Upload
kevin-j
View
365
Download
6
Embed Size (px)
Citation preview
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
1/164
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERAFACULTAD DE CIENCIAS
Unidad de Posgrado
ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES
MEDIANTE EL MTODO LPD
TESIS PARA OPTAR EL GRADO ACADMICO DE MAESTRO EN CIENCIASCON MENCIN EN FSICA
MIGUEL MELCHOR VIVANCO
Asesor:
DR. ANIBAL VALERA PALACIOS
Lima-Per
2015
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
2/164
2
NDICE
INTRODUCCION GENERAL 6
OBJETIVOS GENERALES 8OBJETIVOS ESPECFICOS 8
RESUMEN 9
1. INTRODUCCIN 10
1.1 ECUACIN DEL MOVIMENTO TRANSVERSAL LIBRE DE LA
BARRA
10
1.1.1 Ecuacin de Movimiento de Newton 10
1.1.2 Relacin entre Fuerza Neta Transversal y Torque 11
1.1.3 Torque o Momento de Flexin Restaurador Realizado por la
Barra
13
1.1.3.1 Geometra de la Barra Flexionada 13
1.1.3.2. Momento Restaurador 14
1.1.4 Ecuacin de Movimiento de Euler-Bernoulli 16
1.1.4.1 Solucin de la Ecuacin Euler-Bernoulli 18
1.1.4.2 Condiciones de Borde 19
1.1.4.3 Modos Normales de Vibracin Libre de Estructuras
Simples
21
1.1.4.3.1 Modos Normales de Vibracin de una Barra
Empotrada en sus dos Extremos
21
1.1.4.3.2 Modos Normales de Vibracin Libre de una
Barra Empotrada en un Extremo
24
1.1.5 Ecuacin de Movimiento Considerando el Efecto Cortante e
Inercia Rotacional en Barras
29
1.2 ECUACION DEL MOVIMENTO TRANSVERSAL DE LA BARRA
O VIGA CON VIBRACION FORZADA
30
1.2.1.Ecuacin del Movimiento Transversal de la Barra con Vibracin
Forzada para un Extremo Fijo
34
1.2.2 Ecuacin del Movimiento Transversal de la Barra con Vibracin
Forzada para los dos Extremos Fijos
40
1.3 VIBRACIONES EN CONCRETO 43
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
3/164
3
1.3.1 Vibraciones en Concreto Armado 43
1.3.2 Vibraciones en Concreto Pretensado 44
1.4 REPRESENTACIN DE FOURIER 45
1.4.1 Seales Peridicas 45
1.4.1.1 Series de Fourier (FS) 45
1.4.1.2 Serie Discreta de Fourier (DTFS) 46
1.4.2 Seales no Peridicas 46
1.4.2.1 Transformada de Fourier (FT) 46
1.4.2.2 Transformada discreta de Fourier (DTFT) 47
1.4.2.3 Transformada Rpida de Fourier (FFT) 48
1.5 MTODO PARA EVALUAR EL MDULO DE ELASTICIDADDEL CONCRETO
48
1.5.1 Teora de la Elasticidad 48
1.5.2 Alcance de la Norma ASTM C-469 50
1.5.3 Equipo 51
1.5.3.1 Mquina de Ensayo 51
1.5.3.2 Compresmetro 51
1.5.3.3 Especmenes de Ensayo 521.5.4 Ecuacin de Elasticidad Segn la Norma ASTM C-469 54
1.6 MTODOS UTILIZADOS PARA TRATAR VIBRACIONES COMO
SEALES Y EVALUAR FRECUENCIAS
54
1.6.1 LPD (Laser Photodeflection) 54
1.6.2 ACELEROMETROS 57
1.6.2.1 Acelermetro 57
1.6.2.2 Principio de funcionamiento 582. TCNICAS EXPERIMENTALES 61
2.1 MTODO LPD 61
2.2 MICROTREMOR 66
3. RESULTADOS 68
3.1 PARMETROS FSICOS DE LA BARRA 68
3.2 PARMETROS FSICOS DE LOS MATERIALES USADOS EN LA
VIGA
68
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
4/164
4
3.2.1 Concreto 68
3.2.2 Parmetros Fsicos del Fierro Corrugado de Aceros Arequipa 71
3.3 DIMENSIONES DE LAS BARRAS EMPOTRADA Y VIGA
EMPOTRADA EVALUADA
72
3.3.1 Dimensiones de la Barra Empotrada en sus dos Extremos 72
3.3.2 Dimensiones de la Barra Empotrada en un Extremo 73
3.3.3 Dimensiones de la Viga empotrada en sus dos Extremos 74
3.4 FRECUENCIAS OBTENIDAS SEGN LA TEORIA 75
3.4.1 Barra Empotrada en sus dos Extremos 75
3.4.2 Barra Empotrada en un Extremo 76
3.4.3 Viga Empotrada en sus dos Extremos y con dos Varillas en suInterior
76
3.4.3.1 Viga de Solo Concreto 76
3.4.3.2 Viga de Solo Fierro Corrugado 77
3.5 FRECUENCIAS SEGN EL METODO LPD 78
3.5.1 Barra Empotrada en sus Dos Extremos 79
3.5.1.1 Vibraciones Evaluadas con el Parlante 79
3.5.1.2 Vibraciones Evaluadas con el Medio Ambiente 803.5.2 Barra Empotrada en un Extremo 87
3.5.2.1 Vibraciones Evaluadas con el Parlante 87
3.5.2.2 Vibraciones Evaluadas con el Medio Ambiente 88
3.5.3 Viga Empotrada en sus dos Extremos 94
3.5.3.1 Vibraciones Evaluadas con el Parlante 94
3.5.3.2 Vibraciones Evaluadas con el Medio Ambiente 96
3.6 FRECUENCIAS SEGN EL METODO SOFTWARE ETABS 1023.6.1 Barra Empotrada en sus Dos Extremos 102
3.6.2 Barra Empotrada en un Extremo 103
3.6.3. Viga Empotrada en sus Dos Extremos 104
3.7 FRECUENCIAS EVALUADAS POR EL MICROTREMOR 105
3.7.1 Barra Empotrada en sus Dos Extremos 105
3.7.2 Barra Empotrada en un Extremo 110
3.7.3 Viga Empotrada en sus Dos Extremos 115
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
5/164
5
4. DISCUSIN 120
4.1PARA EL CASO DE LA BARRA EMPOTRADA EN SUS DOS
EXTREMOS
120
4.2PARA EL CASO DE LA BARRA EMPOTRADA EN UN EXTREMO 124
4.3PARA EL CASO DE LA VIGA EMPOTRADA EN SUS DOS
EXTREMOS
128
5. CONCLUSIONES 132
6. BIBLIOGRAFIA 135
ANEXO 138
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
6/164
6
INTRODUCCIN GENERAL
En la actualidad los problemas de vibraciones estructurales continan
presentndose como un gran problema por la limitacin de diseos que se podran producir
por su poca utilidad. Por eso, el problema de las vibraciones se ha vuelto de vital
importancia en la construccin de estructuras y mquinas.
Debido a la complejidad del diseo de las estructuras, no es posible en la mayora
de los casos, establecer las ecuaciones fsicas del movimiento para su anlisis dinmico y
para eso se hace una prueba de las vibraciones propias de las estructuras (modos naturales
de vibracin) lo que se conoce como prueba modal para obtener un modelo matemticode la estructura y con esto conocer o predecir su comportamiento dinmico en diversas
situaciones a partir de bases tericas fsicas. Los resultados obtenidos nos ayudan a
conocer los puntos crticos de la estructura que permiten tomar decisiones al momento de
su construccin para hacerlas ms flexibles y resistentes.
En el presente, para medir vibraciones en estructuras existen diferentes tcnicas de
medicin entre ellas el Microtremor, que contina mejorando su tcnica de evaluacin [1],[2] y las que utilizan el Laser como el mtodo LPD, Interferometra Laser [3] y el mtodo
Telemetro Laser [4], cada una con sus ventajas y desventajas. Con el mtodo LPD ya se
han hecho dos tesis para Licenciatura en la Facultad de Ciencias-UNI (Arturo Ortiz Vargas
Machuca [5] y Roosvelt Lpez Garca [6] ) cuyos objetivos fueron verificar que la tcnica
LPD mide vibraciones, para estos dos casos la fuente que genera las vibraciones en las
estructuras fue un parlante de gran potencia con frecuencia variable y un laser cuyo haz
tiene un dimetro de 5 mm aproximadamente.
En la tesis de Licenciatura presentada por Arturo Ortiz Vargas Machuca que tiene
por ttulo Estudio de Vibraciones Estructurales por Medios pticos - 2008
muestra la medida de las vibraciones por el mtodo LPD de un techo de concreto pequeo
y delgado tipo membrana (construido en el CISMID-UNI para sus ensayos) cuyas
ecuaciones de modos de vibracin aparecen en los libros de fsica, luego compara sus
resultados con la ecuacin terica. Al final de su anlisis comprueba las medidas y en una
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
7/164
7
de sus conclusiones manifiesta que se debe optimizar y automatizar los procedimientos de
medida para reducir los tiempos de evaluacin y aumentar la sensibilidad del equipo.
En la tesis presentada por Roosvelt Lpez Garca, cuyo ttulo tiene por nombre
Evaluacin y Medicin de las Mediciones de un Edificio por Medio de la Tcnica Laser
(LPD) - 2011 presenta la evaluacin de vibraciones de un edificio de un piso sin terminar
de construir de la Facultad de Ingeniera Electrnica (UNI), donde no se conoce sus
parmetros fsicos exactos. Observ sus resultados y comprob que el sensor LPD es capaz
de medir las frecuencias de los modos de vibracion de la Estructura, valores que compar
con el software de simulacin ETABS usado en la Ingeniera Civil.
En la actualidad, la tcnica para medir vibraciones por el mtodo LPD se ha ido
optimizando con los trabajos hechos en el Laboratorio de ptica de la Facultad de Ciencias
(UNI), de tal manera que ahora se utilizan pequeos parlantes de baja intensidad para
vibrar las estructuras y sistemas laser de haz fino respecto a los que se utilizaban
anteriormente. Adems, se observa en el osciloscopio previamente a la toma de los datos la
resonancia entre la frecuencia natural de la estructura y la frecuencia de vibracin del
parlante. Como ejemplo de la precisin en la medida de las vibraciones con esta tcnicamostramos la resonancia entre la vibracin generada por el parlante y la vibracin de la
estructura captada por el osciloscopio tal como muestra la figura I.
Figura I. Esquema de la Medicin de Frecuencias sobre la Barra y el Resultado de la
Frecuencia Evaluada Analizada en el Osciloscopio
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
8/164
8
Este trabajo consiste en la evaluacin de las frecuencias en vibraciones
transversales en estructuras simples (barra empotrada en sus dos extremos y en un extremo,
viga empotrada en sus dos extremos) evalundola con el mtodo LPD aplicando la tcnica
optimizada de medicin con diferentes fuentes de vibracin, para despus compararla con
los resultados obtenidos de las medidas hechas por el Microtremor, el resultado de la
simulacin hecha con el software ETABS y los resultados al aplicar las ecuaciones tericas
del movimiento transversal de las estructuras analizadas.
OBJETIVOS GENERALES
Evaluar con el sistema ptico de deteccin (LPD) las frecuencias de las vibracionestransversales en estructuras horizontales simples construidas en el laboratorio y comparar
los resultados con el obtenido por otros mtodos de evaluacin como el sistema estndar
Microtremor y a partir de all comprobar la utilidad y beneficio del nuevo sistema.
OBJETIVOS ESPECIFICOS
Evaluacin de frecuencias de las vibraciones transversales con el mtodo ptico(LPD) usando un parlante de frecuencia variable como fuente de vibracin, en
estructuras simples como la barra empotrada en un extremo, barra empotrada en sus
dos extremos y la viga empotrada en sus dos extremos.
Evaluacin de frecuencias de las vibraciones transversales en estructuras simples
como la barra empotrada en un extremo, barra empotrada en sus dos extremos y la
viga empotrada en sus dos extremos con el mtodo ptico (LPD) y el Microtremor,teniendo como fuente vibracin el medio ambiente.
Simulacin con el software ETABS de las vibraciones transversales en las
estructuras construidas.
Clculo de frecuencias obtenidas por las ecuaciones tericas del movimiento
transversal de las estructuras analizadas.
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
9/164
9
RESUMEN
En este trabajo se miden las frecuencias de las vibraciones transversales en tres
estructuras simples: barra empotrada en sus dos extremos, barra empotrada en un extremo
y la viga empotrada en dos extremos con dos fierros en su interior.
Las ecuaciones de Euler-Bernoulli proporcionan las siguientes frecuencias: en la
primera estructura 35.29 Hz y 97.25 Hz, para la segunda estructura 21.74 Hz. Con el
software de simulacin ETABS se obtiene: en la primera estructura 33.31 Hz y 91.75 Hz,
en la segunda estructura 20.63 Hz y en la tercera estructura 68.06 Hz. Estas frecuencias la
evala el mtodo LPD (vibracin medio ambiente) pero con pequeas amplitudes convalores: en la primera estructura 35.28 Hz y 97.26 Hz, en la segunda estructura 21.69 Hz y
en la tercera estructura 67.69 Hz. En el mtodo LPD, con la fuente de vibracin hecha por
un parlante con frecuencia variable los resultados son: primera estructura 35.61 Hz y 96.37
Hz y en la segunda estructura 22.39 Hz. El Microtremor tambin lo evala pero con
pequeas amplitudes: la primera estructura 35.20 Hz y 97.88 Hz, en la segunda estructura
21.31 Hz y en la tercera estructura 67.49 Hz.
Al evaluar usando el medio ambiente como fuente de vibracin se encontr otras
frecuencias de los modos naturales de vibracin. Para el caso del Microtremor (Medio
Ambiente) las frecuencias encontradas con gran amplitud fueron: primera estructura 24.25
Hz, en la segunda estructura 10.71 Hz y en la tercera estructura con mediana amplitud
28.42 Hz y 50.16 Hz un posible modo de mediana amplitud. Para el caso del mtodo LPD
(Medio Ambiente) las frecuencias con gran amplitud fueron: la primera estructura 24.07
Hz y 25.08 Hz, en la segunda estructura 10 Hz y en la tercera estructura 32.43 Hz adems50.51 Hz un posible modo con mediana amplitud. Estos modos no lo predicen los mtodos
tericos como la ecuacin del movimiento transversal y el software ETABS.
En el mtodo LPD con el parlante a una frecuencia que tiende a ser igual al modo
de vibracin, el resultado para la tercera estructura fue: 28.15 Hz y 82.68 Hz.
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
10/164
10
1. INTRODUCCIN
1.1 ECUACIN DEL MOVIMENTO TRANSVERSAL LIBRE DE LA BARRA
1.1.1 Ecuacin de Movimiento de Newton [7]
Consideramos una barra homognea de densidad y seccin transversal S ,
simtrica respecto del eje longitudinal X y elegimos el eje Y en la direccin de las
perturbaciones, considerando que cada punto de la barra tiene una dependencia del tiempo
y espacio t)(x, , figura 1.
Figura 1. Movimiento Transversal sobre una Barra
Para cada tramo de la barra, de longitud dx , se cumple la ecuacin de Newton, en
particular, para la componente transversal, se tiene:
YYNETA amF (1)
Como la masa del tramo es:
dxSm
La ecuacin para cada tramo infinitesimal de la barra (como se muestra en la figura 1),
tiene la forma
dxt
SFYNETA 2
2
(2)
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
11/164
11
Para llegar a la ecuacin de movimiento, nuestra siguiente tarea ser encontrar la
componente transversal de la fuerza neta.
1.1.2 Relacin entre Fuerza Neta Transversal y Torque
Para flexionar una barra es necesario aplicar un momento en cada extremo (del
tramo que estamos considerando). El momento neto es entonces la suma de ambos, tal
como muestra la figura 2.
)()( xMdxxMMN (3)
diferencia que permite un desarrollo de Taylor de primer orden
dxx
MxMdx
x
MxMM
xx
N
)()( (4)
Figura 2. Fuerzas de Corte y Momentos Asociados
Por otra parte, este momento se traduce en una fuerza transversal que acta sobre la
barra. Si lo calculamos respecto del extremo izquierdo del tramo (figura 2), obtenemos:
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
12/164
12
0).()( xFdxdxxFM YYN (5)
Igualando el momento neto calculado de ambas formas (ecuaciones 4 y 5), llegamos a que
en la barra flexada, la fuerza de corte transversal restauradora es igual a la derivada
espacial del momento flexor
x
MFy
(Fuerza cortante) (6)
Estamos en condiciones de calcular la fuerza neta transversal sobre el tramo de la barra(desarrollo de Taylor de primer orden en la fuerza transversal)
dxx
Mdx
x
FxFdx
x
FxFxFdxxFF
X
y
Y
X
YYYYYNETA 2
2
)()()()(
As tenemos:
dxx
MFy 2
2
(Fuerza neta transversal como derivada segunda del momento restaurador)
(7)
El siguiente paso en nuestro anlisis ser encontrar el origen de este torque M , que como
veremos, est asociado a las fuerzas longitudinales de estiramiento y comprensin dentro
de la barra.
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
13/164
13
1.1.3 Torque o Momento de Flexin Restaurador Realizado por la Barra
1.1.3.1 Geometra de la Barra Flexionada
Consideremos el ngulo de torsin, que es aqul ngulo formado entre las secciones
extremas, figura 3
Figura 3. Diagrama de la Curvatura
Es decir:
)()( xdxxd
En aproximacin de ngulos pequeos: tg , que es la derivada primera de la elongacin
respecto de x
xdxx xx
xtgdxxtgd
)()( (8)
Tomando la derivada como funcin de x , podemos aproximarla en primer orden por
Taylor.
dxxxx
xxdxx
2
2
(9)
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
14/164
14
con lo que el ngulo de flexin de la barra queda expresado en trminos de la segunda
derivada de la elongacin, de las ecuaciones (8) y (9) (lo mismo ocurre al analizar las
vibraciones en una cuerda tensa).
dxx
d2
2
(Curvatura de la barra) (10)
Este resultado no es extrao si se recuerda que la derivada segunda es una medida de la
concavidad.
1.1.3.2. Momento Restaurador
La flexin de la barra implica estiramiento de las lminas exteriores y comprensin
de las interiores, figura 4 (con respecto al centro de curvatura). Definamos una coordenada
zpara designar la posicin relativa de cada lmina respecto de la lnea central.
Esta lnea central se corresponde, por definicin, con la lmina de la barra que no est
estirada ni comprimida. Cada lmina se estira (o comprime) una cantidad dz=dl .
Figura 4. Fuerza Elstica en una Barra
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
15/164
15
Teniendo en cuenta la ecuacin (10) para la curvatura de la barra, la variacin de
longitud de cada lmina es:
dxx
z=dl
2
2
(11)
Cada lmina realiza una fuerza dF. Suponiendo que el material se comporta
linealmente (pues estamos bajo la hiptesis de pequeas perturbaciones), se cumple que la
fuerza por unidad de superficie realizada por cada lmina es igual al mdulo de Young (Y ,
o mdulo de Elasticidad) por el estiramiento unitario, es decir:
l
dlY=
dS
(z)dFx (12)
Dado que consideramos pequeas perturbaciones, podemos asumir dxl . Por su
parte, la seccin de cada lmina depende de la forma de la barra, en particular, del ancho
de cada lmina: dza(z)=ds y la ecuacin (12) de la fuerza realizada por cada lmina es:
dza(z)zx
Y=(z)dFx 2
2
(13)
y el momento realizado por cada lmina es dFz , con lo que integrando en toda la seccin
obtenemos el momento neto:
2
22
2
2
2
22
x
IY=dz(z)az
x
Y=dza(z)
x
zY=dFz=M Z
(14)
Donde: dz(z)az=IZ 2 , Momento de inercia de la seccin transversalparalelo a la
base y que pasa por el centro de gravedad, G. Tabla 1
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
16/164
16
1.1.4 Ecuacin de Movimiento de Euler-Bernoulli
Recapitulando, la ecuacin de Newton (2) nos dice que la fuerza transversal es
igual a la masa de cada tramo por su aceleracin transversal:
dx,
t
S=F YNETA 2
2
Densidad del cuerpo
Ya hemos calculado que para la barra flexada, esta fuerza transversal es la derivada
segunda del torque respecto a la posicin (7):
dxx
M=F YNETA 2
2
Sustituyendo en esta ecuacin el valor del momento restaurador M de la ecuacin (14),
encontrado anteriormente, se tiene:
dxx
IY=F ZYNETA 4
4
(15)
Igualando a la fuerza neta transversal encontrado anteriormente, (2) y (15) se encuentra:
dxx
IY=dx
t
S Z 4
4
2
2
02
2
4
4
=t
IY
S+
x
Z
,Ecuacin del movimientotransversal de una barra (16)
.
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
17/164
17
TABLA 1. VALORES DE I PARA DIFERENTES REAS TRANSVERSALES
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
18/164
18
1.1.4.1 Solucin de la Ecuacin de Euler-Bernoulli [7]
Nos disponemos a encontrar los modos normales por el mtodo de separacin de
variables, asumiendo que la componente temporal es peridica:
tsen(x)=t)(x, (17)
Cada punto x de la barra vibra con una amplitud )(x y con una frecuencia
angular , aplicando la ecuacin (17) en la ecuacin diferencial del movimiento
transversal de la barra dado por la ecuacin (16), se obtiene:
02
2
4
4
=t
IY
S+
x
Z
02
4
4
=IY
S
x
Z
(18)
Buscando soluciones exponenciales de la forma: xre=(x) , esta expresin se
evala en la ecuacin (18), obtenindose:
024 =eIY
Ser xr
Z
xr 24
ZIY
Sr
4/12 )(
ZIY
Sr 4/12 )(,
ZIY
Sqqr (19)
Se encuentra la ecuacin: 044 =qr , obtenindose las races:
qi=rq,i=rq,=rq,=r (20)
La solucin general viene expresado por:
xqixqixqxq eC+eC+eC+eC=(x) 4321 (21)
o de la forma equivalente:
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
19/164
19
(qx)A+(qx)senA+(qx)A+(qx)senhA=(x) coscosh 4321 (22)
La pendiente o derivada de (x)y , viene expresado por:
](qx)senA+(qx)A+(qx)senhA+(qx)[Aq=dx
d4321 coscosh (23)
La segunda derivada viene dado por:
](qx)A(qx)senA(qx)A+(qx)senh[Aq=dx
d2 coscosh 4321
22
(24)
La tercera derivada viene dado por:
](qx)senA+(qx)A(qx)senhA+(qx)[Aq=dx
d3 4321
33
coscosh (25)
1.1.4.2 Condiciones de Borde
En forma ideal (y a modo de ejemplo), las situaciones ms elementales en las que
pueden estar cada extremo de la barra son tres:
I. Extremo libre:
Desplazamiento del extremo = libre.
Pendiente del extremo = libre.
Torque aplicado en el extremo = 0 02
2
=|x
extremo
(26)
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
20/164
20
Fuerza cortante en el extremo = 0 03
3
=|x
extremo
(27)
II. Extremo fijo:
Desplazamiento del extremo = 0 0=| extremo (28)
Pendiente del extremo = libre.
Torque aplicado en el extremo = 0 02
2
=|x extremo
(29)
Fuerza cortante en el extremo = libre.
III. Extremo empotrado:
Desplazamiento del extremo = 0 0=|extremo
(30)
Torque en el extremo = libre.
Pendiente del extremo = 0 0=|x
extremo
(31)
Fuerza cortante en el extremo = libre.
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
21/164
21
1.1.4.3Modos Normales de Vibracin Libre de Estructuras Simples
1.1.4.3.1 Modos Normales de Vibracin de una Barra Empotrada en sus dos Extremos
Figura 5. Esquema de una Barra o Viga Empotrada
La ecuacin diferencial del movimiento de un elemento de la barra como muestra la
figura 5, viene expresado por:
02
2
4
4
=t
IY
S+
x
Z
Cuya solucin viene expresado por: tsen(x)=t)(x,
tsen(qx)]A+(qx)senA+(qx)A+(qx)senh[A=t)(x, coscosh 4321 (32)
Aplicando las condiciones de contorno:
La barra est firmemente sujeta por su extremo:
I. Para x=0
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
22/164
22
00=| =x
00cos00cosh00 4321 =)(A+)(senA+)(A+)(senhA=)(
042 =A+A
00 =|xd
d=x
000cos00cosh 43210 =])(senA+)(A+)(senhA+)([Aq=|dx
d=x
031
=A+A
II. Para L=x
0=| L=x
0coscosh 4321 =L)(qA+L)(qsenA+L)(qA+L)(qsenhA=(L)
Como 031 =A+A , y 042 =A+A , se tiene:
0coscosh21 =L)](qL)(q[A+L)](qsenL)(q[senhA
0=|xd
dL=x
0coscosh 4321 =]L)(qsenA+L)(qA+L)(qsenhA+L)(q[Aq=|dx
dL=x
Como 031 =A+A , y 042 =A+A , se tiene:
0coscosh 21 =L)](qsen+L)(qsenh[A+L)](qL)(q[A
Eliminando los coeficientes 21 AyA de las dos ecuaciones obtenidas, obtenemos una
ecuacin transcendente en qL=
0)]cos)cosh)])])) 2 =(([+(sen+([senh(sen([senh (33)
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
23/164
23
Las cinco primeras races Lq= jj , encontradas por un software matemtico aplicando
mtodos numricos son:
27.17,14.14,00.11,85.7,73.4j
Conocido los valores posibles de jq y evaluando en la ecuacin (19), se calculan las
frecuencias de vibracin jj f 2 , donde:
4
2
2 LS
IY
=f z
j
j
Con los valores encontrados de jr , los valores de la frecuencia son:
41 3.56
LS
IY=f z ,
42 9.81
LS
IY=f z ,
43 19.26
LS
IY=f z ,
44 31.82
LS
IY=f z
45 47.47
LS
IY=f z (34)
La amplitud transversal de la vibracin de la barra (x) de los distintos puntos x de la
barra en el modo normal de vibracin j, es:
x)](qx)(q[
L)(qL)(q
L)(qsenL)(qsenhx)](qsenx)(q[senhA=(x) jj
jj
jj
jj coscoshcoscosh
(35)O tambin:
x)](qx)(q[L)(qsen+L)(qsenh
L)(qL)(qx)](qsenx)(q[senhA=(x) jj
jj
jj
jjj coscoshcoscosh
(36)
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
24/164
24
La constante jA , se halla cumpliendo las condiciones fsicas propias de la estructura
(energa entregada a la estructura, entre otros parmetros)
ctedxxL
j )(02
(37)
1.1.4.3.2 Modos Normales de Vibracin Libre de una Barra Empotrada en un Extremo
Figura 6. Esquema de una Barra Empotrada en un Extremo.
La ecuacin diferencial del movimiento de un elemento de la barra de la figura 6
viene expresado por la ecuacin (16)
02
2
4
4
=t
IY
S
+x
Z
Cuya solucin viene expresado por: tsen(x)=t)(x,
tsen(qx)]A+(qx)senA+(qx)A+(qx)senh[A=t)(x, coscosh 4321
Aplicando las condiciones de contorno:
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
25/164
25
La barra est firmemente sujeta por su extremo:
I . Para 0x
00=| =x
00cos00cosh00 4321 =)(A+)(senA+)(A+)(senhA=)(
042 =A+A
00 =|
xd
d=x
000cos00cosh 43210 =])(senA+)(A+)(senhA+)([Aq=|dx
d=x
031 =A+A
II. Para L=x
02
=|dxd
L=x2
](qL)A(qL)senA(qL)A+(qL)senh[Aq==|dx
dL=x2
coscosh0 43212
2
Como 031 =A+A , y 042 =A+A , se tiene:
0coscosh21 =L)](q+L)(q[A+L)](qsen+L)(q[senhA
03
3
Lx
xd
d
])()(cos)()(cosh[0 43213
3
3
qLsenAqLAqLsenhAqLAqxd
d
Lx
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
26/164
26
Como 031 =A+A , y 042 =A+A , se tiene:
0coscosh 21 =L)](qsenL)(qsenh[A+L)](q+L)(q[A
Eliminando los coeficientes 21 AyA de las dos ecuaciones obtenidas, obtenemos una
ecuacin transcendente en qL=
1coscosh =L)(q(qL) (38)
Resolviendo esta ecuacin utilizando un software matematico, se obtiene las cuatro
primeras races Lq= jj , son:
00.11,85.7,69.4,87.1j
Conocido los valores posibles de jq y evaluando en la ecuacin (19), se calculan las
frecuencias de vibracin jj f= 2 , donde:
4
2
2 LS
IY
=f z
j
j
Con los valores encontrados de jr , los valores de la frecuencia son:
41 0.56
LS
IY=f z ,
42 3.50
LS
IY=f z ,
43 9.81
LS
IY=f z ,
44 19.26
LS
IY=f z (39)
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
27/164
27
La amplitud transversal de la vibracin de la barra (x) de los distintos puntos x
de la barra en el modo normal de vibracin j, es:
x)](qx)(q[L)(q+L)(q
L)(qsen+L)(qsenhx)](qsenx)(q[senhA=
=(x)
jj
jj
jj
jjj coscoshcoscosh
(40)
O tambin:
x)](qx)(q[L)(qsenL)(qsenh
L)(q+L)(q
x)](qsenx)(q[senhA=(x jjjj
jj
jjj coscosh
coscosh
)
(41)
La constante jA , se halla cumpliendo las condiciones fsicas propias de la
estructura (energa entregada a la estructura entre otros parmetros).
cte=dx(x)j 2
(42)
Podemos generalizar la ecuacin (17), considerando que la estructura puede vibrar
en cualquiera de sus frecuencias propias naturales (modos de vibracin) dando lugar a una
suma infinita de trminos de la forma
1
2j1j cos=j
jjj (x)t)](B+t)sen([B=t)(x, (43)
En la prctica, con el clculo nicamente de los primeros trminos de la solucin
para un movimiento de la forma de la ecuacin (16) ser suficiente, dando lugar a una
suma truncada de productos. Esta simplificacin es debida a que a partir de un determinado
momento, segn se sigue aumentando el nmero de trminos, la variacin que sufre la
solucin es mnima.
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
28/164
28
Para calcular las constantes 1jB y 2jB , para un movimiento libre se recurrir a las
condiciones iniciales y a la propiedad de ortogonalidad de las autofunciones. Dichas
condiciones iniciales barra estn dadas por la relacin
f(x)=)(x,0
g(x)=)(x' ,0 (44)
Por lo tanto sustituyendo la ecuacin (44) en la ecuacin (43), para hallar 2jB , se
obtiene
(x)B=f(x)=)(x=j
j
1
2j,0
multiplicando por i , a ambos lados de la ecuacin e integrando a lo largo de la barra o
varilla, adems de aplicar las propiedades de ortogonalidad
dx(x)(x)B=dx(x)f(x) i=j
ji 1
2j
(x)dxB=dx(x)f(x) ii2
2i
(x)dxB=dx(x)f(x) ii2
2i
dx(x)
dx(x)f(x)=B
j
j
22j
(45)
Haciendo algo parecido para hallar 1jB , partiendo de la derivada respecto al tiempo
de t)(x, expresada por la ecuacin (43) y calculando 0),( ttx este valor es igual a la
expresin g(x)establecida en la ecuacin (44)
1
21 )(])()(cos[),(j
jjjjjjj xtsenBtBtx
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
29/164
29
1
1 )()()0,(j
jjj xBxgx
multiplicando por i , a ambos lados de la ecuacin e integrando a lo largo de la barra o
varilla, adems de aplicar las propiedades de ortogonalidad
dx(x)(x)B=dx(x)g(x) i=j
jji 1
1j
(x)dxB=dx(x)g(x) iji2
1i
(x)dxB=dx(x)g(x)iii
2
1i
dx(x)
dx(x)g(x)=B
jj
j
21j
(46)
1.1.5 Ecuacin de Movimiento Considerando el Efecto Cortante e Inercia Rotacional
en Vigas y Barras [8]
El clculo de frecuencias naturales en vibracin de vigas elsticas o barras es
fundamental en ingeniera estructural. La tcnica ms realista de clculo es modelar el
material a partir de la teora de la elasticidad, seguido por la aplicacin del mtodo de los
elementos finitos.
El mtodo ms simple es el de Euler- Bernoulli (16), que slo involucra el efecto de
flexin, tipo de deformacin que presenta un elemento estructural alargado en una
direccin perpendicular a su eje longitudinal.
02
2
4
4
=t
IY
S+
x
Z
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
30/164
30
Una mejora es el modelo de Rayleigh, que refleja el efecto de inercia rotacional o
tendencia de un cuerpo a resistirse al cambio en su movimiento rotacional:
022
4
2
2
4
4
=xt
I
t
S+
x
IY ZZ
(47)
Una hiptesis de los modelos anteriores es que las secciones transversales
permanecen perpendiculares al eje de la viga. En la prctica esto no es as, es decir, hay un
efecto de cortante. Un modelo que involucra ambos efectos, inercia rotacional y cortante es
el modelo de Timoshenko, dado por la ecuacin:
022
4
4
4
22
4
2
2
4
4
xtIY
xI
SGKxtI
tS
xIY ZZZZ
(48)
:K Coeficiente Cortante
:G Modulo Cortante
1.2 ECUACION DEL MOVIMENTO TRANSVERSAL DE LA BARRA CON
VIBRACION FORZADA t)(x, [9]
La ecuacin que gobierna las vibraciones transversales forzadas t)(x, , en vigas
barras viene dada por
),()(2
2
2
2
2
2
txx
IYxt
S Z
(49)
Para resolverla, se har uso del mtodo de separacin de variables y de la propiedad
de ortogonalidad de las autofunciones para convertir la ecuacin diferencial en derivadas
parciales en un nmero infinito de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden
desacopladas, expresadas en trminos de las coordenadas modales, similares a las que
gobiernan la vibracin de un sistema de un grado de libertad.
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
31/164
31
Usando la tcnica de separacin de variables, el desplazamiento transversal t)(x, ,
viene dado por
)()(),(1
txtx jj
j
(50)
y un desplazamiento virtual en la ecuacin (50), se tendr
)()(),(1
txtx ii
i
(51)
Multiplicando la ecuacin (49) por el desplazamiento virtual e integrando a lo largo de la
longitud L de la barra se obtiene
LLZ dxtxdx
xIY
xtS
00 2
2
2
2
2
2
),(])([
(52)
y sustituyendo ahora el desplazamiento , y el desplazamiento virtual , segn las
ecuaciones (50) y (51) respectivamente
dxtxdxIYS ii
L
iijijZ
i j
L
ij
1
0
""
1 10
),(])([ (53)
El segundo termino de la parte izquierda de la expresin es una integral que se deberesolver por partes, siendo su solucin
dxIYIYIYdxIYL
ijZ
L
ijZ
L
ijZij
L
Z 0""
0
'"
0
'"""
0)()( (54)
que sustituida en la ecuacin (53), da lugar a la expresin general
0])(]),([[ 0'"
0
'"""
1 10
ij
L
jZj
L
ijzijjZj
i j
L
ij IYIYdxtxIYS
(55)Como se analiza estructuras simples, con extremos empotrado o libre y debido a las
condiciones establecidas en las ecuaciones del (26) al (31) el cuarto y quinto trmino de laecuacin (55) se cancelan, y cambiando el ndice de la serie se encuentra la siguiente
expresin
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
32/164
32
0]),([00
2"
10
2
j
L
j
l
jjZ
j
L
jj dxtxdxIYdxS (56)
La expresin anterior se puede volver a escribir de la siguiente manera0][
1
jjjj
j
j Qm
dxSmL
jj 02
dxIYl
jZj 02"
dxt)(x,=Q jj , (Coeficiente de Fuerza Modal) (57)
Como los cambios virtuales, j , son linealmente independientes, se obtiene
finalmente la expresin
(t)Q=+td
dm jjjj 2
2
(58)
La solucin de la ecuacin diferencial anterior, se puede obtener mediante laintegral de Duhamel [10], que tiene la forma
dtsenQm
tBtsenB jt
j
jj
jjjjj ])([)(1
)(cos)(0
21 (59)
donde las frecuencias propias, j , cumplen la relacin
j
j
j m
= (60)
son las frecuencias de vibracin libre evaluadas en las ecuaciones (34) (39) (segn sea el
caso de las condiciones de contorno de las estructuras), y los coeficientes jm y j vienen
dados por las expresiones de la ecuacin (57).
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
33/164
33
Para el caso de un movimiento con fuerza forzada ),( tx , para obtener las
constantes 1jB y 2jB , nuevamente se recurrir a las mismas condiciones de la ecuacin
(44) y a la propiedad de ortogonalidad de las autofunciones.
Para obtener jB2 , partimos de la ecuacin (50) y usando el valor de la ecuacin (44)
1
021 )])([)(
1)(cos)((),(
j
jj
t
j
jj
jjjj dtsenQm
tBtsenBtx
1
2)()0,(
j
jjBxfx
multiplicando por i , a ambos lados de la ecuacin e integrando a lo largo de la barra o
varilla, adems de aplicar las propiedades de ortogonalidad
dx(x)(x)B=dx(x)f(x) i=j
ji1
2j
(x)dxB=dx(x)f(x) ii22i
(x)dxSB=Sdx(x)f(x) ii2
2i por la ecuacin (57)
j
L
j
L
j
L
j
jm
dxSxxf
dxSx
dxSxxfB
0
0
2
02
)()(
)(
)()(
(61)
Para obtener 1jB , partimos de la ecuacin (50) y usando el valor de la ecuacin (44)
1
2j1j )1
cosj=
jjj
jj
jj )]d)(t[sen(Qm
+t)(B+t)sen((B=t)(x, (62)
1
1j)0,(j=
jj B=g(x)=txtd
d
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
34/164
34
multiplicando por i , a ambos lados de la ecuacin e integrando a lo largo de la barra, adems
de aplicar las propiedades de ortogonalidad
dx(x)(x)B=dx(x)g( x) i=j
jji1
1j
(x)dxB=dx(x)g(x) iji2
1i
L
iii
L
i dxSBdxSxxg0
2
10
)()()( por la ecuacin (57)
jj
j
jj
j
m
Sd x(x)g( x)
=Sd x(x)
Sd x(x)g( x)
=B
21j
(63)
1.2.1. Ecuacin del Movimiento Transversal de la Barra con Vibracin Forzada
),( tx para un Extremo Fijo
Se va a resolver a continuacin el caso concreto de una barra en voladizo sometida a la
accin de una fuerza externa puntual )(),( tPtx , situada a una distancia d de la barra o
viga, tal como muestra la figura 7(a)
Figura 7(a). Diagrama de la Ubicacin de la Fuerza ForzadaP(t) .
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
35/164
35
La ecuacin que gobierna las vibraciones transversales forzadas en vigas o barras
viene dada por la ecuacin (16)
02
2
4
4
=t
IY
S+
x
Z
En este caso en concreto, las propiedades geomtricas de la viga como las propiedades del
material se han supuestos constantes, por lo que la ecuacin (16) toma la forma
d)(xP(t)=(x)P(t)=x
IY+
t
S
dZ
4
4
2
2
(64)
Al tratarse de una carga puntual, tambin se ha recurrido al uso del delta de Dirac,
(x)d , porque la fuerza P(t)est situada a una distancia d=x . Las condiciones de
contorno para la barra en voladizo son
0),0( t , 0),0(' t , 0),(" tL , 0),('" tL . (65)
que suponen desplazamiento y giros nulos en el extremo empotrado, momento y esfuerzo
cortante nulos en el extremo libre.
Las condiciones iniciales seguirn siendo, por simplicidad y lo que muestra las
barras, nulas
0,0 =f(x)=)(x , 0,0 =g(x)=)(x'
Aplicando de nuevo el mtodo de separacin de variables descrito anteriormente, se
definen
(t)(x)=t)(x, j=j
j
1
y (t)(x)x=t)(x, i=i
i
1
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
36/164
36
transformando las condiciones de contorno de la ecuacin (65)
0)0( j , 0)0('
j , 0)("
Lj , 0)('"
Lj (66)
Partiendo de la ecuacin (64), se obtiene la siguiente expresin
Ld
L
Z dxxtPdxx
IYt
S00 4
4
2
2
)()(][
sustituyendo por los valores dadas por las ecuaciones (50) y (51), se encuentra la expresin
siguiente
1
0
""
1 10
)()(][i
L
iidijijZji
i j
L
j dxxtPdxIYS (67)
la integral L
ij dx0
"" , se resuelve usando integral por partes
dxdnn ii'
'"""
jj hdxdh
por lo tanto
L
ij
L
ji
L
ij dxdx0
''"
0
'"
0
""
y nuevamente, integrando por partes
dxdnn ii "'
"'"
jj hdxdh
se obtiene finalmente
L
ij
L
ji
L
ji
L
ij dxdx0
""
0
"'
0
'"
0
""
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
37/164
37
Simplificando la expresin anterior debido a las condiciones de contorno dado por
la ecuacin (66), resulta como solucin final a la integral
L
ij
L
ij dxdx0
""
0
""
que sustituida en la ecuacin (67) permite obtener
1
0
""
1 10
)()(][i
L
iidijijZji
i j
L
j dxxtPdxIYS
0}])()([{ ""
1 10
iidjijZji
i j
Lj dxxtPIYS
aplicando las propiedades de ortogonalidad a las funciones se tiene
1
0 00
2"2 0])()()()([i
L L
iid
L
iiZii dxxtPdxIYdxS
0])()([02
2
1
Liidiii
i
i dxxtPdtdm
donde los valores de im y i , estn evaluados por la ecuacin (57). Como los
desplazamientos virtuales se definen linealmente independientes, se puede escribir
022
=dx(x)P(t)+
td
dm idiiii
dx(x)P(t)=+tdd
m idiiii 2
2
Aplicando las propiedades de la delta de Dirac, a la ecuacin anterior, se obtiene
finalmente la expresin de la ecuacin diferencial ordinaria de segundo orden
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
38/164
38
)()(2
2
dtPtd
dm jjj
j
j
(68)
Una vez ms, la solucin a esta ecuacin viene dada por la integral de Duhamel
[10]
dtsendPm
tBtsenB jt
j
jj
jjjjj ])([)()(1
)(cos)(0
21 (69)
las frecuencias angulares j son los valores de la ecuacin (39), valores evaluados para
vibraciones libres.
Para este caso, se tuvo que las condiciones iniciales eran nulas, por lo
tanto 0)()( xgxf , y eso hace que
021 jj BB
por lo que la ecuacin (69), solo tiene la forma
tsendPm
j
t
j
jj
j ])([)()(
1
0 (70)
Si consideramos que la fuerza forzada )0 tsen(P=P(t)=t)(x, ( , frecuencia
angular externa) por lo que se tendr que desarrollar la ecuacin (70) para esta carga en
concreto, por lo tanto
tsedsenPm
j
t
j
jj
])([)()(1
00
integrando por partes se obtiene
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
39/164
39
1
])([)()(
0
0
I
j
t
jj
j
j tsensenm
dP
(i)
La integral 1I
se resuelve mediante la integracin por partesdnsenn )co)(
j
j
j
thdtsendh
([co)]([
Por lo tanto
t
j
jt
j
j ttsen
001 c
])([cos])([cos)(
2
001 c])([cos])([cos
)(
I
t
j
j
t
j
jt
tsenI
La integral 2I , tambin se resuelve mediante integracin por partes
sednn )()cos(
j
j
j
tsehdtdh
([)]([cos
quedando
t
j
jt
j
js
tsentsen
002 (
])([])([)cos(
1
002 (])([])([
)cos(
I
t
j
j
t
j
jstsen
tsenI
02
])([
)cos(
tsen
I j
t
j
j
001 ()])([)cos
(])([cos
)(tset
senj
t
j
j
j
t
j
j
2
0
1
)(1
)])([)cos(
(])([cos
)(
j
j
j
j
t
j
j tsent
sen
I
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
40/164
40
Sustituyendo en la ecuacin (i), se obtiene
)(
()([)()(
22
0
j
jj
jj
j
j
setsen
m
dPt
(71)
Evaluando en la ecuacin (50), se encuentra la solucin general
))(
)()([)((),(1
22
0 tsetsen
m
dPtxj
j
j
jj
jj
j
(72)
1.2.2 Ecuacin del Movimiento Transversal de la Barra con Vibracin Forzada
),( tx para los dos Extremos Fijos
Figura 7(b). Diagrama de Vibracin de la Barra Empotrada y el Punto de la Fuerza
Forzada.
Para este caso, las propiedades geomtricas de la viga como las propiedades del
material se han supuestos constantes, por lo que la ecuacin (16) toma la forma
)()()()(4
4
2
2
dxtPxtPx
IYt
S dZ
(73)
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
41/164
41
Usando las propiedades del delta de Dirac, )(xd . Las condiciones de contorno
para la viga o barra empotrada en los dos extremos
0),0( t , 0),0 L , 0),0(' t , 0),(' tL (74)
Las condiciones iniciales seguirn siendo las mismas
0)()0,( xfx , 0)()0,( xgx (75)
Las expresiones se definen
)()(),(1
txtx jj
j
y )()(),(
1txtx i
i
i
transformando las condiciones de contorno de la ecuacin (74)
0)0( j , 0)( Lj , 0)0('
j , 0)('
Lj (76)
Partiendo de la ecuacin (73), se obtiene la siguiente expresin
L
d
L
Z dxxtPdxx
IYt
S00 4
4
2
2
)()(][
sustituyendo por las ecuaciones (50) y (51), se encuentra la expresin siguiente
1
0
""
1 10
)()(][i
L
iidijijZji
i j
L
j dxxtPdxIYS (77)
la integral L
ij dx0
"" , se resuelve usando integral por partes
dxdnn ii'
'"""
jj hdxdh
por lo tanto
L
ij
L
ji
L
ij dxdx0
''"
0
'"
0
""
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
42/164
42
y nuevamente, integrando por partes
dxdnn ii"'
"'"
jj
hdxdh
se obtiene finalmente
L
ij
L
ji
L
ji
L
ij dxdx0
""
0
"'
0
'"
0
""
Simplificando la expresin anterior debido a las condiciones de contorno dado por
la ecuacin (76), resulta como solucin final a la integral
L
ij
L
ij dxdx0
""
0
""
que sustituida en la ecuacin (77) permite obtener
1
0
""
1 10
)()(][i
L
iidijijZji
i j
L
j dxxtPdxIYS
0}])()([{ ""
1 10
iidjijZji
i j
L
j dxxtPIYS
Como se observa el procedimiento es el mismo que en el caso anterior, y como
estamos considerando las mismas condiciones iniciales (75), los resultados van a ser los
mismos. La solucin general para una barra empotrada en sus dos extremos viene dada por
)())(
)]()([)((),(
122
0x
tsentsen
m
dPtx
j
j
j
jj
jj
j
(78)
En general todas las estructuras vibran con frecuencias y j pero con ecuaciones
parecidas a las ecuaciones 72 y 78 y estas se deben construir de acuerdo a sus
caractersticas fsicas y geomtricas.
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
43/164
43
1.3. VIBRACIONES EN CONCRETO
Existen varias formas de usar el concreto en estructuras, tal como muestra la figura
8. En el concreto armado convencional se proporciona resistencia a la traccin a loselementos estructurales colocandoacero de refuerzo (pasivo) en las zonas de los elementos
estructurales donde pueden aparecer tracciones. Esta forma de proporcionar resistencia a la
traccin puede garantizar una resistencia poco adecuada al elemento y presenta el
inconveniente de no impedir elagrietamiento del hormign para ciertos niveles de carga.
En el concreto pretensado, se coloca acero tensado (activo) que precomprime el hormign,
permitiendo as que los elementos estructurales tengan una gran resistencia a la traccin
con la ventaja de impedir en agrietamiento del hormign [11].
Figura 8. Forma de Concreto Armado, Construida y Analizada en este Trabajo
1.3.1 Vibraciones en Concreto Armado[12]
Para modelar las caractersticas estructurales de la viga de Concreto Armado, la
ecuacin de Euler Bernoulli ha sido adaptada. Esta asume que las secciones planas
permanecen planas y perpendiculares al eje de la viga despus de la deformacin. Un
segmento infinitesimal de la viga est representado en la figura 9, donde u es el
desplazamiento transversal, M es el momento de flexin, V es la fuerza de corte y q es la
https://es.wikipedia.org/wiki/Acero_de_refuerzohttps://es.wikipedia.org/wiki/Grietahttps://es.wikipedia.org/wiki/Grietahttps://es.wikipedia.org/wiki/Acero_de_refuerzo7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
44/164
44
carga transversal distribuida. Todas estas cantidades son funciones del eje x y tiempo t.
La ecuacin de Euler Bernoulli adaptada para el concreto armado viene dado por
2
2
2
2
t
uuqx
M
(79)
)(M
KTanhMM (80)
K: flexin inicial de la viga (x=L), M : momento de flexin final de la viga (x=0)
Figura 9. Esquema del Momento de Flexin en una Viga de Concreto Armado
1.3.2 Vibraciones en Concreto Pretensado[13]
Considerando una viga pretensada que tiene una carga distribuida no uniforme a lo
largo de la viga, las vibraciones libres descritas por la ecuacin de Euler Bernoulli
adaptada para concreto pretensado, viene dado por
02
2
2
2
4
4
xN
tm
xIY Z
(81)
N : Pretensado, parmetro que caracteriza al fierro colocado en el concreto.
m : masa por unidad de longitud de la viga
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
45/164
45
1.4 REPRESENTACIN DE FOURIER[14]
Existen cuatro representaciones distintas de Fourier, cada una aplicable a diferentes
tipos de seales. Estas cuatro clases estn definidas por las propiedades de periodicidad deuna seal y si el tiempo es de tipo contnuo o discreto. Las seales peridicas tienen
representacin en series de Fourier. La Serie de Fourier (FS) aplica a seales peridicas de
tiempo contnuo (figura 10) mientras que la Serie Discreta de Fourier (DTFS) aplica a
seales peridicas de tiempo discreto (figura 11). Las seales no peridicas tienen
representacin en forma de transformada. Si la seal es contnua en el tiempo y no
peridica, la representacin es llamada Transformada de Fourier (FT), figura 12. Si la
seal es discreta en el tiempo y no peridica entonces la representacin usada es latransformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT).
1.4.1 Seales Peridicas
1.4.1.1 Series de Fourier (FS)
La Serie de Fourier (FS) de una funcin peridica )(tf de periodo T , definida enun intervalo ],[ Tdd con longitud T , est dada por:
T
tni
n eCtf2
)(
(82)
dtetfT
CTd
d
T
tni
n
2
)(1
, ComplejosCn (83)
Figura 10. Grafica de una Funcin Peridica.
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
46/164
46
1.4.1.2 Serie Discreta de Fourier (DTFS)
Sea una seal peridica, )(tf , de periodo T . Tomamos Nvalores discretos de )(tf en
cada periodo, separados t . Se cumple entonces que tNT . Cualquier funcin
peridica discreta de periodo tNT se puede descomponer como:
N
n
n
kni
eCtk
21
0
)(
(84)
N
k
n
ni
etkfN
C
21
0
)(1
(85)
Figura 11. Grafica de una Funcin Peridica Discreta
1.4.2 Seales no Peridicas
1.4.2.1 Transformada de Fourier (FT)
La Transformada de Fourier y la Transformada Inversa de Fourier para una funcinno peridica h(t) se define mediante:
Figura 12. Grafica de una Funcin no Peridica
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
47/164
47
dtethH ti
)(2
1)( (86)
deHth ti
)()( (87)
El factor2
1, nosotros lo hemos asignado a )(H , pero tambin lo podamos haber
asignado a )(th . De hecho, no existe una solucin consensuada para este problema, y nos
podemos encontrar las siguientes definiciones para la transformada de Fourier:
dtethH ti
)(21)( deHth ti
)()( (88)
dtethH ti
)()(
deHth ti
)(
2
1)( (89)
dtethH ti
)(2
1)(
deHth ti
)(
2
1)( (90)
dtethfH tfi
2)()( dfefHth tfi
2)()( (91)
1.4.2.2 Transformada discreta de Fourier (DTFT)
Sea una seal no peridica, )( tkh , tomamos Nvalores discretos de h ,
separados t . La Transformada de Fourier y la Transformada Inversa de Fourier para una
funcin no peridica, en tiempo discreto (Discrete Time Fourier Transform, DTFT) se
definen
tkiN
k
etkhH
1
0
)()( (92)
deHt
tkh t tki
2
0)(
2)( (93)
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
48/164
48
1.4.2.3. Transformada Rpida de Fourier (FFT)
FFTes la abreviatura usual (del ingls Fast Fourier Transform) de un eficiente
algoritmo que permite calcular la transformada de Fourier discreta (DTFT) y su inversa.
La FFT es de gran importancia en una amplia variedad de aplicaciones, desde el
tratamiento digital de seales y filtrado digital en general a la resolucin deecuaciones en
derivadas parciales o los algoritmos de multiplicacin rpida de grandes enteros. El
algoritmopone algunas limitaciones en la seal y en el espectro resultante
1.5 MTODO PARA EVALUAR EL MDULO DE ELASTICIDAD DELCONCRETO [15]
1.5.1 Teora de la Elasticidad
Si un material es sometido a traccin, es decir si el mismo es solicitado desde sus
extremos en direcciones opuestas, de modo similar a como se ilustra en la Figura 13(a), la
longitud del mismo aumenta y eventualmente, si la fuerza es grande, el material puederomperse. En esta seccin estudiaremos la conexin entre los efectos de las fuerzas y las
deformaciones que las mismas causan sobre una muestra de material. Si una muestra
cilndrica de material, de seccin transversal A , y longitud inicial 0L es sometida a
traccin, mediante una fuerza Fque acta a lo largo de su eje, la misma sufrir un
estiramiento de magnitud L . Si 10
L
L, se encuentra experimentalmente que para un
rango limitado de las fuerzas aplicadas, L es proporcional a la fuerza aplicada F , a sulongitud original 0L e inversamente proporcional al rea de su seccin transversal A , es
decir:
A
LFCTEL 0
http://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier_discretahttp://es.wikipedia.org/wiki/Procesamiento_digital_de_se%C3%B1aleshttp://es.wikipedia.org/wiki/Filtro_digitalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parcialeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parcialeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmohttp://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmohttp://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmohttp://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmohttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parcialeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parcialeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Filtro_digitalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Procesamiento_digital_de_se%C3%B1aleshttp://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier_discreta7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
49/164
49
Figura 13(a). Esquema de la Aplicacin de la Elasticidad
Esta relacin la not primero Robert Hooke (1635-1703), un contemporneo y rival
de Newton. Esta expresin fenomenolgica, vlida para una gran variedad de materiales,pero no de carcter universal (como las leyes de Newton o las Ecuaciones de Maxwell), se
puede escribir como:
A
F
L
LY
0
(94)
donde Yes una constante caracterstica del material que forma el objeto y que se
denomina mdulo de Young o mdulo de elasticidad, al modulo de elasticidad tambin se
suele designar con la letra E.
En rigor esta relacin solo vale en la llamada zona de comportamiento elstico
(Figura 13(b)). El cocienteA
Fse denomina esfuerzo (stress) y se denota con la letra ,
sus unidades son las mismas que las de presin (Pa). Al cociente0L
Lse lo denomina
deformacin unitaria (strain) y se la denota con la letra , esta magnitud es adimensional
(no tiene unidades).
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
50/164
50
Figura 13(b). Esquema del Comportamiento Elstico de los Materiales
1.5.2. Alcance de la Norma ASTM C-469
Desde su fundacin en 1902, ASTM International (American Society for Testing
Materials) es una de las organizaciones internacionales de desarrollo de normas ms
grandes del mundo. En ASTM se renen productores, usuarios y consumidores, entre
otros, de todo el mundo, para crear normas de consenso voluntarias. Las normas de ASTMse crean usando un procedimiento que adopta los principios del Convenio de barreras
tcnicas al comercio de la Organizacin Mundial del Comercio (World Trade Organization
Technical Barriers to Trade Agreement). El proceso de creacin de normas de ASTM es
abierto y transparente; lo que permite que tanto individuos como gobiernos participen
directamente, y como iguales, en una decisin global consensuada. Esta es esencialmente
equivalente a la norma ASTM C469-02 (*).
Este mtodo (*) cubre la determinacin del mdulo de elasticidad (Mdulo de
Young), y la relacin de Poisson en cilindros de concreto y ncleos de concreto
bajo esfuerzos de compresin longitudinal.
Los valores indicados en unidades SI se toman como estndar.
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
51/164
51
1.5.3 Equipo
1.5.3.1 Mquina de Ensayo
Usar una mquina de ensayo capaz de aplicar una carga a la velocidad y a la
magnitud prescritas. La mquina de ensayo debe conformarse a los requisitos de la Prctica
E 4 (documento de referencia para la prctica de la verificacin de fuerzas en las maquinas
de ensayo - seccin de mquinas de ensayo tipo CRT de velocidad constante). El cabezal
esfrico y los bloques de apoyo deben cumplir con la seccin 5 de equipo (Numeral 5.2)
del mtodo de ensayo C39 /C 39M (mtodo de ensayo para la determinacin de la
resistencia a la compresin de especmenes cilndricos de concreto) ver figura 14.
Figura 14. Ensayo para Hallar el Modulo de Young del Concreto del Laboratorio de
Ensayos de Materiales (LEM-FIC-UNI)
1.5.3.2 Compresmetro
Para determinar el mdulo de elasticidad usar un dispositivo sensor adherido o no
adherido que mida con una aproximacin de 5 millonsimas, la deformacin promedio en
dos lneas de base diametralmente opuestas, cada una paralela al eje axial y centrada cerca
de la mitad de la altura del espcimen.
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
52/164
52
La longitud efectiva de cada lnea base no debe ser menor que tres veces el tamao
mximo del agregado en el concreto, ni mayor que dos tercios de la altura del espcimen.
Se usa deformmetros con puntos de medida que pueden estar fijados (no adheridos) o
cementados (adheridos) al espcimen y que puedan leer de manera independiente la
deformacin en las dos lneas de base; o se puede usar un compresmetro (como el que se
observa en la Figura 15) constituido por dos anillos, uno de los cuales (ver B Figura 15)
est fijado rgidamente al espcimen y el otro (ver C Figura 15) est fijado en dos puntos
diametralmente opuestos de manera que tenga libertad de rotacin.
Figura 15. Compresmetro utilizado en el laboratorio (Laboratorio de Ensayos de
Materiales de la Facultad de Ingenieria Civil (UNI) - LEM)
En un punto de la circunferencia del anillo rotativo (c), a la mitad de los dos puntos
de soporte, usar una barra pivote (ver A Figura 15) para mantener una distancia constanteentre los dos anillos.
1.5.3.3 Especmenes de Ensayo
Los especmenes deben ser cilndricos moldeados,para moldear los cilindros de
acuerdo con los requerimientos para la elaboracin de especmenes ensayados a
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
53/164
53
compresin en la Prctica C 192/C 192M, o en la Prctica C 31/C 31M (practica
estndar para la fabricacin y curado de especmenes de ensayo de concreto en el
laboratorio o en obra respectivamente). Los especmenes deben someterse a las
condiciones de curado normalizado especificadas y ser ensayados a la edad para la
cual se desea la informacin del mdulo de elasticidad. Los especmenes se deben
ensayar una hora despus de ser removidos del cuarto de o tanque de curado. Los
especmenes removidos del cuarto o tanque de curado para su ensayo se deben
mantener hmedos, cubrindolos con una lona mojada durante el intervalo de
tiempo entre su remocin del curado y la realizacin del ensayo, ver figura 16.
Los extremos de los especmenes de ensayo deben de ser perpendiculares a su eje
(+/- 0.5) y planos dentro de 0.005 mm (0.0002 pulg.). Si el espcimen no cumple
con los requisitos de planicidad, se debe de efectuar su nivelacin con un
encabezado de acuerdo con la Prctica C 617 (Prctica para el cabeceo de
especmenes cilndricos de concreto), o por medio de pulido o esmerilado. Se
permite reparar los vacos de agregados que ocurren en los extremos de los
especmenes, procurando que el rea total de los vacos no exceda el 10% del rea
del espcimen y las reparaciones se hagan antes de completar el encabezado oesmerilado. La nivelacin se debe de considerar dentro de la tolerancia de 0.05 mm
(0.002 pulg.) cuando una lmina calibradora no pase entre las superficies de los
especmenes, y una regla metlica recta sostenida contra la superficie.
Figura 16. Muestra del Prototipo de las Probetas para su Ensayo.
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
54/164
54
1.5.4 Ecuacin de Elasticidad Segn la Norma ASTM C-469
0.0(/)( 212 E (95)
E : Mdulo de elasticidad, en libra-fuerza por pulgada cuadrada.
2 : Esfuerzo correspondiente al 40 % de la carga ltima.
1 : Esfuerzo correspondiente a la deformacin unitaria longitudinal,
1 , de 50
millonsimas.
2 : Deformacin unitaria longitudinal producida por el esfuerzo 2 .
1.6 METODOS UTILIZADOS PARA TRATAR VIBRACIONES COMO SEALES
Y EVALUAR FRECUENCIAS [16]
Cuando un objeto cambia u oscilan sus puntos respecto a su posicin de equilibrio
se le conoce como vibracin. Esta se puede estudiar como las oscilaciones mecnicas en un
sistema dinmico. A travs de transductores de oscilaciones se transforman las vibracionesen seales elctricas. Un ejemplo son los acelermetros y el mtodo LPD. Los
transductores son capaces de medir la velocidad lineal, desplazamiento y aceleracin en
sistemas sometidos a vibracin. A grandes rasgos estos reciben una seal mecnica que
convierten en elctrica, la cual se encuentra en funcin de la vibracin. Pueden estar
conectados a un sistema de registro de datos o funcionar independientemente.
1.6.1 LPD (Laser Photodeflection)[17][18]
El mtodo se basa en el mtodo espectroscpico PDS (Photo Deflection
Espectroscopy) desarrollado en el laboratorio de ptica (Facultad de Ciencias, UNI) para
evaluaciones del coeficiente de absorcin de muestras semiconductoras. El mtodo PDS se
basa en la desviacin que sufre un rayo Laser dirigido sobre la superficie de la muestra
(por ejemplo, un semiconductor) cuando una muestra es irradiada superficialmente con una
luz monocromtica modulada, si la radiacin es absorbida por el material esto produce en
su superficie un microcalentamiento lo que desva el rayo por efecto mirage, siendo
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
55/164
55
detectada la desviacin por un detector ptico sincronizado (Tcnica Lockin) produciendo
una seal proporcional al grado de desviacin, o respectivamente cuanto mayor sea el
poder de absorcin de la muestra.
El mtodo LPD constituye una variante del mtodo PDS, ya que en este caso no se
va a producir el calentamiento de la superficie sino que sta se va hacer vibrar
directamente, con lo cual, cualquier vibracin de la estructura alterar el camino del rayo
reflejado, induciendo as una seal en el sistema de deteccin.
El mtodo LPD para medir vibraciones consiste en colocar en algn punto de la
estructura un dispositivo lser que experimenta un desplazamientoen su reflexin sobrela estructura en la direccin que la estructura est vibrando, este cambio de la reflexin es
recibido por el fotodetector, que transforma el desplazamiento de la luz que llega sobre
ella en seal de voltaje, figura17
Figura 17. Diagrama de la Desviacin que Experimenta el Rayo Laser Reflejado
La figura 18 muestra la curva de calibracin de la respuesta en mV de la seal y el
desplazamiento lateral en mm, que experimenta el laser sobre la muestra.
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
56/164
56
Figura 18. Dependencia del Desplazamiento Lateral del Laser y su Respuesta en mV en el
Detector
Las seales son procesadas y guardadas en la PC en formato de sonido con
aproximadamente 480 datos por centsimo de segundo mediante el programa NeroWave,
como muestra la figura 19. Las medidas de las seales son grabadas por un cierto tiempo,
la estructura es excitada por la vibracin de los parlantes o por la vibracin producida porel ambiente natural.
Figura 19. Espectro Guardado por el Programa Nero Wave
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
57/164
57
Estos datos luego son importados por el programa Origin Pro, donde se hace su
Transformada de Fourier (FFT), obtenindose un espectro como muestra la figura 20, de
Amplitud (U.A) versus Frecuencias (Hz).
Figura 20. El FFT de una Seal Usando el Programa Origin Pro, con una Seal de
Vibracin de 90.2 Hz.
1.6.2 ACELERMETROS
1.6.2.1. Acelermetro
El trmino acelermetro es aplicado en la recepcin cuyas salidas de datos estn en
funcin de la aceleracin. Ahora bien un acelermetro mide la aceleracin de un objeto al
que va unido y lo hace respecto de una masa inercial interna.
Figura 21. Diferentes Tipos de Acelermetro (marca Honeywell)
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
58/164
58
1.6.2.2. Principio de Funcionamiento [19] [20]
La medicin de aceleracin puede realizarse midiendo la fuerza necesaria para
acelerar un objeto de masa conocida, para lo cual a su vez bastar medir la deflexin de un
dinammetro que sostiene a dicha masa. El modelo mecnico correspondiente a esta idea y
se muestra en la figura 22.
Figura 22.Modelo Fsico del Funcionamiento de los Acelermetros Integrados
La disposicin muestra un objeto vibrante cuya aceleracin se desea medir. Sobre
este mismo est montado el dispositivo de medicin formado por una masa m y un
resorte con constante elstica k. Lo que se desea medir es la derivada segunda deldesplazamiento del objeto vibrante, es decir
)()( txta
Para ello se medir en realidad la deformacin )()( tytx del resorte, ya que no es
sencillo medir directamente la aceleracin respecto a un sistema inercial. Buscaremos, por
lo tanto, una relacin entre esta deformacin y la aceleracin )(ta . Llamando f a la
fuerza aplicada por el resorte a la masa m , tenemos:
)()]()([ tymtytxkf (96)
de donde se obtiene
)()()( txktyktym (97)
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
59/164
59
Aplicando la transformacin de Laplace (suponiendo condiciones iniciales nulas), se
obtiene
22 )(1
)(
1
)()(
o
s
sX
sk
m
sXsY
(98)
m
ko
La frecuencia natural o frecuencia de resonancia del sistema. De aqu podemos
obtener, segn
)(
)(1
1
)(1
)()(
)()(2
2
0
2
2
0 sAss
ssX
sYSX
oo
(99)
donde )(sA es la transformada de la aceleracin buscada. Esta ecuacin muestra que muy
por debajo de la resonancia, es decir para 0 , la deformacin del resorte es
aproximadamente proporcional a la aceleracin, es decir
)(1
)()(2
0
tatytx
(100)
Existen varios tipos de acelermetros posibles para resolverlo. Entre ellos tenemos:
PIEZOELECTRICOS
PIEZORESISTIVOS
TERMICO
CONDENSADOR
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
60/164
60
Los microtremor hacen sus evaluaciones en tres direcciones, que podemos
relacionarlos con los ejes XYZ. Los datos son guardados por el software incorporado a la
PC tal como muestra la figura 23.
Figura 23. Seal Adquirida por el Microtremor
Luego la seal es procesada realizando sobre ellas la FFT para encontrar las
frecuencias de la estructura, que por lo general se da en unidades de aceleracin (m/s 2)
versus frecuencia (Hz).
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
61/164
61
2. TCNICAS EXPERIMENTALES
2.1 METODO LPD
Para medir las vibraciones desde los inicios de la aplicacin del mtodo LPD [5][6], se
utilizaron los siguientes equipos:
a) Un parlante y un generador de ondas con frecuencia variable
b) Una fotocelda (fotodetector)
c) Una PC el cual tiene un sistema de interfase.
d) Un Lser
Figura 24. Equipos Usados para Medir Vibraciones por el Mtodo LPD
Figura 25. Disposicin de los Equipos para Medir Frecuencias en la Barra Empotrada en
sus Dos Extremos con el Mtodo LPD
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
62/164
62
Figura 26. Disposicin de los Equipos para Medir Frecuencias en la Barra Empotrada en
un Extremo con el Mtodo LPD
Figura 27. Disposicin de los Equipos para Medir Frecuencias en la Viga Empotrada en sus Dos
Extremos con el Mtodo LPD
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
63/164
63
Existen tres tcnicas para evaluar las frecuencias de los modos naturales de las
estructuras evaluadas usando el mtodo LPD, los resultados al aplicar las tcnicas estn de
acuerdo a las ecuaciones 72, 78 y en general a las propiedades de vibracin en cualquier
estructura. Una de las tcnicas est caracterizada por excitar la estructura con las
vibraciones producidas por el medio ambiente, tcnica que la conoceremos como la de
vibracin con el medio ambiente.Otra tcnica consiste en hacer vibrar la estructura con
una frecuencia variable , tcnica que la conoceremos como la del parlante de
frecuencia variable. La ltima de las tcnicas consiste en hacer vibrar la estructura con
una frecuencia de valor muy cercano a algunas de las frecuencias de un modo natural
de vibracin j (cuando j ), tcnica que la conoceremos como la resonancia.
Cuando se analiza con un parlante con frecuencia variable como fuente de
vibracin de las estructuras, la tcnica usada nos dice que se debe grabar por un tiempo
corto cada vibracin generada por la frecuencia del parlante y esta frecuencia es variada
generalmente en 0.2 Hz, se hace el FFT para cada intervalo y se anota del espectro FFT el
valor de la amplitud y la frecuencia cercana a la frecuencia sometida a la estructura en
ese intervalo de grabacin. Se grafica estos datos notndose, que para una frecuencia
propia de la estructura se produce el efecto de resonancia resultado que describe la
ecuacin (72) y (78), donde la frecuencia natural de la estructura es el valor mximo, como
muestra la figura 28A.
Figura 28A. Frecuencia del Modo de Vibracin en la Estructura igual a 126.12 Hz
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
64/164
64
Cuando se analiza por la tcnica de la resonancia, se obtiene por lo general
algunas frecuencias suma de los modos j y la frecuencia de vibracin (de acuerdo
con la ecuacin 72, 78 y en general con la propiedad de vibracin de cualquier estructura
sometida a una frecuencia de vibracin ) de amplitud considerable cuyos valores son las
de un modo de vibracin. En la figura 28B, se muestra el resultado de hacer vibrar una
estructura con una frecuencia igual a 28.5 Hz, obtenindose un frecuencia natural de
vibracin de 28 Hz.
Figura 28B. Frecuencias Obtenidas por Resonancia Debido a una Frecuencia Igual a 28.5
Hz
En el mtodo LPD para encontrar las frecuencias naturales de vibracin, se deja
que el medio ambiente excite la estructura, dentro de un tiempo determinado. Aqu se
obtiene muchas frecuencias pues el medio ambiente enva varias frecuencias y los
resultados estn de acuerdo con la ecuacin 72, 78 y en general en concordancia con la
propiedad de vibracin de cualquier estructura. Para encontrar las frecuencias resultantesse anota todas aquellas frecuencias de amplitud considerable que se repiten en la mayor
parte de la grabacin, y el valor de la frecuencia resultante es el promedio de las
frecuencias anotadas. En la figura 29A se muestra las frecuencias calculadas en un tiempo
de grabacin de 20:00 a 30:00 minutos obtenindose las frecuencias iguales a 10.36 Hz,
22.79 Hz, 37.42 Hz, 61.93 Hz y 82.01 Hz.
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
65/164
65
Figura 29A. Relacin de Tiempo Evaluado y Frecuencias Obtenidas, cuando la Fuente
Excitacin es el Medio Ambiente
Para encontrar las frecuencias del modo de vibracin de una estructura se debe
considerar solo aquellas frecuencias de gran amplitud que se repiten en la mayor parte dela grabacin, como muestra la figura 29B donde el valor de 9.90 Hz es un modo de
vibracin despus de comprobar que est presente en la mayor parte de la grabacin.
Figura 28B. Frecuencias Evaluadas con Vibracin Hecha por el Medio Ambiente
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
66/164
66
2.2 MICROTREMOR
Los equipos utilizados con este metodo (figuras 30, 31 y 32)
-Microtremor, con serie N 00105-200 CR-4.5-1, distribuido por Tokyo Soil Research Co.
Ltd, con un peso de 1.566 Kg.
-PC, con un software incorporado para guardar y procesar los datos evaluados.
Figura 30. Disposicin de los Equipos para Evaluar las Frecuencias en la Barra Empotradaen sus Dos Extremos con el Microtremor
Figura 31. Disposicin de los Equipos para Evaluar las Frecuencias en la Barra Empotrada
en un Extremo con el Microtremor
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
67/164
67
Figura 32. Disposicin de los Equipos para Evaluar las Frecuencias en la Viga Empotrada
en sus Dos Extremos con el Microtremor
La tcnica utilizada en este mtodo, consiste en evaluar simultneamente el
microtremor sobre la estructura y otro sobre el suelo, para determinar cul era la
frecuencia en la estructura y cul fue la que estaba en el suelo. La figura 33 muestra un
ejemplo, dos lecturas de microtremor y la tercera seal es la del suelo.
Figura 33. Espectro generado por tres Microtremor
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
68/164
68
3. RESULTADOS
3.1 PARAMETROS FISICOS DE LA BARRA
Datos proporcionados por la Empresa BOHLER (Luis Castro Ronceros 777- altura
cuadra 20 Av. ArgentinaLima), donde se compro 2.5 metros de Acero con cdigo V320.
Tabla 2. Parmetros Fsicos de la Barra Utilizada con Cdigo V320
Acero BOHLER V320
Physikalische Eigenschaften Physical properties
Dichte bei /
Density at ............................................20C ....................7,85 .........kg/dm3
Wrmeleitfhigkeit bei /
Thermal conductivity at .......................20C ....................42,0 .........W/(m.K)
Spezifische Wrme bei /
Specific heat at ...................................20C ....................460 ..........J/(kg.K)
Spez. elektr. Widerstand bei /
Electrical resistivity at...........................20C ....................0,19 .........Ohm.mm2/m
Elastizittsmodul bei /
Modulus of elasticity at ........................20C ....................210 x 103.N/mm2
3.2 PARAMETROS FISICOS DE LOS MATERIALES USADOS EN LA VIGA
3.2.1 Concreto
(Evaluado en el Laboratorio N 12 de Ensayo de Materiales UNI FIC)
Para evaluar la densidad del concreto se confecciono 4 probetas, con cdigos MM1,
MM2, MM3 Y MM4. A cada uno de ellos se evalu su largo, dimetro y por ultimo su
peso. Las probetas se muestran en la figura 34.
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
69/164
69
Figura 34. Probetas Fabricadas con el Concreto Usado en la Viga
En la tabla 3 se muestran los datos evaluados obteniendo una densidad promedio
Tabla 3. Dimensiones y Masa de las Probetas Ensayadas
3/57.2365 mKgpro medio
Al evaluar el modulo de elasticidad del concreto utilizado (modulo de Young) en la
ecuacin proporcionada por la Norma ASTM C-469 (ecuaciones 94 y 95), se obtuvieronlos siguientes datos de tablas 4 y 5
CODIGO DIAMETRO
(cm)
ALTURA
(cm)
MASA
(Kg)
DENSIDAD
(Kg/m3
)
MM1 15.13 31.2 13.26 2363.86
MM2 15.11 30.8 13.31 2409.95
MM3 15.31 30.3 13.19 2364.62
MM4 15.37 30.8 13.28 2323.86
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
70/164
70
Tabla 4. Datos de La Probeta con Cdigo MM1
0L : 20.2 cm
RUPTURA:
49200 Kg-f
E= 249059 Kg-
f/cm2
Tabla 5. Datos de la Probeta con Cdigo MM2
0L : 20.2 cmRUPTURA:
50800 Kg-fE= 242084 Kg-
f/cm2
El modulo de elasticidad promedio obtenido es: 2/5.245571 cmfKgE .
MM1
FUERZA(Kg-f) DeformacinUnitaria (x 10
-4
pulgadas)
Deformacin Unitaria (x 10-4
pulgadas)
0 0 0
2000 6 5
4000 14 12
6000 21 19
8000 27 25
10000 35 33
12000 42 40
14000 49 48
16000 56 52
18000 63 62
20000 70 68
MM2
FUERZA(Kg-f)
DeformacinUnitaria (x 10
-4
pulgadas)
Deformacin Unitaria (x 10-4
pulgadas)
0 0 0
2000 5 5
4000 12 11
6000 19 18
8000 26 25
10000 33 32
12000 41 3914000 48 46
16000 55 53
18000 62 60
20000 69 70
22000 76 75
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
71/164
71
3.2.2 Parmetros Fsicos del Fierro Corrugado de Aceros Arequipa [21]
La fabricacin del fierro corrugado esta normada por los reglamentos ASTM A 615
Grado 60 y la Norma Tcnica Peruana NTP 341.031 2001. Estas normas establecen las
diversas caractersticas del producto entre las que podemos citar: el peso mtrico y su
variacin permisible, las corrugas su forma y su geometra.
Tabla 6. Medidas Fsicas de los Fierros Corrugados Aceros Arequipa
De los valores de la tabla anterior se encuentra
2926
/102.196/102 mNmKgE 3/7.7851 mKg
Dimetro = 6 mm
Denominacin
de la Barra
Norma Tcnica Peruana (N.T.P) 341.031 2001 Grado 60 o
American Standard for Testing and Materials (ASTM) A 615 Grado 60
Peso Mtrico Nominal (Kg/mm) Peso Mtrico Nominal Permitido
(-6 %) (Kg/mm)
6 mm 0.220 0.207
8 mm 0.395 0.371
3/8 0.560 0.526
12 mm 0.888 0.835
1/2 0.994 0.934
5/8 1.552 1.459
3/4 2.235 2.101
1 3.973 3.735
1 3/8 7.907 7.432
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
72/164
72
3.3 DIMENSIONES DE LAS BARRAS Y VIGA EVALUADA
3.3.1 Dimensiones de la Barra Empotrada en sus dos Extremos
Figura 35. Dimensiones de la Barra Empotrada en sus Dos Extremos
mL 694.1
mmdiametrod 7.20)(
2410801.3)( mxltransversaareaS
484
10150.12
mxradio
IZ
, de la Tabla 1
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
73/164
73
3.3.2 Dimensiones de la Barra Empotrada en un Extremo
Figura 36. Dimensiones de la Barra Empotrada en un Extremo.
mL 856.0
mmdiametrod 7.20)(
2410801.3)( mxltransversaareaS
484
10150.12
mxradio
IZ
, de la Tabla 1
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
74/164
74
3.3.3 Dimensiones de la Viga Empotrada en sus Dos Extremos
Figura 37. Dimensiones de la Viga Empotrada en sus Dos Extremos
Debemos mencionar que la viga tiene incorporado en su interior dos fierros deconstruccin corrugado de 6 mm de dimetro.
mL 77.1
cmalturahcmbaseb 5.10)(10)(
2410105)( mxltransversaareaS
483
106875.964
12
mxhb
IZ , de la Tabla 1
7/26/2019 ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLISIS DE VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS SIMPLES ANLI
75/164
75
3.4 FRECUENCIAS OBTENIDAS SEGN LA TEORIA
Al aplicar la solucin de la ecuacin (16) de Euler- Bernoulli se dejo de lado la
solucin de la ecuacin de Rayleigh (47) y la solucin de la ecuacin de Timoshenko
(48), por las siguientes razones [22][23]
Por lo sealado en la seccin 1.1.2 y 1.1.5, la dimensin de la longitud de la
estructuras construidas es alargada en comparacin a la dimensin de su rea
transversal
Considerando que la Viga Construida y las Barras utilizadas son bien regulares (la
viga fue construida por el LEM-FIC-UNI, la barra comprada en la empresa Bohler)
La fuente de excitacin es el medio ambiente y los parlantes , esta no genera una
rotacin del rea transversal a lo largo de la estructura (ecuacin de Rayleigh) ni
tampoco la seccin transversal en cualquier punto de la estructura deja de ser
perpendicular al eje de la barra (ecuacin de Ti