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Econometria
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MODELOS DE PRONOSTICOS
Anlisis de regresin mltiple
Segundo semestre 2012
El modelo lineal de tres variables
El anlisis de regresin mltiple se usa para probar hiptesis acerca de la relacin entre una variable dependiente Y, y dos o ms variables independientes Xs. El modelo se escribe como:La suposicin adicional (a la del modelo de regresin simple) es que no hay relacin lineal exacta entre las XsA partir de las ecuaciones normales se obtienen las siguientes expresionesEl modelo lineal de tres variables
El estimador B2 mide el cambio en Y por variaciones unitarias en X1 mientras se mantiene constante X2, B3 se define anlogamente. Los estimadores se llaman coeficientes de regresin parcial y son MELI (mejores estimadores linealmente insesgados).Ejemplo:Considere la siguiente tabla la cual nos entrega la relacin entre la cantidad de maz Y explicado por la cantidad de fertilizante X1i y la cantidad de insecticida X2i.AoYX1X2yx1x2x1yx2yx1x2x12x2219714064-17-12-82041369614464197244104-13-8-8104104646464197346125-11-6-76677453649197448147-9-4-53645201625197550169-5-2-3101564919765818121000000019776022143421268164197868242011686688483664197974262117891361537264811980803224231412322276168196144n=10Sm=570Sm=280Sm=120Sm=0Sm=0Sm=0Sm=956Sm=900Sm=524Sm=576Sm=504El modelo lineal de tres variables
Con lo anterior se puede calcular:Finalmente la ecuacin de regresin queda de la forma:Prueba de significacin de los estimadores de parmetros
Con el fin de probar la significacin estadstica de los estimadores de parmetros de la regresin mltiple, se requiere conocer la varianza de estos estimadoresComo vimos antes la varianza del error es desconocida por lo tanto ocupamos una estimacin insesgada de estaDonde k es el nmero de parmetros estimados
Prueba de significacin de los estimadores de parmetros
Luego las estimaciones insesgadas de la varianza son las siguientesAplicando raz cuadrada a las cantidades anteriores se obtienen los errores estndares de cada estimadorPrueba de significacin de los estimadores de parmetros
EjemploConsideremos la tabla anterior acerca de la produccin de maz considerando la cantidad de fertilizantes y la cantidad de insecticida.AoYX1X2Y estimadoee2y21971406440.32-0.320.102428919724410442.921.081.166416919734612545.330.670.448912119744814748.85-0.850.72258119755016952.37-0.370.136925197658181257.001.001.00001197760221461.82-1.823.31249197868242069.78-1.783.1684121197974262172.191.813.2761289198080322479.420.580.3364529n=10Sm=570Sm=280Sm=120Sm=0Sm=13.6704Sm=1634Prueba de significacin de los estimadores de parmetros
Usando los valores de ambas tablas presentadas se obtiene:Por lo tantoPuesto que ambos estadsticos de prueba exceden el valor de t los estimadores son estadsticamente significativos
Coeficiente de determinacin mltiple
El coeficiente de determinacin mltiple, R2, se define como la proporcin de la variacin total de Y explicada por la regresin mltiple de Y sobre X1 y X2, se puede calcular de la siguiente forma:Considerando que el aumento de variables independientes o explicativas probablemente incremente la SEC para una misma STC, lo que implica un aumento de R2. Para tomar en cuenta esto, se calcula un R2 ajustadoCoeficiente de determinacin mltiple
EjemploEl R2 para el ejemplo de maz-fertilizante-insecticida es:Entonces se debe corregir este valor, de la forma:Prueba de significacin global de regresin
La significacin global de la regresin se puede probar con la relacin de la varianza explicada a la varianza no explicada, es decir una relacin entre el origen de la varianza de la regresin y la varianza del error.Esta sigue una distribucin F con k-1 y n-k grados de libertad, donde n es el nmero de observaciones y k es el nmero de parmetros estimados;Si la relacin F calculada excede el valor tabulado de F a nivel especificado de significacin y grados de libertad, se rechaza la hiptesis nula de que todos los parmetros de la regresin son iguales a cero.Prueba de significacin global de regresin
EjemploPara probar la significacin global de la regresin estimada al nivel de significacin, podemos usar R2=0.9916, es as que:Ya que el valor de F calculado excede al valor de F tabulado se puede rechazar la hiptesis de que los parmetros de estimacin B2 y B3, son iguales a cero y se puede afirmar que R2 es significativamente diferente a ceroCoeficiente de correlacin parcial
El coeficiente de correlacin parcial mide la correlacin neta entre la variable dependiente y una variable independiente despus de excluir la influencia que sobre ellas dos ejercen las otras variables independientes del modelo. Por ejemplo rYX1,X2 es la correlacin parcial entre Y y X1, despues de eliminar la influencia de X2 sobre Y y sobre X1Donde rYX1 es el coeficiente de correlacin simple entre Y y X1, y rYX2, rX1X2 se definen en forma anloga. Los coeficientes de correlacin parcial oscilan entre -1 y 1, tienen el signo del parmetro estimado correspondiente, y se usan para determinar la importancia relativa de las diferentes variables explicativas en una regresin mltipleCoeficiente de correlacin parcial
EjemploConsiderando el problema maz-fertilizante-insecticida se tiene:Coeficiente de correlacin parcial
Por lo tanto X2 es ms importante que X1 para explicar la variacin en Y.Los resultado globales del ejemplo de maz-fertilizante-insecticida se puede resumir como:Resultados
Resultados
Hay alta significatividad conjunta en los coeficientes
Resultados
Todos los coeficientes son significativos (se comprueba con intervalos de confianza positivos)
Resultados
Correlacin parcial entre Y y X1 despus de eliminar la influencia de X2 sobre Y y sobre X1
Correlacin simple entre Y y X1
Resultados
Informacin sobre valores pronosticados y residuos
Resultados
Los residuos no siguen una distribucin aproximadamente normal
Se puede hacer prueba ks
Resultados
???
Resultados
No hay homoscedasticidad (no hay relacin)
Se puede hacer prueba homoscedasticidad
Resultados
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Resultados
Relacin fertilizante- insecticida
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