ANÁLISIS DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE UTILIZANDO EXCEL

ANÁLISIS DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE UTILIZANDO LA HOJA DE

CÁLULO

Autor: José A. Martínez Pons.

IES “Las Lagunas“ de Rivas Vaciamadrid.

Universidad Antonio Nebrija. Madrid

Resumen. La practica docente demuestra que el movimiento armónico simple es de dificil

compresión para los estudiantes de física al menos en sus primeros contactos con esta ciencia.

En la línea general de trabajo del autor, se propone una aplicación sencilla y elegante de la hoja

de cálculo que favorece su comprensión y análisis matemático.

Palabras clave: Movimiento armónico. Superposición. Figuras de Lissajous. Periodicidad.Hoja

de cálculo.

Abstract. The teaching practice demonstrates that the harmonic simple movement is of diffi-

cult compression for the students of physics at least in his first contacts with this science. In the

general line of work of the author, there is proposed a simple and elegant application of the

spreadsheet that favors his comprehension and mathematical analysis.

Key Words: Harmonic Movement. Superposition. Figures of Lissajous. Periodicity. Spread-

sheet.

2

INTRODUCCIÓN

En la línea de trabajo de usar el ordenador, entre otras cosas para mejorar la comprensión y

aplicación de los modelos matemáticos clásicos, se ha encontrado bastante provechoso el em-

pleo de la hoja de cálculo para el estudio del movimiento armónico simple.

No se pretende simular éste, ni por supuesto, sustituir el laboratorio clásico, imprescindible en

todo aprendizaje de la física que se pretenda serio, sino mediante un seguimiento punto a punto

o instante a instante, conseguir la comprensión de las ecuaciones que describen el fenómeno y

verificar su validez.

Dado el carácter activo que debe tener el alumno, la experiencia del autor parece poner de

manifiesto que mejora la significatividad del aprendizaje y la comprensión del modelo mate-

mático, mejor que los programas de simulación que existen en el mercado, no obstante la ma-

yor elegancia de estos ya que:

a) El estudiante programa el trabajo e interacciona con la herramienta iformática.

b) Es consciente de que está operando con un modelo matemático .

Las simulaciones por ordenador pensadas para los niveles a que se dirige esta trabajo, mu-

chas veces sacrifican el rigor y la precisión a la facilidad de programación y efectos gráficos

y son cajas negras, el estudiante no sabe por qué ocurre lo que ve en la pantalla.

FUNDAMENTO TEÓRICO.

Como es sabido, el movimiento armónico simple es aquel que responde a la ecuación

a kx= − Donde a representa la aceleración de la partícula , x su posición respecto al punto de

equilibrio y k es una constante esencialmente positiva.

El análisis de este movimiento , ya sea mediante la integración de la anterior ecuación diferen-

cial kxdt

xd −=2

2 ya mediante el estudio de un movimiento circular uniforme asociado, a mi

juicio más intuitiva y por tanto de mejor aplicación en Bachillerato, conduce a una posible

solución de la forma, x = A sen (ωt + Φ0) donde x representa la elongación, A la amplitud de

3

movimiento, ω=2π/T, la velocidad angular del movimiento circular asociado y T el periodo

común a ambos y Φ0 la fase inicial.

Derivando la expresión anterior, por ejemplo, se obtiene la ecuación de velocidad, v = Aωcos(ωt

+ Φ0) y derivando de nuevo, la aceleración a =- Aω2 sen(ωt + Φ0) =-ω2 x, es decir, k =ω2 de

donde Tk

= 2 1π

Detalles importantes pueden ser, por ejemplo, la necesidad del signo menos en la aceleración y

su no constancia con el tiempo y la correspondencia entre máximo de elongación y de acelera-

ción y ceros de estas magnitudes con máximo de velocidad y viceversa También se verifica la

necesidad de k > 0. Todo ello puede visualizarse de forma fácil con una hoja de cálculo así co-

mo experimentar modificaciones en los datos con respuesta numérica y gráfica inmediata y

siempre controlada por el alumno.

APLICACIÓN INFORMÁTICA.

Conocimientos básicos:

Manejo superficial de la hoja que se use. Este trabajo está enfocado a Excel, dada su difusión,

sin embargo, cualquier otra hoja, mutatis mutandis, sirve.( Martínez Pons, 1988)

Abierta la hoja nueva, se preparara la primera línea para introducir los parámetros fundamen-

tales. Es muy importante que se rotule la magnitud y la unidad en que viene expresada.

• Amplitud. A

• Periodo. T

• Ángulo de fase inicial. Φ0

Se recordará a los alumnos que la mayoría de hojas operan en radianes, que por otra parte es la

unidad natural de medida de ángulos. Ello requiere un pequeño esfuerzo en los estudiantes,

acostumbrados a manejar grados.

4

En Excel el número π de introduce como PI(). (Excel no es sensible a mayúscula/minúscula cuando se introducen

fórmulas, pero una vez las acepta las escribe siempre en mayúsculas, es buena práctica pues escribir las fórmulas en minúscula y

verificar que el programa las ha aceptado, precisamente por el cambio a mayúsculas)

PROBLEMA BASE

Se puede dar un doble enfoque al problema.

En el primero se partirá de la definición de movimiento armónico, a = -k x, siendo k una cons-

tante positiva. Lo que se está haciendo es una integración numérica, por lo que este procedi-

miento, el más sencillo e intuitivo puede que no sea adecuado para estudiantes de Bachillerato.

En el problema básico se dan como datos la amplitud y el valor de la constante y se asume que

cuando la amplitud es máxima la velocidad es cero, de modo que se tienen las dos condiciones

de contorno precisas.

La programación de la hoja es la siguiente.

En el encabezamiento se escriben las constantes, siempre con sus unidades.

Se programa la columna de tiempos. El incremento temporal , de momento se acepta provisio-

nalmente.

5

El primer valor de x copia el dato de entrada, con el se calcula la aceleración y la velocidad se

impone cero.

La segunda línea desarrolla el problema.

La velocidad se calcula de modo recurrente como

vn+1 = vn + an dt es decir C6 =C5+D5*$C$2

y la elongación

xn+1 = xn + vn dt es decir B6 = B5+C5*$C$2.

Como es obvio se está utilizando un método de Euler a punto final, que en estos casos es la más

ventajosa.( Cromer, 1981) ( Martínez Pons, 2002)

Se extiende la selección a unos cuatro mil puntos y se hacen las correspondientes graficas ( x,t )

; (v,t) ; (a,t) y (a,x) entonces se modifica el incremento temporal para conseguir unos seis pe-

riodos.

Es inmediato comprobar el carácter periódico de las valores de elongación posición y veloci-

dad, y sobre el propio gráfico se puede estimar esta periodicidad

Elongación

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500

tiempo(s)

Elon

gaci

ón(m

)

Velocidad

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500

tiempo(s)

velo

cida

d (m

/s)

Figura 1. Diagrama Elongación tiempo

Obsérvese la periodicidad

Figura 2 Diagrama velocidad Tiempo

Aceleración

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500

tiempo(s)

acel

erac

ión

(m/s

2)

Aceleración

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

-0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3

Elongación(m)

Ace

lera

ción

(m/s

2)

6

Figura 3 Diagrama Aceleración tiempo. Ob-

sérvese la correspondencia entre los máximos

Figura 4 , Diagrama Aceleración Elongación

Obsérvese la proporcionalidad

Transformada de Fourier

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0 10 20 30 40 50 60

Frecuencia (Hz)

Pote

ncia

Elongación

0

5E+17

1E+18

1,5E+18

2E+18

2,5E+18

3E+18

3,5E+18

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500

tiempo(s)

Elon

gaci

ón(m

)

Figura 5 Transformada de Fourier del movi-

miento anterior, Obsérvese un único “pico”

Figura 6 El mismo problema rescindiendo del

signo (-) en la aceleración, la periodicidad

desaparece..

Como operación extra se puede aplicar la transformada de Fourier a la elongación , recordado

que Excel utiliza el algoritmo rápido que requiere que el número de ítem sea una potencia de 2 ,

para evitar “aliasing” conviene tomar por lo menos 1024 o 2048 puntos

No obstante no parece muy oportuno en el nivel propuesto hacer mucho énfasis en este tema ya

que los estudiantes desconocen el significado físico matemático de la transformada de Fourier,

pero se les puede explicar de modo semicualitativo, es decir como herramienta que detecta pe-

riodicidades.

El propio algoritmo de Excel adolece de alguna imprecisión, que no es momento de discutir

aquí.

Para su cálculo se invoca el menú “Herramientas”, “Análisis de datos”, “Transformada de Fou-

rier”, se designa el bloque de datos y se indica la salida, por defecto Excel crea una hoja aparte.

La serie “x” , frecuencias de la transformada se obtiene, por ejemplo, asignado el cero al primer

valor y a continuación obtener los otros sumando la inversa del intervalo de muestreo, partido

por el número de Ítem de la transformada. Sólo se debe representar la mitad de valores, a partir

del 1.

frecuencia C2==C1+1/Hoja1!$I$2/1024

potencia D2==(IM.ABS(A3))^2

7

También es muy interesante verificar la importancia del signo (-) en la aceleración, para ello

basta cambiar el signo de la constante k y se observa como desaparece la periodicidad y los

valores de x, v y a crecen sin cesar. .( Figuras 5)

Evidentemente , una vez preparada la hoja pueden variarse los parámetros. Sin embargo el

cálculo de la transformada de Fourier no es inmediato y requiere recalcularse cada vez

Otra forma de enfocar el problema es partir de las ecuaciones integradas o deducidas por pro-

yección de una partícula en movimiento circular uniforme sobre el diámetro de la circunferen-

cia, como habitualmente se hace en textos elementales.

Es el análisis de un movimiento armónico simple conocidas sus características.

Abierta la hoja, en A1 se rotulará “Amplitud/m “, en C1 “Periodo/s”, en E1 “Fase inicial/rad” y

en A2 “v. angular/rad/s”. En B2 se programará “=2*pi()/$D$1”.

En A4 se rotulará “Tiempo (s)” en B4 “Elongación(m)” en C4 “velocidad (m/s) y en D4 “Ace-

leración (m/s2)”.

El paso siguiente será programar las ecuaciones.

En A5 se escribirá el instante inicial, en general 0, se seleccionará una columna suficiente para

contener los instantes en que se estudiará el movimiento y con la opción llenar serie, se llenará

la columna. Es conveniente elegir el número de casillas y el incremento de modo que se abar-

quen entre dos y tres períodos, no recomendando, por razones prácticas, sobrepasar las cien

casillas de datos.

En B5 se programará la ecuación de elongación como =$b$1*sen($b$2*A5+$F$1), en C5 la

ecuación de velocidad como =$b$1*$b$2*cos($b$2*A5+$F$1), y en C5 la aceleración como =

-$b$1*$b$22 *sen($b$2*A5+$F$1), Puede también programarse una cuarta columna como =

B5*$b$22 y comprobar el resultado. Seleccionando el bloque y con la opción “ Llenar hacia

abajo”, se calculan los valores respectivos.

Par construir el gráfico basta con seleccionar el bloque completo desde A$ hasta el final y en-

trar en el asistente de gráficos, se le indicará que la primera columna contiene “etiquetas de

categoría” y seleccionar gráfico XY.

8

Un visionado del gráfico indicará rápidamente como se corresponden los máximos de cada

magnitud, como evolucionan en el tiempo.

Un simple cambio en alguno de los parámetros se traduce rápidamente en el gráfico. Así puede

verse como influye la fase inicial, la amplitud etc.

Puede también comprobarse como la ecuación en cosenos corresponde a un movimiento seme-

jante y comprobar como la ecuación cosenoidal corresponde a la senoidal con un desfase de π/2

rad

Armónico

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

Tiempo(s)

x(m) v(m) a(m/s2)

Aceleracion - Elongación

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5

Elongación(m)

Ace

lera

ción

(m/s

2)

Figura 7.- La periodicidad y el desfase de las

magnitudes se observa claramente.

Figura 8,. Se confirma que la dependencia

entre aceleración y elongación es a = -kx

Energías

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0 500 1000 1500 2000 2500

Tiempo(s)

Ener

gía

(J)

Ep(J) Ec(J) Et(J)


-200000

0

200000

400000

600000

800000

1000000

1200000

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

Frecuencia

pote

ncia

Elongación Velocidad

Figura 9 . Muestra la variación de las energías

cinética y potencial y la constancia de su su-

ma, es decir, el carácter conservativo del MAS

Figura 10 Transformada de Fourier de la

elongación y de la velocidad , donde se pone

de manifiesto que la periodicidad de ambas es

la misma

Otro ejercicio es comprobar la relación entre el movimiento armónico de amplitud A y periodo

T y el circular uniforme de radio A y el mismo periodo. No obstante , en este caso se llevará al

9

gráfico un sólo periodo de ambos movimientos, representando la elongación del armónico y la

posición del circular, eligiendo siempre diagrama XY, y recalcando que en general la circunfe-

rencia aparecerá distorsionada en forma de una elipse.

COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS.

De cara a una posterior aplicación a las ondas resulta de interés el estudio de la composición de

movimientos armónicos. Se programarán ambos movimientos y se sumarán punto a punto

creando la adecuada columna. El gráfico mostrará cualitativamente el resultado.

En el caso particular de movimientos de la misma amplitud y frecuencia puede deducirse la

ecuación teórica, aplicando las conocidas relaciones trigonométricas de conversión de suma en

producto, programarla y comprobar que se obtienen los mismos resultados que por suma dire-

cta, punto a punto, además podrá verificarse sobre el papel que la frecuencia de los movimientos

de partida es la misma que la del movimiento suma y jugando con el desfase, siempre es reco-

mendable dejar uno de los movimientos con fase inicial cero, buscar los máximos y los nulos

de amplitud resultante.

PULSACIONES.

Si se suman dos movimientos armónicos de frecuencias y amplitudes diferentes se tiene un

nuevo movimiento armónico cuya amplitud fluctúa de acuerdo, en el caso más sencillo, en que

ambos movimientos se encuentran en fase, según A2 = A12+A2

2+2A1A2cos(ω1-ω2)t, a esta

fluctuación periódica en la en la amplitud se la llama pulsación..

Puede visualizarse fácilmente programando sendos movimientos armónicos y superponiéndolos

sumando punto a punto.

En este caso podrá ser necesario efectuar varios tanteos hasta conseguir una visualización com-

pleta. Se comprobará entonces que la frecuencia de las pulsaciones corresponde a la diferencia

de las frecuencias de ambos movimientos superpuestos.

10

Para ver la “Envolvente” es conveniente tomar algunas precauciones:

• Programar bastantes puntos

• Elegir periodos pequeños y no muy separados

• Una copia impresa del gráfico, preferiblemente en color, puede ser un excelente do-

cumento de trabajo.

Por supuesto es posible deducir las ecuaciones y comprobarlas gráficamente, sin embargo no

parece oportuno en alumnos principiantes.

Pulsación

-6

-4

-2

0

2

4

6

0 50 100 150 200 250 300 350

t iempo( s)

x y suma

Figura 11 . Composición de dos MAS de frecuencias muy próximas en este caso

1 y 1,05 Hz. Se observa claramente la resultante y sus periodicidades.

11

FIGURAS DE LISSAJOUS

Mucho más interesante es la composición de movimientos armónicos perpendiculares, cuyo

resultado son las figuras de Lissajous.

Estas tradicionalmente se estudian mediante un osciloscopio, sin embargo estos aparatos son

escasos y su manejo no es en general fácil, por otra parte aunque muestran el fenómeno no es

fácil para el alumno medio de EE MM comprender su origen físico. Entiendo que con mi mé-

todo se consigue una mejor comprensión del fenómeno y además dada la respuesta inmediata a

cualquier cambio, su valor pedagógico es grande.

Para ello se programarán dos series de movimientos armónicos del mismo periodo y se repre-

sentará uno como X y otro como Y

.

Las celdas coloreadas en verde son aquellas en que se introducen los datos por el usuario.

Periodo, amplitud y ángulo de fase.

12

El incremento temporal se calcula a partir del periodo máximo a fin de abarcar cuatro periodos

dt= =MAX(B2:C2)/500. El resto de fórmulas informáticas se omiten por ser similares a las uti-

lizadas antes.

Combinando adecuadamente el ángulo inicial de fase, conviene fijar uno de ellos en 0 y jugar

con el otro, se obtienen las distintas figura, recordando, no obstante, que es posible, dada la

escala diferente en ambos ejes, que las figuras queden un poco distorsionadas, no obstante con

un poco de experiencia, es fácil, exportando la figura, por ejemplo a un procesador y jugando

con los botones de tamaño, llegar a un gráfico correcto, que puede sacarse por la impresora y

estudiarse sobre el papel.

Si se modifican los periodos de ambos movimientos, se buscará que sean conmensurables, obte-

niéndose figuras cuanto menos curiosas, en este caso siempre se buscará cubrir completamente

el periodo mayor. Si los periodos no son conmensurables, las curvas no se cierran

En todo caso, puede el profesor dar ya la hoja de trabajo preprogramada, de modo que al alum-

no no lo quede otra labor que modificar los parámetros y eventualmente, extender los resulta-

dos, sin embargo, la experiencia demuestra que el trabajo de programar las ecuaciones favore-

ce la comprensión y enriquece el nivel de conocimientos, aunque ralentiza el procedimiento.

En síntesis con la hoja se emula un osciloscopio con dos entradas.

Parece más práctico sobre todo por la mayor calidad de los gráficos, crear los gráficos en hoja

aparte y no incrustados en la hoja de trabajo, aunque esta última opción tiene la ventaja de la

inmediatez del resultado.

Figuras de lissajous

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5

x

y


-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5

x

y

T(s) 10 5f(Hz) 0,1 0,2w(rad/s) 0,62831853 1,25663706

T(s) 10 10 f(Hz) 0,1 0,1 w(rad/s) 0,62831853 0,62831853

13

a 2 4fi(rad) 0 1,57079633

a 2 4 fi(rad) 0 1,57079633


-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

y


-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

y

T(s) 8 8,1f(Hz) 0,125 0,12345679w(rad/s) 0,78539816 0,77570189a 3 4fi(rad) 0 1,57079633

T(s) 1 15 f(Hz) 1 0,06666667 w(rad/s) 6,28318531 0,41887902 a 3 4 fi(rad) 0 1,57079633


-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5

x

y


-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5

x

y

T(s) 17 3f(Hz) 0,05882353 0,33333333w(rad/s) 0,36959914 2,0943951a 2 4fi(rad) 0 1,57079633

T(s) 5 10 f(Hz) 0,2 0,1 w(rad/s) 1,25663706 0,62831853 a 2 4 fi(rad) 0 1,04719755


-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

y


-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

y



14


-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

y


-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

y



Figura 12: Diferentes figuras de Lissajous y las características de los movimientos que las ori-ginan.

APLICACIÓN A MOVIMIENTOS CONCRETOS:

Con la hoja se puede simular problemas concretos, como el péndulo, cuya riqueza didáctica es

enorme (Nelson, 1984), ( Solaz,1990) ( Fuentes,1990) y es interesante por ejemplo utilizarla

para comprobar la aproximación clásica “de ángulos pequeños” ( Martínez Pons. 1999,2003 )

o el movimiento de un resorte, (Gonzalo, 1990) sin embargo a mi entender es en estos casos

preferible el experimento directo y en todo caso que la hoja sirva para el tratamiento matemáti-

co de los datos.

Se puede también emular algún fenómeno complejo, como el péndulo elástico, pero incluso su

modelización requiere en el alumno unos conocimientos que escapa a lo propuesto en este tra-

bajo aunque puede ser muy útil tanto como ejercicio de aplicación del formalismo de Lagrange

como para el estudio de sistemas dinámicos no lineales. En la misma línea estaría la simulación

del péndulo vibratorio es decir, un péndulo sujeto por ejemplo a la punta de una sierra de vai-

vén, cuya ejecución experimental puede hacerse sin grandes dificultades. Cualquiera de ellos

puede ser objeto de un interesante trabajo de investigación, combinando simulación y experi-

mentación. Del primero existe un completísimo trabajo (Cuerno,1992). Incluso es muy intere-

sante el estudio de la mecánica del Botafumeiro. (Sanmartín, 1990)

15

Plano X, Y

-1,8

-1,6

-1,4

-1,2

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0-0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8

x(m)

y(m

)

-20

-15

-10

-5

0

5

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Energía potencial gravitatoriaEnergía potencial elásticaEnergía totalEnergía cinética

Figura 13. Péndulo elástico “Trayectoria de la lenteja” y diagrama de energías

-6

-4

-2

0

2

4

6

-0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5


-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-1 1 3 5 7 9 11 13 15

Frecuencia (Hz)

Pote

ncia

Figura 14. Proyección bidimensional del dia-

grama de fases de un péndulo vibratorio

Figura 15, Transformada de Fourier se observan

los dos “picos”

CONCLUSIONES.

El uso de programas de uso general, concretamente hoja de cálculo permite una comprensión

mayor de los modelos matemáticos.

Aclara el papel de cada parámetro: Amplitud, periodo, frecuencia y fase inicial, en el movimien-

to armónico.

Permite una comprobación instantánea de la influencia de sus variaciones.

BIBLIOGRAFÍA. (Los textos generales no se citan expresamente en el texto)

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una edición más reciente , 1995, en un sólo tomo)

CROMER, A(1981): Stable solutions using the Euler Aproximation. Am. J. Phys. 49(5).

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16

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