mario Javier López Ramírez, Ing. Armando Quevedo, Ing. Armando Martínez García. Josué Sánchez León A la Familia Sánchez León. Noé, David, Sr. Pedro y Sra. Flor A mis profesores. M. en C. Gabriel Villa y Rabasa, Dr. Luís Héctor Hernández Gómez Al M. en C. Rafael Rodríguez Martínez A la M. en C. Alla Kavatskaia Ivanovna Gracias a sus consejos invaluables y apoyo termine este trabajo.




AGRADECIMIENTOS


AUTOMOTRIZ. III

AGRADECIMIENTOS. AL I.P.N., S.E.P.I. E.S.I.M.E. ZACATENCO. A mis directores de tesis: Dr. Guillermo Urriolagoitia Calderón. Dr. Manuel Faraón Carbajal Romero. A mi madre que en los momentos más críticos de mi vida parece acercarse a mí a pesar de estar ausente por el destino. Adela Guido Lemus. A la persona más especial en mi vida que nunca se ha intimidado ante los retos de la vida y siempre ha estado junto a mí apoyándome: Martha Elba Ferreyra L. De manera especial a mi amigo por todo el apoyo brindado en los últimos años: Lic. Rodrigo Alfredo Gris Suárez. A la familia Gris Suárez por todas las amabilidades y apoyo recibido: Sr. Alfredo, Sra. Violeta, Jocelyn y Carlos. A toda la comunidad (Profesores y alumnos) de la S.E.P.I. E.S.I.M.E. Zacatenco del I.P.N.: M. en C. Gabriel villa y Rabasa, Dr. Luís Héctor Hernández Gómez, M. en C. Rafael , Alfonso Beltrán Hernández, Alejandro T. Velásquez Sánchez, Víctor Feria,

Gracias.




ÍNDICE


AUTOMOTRIZ. IV

ÍNDICE GENERAL

PÁGINA

DEDICATORIAS. I AGRADECIMIENTOS. II ÍNDICE GENERAL. III ÍNDICE DE FIGURAS. VII ÍNDICE DE TABLAS. IX SIMBOLOGÍA. X RESUMEN. XIII ABSTRACT. XIII OBJETIVO. XIV JUSTIFICACIÓN. XV INTRODUCCIÓN. XVI CAPÍTULO 1. FUNCIÓN Y OPERACIÓN DE LOS ÁRBOLES DE LEVAS.

1.1 HISTORIA DE LA INDUSTRIA AUTOMOTRÍZ. 2 1.2 DESCRIPCIÓN DE LA PIEZA. 4 1.3 ÁRBOL DE LEVAS Y BANDA DE SINCRONIZACIÓN. 7 1.3.1 VERIFICACIÓN VISUAL DE LA SINCRONIZACIÓN. 7 1.4 PRODUCCIÓN. 8 1.5 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA. 9 1.6 SUMARIO. 11 1.7 REFERENCIAS. 12

CAPÍTULO 2. ANTECEDENTES DE ANÁLISIS DE ESFUERZOS Y MÉTODO

DEL ELEMENTO FINITO.

2.1 GENERALIDADES. 14 2.2 COMPONENTES DE LOS ESFUERZOS. 17 2.3 ESFUERZOS Y DEFORMACIONES EN TRES DIMENSIONES 18 2.3.1 DEFINICIÓN DE LOS ESFUERZOS EN UN PUNTO. 18 2.4 VIGAS CONTINUAS. 20 2.4.1 MÉTODO DE CROSS. 20 2.5 ESFUERZOS COMBINADOS. 22 2.5.1 COMBINACIÓN DE ESFUERZOS AXIALES Y DE FLEXIÓN. 23 2.5.2 COMBINACIÓN DE ESFUERZOS AXIALES Y DE TORSIÓN 24 2.5.3 COMBINACIÓN DE ESFUERZOS DE FLEXIÓN Y DE TORSIÓN. 24 2.5.4 COMBINACIÓN DE ESFUERZOS AXIALES, DE FLEXIÓN Y DE TORSIÓN.

25

2.6 CIRCULO DE MOHR. 25 2.7 CONCENTRACIÓN DE ESFUERZOS. 27 2.8 MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO. 28 2.8.1 ANTECEDENTES HISTORICOS DEL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO.

28

2.8.2 INTRODUCCIÓN AL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO. 29




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AUTOMOTRIZ. V

2.8.2.1 FUNDAMENTOS DEL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO. 32 2.9 PROCEDIMIENTO DEL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO. 33 2.9.1 DISCRETIZACIÓN DEL DOMINIO. 33 2.9.2 SELECCIONAR LAS FUNCIONES DE INTERPOLACIÓN. 33 2.9.3 DEFINIR LAS PROPIEDADES DE LOS ELEMENTOS. 33 2.9.4 ENSAMBLAR LAS PROPIEDADES DE LOS ELEMENTOS PARA OBTENER LAS ECUACIONES DEL SISTEMA, CONSIDERANDO LAS CONDICIONES DE FRONTERA DEL ESPECIMEN.

34 2.9.5 RESOLVER EL SISTEMA DE ECUACIONES. 34 2.9.6 EFECTUAR CÁLCULOS ADICIONALES. 34 2.10 CATEGORIAS DEL ELEMENTO FINITO 35 2.11 FORMULACIÓN DE ELEMENTOS FINITOS. 36 2.12 ESTABLECIMIENTO DE LAS ECUACIONES DEL ELEMENTO FINITO PARA ANÁLISIS DE ESFUERZOS.

36

2.12.1 ANÁLISIS ESTATICO. 36 2.12.2 COMPORTAMIENTO LINEAL. 37 2.13 VENTAJAS Y DESVENTAJAS DEL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO.

40

2.14 TERMODINAMICA DEL MOTOR. 41 2.14.1 TEMPERATURA DE AUTOENCENDIDO Y DE ÚLTIMO ENCENDIDO.

43

2.14.2 VELOCIDAD DE LA FLAMA. 43 2.14.3 SISTEMA DE ENFRIAMIENTO. 44 2.14.4 ENFRIAMIENTO POR ACEITE. 44 2.14.5 ANÁLISIS DEL PROCESO DEL MOTOR. 45 2.14.6 RECORRIDO DE LA FLAMA. 46 2.14.7 EL PROCESO DE ESCAPE. 46 2.15 TEORIAS DE FALLA. 47 2.15.1 TEORÍA DEL MÁXIMO ESFUERZO. 47 2.15.2 TEORÍA DEL CORTANTE MÁXIMO. 48 2.15.3 TEORÍA DE LA MÁXIMA DEFORMACIÓN. 49 2.15.4 TEORÍA DE VON MISES O DE LA ENERGÍA DE DISTORSIÓN.

50

2.15.5 TEORÍA DE LA MÁXIMA ENERGÍA DE DEFORMACIÓN UNITARIA.

52

2.16 ESFUERZOS EN LOS DIENTES DEL ENGRANE. 53 2.16.1 FACTOR GEOMÉTRICO. 60 2.16.2 MOMENTO FLECTOR EN EL ENGRANE. 62 2.16.3 FACTOR DE CONCENTRACIÓN DE ESFUERZOS EN EL DIENTE DEL ENGRANE.

62

2.17 SUMARIO. 62 2.18 REFERENCIAS. 63




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AUTOMOTRIZ. VI

CAPÍTULO 3. ANÁLISIS EMPLEANDO EL MÉTODO ANÁLITICO Y EL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO.

3.1 EL MÉTODO ANÁLITICO. 66 3.2 DISTRIBUCIÓN DE LOS PISTONES EN EL MOTOR. 66 3.3 ÁRBOL DE LEVAS. 67 3.4 TIEMPOS DE LOS PISTONES 67 3.5 CÁLCULO DE LA FUERZA TRANSMITIDA EN EL ENGRANE DEL ÁRBOL.

68

3.5.1 CÁLCULO DE LAS COMPONENTES DE LA FUERZA APLICADA EN EL ENGRANE DEL ÁRBOL.

68

3.5.1.1 CÁLCULO DEL SEGMENTO FH. 69 3.5.1.2 CÁLCULO DE LA COMPONENTE FEX. 69 3.5.1.3 CÁLCULO DE LA COMPONENTE FEY. 70 3.5.1.4 CÁLCULO DE LA COMPONENTE FEZ. 70 3.6 FUERZAS Y MOMENTOS TORSIONALES EJERCIDOS EN EL ÁRBOL DE LEVAS

71

3.7 CÁLCULO DE LOS MOMENTOS FLEXIONANTES. 71 3.7.1 CÁLCULO DEL MOMENTO FLEXIONANTE EN LA DIRECCIÓN “Z” POR EL MÉTODO DE CROSS.

71

3.7.1.1 CÁLCULO DEL MOMENTO DE INERCIA. 71 3.7.1.2 CÁLCULO DE LOS FACTORES DE RÍGIDEZ. 71 3.7.1.3 CÁLCULO DE LOS FACTORES DE DISTRIBUCIÓN. 72 3.7.1.4 CÁLCULO DE LOS MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO (MEP).

72

3.7.1.5 SOLUCIÓN DE LA VIGA EN LA DIRECCIÓN “Z”. 73 3.7.2 CÁLCULO DEL MOMENTO FLEXIONANTE EN LA DIRECCIÓN “Y” POR EL MÉTODO DE CROSS.

74

3.7.2.1 CÁLCULO DE LOS MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO (MEP).

74

3.7.2.2 SOLUCIÓN DE LA VIGA EN LA DIRECCIÓN “Y”. 74 3.7.3 CÁLCULO DEL MOMENTO FLEXIONANTE EN LA DIRECCIÓN “X”.

75

3.7.4 CÁLCULO DEL MOMENTO FLEXIONANTE RESULTANTE. 75 3.8 CÁLCULO DE LOS ESFUERZOS NORMALES DE FLEXIÓN Y TORSIÓN.

76

3.9 DETERMINACIÓN DE LOS FACTORES DE CONCENTRACIÓN DE ESFUERZOS.

76

3.9.1 FACTOR DE CONCENTRACIÓN DE ESFUERZOS POR FLEXIÓN.

76

3.9.2 FACTOR DE CONCENTRACIÓN DE ESFUERZOS POR TORSIÓN.

76

3.10 CÁLCULO DE LOS ESFUERZOS NORMALES DE FLEXIÓN Y TORSIÓN CON FACTOR DE CONCENTRACIÓN DE ESFUERZO.

77

3.11 CÁLCULO DE LOS ESFUERZOS PRINCIPALES DE FLEXIÓN Y TORSIÓN POR EL CÍRCULO DE MHOR.

77

3.12 CÁLCULO DEL ESFUERZO VON MISES EN EL ÁRBOL. 78




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AUTOMOTRIZ. VII

3.13 CÁLCULO DE LOS ESFUERZOS EN EL DIENTE DEL ENGRANE. 80 3.13.1 DETERMINACIÓN DE LOS ESFUERZOS NORMALES DE FLEXIÓN Y TRACCIÓN.

80

3.13.1.1 FACTOR DE CONCENTRACIÓN DE ESFUERZOS. 81 3.13.2 DETERMINACIÓN DE LOS ESFUERZOS DE TRACCIÓN Y FLEXIÓN CON FACTOR DE CONCENTRACIÓN DE ESFUERZOS ZONA A TRACCIÓN.

81 3.13.3 DETERMINACIÓN DE LOS ESFUERZOS DE TRACCIÓN Y FLEXIÓN CON FACTOR DE CONCENTRACIÓN DE ESFUERZOS ZONA A COMPRESIÓN.

81 3.13.4 CÁLCULO DE LOS ESFUERZOS PRINCIPALES EN LA ZONA DE TRACCIÓN.

82

3.13.5 CÁLCULO DE LOS ESFUERZOS PRINCIPALES EN LA ZONA DE COMPRESIÓN.

83

3.13.6 CÁLCULO DEL ESFUERZO VON MISES EN EL ENGRANE. 84 3.14 CONSTRUCCIÓN DEL MODELO DE ELEMENTOS FINITOS. 86 3.14.1 DESCRIPCIÓN DEL ANÁLISIS A REALIZAR. 87 3.15 RESULTADOS DEL ANÁLISIS NUMÉRICO. 91 3.16 SUMARIO. 94 3.17 REFERENCIAS. 97 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS Y EVALUACIÓN DE RESULTADOS. 4.1 ANÁLISIS DE RESULTADOS. 98 4.2 ANÁLISIS DE RESULTADOS NUMÉRICO-ANÁLITICO EN EL ÁRBOL.

98

4.3 ANÁLISIS DE RESULTADOS NUMÉRICO-ANÁLITICO EN EL ENGRANE.

99

CONCLUSIONES. 106 TRABAJO FUTURO. 107 ANEXO 1 GRÁFICA PARA DETERMINAR KF. 108 ANEXO 2 GRÁFICA PARA DETERMINAR KT. 109




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AUTOMOTRIZ. VIII

ÍNDICE DE FIGURAS CAPÍTULO 1 PÁGINAS

1.1 Primer vehículo de motor de combustión interna [1.1]. 2 1.2 Vehículo con motor de vapor de agua [1.1]. 2 1.3 Partes que componen a un árbol de levas [1.3]. 4 1.4 Perfil de leva [1.1]. 6 1.5 Estadística de ventas de Pointer en el 2007 [1.6]. 9 1.6 Estadística de ventas de Combi en el 2007 [1.6]. 9 CAPÍTULO 2

2.1 Cuerpo en equilibrio bajo fuerzas externas [2.1]. 16 2.2 Fuerzas distribuidas [2.1]. 16 2.3 Componentes de los esfuerzos [2.1]. 17 2.4 Esfuerzos y dimensiones [2.1]. 18 2.5 Esfuerzos actuantes en los planos coordenados [2.2]. 19 2.6 Viga sometida a cargas axiales y de flexión [2.4]. 23 2.7 Circulo de Mohr para estado plano de esfuerzos [2.4]. 25 2.8 Coeficiente de concentración de esfuerzos [2.4]. 27 2.9 Motor enfriado por agua [2.15]. 41 2.10 Esfuerzos principales [2.16]. 48 2.11 Teoría del máximo esfuerzo [2.16]. 48 2.12 Teoría del cortante máximo [2.16]. 49 2.13 Teoría de la máxima deformación [2.16]. 50 2.14 Teoría Von Mises [2.16]. 51 2.15 Representación grafica de la teorías de falla [2.16]. 53 2.16 Nomenclatura de un diente de engrane [2.17]. 54 2.17 Diente de engrane y viga en voladizo [2.17]. 55 2.18 Contacto entre dientes [2.17]. 59 CAPÍTULO 3

3.1 Distribución de válvulas de admisión y escape [3.1]. 66 3.2 Tipos de levas [3.1]. 67 3.3 Fuerza transmitida por el volante del motor [3.1]. 68 3.4 Descomposición de la fuerza en el engrane helicoidal [3.2]. 68 3.5 Triangulo rectángulo que contiene fh [3.2]. 69 3.6 Triangulo rectángulo que contiene Fx [3.2]. 69 3.7 Triangulo rectángulo que contiene Fy [3.2]. 70 3.8 Triangulo rectángulo que contiene Fz [3.2]. 70




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AUTOMOTRIZ. IX

3.9 Fuerzas ejercidas por la descomposición en el engrane, por las válvulas de los pistones 1 y 2 en los apoyos, y por el peso del engrane durante el cuarto tiempo [3.2].

71 3.10 Fuerzas ejercidas en la dirección “z” [3.3]. 73 3.11 Fuerzas ejercidas en la dirección “y” [3.3]. 74 3.12 Fuerzas ejercidas en la dirección “x” [3.4]. 75 3.13 Circulo de Mohr para esfuerzos combinados [3.4]. 77 3.14 Fuerzas ejercidas en el diente [3.2]. 80 3.15 Zonas generadas en la flexión [3.2]. 80 3.16 Esfuerzos en la zona de tracción [3.2]. 82 3.17 Esfuerzos en la zona de compresión [3.2]. 83 3.18 Dimensiones del árbol de levas en centímetros. 86 3.19 Elemento generado con dimensiones reales [3.8]. 87 3.20 Elemento estructurado como un volumen [3.9]. 87 3.21 Elemento mallado [3.10]. 88 3.22 Elemento mallado rotado [3.10]. 89 3.23 Área del engrane en contacto con el volante del motor [3.11]. 90 3.24 Resultados del análisis numérico en el árbol. 91 3.25 Resultados del análisis numérico en el diente del engrane esfuerzo principal máximo.

92

3.26 Resultados del análisis numérico en el diente del engrane esfuerzo principal mínimo.

93

CAPÍTULO 4

4.1 Esfuerzo máximo obtenido Von Mises. 98 4.2 Esfuerzos concentrados en un punto de el diente. 100 4.3 Esfuerzos en el diente para diferentes puntos. 101 4.4 Concentración de esfuerzos en el diente. 102 4.5 Esfuerzo máximo principal en el diente. 103 4.6 Esfuerzo mínimo principal en el diente. 104




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AUTOMOTRIZ. X

ÍNDICE DE TABLAS CAPÍTULO 1

PÁGINAS

TABLA 1.1 Especificaciones del árbol de levas [1.4] 8 TABLA 1.2 Volumen de ventas de autos Volkswagen en el 2007 [1.6] 10 CAPÍTULO 2

TABLA 2.1 Valores del factor deforma y de Lewis, de la AGMA. [2.17] 57 CAPITULO 3

TABLA 3.1 Sincronización de los tiempos [3.1] 67 TABLA 3.2 Propiedades mecánicas del material acero al carbón [3.4] 86 CAPITULO 4

TABLA 4.1 Comparación de resultados métodos numérico-analítico. 99 TABLA 4.2 Comparación de resultados métodos numérico-analitico en el engrane.

100




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AUTOMOTRIZ. XI

SIMBOLOGÍA

A Área de acción de la fuerza exterior. AA Área transversal del árbol.

aBC Distancia a la izquierda de la fuerza en el tramo BC.

aCD Distancia a la izquierda de la fuerza en el tramo CD.

bBC Distancia a la derecha de la fuerza en el tramo BC.

bCD Distancia a la derecha de la fuerza en el tramo CD.

b Ancho de la cara del diente del engrane.

Cm Centímetros. D Diámetro del engrane. d Diámetro del árbol. dx Distancia en la dirección X. dy Distancia en la dirección Y. dz Distancia en la dirección Z. E Modulo de elasticidad axial F Fuerza en el engrane transmitida por el volante del motor. FD Factor de distribución. FDBC Factor de distribución en el tramo BC. FDCD Factor de distribución en el tramo CD. FEX Componente de la fuerza en el engrane en la dirección X. FEY Componente de la fuerza en el engrane en la dirección Y. FEZ Componente de la fuerza en el engrane en la dirección Z. FH Distancia entre los puntos f y h. FVAZ Fuerza ejercida por la válvula de admisión en la dirección Z. FVEZ Fuerza ejercida por la válvula de escape en la dirección Z.

I Momento polar de inercia.

1I Invariante número 1 del tensor de esfuerzos.

2I Invariante número 2 del tensor de esfuerzos.

K Rigidez de la viga.

K Sumatoria de valores de la rigidez por tramos. KBC Rigidez de la viga en el tramo BC. KCD KA

Rigidez de la viga en el tramo CD. Factor de concentración de esfuerzos por cargas axiales en el árbol.

KF Factor de concentración de esfuerzos por flexión en el árbol. KT Factor de concentración de esfuerzos por torsión en el árbol. L Longitud de la viga.

l Longitud del diente.

LAB Longitud del tramo AB. LBC Longitud del tramo BC. LCD Longitud del tramo CD. M Momento flexionante en el árbol. MA Momento de empotramiento perfecto en el punto A.




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AUTOMOTRIZ. XII

MBD Momento de empotramiento perfecto en el punto B por la derecha. MBI Momento de empotramiento perfecto en el punto B por la izquierda. MCD Momento de empotramiento perfecto en el punto C por la derecha. MCI Momento de empotramiento perfecto en el punto C por la izquierda. MDD Momento de empotramiento perfecto en el punto D por la derecha. MEP Momento de empotramiento perfecto. MF Momento flexionante en el diente del engrane. MR Momento flexionante resultante. Mt Momento torsionante transmitido por el volante del motor al engrane. MX Momento flexionante en la dirección X. MY Momento flexionante en la dirección Y. MZ Momento flexionante en la dirección Z. m Metros. N Newtons. P Carga exterior. R Radio del círculo de Mhor. R1X Reacción en el apoyo 1 en la dirección X. R1Y Reacción en el apoyo 1 en la dirección Y. R1Z Reacción en el apoyo 1 en la dirección Z. R2Y Reacción en el apoyo 2 en la dirección Y. R2Z Reacción en el apoyo 2 en la dirección Z.

r Radio del filete.

rA Radio del árbol.

rE Radio del engrane.

rc Compresión volumétrica.

t Ancho del diente.

WE Peso del engrane.

Y Factor de Lewis.

Z Modulo de área en el diente del engrane. Relación de Poisson.

X Deformación unitaria en la dirección X.

Y Deformación unitaria en la dirección Y.

Z Deformación unitaria en la dirección Z.

a Rendimiento térmico.

Esfuerzo normal.

C Esfuerzo a compresión.

FKc Esfuerzo a flexión con factor de concentración de esfuerzos zona a compresión.

TKc Esfuerzo a tracción con factor de concentración de esfuerzos zona a compresión.




ÍNDICE


AUTOMOTRIZ. XIII

TFK Esfuerzo a flexión con factor de concentración de esfuerzos zona a tracción.

TTK Esfuerzo a tracción con factor de concentración de esfuerzos zona a tracción.

F Esfuerzo normal a flexión.

KF Esfuerzo normal con factor de concentración de esfuerzos a flexión.

K Esfuerzo normal con factor de concentración de esfuerzos.

MAX Esfuerzo normal máximo.

MIN Esfuerzo normal mínimo.

T Esfuerzo a tracción.

VM Esfuerzo de Von Mises.

X Esfuerzo normal en la dirección X.

Y Esfuerzo normal en la dirección Y.

Z Esfuerzo normal en la dirección Z.

1 Esfuerzo normal con cargas axiales y de flexión.

2 Esfuerzo normal en la dirección Y.

3 Esfuerzo normal en la dirección Z.

YP Esfuerzo último de cedencia.

PC Esfuerzo en el punto de cedencia.

MIN

MAXEAF Esfuerzo máximo o mínimo con cargas axiales y flexionantes.

MIN

MAXEAT Esfuerzo máximo o mínimo con cargas axiales y torsionales.

MIN

MAXEFT Esfuerzo máximo o mínimo con cargas de flexión y torsión.

MIN

MAXEAFT Esfuerzo máximo o mínimo con cargas axiales, de flexión y torsión.

Esfuerzo cortante.

E Esfuerzo torsionante en el engrane.

KT Esfuerzo cortante con factor de concentración de esfuerzo a torsión.

MAX Esfuerzo cortante máximo.

XY Esfuerzo cortante en la cara X, en la dirección Y.

XZ Esfuerzo cortante en la cara X, en la dirección Z.

YX Esfuerzo cortante en la cara Y, en la dirección X.

YZ Esfuerzo cortante en la cara Y, en la dirección Z.

ZX Esfuerzo cortante en la cara Z, en la dirección X.

ZY Esfuerzo cortante en la cara Z, en la dirección Y.

EATMAX Esfuerzo cortante máximo con cargas axiales y torsionales.




ÍNDICE


AUTOMOTRIZ. XIV

EFTMAX Esfuerzo cortante máximo con cargas de flexión y torsión.

EAFTMAX Esfuerzo cortante máximo con cargas axiales, de flexión y torsión.

Ángulo formado entre los lados fh y FEZ. Ángulo formado entre los lados fh y FEX.

Ángulo formado entre los lados fh y F.




OBJETIVO

ANÁLISIS DE ESFUERZOS POR LOS MÉTODOS NUMÉRICO-ANALÍTICO DE UN ÁRBOL DE LEVAS

AUTOMOTRIZ.

XV

OBJETIVO

Utilizar el método del elemento finito para desarrollar un análisis numérico que permita determinar los esfuerzos en un árbol de levas automotriz, validando los resultados por el método analítico (resistencia de materiales). Proporcionando información detallada de la estructura analizada. Se contempla también la vinculación con el sector productivo, ya que los esfuerzos obtenidos pueden ser utilizados en la industria automotriz. Con la información encontrada se puede tener una comprensión más clara del campo de esfuerzos y a partir de ahí, poder rediseñar al elemento mecánico, si fuese necesario.




JUSTIFICACIÓN


AUTOMOTRIZ.

XVI

JUSTIFICACIÓN

Actualmente, la industria automotriz presenta un desarrollo sumamente importante a nivel mundial, en el país, actualmente se tiene la necesidad de desarrollo en este sector. Ante esto el principal problema es generar tecnología propia con la finalidad de reducir la importación de vehículos, refacciones y accesorios. Considerando tal situación, es conveniente desarrollar una línea de investigación en mecánica automotriz, basándose en los diversos análisis realizados en transporte terrestre como son: camiones de carga, autobuses de pasajeros, automóviles de uso particular, se puede decir que actualmente con este tipo de trabajos se puede llevar a cabo un análisis completo a todos los elementos mecánicos para cualquier tipo de automóvil, este tipo de análisis pueden mejorar el progreso en el país, sin necesidad de tener costos tan elevados. . Es conveniente mencionar que también existen antecedentes de análisis a un barco en transporte marítimo, al ala de un avión en transporte aéreo y en transporte terrestre a la plataforma de un tracto camión, a la carrocería de un autobús y el análisis numérico-experimental de un auto SAE mini baja. Debido a la rapidez del desarrollo de conocimiento técnico que se ha dado en los últimos tiempos y el uso adecuado de esto, se han obtenido nuevos diseños los cuales podrían generar resultados inciertos debido a la complejidad de la nueva tecnología. Las herramientas analíticas de la ingeniería actualmente están bien elaboradas, pero al tratar un fenómeno físico, se encuentran frecuentemente problemas derivados de la necesidad de desarrollar, organizar y evaluar información bajo un marco de incertidumbre, por lo cual es necesario validar los resultados por varios métodos.




INTRODUCCIÓN


AUTOMOTRIZ.

XVII

INTRODUCCIÓN

Tradicionalmente, han sido los métodos analíticos los que han permitido conocer la distribución de esfuerzos en los sólidos elásticos sometidos a solicitaciones exteriores arbitrarias. En los últimos años se han empleado métodos numéricos para resolver estos problemas, pero lo que entonces parecía como un método que iba a desplazar totalmente a los métodos analíticos y experimentales, aparece hoy en día como un método complementario.

En el capítulo 1 se describe la historia del automóvil, se expone la función y

operación del árbol de levas y se genera el planteamiento del problema. En el capítulo 2 se presentan los antecedentes de análisis de esfuerzos

(teoría de la elasticidad), y conceptos básicos del método del elemento finito. En el capítulo 3 se realiza el análisis de esfuerzos empleando el método del

elemento finito con el paquete computacional ANSYS y el método analítico. En el capítulo 4 se evalúan los resultados de los análisis numérico y

analítico, validando los resultados. Es importante mencionar que en la SEPI-ESIME ya se han realizado

análisis con el Método del Elemento Finito en el área de transportes, terrestre, marítimo y aéreo, existen los antecedentes de los siguientes trabajos. En transporte de carga Guerra Loaeza analizó esfuerzos en semi-remolque para trailer tipo plataforma [1], Vázquez Mendoza optimizó la estructura de una plataforma para tractocamión [2], en la línea de transporte de pasajeros Esteban Gamez realizo el modelo y análisis de un carro guiado por un autobús [3], Flores Herrera realizo el análisis estructural de un autobús escolar [4].

En lo que se refiere a la suspensión de un vehículo Rojas Vázquez optimizó

un sistema de suspensión trasera tipo muelle [5], en transporte eléctrico, Osuna Amparo realizó el análisis estructural y optimización de un chasis de un vehículo de tracción eléctrica [6].

En diseño de un vehículo SAE Mini-Baja, Plata Contreras realizó el diseño,

análisis y construcción del prototipo [7], Aguilar Espinosa desarrollo el diseño de la suspensión y dirección [8], Rosales Iriarte diseño y analizó un sistema de transmisión variable [9] y Severiano Pérez realizo el análisis numérico experimental de un auto SAE Mini-Baja [10].

En transporte marítimo Zarco González desarrollo el análisis estructural del

casco de una embarcación transportadora de sal [11] y en transporte aéreo Martín Castillo desarrollo un análisis de esfuerzos en la caja de torsión de un ala [12].




INTRODUCCIÓN


AUTOMOTRIZ. XVIII

En el presente trabajo se desarrolla el análisis de esfuerzos a un árbol de levas automotriz, por medio de la resistencia de materiales y elemento finito.




INTRODUCCIÓN


AUTOMOTRIZ. XIX

REFERENCIAS

[1] Guerra Loaeza, V., Aplicación del Método del Elemento Finito al Análisis de un Semi-remolque para trailer tipo plataforma. Tesis de Maestría, SEPI ESIME IPN, México, 1996.

[2] Vázquez Mendoza, H. H., Optimización del diseño Estructural de una

plataforma para tractocamión. Tesis de Maestría, SEPI ESIME IPN, México, 1998.

[3] Esteban Gamez, V., Análisis Estructural del Carro Guiado de un

Autobús. Tesis de Maestría, SEPI ESIME IPN, México, 2002. [4] Flores Herrera, L., Análisis Estructural de un Autobús Escolar. Tesis de

Maestría, SEPI ESIME IPN, México, 2002. [5] Rojas Vázquez, G., Optimización de un Sistema de Suspensión

Trasera Tipo Muelle con el Programa Adams. Tesis de Maestría, SEPI ESIME IPN, México, 2002.

[6] Osuna Amparo, C. A., Análisis Estructural y Optimización del Chasis

de un Vehículo de tracción Eléctrica. Tesis de Maestría, SEPI ESIME IPN, México, 1999.

[7] Platas Contreras, G., Diseño, Análisis y Construcción De un Chasis

Para un Auto SAE Mini-Baja. Tesis de Maestría, SEPI ESIME IPN, México, 2003.

[8] Aguilar Espinosa, A., Diseño y Análisis de la Suspensión y Dirección

de un Carro Todo Terreno Tipo SAE Mini-Baja. Tesis de Maestría, SEPI ESIME IPN, México, 2003.

[9] Rosales Iriarte, F., Diseño y Análisis de un sistema de Transmisión de

Velocidad Variable Para un Auto SAE Mini-Baja. Tesis de Maestría, SEPI ESIME IPN, México, 2003.

[10] Severiano Pérez, O., Análisis Numérico-Experimental de un Auto SAE

Mini-Baja. Tesis de Maestría, SEPI ESIME IPN, México, 2005. [11] Zarco González, J.C., Análisis Estructural por el Método del Elemento

Finito de Casco de una Embarcación Transportadora de Sal de 101.6 m de Eslora. Tesis de Maestría, SEPI ESIME IPN, México, 1999.

[12] Castillo Morales, M., Análisis de Esfuerzos en la Caja de Torsión de un

Ala. Tesis de Maestría, SEPI ESIME IPN, México, 2002.




CAPÍTULO I


AUTOMOTRIZ.

1

CAPÍTULO 1

FUNCIÓN Y OPERACIÓN DE LOS ÁRBOLES DE LEVAS.




CAPITULO I


AUTOMOTRIZ. 2

1.1 HISTORIA DE LA INDUSTRIA AUTOMOVILISTICA

Figura 1.1 Primer vehículo de motor de combustión interna [1.1].

El progreso del transporte ha estado siempre estrechamente vinculado con el avance de la civilización [1.1]. El marítimo ha evolucionado desde la simple balsa hasta los modernos trasatlánticos; en el aire, del primer globo a los aviones supersónicos, y en tierra, de las carretas de bueyes, al automóvil de alta velocidad.

El automóvil en sí mismo nació en la segunda mitad del siglo XIX, pero ha

habido en la historia numerosas tentativas para evitar la dependencia de la tracción animal o humana, siendo muchos los mecanismos probados a partir del siglo XVII [1.2]. El primer motor de tracción mecánica fue el de vapor que se instaló sobre una plataforma en ruedas. En el periodo de 1770-1790 surgieron los primeros vehículos accionados con este tipo de motores (figura 1.2).

Figura 1.2 Vehículo con motor de vapor de agua [1.1].

A partir del vapor, también es desarrollado el motor de gas, probablemente patentado en 1833 por el británico Wellman Wright. Estos presentaban el inconveniente de tener que transportar un generador de energía, quedando la relación de peso potencia muy elevada, dejando muy pocas posibilidades de carga útil. Posteriormente en 1876 empezó a funcionar el primer motor de combustión interna fabricado por Nicholas Otto y que utilizaba gasolina en vez de vapor. Este motor, respecto a los anteriores, simplificaba enormemente la relación peso-potencia y el montaje del mismo. Por otra parte, en 1885, el




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AUTOMOTRIZ. 3

alemán Karl Benz introdujo el primer automóvil impulsado por motor de combustión interna. En 1871, C. E. Duryea produjo el primer automóvil americano de gasolina y en 1893 Henry Ford construyó su primer automóvil. La evolución del automóvil también ha encontrado muchos obstáculos legales y censuras del público en general. Por ejemplo, en 1865, en Inglaterra, se emitió una ley exigiendo que por lo menos tres personas debieran encargarse de un auto en movimiento. Una persona a pie, con una bandera roja, debía ir adelante del automóvil, a unos 70 metros y prevenir a los jinetes y cocheros del peligro. El límite de velocidad era de dos millas por hora en la ciudad y de cuatro por hora en el campo. A fines del siglo XIX, los vehículos impulsados por gasolina tuvieron una ruda competencia con los de vapor y electricidad; estos últimos tenían la ventaja de poseer gran potencia a baja velocidad, haciendo inútil la transmisión. El peligro de las calderas a alta presión y la recarga de las baterías redujo su popularidad. La propulsión por gasolina, a pesar de la necesidad de la transmisión, tenía grandes ventajas:

1. Producción de gran potencia con una pequeña cantidad de combustible.

2. Capacidad para viajar más lejos, sin parar para reabastecerse de gasolina o agua, en contraste con la unidad de vapor, o para recargar las baterías en el caso del automóvil eléctrico.

3. El combustible necesario podía cargarse fácil y rápidamente.

El automóvil moderno es resultado de muchos años de exploración,

investigación y desarrollo. Lo anterior se manifiesta en la manufactura de un medio de transporte masivo eficiente, confiable y costeable. El automóvil de hoy es una máquina complicada que comprende numerosos aparatos mecánicos y eléctricos que utilizan muchos principios científicos. Gracias a la invención de los carburadores de gasolina pulverizada (por Bernardi, Italia 1889-1892 para motores monocilíndricos y May Bach, en Alemania y Forest, en Francia, 1893 para motores policilíndricos), con cubeta y flotador para el carburante, fue posible la construcción de motores automovilísticos de combustión interna.

En 1900, después de la muerte de Daimler, ocurrida el 6 de Marzo de aquel

año, surgió la obra de May Bach: el motor de cuatro cilindros en línea y verticales, que incluían todas las innovaciones técnicas de años precedentes, desarrollando 35 CV y rendimiento térmico excepcional para aquella época. Montado en el primer Mercedes, señalo el ocaso del automovilismo de vapor. De esta manera, la técnica motorística evolucionó rápidamente hacía el motor policilíndrico vertical en línea en posición delantera de los automóviles. Por otra parte la evolución de los automóviles con motores diesel ha sido mucho más lenta. La primera patente concedida fue para Rudolf Diesel, se fechó el 4 de febrero de 1892. El primer motor diesel que funcionó con resultados industriales positivos fue un monocilíndrico de 4 tiempos de enormes dimensiones (250 x 400 mm), que con una presión final de




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AUTOMOTRIZ. 4

compresión de unas 32 atmósferas, daba 18 CV a unas 154 rpm; sin embargo, todavía pasaron varios decenios antes de que estos motores fueran más eficientes. 1.2 DESCRIPCIÓN DE LA PIEZA [1.3].

La leva es un elemento mecánico con un diseño en su contorno que convierte el movimiento de rotación uniforme, en un movimiento previamente establecido, que se transmite por contacto directo a las válvulas.

El árbol de levas es el elemento mecánico que recibe movimiento giratorio del cigüeñal y lo transmite a las válvulas, en las que es transformado en movimiento rectilíneo alterno. El árbol de levas lo constituye un eje de acero al carbono, en el que están maquinadas unas levas, en número igual al de válvulas del motor, las levas se alternan, de manera que se produzcan las aperturas y cierres de las válvulas con arreglo a los tiempos de cada cilindro y en los momentos adecuados (figura 1.3).

Fig. 1.3 Partes que componen a un árbol de levas [1.3].

El árbol de levas gira apoyado en cojinetes de metal antifricción, como cada válvula del motor ha de abrir y cerrar una vez por cada ciclo completo, la leva que rige a la válvula ha de girar una vuelta en cada ciclo.

El árbol de levas controla también el accionamiento del distribuidor, el mando de las bombas de aceite y combustible y directa o indirectamente afecta a todas las partes que trabajen en el motor.

Las levas son endurecidas por tratamiento térmico en todo su contorno para evitar un rápido desgaste en su periferia. El desgaste se presenta normalmente en la nariz reduciendo gradualmente “la altura del levantamiento”, que absorbe




CAPITULO I


AUTOMOTRIZ. 5

la válvula para lograr la inducción de mezcla aire combustible y desalojo de los gases de combustión.

Si el desgaste se presenta en los flancos o rampas, el funcionamiento de la válvula será brusco y ruidoso causando que la puntería (buzo) trabaje sin acción hidráulica provocando bajo rendimiento en el motor.

Los motores modernos de alta compresión han impuesto una carga y demanda mucho mayor en la función que tienen que realizar los árboles de levas. Esto hace necesaria la inspección de los esfuerzos a los que va estar sometido el árbol de levas.

El perfil de la leva (figura 1.4) determina el movimiento de apertura de la válvula y el tiempo que permanece abierta. Este perfil es diferente para las válvulas de escape y para las de admisión, dados los distintos ángulos de apertura y cierre de las mismas, fijados por la distribución. La posición de la prominencia sobre el árbol de levas se determina en orden de obtener la apertura de la válvula en el preciso instante establecido en el ciclo del motor.

Con un perfil adecuado en ambas levas de un cilindro, se consigue levantar las válvulas hasta una altura conveniente y mantenerlas abiertas durante un tiempo ideal para obtener el rendimiento óptimo del motor. La máxima apertura lograda en las válvulas se denomina alzada.

La precisión en el perfil de las levas es tan importante, que requiere de un complicado diseño en todo su contorno. Este se calcula con ayuda de una computadora para evitar errores de índice, ya que de la exactitud del perfil depende la eficiencia con que trabaje el motor.

Las condiciones básicas que deben considerarse en el diseño de una leva

son las siguientes: 1. Lograr un movimiento suave y sin choques entre el mecanismo levanta

válvulas y las válvulas cuando se alojen en los asientos. Evitar rebotes entre las punterías (buzos) y las levas después de que la válvula se aloja en su asiento.

2. Obtener bajos valores de aceleración positiva y negativa para disminuir

las fuerzas de torsión y tensión a la que será sometido el árbol de levas.

El perfil típico de una leva comprende en general:

a. Un tramo de circunferencia de radio A, que se define como círculo base, al que corresponde el período de cierre de la válvula.

b. Un tramo de circunferencia de radio B, definido como círculo de cresta, que corresponde a la fase de máxima apertura.




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AUTOMOTRIZ. 6

c. Dos tramos C rectilíneos llamados flancos de la leva, que corresponden a los inicios de apertura y cierre de las válvulas.

Figura 1.4 Perfil de leva [1.3].

Dispuesto de esta manera el perfil de la leva, la válvula comienza a abrirse cuando se inicia el contacto de la válvula con el flanco, una vez que abandona el tramo de círculo base (con el giro de la leva), es decir, en el punto de tangencia T de ambos tramos; y se cierra en el punto de tangencia T’ del lado

opuesto. El ángulo de apertura de la válvula, es el comprendido entre los puntos de tangencia T y T’ y corresponde al determinado por la distribución (diferente para las válvulas de admisión y escape).

En la práctica es necesario establecer ciertos huelgos entre los dos

elementos, a fin de permitir, la dilatación térmica de los materiales que se produce con el funcionamiento del motor.

Como el árbol de levas es movido por el cigüeñal y, para lograrlo, se

acoplan ambos mediante engranes, el árbol de levas emplea un piñón con doble número de dientes que el del cigüeñal. Estos engranes se llaman de la distribución y se alojan en el cárter de mando, situado en la parte delantera del motor.

Un árbol de levas se encuentra sometido a los siguientes esfuerzos:

a) Térmicos por calentamiento del motor al funcionar. b) Torsionales por transmisión de movimiento del cigüeñal al árbol de levas

a través de engranes.

c) Flexión por accionamiento de las válvulas a través de las levas.




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1.3 ARBOL DE LEVAS Y BANDA DE SINCRONIZACION [1.4].

Para que un motor automotriz funcione perfectamente debe existir sincronización entre el cigüeñal, el distribuidor y el árbol de levas. Si la banda de transmisión del árbol de levas se brincara por varios dientes en la sincronización el motor deja de funcionar, en cambio si la banda de transmisión del árbol de levas se brincara la sincronización por un diente o dos, el motor podría todavía funcionar aunque en forma muy deficiente. 1.3.1 VERIFICACION VISUAL DE LA SINCRONIZACIÓN

Para verificar visualmente la sincronización correcta del cigüeñal, el árbol de levas y la banda de sincronización se sigue este procedimiento:

- En los motores hay un tapón de acceso previsto en la cubierta de la banda de transmisión de la leva para que pueda verificarse la sincronización del árbol de levas sin quitar la cubierta de la banda de transmisión.

- Quitar el tapón de acceso, para visualizar que al girar el cigüeñal la marca de sincronización quede en la parte superior, y observe que la marca de sincronización de la rueda dentada motriz del árbol de levas coincida con la marca de la cubierta interior de la banda.

- El distribuidor se debe colocar en su posición cuando el pistón 1 quede en la parte superior.

Tabla 1.1 Especificaciones del árbol de levas [1.4].

Elevación

de la

leva

Elevación de la válvula

Admisión Escape

Juego axial

del

árbol de levas

Holgura

de

muñón a cojinete

Límite de

ovalamiento

del muñón

0.572

0.955 0.952

0.0004-0.0127

0.002-0.006

0.020

(Todas las medidas expresadas en centímetros.)




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AUTOMOTRIZ. 8

1.4 PRODUCCIÓN [1.5].

El árbol de levas en estudio está presente en los motores de automóviles Volkswagen modelos sedan, pointer y combi. El volumen de fabricación en el 2013 fue de 35,644 árboles para motores nuevos, más 1600 unidades para el mercado de refacciones, ver figuras (1.5 y 1.6).

Figura 1.5 Estadística de ventas de pointer en el 2013 [1.6].

Figura 1.6 Estadística de ventas de combi en el 2013 [1.6].




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AUTOMOTRIZ. 9

En el año 2013, la Empresa Volkswagen presentó un crecimiento en su producción y ventas del 2.1%, actualmente participa en el mercado nacional con el 19.6%, llegando a vender 102,269 unidades. Entre los autos más vendidos a nivel nacional tenemos que el Jetta ocupa el 3er. lugar, el 5to. lugar lo ocupa el Bora y en el 7to. el Pointer.

Tabla 1.2 Volumen de ventas de autos Volkswagen en el 2013 [1.6].

Lugar en ventas Modelos de automóviles Unidades

1 Jetta 38,600

2 Bora 30,517

3 Pointer 26,422

4 Combi 9,222

5 Cross Fox 4,695

6 Beetle 2,268

7 Otros modelos GTI 545

1.5 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

El problema consiste en determinar la distribución de los esfuerzos,

haciendo énfasis en el esfuerzo máximo que se presenta en un árbol de levas, que forma parte de un motor automotriz de cuatro cilindros marca Volkswagen.

El árbol de levas se encuentra sometido a cargas de torsión y flexión

simultáneamente, la flexión es generada por el accionamiento de las válvulas de admisión y escape en los pistones, y por la descomposición de la fuerza en el engrane, la torsión es transmitida por el cigüeñal.

El análisis de esfuerzo torsionante se realizó cuando el motor desarrolla su

máxima capacidad de trabajo, el esfuerzo flexionante se analizó en los pistones uno y dos en las válvulas de escape y admisión respectivamente, ya que estas válvulas generan el momento flexionante máximo.

El problema se aborda de manera analítica (resistencia de materiales) y por

medio de análisis numérico. Para la parte numérica, se encuentra el campo de esfuerzos utilizando el Método del Elemento Finito, con el programa comercial ANSYS (Ansys Inc. versión 9.0).

La parte analítica se basa en la Teoría de resistencia de materiales y tiene

como finalidad validar los resultados. Los métodos analíticos empleados fueron: para el momento flexionante

actuante sobre el árbol de levas el método de Cross, el momento torsionante fue obtenido del manual del automóvil, con ambos momentos se calcularon los esfuerzos normales, los cuales fueron multiplicados por los factores de




CAPITULO I


AUTOMOTRIZ. 10

concentración de esfuerzos, posteriormente los esfuerzos anteriores fueron utilizados en el círculo de Mhor para conocer los esfuerzos máximos de flexión y torsión, con los cuales se obtuvo el esfuerzo de Von Mises.

Durante los últimos años, la utilización del MEF (el Método del Elemento

Finito), se ha incrementado y ha demostrado ser un método altamente confiable, siendo más adecuado por que ahorra costos generados por pruebas experimentales que pueden llegar a ser de tipo destructivo, sin embargo se considera conveniente llevar a cabo pruebas experimentales o métodos analíticos para validar los resultados, ya que ocasionalmente, se han observado deficiencias en las consideraciones que describen el problema, por tal razón se ha llegado a concluir que es necesario cotejar los resultados del mismo contra los resultados analíticos.




CAPITULO I


AUTOMOTRIZ. 11

1.7 SUMARIO

Una vez que se conoce la historia del automóvil, la descripción de la pieza, árbol de levas y la banda de sincronización, verificación visual de la sincronización, y lo concerniente a producción se analiza al elemento de estudio por los métodos de resistencia de materiales y numérico con la finalidad de obtener los esfuerzos de Von Mises que servirán para saber si la pieza finalmente es adecuada.




CAPITULO I


AUTOMOTRIZ. 12

1.8 REFERENCIAS.

[1] C. Nash Frederick. Fundamentos de mecánica automotriz. Diana, 1era.

Edición, 33 ava. Impresión. Página 10.

[2] Font Mezquita José, Dols Ruiz Juan. Tratado sobre automóviles Volumen I. Editorial Alfaomega / Universidad Politécnica de Valencia, 2000. Página 99.

[3] Development of optimization technique of warm shrink fitting process for

Automotive transmission parts (3DFE analysis), Journal of Materials

Processing Technology, Volumes 187-188, 12 June 2007, Pages 458-462. H.Y. Kim, C. Kim, W.B. Bae and S. M. Han

[4] Miralles de Imperial Juan, Villalta Esquius Juan. Motor Características

Pruebas y Vibraciones. Editorial CEAC, 3era. Edición, 1986. Página 103.

[5] Fernández Rojas José, Enríquez Chávez Luis. Producción sobre autos Nacionales. Fernández Editores/ 2007. Páginas 35, 36 y 37.




CAPÍTULO II


AUTOMOTRIZ.

13

CAPÍTULO 2

ANTECEDENTES DE ANÁLISIS DE ESFUERZOS Y MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO




CAPÍTULO II


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2.1 GENERALIDADES [2.1].

Todos los materiales estructurales presentan en cierto grado la propiedad de elasticidad, es decir, si las fuerzas exteriores que deforman la estructura no rebasan un cierto límite, la deformación desaparece cuando se suprimen tales fuerzas. En este trabajo se supondrá que los cuerpos que sufren la acción de las fuerzas exteriores trabajan en un rango perfectamente elástico, es decir, recuperan su forma inicial después de suprimir las fuerzas.

La estructura molecular de los cuerpos elásticos no será considerada. Se

supondrá que la materia del cuerpo elástico es homogénea distribuyéndose con continuidad en su volumen, de forma que cualquier elemento extraído de él, posee sus mismas propiedades físicas. Para simplificar los razonamientos se supondrá también que el cuerpo es isótropo, es decir, las propiedades elásticas son las mismas en todas las direcciones.

Los materiales estructurales no cumplen, en general, las condiciones

señaladas anteriormente. Un material tan importante como el acero, por ejemplo, consiste en cristales diferentes, distintamente orientados como puede verse al observarlo al microscopio. El material dista mucho de ser homogéneo, pero la experiencia muestra que las soluciones de la teoría elástica, admitiendo las condiciones de homogeneidad e isotropía, pueden ser aplicadas a las estructuras de acero con gran exactitud. La explicación es que los cristales son muy pequeños: generalmente hay millones en un centímetro cúbico.

Mientras que las propiedades elásticas de un cristal pueden variar mucho

con la dirección, los cristales están generalmente orientados al azar y las propiedades elásticas de las piezas grandes corresponden a los promedios de las propiedades cristalinas. Siempre que las dimensiones geométricas de un cuerpo sean grandes comparadas con las dimensiones de los cristales, la suposición de homogeneidad puede ser usada con gran exactitud y si los cristales están orientados al azar, el material puede ser tratado también como isótropo.

Cuando a causa de ciertos procesos tecnológicos, tales como el laminado,

predomina una cierta orientación de los cristales del metal, las propiedades elásticas dependen de la dirección y debe considerarse la condición de anisotropía. Tal condición se da, por ejemplo, en el cobre laminado en frío.

En los problemas de análisis de esfuerzos, la forma geométrica es un dato y

también, en la mayoría de los casos, sus condiciones limítrofes. Analizar los esfuerzos, significa determinar su magnitud en cada punto. En el caso general, para hacer un análisis de esfuerzos completo en un cuerpo, se requiere hacer la determinación, en todos los puntos del cuerpo, de seis incógnitas, que pueden ser los valores de las tres componentes correspondientes de los esfuerzos y de otras tres correspondientes de los esfuerzos cortantes, o los valores de los tres esfuerzos principales y sus direcciones.




CAPÍTULO II


AUTOMOTRIZ. 15

Cuando las condiciones del borde (frontera) cambian con el tiempo, los

valores de las seis incógnitas son también función del tiempo. Si la relación entre los esfuerzos y las deformaciones en el material que se va a usar, no es lineal, el estado de esfuerzo dependerá generalmente de la magnitud de la carga. Presentada en toda su generalidad, la solución del problema de la determinación de los esfuerzos, las deformaciones asociadas a ellos y los desplazamientos en un cuerpo tridimensional hecho de un material heterogéneo, anisótropo, que se comporta de una manera no elástica y que está sujeto a una carga dinámica, es casi imposible. En efecto, aun para condiciones en la frontera, estáticas, los problemas de los materiales lineales, homogéneos e isótropos, con frecuencia no han sido resueltos en toda su generalidad.

De lo que acaba de decirse se deduce que los métodos experimentales para

los análisis de esfuerzos son de dos tipos principales: los que dan información de punto por punto y los que dan información conjunta o de campo completo. Los medidores de deformaciones eléctricos y mecánicos son instrumentos que dan información de punto por punto; la fotoelasticidad, las cuadrículas, el Moiré, y los recubrimientos frágiles son métodos que dan información de conjunto. Es posible obtener información de conjunto de instrumentos que dan solamente información punto por punto, teniendo un número suficientemente grande de ellos. Sin embargo, en general ésta no es una manera muy eficiente de tratar la solución del problema.

Esfuerzos. Supongamos que el cuerpo representado en la figura 2.1, se

encuentra en equilibrio. Bajo la acción de las fuerzas exteriores P 1 ,….P 7 , se

producirán otras interiores que actuarán entre las distintas partes del cuerpo. Para determinar la magnitud de esas fuerzas en cualquier punto O, suponemos al cuerpo dividido en dos partes, mediante la sección plana mm que contiene a dicho punto.

Si consideramos una de esas regiones, por ejemplo, la superior, se puede

establecer que está en equilibrio bajo la acción de las fuerzas exteriores

P 1 ,….P 7 , e interiores, repartidas en la sección mm, que representa la acción

del material de la región inferior sobre el material de la región superior. Se supondrá que estas fuerzas se distribuyen con continuidad en la sección mm, de la misma forma que la presión hidrostática o la presión del viento se distribuyen de forma continua en la superficie sobre la cual actúan. La magnitud de tales fuerzas se define generalmente por su intensidad, o sea, por la fuerza que actúa sobre el área unidad. Cuando se trata de fuerzas interiores, la intensidad se llama esfuerzos.




CAPÍTULO II


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En el caso sencillo de una barra prismática, sometida a tracción bajo la acción de fuerzas distribuidas uniformemente sobre sus extremos (fig. 2.2), las fuerzas interiores se distribuyen también uniformemente sobre cualquier sección plana mm. En consecuencia, la intensidad de esta distribución, los esfuerzos, puede obtenerse dividiendo la fuerza P por el área superior de la sección recta. Figura 2.1 Cuerpo en equilibrio bajo fuerzas Figura 2.2 Fuerzas distribuidas. [2.1] Externas. [2.1]

En el caso que acabamos de considerar, el esfuerzo es uniforme en toda la sección recta. En el caso general de la figura 2.1, el esfuerzo no se distribuye uniformemente en nn. Para obtener la magnitud de el esfuerzo que actúa sobre el pequeño elemento de área A, que comprende al punto 0, suponemos que las fuerzas que actúan a través de esta área elemental, debidas a la acción del material de la parte superior sobre el material de la parte inferior, se reducen a una resultante P. Si el área A disminuye con

continuidad, el valor límite del cociente AP / nos da la magnitud de el

esfuerzo, que actúa sobre la sección mm en el punto 0. La dirección que tiene P en el límite, es la dirección del esfuerzo.

En general, el esfuerzo está inclinado respecto al elemento de superficie superior A sobre el cual actúa descomponiéndose entonces en sus dos

componentes: un esfuerzo normal, perpendicular al elemento A y un

esfuerzo tangencial o cortante, que actúa en el plano de A .




CAPÍTULO II


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z

y

x

zy

xy

xz

yz

yx

zx

2.2 COMPONENTES DE LOS ESFUERZOS.

Si se toma como modelo de análisis a un elemento cúbico, cada par de caras paralelas necesitan un símbolo para representar la componente normal del esfuerzo y dos más para las componentes del esfuerzo tangencial, como se muestra en la (figura 2.3). Se requieren, por lo tanto, tres símbolos para describir los esfuerzos normales que actúan sobre las caras de un cubo

elemental, a saber, ,x , y , z y seis xy , yx , xz , zx , yz , zy , para los

esfuerzos tangenciales.

Figura 2.3 Componentes de los esfuerzos [2.1].

De la consideración del equilibrio del elemento, se deduce que el número de símbolos para los esfuerzos tangenciales puede ser reducido a tres. Si consideramos el momento respecto al eje x de las fuerzas que actúan sobre el bloque elemental, sólo debemos tener en cuenta los esfuerzos representados en la figura 2.4. Las fuerzas másicas, tales como el peso del elemento, pueden ser despreciadas puesto que al reducir las dimensiones del elemento disminuyen con el cubo de las dimensiones lineales, mientras que los esfuerzos superficiales lo hacen con el cuadrado de las mismas. Resulta, pues, que para elementos muy pequeños, las fuerzas másicas son infinitésimos de mayor orden que las fuerzas superficiales. De igual forma, los momentos debidos a la distribución no uniforme de las fuerzas normales son infinitésimos de orden superior que los debidos a las fuerzas tangenciales, pudiendo también ser despreciados en el límite.

Representando entonces las dimensiones del elemento de la figura 2.4 por

dx, dy, dz y puesto que la fuerza sobre cada cara es el producto del área por el valor de los esfuerzos en el punto central de la misma, la ecuación de equilibrio para los momentos respecto al eje x queda así:

zy dxdydz= yz dxdydz

Las otras dos ecuaciones se obtienen de forma semejante, llegándose al

resultado siguiente:

xy = yz , zx = xz , zy = yz




CAPÍTULO II


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yz

zy

zy

yz

Por tanto, para cada dos caras perpendiculares entre sí, las componentes de los esfuerzos de cortadura superficial, perpendiculares a la línea de intersección de esas caras, son iguales.

El sistema de esfuerzos que actúa sobre los planos coordenados que

pasan por un punto, está en consecuencia definido por las seis cantidades x ,

y , z , xy = yx , xz = zx , yz = zy , las cuales reciben el nombre de

componentes de los esfuerzos en el punto considerado.

Estas seis componentes permiten determinar el esfuerzo actuante sobre cualquier plano que pase por el punto considerado.

Figura 2.4 Esfuerzos y dimensiones [2.1].

2.3 ESFUERZOS Y DEFORMACIONES EN TRES DIMENSIONES. [2.2]. En la información anterior solo se analizan los esfuerzos en dos dimensiones, a continuación analizamos los esfuerzos y deformaciones producidos por la aplicación de cargas en tres dimensiones. 2.3.1 DEFINICIÓN DE LOS ESFUERZOS EN UN PUNTO.

Los esfuerzos que actúan sobre las seis caras de un elemento cúbico vienen definidos por las seis componentes de los esfuerzos, las tres componentes normales σx, σy, σz y las tres tangenciales τxy = τyx, τxz = τzx, τyz = τzy .




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x

z

y

xy

yz

xz

xz

xy

yz

Figura 2.5 Esfuerzos actuantes en los planos coordenados [2.2].

Si en un punto cualquiera, se conocen estas componentes, podremos

calcular mediante las ecuaciones de la estática el esfuerzo que actúa sobre un plano de orientación arbitraria que pase por ese punto. Sea O un punto del cuerpo cargado y supongamos que se conocen los esfuerzos que actúan sobre los planos de coordenadas xy, xz, yz (figura 2.5).

Para determinar los esfuerzos que actúan en otro plano cualquiera que pase

por O, tracemos a distancia muy pequeña de ese punto, el plano BCD paralelo al dado, el cual formará con los planos coordenados un tetraedro elemental, BCDO.

Como según se ha supuesto los esfuerzos varían de manera continua en

todo el volumen del cuerpo, la que actúa sobre el plano BCD, al acercarse este al origen cuando el elemento se hace infinitésimo, tendrá a un límite, que es el esfuerzo correspondiente al plano paralelo al mismo que se localiza en el punto O.

Al establecer las condiciones de equilibrio del tetraedro elemental se podrán

despreciar las fuerzas másicas. Así mismo podremos dejar de lado la variación del esfuerzo en las caras del elemento, por ser de orden infinitesimal, y suponer una distribución uniforme de los esfuerzos, de forma que las fuerzas que actúen sobre el tetraedro se determinarán multiplicando las áreas de sus caras por las respectivas componentes de los esfuerzos. Si con A denotamos el área de la cara BCD, las áreas de las otras caras se obtienen proyectando A sobre los tres planos coordenados.




CAPÍTULO II


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2.4 VIGAS CONTINUAS [2.3]

Las vigas continuas presentan tres o más apoyos, dos o más tramos o claros, y por tanto, disponen de uno o más apoyos redundantes en los que las reacciones no pueden determinarse por las ecuaciones de la estática. Es posible calcular los valores de estas reacciones hiperestáticas aplicando las condiciones de deformación existentes, por ejemplo, deflexión nula en los apoyos cuyas reacciones son desconocidas. Estas condiciones dan las ecuaciones necesarias adicionales a las del equilibrio estático. Sin embargo, es más conveniente considerar como desconocidos o hiperestáticos, los momentos flexionantes en los apoyos. Una vez determinados estos momentos, que se suelen llamar momentos de continuidad, es sumamente sencillo el cálculo de las reacciones.

Para calcular los momentos de continuidad se suele aplicar dos métodos de

cálculo. En el primer método se comienza obteniendo una reacción de tipo general entre los momentos flexionantes en tres secciones cualesquiera de la viga, relación que se llama ecuación de los tres momentos. Las aplicaciones de esta ecuación son numerosas; con ella pueden resolverse todos los problemas de vigas simplemente apoyadas, así como determinar las deformaciones y reacciones en cualquier tipo de viga, en particular en las vigas continuas. El segundo método es el de la distribución de momentos, este método es independiente del método anterior, aunque la determinación del diagrama de fuerza cortante y de las reacciones sea común para ambos métodos. Para aplicar este método se empieza suponiendo que cada tramo o claro está perfectamente empotrado en sus extremos y se determinan los momentos de empotramiento perfecto. En la mayoría de los casos, los momentos de empotramiento perfecto se toman directamente de tablas. Para tipos más complejos de emplear el primer método. 2.4.1 MÉTODO DE CROSS.

Las técnicas modernas de cálculo y diseño de estructuras se basan en un método de aproximaciones sucesivas. Este método, que se conoce con el nombre de método de distribución de momentos o método de Cross, se aplica al cálculo de todo tipo de vigas continuas y de estructuras de nodos rígidos. Su aplicación a las vigas continuas resulta ser una poderosa herramienta para el ingeniero de diseño.

En este método se definen algunos conceptos. El primero es el del momento

transmitido, que se define como el momento que se produce en el extremo empotrado de una viga por la acción de otro momento aplicado al otro extremo (articulado).Un segundo concepto por introducir es el de rigidez de la viga, que es el momento necesario en el extremo apoyado para producir un giro unitario en este extremo permaneciendo el otro empotrado. Esto no quiere decir que se vaya a producir realmente un desplazamiento angular en la viga, sino simplemente que se trata del momento por unidad de giro.




CAPÍTULO II


AUTOMOTRIZ. 21

Sin embargo, como en muchas vigas y estructuras E es constante, únicamente se precisa una medida relativa de la rigidez o resistencia al giro de la sección. Esta medida se llama rigidez relativa, o simplemente rigidez de la viga y viene dada por:

L

IK

(2.1)

El factor de distribución (FD), esta definido por:

K

KFD

(2.2)

Si las vigas son del mismo material, como es corriente, basta con emplear la rigidez relativa, y si además tienen la misma sección, el valor de K relativo es inversamente proporcional a la longitud.

Este método requiere que los momentos transmitidos sean de signos

contrarios a los distribuidos y, con frecuencia, conduce a cierta confusión al tener que fijar muy atentamente en el signo del momento no equilibrado que se ha de distribuir, especialmente cuando se trata de un nodo en el que concurren más de dos barras. Se puede aumentar la precisión en los cálculos, al mismo tiempo que se elimina la confusión aludida, si se emplean signos convencionales basados en el sentido de rotación de los momentos de los extremos.

Con este criterio, se consideran positivos los momentos que actúan en una

viga en sentido contrario al del reloj, y los pares en sentido del reloj, negativos. Como consecuencia, tienen lugar dos modificaciones importantes. La primera es que los momentos transmitidos son del mismo signo. La segunda es que al distribuir el momento no equilibrado en cada nodo, los momentos distribuidos son del mismo signo y están aplicados de forma que la suma algebraica de los momentos totales en cada nodo es nula. Finalmente, como consecuencia directa de la citada regla, en una viga doblemente empotrada que soporta cargas hacia abajo, son positivos en el extremo izquierdo y negativos en el derecho.

Resumiendo, el método de distribución de momentos tiene las siguientes

fases:

1. Se calcula el momento polar de inercia .

2. Se obtienen los factores de rigidez.




CAPÍTULO II


AUTOMOTRIZ. 22

3. Calculo de los factores de distribución, considerando que los tramos en voladizo su valor es cero y en los extremos de la viga es uno.

4. Se supone que todos los nodos son rígidos y se calculan los momentos

de empotramiento perfecto (MEP) para cada claro, considerado como viga empotrada en sus extremos, obteniéndose las ecuaciones de tablas según el tipo de carga en cada tramo de la viga.

5. Se tabulan los resultados de los cálculos anteriores.

6. Se realiza la suma algebraica de los MEP en cada nodo, el resultado se

debe de multiplicar por cada valor del factor de distribución colocándose el resultado bajo cada MEP, estos productos forman las distribuciones, los signos de las distribuciones deben de ser tales que la suma algebraica entre los valores del MEP y las distribuciones sea cero en cada nodo.

7. De los valores de las distribuciones se transmite su mitad con el mismo

signo, se colocan en el siguiente renglón cruzando dichos renglones para formar la transmisión.

Esto completa un ciclo de distribución. Las fases 6 y 7 se repetirán, en general, debido al nuevo desequilibrio producido por los momentos transmitidos. El procedimiento se realiza iterativamente hasta que los momentos transmitidos sean nulos o despreciables. El cálculo concluye con una distribución, no con una transmisión. La exactitud del resultado dependerá del número de iteraciones. En general, no son necesarias muchas iteraciones porque el desequilibrio producido por los momentos transmitidos decrece rápidamente.

2.5 ESFUERZOS COMBINADOS [2.4].

Considerando los tres tipos básicos de cargas: axiales, de torsión y de

flexión. Los esfuerzos generados por cada una de las cargas y sus correspondientes fórmulas para ejes sólidos son las siguientes:

Esfuerzo por carga axial: A

P (2.3)

Esfuerzo por carga de torsión: 3

2

A

t

r

M

(2.4)

Esfuerzo por carga de flexión: 3

4

A

Fr

M

(2.5)




CAPÍTULO II


AUTOMOTRIZ. 23

Hay cuatro combinaciones posibles de cargas. (1) axial y flexión; (2) axial y torsión; (3) torsión y flexión, y (4) axial, torsión y flexión. 2.5.1 COMBINACIÓN DE ESFUERZOS AXIALES Y POR FLEXIÓN. El esfuerzo axial puede ser de tensión o de compresión. Por este motivo los signos pueden ser negativo o positivo, cabe recordar que el esfuerzo axial es uniforme en toda la sección recta, el esfuerzo resultante es la diferencia entre los esfuerzos axial y por flexión.

3

4

A

EAFr

M

A

P

(2.6)

Ahora bien, hay que tener en cuenta la modificación que la carga axial puede introducir en el momento flexionante. La figura 2.6 muestra, muy exageradamente, la flexión producida por una carga transversal Q en una viga. Si P es de tensión, como lo muestra el caso (a), el momento flexionante producido por P en cualquier sección, tiende a disminuir el momento producido por Q y, por tanto, reduce los esfuerzos por flexión, y al contrario ocurre si se trata de una compresión axial. Este efecto es despreciable en muchas ocasiones si las barras o elementos de la estructura son tan rígidos que los esfuerzos producidos son muy pequeños frente a los producidos por el momento flexionante de las fuerzas transversales Q, es decir, si las deflexiones son muy pequeñas. Pero si las barras son largas y flexibles, el efecto puede tener su importancia y deben emplearse otros procedimientos más exactos de cálculo, es decir, se analizan como columnas.

Figura 2.6Viga sometida a cargas axiales y de flexión [2.4].




CAPÍTULO II


AUTOMOTRIZ. 24

2.5.2 COMBINACIÓN DE ESFUERZOS AXIALES Y POR TORSIÓN. Para este estado de combinación de esfuerzos se utilizan las siguientes expresiones para obtener los esfuerzos:

2

2

22XY

XXEAT

mín

máx

(2.7)

2

2

2XY

X

máxEAT

(2.8)

Los esfuerzos XYX , , deben de obtenerse con las expresiones de

esfuerzo simple para cada caso. 2.5.2 COMBINACIÓN DE ESFUERZOS DE FLEXIÓN Y POR TORSIÓN. Para este estado de combinación de esfuerzos se utilizan las siguientes expresiones para obtener los esfuerzos:

2

2

22XY

YYEFT

mín

máx

(2.9)

2

2

2XY

Y

máxEFT

(2.10)

Los esfuerzos XYY , , deben de obtenerse con las expresiones de esfuerzo

simple para cada caso.




CAPÍTULO II


AUTOMOTRIZ. 25

2.5.4 COMBINACIÓN DE ESFUERZOS AXIALES DE FLEXIÓN Y POR TORSIÓN. Para este último caso de combinación de esfuerzos las ecuaciones que permiten obtener los esfuerzos combinados son las siguientes:

2

2

22XY

YXYXEAFT

mín

máx

(2.11)

2

2

2XY

YX

máxEAFT

(2.12)

Los esfuerzos XYYX ,, , al igual que los casos anteriores deben de

calcularse por las expresiones de esfuerzo simple. 2.6 CIRCULO DE MOHR. Las fórmulas en las combinaciones de esfuerzos se pueden interpretar gráficamente gracias al ingeniero alemán Otto Mohr (1882). En esta interpretación se utiliza un círculo, por lo que se ha llamado círculo de Mohr. Realizando el dibujo a escala se pueden obtener los resultados graficamente, aunque en general sólo se suele utilizar como esquema, y los resultados se obtienen analiticamente.

x

2

yx

y

xy

2

yx 2

yx

Figura 2.7 Círculo de Mohr para estado plano de esfuerzos [2.4].




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AUTOMOTRIZ. 26

La figura 2.7 representa el círculo de Mohr para el estado plano de esfuerzos. El centro C está a una distancia OC del origen que es la media aritmética de los esfuerzos normales, y el radio R es la hipotenusa del triángulo rectángulo CDA. Se puede comprobar fácilmente que las coordenadas de los puntos E, F, G corresponden a las expresiones de la combinación de esfuerzos. Reglas para la aplicación del círculo de Mohr a los esfuerzos combinados:

1. Sobre un sistema de ejes coordenados rectangulares , se sitúan

los puntos de coordenadas )( XYX Y )( YXY . Estos puntos

representan los esfuerzos normales y cortantes que actúan sobre las caras X y Y de un elemento. Se considera positiva la tensión y negativa la compresión; el esfuerzo cortante es positivo si el momento respecto del centro del elemento es en el sentido del reloj.

2. Se unen los puntos situados mediante una recta. El segmento de dicha

recta comprendido entre los dos puntos es el diámetro de una circunferencia cuyo centro es la intersección con el eje .

3. Para los diferentes planos que pasan por el punto en estudio, las

componentes del esfuerzo, normal y cortante, están representadas por las coordenadas de un punto que se mueve a lo largo de la circunferencia del circulo de Mohr.

4. El radio de la circunferencia, correspondiente a un punto dado en ella,

representa el eje normal al plano cuyas componentes de esfuerzo vienen dadas por las coordenadas de ese punto del círculo.

5. El ángulo entre los radios de dos puntos del círculo de Mohr es el doble

del ángulo entre las normales a los dos planos que representan estos dos puntos. El sentido de rotación del ángulo es el mismo en la circunferencia que en la realidad, es decir, si el eje neutro forma un ángulo con el eje X en sentido contrario al del reloj, el radio de la

circunferencia forma un ángulo 2 con el radio X en sentido contrario al

del reloj. La aplicación más importante del cálculo de los esfuerzos combinados es el diseño de elementos sometidos a cargas combinadas, o la determinación de las cargas de seguridad. El círculo de Mohr, al representar gráficamente las variaciones de esfuerzo en ciertas condiciones, da una idea más clara del problema que el mero cálculo analítico. El procedimiento habitual es considerar un pequeño elemento en el que se puedan calcular los esfuerzos producidos por los tres tipos fundamentales de cargas: axial, de flexión y de torsión. El estudio del círculo de Mohr para este elemento indica el criterio a seguir en el diseño.




CAPÍTULO II


AUTOMOTRIZ. 27

2.7 CONCENTRACIÓN DE ESFUERZOS. Cuando existe un cambio brusco de sección se desarrolla una concentración de esfuerzos. Llamando K al factor de concentración de esfuerzos, los esfuerzos máximos para cargas axiales, de torsión y de flexión vienen dados por:

A

PKAK (2.13)

3

2

r

MK t

TT

(2.14)

3F

4

r

MKKF

(2.15)

Para evaluar el coeficiente de concentración de esfuerzos se recurre a tablas o también a graficas, en las cuales para obtener el valor de K se utilizan las relaciones D/d y r/d como se muestra en la figura 2.7.

Figura 2.8 Coeficiente de concentración de esfuerzos [2.4].




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AUTOMOTRIZ. 28

El valor de la relación r/d es la coordenada para el eje de las abscisas, en las curvas se encuentra el valor de la relación D/d, el punto de intersección entre el eje de las abscisas y las curvas según sea el caso, se proyecta al eje de las ordenadas que corresponde al valor de KE. Mediante estas curvas puede determinarse por interpolación, con suficiente exactitud, el coeficiente de concentración correspondiente a cualquier caso particular.

2.8 METODO DEL ELEMENTO FINITO [2.5] 2.8.1 ANTECEDENTES HISTORICOS DEL MÉTODO DEL ELEMENTO

FINITO. El principio básico del método del elemento finito ha sido empleado durante siglos en diferentes formas. Todas ellas tienen la característica común de reemplazar un problema real por uno más simple, haciendo uso de los llamados elementos finitos. Si el problema simplificado puede resolverse y la solución obtenida representa una solución verdadera para el problema real y con una precisión satisfactoria, entonces este método pasa a ser una herramienta poderosa y muy útil. A pesar de que el desarrollo actual del método del elemento finito lo hace ser bastante más sofisticado que los conocidos en la antigüedad, el esquema básico de sustituir un problema real mediante uno simplificado sigue siendo el mismo. Las primeras noticias que se tienen del empleo del método del elemento finito se remontan a mucho más de dos mil años, en la antigüa Grecia, cuando se aplicó este método a la geometría. Arquímedes, uno de los mas grandes matemáticos de la antigüedad, usó elementos finitos para determinar volúmenes de sólidos, el nombró a su procedimiento método exhaustivo. Este método lo llevo al umbral del cálculo. El método de elemento finito se empezó a desarrollar tal y como lo conocemos en la actualidad en la década de los 40s del siglo pasado. Hrenikoff [2.6] presentó una solución de problemas de una estructura continua (vigas), dividiéndola en secciones estructurales interconectadas por un número finito de nodos. La formulación general del método de la teoría matricial de estructuras, basado en los principios energéticos fundamentales de la elasticidad, se debió a Argyris y Kesley [2.7]. En 1953, Levy [2.8] introdujo la formulación del método basándose en la matriz de rigidez. Levy aplicó esta formulación para estudiar el comportamiento elástico de las alas tipo Delta en aeronaves, resolviendo las ecuaciones planteadas con computadoras digitales. En esta época M. J. Turner [2.9] formó un pequeño grupo dentro de la compañía Boeing con el fin de desarrollar un método de análisis para aplicar la formulación de la matriz de rigidez en cálculos dinámicos de estructuras. Como resultado, en 1956, Turner, Clough, Martin y Topp [2.9] publicaron un artículo considerado como la contribución




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AUTOMOTRIZ. 29

clave en el progreso del método del elemento finito. Este trabajo y el presentado por Argyris y Kesley dieron origen a que el método tuviera un desarrollo explosivo y que fuera aplicado extensamente en la ingeniería. El término método del elemento finito fue propuesto por Clough [2.10] en 1960, en una publicación referente a problemas de elasticidad plana. El problema de la flexión de placas fue tratado por Melosh, por Adini y Clough [2.10], se publicó en 1961 y emplearon elementos finitos rectangulares. En 1963, Grafton y Strome [2.11] publicaron un trabajo concerniente al estudio de conchas delgadas, empleando un elemento finito cónico. Este trabajo introdujo el análisis axisimétrico para su aplicación en conchas delgadas y recipientes sometidos a presión. Melosh, en 1963, estableció las bases matemáticas para fundamentar el método del elemento finito, convirtiéndolo en un área de estudio interesante para los académicos. Melosh reconoció que el método del elemento finito es una variante del método de Rayleigh-Ritz [2.12] y lo confirmó como una técnica de uso general para manejar problemas continuos de elasticidad. Zíenkewicz [2.13] interpretó el método del elemento finito de una manera más amplia, presentando la formulación variacional del método. 2.8.2 INTRODUCCIÓN AL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO. El método del elemento finito ha llegado a ser una herramienta poderosa en la solución numérica de un amplio rango de problemas de ingeniería. Las aplicaciones van desde el análisis por deformación y esfuerzo de automóviles, aeronaves, edificios y estructuras de puentes hasta el análisis de los campos del flujo de calor, de fluidos, magnéticos, filtraciones y otros problemas de flujo. Con los avances en la tecnología de las computadoras y de los sistemas CAD, pueden modelarse problemas complejos con relativa facilidad. En una computadora pueden probarse varias configuraciones alternas antes de construir el primer prototipo [2.5]. Todo esto sugiere que deba modernizarse empleando estos desarrollos para entender la teoría básica, las técnicas de modelado y los aspectos computacionales del método del elemento finito. En este método de análisis, una región compleja que define un continuo se discretiza en formas geométricas simples llamadas elementos finitos. Las propiedades del material y las relaciones gobernantes, son consideradas sobre esos elementos y expresadas en términos de valores desconocidos en los limites del elemento. Un proceso de ensamble, cuando se consideran debidamente las cargas y restricciones, da lugar a un conjunto de ecuaciones, cuya solución nos da el comportamiento aproximado del continuo. El método del elemento finito es una técnica de análisis numérico empleada para obtener soluciones aproximadas para una amplia variedad de problemas de ingeniería. En la actualidad, se sabe que en muchas situaciones es




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AUTOMOTRIZ. 30

necesario resolver estos problemas obteniendo soluciones numéricas aproximadas en vez de soluciones exactas. Las alternativas que el analista puede elegir para solucionar problemas son numerosas. Una posibilidad consiste en hacer planteamientos a priori que simplifiquen el problema de manera que pueda resolverse. En algunas ocasiones este procedimiento funciona; pero lo usual es que se resuelve un problema similar que aproxima la solución del problema real pero que conduce a respuestas muy imprecisas. Ahora que se dispone de computadoras digitales poderosas, la alternativa más viable consiste en retener la complejidad del problema y tratar de encontrar una solución numérica con alto grado de aproximación. La aparición de la computadora alteró radicalmente la capacidad disponible para resolver ecuaciones diferenciales parciales, lográndose que las soluciones numéricas estén al alcance de la mayoría de los analistas, ya que el número de términos que puede emplearse para representar el fenómeno que se modela es muy grande. Muchos son los métodos aproximados que se han desarrollado para el análisis numérico; el método que más se ha empleado es el de diferencias finitas. Los modelos de diferencias finitas (el cual está formado por ecuaciones diferenciales formuladas para un arreglo o red de puntos) se mejora conforme se emplean una mayor cantidad de puntos. Esta técnica puede usarse para solucionar problemas complejos; pero, en aquellos casos en los que se tienen geometrías irregulares o especificaciones de condiciones de frontera poco usuales, el método de las diferencias finitas se torna difícil de emplear. En tiempos más recientes se ha desarrollado el método del elemento finito, el cual es también un método aproximado de análisis numérico. A diferencia del método de las diferencias finitas, el cual contempla la región modelada como un arreglo o red de puntos, el método del elemento finito emplea un arreglo de varias subregiones o elementos de tamaño muy pequeño y que están interconectados entre sí. El modelo por elementos finitos de un problema, ofrece una aproximación por elementos de las ecuaciones gobernantes. La premisa básica del método del elemento finito es que el dominio de estudio puede modelarse o aproximarse analíticamente, reemplazándolo por elementos discretos perfectamente ensamblados. Como dichos elementos pueden ser colocados en una gran variedad de posiciones y dimensiones, se puede usar para representar aún las formas más complejas. Con el fin de recalcar el principio básico del método del elemento finito, se reproduce la definición dada por L. J. Segerlind [2.14] en lo concerniente a este principio: El concepto fundamental del método del elemento finito consiste en que cualquier función característica del medio continuo, como la temperatura, presión, o desplazamiento, puede aproximarse por un modelo discreto




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AUTOMOTRIZ. 31

compuesto de una serie de funciones continuas pieza a pieza, definidas en un número finito de subdominios. Las funciones continuas pieza a pieza se definen empleando los valores de la cantidad continua en un número finito de puntos en su dominio. Dichas series de funciones continuas, se eligen comúnmente de manera que aseguren la continuidad del comportamiento de éstas a través del medio continuo completo; aún en los casos en que los campos elegidos no aseguren continuidad, se pueden obtener soluciones satisfactorias. Si el comportamiento de una estructura se rige por una sola ecuación diferencial, entonces, tanto el método del elemento finito, como el método de las diferencias finitas, pueden aplicarse para obtener una solución satisfactoria de la ecuación. Pero si es necesario emplear distintas ecuaciones diferenciales para describir el comportamiento de un medio continuo, ya sea porque éste está compuesto de varios materiales o que las propiedades físicas del material no son homogéneas, únicamente el método del elemento finito puede aplicarse directamente. Del mismo modo que otros procedimientos numéricos alternativos, empleados para solucionar problemas prácticos en el campo de la mecánica del medio continuo, el método del elemento finito requiere formular y resolver sistemas de ecuaciones diferenciales. La principal ventaja de este método reside en la capacidad de ser automatizado para formar ecuaciones y la habilidad que tiene para representar estructuras irregulares y complejas, así como condiciones de frontera diversas. Como se mencionó antes, el método del elemento finito posee una alta capacidad para representar formas complejas, mientras que el método de las diferencias finitas presenta muy serias dificultades para discretizar estas formas. Cabe aclarar que el método del elemento finito cuando emplea la formulación variacional, calcula en primera instancia los desplazamientos en los nodos de los elementos. Además, para obtener una solución satisfactoria, realiza varias iteraciones con todos los elementos, esto es, parte de los resultados obtenidos en una primera iteración, para repetir los cálculos de desplazamiento y de este modo, mejorar paulatinamente resultados posteriores que van aproximándose a los reales, repitiendo este procedimiento es posible alcanzar un factor de exactitud elegido por el usuario del método.




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AUTOMOTRIZ. 32

Una vez que se encuentran los desplazamientos de los nodos, éstos pueden traducirse en deformaciones y posteriormente en esfuerzos. Para calcular los esfuerzos a partir de las deformaciones, se emplea la ley de Hooke 2.8.2.1 FUNDAMENTOS DEL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO. En un problema del medio continuo de cualquier dimensión, la variable bajo consideración (ya sea presión, temperatura, desplazamiento, esfuerzo, o alguna otra cantidad) tiene una infinidad de valores, ya que es una función de cada uno de los puntos que forman el cuerpo o dominio de estudio. Como consecuencia de esto, el problema tiene un número infinito de incógnitas, el método del elemento finito discretiza el dominio reduciendo el problema a un número finito de incógnitas mediante la división del dominio en elementos y expresando al mismo tiempo el campo de incógnitas en términos de funciones aproximadas para cada elemento. Las funciones de aproximación (también llamadas funciones de interpolación) son definidas en términos de los puntos nodales. El comportamiento del campo de la variable respecto de los elementos viene dado por los valores nodales del campo de la variable y las funciones de interpolación para los elementos. Para el método del elemento finito, los valores nodales en el campo de la variable se convierten en las nuevas incógnitas. Una vez que se resuelven las incógnitas, las funciones de interpolación definen la variable a través del ensamble de los elementos. Naturalmente, la exactitud de la solución depende tanto del tamaño, como de la cantidad de elementos usados, así como de las funciones de interpolación empleadas. No se deben elegir funciones arbitrariamente, porque no se cumplirían las condiciones de compatibilidad requeridas. Normalmente se eligen funciones de interpolación de modo que la variable o sus derivadas sean continuas a través de los límites de los elementos adyacentes. El método del elemento finito posee una característica que lo hace único entre los métodos numéricos aproximados. Esta característica es la capacidad para formular soluciones para elementos individuales antes de ensamblarlos para representar el problema completo. Un ejemplo de dicha característica es que si se estuvieran tratando problemas de análisis de esfuerzos, sería posible encontrar la rigidez para cada elemento y ensamblar todos los elementos para determinar posteriormente la rigidez de la estructura completa. En esencia, un problema complejo se reduce considerando varios problemas simplificados.




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AUTOMOTRIZ. 33

2.9 PROCEDIMIENTO DEL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO. El método del elemento finito es un procedimiento ordenado, el cual puede resumirse a grandes rasgos como: 2.9.1 DISCRETIZACIÓN DEL DOMINIO. El primer paso consiste en dividir el dominio de estudio en elementos. Puede emplearse una amplia variedad de formas de elementos y si se tiene el suficiente cuidado, se pueden emplear diferentes tipos de elementos en la misma discretización. En realidad, cuando se analiza una estructura que tiene diferentes tipos de componentes, como son placas y vigas, no sólo es deseable sino necesario, emplear diferentes tipos de elementos en el mismo dominio. A pesar de que la decisión del tipo y número de elementos a usar son cuestiones de ingeniería, el análisis puede apoyarse en la experiencia de otros analistas para guiarse. 2.9.2 SELECCIONAR LAS FUNCIONES DE INTERPOLACIÓN. El siguiente paso es asignar los nodos de cada elemento y elegir el tipo de función de interpolación para representar el cambio de la variable sobre el elemento. La variable puede ser un escalar, un vector, o un tensor de orden superior. En muchas ocasiones, pero no siempre, se seleccionan polinomios como funciones de interpolación para la variable porque éstos se integran y diferencían fácilmente. El grado del polinomio elegido depende del número de nodos asignado a cada elemento, de la naturaleza y el número de las incógnitas de cada nodo y de los requerimientos de continuidad impuestos a los nodos, a lo largo de los límites de los elementos. La magnitud de la variable, así como la magnitud de sus derivadas, pueden ser las incógnitas existentes en cada nodo. 2.9.3 DEFINIR LAS PROPIEDADES DE LOS ELEMENTOS. Una vez que ha sido establecido el modelo de elementos finitos (esto es, ya que se eligieron los elementos y sus funciones de interpolación), se está en posibilidad de determinar las ecuaciones matriciales que expresan las propiedades de cada uno de los elementos. Para realizar esto se puede emplear alguna de las cuatro formulaciones posibles del método del elemento finito: la formulación directa, la formulación variacional, la formulación de los pesos residuales o la formulación del balance de energía. La formulación variacional es generalmente la más conveniente, pero para cualquier aplicación, la selección de la formulación depende completamente de la naturaleza del problema.




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AUTOMOTRIZ. 34

2.9.4 ENSAMBLAR LAS PROPIEDADES DE LOS ELEMENTOS PARA OBTENER LAS ECUACIONES DEL SISTEMA, CONSIDERANDO LAS CONDICIONES DE FRONTERA DEL ESPECIMEN.

Para determinar las propiedades de todo el sistema modelado por la red de elementos, se deben ensamblar las propiedades de todos los elementos. Esto es, se requiere combinar las ecuaciones matriciales expresando el comportamiento del dominio entero, o sistema. Las ecuaciones matriciales para el sistema tienen la misma forma que las ecuaciones para un solo elemento, excepto que éstas contienen muchos más términos, porque incluyen a todos los nodos. La base para realizar el procedimiento de ensamble se fundamenta en el hecho de que en un nodo, donde se interconectan elementos, el valor de la variable es el mismo para cada elemento que comparte dicho nodo. El ensamble de las ecuaciones de los elementos es una labor rutinaria y usualmente se hace empleando computadoras digitales. Antes de que las ecuaciones del sistema estén listas para ser solucionadas, deberán modificarse para introducir las condiciones de frontera del problema. Esta parte es fundamental para llevar a buen término un análisis mediante el método del elemento finito. Si no se representan de una forma adecuada las condiciones de frontera que tiene el espécimen modelado, los resultados obtenidos serán poco confiables. 2.9.5 RESOLVER EL SISTEMA DE ECUACIONES. El proceso de ensamble del paso anterior, establece una serie de ecuaciones simultáneas, las cuales pueden resolverse para obtener los valores nodales de la variable. Si el sistema de ecuaciones es lineal, se pueden emplear varias técnicas de solución comunes, como son la Eliminación de Gauss, el método de Eliminación de Gauss-Seidel [2.12], o la descomposición de Cholesky [2.12], si las ecuaciones son no lineales, su solución es más difícil de obtener. Puede emplearse el método de Newton-Rapshon [2.12], el método de Sustituciones Sucesivas, o algún otro método iterativo para resolver sistemas de ecuaciones no-lineales. 2.9.6 EFECTUAR CÁLCULOS ADICIONALES. En muchas ocasiones deseamos usar la solución de los sistemas de ecuaciones para calcular otros parámetros importantes. Por ejemplo, en un problema de elasticidad plana, la solución del sistema de ecuaciones da como resultado los desplazamientos nodales. Partiendo de dichos valores, es posible calcular tanto las deformaciones, como los esfuerzos principales en los nodos, así como en los centroides de los elementos. De la misma manera es posible calcular los ángulos principales, así como otras magnitudes que sean de interés para los usuarios del método del elemento finito.




CAPÍTULO II


AUTOMOTRIZ. 35

2.10 CATEGORIAS DEL ELEMENTO FINITO. El analista puede seleccionar alguna de las siguientes tres categorías de elementos finitos: 1.- Elementos de forma simple sin refinamiento. 2.- Elementos de forma simple con refinamiento. 3.- Elementos de forma complicada con refinamiento. Así, también los elementos finitos pueden clasificarse dependiendo de la dimensionalidad involucrada, por lo que se tiene: 1.- Elementos puntuales. 2.- Elementos unidimensionales (axiales). 3.- Elementos bidimensionales. 4.- Elementos tridimensionales. Los elementos unidimensionales tienen una sección transversal determinada, pero por lo general se representan esquemáticamente como un segmento de línea. El área de la sección transversal puede variar a lo largo de su longitud, no obstante que para muchos problemas el área es constante. El empleo más común de estos elementos es en problemas de transferencia de calor y en problemas estructurales qué involucran miembros que soportan fuerzas axiales. Los elementos finitos bidimensionales que se emplean con mayor frecuencia, son el triángulo y el cuadrilátero. La capacidad de modelar fronteras curvas se obtiene agregando nodos intermedios en los lados del elemento. Es posible emplear ambos tipos de elementos en un mismo dominio, siempre que éstos tengan la misma cantidad de nodos en los lados que comparten elementos adyacentes. El espesor de los elementos puede ser constante, o bien, puede variar en función de las coordenadas del elemento. Los elementos tridimensionales más comunes son los tetraedros y paralelepípedos y en ambos, los elementos lineales sólo presentan lados rectos, mientras que los elementos de orden superior pueden tener superficies curvas.




CAPÍTULO II


AUTOMOTRIZ. 36

2.11 FORMULACIÓN DE ELEMENTOS FINITOS. La matriz característica del elemento finito tiene diferentes nombres en problemas de distintas áreas. En mecánica estructural se le llama matriz de rigidez, y relaciona fuerzas con desplazamientos en nodos. En conducción de calor esta se llama matriz de conductividad, y relaciona temperaturas con flujos de calor en los nodos. Existen tres maneras importantes de derivar la matriz característica del elemento: 2.12 ESTABLECIMIENTO DE LAS ECUACIONES DEL ELEMENTO FINITO PARA ANÁLISIS DE ESFUERZOS ESTRUCTURALES. La forma más común de resolver problemas de análisis de esfuerzos empleando el MEF, es estableciendo las ecuaciones del balance de la energía elástica de deformación, en función de los desplazamientos y posteriormente, minimizando la energía potencial elástica. De acuerdo a esto, el problema para resolver la ecuación de segundo orden, se reduce a un sistema de ecuaciones lineales para obtener los valores nodales de los desplazamientos. Una vez conocido esto, se pueden determinar los esfuerzos y deformaciones unitarias. El planteamiento de las ecuaciones del MEF para análisis de esfuerzos se hace a partir del teorema de la mínima energía potencial, del cual hace la siguiente mención: “De todos los desplazamientos que satisfagan las condiciones de frontera dadas, aquellas que cumplen las ecuaciones de equilibrio son distinguidas por un valor estacionario (extremo) de la energía potencial”. Esto quiere decir que en equilibrio, las ecuaciones de los desplazamientos seleccionados, deben de satisfacer las condiciones de frontera de los desplazamientos. 2.12.1 ANÁLISIS ESTÁTICO. El análisis estático muestra como resultado, el comportamiento de la estructura en condiciones estáticas. Para su realización se considera que la unidad no está en movimiento y se toma en cuenta la carga muerta de la estructura, así como las cargas que son soportados. Para este caso, se tiene la ecuación de equilibrio:

Fuk




CAPÍTULO II


AUTOMOTRIZ. 37

La ecuación anterior se puede representar también como:

Ta FFuk

en dónde:

[k]= Matriz de rigidez total=

N

m eK1

][

u Vector de desplazamientos nodales

N= Número de elementos

][ eK Matriz de rigidez

TF Vector de fuerzas reacción

aF Vector de carga definido por:

N

m

pr

e

th

e

a FFFacFndF1

dónde:

Fnd Vector de fuerzas nodales

Fac Vector aceleración

th

eF Vector de carga térmica

pr

eF Vector de cargas de presión

COMPORTAMIENTO LINEAL.

Cuando se utilizan materiales con comportamiento lineal, los esfuerzos se relacionan con las deformaciones de la siguiente manera:

elD ][ (2.19)




CAPÍTULO II


AUTOMOTRIZ. 38

donde:

Vector de esfuerzos= XZYZXYZYX

D Matriz constitutiva del material

el Vector de transformación unitaria

Considerando el efecto de la temperatura el vector es igual a:

thel (2.20)

donde:

Vector de deformación unitaria total= TXZYZXYZYX

th Vector de deformación unitaria térmica.

De estas expresiones se puede expresar la ecuación (2.19), de la siguiente forma:

1

Dth (2.21)

Para el caso de 3 dimensiones, el vector de deformación térmica es:

000ZYX

th aaaT (2.22)

donde:

xa Coeficiente de expansión térmica en la dirección (X,Y,Z).

REFTTT

T=Temperatura corriente en el elemento en cuestión.

REFT Temperatura de referencia.

Por otro lado se tiene que 1D :




CAPÍTULO II


AUTOMOTRIZ. 39

XZ

YZ

XY

ZY

ZY

X

ZX

Z

YZ

YX

YX

Z

XZ

Y

XY

X

G

G

G

EE

V

E

V

E

V

EE

V

E

V

E

V

E

D

100000

01

0000

001

000

0001

0001

0001

1 (2.23)

donde:

XE Módulo de Young en la dirección x.

YE Módulo de Young en la dirección y.

ZE Módulo de Young en la dirección z.

XYV Relación de Poisson menor.

XYG Módulo de cortante en el plano xy.

La matriz 1D debe ser positiva y simétrica para materiales ortotrópicos:

Y

XY

X

YX

E

V

E

V (2.24)

Z

XZ

X

ZX

E

V

E

V (2.25)

Z

YZ

Y

ZY

E

V

E

V (2.26)

Es claro que para materiales isotrópicos, ZYX EEE , y que

XZYZXY VVV expandiendo (2.20) con las ecuaciones (2.21), (2.22), (2.23),

(2.24), (2.25) y (2.26).




CAPÍTULO II


AUTOMOTRIZ. 40

Z

ZXZ

Y

YXY

X

X

XXE

V

E

V

ETa

(2.27)

Z

ZYZ

Y

XXY

Y

Y

YYEE

V

ETa

(2.28)

Z

XXZ

Z

YYZ

Z

Z

ZZE

V

E

V

ETa

(2.29)

XY

XY

XYG

(2.30)

YZ

YZ

YZG

(2.31)

XZ

XZ

XZG

(2.32)

Una vez establecido lo anterior, es importante hacer notar que para los análisis dinámicos se consideran los efectos producidos por cargas vivas. 2.13 VENTAJAS Y DESVENTAJAS DEL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO. Dentro de las principales ventajas que presenta el método del elemento finito, se enumeran las siguientes:

1. Es aplicable a todos los problemas de la mecánica del medio continuo, y problemas físicos en general, que sean gobernados por ecuaciones diferenciales.

2. Es factible aplicarse a elementos compuestos de diferentes materiales,

con propiedades físicas distintas.

3. Pueden modelarse cuerpos con frontera de forma irregular, empleando elementos finitos con lados rectos, aproximando la forma de la frontera; o bien, usar elementos con lados curvos y de este modo modelar exactamente la frontera del dominio de estudio.




CAPÍTULO II


AUTOMOTRIZ. 41

4. El tamaño y forma de los elementos puede variar. De esta forma, la malla de elementos finitos se refina y/o expande, según se requiera, para analizar aquellas áreas consideradas críticas.

5. Este método posee la capacidad de analizar cuerpos con condiciones de

frontera discontinua o mixta, sin dificultades.

6. Los programas de cómputo desarrollados para un determinado problema pueden generalizarse para resolver cualquier problema del mismo tipo. Esto es, si se escribe un programa para determinar la distribución de esfuerzos en una barra prismática, puede emplearse dicho programa para resolver los problemas que surjan de este mismo tipo. El desarrollo de este tipo de programas de cómputo está limitado por la capacidad de memoria de las computadoras y por el costo asociado con la elaboración de dichos programas; no obstante, en la actualidad, estos dos factores han sido superados con computadoras de gran capacidad y de costo reducido.

La principal desventaja del método del elemento finito, estriba en que, debido a la gran cantidad de cálculos requeridos aún para resolver problemas simples, es indispensable el empleo de programas de cómputo y el uso de computadoras en general. Adicionalmente en aquellos casos en los cuales es necesario cambiar varias veces la geometría del dominio de estudio, este método requiere generar para cada cambio de geometría, una malla diferente, lo cual hace que el análisis sea lento y tedioso. Esto ocurre, por ejemplo, cuando se optimizan entalladuras, lo cual requiere de una variación de la geometría del dominio, y por ende, es necesario generar varias mallas de elementos finitos. 2.14 TERMODINAMICA DEL MOTOR [2.15] De la cantidad de calor que se produce por la combustión en el motor de un vehículo, aproximadamente se transmite un tercio a la atmósfera a través del sistema de refrigeración. La cantidad de agua del sistema de refrigeración, el número de veces que pasa por el radiador y con ello la cantidad de agua que circula, determina la magnitud de la cantidad de calor que se pierde o cede. Figura 2.9 Motor enfriado por agua [2.15].




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AUTOMOTRIZ. 42

De acuerdo a la ley de la conservación de la energía, la energía se puede convertir de una clase a otra. Hay que recordar que el calor es igual a la suma de la energía de todas las moléculas y, por tal motivo, se puede convertir el calor en otra clase de energía, como por ejemplo, en trabajo mecánico de un émbolo. En la conversión de la energía térmica en trabajo mecánico descansa el principio de los motores térmicos. Cantidad de calor, energía y trabajo son magnitudes iguales. En los motores de vehículos la energía calorífica se obtiene al quemar el combustible a través de la chispa que produce la bujía en los cilindros, también llamados cámaras de combustión. La mayoría de las cámaras de combustión para motores de cuatro tiempos, se diseñan de cámara abierta y utilizan válvulas sobre la cabeza, impulsadas por barras de empuje o levas. Debido a este diseño, se tiene un quemado rápido de la carga, porque el volumen de la combustión se concentra y minimiza el área superficial, la pérdida de calor se efectúa a través de las paredes de los cilindros. La colocación de las bujías y la forma de la cámara de combustión dan lugar a una relación entre el área frontal de la flama y el recorrido de la misma. Para un determinado motor, la relación de presión máxima desarrollada es proporcional a la altura alcanzada por la flama. Para suprimir el golpeteo debido a la detonación de la mezcla, cada cámara tiene una región fría en donde el gas se almacena; ésta se encuentra en su parte más alejada de la bujía. Durante el proceso de combustión las relaciones de presión muy grandes se elevan en los motores de baja velocidad y las presiones de combustión máximas se acercan al torque máximo indicado para las velocidades del motor. Esta situación da lugar a que los mecanismos del motor queden expuestos a esfuerzos severos, de lo cual pueden resultar dificultades en la propagación de la combustión, a menos que se tenga un efectivo control de las relaciones de presión. La ubicación de las bujías la forma de la cámara de combustión y el grado de turbulencia, son las principales variables o factores que pueden variarse, para obtener el control de la velocidad de la combustión y lograr la máxima difusión. En un determinado motor, puede reducirse la máxima combustión en relación con el aumento de la presión, retardando el tiempo de control de la chispa o disminuyendo la eficiencia volumétrica. Una relación de aumento de presión 207 kPa por grado de giro del cigüeñal da por resultado un valor cercano a la eficiencia máxima. Al aumentar la rigidez del eje del cigüeñal, aumenta la frecuencia natural de vibración y disminuye la deflexión de la estructura, que es causada por la combustión y la inercia.




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AUTOMOTRIZ. 43

El golpeteo en la combustión en los motores de combustión interna, se produce por el autoencendido de una gran parte de la mezcla, lo cual provoca una rapidísima elevación de la presión local y violentos golpes metálicos. Este problema se presenta en los motores con encendido por chispa, cuando la última fracción de la mezcla por quemar es comprimida por la fracción de la mezcla. Sin embargo, si se alarga el último momento (último encendido), que transcurre entre la consecución de esta temperatura y la aparición espontánea local de la flama, utilizando aditivos antidetonantes, se logra que la flama producida por la bujía complete su trayectoria a través de la fracción no quemada, antes que se produzca la detonación. Esta tendencia al golpeteo depende de la temperatura de autoencendido y de la velocidad de la flama de la mezcla aire-combustible. 2.14.1 TEMPERATURA DE AUTOENCENDIDO Y DE ÚLTIMO ENCENDIDO La temperatura de autoencendido de una mezcla de aire combustible es la más baja a la cual se presentan las reacciones químicas, con una velocidad suficiente (último tiempo de encendido largo), para que se produzca la flama. Esta temperatura depende en forma directa de la mezcla de aire-combustible, de las propiedades de los combustibles y de la presión de la mezcla. Si se somete una mezcla a una temperatura más alta que la de autoencendido, se obtiene una flama posterior, en un tiempo de último encendido más corto; así, existe una temperatura para cada mezcla, de lo cual resulta que en la práctica se tiene la ignición instantánea. 2.14.2 VELOCIDAD DE LA FLAMA La velocidad de la flama en los motores de encendido por chispa baja de inmediato después del encendido, alcanza su valor máximo en el momento en que alrededor de la mitad de la cámara de combustión tiene flama y disminuye hacia el fin del proceso. La velocidad media de la flama es máxima para las mezclas que en general son más ricas, en un 10 a 20% que las que tienen una relación química de aire combustible normal, y varía con los combustibles, la velocidad del motor y la turbulencia. Como es necesario que en el tiempo que dura la combustión se alcance el par máximo, la mezcla debe quemarse en el cilindro antes que el émbolo llegue al final de su carrera en la compresión. El avance de la chispa se mide por el número de grados que gira el cigüeñal entre el momento en que se inicia la chispa y el final de la carrera de compresión. El avance óptimo de la chispa está dado por la distribución del encendido en la cual se desarrolla el par máximo. La cantidad de par que se pierde cuando la regulación del encendido produce una chispa antes o después del punto óptimo, es al principio muy ligera, pero se incrementa en forma rápida conforme la regulación se separa de este punto.




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AUTOMOTRIZ. 44

Antes que se introdujeran los requisitos actuales sobre el control de la emisión en el escape, se tuvo como práctica general, en el diseño de los motores para automóvil, emplear un avance de chispa de pocos grados menor que el óptimo con todo el acelerador abierto, con lo cual se lograba una reducción en la tendencia al golpeteo con una pérdida de torque despreciable. 2.14.3 SISTEMA DE ENFRIAMIENTO. Los cilindros de los motores se deben de enfriar para mantener una película de lubricante sobre las paredes del cilindro y otras superficies deslizantes; también se deben de enfriar los émbolos y las válvulas de escape para impedir la detonación durante la combustión o la destrucción de estas partes provocada por un calentamiento excesivo. Debe enfriarse el lubricante, para que mantenga una viscosidad adecuada en condiciones de operación. Por lo general, se emplean sistemas de enfriamiento tanto de agua como de aire; pero como los émbolos, las válvulas de escape y los lubricantes son pequeños, en comparación con el motor, es suficiente el enfriamiento por contacto con otras partes del motor o con el lubricante que se encuentra entre ellos y no requieren de sistemas exclusivos. Puede usarse la circulación natural (termosifón), con velocidades bajas, que requieren de conexiones grandes, si el agua forma un circuito cerrado. En este caso, el agua caliente se eleva en la camisa del motor, pasa al radiador donde es enfriada, y desciende y fluye de nuevo a la camisa del motor. En los motores de gran potencia, el elemento refrigerante es dirigido a la zona más caliente que, por lo regular, es el asiento de la válvula de escape; esto se logra tanto con un múltiple de entrada externo como con uno interno para una camisa común al bloque de cilindros; de otra forma, se forman burbujas de vapor que se adhieren a la superficie y provocan el sobrecalentamiento. Se ha obtenido mayor producción de potencia y se ha reducido la tendencia a la detonación como resultado de dirigir el elemento refrigerante a las zonas calientes de la culata del cilindro, de donde fluye hacia abajo alrededor de los cilindros. 2.14.4 ENFRIAMIENTO POR ACEITE.

La cortadura de las diversas películas de aceite debida a las partes en movimiento y al contacto con las partes calientes de un motor, dan lugar a una elevación de la temperatura del aceite, que cesa cuando se establece el equilibrio entre la energía absorbida y la energía cedida por él; ésta última transmitida al entrar en contacto con partes más frías. En los motores de alto rendimiento se requieren enfriadores de aceite para conservar la temperatura del aceite a 94 °C, o por debajo de este valor. En los días calientes es común que la temperatura de los motores de automóvil se eleve hasta 121 °C. Una temperatura de 150 °C se considera demasiado alta, en forma particular para los aceites que se descomponen muy rápido en condiciones que provocan las temperaturas altas en ellos. La temperatura adecuada del aceite se mantiene al hacerlo circular a través de un radiador o enfriador hasta un colector de aceite y




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AUTOMOTRIZ. 45

de allí de nuevo a través del motor. El aceite de la transmisión también se enfría por medio de placas enfriadoras, que se fijan en los extremos de los tanques de los radiadores, o bien, con radiadores separados. 2.14.5 ANÁLISIS DEL PROCESO DEL MOTOR.

En teoría, el rendimiento térmico indicado a del ciclo de Otto con aire

normal sólo depende de la relación de compresión volumétrica cr .

4.0)/1(1 ca r

Los rendimientos indicados por el análisis, en que se considera el aire normal son bastante más altos que los que pueden obtenerse en realidad, porque en éste tienen un papel principal los calores específicos variables, la disociación y las pérdidas de tiempo y calor. En el análisis del ciclo con aire completo se toman en consideración las propiedades variables de la mezcla aire-combustible y la disociación de los productos de la combustión y se tiene como resultado, valores más bajos de los rendimientos, pero más reales. El análisis del ciclo real incluye, en suma, las pérdidas debidas a la combustión y las pérdidas de calor y fugas, con lo cual resulta un rendimiento térmico con un valor aproximado del 80% del que se determina en el análisis del ciclo con aire completo.

fcacar PPP

donde:

r rendimiento real

a rendimiento térmico

cP perdidas por combustión

caP perdidas por calor

fP perdidas por fugas

La presión media efectiva es igual que el trabajo real, dividido entre el desplazamiento volumétrico. Los caballos de potencia (hp) se obtienen mediante la siguiente fórmula:

KLanmephp /)(

en donde: mep= presión media efectiva, en KPa. L=carrera, en m. a=área total del émbolo m2

n=número de ciclos completos por minuto. K=33 000 constante. [2.15]




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AUTOMOTRIZ. 46

Si se aumenta la relación de compresión y la relación aire-combustible, aumenta también el rendimiento térmico del ciclo, La presión media efectiva depende de la carga del motor y del rendimiento térmico, estos dos valores dependen a su vez de la relación de compresión, del aire y del combustible suministrados. Los cambios de la presión y de la temperatura atmosférica modifican la potencia producida, aun cuando no afectan en forma apreciable el rendimiento térmico. 2.14.6 RECORRIDO DE LA FLAMA. En los motores de encendido por chispa, la flama se inicia en la bujía y en los motores de encendido por compresión, se presenta en diversos puntos de la cámara de combustión y en ambos se extiende en todas direcciones dentro de la mezcla. Al final de la combustión, la primera parte de la carga que fue encendida alcanza temperaturas más altas que la última porción encendida. La combustión de una parte de la carga comprime el resto de ésta. Así, con el 30% de la masa ya quemada, el volumen de la porción sin quemar es alrededor del 35% del volumen total. En un proceso a volumen constante el aumento de la temperatura en la última parte de la carga que está sin quemar alcanza un valor aproximado de 278 °C por encima de su temperatura inicial. La transmisión de calor durante la carrera de expansión alcanza del 8 al 12% del valor calorífico de la carga. Debido a las pérdidas de calor y a los efectos reales de los gases, el rendimiento térmico del motor disminuye alrededor del 40 %. Cuando la carrera de expansión alcanza del 80 al 90% de su valor total, se inicia la expulsión de gases, con esto se reduce el trabajo entre 1 y el 2%. Se alcanzan grandes velocidades de los gases (366 a 457 m/s); y la transmisión de calor, incluida la que se realiza a través de las paredes de la lumbrera de escape, alcanzan cantidades que van del 10 al 20% del valor calorífico de la carga, pero en la práctica, no representan pérdidas de trabajo o disponibilidad. 2.14.7 EL PROCESO DE ESCAPE. Los gases producto del proceso de combustión son expulsados por el movimiento del pistón. La presión de escape es superior a la atmosférica, pero puede ser menor que ésta en una parte de la carrera. La pérdida de calor que se tiene durante el escape alcanza del 3 al 5% del valor calorífico de la carga, pero esto no representa ninguna pérdida de trabajo o disponibilidad. A carga completa, alrededor del 80% de los gases escapan del cilindro durante la expulsión, y el resto queda en el espacio muerto al final de la misma. Las temperaturas de los gases de escape varían con la velocidad y la carga, cargas grandes y temperaturas elevadas dan por resultado las temperaturas más altas. Los primeros gases que escapan durante el principio del escape son los que se encuentran a temperaturas más altas.




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2.15 TEORIAS DE FALLA [2.16]. Se han propuesto diversas teorías sobre la falla, con objeto de predecir, con arreglo al comportamiento del material en los ensayos de tensión o compresión simple, las condiciones en que se producirá la ruptura bajo cualquier tipo de cargas combinadas. Por ruptura se entiende aquí la falla (o fallo) del material, tanto por ruptura real como por fluencia (lo que daría lugar a deformaciones permanentes excesivas), según sea el efecto que ocurra antes. No se considera la falla por una desarticulación local de la estructura, o por falta de estabilidad elástica (pandeo, o flexión lateral, en columnas). Las propiedades de los materiales se determinan, en general a partir de ensayos en los que las probetas son sujetas a esfuerzos simples bajo cargas estáticas o fluctuantes. El aplicar estos datos a los campos biaxiales o triaxiales ha dado como resultado la proposición de varias teorías de falla. El comienzo de la deformación plástica, es decir, de la fluencia, queda patente en los ensayos de tensión simple por la desviación de la proporcionalidad esfuerzo-deformación. Prácticamente, la fluencia comienza cuando las deformaciones plásticas empiezan a ser apreciables. Ahora bien, cuando no se trata de esfuerzo simple, sino de esfuerzos combinados en varias direcciones, la fluencia dependerá de alguna combinación de estas componentes del esfuerzo. Aunque no se ha encontrado un método teórico que relacione el punto de fluencia en los ensayos a tensión simple, con la fluencia en el caso de esfuerzos combinados, se han propuesto diversas teorías que intentan resolver este problema. 2.15.1 TEORÍA DEL MÁXIMO ESFUERZO. Fue propuesta por Rankine, es la más antigua y la más sencilla de todas. Se basa en la hipótesis de que la falla tiene lugar cuando el mayor de los esfuerzos principales alcanza un valor límite, que puede ser el punto de fluencia determinado en un ensayo a tensión simple, o el esfuerzo último si el material es frágil. La teoría no tiene en cuenta el efecto de los otros esfuerzos principales, ni el valor que pueda alcanzar el esfuerzo cortante sobre otros planos distintos de los principales. Por ejemplo, la resistencia para los dos estados de esfuerzo representados por sus círculos de Mohr en la figura (2.10) (esfuerzo cortante puro y tensión pura) será la misma según esta teoría, sin tener en cuenta que en (a) el esfuerzo cortante máximo es el doble que en (b), si la falla tiene lugar para el mismo valor del esfuerzo principal máximo. Esta observación hace pensar que el esfuerzo máximo de tensión o compresión, por sí solo, no debe bastar para determinar la ruptura, al menos cuando la falla ocurre por cedencia. Pese a todo, esta teoría da resultados que concuerdan bastante bien con la realidad en el caso de materiales frágiles. La figura que representa esta teoría es un cuadrado ver figura 2.11.




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Figura 2.10 Aunque los esfuerzos principales tienen el mismo valor en (a) y en (b),

El esfuerzo cortante en (a) es el doble que en (b) [2.16].

Figura 2.11 Teoría del Máximo esfuerzo [2.16].

2.15.2 TEORÍA DEL CORTANTE MÁXIMO. Esta teoría establece que la cedencia aparece cuando el esfuerzo cortante alcanza el valor del esfuerzo cortante máximo correspondiente al ensayo de tensión simple en el punto de cedencia. Como el esfuerzo cortante máximo es igual a la semi-diferencia de los esfuerzos principales, la condición para la falla es:

PCmáxmáx 2

1)(

2

1min (2.33)

La figura que representa a esta teoría es un hexágono irregular, ver figura 2.12.




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AUTOMOTRIZ. 49

Figura 2.12 Teoría del Cortante máximo [2.16].

2.15.3 TEORÍA DE LA MÁXIMA DEFORMACIÓN. De acuerdo con esta teoría, atribuida a Saint Venant, en un material dúctil la fluencia empieza cuando la deformación principal máxima alcanza el valor de la deformación para la que empieza la fluencia en el ensayo de tensión simple, o cuando la deformación principal mínima (es decir, de compresión) alcanza el valor de la deformación en el punto de cedencia del ensayo a compresión simple. Sin embargo, observando la ley de Hooke en el caso de un estado triaxial de esfuerzos, expresado por las siguientes ecuaciones:

)(1

ZYXXE

(2.33)

)(1

XZYYE

(2.34)

)(1

YXZZE

(2.35)

Se deduce que si ZYX la deformación máxima es E/)21( ,

mientras que si ZYX , la deformación máxima es E/)21( . Así,

pues, con los mismos valores de los esfuerzos máximos, las deformaciones máximas son completamente distintas. En realidad, los resultados de esta teoría no concuerdan en muchos casos con la experiencia, ya que su modelo geométrico es un circulo que resulta tener dimensiones mayores a las otras figuras de las demás teorías ver figura 2.13.




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Figura 2.13 Teoría de la máxima deformación [2.16].

2.15.4 TEORÍA DE VON MISES O DE LA ENERGÍA MÁXIMA DE

DISTORSIÓN. De acuerdo a estudios donde se correlacionaron análisis experimental y numérico, se encontró que la teoría de falla de von Mises es la que mejor predice el comportamiento de los materiales que conforman nuestro objeto de estudio. Por esta razón se emplea esta teoría para el análisis de los resultados.

Es una teoría de falla cuyo criterio se basa en los conceptos de energía y es aceptado para materiales dúctiles. En otras palabras, la energía elástica total se divide en dos partes: una asociada a los cambios volumétricos del material y otra que causa distorsiones por corte. Igualando la energía de distorsión o deformación por esfuerzo cortante, en el punto de fluencia de una probeta normalizada ensayada a tensión simple, con la energía correspondiente a esfuerzo combinado, se establece el criterio de falla para esfuerzos de esta última clase.

La condición de falla para un material se puede obtener en un estado de esfuerzos, en función de los esfuerzos principales como:

22222 ypXZZYYX (2.36)

Para el esfuerzo bidimensional Z= 0, la ecuación 2.36 queda en forma paramétrica:

1

2

221

2

1

ypypypyp

(2.37)




CAPÍTULO II


AUTOMOTRIZ. 51

Se puede advertir que la ecuación 2.37 corresponde a una elipse, como se muestra en la figura 2.14. Cualquier combinación de esfuerzos que se presente dentro de la elipse indica que el material se comporta elásticamente. Los puntos en la propia elipse indican que el material está fluyendo. En algunos casos, al retirar la carga el material se comporta elásticamente. De manera alterna, cualquier combinación de esfuerzos que quede fuera de la elipse, corresponderá a un estado dónde se presenta la falla.

Es importante observar que esta teoría no predice cambios en la respuesta del material cuando se añaden esfuerzos hidrostáticos de tensión o de compresión. Esto se deduce del hecho de que, como la ecuación 4.1 sólo comprende diferencias de esfuerzos, el sumar un esfuerzo constante a cada una, no altera la condición de fluencia. Por esta razón, en el espacio tridimensional de esfuerzos, la superficie de fluencia viene a ser un cilindro con

un eje que tiene los tres cósenos directores iguales a 1/3. La elipse que se

muestra en la fig. 2.14 resulta de la intersección de este cilindro con el plano x,

y.

Figura 2.14 Criterio de fluencia en energía máxima de distorsión (Teoría de falla de Von Mises) [2.16].

Es posible demostrar que la condición de fluencia expresada por la ecuación 4.1 es otra invariante de esfuerzo. Asimismo, también es una ecuación continua. Tales características hacen que el uso de esta ley de fluencia plástica para esfuerzos combinados, sea particularmente atractiva desde el punto de vista teórico. Este criterio de falla establece que el esfuerzo

de Von Mises VM debe ser menor que el esfuerzo de fluencia Y del material.

En forma de desigualdad, el criterio puede escribirse como:

YVM (2.38)




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AUTOMOTRIZ. 52

Mediante invariantes el esfuerzo de Von Mises VM está dado por:

2

2

1 3IIVM (2.39)

donde 1I e 2I son las primeras dos invariantes del tensor de esfuerzo. Para el

estado general de esfuerzo, 1I e 2I están dados por:

ZYXI 1 (2.40)

222

2 ZXYZXYXZZYYXI (2.41)

En términos de los esfuerzos principales 21, y 3 , las dos invariantes

pueden escribirse como:

3211 I (2.42)

1332212 I (2.43)

Para el estado de esfuerzo plano, se tiene:

YXI 1 (2.44)

2

2 XYYXI (2.45)

2.15.5 TEORÍA DE LA MÁXIMA ENERGÍA DE DEFORMACIÓN UNITARIA. Esta teoría fue establecida por Beltrami, supone que la falla ocurre cuando la energía absorbida por volumen unitario es igual a la energía de deformación por volumen unitario en una probeta a tracción (o compresión) en la fluencia

YPZYX )( .

En la figura (2.15) se muestra una representación gráfica de las teorías de falla más aplicadas a un campo de esfuerzos biaxiales. Los esfuerzos exteriores a las líneas limitadoras en el caso de cada teoría, significan la falla




CAPÍTULO II


AUTOMOTRIZ. 53

(fluencia o fractura). Una comparación con los datos experimentales demuestra que la teoría de Von Mises (energía de distorsión) es la mejor para materiales dúctiles de iguales propiedades de tracción y compresión. En la práctica, a juzgar por algunos códigos aceptados, la teoría del cortante máximo se usa, en general, para materiales frágiles. Figura 2.15 Representación grafica de las teorías de falla [2.16].

Las teorías de falla no pueden relacionarse, teóricamente, con la resistencia elástica ni con las teorías descritas. Sin embargo, los resultados experimentales justifican esto, al menos hasta un grado limitado. En consecuencia, la evaluación de teorías dada antes, se sostiene para esfuerzos fluctuantes, con tal que se usen los esfuerzos principales a la carga máxima y la resistencia de fatiga en flexión simple se sustituya por la resistencia de fluencia.

2.16 ESFUERZOS EN LOS DIENTES DEL ENGRANE [2.17].

Factores importantes limitadores del diseño, al especificar la capacidad de una transmisión de engranes.

El calor generado durante la operación.

La falla de los dientes por ruptura.

La falla por fatiga en la superficie de los dientes.

El desgaste abrasivo en la superficie de éstos

El ruido resultante de velocidades altas o de cargas fuertes.




CAPÍTULO II


AUTOMOTRIZ. 54

Figura 2.16 Nomenclatura de un diente de engrane [2.17].

En este tema se estudiará la resistencia de los dientes de engrane con base a 3 clases de falla posibles. Estas son la falla estática debida a esfuerzos de flexión, la falla por fatiga debida también a esfuerzo por flexión y la falla por fatiga en la superficie, derivada de esfuerzos de contacto o Hertzianos. El objeto particular de este tema es obtener una relación para el esfuerzo por flexión que se produce en el diente. Wilfred Lewis fue el primero que presentó una fórmula para calcular este esfuerzo en dientes de engranes, en la que interviene la forma de los mismos. Esta fórmula fue publicada en 1892 y en la actualidad sigue siendo utilizada para el diseño de engranes.




CAPÍTULO II


AUTOMOTRIZ. 55

l

(a) (b)

Figura 2.17 Diente de engrane y viga en voladizo [2.17].

Para deducir la ecuación de Lewis obsérvese la figura 2.17a presenta un voladizo con dimensiones de sección transversal F y t, con longitud l y una carga Wt. El módulo de sección es l / c = Ft²/ 6 y, por lo tanto, el esfuerzo por flexión es:

(2.46)

Refiriéndonos ahora a la figura 2.17b, se supone que el esfuerzo máximo que se tiene en un diente ocurre en el punto a. Por triángulos semejantes puede escribirse:

2/

2/

t

l

x

t o bien (2.47)

Reordenando la ecuación (2.46) se tiene:

Ft²

6

/

lW

cl

M t




CAPÍTULO II


AUTOMOTRIZ. 56

6

4

1

41

1

61

1

Ft²

622 tF

W

tF

WlW ttt (2.48)

Si se sustituye el valor de x en la ecuación (2.47) en la ecuación (2.48) y se multiplican el numerador y el denominador por el paso circular (p), se tiene:

xpF

pWt

3

2 (2.49)

Haciendo y = 2x / 3p, resulta:

Fpy

Wt (2.50)

Esto último termina el desarrollo de la ecuación original de Lewis. El factor y se le llama factor de forma de Lewis y puede obtenerse mediante una representación del diente del engrane, o bien por computación digital. Al aplicar esta ecuación, la mayoría de los ingenieros de diseño prefieren emplear el paso diametral para determinar los esfuerzos. Para hacer esto se

sustituye P = p y Y = y en la ecuación anterior, da:

FY

PWt (2.51)

Donde:

3

2xPY (2.52)




CAPÍTULO II


AUTOMOTRIZ. 57

La ecuación (2.51) puede utilizarse para obtener una estimación rápida del tamaño del engrane, introduciendo la resistencia del material, dividida entre un factor de seguridad adecuado, en vez del esfuerzo por flexión .

Pero, no deben de emplearse para diseño final porque, como se demostrará en secciones posteriores se necesitan elaboraciones considerables para lograr que la ecuación conduzca al diseño de engranes confiables de alto rendimiento. Tabla 2.1 Valores del factor de forma y de Lewis, de la AGMA [2.17].

Número de dientes

000.1

800.0

20

b

a

250.1

000.1

20

b

a

250.1

000.1

25

b

a

350.1

000.1

25

b

a

12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 26 28 30 34 38 45 50 60 75

100 150 300

Cremallera

0.335 12 0.348 27 0.359 85 0.370 13 0.379 31 0.387 57 0.395 02 0.401 79 0.407 97 0.413 63 0.418 83 0.428 06 0.436 01 0.442 94 0.449 02 0.459 20 0.467 40 0.478 46 0.484 58 0.493 91 0.503 45 0.513 21 0.523 21 0.533 48 0.544 06

0.229 60 0.243 17 0.255 30 0.266 22 0.276 10 0.285 08 0.293 27 0.300 78 0.307 69 0.314 06 0.319 97 0.330 56 0.339 79 0.347 90 0.355 10 0.367 31 0.377 27 0.390 93 0.398 60 0.410 47 0.422 83 0.435 74 0.449 30 0.463 64 0.478 97

0.276 77 0.292 81 0.307 17 0.320 09 0.331 78 0.342 40 0.352 10 0.360 99 0.369 16 0.376 71 0.383 70 0.396 24 0.407 17 0.416 78 0.425 30 0.439 76 0.451 56 0.467 74 0.476 81 0.490 86 0.505 46 0.520 71 0.536 68 0.553 51 0.571 39

0.254 73 0.271 77 0.287 11 0.301 00 0.313 63 0.325 17 0.335 74 0.345 46 0.354 44 0.362 76 0.370 48 0.384 39 0.396 57 0.407 33 0.416 91 0.433 23 0.446 63 0.465 11 0.475 55 0.491 77 0.508 77 0.526 65 0.545 56 0.565 70 0.587 39

NOTA: Todas las dimensiones están en pulgadas. Los valores dados corresponden a pulgadas en paso diametral 1.




CAPÍTULO II


AUTOMOTRIZ. 58

El uso de la ecuación (2.52) para Y, significa que sólo se considera la flexión del diente y que se desprecia la compresión debida a la componente radial de la fuerza. Los valores de Y se obtienen a partir de la ecuación (2.52) y se muestran en la tabla anterior. El uso de la ecuación (2.52) implica asimismo, que los dientes no comparten la carga y que la fuerza máxima se ejerce en el extremo del diente; pero se ha expresado que la relación de contacto debe ser algo mayor que la unidad, por ejemplo 1.5, a fin de obtener un engranaje de alta calidad. Si, de hecho, los engranes se forman con la suficiente exactitud, la condición de carga en la punta no será la más ventajosa ya que otro par de dientes se hallará en contacto cuando se suscite esta condición. Un minucioso estudio de dientes en movimiento muestra que las cargas más altas se presentan aproximadamente en la parte media del diente. Por lo tanto, el esfuerzo máximo probablemente se producirá mientras un solo par de dientes soporta la carga completa, en un punto donde otro par se encuentra a punto de hacer contacto. La ecuación en la AGMA para el factor de forma de Lewis contrarresta ambas objeciones. Esta ecuación es:

1

tan5.1

cos

cos

1

LL

x

Y

(2.53)

Donde L es el ángulo entre el vector de carga total W y una perpendicular

a la línea central del diente en el punto más alto del contacto en uno solo. La determinación de las distancias x y t se muestran en las figuras 2.18a y 2.18b. Obsérvese que el ángulo de carga L difiere del ángulo de presión en que

la línea eje del diente no coincide con la de los engranes, cuando el diente se




CAPÍTULO II


AUTOMOTRIZ. 59

encuentra en la posición particular correspondiente al punto más alto del contacto en un diente. Figura 2.18 Contacto entre dientes [2.17].

Una investigación fotoelástica realizada por Dolan y Broghamer hace más de 40 años constituye la información primaria acerca de la concentración del

(a) El engrane impulsor gira en el sentido del reloj. El punto A es el punto inicial de contacto el punto H es el más alto del contacto en un solo diente. La recta 02P por lo general no coincide con la línea eje o central del diente.

(b) Croquis para obtener x y t cuando la carga w se ejerce en el punto más alto del contacto en un solo diente.




CAPÍTULO II


AUTOMOTRIZ. 60

esfuerzo. Mitchiner y Mabie interpretan los resultados en términos del factor de concentración en la fatiga Kf como:

ML

f

l

t

r

lHK

(2.54)

Donde: H = 0.34 – 0.458 366 2

L = 0.316 – 0.458 366 2

M = 0.290 + 0.458 366 2

f

ff

rbd

rbrr

2/

2

(2.55) En estas ecuaciones l y t se determinan mediante el esquema de la figura 2.18a donde es ángulo de presión rt es el radio del filete, b es el dedendo y d

es el diámetro de paso del engrane. 2.16.1 FACTOR GEOMÉTRICO La AGMA ha establecido un factor J denominado factor geométrico, el cual emplea el factor de forma modificado de la ecuación (2.53) el factor de concentración del esfuerzo en la fatiga Kf de la ecuación (2.54) y una relación carga compartida mN. Esta última cantidad se basa en la proporción de la carga total que lleva el diente más cargado. La ecuación de la AGMA es:

Nf mK

YJ (2.56)

Como el valor de y en la ecuación (2.56) se basa en el punto más alto del contacto en un solo diente, mN = 1, en el caso de engranes cilíndricos rectos la ecuación (2.56) se escribe como:




CAPÍTULO II


AUTOMOTRIZ. 61

fK

YJ (2.57)

Aquí se destaca que y en la ecuación (2.57) es el valor determinado por la ecuación (2.52) que no corresponde a los valores de la tabla 2.1. Con ésta definición del factor geométrico, ahora puede escribirse la ecuación (2.51) en la forma:

FJ

PWt (2.58)

Lo cual da el esfuerzo normal correspondiente a la carga total W que actúa en el punto más alto de contacto en un solo diente, e incluye los efectos de concentración del esfuerzo. A continuación se menciona una síntesis de las SUPOSICIONES hechas por el autor para efectuar dicho análisis.

1. Si se considera la componente radial, esta produciría un esfuerzo de compresión uniforme, al cual debería sumársele el esfuerzo por flexión. Por tanto el efecto de la componente radial es aumentar la compresión y disminuir la tensión.

2. Se supone que el máximo esfuerzo ocurre cuando la carga está aplicada en la punta del diente. Si se cortan los engranes con suficiente precisión, la condición de carga en la punta no es la peor, porque hay otro par de dientes en contacto cuando se presente tal condición. El examen de los dientes barridos o desprendidos demuestra que las cargas más fuertes ocurren cerca de la parte media del diente. Por lo tanto, el esfuerzo máximo se produce probablemente cuando un solo par de dientes soporta la carga completa y en un punto en el que otro par de dientes está a punto de entrar en contacto.

3. Se supone que la carga tangencial Wt está uniformemente distribuida por

toda la cara del engrane. Sin embargo, los engranes y sus ejes de soporte se fabrican con materiales elásticos, los cuales se deforman por efecto de las cargas. En consecuencia, hay que esperar que ocurran deflexiones en los dientes de los engranes, deformación torsional en el cuerpo de engrane y deformaciones por flexión en el eje de soporte. El efecto de tales deformaciones es ocasionar una distribución no uniforme de la carga.

4. Se consideran los efectos de la concentración de esfuerzos, las

investigaciones recientes indican que es aconsejable utilizarlos.




CAPÍTULO II


AUTOMOTRIZ. 62

2.16.2 MOMENTO FLECTOR EN EL ENGRANE [2.17]. El momento flector en el engrane se puede obtener con las siguientes ecuaciones.

dFM F (2.59)

ZM TF (2.60)

6

2btZ (2.61)

2.16.3 FACTOR DE CONCENTRACIÓN DE ESFUERZOS EN EL DIENTE

DEL ENGRANE [2.17]. * El valor del coeficiente teórico de concentración de esfuerzos *(no es posible definirlo de modo simple), a causa de la complejidad geométrica. Los coeficientes de concentración de esfuerzos que se usan ordinariamente son estimaciones razonables de los valores verdaderos. Mediante técnicas fotoelásticas, se encontró:

6.1K 2.17 SUMARIO. Se requiere plantear una metodología que permita desarrollar un

análisis de resistencia de materiales y numérico, para obtener los esfuerzos principales y con ellos los de Von Mises. Para ello es necesario considerar diversas características, entre ellas: propiedades elásticas, componentes de los esfuerzos, vigas continuas, métodos de solución de vigas continuas (método de Cross), esfuerzos combinados, esfuerzos principales (círculo de Mohr), concentración de esfuerzos, método del elemento finito, teorías de falla, esfuerzos en el diente del engrane, factor geométrico, momento flector en el engrane y factor de concentración de esfuerzos en el diente del engrane.

Como se ha visto en este capítulo el análisis del árbol y del engrane

involucran una gran cantidad de factores, por ser tan amplio este estudio, se deben definir los alcances del mismo lo más concretamente posible. En este capítulo se han discutido ampliamente los fundamentos de la teoría necesaria sobre el tema.




CAPÍTULO II


AUTOMOTRIZ. 63

2. 18 REFERENCIAS. [2.1] Ortiz Berrocal Luís. Elasticidad. Mc Graw Hill 1998, páginas 162-175. [2.2] Rekach, V. G. Problemas de la Teoría de la Elasticidad. Mir 1996,

páginas. 20-29. [2.3] Chiñas de la Torre Miguel Cálculo Estructural, ingeniería civil Y

Arquitectura. Trillas, 1997, páginas. 11-50. [2.4] Ferdinand L. Singer / Andrew Pytel. Resistencia de Materiales. Harla,

4ta.impresión 1999, páginas. 289-297, 314-318. [2.5] R. Chandrupatla Tirupathi. Introducción al estudio del elemento finito en

Ingeniería. Pearson 2000, páginas 412-420. [2.6] Hrenikoff, A Solution of problem in Elasticity by the Framwwork Method.

Transactions of ASME, Journal of Applied Mechanics, vol. 8, 1941 [2.7] Argyris, J. H. Kesley L. S. Energy Theorems and Structural Analysis.

Butterworth, 1955 [2.8] Levy, G. S. Structures and Análisis for The Finite Element Method.

Journal Aeronautical Science, Volume 16, 1953. [2.9] Turner, M. J. Clough T. N., Martin J. P. y Toop R. C., Stiffnes and

Deflection Analysis of Complex Structures, Journal Aeronautical Science, Volume 23, 1956 páginas 805-824.

[2.10] Melosh, R M., Adini T. C. y Clough Variational Methods for the Solution

of Problems of Equilibrium, Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 49

[2.11] Grafton, I. A., Strome H. B. The Finite Element Method. Mc Graw Hill,

1963 páginas 215-236. [2.12] Andrés Gutiérrez Gómez Algebra Lineal. Pirámide 1981, páginas 33-42. [2.13] Zienkiewics, O. C., The Finite Element Method in Engineering Science.

Mc Graw Hill, London, 1971, páginas 521 [2.14] Segerlind L. J. Teoría de la Elasticidad. Mc. Graw Hill 1997, páginas 175-

193




CAPÍTULO II


AUTOMOTRIZ. 64

[2.15] Theodore Baumeister/ Eugene A. Avallone/ Theodore Baumeister. III Marks. Manual del Ingeniero Mecánico. Mc. Graw Hill, volumen I 2da. Impresión en español, 1998, páginas 5-52, 5-53 y 5-54.

[2.16] Theodore Baumeister/ Eugene A. Avallone/ Theodore Baumeister. III

Marks. Manual del Ingeniero Mecánico. Mc. Graw Hill, volumen II 2da. Impresión en español, 1998, páginas 8-652, 8-654 y 8-655.

[2.17] Virgil Moring Faires, Diseño de Elementos de Máquinas. Limusa 1999,

Páginas 465-479.


ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN

CAPÍTULO III


AUTOMOTRIZ.

65

CAPÍTULO 3

ANÁLISIS EMPLEANDO EL MÉTODO ANÁLITICO Y EL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO.



CAPÍTULO III


AUTOMOTRIZ.

66

Escape Escape

Escape Escape

Admisión Admisión

Admisión Admisión

árbol de levas

Engrane de transmisión

Pistones

3.1 EL MÉTODO ANÁLITICO [3.1]. El análisis se realizó con las siguientes consideraciones:

a) El máximo torque que entrega el motor es 103 Nm. b) El torque es transmitido por el cigüeñal a través de engranes

helicoidales.

c) La máxima flexión en el árbol es generada por las válvulas de

escape y admisión de los pistones 1 y 2 respectivamente, con una fuerza de 345 N, durante el cuarto tiempo.

d) El peso del engrane del árbol es de 4.9 N.

e) La longitud del árbol es de 27.1 cm., con un diámetro de 2.50cm.

f) El diámetro del engrane es de 13.20 cm., con un ancho de diente de

1.9 cm.

3.2 DISTRIBUCIÓN DE LOS PISTONES EN EL MOTOR.

Figura 3.1 Distribución de válvulas de admisión y escape [3.1].



CAPÍTULO III


AUTOMOTRIZ.

67

Escape

Admisión

Admisión

Escape

Pistón 1

Admisión

Compresión

Explosión

Pistón 3

Explosión

Escape

Admisión

Compresiòn

Pistón 4

Escape

Admisiòn

Compresión

Explosión

Pistón 2

Compresión

Explosión

Escape

AdmisiónEscape

3.3 ÁRBOL DE LEVAS.

Figura 3.2 Tipos de levas (Más bien nombre o función de cada leva) [3.1].

3.4 TIEMPOS EN LOS PISTONES.

Tabla 3.1 Sincronización de los tiempos [3.1].



CAPÍTULO III


AUTOMOTRIZ.

68

a

cg

h

f

e

FEZ

FEX

d

FEY

F

3.5 CÁLCULO DE LA FUERZA TRANSMITIDA EN EL ENGRANE DEL ÁRBOL.

))(( Et rFM (3.1)

E

t

r

MF (3.2)

Nm

NmF 1560

066.0

103

Figura 3.3 Fuerza transmitida por el volante del motor [3.1].

3.5.1 CÁLCULO DE LAS COMPONENTES DE LA FUERZA APLICADA EN EL ENGRANE DEL ÁRBOL [3.2].

Figura 3.4 Descomposición de la fuerza en el engrane helicoidal [3.2].



CAPÍTULO III


AUTOMOTRIZ.

69

f h

b

F=1560N

fh

h e

c

fh=1465N

FEX

3.5.1.1 CÁLCULO DEL SEGMENTO FH.

020

Figura 3.5 Triangulo rectángulo que contiene fh [3.2].

F

fhCos (3.3)

CosFfh (3.4)

020)1560( CosNfh

Nfh 92.1465

3.5.1.2 CÁLCULO DE LA COMPONENTE FEX.

070

Figura 3.6 Triangulo rectángulo que contiene EXF [3.2].

fh

FCos EX (3.5)

fhCosFEX (3.6)

070)92.1465( CosNFEX

NFEX 37.501



CAPÍTULO III


AUTOMOTRIZ.

70

f h

b

F=1560NFEy

g h

f

fh=1465N

FEZ

3.5.1.3 CÁLCULO DE LA COMPONENTE FEY.

020

Figura 3.7 Triangulo rectángulo que contiene EYF [3.2].

F

FSen EY (3.7)

FSenFEY (3.8)

020)1560( SenNFEY

NFEY 55.533

3.5.1.4 CÁLCULO DE LA COMPONENTE FEZ.

020

Figura 3.8 Triangulo rectángulo que contiene EZF [3.2].

fh

FCos EZ (3.9)

CosfhFEZ (3.10)

020)92.1465( CosNFEZ

NFEZ 51.1377



CAPÍTULO III


AUTOMOTRIZ.

71

3.6 FUERZAS Y MOMENTO TORSIONANTE EJERCIDOS EN EL ÁRBOL DE LEVAS.

Figura 3.9 Fuerzas ejercidas por la descomposición en el engrane, por las válvulas de los

pistones 1 y 2, en los apoyos, y por el peso del engrane durante el cuarto tiempo [3.2].

3.7 CÁLCULO DE LOS MOMENTOS FLEXIONANTES [3.3].

3.7.1 CÁLCULO DEL MOMENTO FLEXIONANTE EN LA DIRECCIÓN “Z” POR EL MÉTODO DE CROSS.

3.7.1.1 CÁLCULO DEL MOMENTO DE INERCIA.

4

)( 4

ArI

(3.11)

484

1091.14

)0125.0(mx

mI

3.7.1.2 CÁLCULO DE LOS FACTORES DE RIGIDEZ.

L

IK (3.12)

BC

BCL

IK (3.13)



CAPÍTULO III


AUTOMOTRIZ.

72

3748

1057.1123.0

1091.1mx

m

mxKBC

CD

CDL

IK (3.14)

3748

1067.1114.0

1091.1mx

m

mxKCD

3.7.1.3 CÁLCULO DE LOS FACTORES DE DISTRIBUCIÓN.

K

KFD

(3.15)

CDBC

BC

BCKK

KFD

(3.16)

48.01067.11057.1

1057.13737

37

mxmx

mxFDBC

CDBC

CD

CDKK

KFD

(3.17)

52.01067.11057.1

1067.13737

37

mxmx

mxFDCD

3.7.1.4 CÁLCULO DE LOS MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO (MEP):

))(( ABEZBDA LFMM (3.18)

NmmNMM BDA 83.46)034.0)(1377(

2

2

BC

BCBCVAZBI

L

baFM (3.19)

Nmm

mmNM BI 60.2

)123.0(

)033.0)(09.0(3452

2

BC

BCBCVAZ

CDL

baFM

2

(3.20)



CAPÍTULO III


AUTOMOTRIZ.

73

Nmm

mmNM CD 09.7

)123.0(

)033.0()09.0(3452

2

CD

CDCDVEZ

CIL

baFM

2

(3.21)

Nmm

mmNM CI 31.2

)114.0(

)033.0)(081.0(3452

2

CD

CDCDVEZ

DDL

baFM

2

(3.22)

Nmm

mmNM DD 60.5

)114.0(

)033.0()081.0(3452

2

3.7.1.5 SOLUCIÓN DE LA VIGA EN LA DIRECCIÓN “Z”.

Figura 3.10 Fuerzas ejercidas en la dirección “Z” [3.3].

FD 0 1 0.48 0.52 1

MEP

1era. distribución

-46.83 +2.60 -7.09

+44.23 +2.29

+2.31 -5.60

+2.48 +5.60

Transmisión

2da. distribución +1.14 +22.11

-1.14 -11.93

+2.8 +1.24

-12.93 -1.24

Transmisión

3era. distribución -5.96 -0.57

+5.96 +0.57

-0.62 -6.46

+0.62 +6.46

Transmisión

4ta. distribución -0.28 +2.98

-0.28 -2.98

+3.24 +0.31

-3.24 -0.31

Transmisión

5ta. distribución -1.49 -0.14

+1.49 +0.14

-0.15 -1.61

+0.15 +1.61

-46.75 +46.75 +5.34 -5.34 0



CAPÍTULO III


AUTOMOTRIZ.

74

3.7.2 CÁLCULO DEL MOMENTO FLEXIONANTE EN LA DIRECCIÓN Y”

POR EL MÉTODO DE CROSS. 3.7.2.1 CÁLCULO DE LOS MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO

PERFECTO (MEP):

))(( ABEEYBDA LWFMM (3.23)

NmmNMM BDA 30.18)034.0)(95.538(

3.7.2.2 SOLUCIÓN DE LA VIGA EN LA DIRECCIÓN “Y”.

Figura 3.11 Fuerzas aplicadas en la dirección “Y” [3.3].

FD 0 1 0.48 0.52 1

MEP

1era. distribución

-18.30 0 0

+18.30 0

0 0

0 0

Transmisión

2da. distribución 0 +9.15

0 -4.39

0 0

-4.7 0

Transmisión

3era. distribución -2.19 0

+2.19 0

0 -2.35

0 +2.35

Transmisión

4ta. distribución 0 +1.09

0 -1.08

+1.17 0

-1.17 0

Transmisión

5ta. distribución -0.54 0

+0.54 0

0 +0.58

0 -0.58

-18.30 +18.30 +4.77 -4.77 0



CAPÍTULO III


AUTOMOTRIZ.

75

3.7.3 CÁLCULO DEL MOMENTO FLEXIONANTE EN LA DIRECCIÓN “X” [3.4].

Figura 3.12 Fuerzas ejercidas en la dirección “X” [3.4].

Como en este caso el esfuerzo a compresión es igual al esfuerzo de flexión tenemos:

I

Mc

A

P (3.24)

Despejando a M tenemos:

Ac

PIM (3.25)

Como EXFP ; Arc ; AAA y XMM tenemos:

AA

EXx

rA

IFM (3.26)

Nmmmx

mxNM x 56.1

)0125.0)(1008.49(

)1091.1)(37.501(25

48

3.7.4 CÁLCULO DEL MOMENTO FLEXIONANTE RESULTANTE.

222

zyxR MMMM (3.27)

222 )75.46()30.18()56.1( NmNmNmM R

)56.2185()89.334()43.2( 222222 mNmNmNM R

2288.2522 mNM R

NmMR 22.50



CAPÍTULO III


AUTOMOTRIZ.

76

3.8 CÁLCULO DE LOS ESFUERZOS NORMALES DE FLEXIÓN Y TORSIÓN.

3

4

r

M RF

(3.28)

MPa

mx

Nm

m

NmF 7.32

1013.6

80.200

0125.0

20.504363

3

2

r

M t

(3.29)

MPamx

Nm

m

Nm6.33

1013.6

206

)0125.0(

)103(2363

3.9 DETERMINACIÓN DE LOS FACTORES DE CONCENTRACIÓN DE ESFUERZOS [3.5] Y [3.6].

d

D (3.30)

2.550.2

20.13

cm

cm

d

r (3.31)

2.050.2

50.0

cm

cm

3.9.1 FACTOR DE CONCENTRACIÓN DE ESFUERZOS POR FLEXIÓN.

5.1FK Este factor se consideró por ser el más crítico en todo el árbol

3.9.2 FACTOR DE CONCENTRACIÓN DE ESFUERZOS POR TORSIÓN.

1.1TK Este factor se consideró por ser el más crítico en todo el árbol.



CAPÍTULO III


AUTOMOTRIZ.

77

T

F

max

F/2 F/2

maxmin

3.10 CÁLCULO DE LOS ESFUERZOS NORMALES DE FLEXIÓN Y TORSIÓN CON FACTOR DE CONCENTRACIÓN DE ESFUERZO [3.3].

FFKF K (3.32)

MPaMpaKF 49)7.32)(5.1(

TKT K (3.33)

MPaMPaKT 9.36)6.33(1.1

3.11 CÁLCULO DE LOS ESFUERZOS PRINCIPALES DE FLEXIÓN Y

TORSIÓN POR EL CÍRCULO DE MOHR [3.4].

Figura 3.13 Circulo de Mohr para esfuerzos combinados [3.4].



CAPÍTULO III


AUTOMOTRIZ.

78

2

2

2KT

KFR

(3.34)

MPaMPaMPa

R 2.449.362

49 2

2

2max

KFR

(3.35)

MPaMPa

MPa 7.682

492.44max

2min

KFR

(3.36)

MPaMPa

MPa 7.192

0.492.44min

Rmax (3.37)

MPa2.44max

3.12 CÁLCULO DEL ESFUERZO VON MISES EN EL ÁRBOL [3.7].

2

2

1 3IIvm (3.38)

De donde:

yxI 1 (3.39)

2

2 xyyxI (3.40)

Como max x y min y , para 1I se tiene:

minmax1 I (3.41)



CAPÍTULO III


AUTOMOTRIZ.

79

MPaMPaMPaI 4.887.197.681

Como xy max , para 2I se tiene:

2

maxminmax2 I

22

2 6002500002.447.197.68 MPaMPaMPaMPaI

Sustituyendo los valores de 1I y de 2I en la ecuación (3.38), tenemos:

2260025000034.88 MPaMPaVM

22 18007500007814560000 MPaMPaVM

2961531000MPaVM

MPaVM 98



CAPÍTULO III


AUTOMOTRIZ.

80

3.13 CÁLCULO DE LOS ESFUERZOS EN EL DIENTE DEL ENGRANE [3.2].

Para este cálculo se procede a conocer los siguientes parámetros. 3.13.1 DETERMINACIÓN DE LOS ESFUERZOS NORMALES DE

FLEXIÓN Y TRACCIÓN.

Figura 3.14 Fuerzas ejercidas en el diente [3.2]. Figura 3.15 Zonas generadas en la flexión [3.2].

Se sabe que:

lFdFM EYF (3.42)

ZM TF (3.43)

6

2btZ (3.44)

Igualando las ecuaciones (3.42) y (3.43) tenemos:

)(ZlF TEY

Despejando T , y sustituyendo la ecuación (3.44) tenemos:

6

2bt

lF

Z

lF EYEYT (3.45)

MPa

mx

N

mm

mNT 01.48

104.0

2078.19

005.0019.0

6006.055.533262



CAPÍTULO III


AUTOMOTRIZ.

81

Para el esfuerzo flexionante tenemos:

lFdFM EYF

NmmNM F 2.3006.055.533 (3.46)

MPa

mx

Nm

m

NmF 33.21

106.0

80.12

006.0

2.34363

3.13.1.1 FACTOR DE CONCENTRACIÓN DE ESFUERZOS [3.2].

6.1K

3.13.2 DETERMINACIÓN DE LOS ESFUERZOS DE TRACCIÓN Y

FLEXIÓN CON FACTOR DE CONCENTRACIÓN DE ESFUERZOS ZONA A TRACCIÓN.

MPaMPaKFFKT12.34)6.1(33.21

MPaMPaKTTKT81.76)6.1(01.48

3.13.3 DETERMINACIÓN DE LOS ESFUERZOS DE TRACCIÓN Y

FLEXIÓN CON FACTOR DE CONCENTRACIÓN DE ESFUERZOS ZONA A COMPRESIÓN.

MPaMPaKFFKC12.34)6.1(33.21

MPaMPaKTTKC81.76)6.1(01.48



CAPÍTULO III


AUTOMOTRIZ.

82

3.13.4 CÁLCULO DE LOS ESFUERZOS PRINCIPALES EN LA ZONA DE TRACCIÓN.

FKc

TTK 2C

Figura 3.16 Esfuerzos en la zona de tracción [3.2].

MPaTFKY 12.34

Como CFKT tenemos:

MPaMPaMPaCTKZ T68.4212.3481.76

Para los esfuerzos principales se tiene:

2

2

22ZY

YZYZ

mín

máx

(3.47)

Como 0ZY , se tiene:

22

YZYZ

mín

máx

(3.48)

Para el esfuerzo máximo tenemos:

22

YZYZmáx

(3.49)

MPaMPaMPaMPaMPaMPa

máx 16.440.382

35.3468.42

2

12.3468.42

MPamáx 57.42



CAPÍTULO III


AUTOMOTRIZ.

83

Para el esfuerzo mínimo tenemos:

22min

YZYZ

(3.50)

MPaMPaMPaMPaMPaMPa

16.440.382

35.3468.42

2

12.3468.42min

MPa24.34min

3.13.5 CÁLCULO DE LOS ESFUERZOS PRINCIPALES EN LA ZONA DE

COMPRESIÓN.

CFK

CKC1

2C

Figura 3.17 Esfuerzos en la zona de compresión [3.2].

MPaFKcY 12.34

Como 2CFKc y KcCTKT 1

tenemos:

MPaMPaMPaFKcTKCKcCZ T94.11012.3481.7621

Para los esfuerzos principales se tiene:

2

2

22ZY

YZYZ

mín

máx

Como 0ZY , se tiene:

22

YZYZ

mín

máx



CAPÍTULO III


AUTOMOTRIZ.

84

Para el esfuerzo máximo tenemos:

22

YZYZmáx

MPaMPaMPaMPaMPaMPa

máx 41.3853.722

12.3494.110

2

12.3494.110

MPamáx 94.110

Para el esfuerzo mínimo tenemos:

22min

YZYZ

MPaMPaMPaMPaMPaMPa

41.3853.722

12.3494.110

2

12.3494.110min

MPa12.34min

3.13.6 CÁLCULO DEL ESFUERZO VON MISES EN EL ENGRANE [3.7]. Para obtener este esfuerzo se utilizaron los esfuerzos principales de la zona de compresión ya que son los mayores.

2

2

1 3IIVM (3.51)

MPaMPaI máx 12.3494.110min1

MPaI 06.1451

ZYmáxI min2

Como 0ZY tenemos que:

MPaMPaI máx 12.3494.110min2

.27.3785 2

2 MPaI



CAPÍTULO III


AUTOMOTRIZ.

85

Sustituyendo los valores de 1I y de 2I en la ecuación (3.51).

2227.3785306.145 MPaMPaVM

22 01.1135540.21042 MPaMPaVM

239.9687 MPaVM

MPaVM 42.98



CAPÍTULO III


AUTOMOTRIZ.

86

3.14 CONSTRUCCIÓN DEL MODELO DE ELEMENTOS FINITOS.

Para construir el modelo, se empleó el programa de elementos finitos Ansys versión 9.0 ResearchFS, que funciona sobre una plataforma Irix 6.2 (UNIX); con capacidad para modelar 64, 000 elementos y nodos; y el equipo de computo es una computadora de 1024 mb RAM 667 MHz.

El comportamiento del material se considera isotrópico, lineal elástico y homogéneo. El árbol de levas esta hecho de acero al carbón, las propiedades del material se muestran en la tabla 3.2 Tabla 3.2 Propiedades mecánicas del material acero al carbón [3.7].

Módulo de Young 200 GPa

Módulo de Rigidez 80 GPa

Relación de Poisson 0.21

Resistencia de Fluencia 240 MPa

Densidad 7850 Kg/m3

Con las dimensiones, se procede al planteamiento y desarrollo del modelo de dicho elemento tomando en cuenta las cargas de trabajo.

Figura 3.18 Dimensiones del árbol de levas en centímetros.



CAPÍTULO III


AUTOMOTRIZ.

87

3.14.1 DESCRIPCIÓN DEL ANÁLISIS A REALIZAR [3.8] El elemento es sometido a análisis, considerando parámetros relativos al comportamiento del motor bajo condiciones de operación real, tales como carga torsional y carga flexionante. Inicialmente se genera al elemento con sus dimensiones reales en el programa computacional del elemento finito ver figura 3.19.

Figura 3.19 Elemento generado con dimensiones reales a escala uno a uno [3.8].

Posteriormente se verificó que el árbol estuviera estructurado como un solo volumen, es decir que todas las áreas, líneas y puntos sean comunes para que al aplicarle las cargas reales de trabajo no se produzca error estas se transmitan a todo el cuerpo [3.9] ver figura 3.20.



CAPÍTULO III


AUTOMOTRIZ.

88

Figura 3.20 Elemento estructurado como un volumen [3.9].

En la figura 3.21 se muestra al elemento mallado, con lo cual se generan los elementos finitos a analizar.

Figura 3.21 Elemento mallado [3.10].



CAPÍTULO III


AUTOMOTRIZ.

89

Figura 3.22 Elemento mallado rotado [3.10].

En la figura 3.22 se muestra una imagen de una vista arbitraria del árbol rotado para verificar que el mallado se halla efectuado correctamente en

todo el elemento [3.10].



CAPÍTULO III


AUTOMOTRIZ.

90

La figura 3.23 muestra la parte del engrane que está en contacto con el volante del motor el cual transmite carga torsional y carga repartida a lo

largo del diente del engrane [3.11].

Figura 3.23 Área del engrane que está en contacto con el volante del motor [3.11].



CAPÍTULO III


AUTOMOTRIZ.

91

3.15 RESULTADOS DEL ANÁLISIS NUMÉRICO. El esfuerzo máximo se presenta en el área que circunda al diente hasta la zona donde se une el árbol con el engrane, ver figura 3.24.

Figura 3.24 Resultados del análisis numérico en el árbol.

Para evaluar los esfuerzos se empleó como criterio de falla Von Mises. Se considera este criterio por que el material es dúctil, ya que una falla catastrófica se puede presentar si el material pierde sus propiedades originales. Por otra parte, en la figura 3.24, se puede observar el máximo



CAPÍTULO III


AUTOMOTRIZ.

92

esfuerzo principal que se presenta sobre el elemento, su magnitud, para este caso de estudio, es de 98 MPa.

Figura 3.25 Resultados del análisis numérico en el diente del engrane esfuerzo principal máximo.

El esfuerzo principal máximo en el diente del engrane se presenta en la base de fondo en la zona de compresión como lo muestra la figura 3.25.



CAPÍTULO III


AUTOMOTRIZ.

93

Por otra parte en la figura 3.26 se puede observar el punto con la magnitud del esfuerzo principal máximo obtenido por el método numérico que para este caso es de 110 MPa,

Figura 3.26 Resultados del análisis numérico en el punto donde se presenta el esfuerzo principal máximo.



CAPÍTULO III


AUTOMOTRIZ.

94

Figura 3.27 Resultados del análisis numérico en el punto donde se presenta el esfuerzo

principal máximo.

En la figura 3.27 se observa la zona del diente en donde se presenta el esfuerzo principal máximo.



CAPÍTULO III


AUTOMOTRIZ.

95

Figura 3.28 Resultados del análisis numérico en el diente del engrane esfuerzo principal mínimo.

El esfuerzo principal mínimo en el diente también se presenta en la zona de compresión en la base de fondo ver figura 3.28. En la figura 3.28 se observa el valor determinado por el método numérico del esfuerzo principal mínimo que es de 37.5 MPa.



CAPÍTULO III


AUTOMOTRIZ.

96

3.16 SUMARIO.

La metodología de análisis de la resistencia de materiales se realizó con las siguientes consideraciones:

El máximo torque que entrega el motor es de 103 N-m, el torque es transmitido por el cigüeñal al árbol por engranes helicoidales, la máxima flexión en el árbol es generada por las válvulas de escape y admisión de los pistones 1 y 2 respectivamente, con una fuerza de 345 N, durante el cuarto tiempo, el peso del engrane del árbol es de 4.9 N.

El material utilizado para este análisis se considera con las siguientes propiedades relación de Poisson 0.27, módulo de Young 200 GPa, módulo de rigidez 80 GPa, resistencia a la fluencia 240 MPa y densidad 7850 Kg/m3.

Con el torque transmitido se obtuvo la fuerza transmitida al engrane del árbol, como el engrane es helicoidal se calcularon las componentes de la fuerza.

El análisis del árbol se realizó considerando que se trata de una viga continua, considerando la fuerza ejercida por el peso del engrane, las componentes de la fuerza transmitida en el engrane, las reacciones en los tres apoyos en las direcciones “x”, “y” y “z”, las fuerzas ejercidas por las válvulas de admisión y escape, por último el momento torsionante.

Los momentos flexionantes generados por las fuerzas en las direcciones “y” y “z” se obtuvieron por el método de Cross, calculando el momento de inercia, los factores de rigidez, los factores de distribución, momentos de empotramiento perfecto (MEP), tabulando los factores de distribución y los momentos de empotramiento perfecto, se realizaron iteraciones hasta que las distribuciones fueron despreciables.

El momento flexionante en la dirección “x” se calculó igualando los esfuerzos de compresión con el de flexión.

Con los momentos flexionantes en las tres direcciones se obtuvo el momento flexionante resultante.



CAPÍTULO III


AUTOMOTRIZ.

97

El esfuerzo normal por flexión se calculó mediante el momento resultante y el esfuerzo normal a torsión, utilizando el momento torsional transmitido por el volante del motor.

Como el árbol presenta cambios en su geometría se encontraron los factores de concentración de esfuerzos a tensión y torsión, con ello se obtuvieron los esfuerzos normales incrementados por los factores de concentración.

Los esfuerzos principales a flexión y torsión se calcularon con el círculo de Mohr utilizando los esfuerzos incrementados por los factores de concentración de esfuerzos.

El esfuerzo de Von Mises se obtuvo por la expresión de invariantes en la cual se utilizan los esfuerzos calculados en el círculo de Mohr. el valor del esfuerzo es de 98 MPa.

El análisis del engrane se realizó considerando que se trata de una viga en voladizo.

Al igual que el árbol el engrane presenta cambios en su geometría por lo que se consideró el factor de concentración de esfuerzos en el diente del engrane.

Con el factor de concentración de esfuerzos se obtuvieron los esfuerzos de flexión y tracción incrementados en las dos zonas del diente.

En la zona de tracción del diente en la dirección “y” actúa únicamente el esfuerzo flexionante, en la dirección “z” actúan los esfuerzos de tracción y de compresión, los cuales se restan por tener direcciones opuestas.

En la zona de compresión en la dirección “y” también actúa únicamente el esfuerzo de flexión, pero en la dirección “z” actúan dos esfuerzos de compresión, por lo cual es la zona crítica.

El esfuerzo de Von Mises en el engrane se determinó mediante los esfuerzos principales en la zona de compresión, resultando ser de 98.4 MPa.



CAPÍTULO III


AUTOMOTRIZ.

98

La metodología de análisis con modelos de elementos finitos se realizó con las consideraciones siguientes:

El comportamiento del material es isotrópico, lineal, elástico y homogéneo.

Con las dimensiones se procedió al planteamiento y desarrollo del modelo tomando en cuenta las cargas de trabajo.

Se verificó que el elemento mecánico estuviera estructurado como un solo volumen, para poder realizar el mallado.

La carga transmitida al engrane se consideró carga uniformemente repartida a lo largo del diente

El esfuerzo de Von Mises se presento en la zona que rodea al diente del engrane en contacto, con un valor de 98 MPa.



CAPÍTULO III


AUTOMOTRIZ.

99

3.17 REFERENCIAS

[3.1] Robert Bosch .Manual de la Técnica del Automóvil. Reverté, S.A. 1991, páginas. 117,118, 119,135, 136 y 137.

[3.2] Faires Virgil Moring Diseño de Elementos de Máquinas. Limusa-

Noriega, décima impresión, 1999, páginas.465-479 y 521-525. [3.3] Chiñas de la Torre Miguel Cálculo Estructural, ingeniería civil Y

arquitectura. Trillas, 1997, páginas. 11-50. [3.4] Ferdinand L. Singer / Andrew Pytel. Resistencia de Materiales. Harla,

4ta.impresión 1999, páginas. 289-297, 314-318. [3.5] Peterson, Rudolph Earl Stress Concentration Factors. Wiley-

Interscience publication, 1974, páginas.104 y 105. [3.6] Closed-form super element method for tall buildings of irregular

geometry. International Journal of Solids and Structures, Volume 44, Issue

17, 15 August 2007, pages 5576-5597. Raphael D.J.M. Steenbergen and Johan Blaauwendraad.

[3.7] Theodore Baumeister/ Eugene A. Avallone/ Theodore Baumeister

III.Marks Manual del Ingeniero Mecánico. McGraw Hill, volumen I, 2da. Impresión en español, 1998, páginas. 5-52,5-53 y 5-54.

[3.8] Numerical simulation of three-rolls cross-wedge rolling of hollowed

shaft. Journal of Materials Processing Technology, Volumes 164-165, 15

May 2005, Pages 1154-1159. J. Bartnicki and Z. Pater. [3.9] Finite element analyses for contact strength and bending strength of a

pair of spur gears with machining errors, assembly errors and tooth modifications. Mechanism and Machine Theory, Volume 42, Issue I,

January 2007, Pages 88-114. Shuting Li.

[3.10] Stress analysis of shrink-fitted joints for various fit forms via finite

Element method. Materials & Design, Volume 26, Issue 4, June 2005,

Pages 281-289. Adnan Özel, Semsettin Temiz, Murat Demir Aydin and Sadri Sen.

[3.11] Static boundary element analysis of piles submitted to horizontal and

vertical loads. Engineering Analysis with Boundary Elements, Volume 29



CAPÍTULO III


AUTOMOTRIZ.

100

Issue 3, March 2005, pages 195-203. R. Matos Filho. A. V. Mendonca and J.B. Paiva.



CAPÍTULO IV


AUTOMOTRIZ.

.

101

CAPÍTULO 4

ANÁLISIS Y EVALUACIÓN DE RESULTADOS.



CAPÍTULO IV


AUTOMOTRIZ.

.

102

4.1 ANÁLISIS DE RESULTADOS. Los resultados que se analizan a continuación son los obtenidos por los métodos numérico y analítico en el árbol y engrane. En el árbol se analizan únicamente los esfuerzos Von Mises, en el engrane además de los esfuerzos de Von Mises los esfuerzos principales por presentar aspectos importantes en su análisis. Se incluyen figuras que muestran la distribución y concentración de esfuerzos obtenidos por fotoelasticidad para complementar los análisis anteriores.

4.2 ANÁLISIS DE RESULTADOS NUMÉRICO-ANALÍTICO EN EL ÁRBOL. El esfuerzo máximo que se obtuvo utilizando los análisis numérico (método del elemento finito) y analítico (resistencia de materiales) fue considerando las cargas simultáneas ocasionadas por las válvulas de los pistones numero 1 y 2, y la transmitida al engrane del árbol por el volante de el motor.

Figura 4.1 Esfuerzo máximo obtenido Von Mises



CAPÍTULO IV


AUTOMOTRIZ.

.

103

El análisis numérico indica que el esfuerzo máximo se desarrolla en la región que circunda al diente del engrane que tiene contacto con el volante del motor, transmitiéndose al árbol hasta la zona del primer apoyo. En el análisis de la resistencia de materiales se consideraron factores de concentración de esfuerzos ya que el árbol presenta cambios significativos en su geometría. Este análisis indicó que la región en donde se presentan los mayores momentos flexionantes es en el apoyo 1.

Este apoyo es el más cercano al engrane y actúa como empotramiento contrarrestando las cargas transmitidas por el engrane del volante del motor. En los tramos entre los apoyos 1, 2 y 3 los momentos flexionantes no son significativos a pesar que en dichos tramos actúan las cargas flexionantes transmitidas por las válvulas. Este análisis mostró que entre más alejado se encuentra un apoyo del engrane disminuye el momento flexionante que actúa en el. En lo que respecta al momento torsionante el análisis de resistencia de materiales indica que es constante a lo largo del árbol.

Tabla 4.1 Comparación de resultados métodos numérico y analítico.

Análisis Resultados

Esfuerzos de Von Mises (Mpa)

Página

Numérico 98.0 92

Analítico Resistencia de Materiales (Para el árbol)

98.0

79

Analítico Resistencia de Materiales (Para el engrane)

98.42

85

Los resultados anteriores fueron iguales y además se validan los análisis, en el árbol.

4.3ANÁLISIS DE RESULTADOS NUMÉRICO-ANALÍTICO EN EL ENGRANE. El máximo esfuerzo se produce cuando la fuerza transmitida se aplica en la punta del diente. El diente se comporta como una viga en cantiliver.



CAPÍTULO IV


AUTOMOTRIZ.

.

104

La componente de la fuerza transmitida en la dirección “y” cuando se aplica en la punta del diente provoca flexión en el diente formando dos zonas, las cuales trabajan una a tracción y la otra a compresión. La componente de la fuerza transmitida en la dirección “Z” genera esfuerzos adicionales de compresión en las dos zonas, dicho esfuerzo de compresión en la zona de tracción disminuye al esfuerzo de tracción y en la zona de compresión se adiciona al esfuerzo de compresión generado por la flexión incrementándolo. El esfuerzo máximo se produce cuando un solo par de dientes soporta la carga completa y en un punto en el que otro par de dientes está a punto de entrar en contacto. Los esfuerzos de tracción y compresión generados por la flexión son de la misma intensidad. Los esfuerzos Von Mises en el engrane se obtienen con los esfuerzos de la zona de compresión por tener los esfuerzos principales de mayor intensidad, resultando ser de 98.42 MPa, valor muy próximo al obtenido por el método numérico que fue de 98 MPa, validando de esta manera el resultado.

La carga tangencial FEZ está uniformemente distribuida por toda la cara del engrane. En consecuencia, hay que esperar que ocurran deflexiones en los dientes de los engranes, deformación torsional en el cuerpo de engrane y deformaciones por flexión en el eje de soporte.

Figura 4.2 Esfuerzos concentrados en un punto de el diente



CAPÍTULO IV


AUTOMOTRIZ.

.

105

La figura 4.2 muestra que los esfuerzos generados en cada nueva posición de contacto entre los dientes convergen en un mismo punto, siendo estos donde se concentran los esfuerzos.

Figura 4.3 Esfuerzos en el diente para diferentes puntos.



CAPÍTULO IV


AUTOMOTRIZ.

.

106

La figura 4.3 muestra la distribución y forma de las líneas de esfuerzo que se presentan en el diente de contacto. Se puede apreciar en la figura 4.3 que los esfuerzos generados en cada punto de contacto son parábolas que convergen en los mismos puntos, siendo estos los más críticos de la zona a la que pertenecen. En lo que respecta a los resultados obtenidos por los métodos numérico y analítico para el engrane, las líneas de esfuerzos mostrados en la figura validan aún más que los esfuerzos principales se localizan en los puntos donde convergen las parábolas de esfuerzos. La figura 4.3 también valida que cuando el diente es flexionado se divide en dos zonas, se observa que las líneas de esfuerzo convergen en puntos situados en cada lado del eje, uno en cada zona del diente.

Figura 4.4 Concentración de esfuerzos en el diente.

La figura 4.4 muestra la distribución de los esfuerzos en un diente del engrane determinados experimentalmente por fotoelasticidad, observándose que en la zona de compresión (zona opuesta al punto de contacto entre dientes) se desarrollan más esfuerzos que en la zona de tracción.



CAPÍTULO IV


AUTOMOTRIZ.

.

107

Figura 4.5 Esfuerzo máximo principal en el diente.

En la figura 4.5 se muestran el resultado que arroja el método numérico de elementos finitos, correspondiente a el esfuerzo principal máximo, observándose que dicho esfuerzo se presentan entre el flanco y la superficie de fondo del diente, en la zona que corresponde a la compresión con un valor de 110 MPa, valor muy próximo al encontrado por el método analítico que resultó ser de 110.94 MPa.



CAPÍTULO IV


AUTOMOTRIZ.

.

108

Figura 4.6 Esfuerzo máximo principal en el diente.

En la figura 4.6 se muestran el punto en el diente del engrane, correspondiente a el esfuerzo principal máximo, observándose que dicho esfuerzo se presentan entre el flanco y la superficie de fondo del diente (ver figura 4.5).



CAPÍTULO IV


AUTOMOTRIZ.

.

109

Figura 4.6 Esfuerzo mínimo principal en el diente.

En la figura anterior se muestran el resultado encontrado por el método numérico, correspondiente al mínimo esfuerzo principal que se presenta en la zona de compresión entre el flanco y la superficie de fondo. Los esfuerzos principales son mayores en la zona de compresión que en la de tracción, lo cual indica que la zona crítica es la de compresión.



CAPÍTULO IV


AUTOMOTRIZ.

.

110

Tabla 4.2 Comparación de resultados métodos numérico-analítico en el engrane.

Análisis Resultados Esfuerzos Principales (Mpa)

Máximo Mínimo

Numérico 110 37.5

Analítico Resistencia de Materiales (Para el engrane)

110.94

34.12

Los resultados entre el método numérico y el analítico en la zona de compresión no son iguales, pero son aproximados, por ello se validan los análisis en el engrane.




TRABAJO FUTURO


AUTOMOTRIZ.

.

111

TRABAJO FUTURO:

Realizar un análisis modal del elemento mecánico, con el fin de detectar posibles casos de resonancia en el rango de operación de dicho elemento.

Realizar análisis de esfuerzos de manera experimental, principalmente utilizando los métodos experimentales de fotoelasticidad reflexiva y extensometría eléctrica.

Efectuar análisis de impacto en el árbol, ya que después de cierto desgaste, la pieza comienza a golpear al monoblock.

Analizar la fatiga al diente del engrane por métodos numéricos, experimentales y analíticos.

Desarrollar un banco de pruebas experimentales a partir de métodos

numéricos, para determinar el desgaste.

Realizar el análisis experimental de vibraciones.

Efectuar las pruebas con velocímetro odómetro para poder aumentar paulatinamente la velocidad y tener control en las velocidades más críticas.

Por último, sería interesante obtener una historia de carga del árbol en un recorrido vehicular completo, con el fin de alimentar los datos en una simulación dinámica y para realizar pruebas experimentales, y con esto conocer el estado de interacción de los esfuerzos a distintas velocidades y por distintos terrenos.




ANEXO I


AUTOMOTRIZ.

112

GRÁFICA PARA DETERMINAR EL FACTOR DE CONCENTRACIÓN

DE ESFUERZOS A FLEXIÓN.

.

FACTOR DE CONCENTRACIÓN DE

ESFUERZO KF

PARA UNA BARRA CIRCULAR

CON CARGA EN EL FILETE.

(BASADO EN PRUEBAS DE FOTOELASTICIDAD DE

LEVEN Y HARTMAN, WILSON Y WHITE)




ANEXO 2


AUTOMOTRIZ.

.

113

GRÁFICA PARA DETERMINAR EL FACTOR DE

CONCENTRACIÓN DE ESFUERZOS A TORSION.

r/d

FACTOR DE CONCENTRACIÓN DE ESFUERZO KT

PARA UN ÁRBOL A TORSIÓN

CON FILETE

(DATOS DE MATTHEW Y HOOKE).

Documents

Analisis de Esfuerzos Por Los Metodos Numerico y Analitico de Un Arbol de Levas Automotriz