Análisis de varianza de un factor Tema 5 1. … · Análisis de Datos en Psicología II Tema 5 1 Análisis de varianza de un factor Tema 5 1. Introducción al análisis de varianza

Universidad Autónoma de Madrid

Análisis de Datos en Psicología II Tema 5

1

Análisis de varianza de un factor Tema 5

1. Introducción al análisis de varianza

2. ANOVA de efectos fijos, completamente aleatorizado

(A-EF-CA)

3. ANOVA de efectos fijos, con medidas repetidas (A-EF-MR)

4. Medidas de tamaño del efecto



2

Objetivo: Estudiar la relación entre dos variables:

1. Dependiente. Cuantitativa 2. Independiente o factor. Cualitativa.

Puede tener más de dos niveles (J) Permite comparar entre sí dos o más medias, a diferencia de la prueba t. Ejemplo: Se está estudiando la relación entre el método de enseñanza y el aprendizaje de una materia. Se aplican tres métodos a tres grupos de sujetos diferentes: enseñanza presencial, enseñanza por internet y autodidacta. Se calcula la nota media en el examen de cada grupo. VI: Método: presencial, internet, autodidacta VD: Puntuación del examen



3

¿Son iguales las tres medias poblacionales? Efectos fijos: Los niveles de la VI los establece el experimentador. Ejemplo: Efecto del ruido sobre el rendimiento. Fijar 10, 50 y 70 decibelios. Efectos aleatorios: Los niveles de la VI se toman al azar. Ejemplo: Efecto del ruido sobre el rendimiento. Tomar tres niveles entre 10 y 100 db. al azar. Completamente aleatorizado: Los sujetos se asignan al azar, y son distintos en cada grupo de la variable independiente. Medidas repetidas: Los mismos sujetos pasan por todas las condiciones (niveles de la VI o tratamientos).



4

ANOVA efectos fijos, completamente aleatorizado (A-EF-CA) Se forman J grupos con diferentes sujetos en cada uno. 1. Hipótesis: H0: µ1 = µ2 =...= µJ (todas las µj son iguales) H1: µj ≠ µ j' (alguna µj es distinta a las otras) 2. Supuestos Independencia Normalidad Homocedasticidad



5

3. Estadístico de contraste

Estructura de los datos: J : Número de niveles del factor (o VI) . nj : Nº de observaciones en el nivel j del factor. N : nº total de observaciones (si todas las nj son iguales: N = J x n)

Niveles del factor (VI) Observaciones: (VD)

Totales Tj

A 1 Y11 Y21 . . . Yi1 . . . Yn1 T1 A 2 Y12 Y22 . . . Yi2 . . . Yn2 T2 . . .

. . . . . . . . .

. . . . . .. . .

. . . A j Y1j Y2j . . . Yij . . . Ynj Tj . . .

. . . . . . . . .

. . . . . .. . .

. . . A J Y1J Y2J . . . YiJ . . . YnJ TJ

T

i : Sujeto j : Nivel de la V.I.



6

Sumas de cuadrados: La varianza de la VD es:

∑∑= =

−=J

j

n

iijn

j

YYN

S1 1

22 )(1

SCESCISCT

)()()( 222

+=

−+−=− ∑∑∑∑∑∑j i

jijj i

jj i

ij YYYYYY

SC Total = SC Intergrupos + SC Error

∑=

−=J

j j

j

NT

n

TSCI

1

22

∑∑∑== =

−=J

j j

jJ

j

n

iij n

TYSCE

j

1

2

1 1

2

NTYSCT

J

j

n

iij

j 2

1 1

2∑∑= =

−=



7

Tabla de ANOVA:

Fuentes de Variación

Sumas de

cuadrados

gradosde

libertad

Medias cuadráticas Estadístico

FV SC gl MC F

Intergrupos SCI J-1 1−J

SCI MCE

MCI

Error SCE N-J JN

SCE−

Total SCT N-1 Distribución: F ~ F J-1, N-J 4. Zona crítica: F ~ 1-α F J-1, N-J 5. Decisión: Rechazar H0 si F cae en la zona crítica



8

Si se rechaza concluimos que no todas las medias poblacionales son iguales, aunque no sabemos dónde están las diferencias.



9

Ejemplo: Se forman tres grupos de 6 alumnos y a cada uno se le aplica un método de enseñanza. Los datos del examen son: Presencial 4,8 7,1 5,4 6,8 8,6 6,2Internet 4,9 6,1 5,4 3,6 4,2 2,4Autodidacta 1,5 6,4 3,9 5,3 2,4 3,1Realizar el ANOVA con α = 0,05

J = 3 T1 = 38,9 n = 6 T2 = 26,6 N = Jn = (6)3 = 18 T3 = 22,6

T = 88,1 ∑∑ =i j

ijY 87,4892

1. Hipótesis: H0: µ1 = µ2 = µ3 H1: µj ≠ µ j' 2. Supuestos Independencia Normalidad Homocedasticidad



10

3. Estadístico de contraste

∑ −=j j

j

NT

nT

SCI22

05,2420,43125,45518

1,886

6,226,269,38 2222

=−=

−++

=

∑∑∑ −=j j

j

j iij n

TYSCE

22

62,3425,45587,489 =−= SCT = SCI + SCE = 58,67

FV SC gl MC F

Inter 24,05 J-1 = 2 12,025 5,21

Error 34,62 N-J =15 2,308

Total 58,67 N-1=17 Distribución F 2, 15



11

4. Zona crítica F ~ 0,95 F 2, 15 = 3,68 5. Decisión Cómo 5,21 > 3,68 rechazamos H0 No todas las medias poblacionales son iguales, aunque no sabemos dónde están las diferencias.



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ANOVA de un factor con medidas repetidas (A-EF-MR) Objetivo: Estudiar la relación entre dos variables:

1. Dependiente. Cuantitativa 2. Independiente o factor. Cualitativa.

Puede tener dos o más niveles (J) Los mismos sujetos pasan por los J niveles de la VI. Ejemplo: Se está estudiando el efecto del color de las señales de tráfico en la distancia a la que pueden ser percibidas. Se crean varias señales de color rojo, verde y azul. A un grupo de sujetos se les muestran todas las señales y se mide la distancia en metros en que empiezan a identificarlas. El objetivo es contrastar si dicha distancia depende del color.



13

1. Hipótesis: H0: µ1 = µ2 =...= µJ (todas las µj son iguales) H1: µj ≠ µ j' (alguna µj es distinta) 2. Supuestos Independencia Normalidad Homocedasticidad Aditividad. (los tratamientos no interactúan con los sujetos) 3. Estadístico de contraste

Estructura de los datos: J : Número de niveles del factor n : Nº de sujetos N : nº total de observaciones (N = J x n)



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Niveles

del factor (VI) Sujetos

Totales

T+j A1 Y11 Y21 . . . Yi1 . . . Yn1 T+1 A2 Y12 Y22 . . . Yi2 . . . Yn2 T+2 . . .

. . . . . . . . .

. . . . . .. . .

. . . Aj Y1j Y2j . . . Yij . . . Ynj T+j . . .

. . . . . . . . .

. . . . . .. . .

. . . AJ Y1J Y2J . . . YiJ . . . YnJ T+J

Totales Ti+ T1+ T2+ . . . Ti+ . . . Tn+ T SC Total = SC Intergrupos +

SC Intersujetos + SC Error

SCT = SCI + SCB + SCE



15

NTYSCT

J

j

n

iij

2

1 1

2∑∑= =

−=

∑=

+ −=J

j

j

NT

nT

SCI1

22

NT

JTSCB

n

i

i2

1

2

−= ∑=

+

NT

JT

nT

YSCEJ

j

n

i

n

i

iJ

j

jij

2

1 1 1

2

1

22∑∑ ∑∑

= = =

+

=

+ +−−=

FV SC gl MC F

Intergrupos SCI J-1 MCI MCI/MCEIntersujetos SCB n-1

Error SCE (J-1)(n-1) MCE Total SCT N-1



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Distribución: F ~ F J-1, (J-1) (n-1) 4. Zona crítica: F ~ 1-α F J-1, (J-1) (n-1) 5. Decisión: Rechazar H0 si F cae en la zona crítica



17

Ejemplo. Se toma un grupo de 7 personas y se les muestran señales de distintos colores. Se mide la distancia en que empiezan a reconocer cada señal. (α=0,01) Niveles del Sujetos factor (VI) 1 2 3 4 5 6 7 T+j

Rojo 25 21 32 24 19 22 26 169Verde 14 16 18 15 14 17 15 109Azul 21 19 16 18 22 17 20 133Ti+ 60 56 66 57 55 56 61 411

J=3 N = 21 n = 7 ΣΣY2 = 8453

214118453

22

1 1

2 −=−= ∑∑= = N

TYSCTJ

j

n

iij

= 8453 - 8043,86 = 409,14

86,80437

133109169 22222

−++

=−= ∑ +

j

j

NT

nT

SCI = 260,57



18

NT

JTSCB

i

i22

−= ∑ +

SCE = SCT - SCI - SCB = 118,1

FV SC gl MC F Intergrupos 260,57 2 130,38 13,25 Intersujetos 30,47 6 F ~ F 2, 12

Error 118,1 12 9,84 Total 409,14 20

Zona crítica: F ~ 0,99 F 2, 12 = 6,93 Decisión: Rechazar H0

47,30

86,80433

61565557665660 2222222

=

−++++++

=



19

Medidas de tamaño del efecto Estimación de la proporción de varianza explicada

eta2: SCTSCI2 =η

epsilon2: SCT1)MCE-(-SCI2 J

=ε

omega2: MCESCT1)MCE-(-SCI2

+=

Jϖ Ejemplo: Métodos de enseñanza

41,067,5805,24

SCTSCI2 ===η

33,067,58

308,2)2(05,24SCT

1)MCE-(-SCI2 =−

==Jε

32,0308,267,58

308,2)2(05,24MCESCT1)MCE-(-SCI2 =

+−

=+

=Jϖ



20

Formulario del tema 5 A-EF-CA

∑=

−=J

j j

j

NT

n

TSCI

1

22

∑∑∑== =

−=J

j j

jJ

j

n

iij n

TYSCE

j

1

2

1 1

2

NTYSCT

J

j

n

iij

j 2

1 1

2∑∑= =

−=

gli = J – 1 gle = N – J glt = N - 1



21

1−=JSCIMCI

JNSCEMCE

−=

MCEMCIF=

F ~ F J-1, N-J



22

A-EF-MR

NTYSCT

J

j

n

iij

2

1 1

2∑∑= =

−=

∑=

+ −=J

j

j

NT

nT

SCI1

22

NT

JTSCB

n

i

i2

1

2

−= ∑=

+

NT

JT

nT

YSCEJ

j

n

i

n

i

iJ

j

jij

2

1 1 1

2

1

22∑∑ ∑∑

= = =

+

=

+ +−−=

gli = J – 1 glb = n – 1

gle = (J-1)(n-1) glt = N-1



23

Medidas de tamaño del efecto:

SCTSCI2 =η

SCT1)MCE-(-SCI2 J

=ε

MCESCT1)MCE-(-SCI2

+=

Jϖ



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Ejercicios recomendados del libro: 5.9 5.10 5.11 5.19 5.20

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