ANÁLISIS DE FUNCIONES

MATEMÁTICAS II2º BACH CYT

• Límites• Continuidad• Derivabilidad• Teoremas de continuidad y derivabilidad• Aplicaciones de la derivabilidad: tangente a una

curva en un punto, regla de L´Hôpital, optimización, cálculo parámetros, derivadas sucesivas

• Representación de funciones• Integral indefinida• Integral definida. Cálculo de áreas de recintos

planos

REPASO 1º BACH

• CÁLCULO DE LÍMITES

• DERIVADAS

• GRÁFICAS DE FUNCIONES ELEMENTALES

• PROPIEDADES DE FUNCIONES DE FORMA GRÁFICA

REGLA DE L`HÔPITALpara el cálculo de límites

(pág 298)

Aunque es un contenido de 2º de BACH y habría que estudiarlo después de derivabilidad, se considera necesario verlo en este momento pues se va a aplicar a continudidad y derivabilidad. Por otra parte, se puede entender sin ningún problema porque en 1º de BACH ya se vio derivabilidad y en este curso se ha repasado el cálculo de derivadas.

Ejemplos

Ejemplos

Ejemplos

Realizar la operación para convertir la indeterminación en una del tipo 0/0 ó ∞ / ∞Ejemplos:

Salvando indeterminaciones del tipo ∞ - ∞

Ejemplos

GRÁFICAS DE FUNCIONES ELEMENTALES

• FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA o LINEAL: y = m·x

FUNCIONES POLINÓMICAS (Dominio = R)

• FUNCIONES AFINES: y = mx + n

• FUNCIONES CUADRÁTICAS o PARABÓLICASy = ax2 + bx +c

- Su gráfica es una parábola- El vértice se encuentra en x = -b/2a . La coordenada y

se calcula hallando la imagen de x. Si no te acuerdas de este valor, recuerda que el vértice es el máximo o mínimo de la parábola y, por tanto, basta con que resuelvas la ecuación y ‘ = 0

- Si a>0 el vértice es un mínimo, si a<o el vértice es un máximo

- Puntos de corte con los ejes de coordenadas:* Eje x: resolver la ecuación y = 0. (Puede tener 2 soluciones ( 2 cortes), 1 (1 corte) o ninguna (no corta al eje x)* Eje y: hacer x =0. (Siempre corta a este eje)

FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA: y = k/x (Dominio = R – {0})

- Su gráfica es una hipérbola

- K es la constante de proporcionalidad inversa

- Si k>0, la gráfica está en el 1º y 3º cuadrantes, si k<0, está en el 2º y 4º cuadrante

- Los ejes son asíntotas de la función.

y = 1/x

y = -1/x

FUNCIÓN EXPONENCIAL: y = ax

Domino = R

- a>0, ≠1- Si a>1, la función

crece; si a<1, decrece- El eje x ( y = 0)es una

asíntota horizontal por la izquierda (a>1) o por la derecha (a<1)

- Corta al eje de ordenadas en y =1

FUNCIÓN LOGARÍTMICA: y = logaxDominio = (0, +∞)

• a>0 , ≠1• Corta al eje de abscisas

en x = 1• Si a>1, la función crece; si

a<1, decrece.• El eje de ordenadas (x =

0) es una asíntota vertical por abajo (a>1) o por arriba (a<1)

LAS FUNCIONES EXPONENCIAL y LOGARÍTMICA SON INVERSAS:

simétricas r. de la bisectriz del 1º y 3º c.

y = 3x

y = log3x

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

y = senx- Dominio = R- Periódica: T = 2π- Recorrido: [-1,1]

y = cosx- Dominio = R- Periódica: T = 2π- Recorrido: [-1,1]

y = tgx- Dominio = R-{(2k+1)π/2 , k ϵZ}- Periódica: T = π- Asíntotas verticales en x= (2k+1)π/2, kϵZ

FUNCIONES A TROZOS

VALORES ABSOLUTOS

•

•

•

FUNCIÓN PARTE ENTERA

PROPIEDADES FUNCIONES

• Dominio• Recorrido• Puntos de corte ejes coordenadas• Simetría• Periodicidad• Continuidad• Asíntotas• Monotonía y Extremos relativos y absolutos• Curvatura y Puntos de inflexión

EJEMPLOS

P(2,-1) es m.r y P.I.

EJERCICIOS: propiedadesPág 205: 9 a, d, e y g

EJERCICIOS: representa –f(x) y |f(x)

EJERCICIOS: dibujar gráficas correspondientes a estas funciones- Pág. 205 y 206: 11 , 18, 23- Pág. 230: 1 y 2

EJERCICIOS DE REPASO- Pág 202: 4 (está hecho)- Pág 195: 5 (está hecho)- Pág 205: 12a- Pág 207: 9 (autoevaluación)- Pág 213: 4 (está hecho)- Pág 228: 1a (está hecho)- Pág 231: 10 (solución a = 1)- Pág 232: 14- Pág 232: 19 a (solución a = 2)- Pág 233: 4 (autoevaluación)- Representa las siguientes funciones: (están hechas en las págs 237 y 238)

- f(x) = - f(x) = |x - 3|

CONTUNIDAD(tema 10)

Esta función es continua en x = 2

Esta función es continua en x = 0-

Esta función es continua en x = 0+

3- DISCONTINUIDAD EN x = aPor abuso del lenguaje, aunque f(x) no esté definida en x = a también se estudia ahí la continuidad. Habrá que estudiar qué tipo de discontinuidad existe.

Estas funciones son discontinuas evitables en x = 2

Esta función es discontinua evitable en x = o

Ejemplo:

• Este tipo de discontinuidad se puede evitar redefiniendo la función y haciendo que f(a) sea el límite de la función en x = a.

Ejemplo:

EJEMPLO

Esta función es discontinua de salto finito en x = 0

Estas funciones son discontinuas de salto infinito en x =0

CONTINUIDAD EN UN INTERVALO

• f(x) es continua en (a,b) silo es en todos sus puntos.

• f(x) es continua en [a,b] si loes en (a,b), en a+ y en a-.

• f(x) es continua si lo es en su dominio

CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES. OPERACIONES

•

SE PUEDE PEDIR EL ESTUDIO DE LA CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN:

* UN PUNTO

* EN UN INTERVALO ABIERTO

* EN UN INTERVALO CERRADO

* EN EL DOMINIO DE LA FUNCIÓN

EN LA PRÁCTICA NO SE PUEDE ESTUDIAR LA CONTINUIDAD PUNTO A PUNTO:

* EN EL PRIMER CASO, SE ESTUDIA EN EL PUNTO PEDIDO.

* EN EL RESTO DE LOS CASOS, SE ESTUDIA EN LOS PUNTOS

PROBLEMÁTICOS (PUNTOS DONDE LA FUNCIÓN CAMBIA DE

EXPRESIÓN A IZQUIERDA Y DERECHA o PUNTOS DONDE SE

ANULA EL DENOMINADOR) Y EN EL RESTO DE LOS PUNTOS

( LOS INTERVALOS) SE GENERALIZA POR SER OPERACIONES

DE FUNCIONES CONTINUAS

EJERCICIOS• Pág 241: 5 (continuidad gráfica)• Pág 256: 24 (valor absoluto, composición y continuidad)• Pág 257: 8 (parámetros continuidad y pasar por un punto)• Pág 256: 34 (sólo hacer continuidad en [0,3])• Estudia la continuidad de la función f(x) en x = 0.

• Estudia la continuidad de la función

• Halla los parámetros “a” y “b” para que la función f(x) sea continua en R.

• ¿Es continua la función f(x) = (x-senx)/senx2 en el intervalo [-π/2, π/2]? ¿Es posible asignar un valor a f(x) en x = 0 para que la función sea continua? Define la función para que sea continua en ese intervalo

• Razona si la siguiente función es continua en x = 0

• Pág 254: 1, 2, 6a, 7 a,b, 8

DERIVABILIDAD(tema 11)

DERIVABILIDAD EN x = a

EJERCICIO• Calcula f ‘ (3) aplicando la definición f(x) = x2

• Calcula f ‘ (3) derivando f(x)

DERIVABILIDAD LATERAL EN x = a

A dicho límite se le llama derivada por la izquierda de x = a y se representa f ‘(

A dicho límite se le llama derivada por la derecha de x = a y se representa f ‘(

•

•

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN f(x)

•

EJERCICIO:• Pág 267: 1. Calcula la derivada de f(x) = 3x-2x2

aplicando la definición

•

Si f(x) no es continua en x = a no es derivable en x = a

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE f’(a)

i.e.: f ’ (a) = pendiente (m) de la recta tangente en x = a

EJEMPLO:

f(x) = |x2-4|No es derivable en x= -2 ni en x = 2

SE DEDUCE

Gráficamente una función f(x) es derivable en x = a si la función no presenta picos en (a,f(a)) y es continua en x = a

i.e.: f(x) no es derivable en x = a si la función presenta picos en (a,f(a)) o no es continua en x = a

DERIVABILIDAD DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES. OPERACIONES

•

EN LA PRÁCTICA:

- Antes de estudiar la derivabilidad comenzaremos estudiando la continuidad, aunque no nos lo pidan:

* Si f(x) no es continua en x = a, entonces no es derivable en x = a* Si f(x) es continua en x =a, entonces puedo estudiar la derivabilidad

- Igual que se indicó en la continuidad, solo se estudiará la derivabilidad en los puntos aislados pedidos. Si se pidiera en un intervalo o en el dominio, se estudiaría en los puntos problemáticos y en el resto se generalizaría.

EJERCICIOS• Derivabilidad gráfica: pág 264, 280:1• Interpretación geométrica derivada: pág 281:1• Pág 261- 1(resuelto) Estudia la derivabilidad en x = 1. f(x) = • Pág 282: 3 (derivabilidad en un punto)• Derivabilidad en [-2,0] de f(x) =

• Estudia la derivabilidad de la función f(x) = |x2-9|

• Pág 265- 5 (resuelto). Parámetros para que sea derivable en x = 0

f(x) = • Pág 284- 17 (derivabilidad y f’(x)) f(x) = • Calcular b y c sabiendo que la función es derivable

en x = 0. f(x) =

• Dada la función f(x) = x|x-1|, estudia su derivabilidad y escribe su derivada.

• Estudia la derivabilidad de la función f(x) = y calcula su derivada.

• Sea f(x) = a- Calcula “a” y “b” para que la función f(x) sea continua y su gráfica pase por el origen de coordenadas.b- Para los parámetros calculados, estudia su derivabilidad.