3.6.- Funcin exponencial

En Ingeniera Elctrica, Fsica y otras ciencias existe una seal que se repite con frecuencia y se obtiene elevando el numeroe, base para los logaritmos naturales, a una potencia negativa proporcional al tiempo, esto es:

En la mayora de programas (como el que se utiliza para realizar las grficas mostradas en este curso) y calculadoras esta funcin se expresa como:

El valor de la potencia de un nmero real con la potencia igual a cero es de 1, por lo tanto el valor de esta funcin cuando pasa port=0es de A, en el caso especfico de la imagen el valor deA=1,

Y para cualquier nmero con argumento positivo es menor que A, si A =1.5 entonces la grfica de la funcin exponencial seria de la siguiente forma:

Como se puede observar el valor de la seal ent= 0es de 1.5.El valor de la constanteaen el exponente modifica la funcin exponencial, cuando este valor es mayor de, la curva se acerca ms rpidamente a su asntota horizontal en cero, y cuando este valor es menor que 1 la funcin varia ms lentamente. Esto se puede observar en las siguientes figuras:

Un valor altamente utilizado, es el valor detnecesario para que el exponente sea igualt=1, este valor es comnmente denominado constante de tiempo y se simboliza por la letrat.

La importancia del valor de la constante de tiempo es que ent =t, es igual al tiempo necesario para que la seal decaiga a cero, si decayese con una rapidez constante igual al decaimiento que tiene al pasar por cero, en otras palabras, es la interseccin de la recta tangente a la funcin exponencial ent = 0, con el eje del tiempo.

Tambin expresa que la seal ha bajado hasta el 36.8% del valor que tena ent=0esto se observa evaluando la funcin exponencial parat =t.

Si se evalaf(t)parat =2t, t =3t,t =4tetc. Se observa que cuando el valor se encuentra alrededor det =5t, el valor de la seal es un valor despreciable de la seal ent =0, es menor del 1%. La seal casi ha desaparecido.

Una de las formas ms corriente en que se encuentra las seales elctricas, es la forma senoidal comnmente utilizada en la generacion y transmision de energa elctrica.

Esta seal puede ser representada por cualquiera de las funciones trigonomtricas, seno o coseno de la siguiente manera:

Los valores deA,wyfson respectivamente la amplitud, la frecuencia angular y el ngulo de fase, todas las funciones sinosoidales son idnticas en forma y solo pueden ser diferenciadas por la cambios de magnitud en cualquiera de estas tres variables.

La amplitud de las funciones seno y coseno varan entre 1 y 1, al ser multilicada la funcin por A,f(t)=A*sen(t) of(t)=A*cos(t), la amplitud def(t)varia entre A y A, siendo estos sus valores mximo y mnimo respectivamente.

En la imagen se muestran dos seales, la seal en rojo tiene como valor de amplitud, A = 1 y la seal en azul tiene como valor de amplitud A = 1.5, como se puede observar las dos interceptan el eje del tiempo en el mismo punto y encuentran los valores de mximos y mnimos en los mismos valores det.

El argumento de cualquier funcin trigonomtrica debe estar dado en radianes, por lo tantowtyfdeben estar en radianes, comotse encuentra en segundos, entonceswdebe estar en radianes por segundo, por esto tambin recibe el nombre develocidad angular.Se sabe que el periodoTde una funcin sinosoidal, es el tiempo que demora en pasar de0a2p, por lo tanto la onda se repite cada2pradianes. Una onda seno con periodoTdebe completar1/Tperiodos cada segundo. Por lo tanto su frecuenciafes1/Ty esta dada en hertz (Hz).

Y como:

Como se puede observar en la imagen al aumentar el valor dewaumentamos la frecuencia y disminuimos el periodo T.

Se tiene en la imagen dos seales donde la nica diferencia se encuentra en el ngulo de fase, si se toma la lnea azul como la seal original, se dice que la seal roja esta desplazadafradianes, normalmente se dice que encuentra adelantada, cuando el valor defes positivo y atrasada si el valor defes negativo.Por ser el periodo de la sealT = 2p, es lgico pensar que el ngulo de fase se encuentra entre0< f < 2p, se dice que las sinusoides se encuentran en fase cuando sus ngulos de fasefson iguales, en caso contrario se encuentran fuera de fase o desfasadas.

Se tiene la ecuacin:

Se parte del supuesto, que su solucin en forma exponencial es:

DondeAys, son constantes a encontrar, para esto, sustituyendo la solucin en la ecuacin diferencial :

En este punto la solucin es, la segunda opcin no puede ser igual a cero porque se obtendra una solucin trivial, para todot, as:

Sustituyendo en la solucin exponencial:

DondeAse determina a partir de las condiciones iniciales del circuito.Para el circuitoRLse desarrolla de la siguiente manera:

Para calcularAse tienen en cuenta las condiciones iniciales del circuito:

As la solucin final es:

En la siguiente tabla se muestra un resumen de la solucin general de los circuitos RL y RC:

3.7.- Respuesta Natural

Uncircuito RCes uncircuitocompuesto deresistenciasycondensadoresalimentados por unafuente elctrica. Uncircuito RC de primer ordenest compuesto de un resistor y un condensador y es la forma ms simple de un circuito RC. Los circuitos RC pueden usarse para filtrar una seal, al bloquear ciertas frecuencias y dejar pasar otras. Los filtros RC ms comunes son el filtro paso alto,filtro paso bajo,filtro paso banda, y elfiltro elimina banda. Entre las caractersticas de los circuitos RC est la propiedad de ser sistemas lineales e invariantes en el tiempo; reciben el nombre de filtros debido a que son capaces de filtrar seales elctricas de acuerdo a su frecuencia.En la configuracin de paso bajo la seal de salida del circuito se coge en bornes del condensador, estando est conectado en serie con la resistencia. En cambio en la configuracin de paso alto la tensin de salida es la cada de tensin en la resistencia.

Este mismo circuito tiene adems una utilidad de regulacin de tensin, y en tal caso se encuentran configuraciones en paralelo de ambos, la resistencia y el condensador, o alternativamente, como limitador de subidas y bajas bruscas de tensin con una configuracin de ambos componentes en serie. Un ejemplo de esto es el circuito Snubber.

Comportamiento en el dominio del tiempo

CargaEl sistema reaccionar de distinta manera de acuerdo a las excitaciones entrantes, como ejemplo, podemos representar la respuesta a la funcin escaln o la funcin de salto. La tensin originalmente desde el tiempo 0 subir hasta que tenga la misma que la fuente, es decir,. La corriente entrar en el condensador hasta que entre las placas ya no puedan almacenar ms carga por estar en equilibrio electrosttico (es decir que tengan la misma tensin que la fuente). De esta forma una placa quedar con carga positiva y la otra con carga negativa, pues esta ltima tendr un exceso de electrones.

El tiempo de carga del circuito es proporcional a la magnitud de la resistencia elctricaRy la capacidadCdel condensador. El producto de la resistencia por la capacidad se llamaconstante de tiempo del circuitoy tiene un papel muy importante en el desempeo de este..

Tericamente este proceso es infinitamente largo, hasta queU(t)=Umax. En la prctica se considera que el tiempo de cargatLse mide cuando el condensador se encuentra aproximadamente en la tensin a cargar (ms del 99% de sta), es decir, aproximadamente 5 veces su constante de tiempo.

La constante de tiempomarca el tiempo en el que la curva tangente en el inicio de la carga marca en interseccin con la lnea de mxima tensin la constante de tiempo. Este tiempo sera el tiempo en el que el condensador alcanzara su tensin mxima si es que la corriente entrante fuera constante. En la realidad, la corriente con una fuente de tensin constante tendr un carcter exponencial, igual que la tensin en el condensador.

La mxima corrientefluye cuando el tiempo es inicial(es decir t=0). Esto es debido que el condensador est descargado, y la corriente que fluye se calcula fcilmente a travs de la ley de Ohm, con:

Respuesta natural

Circuito RC (en serie).El circuito RC ms simple que existe consiste en un condensador y una resistencia enserie. Cuando un circuito consiste solo de uncondensadorcargado y unaresistencia, el condensador descargar su energa almacenada a travs de la resistencia. La tensin o diferencia de potencial elctrico a travs del condensador, que depende del tiempo, puede hallarse utilizando laley de Kirchhoffde la corriente, donde la corriente a travs del condensador debe ser igual a la corriente a travs de la resistencia. Esto resulta en laecuacin diferencial lineal:.Resolviendo esta ecuacin paraVse obtiene la frmula de decaimientoexponencial:

dondeV0es la tensin o diferencia de potencial elctrico entre las placas delcondensadoren el tiempot = 0.El tiempo requerido para que el voltaje caiga hastaes denominado "constante de tiempo RC" y es dado por

Impedancia complejaLaimpedancia compleja,ZC(enohmios) de un condensador concapacidadC(enfarads) es

Lafrecuencia complejases, en general, unnmero complejo,

donde jrepresenta launidad imaginaria:

es el decrecimientoexponencialconstante (enradianes por segundo), y es lafrecuencia angularsinusoidal (tambin en radianes por segundo).Circuito en serie

Circuito en serieRC.Viendo el circuito comodivisor de tensin, elvoltajea travs del condensador es:

y el voltaje a travs de laresistenciaes:.Funciones de transferenciaLafuncin de transferenciade desde el voltaje de entrada al voltaje a travs delcondensadores.De forma similar, la funcin de transferencia desde el voltaje de entrada al voltaje de la resistencia es.Polos y cerosAmbas funciones de transferencia tienen un nicopololocalizado en.Adems, la funcin de transferencia de laresistenciatiene uncerolocalizado en elorigen.Ganancia y faseLa magnitud de las ganancias a travs de los dos componentes son:

y,y los ngulos de fase son:

y.Estas expresiones conjuntamente pueden ser sustituidas en la usual expresin para la representacin por fasores:

.CorrienteLa corriente en el circuito es la misma en todos los puntos del circuito ya que el circuito est en serie:

Respuesta a impulsoLarespuesta a impulsopara cada voltaje es la inversa de latransformada de Laplacede la correspondiente funcin de transferencia. Esta representa la respuesta del circuito a una entrada de voltaje consistente en un impulso o funcindelta de Dirac.La respuesta impulso para el voltaje del condensador es

dondeu(t) es lafuncin escaln de Heavisidey

es laconstante de tiempo.De forma similar, la respuesta impulso para el voltaje de laresistenciaes

donde(t) es la funcindelta de DiracAnlisis de frecuencia

Lugar de Bode deUn anlisis de frecuencia del montaje permite determinar cules son lasfrecuenciasque el fitro rechaza y cules acepta. Para bajas frecuencias,tiene un mdulo cercano a 1 y una fase prxima a 0. Cuando la frecuencia aumenta, su mdulo disminuye para tender a 0 mientras que la fase tiende a. Por el contrario,posee un mdulo cercano a 0 a bajas frecuencias y una fase prxima ay cuando la frecuencia aumenta, el mdulo tiende a 1 y su fase tiende a 0.Cuando:y.y.Cuando:yy.As, cuando la salida del filtro est tomada sobre el condensador el comportamiento es de tipofiltro paso bajo: las altas frecuencias son atenuadas y las bajas frecuencias pasan. Si la salida est tomada sobre la resistencia, se produce el proceso inverso y el circuito se como unfiltro paso alto.Lafrecuencia de cortedel circuito que define el lmite tiene 3 dB entre las frecuencias atenuadas y aqullas que no lo son; es igual a:(enHz)Anlisis temporalPor razones de simplicidad, el anlisis temporal se efectuar utilizando latransformada de Laplacep. Suponiendo que el circuito est sometido a unaescaln de tensinde amplitudVde entrada (paraysinon):

.La transformada de Laplace inversa de estas expresiones resulta:

.En este caso, el condensador se carga y la tensin en los bornes tiende a V, mientras que en los bornes de laresistenciatiende a 0.

Determinacin grfica depara la observacin de.El circuito RC posee unaconstante de tiempo, generalmente expresado como, que representa el tiempo que toma la tensin para efectuar el 63% () de la variacin necesaria para pasar del valor inicial al final.Igualmente es posible derivar estas expresiones de lasecuaciones diferencialesque describen el circuito:

.Las soluciones son exactamente las mismas que aqullas obtenidas mediante la transformada de Laplace.IntegradorA alta frecuencia, es decir cuando, el condensador no tiene tiempo suficiente para cargarse y la tensin en los bornes permanece pequea.As:

y la intensidad en el circuito vale por tanto:.Como,

se obtiene:.La tensin en los bornes del condensador integrado se comporta como un filtro de paso-bajo.DerivadorA baja frecuencia, es decir cuando, el condensador tiene el tiempo de cargarse casi completamente.Entonces,

Ahora,

.La tensin en los bornes de laresistenciaderivado se comporta como un filtro de paso-alto.Circuito en paralelo

Un circuito RC en paralelo.El circuito RC enparalelogeneralmente es de menor inters que el circuito en serie. Esto es en gran parte debido a que la tensin de salidaes igual a la tensin de entrada como resultado, el circuito no acta como filtro de la seal de entrada si no es alimentado por unafuente de corriente.Con impedancias complejas:

y.Esto muestra que la corriente en elcondensadorest desfasada 90 de fase con laresistencia(y la fuente de corriente). Alternativamente, las ecuaciones diferenciales de gobierno que pueden usarse son:

y.Cuando es alimentado por una fuente de corriente, la funcin de transferencia de un circuito RC en paralelo es:.

3.8.- Respuesta Forzada

RESPUESTA FORZADA A LAS FUNCIONES SENOIDALES

Al aplicar una funcin senoidal a un circuito simple, el resultado o respuesta del circuito estar compuesto de dos partes, una respuesta natural que depende de la clase de circuito nicamente, y una respuesta forzada que ser una composicin de las funciones derivadas de la funcin de excitacin; el estado senoidal permanente se refiere entonces al estado en el que el circuito a alcanzado la respuesta forzada.

Paray Dado que el circuito tiene que cumplir con la ecuacin diferencial:

La respuesta forzada debe tener la forma:

Reemplazando en esta ecuacin y agrupando los trminos semejantes se tiene:

Al igualar los coeficientes deyse obtienen dos ecuaciones que permiten encontrar los coeficientesede la respuesta forzada:

De donde se obtiene:

Con esto se obtiene la respuesta forzada completa:De la misma manera si ahora se aplica una funcin de excitacin compleja que tiene una parte real y una imaginaria, la respuesta de el circuito tendr una parte real y otra compleja tambin.Para el circuito RL mostrado comola fuente de excitacin compleja es:y la respuesta compleja del circuito tendr la forma:donde la amplitud y el ngulo de fase son desconocidos.La ecuacin diferencial particular para este circuito es :

Remplazando los valores anteriores en la ecuacin diferencial y derivando se obtiene:

Ahora es necesario calcular los valores dey,para esto se divide toda la expresin entre:que es lo mismo que:

si se expresa el lado derecho de la ecuacin en forma polar o exponencial se tiene:

De esta forma se puede obtener:

Que representan la parte real y la imaginaria de la respuesta compleja. Si se toma la respuesta real de la corriente en funcin del tiempo se obtiene:

3.9.- Respuesta completa

Las ecuaciones que resultan de los circuitos de primer orden RC y RL, en su mayora presentan la siguiente forma:

Teniendo en cuenta el mtodo exponencial, esta ecuacin se puede resolver directamente parax(t):Multiplicando a ambos lados de la ecuacin por

El primer miembro de la ecuacin queda:

de forma que la ecuacin:

queda:

Al integrar desde, hasta un tiempo mayor que cerot > 0, resulta:

El primer trmino del resultado de la derecha es una constante, por que los lmites entre los que se evalan la integral son constantes, quedando la ecuacin como:

Multiplicando a ambos lados de la ecuacin para despejarx(t), se obtiene:

La constante se puede determinar por medio de las condiciones iniciales.

3.10.- Caractersticas generales de las respuestas de primer orden

Loscircuitos de primer ordenson circuitos que contienen solamente un componente que almacena energa (puede ser un condensador o inductor), y que adems pueden describirse usando solamente una ecuacin diferencial de primer orden. Los dos posibles tipos de circuitos primer orden:1. Circuito RC(Resistor y Condensador)2. Circuito RL(Resistor e Inductor)Desripcion de los circuitos[editar]Los circuitos serie RL y RC (figura 1) tienen un comportamiento similar en cuanto a su respuesta en corriente y en tensin, respectivamente.Al cerrar elinterruptorS en el circuito serie RL, labobinacrea unafuerza electromotriz(f.e.m.) que se opone a la corriente que circula por el circuito, denominada por ello fuerza contraelectromotriz. Como consecuencia de ello, en el mismo instante de cerrar el interruptor (t0 en la figura 2) la intensidad ser nula e ir aumentando exponencialmente hasta alcanzar su valor mximo,(de t0 a t1). Si a continuacin, en el mismo circuito abrimos S ( se har circuito abierto en la red RL),y el valor deno desaparecera instantneamente, sino que ira disminuyendo de forma exponencial hasta hacerse cero (de t2 a t3).Por otro lado, en el circuito serie RC, al cerrar elinterruptorS (t0 en la figura 2), elcondensadorcomienza a cargarse, aumentando su tensin exponencialmente hasta alcanzar su valor mximo E0 (de t0 a t1), que coincide con el valor de la f.e.m. E de la fuente. Si a continuacin, en el mismo instante de abrir S (t2 en la figura 2) se har corto circuito en la red RC, el valor de Eo no desaparecera instantneamente, sino que ira disminuyendo de forma exponencial hasta hacerse cero (de t2 a t3).Rgimen de Funcionamiento[editar]En ambos circuitos se da por lo tanto dos tipos de rgimen de funcionamiento (figura 2): Transitorio: desde t0 a t1 (carga) y desde t2 a t3 (descarga). Permanente: desde t1 a t2.La duracin del rgimen transitorio depende, en cada circuito, de los valores de laresistencia, R, lacapacidad, C, del condensador y de la autoinductancia, L de la bobina. El valor de esta duracin se suele tomar como, dondees la denominadaconstante de tiempo, siendo su valor en cada circuito:

Si R est enohmios, C enfaradiosy L enhenrios,estar ensegundos. Matemticamente se pueden obtener las ecuaciones en rgimen transitorio de cada circuito que se muestran en la siguiente tabla:Carga en RLDescarga en RLCarga en RCDescarga en RC

3.11.- Graficacin de las respuestas

Hasta el momento se ha planteado la solucin de las ecuaciones que originan los circuitos RC y RL:, que tambin puede escribirse de la siguiente forma:

Donde, y se llama constante de tiempo del circuito, sus unidades son segundos.

Entoncestpara RL est= L/Ry para RC est=RC, la siguiente grfica muestra el comportamiento de la respuesta exponencial:

Es claro que est respuesta depende de la magnitudt, que a su vez depende de RL y RC, respectivamente.

Como se observa en la tabla 6.6.1 cuando t se acerca a 5t,la respuesta es una fraccin de su valor inicial entonces la salida del circuito se ha estabilizado, el perodo antes de este punto se llama respuesta transitoria,y la que se observa despus se denomina respuesta de estado estable.En conclusin la respuesta de un circuito RL y RC sin fuentes, dependen fundamentalmente de:

1) La constante de tiempo2) La condicin inicial.

3.12.- Aplicacin de software