Analisis Frecuencial TC Bw

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Analisis frecuencial

Citation preview

  • Anlisis Anlisis FrecuencialFrecuencial de de Seales en Tiempo ContinuoSeales en Tiempo Continuo

    Teora de Sistemas y SealesTeora de Sistemas y Seales

    Transparencias:

    Autor: Dr. Juan Carlos Gmez

    TeSyS 2

    Serie de Serie de FourierFourier de Seales Peridicas en TCde Seales Peridicas en TC

    Si x(t) es peridica y satisface las condiciones de condiciones de DirichletDirichlet: x(t) tiene un nmero finito de discontinuidades en un perodo. x(t) contiene un nmero finito de mximos y mnimos en un

    perodo. x(t) es absolutamente integrable en un perodo

  • TeSyS 3

    Entonces x(t) puede ser representada por la serie de serie de FourierFourier

    (1)

    La serie converge a x(t) para todo t, excepto para los valores de t para los cuales x(t) es discontinua, en cuyo caso converge al valor medio de la discontinuidad.ck : coeficientes de Fourier.

    =

    =k

    tkFjk e cx(t) 0

    2

    TeSyS 4

    (2)

    En general, los coeficientes ck son complejos. Si la seal peridica es a valores reales, entonces:

    ck = c-k*donde (.)* indica complejo conjugado. Escribiendo:

    ck = ck e j kresulta

    c-k = ck e - j k

    =PT

    tkFj

    Pk dt x(t) eT

    c 021

  • TeSyS 5

    (3)

    Donde c0 .Otra expresin de la serie de Fourier es

    (4)

    Con a0 = c0ak = 2 ck cos kbk = 2 ck sin k

    =

    ++=1

    00 2cos2k

    kk )tkF( ccx(t)

    ( )=

    +=1

    000 2sin2cosk

    kk tkF btkF aax(t)

    TeSyS 6

    Espectro de Densidad de Potencia de Espectro de Densidad de Potencia de Seales PeridicasSeales Peridicas

    Una seal peridica tiene energa infinita y potencia media finita:

    Usando (1)

    =PTP

    x dtx(t) TP 21

    =PTP

    ) dt x(t) x*(tT1

    =

    =PT

    tkFj

    kk

    P

    dt* ec x(t) T

    021

    =

    =

    k T

    tkFj

    Pk

    P

    dtx(t) eT

    *c 021

    ck

  • TeSyS 7

    Hemos establecido la relacin:

    (5)

    Que es la llamada igualdad de Parseval. Si graficamos ck2como funcin de las frecuencias kF0, con k = 0, 1, 2, ... , el diagrama obtenido muestra como la potencia de la seal peridica est distribuida entre las diferentes componentes armnicas.

    =

    =k

    kc2

    =

    ==k

    kTP

    x c dtx(t) TP

    P

    22 1

    TeSyS 8

    El diagrama se denomina Espectro de densidad de Potencia de la seal peridica x(t).

    Frecuencia F

    ......

    ck2

    -4F0 -3F0 -2F0 -F0 0 F0 2F0 3F0 4F0

  • TeSyS 9

    Como la potencia de una seal peridica existe slo para valores discretos de frecuencias F = 0, F0, 2 F0, ...se dice que la seal tiene un espectro de lneas.Tambin se puede graficar

    ck vs. F Espectro de magnitudEspectro de magnitudk vs. F Espectro de faseEspectro de fase

    TeSyS 10

    Si la seal peridica es real, entoncesc-k = ck* ck2 =c-k2

    Y el espectro es simtrico respecto al eje de ordenadas, es decir, es representado por una funcin par. El espectro de amplitud es tambin una funcin par y el de fase una funcin impar.La potencia media total resulta

    =

    +=1

    220 2

    kkx ccP

    ( )=

    ++=1

    2220 2

    1k

    kk baa

  • TeSyS 11

    EjemploEjemplo

    Tren de pulsos rectangulares

    x(t) es peridica con perodo TPPara k = 0:

    PP

    T

    TP TAdtA

    Tdttx

    Tc

    P

    P

    ===

    2/

    2/

    2/

    2/0

    1 )(1

    x(t)

    t /2- /2 TP

    TeSyS 12

    Para k 0 tenemos

    =2

    2

    2 01/

    /

    tkFj

    Pk dtA eT

    c

    0

    022/

    2/2 kFj

    eTA tkFj

    P

    =

    2

    00

    0 jee

    kTFA kFjkFj

    P

    =

  • TeSyS 13

    x(t): funcin par ck reales

    El espectro de densidad de potencia es:

    , ..., k kFkF

    TA

    P

    21sin

    0

    0 ==

    =

    =

    , ..., kkF

    kFTA

    kTA

    c

    P

    Pk

    21 sin

    0

    2

    0

    0

    2

    2

    2

    TeSyS 14

    Transformada de Transformada de FourierFourier de Seales de Seales AperidicasAperidicas en TCen TC

    xp(t)

    x(t)

    TP-TP TP/2-TP/2

    -TP/2 TP/2

    0 t

    t

    ......

    x(t) = lim xP(t)TP

    seal aperidica

    seal periodizada

  • TeSyS 15

    xP(t) x(t)

    Espectro de lneas Espectro continuo

    Seal de Potencia Seal de Energa

    Tenemos

    Pk

    tkFjkP T

    F ec(t)x 1, 02 0 ==

    =

    TeSyS 16

    donde:

    Luego, como xP(t) = x(t) para -TP/2 t TP/2 , entonces:

    Adems, como x(t) = 0 para |t| > TP/2 , entonces podemos escribir:

    =2

    2

    2 0)(1/T

    /T

    tkFjP

    Pk

    P

    P

    dt etxT

    c

    =2

    2

    2 0)(1/T

    /T

    tkFj

    Pk

    P

    P

    dt etxT

    c

  • TeSyS 17

    (6)

    Definamos ahora una funcin X(F), llamada Transformada Transformada de de FourierFourier de x(t), como

    (7)

    Vemos que X(F) es funcin de la variable continua F y no depende de TP o F0.

    = dt etxT

    c tkFjP

    k02)(1

    = dt etxFX Ftj 2)()(

    TeSyS 18

    De (6) y (7) vemos que

    Es decir que los coeficientes de Fourier son muestras de X(F) tomadas en mltiplos de F0 y escaladas tambin por F0.Resulta entonces:

    ( )

    ==

    PkP T

    kXFkXcT 0 (8)

    tkFj

    k PPP eT

    kXT

    tx 02 1)( =

    =

  • TeSyS 19

    Definiendo resulta:

    En el lmite cuando TP xP(t) x(t)F dF

    y

    01 F

    TF

    P

    ==

    ( ) FeFkXtx Ftkjk

    P =

    = )( 2

    [ ] Fk

    =

    [ ]dF

    TeSyS 20

    Es decir:lim xP(t) = x(t) = lim

    con lo cual

    (9)

    Que es la llamada Transformada Inversa de Transformada Inversa de FourierFourier..

    TP F0FeFkX Ftkj

    k

    = ) ( 2

    dFeFXtx Ftj )()( 2

    =

  • TeSyS 21

    Definiendo = 2F dF = d/2 , y por lo tanto los pares transformados de Fourier en funcin de resultan:

    (10)

    (11)

    =

    deXtx tj )(21)(

    = dt etxX tj)()(

    TeSyS 22

    Las condiciones suficientes para la existencia de la Transformada de Fourier son las llamadas condiciones de Dirichlet:

    1. x(t) tiene un nmero finito de discontinuidades finitas2. x(t) tiene un nmero finito de mximos y mnimos3. x(t) es absolutamente integrable

  • TeSyS 23

    Espectro de Densidad de Energa de Espectro de Densidad de Energa de Seales Seales AperidicasAperidicas

    Sea x(t) una seal de energa finita con Transformada de Fourier X(F). La energa es:

    = dttxtx )(* )(

    = dttxEx )( 2

    =

    dFX*(F) ex(t) dt Ftj2

    x*(t)

    TeSyS 24

    Es decir:

    Que es la llamada Identidad de Parseval para seales aperidicas de energa finita.

    =

    dt e x(t)X*(F) dF Ftj2

    X(F)

    = dFX(F) 2

    == dFX(F)dttxEx 22 )( (12)

  • TeSyS 25

    El espectro X(F) de una seal es generalmente complejoX(F) = |X(F)| ej (F)

    donde:|X(F)| es la magnitud(F) = es la fase

    La cantidad Sxx(F) = |X(F)|2

    representa la distribucin de energa en la seal en funcin de la frecuencia y se denomina Espectro de Densidad de Espectro de Densidad de EnergaEnerga de x(t).

    TeSyS 26

    La integral de Sxx(F) sobre todas las frecuencias da la energa totalenerga total de la seal. La energa de x(t) en una banda de frecuencias F1 F F2 puede calcularse como:

    ( )=

  • TeSyS 27

    Si la seal x(t) es real, entonces:|X(-F)| = |X(F)| funcin par(-F) = -(F) funcin imparSxx(-F) = Sxx(F) funcin par

    Ejemplo:

    >

    =2/ 02/

    )(

    ttA

    tx

    t

    x(t)

    -/2 /2

    TeSyS 28

    x(t) es no peridica y satisface las condiciones de Dirichlet. Su Transformada de Fourier es:

    Y su espectro de densidad de energa resulta:

    ==2/

    2/

    2 sin e )(

    FFAdtAFX Ftj

    ( ) 22 sin)(

    =

    FFAFSxx

  • TeSyS 29

    X(F)

    F

    A

    -2/ -1/ 0 1/ 2/