Analisis Funcional Para Las Ecuaciones Diferenciales

ANALISIS FUNCIONAL - LENGUAJE DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

José Darío Sánchez Hernández Bogotá -Colombia. Agosto- 2008

[email protected]@tutopia.com

[email protected]

El lenguaje nos pemite la comunicación y el aprendizaje en las EcuacionesDiferenciales Parciales junto con la teoría de conjuntos. Por esta razónpresento a mis amables amigos del ciberespacio los conceptos de mayorutilidad en el desarrollo de los diversos tópicos que se encuentran enaprendizaje de las Ecuaciones Diferenciales y que pertenecen a lahumanidad, por esta razón no dudo en ponerlos en el ciberespacio para unabuena formación del matemático por vias virtuales.

CAPÍTULO 1

ALGUNOS CONCEPTOS DE ANÁLISIS FUNCIONAL

1. Sea , un dominio acotado, , denotará al conjunto deH ! V H! " Ð Ñ !

todas las funciones definidas en tales que? H

L ? œ _!a b supBß C −

B Á CH

k ka b a bk k? B ? CBC !

Tomando , es un espacio de Banach conl l a b? œ l? B l Ð Ñ! !!sup

H[ V H

norma , es decir, un espacio vectorial normado y completo.l l† !

a) Sean ; veamos como ejemplo que tiene la propiedad0ß 1 − Ð Ñ †V H !!l l

triangular

l l a ba b0 1 œ l 0 1 B l ! sup supB − Bß C −

B Á CH H

l 01 B 01 C llBCl

a ba b a ba b!

pero

k k a b a b a b a ba b a b0 B 1 B Ÿ l0 B l l1 B l Ÿ l0 B l l1 B lsup supH H

luego

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 2

sup sup supH H Hl0 B 1 B l Ÿ l0 B l l1 B la b a b a b a b

ahora

l0 B 1 B 0 C 1 C llBCl

a b a b a ba b a b! Ÿ Ÿ L 0 L 1l0 B 0 C l l1 B 1 C l

lBCl lBCla b a b a b a b

! ! ! !a b a bluego

L 0 1 Ÿ L 0 L 1! ! !a b a b a bde donde

l l a ba b a b0 1 œ l 0 1 B l L 0 1 Ÿ! !supH

Ÿ l0 B l L 0 l1 B l L 1sup supH H

a b a b a b a b! !

Teniéndose finalmente

l l l l l l0 1 Ÿ 0 1! ! !

b) Demostremos ahora que la norma es completal l† !

Supongamos que es una sucesión de Cauchy en la -norma,Ö0 × Ð Ñ8 8œ"_ V H!

esto quiere decir que .lim 8ß7Ä_

8 7l l0 0 œ !!

Si , entoncesB − ß l0 B 0 B l Ÿ l0 D 0 D l Ÿ 0 0H 8 7 8 7 8 7a b a b a b a b l lsupH !

Ö0 B × d8 8œ"_a b es sucesión de Cauchy, como es completo se tiene por lo

tanto que existe en . Se define ahora una funciónlim 8Ä_

80 B da b

0 À d

B Ä 0 B œ 0 BH⎯→

lim8Ä_

8a b a bVeamos que esta en .0 V H!ˆ ‰Se conoce que , por quel l l l l l0 0 Ÿ 0 08 7 8 7! ! !

l l l l l l l l0 œ 0 0 0 Ÿ 0 0 08 8 7 7 8 7 7! ! ! !

Por lo tanto es una sucesión de Cauchy de donde esÖ 0 ×l l8 8œ"_

!

convergente y es acotada, en esta forma existe tal queP !

para todo l l0 Ÿ P 8 "8 !


Teniéndose así que

para todo con c da b a b0 B 0 ClBCl 8

8 8! Ÿ 0 Ÿ P Bß C − B Á Cl l! H

Manteniendo a e fijos tenemos (pasando al límite)B C

lim8Ä_

0 B 0 C 0 B 0 ClBCl lBCl

c d c da b a b a b a b8 8! !œ Ÿ P

Tomando el tenemossup

L 0 œ Ÿ P!a b supBß C −

B Á CH

k ka b a bk k0 B 0 CBC !

de donde .0 − Ð ÑV H !

c) Demostremos ahora que en la -norma0 Ä 0 Ð Ñ8 V H!

Sean , fijos para todo . Para existe un enteroBß C − B Á C B − !H H %

positivo ; si , entoncesRÐ Ñ 7 8 RÐ Ñ% %

l l0 0 8 7 ! %

Para todo B − H

k k l la b a b0 B 0 B Ÿ 0 0 8 7 8 7l 0 0 C 0 0 D l

lCDla ba b a ba b8 7 8 7

! ! %

así pasando al límite cuando 7 Ä _

para todo k ka b a b0 B 0 B Ÿ B −8l 0 0 C 0 0 D l

lCDla ba b a ba b8 8

! % H

Tomando el supremo tenemos

supH !l0 B 0 B l Ÿ8

l 0 0 C 0 0 D llCDla b a b a ba b a ba b8 8 %

de donde

l 0 0 C 0 0 D llCDl 8

a ba b a ba b8 8! H

Ÿ l0 B 0 B l% sup a b a bTomando el supremo sobre tenemosH


L 0 0 œ Ÿ l0 B 0 B l!a b a b a b8 8sup supBß C −

B Á CH

%k ka ba b a ba bk k0 0 C 0 0 D

CD8 8

!H

para todo L 0 0 l0 B 0 B l Ÿ 8 RÐ Ñ!a b a b a b8 8supH

% %

luego para todo l l0 0 Ÿ 8 RÐ Ñ8 ! % %

2. . DEFINICIÓN Sea un espacio vectorial sobre y existe una función de„ ‚„ „ ‚‚ en denotada por tal que , Ø Ù À ‚

0ß 1 Ä Ø0ß 1Ù„ „ ‚⎯→a b

a) y Ø0 ß 0Ù ! 0 − Ø0ß 0Ù œ ! Í 0 œ !para todo „

b) Ø0 ß 1Ù œ Ø1ß 0Ù 0 ß 1 −para todo „

c) Si entonces0ß 1ß 2 − „ Ø0 ß 1 2Ù œ Ø0ß 1Ù Ø0ß 2Ù

d) Si ! ‚ „! !! !

− ß 0ß 1 −Ø 0ß 1Ù œ Ø0ß 1ÙØ0 ß 1Ù œ Ø0ß 1Ùœ

A , se le denomina (positivamenteØ Ù À ‚„ „ ‚⎯→ producto internodefinido). Se define a b l lØ0 ß 0Ù œ 0

"#

NOTA. Si , 0ß 1 − 0 1 0 1 œ # 0 # 1„ l l l l l l l l# # # #

En efecto,

l l0 1 œ Ø0 1ß 0 1Ù œ Ø0ß 0Ù Ø0ß 1Ù Ø1ß 0Ù Ø1ß 1Ù#

œ 0 # /Ø0ß 1Ù 1l l l l# #e

Análogamente

l l l l l l0 1 œ 0 # /Ø0ß 1Ù 1# # #e

Sumando se tiene

l l l l l l l l0 1 0 1 œ # 0 # 1# # # #

3. . PROPOSICIÓN Si , entonces0ß 1 − „ lØ0 ß 1Ùl Ÿ 0 1l ll l


DEMOSTRACIÓN. Demostrar esta desigualdad es equivalente a demostrarque esto es equivalente a demostrar que ¹ ¹ l l l lØ0 ß Ù Ÿ 0 lØ0 ß 2Ùl Ÿ 01

1l lpara todo con .2 − ß 2 œ "„ l lSupongamos que y y , se considera el número2 − 2 œ " 0 −„ „l l0 Ø0ß 2Ù2 − „ así

! Ÿ 0 Ø0ß 2Ù2 œ Ø0 Ø0ß 2Ù2ß 0 Ø0ß 2Ù2Ùl l# œ Ø0ß 0Ù Ø0ß Ø0 ß 2Ù2Ù ØØ0ß 2Ù2ß 0Ù ØØ0 ß 2Ù2ß Ø0 ß 2Ù2Ù

œ 0 Ø0ß 2ÙØ0 ß 2Ù Ø0ß 2ÙØ2ß 0Ù Ø0ß 2ÙØ0 ß 2Ù 2l l l l# #

œ 0 # Ø0ß 2Ù Ø0ß 2Ù 2 œ 0 Ø0ß 2Ùl l l l l l l l l l l l# # # # # #

De donde se recibe que

|Ø0 ß 2Ùl Ÿ 0# #l lTomando raíz tenemos

lØ0 ß 2Ùl Ÿ 0l l

4. . PROPOSICIÓN Si , entonces0ß 1 − „ l l l l l l0 1 Ÿ 0 1

DEMOSTRACIÓN. l l l l l l l l l l0 1 œ 0 # /Ø0ß 1Ù 1 Ÿ 0 #lØ0 ß 1Ùl 1# # # # #e

+Ÿ 0 # 0 1 1 œ 0 1l l l ll l l l a bl l l l# # #

Tomando raíz cuadrada tenemos

.l l l l l l0 1 Ÿ 0 1

5. . COROLARIO l l a b† œ Øß Ù"# es una norma sobre „

6. . Si DEFINICIÓN Š ‹l l a b„ß † œ Ø † ß † Ù"# es un espacio de Banach, en este caso

a se le denomina y se le denota con .„ [espacio de Hilbert

7. . DEFINICIÓN Supongamos que es un espacio de Hilbert y , si[ [0ß 1 −Ø0ß 1Ù œ ! 0ß 1, entonces se dice que son (o perpendiculares)ortogonales


Si se denota por para todo y esW § W œ Ö0 − ÎØ0ß 1Ù œ ! 1 − W×[ [¼

llamado el de complemento ortogonal W

W¼ es un subespacio lineal de . (Esto es claro ya que[

).Ø0 1ß 2Ù œ Ø0ß 2Ù Ø1ß 2Ù œ ! a2 − W Í 0ß 1 − W! ! ¼

8. . PROPOSICIÓN Si es un subespacio lineal cerrado de y À [ [0 −entonces existe un único elemento , tal que1 − À

para todo l l l l0 1 0 1 1 − ß 1 Á 1w w wÀ

DEMOSTRACIÓN. Sea , existe una sucesión. œ 0 2 Î2 −inf e fl l À

Ö0 × § . œ 0 0 Ö0 ×8 8 88œ" 8œ"_ _

8Ä_À tal que , veamos que es una sucesiónlim l l

de Cauchy

l l l l l l l l a ba b a b ¼ ¼0 0 œ 0 0 0 0 œ # 0 0 # 0 0 % 0 0 08 7 8 7 8 7 8 7# # # # "

#

#

Ÿ # 0 0 # 0 0 %.l l l l8 7# #

Pasando al límite

lim8ß7Ä_

8 7# # # #l l0 0 Ÿ #. #. %. œ !

entonces es una sucesión de Cauchy en .Ö0 ×8 8œ"_ À

Como es cerrado existe tal queÀ À1 −

1 œ 0lim8Ä_

8

donde

l l l l0 1 œ 0 0 œ .lim8Ä_

8

Veamos finalmente la unicidad; supongamos que y que1 −w Àl l l l0 1 œ 0 1w , tenemos ahora las siguientes consideraciones

¼ ¼a b l l l l l l l la b a b Š ‹0 1 1 œ 0 1 0 1 œ # 0 1 # 0 1 1 1" " "# % %

w w w w# # # ##

œ . 1 1# w"%

#l lComo , se sigue que de donde .¼ ¼a b l l0 1 1 . 1 1 œ ! 1 œ 1"

#w # w w#


9. Sea un espacio de Hilbert. Si es un subespacio cerrado en y[ À [0 − 1 −[ [ entonces existe un único elemento tal que

para todo (ver 8.).3=> ß 0 œ 0 1 0 1 1 − ß 1 Á 1a b l l l lÀ Àw w w

10. . DEFINICIÓN Si y , en este caso se dice que y son0ß 1 − Ø0ß 1Ù œ ! 0 1[

ortogonales (ver 7.)

NOTACIÓN. .0 ¼ 1 Í Ø0ß 1Ù œ !

11. . DEFINICIÓN Sea , para todo esW § W œ Ö1 − ÎØ0ß 1Ù œ ! 0 − W×[ [¼

llamado el de . (ver 7.)complemento ortogonal W

12. . PROPOSICIÓN Si es un subespacio cerrado de , entonces es unÀ [ À¼

subsespacio cerrado de .[

DEMOSTRACIÓN. Para demostrar que es cerrado supongamos queÀ¼

Ö0 × 0 −8 8œ"_ ¼ es una sucesión en y que es tal queÀ [

lim8Ä_

8l l0 0 œ !

Para ver que , vemos que para todo .0 − Ø0 ß 1Ù œ ! 1 −À À¼8

Si entonces1 − À lØ0 ß 1Ùl œ lØ0 ß 1Ù Ø0 ß 1Ùl œ lØ0 0ß 1Ùl Ÿ 0 0 1 Ä !# # #

8 8 8# #l l l l

así de donde entonces .lØ0 ß 1Ùl œ ! Ø0ß 1Ù œ !ß 0 − À¼

NOTA. À À œ Ö!×¼

EJERCICIO. [ À Àœ Š ¼

SOLUCIÓN. Escojamos en un sistema ortonormal completo yÀ :Ö ×8 8œ"_

pongamos , . Puesto que, debido a la desigualdad2 œ - - œ Ø0ß Ù!8œ"

_

8 8 8 8: :

de Bessel, la serie es convergente, el elemento existe y .!8œ"

_

8#- 2 2 − À

Sea , tomemos , es evidente que para todo 0 − 2 œ 0 2 8[ w

Ø2 ß Ù œ Ø0 2ß Ù œ !w8 8: :

y como cualquier elemento de se puede representar en la formaÀ


0 :œ +!8œ"

_

8 8

tenemos para que0 À−

Ø2 ß Ù œ + Ø2 ß Ù œ !w w

8œ"

_

8 80 :!es decir .2 −w ¼À

Supongamos ahora que además de la descomposición obtenida 0 œ 2 2w

existe otra descomposición

0 œ 2 2 ß 2 − ß 2 −" "" "w w ¼À À

Entonces, tenemos para cualquier 8

Ø2 ß Ù œ Ø0ß Ù œ -" 8 8 8: :

y de aquí se deduce que .2 œ 2ß 2 œ 2" "w w

13. . DEFINICIÓN Si es una sucesión en y enO œ Ö × Ø ß Ù œ: [ : : $8 8 7 788œ"_

este caso se dice que es un conjunto ortonormalO .

14. . TEOREMA Si es un conjunto ortonormal de entoncesO œ Ö ×: [8 8œ"_

(desigualdad de Bessel)3Ñ lØ0 ß Ùl Ÿ 0! l l8œ"

7

8# #:

Si es una sucesión de entonces33Ñ Ö ×! ‚8 8œ"_

para todo entero positivo .¾ ¾ ¾ ¾! !8œ" 8œ"

7 7

8 8 8 8! : : : 0 Ø0ß Ù 0 7

DEMOSTRACIÓN. De la definición de la norma se tiene que3Ñ

! Ÿ Ø0ß Ù 0 œ 0 Ø0ß Ù ß 0 Ø0ß Ù œ¾ ¾! ! !¤ ¥8œ" 8œ" 8œ"

7 7 7

8 8 8 8 8 8

#

: : : : : :

œ 0 0ß Ø0 ß Ù Ø0ß Ù ß 0 Ø0ß Ù ß Ø0 ß Ùl l ¢ £ ¢ £ ¢ £! ! ! !#

8œ" 8œ" 8œ" 8œ"

7 7 7 7

8 8 8 8 8 8 8 8: : : : : : : :

=l l ! ! !0 Ø0ß ÙØ0 ß Ù Ø0ß ÙØ0 ß Ù Ø0ß ÙØ0 ß Ù œ#

8œ" 8œ" 8œ"

7 7 7

8 8 8 8 8 8: : : : : :

œ 0 lØ0 ß Ùll l !#

8œ"

7#:


33Ñ ! Ÿ 0 œ 0ß 0 ¾ ¾! ! !¢ £8œ" 8œ" 8œ"

7 7 7

8 8 8 8 8 8

#

! : ! : ! :

œ ß ß 0 0ß 0¢ £ ¢ £ ¢ £! ! ! ! l l8œ" 4œ" 8œ" 8œ"

7 7 7 7

8 8 4 4 8 8 8 8#! : ! : ! : ! :

! Ÿ Ø ß Ù Ø ß 0Ù Ø0ß Ù 0! ! ! ! l l8œ" 4 œ" 8œ" 8œ"

7 7 7 7

8 4 8 4 8 8 8 8#

! ! : : ! : ! :

œ l l Ø ß 0Ù Ø0ß Ù 0 "! ! ! l l a b8œ" 8œ" 8œ"

7 7 7

8 8 8 8 8# #! ! : ! :

Ahora tenemos por otro lado lo siguiente

! !a bˆ ‰8œ" 8œ"

7 7

8 8 8 8 8 8#lØ0 ß Ù l œ Ø0ß Ù Ø0ß Ù : ! : ! : !

œ Ø0ß ÙØ0 ß Ù Ø0ß Ù Ø0ß Ù !ˆ ‰8œ"

7

8 8 8 8 8 8 8 8: : : ! ! : ! !

œ lØ0ß Ùl Ø0ß Ù Ø0ß Ù l l #!ˆ ‰ a b8œ"

7

8 8 8 8 8 8# #: ! : ! : !

Así de uno y dos tenemos

¾ ¾! ! !l l8œ" 8œ" 8œ"

7 7 7

8 8 8 8 8

## # #! : : ! : 0 œ 0 lØ0 ß Ù l lØ0 ß Ùl

0 lØ0 ß Ùl œ 0 Ø0ß Ùl l ! !¾ ¾#

8œ" 8œ"

7 7

8 8 8#

#

: : :

Tomando la raíz cuadrada se recibe

¾ ¾ ¾ ¾! !8œ" 8œ"

7 7

8 8 8 8! : : : 0 0 Ø0ß Ù

15. .PROPOSICIÓN Si es un conjunto ortonormal en y ademásO œ Ö ×: [8 8œ"_

Ö ×!8 8œ"_ es una sucesión de números complejos, entonces se tiene que la

serie converge si y sólo si es convergente! !8œ" 8œ"

_ _

8 8 8#! : !l l .

En el caso de tener convergencia se tiene

¾ ¾ ¾ ¾! !8œ" 8œ"

_ _

8 8 8

# #

! : !œ

DEMOSTRACIÓN. a) Basta con observar lo siguiente:


¾ ¾! ! ! ! !¢ £8œ5 8œ5 8œ5 8œ5 8œ5

7 7 7 7 7

8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8

##! : ! : ! : ! : ! : !œ ß œ Ø ß Ù œ l l

b) Como tomando límite cuando se tiene¾ ¾! !8œ" 8œ"

7 7

8 8 8

##! : !œ l l 7 Ä _

¾ ¾! !8œ" 8œ"

_ _

8 8 8

##! : !œ l l

16. Si es un conjunto ortonormal en , entoncesO œ Ö ×: [8 8œ"_

3 0 − ÒOÓ œ Ö O× Ø0ß Ù œ !. combinaciones lineales de entonces ¼ ¼

8œ"

_

8 8! : :

33 0 − ÒOÓ 0 œ Ø0ß Ù. entonces !8œ"

_

8 8: :

Dado , existe tal que ya que% ! : ! : % ! 0 ! !¾ ¾8œ" 8œ"

7 7

8 8 8 8

º º ¾ ¾! !8œ" 8œ"

7 7

8 8 8 8Ø0 ß Ù 0 Ÿ 0 : : ! : %

por lo tanto !8œ"

7

8 8Ø0 ß Ù 0: : Ä7p_

17. . DEFINICIÓN Si es un conjunto ortonormal; a se leO œ Ö × O:8 8œ"_

denomina base ortonormal de , si[

para todo 0 − Ø0ß Ù 0 −!8œ"

_

8 8: : [

18. . PROPOSICIÓN O œ Ö ×:8 8œ"_ es una base ortonormal si y sólo si

l l !0 œ lØ0 ß Ùl#

8œ"

_

8#:

En efecto, Como hemos visto así[ œ ÒOÓ Š ÒOÓ¼

0 − œ ÒOÓ Š ÒOÓ Í 0 œ 5 2 œ Ø5ß Ù 2[ : :¼

8œ"

_

8 8!Ahora

l l l l l l¾ ¾! !0 œ Ø5ß Ù 2 œ lØ5ß Ùl 2# # #

8œ" 8œ"

_ _

8 8 8

##: : :


Como se sigue que .! l l l l8œ"

_

8# # #lØ0 ß Ùl œ 0 2 œ !:

19. .DEFINICIÓN Supongamos que y son espacios vectoriales. Si es„ … ƒun subespacio de y es una función tal que„ ƒ …X À ⎯→X 0 1 œ X 0 X 1 − d ß −a b a b a b! " ! " ! " ! " ‚ para todo , (ó ) para todo0ß 1 − Xƒ „, en ese caso a se le denomina un de aoperador lineal .…

Se denota por "al dominio de "H X œ œ Xa b ƒ

V X œ X œ ÖX 0 Î0 − × œ Xa b a b a bƒ ƒ "recorrido de "

R X œ Ö0 − ÎX 0 œ !× œ X Xa b a bƒ "subespacio nulo de " o en núcleo de .

20-a. . Supongamos que es una funciónEJEMPLO 5 À Ò+ß ,Ó ‚ Ò+ß ,Ó d⎯→continua. Se define

, V VÀ Ò+ß ,Ó Ò+ß ,Óa b a b⎯→

,Ò0 Ó B œ 5 Bß C 0 C .Ca b a b a b'+

,

la norma de l l a b† Ò+ß ,Ó_ V

Veamos que , está bien definida.

Dado , existe tal que si entonces% $ $ ! ! l Bß C B ß C l a b a bw w

l la b a b5 Bß C 5 B ß C w w0 ,+

%l l a b!

esto se tiene por hipótesis. Dado si tenemos0 − ÐÒ+ß ,ÓÑ lB B l V $w

l 0 B 0 B l œ, ,a ba b a ba b ¹ ¹w '+

, wa b a ba b a b5 Bß C 5 B ß C 0 C .C

Ÿ l5 Bß C 5 B ß C ll0 C l.C Ÿ l0 C l.C ' '+ +

, ,w0 ,+a b a b a b a b%l l a b!

%

por lo tanto está bien definida.,

Continuidad y linealidad

, !Ò 0 Ó B œa b ' '+ +

, ,5 Bß C 0 C .C œ 5 Bß C 0 C .C œ Ò0Ó Ba b a b a b a b a b! ! !,

,Ò0 1Ó œ 5 Bß C 0 C 1 C .C œ 5 Bß C 0 C .C 5 Bß C 1 C .C' ' '+ + +

, , ,a ba b a b a b a b a ba b a b


œ Ò0Ó B Ò1Ó B, ,a b a bAdemás para es posible hallar tal que1 − ÐÒ+ß ,ÓÑ 0 − ÐÒ+ß ,ÓÑV V

.,Ò0 Ó B œ 1a bEste operador es llamado operador de Fredholm

20-b. (útil). Consideremos el siguiente problemaEJEMPLO

œ a ba b a b a b a bC + C â + C œ 2 >

C ! œ ! œ C ! œ â œ C !"

a b a b8 8"8" !

w 8"

donde son constantes. + ß + ßá ß +! " 8"

Aplicando la transformada de Laplace a se tienea b" ¿ ¿ ¿ ¿ˆ ‰ ˆ ‰ a b a ba bC + C â + C œ 2 >a b a b8 8"

8" !

Lo anterior es completamente equivalente a

¿ ¿ :a ba b a b a bC = + = â + œ Ò2 > Ó œ =8 8"8" !

De donde

¿a bC œ:a b=

= + = â+8 8"8" !

de donde tomando la inversa

C œ œ Ò = Ó‡¿ ¿ : ¿" " "Š ‹ Š ‹a b:a b== + = â+ = + = â+

"8 8" 8 8"

8" ! 8" !

œ 2 > ‡1 >a b a bAsí

C œ 1 > 2 .'!

> a b a b0 0 0

se puede entonces definir el operador

X À Ò!ß +Ó Ò!ß +Ó0 X 0 œ 0 + 0 â + 0V V8

8 8"8" !

⎯→Ä a b a b a b


y si se tiene que , dondeX 0 œ 2 > 0 œ 1 > 2 .a b a b a b a b'!

>0 0 0

1 > œa b Š ‹¿" "= + = â+8 8"

8" !

y

Ò!ß +Ó ‚ Ò!ß +Ó d>ß 1 >

⎯→a b a b0 0Ä

es el núcleo de la transformación.

21. En lo que sigue y son espacios de Banach.„ …

DEFINICIÓN. Sea un operador lineal, si existe un número realX À „ …⎯→7 !, tal que

, para todo l l l la bX 0 Ÿ 7 0 0 − HÐX Ñ… „

entonces se dice que es un operador acotado en .X HÐX Ñ

Si es acotado, se defineX

, para todo l l l l l lš ›a bX œ 7Î X 0 Ÿ 7 0 0 − HÐX Ñinf … „

como la "norma" del operador .X

Este siempre existe pues . Es fácil ver queinf 7 !

l l l la bX œ œ X 1sup sup0−HÐX Ñ

0Á!

l la bl lX 00

…

„ l l1 œ "„

…

Puesto que si , y , para todosup0−HÐX Ñ

0Á!

l la bl lX 00

…

„œ 7 X 0 Ÿ 7 0! l l l la b … „

0 − HÐX Ñ Ÿ 7 0 − HÐX Ñ 7 Ÿ 7 entonces , para todo así y por lol la bl lX 00 !

…

„

tanto es una cota inferior del conjunto

, para todo .š ›l l l la b7Î X 0 Ÿ 7 0 0 − HÐX Ñ… „


Si , entonces de donde0 − HÐX Ñ 0 Á ! Ÿ 7l la bl lX 0

0 !…

„

para todo ,l l l la bX 0 Ÿ 7 0 0 − HÐX Ñ… „!

por lo tanto

para todo .7 − 7Î X 0 Ÿ 7 0 0 − HÐX Ñ! š ›l l l la b … „

Luego 7 œ X! l l

Ahora consideremos continua y5 À Ò+ß ,Ó ‚ Ò+ß ,Ó d⎯→

donde , V V ,,

À Ò+ß ,Ó Ò+ß ,Ó Ò0 Ó B œ 5 Bß C 0 C .C0 Ä Ò0Ó⎯→ a b a b a b'

+

,

En tenemosa ba b l lV Ò+ß ,Ó ß † _

l Ò0 Ó B l œ 5 Bß C 0 C .C Ÿ 5 Bß C 0 C .C, a b a b a b k kl l¹ ¹ a b a b' '+ +

, ,

Ÿ l5 Bß C l l0 C l.CsupBß C − Ò+ß ,Ó

a b a b'+

,

Ÿ l5 Bß C l , + 0 œ 7 0supBß C − Ò+ß ,Ó

a b a bl l l l! !

teniéndose

l l l la b, 0 Ÿ 7 0_ _

Luego el operador es acotado.,

EJERCICIO. Consideremos el siguiente espacio:

V H V H V H !# #B B B

! !a b a b a b˜ ™œ ? − Î?ß ? ß ? − a3ß 4ß " Ÿ 3ß 4 Ÿ R ß ! "3 3 4

se define

l l l l ! !½ ½ ½ ½? œ ? #3œ" 3ß4œ"

R R`? ` ?`B `B `B! !

! !3 3 4

#

entonces es un espacio vectorial normado. TomandoV H#!a b


•

P À Ð Ñ

? PÒ?Ó œ + , -?

V H V H#

3ß4œ" 3œ"

R R

34 3` ? `?

`B `B `B

! !a b! !

⎯→

Ä#

3 4 3

demostrar que es acotado. Además demostrar que si es elípticoP Pentonces es uno a uno (es una consecuencia del principio del máximoPver notas breves)

NOTACIÓN. •V H V H# #

`! !

Ha b a bš ›œ 0 − Î0l œ !

22. . TEOREMA Sea un operador lineal. es un operador acotadoX À X„ …⎯→en si y sólo si es continuoHÐXÑ X .

La demostración se sigue de la desigualdad de Lipschitz

l l l l l ll la b a b a bX 0 X 1 œ X 0 1 Ÿ X 0 1… „

Consideremos el espacio el operadora ba b l lV" _Ò+ß ,Ó ß †

Q À Ò+ß ,Ó Ò+ß ,Ó0 Ä 0

V V"

wa b a b⎯→

no es continua, basta tomar operadores cerrados como los dados por lasucesión Ö 8>×sin 8œ"

_

23. . (Función abierta) TEOREMA Si y son espacios de Banach y„ …P À P„ …⎯→ es un operador lineal continuo y sobreyectivo entonces ( esabierta) abierto en se tiene que es abierto en .aK P K„ …a bNOTACIONES. En se usa para las bolas„

W 0 œ 0Î 0 0 < œ E 0 ß << ! ! !a b e f a bl l W œ E !ß < œ Ö0Î 0 <×< a b l lEn se usa para las bolas … Y 1 œ Ö0Î 0 1 <×ß Y œ E !ß << ! ! <a b l l a bDEMOSTRACIÓN. Para la demostración del teorema es suficiente demostrarque existe tal que .< ! P W ¨ Ya b" <


Se sabe de la teoría de conjuntos que si es una familia de conjuntosÖY ×!y es una función entonces0 À Q R⎯→

0 Y œ 0 YŠ ‹ a b ! !! !

Puesto que es cualquier abierto en , es reunión de bolas abiertas, porK „lo tanto es suficiente demostrar que es abierto. Ahora sea unP W 0 La ba b< !

abierto en , esto implica que dado existe una vecindad tal… 5 − L Z! 5!

que . Entonces es suficiente demostrar que si entoncesZ § L 1 œ P 05 ! !!a b

para cada existe tal que W 0 Y 1 P W 0 ¨ Y 1< ! = ! < ! = !a b a b a b a ba bNótese que (como es lineal ) P W ¨ Y Í P P W ¨ Ya b a b" < < <=

Necesidad: Si es dado y como Y § P W P 0 œ 1" " ! !a b a bP W 0 ¨ Y 1 0 0 >ß 1 1 <>a b a b l l l la b> ! <> ! ! ! pues y ,

Sea donde . Para un tal , tenemos0 − W 0 Í 0 œ 0 0 0 − W 0" > ! " ! > "a bP 0 œ P 0 P 0 œ P 0 1 ÖP 0 ×a b a b a b a b a b" ! ! y el conjunto de tales elementos0 − W Y> <> cubre a .

Demostremos ahora que para , tenemos = (ver< ! P W ¨ Y ß Wa b" < 8„ 8 œ "

_

espacios Magros en teoria de Baire)

Así tenemos

… „œ P œ P W œ P Wa b a bŒ 8 œ " 8 œ "

_ _8 8

Es falso que para cada , los conjuntos no son densos en ninguna8 P Wa b8parte ( no contiene ninguna bola abierta). Así existe tal que E 8 P W8 ! 8ˆ ‰

!

es denso en alguna bola. Entonces son cada uno denso enP W ß P W ßáa b a b" #

alguna bola. Entonces es denso en la bola P W Y 1a b a b" >

Veamos ahora que es denso en la bola , se puede obtener P W Y 0 − Wa b" < ! "

tal que y sea pequeña.P 0 œ 1 1 1a b l l! ! !

Tomando se ve que es denso en , entonces posee= > P W Y 1 P Wa b a b a b" = ! #

todos los vectores de la forma donde y es densoP 0 P 0 0 − W P Wa b a b a b! " #

en . Esto demuestra que es denso en tomando .Y P W Y < œ= " <=#a b


PARTE IMPORTANTE DE LA DEMOSTRACIÓN. Mostremos que contiene unaP Wa b"bola (para esto se usa la completez de ).Y: „

Sea mostremos que existe tal que . Escojamos 1 − Y ß 0 P 0 œ 1 ß< a b $

! " œ$ $ ( , se sigue de la rapidez de la convergencia). Se construyen"#

dos sucesiones , tales queÖ1 × Ö0 ×8 88œ" 8œ"_ _

0 − ß 1 œ P 0 ß 1 1 œ !8 8 8 88Ä_

„ a b l llim

Ö0 ×8 8œ"_ es convergente, puesto que el espacio es completo, podemos„

por lo tanto tomar tal que . Dado que eslim8Ä_

8"0 œ 0 0 Ÿ " Pl l a b$

continua (puesto que por hipótesis es acotado) se ve queP

P 0 œ P 0 œ 1 œ 1a b a blim lim8Ä_ 8Ä_

8 8

Esto demuestra que y por lo tanto dondeP W ¨ Y P W ¨ YŠ ‹ a ba b" < " :$ "

: œ < " a b$Construcción de y 1 08 8

P W Y 0 − W 1 œ P 0a b a b" < " " " " es denso en , entonces existe tal que se puedetomar . Siendo denso en es denso en . Sel l a b a b1 1 < P W Y ß P W Y" " < <$ $ $

ve que es denso en . Existe así con talP W 0 Y 1 0 0 0 a b a b l la b$ $" < " # # " $

que . Se escribe se halla tal que l l a b l la bP 0 1 < 1 œ P 0 0 0 0 # # # $ $ ## #$ $

1 œ P 0 1 1 < Ö1 × Ö0 ×$ $ $ 8 8$ _ _

8œ" 8œ"a b l l, esto nos da la sucesión y y$

lim8Ä_

8 881 œ 1 1 1 < y l l $

Si entonces obtenemos esto implica que8 7 0 0 œ 0 08 7 3" 33œ7

8"!a b

l l l l!0 0 Ÿ 0 0 â8 7 3" 33œ7

8"7 7" 8"$ $ $

" â œ " $ $ $ $ $7 # 7 "a b a bEntonces es una sucesión de Cauchy. Sea Ö0 × 0 œ 08 88œ"

_

8Ä_lim

,0 œ 0 0 0" 3" 33œ"

_!a bentonces


l l l l l l a b0 Ÿ 0 â Í 0 Ÿ " â œ " "# # "$ $ $ $ $

NOTA. Sea una sucesión , así:Ö0 × 0 œ 0 0 08 8 " 3" 38œ"_

3œ"

8"!a b .0 œ 0 œ 0 0 0lim

8Ä_8 " 3" 3

3œ"

_!a b

24. . TEOREMA Si y son espacios de Banach y es un operador„ … „ …P À ⎯→lineal acotado y es una biyección entonces es un operadorP P À" … „⎯→lineal acotado.

DEMOSTRACIÓN. . Puesto que si entonces conP 1 − 1 œ P 0" es lineal … a b0 − „, así

P Ò1 1 Ó œ P P P 1 P P 1 œ PP P 1 P 1" " " " " " "" # " # " #c d c da b a b a b a ba b a b

œ P 1 P 1" "" #a b a b

De otra forma sería

1 1 œ P 0 P 0 œ P 0 0 Í P 1 1 œ 0 0" # " # " # " # " #"a b a b a b a b

pero

0 œ P 1 Í 1 œ P 0" " " ""a b a b

por lo tanto

0 0 œ P 1 P 1" # " #" "a b a b

así

P 1 1 œ P 1 P 1" " "" # " #a b a b a b

P" es acotada

P Í P" "es acotada es continua

Sea por el teorema de la función abierta se sigue que W œ P À W" … „⎯→es continua esto implica que cada abierto de , es abierto en ,K W K„ …"a bpues,

W K œ P K œ P K" " "a b a b a b a b


25. . DEFINICIÓN Supongamos que y son espacios de Banach.„ …Denotemos por es un operador lineal acotado ._ „ … „ …a bß œ ÖQ À ÎQ ×⎯→Si entonces„ …œ ._ „ … _ „a b a bß œ

26. donde es la norma de los operadores acotados, esa b l la b l l_ „ …ß ß † †un espacio de Banach.

Demostremos que es una normal l†3Ñ Q − Ð ß Ñ Q œ Q B ! Si entonces _ „ … l l l la bsup

0 −0 œ "„l l

…

Si , entonces entonces paral l l l l ll l l la b a bQ œ ! ! œ Q 1 Ÿ Q 1 Q 1 œ !… „ …

todo para todo .1 − Í QÐ1Ñ œ ! 1 − Í Q œ !… …

33Ñ − Q − Ð ß Ñ Si y entonces! ‚ _ „ …

l l l l l l l l l la b a b a b! ! ! ! !Q œ Q 0 œ l l Q 0 œ l l Q 0 œ l l Q0 − 0 − 0 −sup sup sup

„ „ „l l l l l l0 œ " 0 œ " 0 œ " … …

333Ñ Qß X − Ð ß Ñ Si , entonces_ „ …

l l l l l l l la ba b a b a b a b a bQ X 0 œ Q 0 X 0 Ÿ Q 0 X 0… … … …

para todo Ÿ Q 0 X 0 Ÿ Q X 0 0 −l l l l l l l l e fl ll l l l… „ … „ … … „ „

pasando al supremun entonces l l l l l lQ X Ÿ Q X

3@Ñ Ð ß Ñ Seguidamente demostremos que es completo en esta norma_ „ …l l† ÖX × Ð ß Ñ. Supongamos que es una sucesión de Cauchy en 8 8œ"_ _ „ …

entonces . Si se tiene quelim8ß7Ä_

8 7l lX X œ ! 0 − „

l l l l l ll la b a b a ba bX 0 X 0 œ X X 0 Ÿ X X 0 Ä !8 7 8 7 8 7… …

entonces tenemos que cuando por lo tantol la b a bX 0 X 0 Ä ! 8ß7 Ä _8 7

ÖX 0 × X 08 88œ"_

8Ä_a b a b es una sucesión de Cauchy en , entonces existe… lim

en (por ser un espacio de Banach). Se define… …

X À0 Ä X 0 œ X 0

„ …⎯→a b a blim 8Ä_

8


X es trivialmente lineal, nos basta por lo tanto ver que es acotado.Sabemos que esto quiere decir que¹ ¹l l l l l lX X Ÿ X X Ä !8 7 8 7

Ö X ×l l8 8œ"_ es una sucesión de Cauchy de números reales, por lo tanto

existe tal que . Luego usando esto tenemos que< ! X œ <lim8Ä_

8l l

l l l l a ba b Š ‹½ ½X œ X 0 œ X 0 Ÿ <sup sup liml l l l0 œ " 0 œ " 8Ä_

8

teniéndose que

l la bl lX 00 Ÿ <

Luego

de donde l l l la bX 0 Ÿ < 0 X − Ð ß Ñ_ „ …

Veamos que la sucesión converge a , ya que es unaÖX × X ÖX ×8 88œ" 8œ"_ _

sucesión de Cauchy en entonces dado , existe tal_ „ … % %Ð ß Ñ ! RÐ Ñ !

que si se tiene que 8 7 RÐ Ñ X X % %l l8 7

Para todo se tiene que0 − „

l l l ll l l la b a bX 0 X 0 Ÿ X X 0 Ÿ 08 7 8 7 %

Tomando límite cuando 7 Ä _

lim lim7Ä_ 7Ä_

8 7 8 7l l l l a b a b l la b a b ½ ½X 0 X 0 Ÿ 0 Í X 0 X 0 Ÿ 0% %

Esto quiere decir que para todo . Por lo tantol ll l l lX X 0 Ÿ 0 0 −8 % „

, luego l lX X Ÿ X œ X8 88Ä_

% lim

EJERCICIO. Supongamos que es una función continua y5 À Ò!ß "Ó ‚ Ò!ß "Ó d⎯→existe una sucesión de funciones donde esÖ5 × ß 5 À Ò!ß "Ó ‚ Ò!ß "Ó d8 88œ"

_ ⎯→una función continua y . Silim

8Ä_8 _l l5 5 œ !

O Ò0Ó B œ 5 Bß C 0 C .C ß OÒ0Ó B œ 5 Bß C 0 C .C ß a0 − ÐÒ!ß "ÓÑ8 8! !

" "a b a b a b a b a b a b' ' y , V

entonces demostrar que converge a en .ÖO × O Ð Ò!ß "ÓÑ8 8œ"_ _ V


En efecto,

l l a b a b a b a ba ba b ¹ ¹O O 0 œ 5 Bß C 0 C .C 5 Bß C 0 C .C8 8! !

" "sup

B − Ò!ß "Ó

' ' œ 5 Bß C 5 Bß C l0 C l.C Ÿ 5 5 l0 C l.C

Ósup supB − Ò!ß " B − Ò!ß "Ó

' '! !

" "8 8 _k k a b l l a ba b a b

Ÿ 5 5 0l l l l8 _ _

Luego, l l l lO O Ÿ 5 5 Ä !Þ8 8 _

NOTA. Cuando es continua por el teorema de Weierstrass es5 Bß C8a bposible escribir

5 Bß C œ B C8 7 87œ"

8a b a b a b! < 9

Esto es a se le pueden separar las variables mediante funciones5 Bß C8a bpolinómicas

Observemos la ecuación de la forma

0 B 5 Bß C 0 C .C œ 1 C Ma b a b a b a b a b'!

"

5 À Ò!ß "Ó ‚ Ò!ß "Ó d⎯→ continua. Supongamos que se tiene el siguenteproblema: Dado , se desea determinar tal que satisfaga la1 − ÐÒ!ß "ÓÑ 0V

siguiente implicación: Si es un operador lineal« X Ò0 Ó B œ 5 Bß C 0 C .Ca b a b a b'!

"

entonces el problema tendrá la forma a b a bM M X 0 œ 1»

Si se desea que una tal exista, esto se tendrá cuando sea un0 M Xa boperador invertible.

27. Supongamos que , donde es un espacio de Banach yX À „ „ „⎯→X − Ð Ñ X " M X_ „ (es lineal acotado) si entonces existe yl l a b„

"

a bM X − Ð Ñà M X" _ „ en ese caso se dice que es invertible.

DEMOSTRACIÓN. Si , entonces ya que para todo enterol l l l l lX " X Ÿ X8 8

positivo , entonces sabemos que .8 X Ÿ X œ! !l l l l8œ! 8œ!

8_

8 "" X

_

l l


Como es un espacio de Banach y converge entonces _ „Ð Ñ X X! !l l8œ! 8œ!

_ _8 8

converge en además se tiene que_ „Ð Ñ

a b a b a b! ! !M X † X œ M X X œ M X † X8œ! 8œ!

_ 8 88 5 5

8Ä_ 8Ä_5œ"

lim lima b" œ X X œ M X œ Mlim lim

8Ä_ 8Ä_5œ!

85 5" 8"! ˆ ‰ a ba b a b# $

a b" Ð Ñ Ð Ñ Recuérdese que es una operación continua_ „ _ „⎯→Q Ä P †Q

a b# Se trata de una suma telescópica

a b l l l l!$ X X ! Ÿ X Ä ! X œ !8œ!

_8 8 88

8Ä_ converge y , entonces •lim

Por lo anterior tenemos que .a b !M X œ X"

8œ!

_8

Para el problema tendríamos que la solución (en el caso de quea bMl l a b!X " 0 œ X 1) es .

8œ!

_8

28. Supongamos que es un espacio de Banach y . Si„ _ „P ßPß P − Ð Ñ! !"

l ll lP P P " P − Ð Ñ P! !" ", entonces (es decir, es invertible)_ „

PRUEBA. Denotemos por entoncesE œ P P!

P œ P E œ P M P E! ! !"a b

ya que

l l l ll l l ll lP E Ÿ P E œ P P P "! ! !" " "

!

por el teorema anterior tenemos es invertible ya b a b#( M P E!"

a b a b a b! ! a bM P E œ P E œ P P P! ! !" " "" 8 8

8œ! 8œ!

_ _

!

ya que y entoncesP − Ð Ñ M P − Ð Ñ! !" " "

_ „ _ „a b P œ M P E P − Ð Ñ" " "

! !"a b _ „


Además

P œ P E P œ P P P P" " " " "

8œ! 8œ!

_ _

! ! ! !8 8

!Œ ! !a b a ba bVeamos ahora

l l a b¾ ¾! a bP P œ P P P P" " " "! ! !

8œ"

_

!8

Ÿ P P P P¾ ¾!a b l la b8œ"

_

! !" "

!8

Ÿ P P P P!a b l ll ll l8œ"

_

! !" "

!8

Sea = por hipótesis luego? l ll lP P P "!"

!

! !a b l l l l l ll ll l8œ" 8œ"

_ _

! ! ! !" " 8 " "

!8

"P P P P œ P œ P? ??

Por lo tanto

l l a b l l a bP P Ÿ " P MM" " "! !

"? ?

29. . DEFINICIÓN Sea un espacio de Banach, y es un operador„ „ „X À ⎯→lineal ( no es necesariamente acotado) al conjuntoX

3 - ‚ - _ „a b a b˜ ™X œ − Î M X − Ð Ñ"

se le denomina conjunto de . Al complemento de resolvente X ÐX Ñ ÐX Ñ5 3

en ( ) se le denomina de ‚ 5 ‚ 3ÐX Ñ œ ÐX Ñ X Þel espectro

Si se denota por - 3 - -− ÐX Ñ VÐ ß X Ñ œ Ð M XÑ"

V † ß X À ÐX Ñ Ð Ñ

Ä M X

a b a b3 _ „

- -

⎯→"

V † ß X Xa b se le denomina el de .operador resolvente

NOTA. 1. Puede suceder que no sea invertible pero existe tal queX -- - - -M X M X œ M " es invertible por que y existe tal que .ˆ ‰ ¼ ¼X X

- -

2. Recordemos el teorema de Banach para operadores acotados: Sea Xun operador lineal acotado, que efectúa una transformación biunívoca del


espacio de Banach sobre el espacio de Banach . Entonces el operador„ …inverso es acotado (ver el teorema 24.)X"

30. Si , entonces si y sólo si es una biyección.X − Ð Ñ − ÐX Ñ M X_ „ - 3 -a bNotación:

- 5- „ -

-

-

− ÐX Ñ ÍM X Í b 0 − M X 0 œ !ß 0 œ !Î

Í b0 œ ! X 0 œ 0ÎM X

ÚÝÛÝÜa b a ba ba ba b

no es 1-1 tal que a tal que

no es sobre

también se tiene que

5 - ‚ -a b a b l lX § F ! œ Ö − Î l l Ÿ X ×l lX

por que y es invertible - - -M X œ M Í " Í X Ÿ l lˆ ‰ ¼ ¼ l lX X- -

Si consideramos el radio espectral de .sup- 5− ÐX Ñ

l l œ X- « »

31. . DEFINICIÓN Supongamos es una aplicación lineal y unX À „ „ „⎯→espacio de Banach. Si y existe, en este caso se- 3!

Ä

V ßX V ßX− ÐX Ñ lim

- -

- -- -

!

!

!

a b a bdice que es analítica enV † ß Xa b .-!

EJERCICIO. Demostrar que la función es continua en .V † ß X ÐX Ña b 3

Sugestion: Tomar , usar para la construcciónP œ M X P œ M X MM! !- - a bde y .% $

32. . TEOREMA Si es un operador lineal acotado esto es X X − Ð Ñ_ „

entonces

a b a b a b" X œ Ö − Î M X × es invertible es abierto3 - ‚ -

a b a b a b a b# V † ß X À ÐX Ñ Ð ÑÄ V ß X œ M X

es una función analítica.3 _ „- - -

⎯→"

DEMOSTRACIÓN. Supongamos que esto quiere decir quea b" − ÐX Ñ- 3!a b a b- - _ „ - ‚! !"M X M X − Ð Ñ − y . Si y supongamos que

l l a ba b a b ¼ ¼- - -M X M X M X "! !"

entonces


l l M X "- - -! !"¼ ¼a b

pero esto equivale a que

l l Ÿ M X œ MMM- - - $! ! !" "¼ ¼a b a b

Por el teorema 28. anterior, si satisface entonces es- ‚ -− MMM M Xa b a binvertible por lo tanto

F œ Ö Îl l × § ÐX Ñ$!a b- - - - $ 3! ! !

esto muestra que es abierto.3a bX

a b# − ÐX Ñ Supongamos que entonces- 3!

VÐ ß X Ñ VÐ ß X Ñ œ M X M X- - - -! !" "a b a b

œ M X M X M X M Xa b c da ba b a b- - - -" "! !

œ V ß X V ß X a b a ba b- - - -! !

Obteniéndose que

VÐ ßX ÑVÐ ßX Ñ !

- -- -

!

!œ VÐ ß X ÑVÐ ß X Ñ- -

Pasando al límite tenemos

lim- -

- -- -Ä

VÐ ßX ÑVÐ ßX Ñ

#!

!

!

!œ V Ð ß X Ñ-

Así el límite existe y es analítica en .VÐ † ß X Ñ ÐX Ñ3

33. . .TEOREMA Si y si entonces no es vacío„ F _ „ 5Á X − Ð Ñ ÐX Ñe fDEMOSTRACIÓN. Supongamos que entonces es analítica en5 FÐX Ñ œ VÐ † ß X Ñ‚ -. Para todo se tiene quel l Xl l VÐ ß X Ñ œ M X œ M œ- - - -a b ˆ ‰ ˆ ‰!" " "X X" 8

8œ!

_

- -

así


l l k k k k¾ ¾ ¾ ¾! ! !ˆ ‰ ˆ ‰ ¼ ¼VÐ ß X Ñ œ œ Ÿ œ- - - -" " "

8œ! 8œ! 8œ!

_ _ _X X X8 8 8

"- - -

-¸ ¸¼ ¼"

X-

de donde

l lVÐ ß X Ñ Ÿ- "l l X- l l

cuando , tenemos- Ä _

lim-Ä_

l lVÐ ß X Ñ œ !-

Esto equivale a que dado , existe tal que , entonces% - ! Q ! l l Q

<k kVÐ ß X Ñ- %

Luego es acotado, por lo tanto por el teorema de Liouville seVÐ ß X Ñ-

tiene que es constante, así para todo VÐ ß X Ñ ß ß Á- - - - -" # " #

a b a b- - - -" # " #" "M X œ M X Í M X œ M X

Así para todo ,0 − „

,a ba b a ba b- -" #M X 0 œ M X 0

lo cual es equivalente a que para todo ,0 − „

- -" #0 œ 0

o equivalentemente para todo ,0 − „

a b- -" # 0 œ !

como , entonces para todo , así lo cual es - - „ „ F" #Á 0 œ ! 0 − œ Ö × po a bcontradictorio por la hipótesis. Por lo tanto .5 FÐX Ñ Á

34. . LEMA Si y entoncesX − Ð Ñ X œ l l_ „ P -5a b sup- 5− ÐX Ñ

P P5 5a b l l a ba b l lX œ X X Ÿ Xlim inf 8"8


DEMOSTRACIÓN. Denotemos por . Vamos aa ba b5 - - 5X œ Ö Î − ÐX Ñ×8 8

demostrar que supongamos que entoncesa b a b a ba b a b5 5 " 5X § X − X8 88

existe tal que ya que es acotado entonces- 5 - " 5− ÐX Ñ œ − X X8 8a ba ba b a b- -M X M X no es uno a uno , ó, no es sobre (recuérdese que- 5− Xa b).Supongamos que no es uno a uno entonces existe , a b- „M X 0 − 0 Á !

tal que

a ba b a b- -M X 0 œ !ß X 0 œ 0

Por lo tanto

X 0 œ X X 0 œ X 0 œ X 0 œ 0# #a b a b a b a ba b - - -

de donde se sigue que

X 0 œ 0 Í M † X 0 œ !8 8 8 8a b a ba b- -

esto es de donde en este caso - 5 5 58 8 88− X X § X Þa b a b a ba bSupongamos ahora que no es sobreyectiva, entonces se tiene que-M XV M X Á M Xa b- „ - (el rango de )

Pero se tiene que

a b a ba b- - - -8 8 8" 8# 8"M X œ M X M X â X

Luego el rango de está contenido en - -8 8M X V M Xa b(Recuérdese que si y ademásP § O † L Ê V P § V O V P § V L a b a b a b a bOÒL Ó § O Áa b a b„ „ „).

Por lo tanto o sea que no es sobreyectivo, loV M X Á M Xa b a b- „ -8 8 8 8

cual implica que , por lo tanto tenemos- 58 8− ÐX Ñ

a b a ba b5 5X § X8 8

Esto implica que para todo - 5 - - P− ÐX Ñß l l œ l l Ÿ X8 85a b

l l Ÿ X ß X Ÿ X Ÿ X- P P Pa b a b a b l la b a b5 5 58 8 8

" " "8 8 8

entonces


P5a b l lX Ÿ X Þlim inf 8"8

35. .TEOREMA Supongamos que , la serie es tal queX − Ð Ñ X_ „ - -" 8 8

8œ!

_! converge si 3Ñ l l X- P5a b diverge si < 33Ñ Xk k a b- P5

DEMOSTRACIÓN. Sabemos que para todo , entonces- -l l Xl lV ß X œ X VÐ † ß X Ña b !- - -" 8 8

8œ!

_

y es analítica en

el resolventeÖ Îl l X ×- - P5a b a b

a

||T||

γγ (Τ)σ

Por lo tanto para todo ,- P5a bX

=VÐ ß X Ñ X- - -" 8 8

8œ!

_!(Recuérdese el teorema de Laurent el cual afirma que toda funciónanalítica en una corona es desarrollable en serie de Laurent3 3# " lDl en esta corona. Teniéndose así una independencia en los coeficientes deldesarrollo ).0 D œ + D + + œ .Da b a b!

8œ!

_

8 88 "

# 30 D

D+1 #' a ba b8"

Si

l l X Ÿ X Ÿ X- P5a b l l l llim inf lim sup8 8" "8 8

entonces esto quiere decir que la serie diverge en .- P X5a b


36.1 . .COROLARIO P5a b l lX œ Xlim sup8 Ä _

8"8

36.2 . COROLARIO P5a b l l l l l lŠ ‹X œ X Ÿ X œ Xlim8Ä_

8 8" "8 8

NOTA. Debe tenerse que y se tiene un ejercicio dondeP5a b l lX Á XP5a b l lX X .

37-1. .TEOREMA DE HAHN-BANACH

Sea un espacio de Banach real y un subespacio de . Sea unF Q F Jfuncional lineal acotado sobre con norma . EntoncesQ J À Q d Ja b l l⎯→ Q

existe un funcional acotado tal queK À F d⎯→

para cada +Ñ K0 œ J0ß 0 − Q

,Ñ K œ Jl l l lQEn otras palabras es una extensión de a sin aumento en la norma.K J F

37-2. .TEOREMA Sea un espacio de Banach real, un subespacio de .F Q FSea un funcional lineal acotado sobre con norma . SeaJ Q Jl lQ1 − Fß 1 Á ! 1 Â Q y . Si;

R œ Ö0 1Î0 − Qß − O×! !

Entonces existe un funcional acotado tal queK K À R d⎯→

, para todo a b+ K0 œ J0 0 − R

a b l l l l, K œ JR R

DEMOSTRACIÓN. 1. está bien definido, porque supongamos que0 1!0 1 œ 0 1 0 0 œ 1 0 0 − Q! ! ! !w w w w w, entonces . Como de dondea bse tendría que contra la hipótesis.1 − Q

2. Para se tiene que donde .K K 0 1 œ K0 K1 œ J0 < < œ K1a b! ! !

3. Sean se tiene0 ß 0 − Qw ww

J0 J0 œ J 0 0 Ÿ J 0 0 œ J 0 1 0 1w ww w ww w ww w wwQ Qa b l l l l l l l la b a b

Ÿ J 0 1 J 0 1l l l l l l l lQ Qw ww


de donde

J 0 1 J0 Ÿ J 0 1 J0l l l l l l l lQ Qww ww w w

4. Manteniendo fijo y variando , se denomina0 0w ww

W œ J 0 1 J0sup0 − Qww

š ›l l l lQww ww

y análogamente

X œ J 0 1 J0inf0 − Qw

š ›l l l lQw w

obteniéndose de 3., que .W Ÿ X

5. Se toma ahora un número en , para el cual escribimos en# ‘Wß X 0

lugar de y obteniéndose la siguiente desigualdad0 0w ww

J 0 1 J0 Ÿ Ÿ J 0 1 J0l l l l l l l lQ Q#

Sumando a todos los términos llegamos aJ0

J 0 1 Ÿ J0 Ÿ J 0 1l l l l l l l lQ Q#

de donde

lK 0 1 l Ÿ J 0 1a b l l l lQ

pues

K 0 1 œ J0 a b! !#

donde se ha tomado ! œ "

6. Se pueden considerar los siguientes casos para !

3Þ œ !ß 33Þ œ "Þ 333Þ !ß 3@Þ œ "ß @Þ !! ! ! ! !

3Þ œ ! K0 œ J0Cuando es claro, pues en ese caso !

33Þ œ "Cuando se hace como en 5.!


333Þ ! 0 1 œ 0 1 0 − Q Cuando se toma y se nota que y lo! ! ! ! !a b" "

podemos utilizar en el papel de en el caso y se obtiene la expresión0 33Þ

siguiente

k k k k l l l l l l l la b a bK 0 1 œ K 0 1 Ÿ l l J 0 1 œ J 0 1! ! ! ! ! !" "Q Q

3@Þ œ "Para se tiene!

lK 0 1 l œ lK 0 1 l Ÿ J 0 1 œ J 0 1a b a b l l l l l l l lQ Q

@Þ 333ÞEs claro, y se hace igual al caso

Caso complejo. Sea un espacio de Banach complejo, un subespacioF Qcomplejo de . puede ser considerado un espacio real y también,F F Qasí tomemos entonces0 − Q

J0 œ 3 ß ß − d! " ! " œ J 0 3J 0" #

por lo tanto , ! "œ J 0 œ J 0" #

J J" # y son funciones lineales reales y acotadas ya que

J0 œ 3" " "! " J0 œ 3# # #! "J 0 0 œ J 0 0 3J 0 0 œ J 0 J 0 3 J 0 J 0a b a b a b a b a b a b" # " " # # " # " " " # # " # #

œ J 0 3J 0 J 0 3J 0 œ J 0 J 0a b a b a b a ba b a b a b a b" " # " # # # " ##

pues,

J 0 0 œ œ J 0 J 0" " # " # " " " #a b ! !

Sea entonces .- - - ! " -! -" -− d J 0 œ 3 œ 3 œ J 0a b a b a b a bJ J" #, son acotadas; puesto que

lJ 0l œ l l Ÿ l 3 l œ lJ0l Ÿ J 0" Q! ! " l l l lentonces

l l l lJ Ÿ J" Q Q


Ahora tenemos

3J 0 œ J 30 œ J 30 3J 30a b a b a b a b" #

pero también

,3J 0 œ 3J 0 J 0a b " #

de donde

J 30 œ J 0" #a b a basí tenemos

J0 œ J 0 3J 30" "a bSea una funcional lineal acotada extensión de a todo conK J F" "

l l l lK œ J" " Q

El candidato que cumple el teorema es dado porK

K œ K 0 3K 30" "a by se demuestra que: es lineal, es acotada con .a b a b l l l l" K # K K œ J

a b" K es lineal

Para a b+ 0 0 ß" #

K 0 0 œ K 0 0 3K 3 0 0 œa b a b c da b" # " " # " " #

œ K 0 K 0 3 K 30 K 30 œ" " " # " " " #c da b a b œ K 0 3K 30 K 0 3K 30 œ K 0 K 0c d c d a b a ba b a b" " " " # " # " #

Para ,a b a b, 3 0! "

K 3 0 œ K 3 0 3K 3 3 0c d c d c da b a b a b! " ! " ! "" "

œ K 0 3 30 3K 30 0" "a b a ba b a b! " ! "

œ K 0 K 30 3 K 0 K 30! " " !" " " "a b c da b a b œ K 0 K 30 3 K 0 3 K 30! " " !" " " "a b a b a b œ 3 K 0 3 3 K 30 œ 3 K 0 3K 30a b a b a b a b a ba ba b! " ! " ! "" " " "

œ 3 K 0a b a b! "


a b# K es acotada

Mostremos que l l l lJ œ J" Q

Para , donde 0 − Q J0 œ lJ0l œ "0 0

|J0l œ J 0 œ J 0 Ÿ J 0 œ J 0a b a b l ll l l ll l0 0 0" " "" " "

entonces

l l l lJ œ JQ Q"

Análogamente , así •l l l l l l l lK œ K K œ J" Q

37.2 . TEOREMA Sea un espacio de Banach y sea en . Existe unF 0 Á ! F

J − F J Á ! J0 œ J 0‡, tal que entoncesl ll l .J0 œ lJ0l

DEMOSTRACIÓN. Sea una función definida porQ œ Ö 0×ß J À Q O! ⎯→J 0 œ 0 J Ja b l l! ! , es lineal y es acotada porque

lJ 0 l œ 0 œ l l 0 œ 0 " 0 Ê J œ "a b l l l l l l l l l l¹ ¹! ! ! ! !

Ahora se usa el teorema de Hahn-Banach para extender a .F

37.3 Si existen funciones lineales acotadas , talesF Á Ö!× J Á ! J − F‡

que para .0ß 1 − Fß 0 Á 1ß J0 Á J1

DEMOSTRACIÓN. Después de usar el teorema 37.2 y hallar una extensióntenemos que , así y como es natural0 1 Á ! J 0 1 œ 0 1a b l l entonces ! Á J 0 J 1 œ 0 1 J 0 Á J 1a b a b l l a b a bAsí los funcionales en un espacio de Banach distinguen los elementosde . F

38. Si es un espacio de Banach entonces es un espacio de„ „ _ „‡ œ Ð ß dÑBanach.

39. Si es un espacio de Banach y entonces existe tal que„ „ „0 − 0 −‡ ‡

0 0‡a b œ 0 0 œ "l l l l y .‡


DEMOSTRACIÓN. . Se define si ,Ò0 Ó œ Ö 0Î − d× 0 À Ò0 Ó d +0 − Ò0 Ó! ! ‡ ⎯→entonces .0 0 œ 0‡a b l l! !

En particular para se tiene . Ahora! œ " 0 0 œ 0‡a b l l l l a bl l ¹ ¹0 œ 0 1 œ œ œ œ "

1 œ − d

‡ ‡ 0 0 0 0 00 0 0sup sup sup

"1 − Ò0 Ó

− d!

l l l l l la b a bl l l l l l‡ ‡!!

!

Por el teorema de Hahn Banach, se extiende tal que 0 À d 0 œ "‡ ‡„⎯→ l l39.1 . COROLARIO Si es un espacio de Banach y y , para„ „0 − 0 0 œ !‡a btodo entonces tenemos que 0 −‡ ‡„ 0 œ ! .

40. . PROPOSICIÓN Supongamos que es un espacio de Banach. Si ,„ „0 −

entonces l l a b¹ ¹0 œ 0 0sup0 −

0 œ "‡ ‡

‡„l l

‡

DEMOSTRACIÓN. Por 39. l l a b¹ ¹0 Ÿ 0 0sup0 −

0 œ "‡ ‡

‡„l l

‡

Para ver el recíproco, se sabe que

si l l l ll l l l l la b0 0 Ÿ 0 0 Ÿ 0 0 œ "‡ ‡ ‡

por lo tanto pasando al supremun se tiene

sup0 −

0 œ "‡ ‡

‡„l l

¹ ¹a b l l0 0 Ÿ 0‡

De donde se sigue la igualdad.

NOTACIÓN. Si es un espacio de Hilbert y entoncesa b" 2 −[ [

Ø2ß † Ù À d0 Ä Ø2Þ0Ù œ 2 0[⎯→

‡a beste es un funcional lineal y el teorema de Riesz garatiza que todofuncional se puede escribir en esta forma.

a b# 0 − 1 − Supongamos que es un espacio de Banach, si y „ „ „‡ ‡

denotaremos por


¡ a b0 ß 1 œ 0 1‡ ‡

41. . Si , PROPIEDADES ! " „ „ß − d 0 ß 1 − ß 0 ß 1 −‡ ‡ ‡

a b ¡ ¡ ¡3 0 ß 0 1 œ 0 ß 0 0 ß 1 ‡ ‡ ‡! " ! "

a b ¡ ¡ ¡33 0 1 ß 0 œ 0 ß 0 1 ß 0! " ! "‡ ‡ ‡ ‡

a b l ll l¸ ¸ ¡333 0 ß 0 Ÿ 0 0‡ ‡

a b ¡3@ 2 ß 0 œ ! 2 − 0 œ ! Si para todo entonces .‡ ‡ ‡„

42-1. . DEFINICIÓN Supongamos que y son dos espacios de Banach y„ …P − Ð ß Ñ_ „ … (0perador lineal acotado). Se define

P À‡ ‡ ‡… „⎯→

Si entonces para todo 0 − P 0 œ 0 P 0 0 −‡ ‡ ‡ ‡ ‡… „a b a ba bP‡ es lineal

42-2. . LEMA 0 ß 1 − 0 1 œ 0 1‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡… entonces a bEn efecto;

a b a b a b a b a ba b ¡0 1 B œ 0 1ß B œ Ø0ß BÙ Ø1ß BÙ œ 0 B 1 B œ 0 1 B ß aB −‡ ‡ ‡ ‡ ‡ …

P 0 2 œ 0 P 2 a2 −‡ ‡ ‡a ba b a ba b „

P 0 1 2 œ 0 1 P 2 œ 0 P 2 1 P 2 œ P 0 2 P 1 2‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡a ba b a ba b a b a b a ba b a ba ba b a b a bP 0 2 œ 0 P 2 œ 0 P 2 œ P 0 2‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡a ba b a ba b a b a ba ba b a b! ! ! !

P PÞ‡ es un operador acotado, llamado de operador adjunto

43. . PROPOSICIÓN Si y son espacios de Banach y es un„ … „ …P À ⎯→operador lineal es el operador lineal adjunto, entoncesP À‡ ‡ ‡… „⎯→

l l l lP œ P‡

de donde sale la acotación de P‡

DEMOSTRACIÓN. l l l l l ll l l ll ll la ba b a b a ba bP 0 0 œ 0 P 0 Ÿ 0 P 0 Ÿ 0 P 0 ß a0 −‡ ‡ ‡ ‡ ‡ „


Por lo tanto se tiene

para todo l l l ll la bP 0 Ÿ 0 P ß 0 −‡ ‡ ‡ ‡ ‡„

Luego queda acotado y tenemosP‡

l l l lP Ÿ P‡

Para el recíproco tenemos

l l a b a b l ll la b a b a bl l l l¹ ¹ ¹ ¹P 0 œ 0 P 0 œ P 0 0 Ÿ P 0 ß a0 −sup sup0 œ " 0 œ "

0 − 0 −‡ ‡

‡ ‡ ‡ ‡… …

‡ ‡ ‡ ‡ „

entonces

l l l lP Ÿ P‡

Por lo tanto l l l lP œ P Þ‡

Por ejemplo en el caso del Laplaciano

?? œ ` ? ` ? ` ?`B `B `B

# # #

" ## # #

8 â

donde •? V H V HÀ

#! !a b a b⎯→

se puede demostrar, integrando por partes que

, ¡ ¡? ? ? ?? @ œ ?@ œ ? @ œ ?ß @' 'H H

NOTACIÓN. Supongamos que donde es un espacio de Banach, seW § „ „denota por

para todo W œ 0 − Î 0 ß 0 œ ! 0 − W¼ ‡ ‡ ‡š › ¡„

Si se simboliza porW §‡ ‡„

para todo .a b š › ¡W œ 0 − Î 0 ß 0 œ ! 0 − W‡ ‡ ‡ ‡¼ „


44. 1.PROPOSICIÓN Supongamos que y son espacios de Banach,„ …entonces si tenemosX − Ð ß Ñ_ „ …

a b3 VÐX Ñ X Si es el recorrido de , entonces

V X œ R Xa b a b‡ ¼

a b33 VÐX Ñ VÐX ÑSi es cerrado entonces también lo es y además‡

VÐX Ñ œ R X‡ ¼a b44.1 2. PROPOSICIÓN Supongamos que es un espacio de Banach. Si la„bola cerrada unitaria

H œ 0 − Î 0 Ÿ "š ›l l„

es compacta, entonces es de dimensión finita.„

44.2 3. PROPOSICIÓN Supongamos que es un espacio de Banch. Si „ ` „Áes un subespacio cerrado de , entonces existe un elemento„ %! "

0 − 0 œ " 0 1 " „ ` % tal que y para todol l l l 1 − `

45. . DEFINICIÓN Supogamos que y son espacios de Banach y „ … „ …X À ⎯→es un operador lineal, si para toda sucesión en , se tiene queÖ0 ×8 8œ"

_ „l l0 Ÿ < < ! 8 "8 „ , para algún y para todo , entonces existe unasubsucesión tal que converge en , en este caso˜ ™ ˜ ™a b0 X 08 85œ" 5œ"

_ _5 5

…

decimos que es un operador .X lineal compacto

46. . PROPOSICIÓN Supongamos que es un espacio de Banach. Si„X À − Á !„ „ - ‚ -⎯→ es un operador lineal compacto , entoncesR M Xa b- es de dimensión finita.

DEMOSTRACIÓN: Supongamos que es una sucesión de talÖ0 × R M X8 8œ"_ a b-

que como es compacto, entonces existe una subsucesiónl l0 Ÿ " X8˜ ™ a b0 Ö0 × X 0 Ä 1 5 Ä _8 8 85œ"

_8œ"_

5 5 de tal que en cuando y tenemos„

que entonces cuando , pora ba b a b a b-M X 0 œ ! 0 œ X 0 Ä 1 5 Ä _8 8 8" " "

5 5- -

lo tanto es una subsucesión convergente, esto quiere decir queÖ0 ×8 5œ"_

5

la bola cerrada unitaria en es compacta por lo tanto R M X R M Xa b a b- -

es dimensión finita. (Vea 44.1 proposición 2.)


.a b" Como entonces tenemos que de dondea ba b a b- -M X 0 œ ! 0 œ X 08 8 8

0 œ X 0 0 œ X 08 8 8 8" "- -

a b a b, en particular 5 5

.

47. .PROPOSICIÓN Si es un operador compacto entoncesX À „ „⎯→X À‡ ‡ ‡„ „⎯→ es un operador lineal compacto.

DEMOSTRACIÓN. Recordemos primero el Lema de Arzela-Ascoli:Supongamos que es un espacio de Banach y , tal que es„ H „ H§compacto. Si , es uniformemente acotado y equicontinuo,W § Ð ß Ñ WV H ‚

entonces es relativamente compacto (esto es completamenteWequivalente a decir que cualquier sucesión en tiene unaÖ0 × W8 8œ"

_

subsucesión convergente en .V H ‚Ð ß Ñ

Veamos ahora la demostración de 47., para lo cual debemos mostrar quela imagen de la bola unitaria de es relativamente compacta.„‡

Denotemos por y las bolas unitarias cerradas de y W W‡ ‡„ „respectivamente. Consideremos los elementos de definidos sobreW‡

X W Wa b. Demostraremos que es uniformemente acotado y equicontinuo‡

como subconjunto de V ‚ÐX ÐWÑß Ñ

Si y , entonces0 − W 1 œ X 0 − XÐWÑ‡ ‡ a b l0 1 l œ 0 X 0 Ÿ 0 X 0 œ X‡ ‡ ‡a b l l l ll ll l l la ba b(pues ). Como todo esto es para todo se siguel l l l0 œ "ß 0 œ " 0 − W‡ ‡ ‡

que es uniformemente acotado en .W XÐWÑ‡

Veamos ahora la equicontinuidad: Si y ;0 − W 1 œ X 0 1 œ X 0 − XÐWÑ‡ ‡" " # #a b a b

entonces

l l l l l ll l l la b a b a b0 1 0 1 œ 0 1 1 Ÿ 0 1 1 Ÿ 1 1‡ ‡ ‡ ‡" # " # " # " #

Por lo tanto es equicontinuo en . Aplicando el lema deW ÐX ÐWÑß Ñ‡ V ‚

Arzela-Ascoli si es una sucesión de entonces existe unaÖ0 × W‡ _ ‡8 8œ"

subsucesión de la cual converge en entoncesÖ0 × Ö0 × ÐX ÐWÑß Ñ‡ _ ‡ _8 85œ" 8œ"5

V ‚

para todo existe tal que si % ! R " 7ß 5 R

sup0 − W

¼ ¼a b a ba b a b0 X 0 0 X 0 ‡ ‡8 85 7

%

pero esto es equivalente a que


sup0 − W

¼ ¼ˆ ‰ ˆ ‰a b a bX 0 0 X 0 0 ‡ ‡ ‡ ‡8 85 7

%

o equivalentemente

sup

0 − W¼ ¼ ‘ˆ ‰ ˆ ‰ a bX 0 X 0 0 ‡ ‡ ‡ ‡

8 85 7%

Según la definición de , la anterior desigualdad es equivalente al l† ‡

para todo ¼ ¼ˆ ‰ ˆ ‰X 0 X 0 5ß7 R‡ ‡ ‡ ‡8 85 7

%

Luego es una sucesión de Cauchy en un espacio de Banach˜ ™ˆ ‰X 0‡ ‡85

luego es una subsucesión convergente y tenemos que es compacto.X ‡

48. . PROPOSICIÓN Si es un operador lineal compacto y X À − ß„ „ - ‚⎯→- - -Á ! V M X ß V M X entonces son subespacios cerrados dea b a b‡ .„

DEMOSTRACIÓN. Demostremos que es cerrado. Supongamos queVÐ M XÑ-˜ ™ ˜ ™0 VÐ M XÑ 0 0 −8 88œ" 8œ"

_ _ es una sucesión en y converge a en la -- „ „

norma, entonces existe tal que2 −8 „

Ð M XÑ 2 œ 0- a b8 8

para cada entero positivo . Si es una sucesión de 8 − 1 RÐ M XÑ™ -8 8œ"

_˜ ™entonces

Ð M XÑ 2 1 œ Ð M XÑ 2 œ 0- -a b a b8 8 8 8

para todo entero positivo ( el problema queda resuelto cuando existe8˜ ™1 § RÐ M XÑ8 8œ"

_- que sea acotada). Nuestro problema queda resuelto

si existe una sucesión en tal que sea˜ ™ ˜ ™1 RÐ M XÑ 2 18 8 88œ" 8œ"

_ _-

acotada; es decir, existe tal queQ !

. 2 œ .3=> 2 ßRÐ M XÑ Ÿ Qa b ˜ ™8 8 -

Si no existe esta sucesión en entoncesRÐ M XÑ-

cuando . 2 œ .3=> 2 ßRÐ M XÑ Ä _ß 8 Ä _a b a b8 8 -


Si , entonces 2 œ .3=> 2 ßRÐ M XÑ œ "8 82

. 28

8a b ˆ ‰-

Lo anterior quiere decir que para cada entero positivo existe85 − RÐ M XÑ " Ÿ 2 5 #8 8 8- tal que , entonces denotemos por¼ ¼A œ 2 5 A Ÿ # X8 8 8 8 donde . Entonces ya que es compacto existe unal lsubsucesión de denotada también por tal que ˜ ™ ˜ ™ ˜ ™A A XA8 8 88œ" 8œ" 8œ"

_ _ _

converge. Además

Ð M XÑ A œ Ð M XÑ 2 5 œ Ð M XÑ 2 œ Ä !- - -a b ˆ ‰ ˆ ‰8 8 8 80

. 2Å5 − RÐ M XÑ8 -

8

8a b

(por que es acotada) cuando . Por lo tanto0 8 Ä _8

lim lim8Ä_ 8Ä_

8 8 8Ð M XÑ A œ ! A X A œ !- -a b a ba bÍ

Lo cual es equivalente a

lim lim lim lim8Ä_ 8Ä_ 8Ä_ 8Ä_

8 8 8 8"-A œ X A A œ X Aa b a bÍ-

entonces existe tal que cuando . Esto quiere decirA − A Ä A 8 Ä _Þ„ 8

que cuando , o seaX A Ä X A 8 Ä _a b a b8

Ð M XÑ A Ä A X A œ Ð M XÑ A- - -a b a b a b8

si . A Ä . A 8 Ä _a b a b8

pero y para todo , pero lo cual es. A œ ! 8ß . A " # . A poa b a b a b a b8

contradictorio, pero antes veamos que , tenemos que si. A "a b81 − RÐ M XÑ- se tiene que

l l a b¼ ¼ ˆ ‰A 1 œ 2 5 1 .3=> 2 œ "8 8 8 8

por lo tanto

. A œ 0 1 Î1 − RÐ M XÑ "a b l l˜ ™8 8inf -

lo cual contradice el hecho: cuando . Esta. A Ä . A œ ! 8 Ä _a b a b8

contradicción demuestra que existe una sucesión en tal˜ ™1 RÐ M XÑ8 8œ"

_-

que es acotada. Si denotamos por entonces˜ ™2 1 @ œ 2 18 8 8 8 88œ"

_


existe una subsucesión de denotada también por tal que˜ ™ ˜ ™@ @8 88œ" 8œ"

_ _

˜ ™a bX @ @ −8 8œ"

_ converge a un . Tenemos„

Ð M XÑ @ œ 0 Ê @ œ X Ä œ !- a b ˆ ‰8 8 8@ 0 @08 8

- - -a b

cuando , así .8 Ä _ Ð M XÑ @ Ä Ð M XÑ 1 œ 0 − VÐ M XÑ- - -a b a b8

COROLARIO. a b" VÐ M XÑ œ RÐ M X Ñ- - ‡ ¼

a b# VÐ M X Ñ œ RÐ M XÑ- -‡ ¼

DEMOSTRACIÓN. Basta observar lo siguiente

Ð M XÑ 0 0 œ 0 Ð M XÑ 0 œ 0 Ð 0 X 0 Ñ- - -‡ ‡ ‡ ‡a b a b a ba ba b a b a b a b a ba b" œ 0 0 0 X 0 œ 0 0 0 0 œ ! ‡ ‡ ‡ ‡- - -a b a b a ba b a b# œ 0 0 X 0 0 œ Ð 0 X 0 Ñ 0 - -‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

para todo œ Ð M X Ñ 0 0 0- ‡ ‡a ba bLuego

Ð M XÑ 0 œ Ð M X Ñ 0 Þ- -‡ ‡ ‡ ‡a b a b49. . PROPOSICIÓN Si es un operador lineal compacto yX À „ „⎯→- ‚ -− ß Á ! 8, entonces existe un entero positivo tal que

R Ð M XÑ œ R Ð M XÑa b a b- -8 8"

NOTA. Recuérdese que .- „ „M X À ⎯→

DEMOSTRACIÓN. Claramente . SupongamosR Ð M XÑ § R Ð M XÑa b a b- -8 8"

ahora que entoncesR Ð M XÑ Á R Ð M XÑa b a b- -8 8"

R Ð M XÑ § R Ð M XÑa b a b- -8 8"

además es cerrado (por que es compacto). Por unRÐ M XÑ M X- -8 8a blema anterior, para cada entero positivo existe tal8 0 − R Ð M XÑ8

8"a b-

que

y .3= 0 ßR Ð M XÑ 0 œ "a b l la b8 88 "

#-

Si se tiene que7 8

Ð M XÑ M X 0 X 0 œ M X 0 X M X 0 œ !- - - -87 7 7 7

8" 8a b a b a b a b a ba ba b a b


Por lo tanto , esto implica quea ba b a b a b- -M X 0 X 0 − R Ð M XÑ7 78

l l l la b a b a ba b a bX 0 X 0 œ 0 M X 0 X 08 7 8 8 7- -

œ l l 0 M X 0 X 0 - - -l la ba ba b a b8 8 7" l l

#-

Entonces no tiene una subsucesión convergente lo cual es˜ ™a bX 08 8œ"

_

imposible ya que es compacto y .X 0 œ "l l8 *******

CAPÍTULO 2

§1. EL ESPACIO MÁS SIMPLE DE SOBOLEV

1.El análisis funcional ha surgido inicialmente como una herramientafundamental en el estudio de las ecuaciones diferenciales parciales;amparándome en esta afirmación me propongo exponer algunosconceptos básicos muy poco estudiados en el común de los cursos.

Sea un dominio acotado. Sea el espacio de Hilbert real de lasH [§ dR!

funciones de cuadrado real integrable definido en H

[ H ¿ H!# #œ 0 À d 0 .B _ œœ ‚ a b⎯→ '

H

con el producto interno dado por

para Ø?ß @Ù œ ?@ .B ?ß @ −! !'H

[

Sea ahora el espacio de funciones reales continuamente diferencialesV"en con producto interno dado porH

Ø?ß @Ù œ ?@ .B"5œ"

R`? `@`B `B

'H

” •!Š ‹Š ‹5 5

Sea el completado de .[ V" "


2 1. . TEOREMA Existe un subespacio vectorial de tal que y[ [ V [" ! " "§Ø † Ù ‚ ‚ ß Ø † Ù" " " " " " " puede ser extendido de a tal que es unV V [ [ [a bespacio de Hilbert completo y es denso enV" .["

DEMOSTRACIÓN. Se define de manera natural

[ [V

" !8 " 88œ"

_

8Ä_ !

8 8œ"_

"

œ ? −Ö? × § ß ? ? œ !

Ö? × † Ÿ„ l l

l lexisten y

es sucesión de Cauchy con respecto a

lim

[" es obviamente un subespacio lineal de , sin embargo[!

posteriormente mostraremos este aspecto. Definimos inicialmente elproducto interno en ; sean se define[ [" "?ß @ −

Ø?ß @Ù œ Ø? ß @ Ù" 8 8 "8Ä_lim

donde son sucesiones de Cauchy para la norma talesÖ? × ß Ö@ × †8 88œ" 8œ"_ _

"l lque y .lim lim

8Ä_ 8Ä_8 8! !l l l l? ? œ ! @ @ œ !

Veamos que este producto está bien definido

3 Ø? ß @ Ù. lim8Ä_

8 8 existe.

Puesto que existe una constante independiente de tal queQ 8

l l l l? Ÿ Qß @ Ÿ Q8 8" "

y

k kØ? ß @ Ù Ø? ß @ Ù œ lØ? ß @ @ Ù Ø? ? ß @ Ù l8 8 " 7 7 " 8 8 7 " 8 7 7 "

Ÿ ? @ @ @ ? ? Ÿ Q @ @ ? ?l l l l l l l l c dl l l l8 8 7 7 8 7 8 7 8 7" " " " " "

Así es una sucesión de Cauchy de números reales. Como e fØ? ß @ Ù d8 8 " 8œ"_

es completo se tiene la existencia de lim8Ä_

8 8 "Ø? ß @ Ù

33Þ Para demostrar que esta definición tiene significado completo esnecesario demostrar que si y son otras sucesiones en e f e f? @8 8

w w8œ" 8œ"_ _

"V

que son de Cauchy con respecto a la -norma, yV"

lim lim8Ä_ 8Ä_

8 8w w

! !l l l l? ? œ !ß @ @ œ !

y tales que


lim lim8Ä_ 8Ä_

8 8w w

" 8 8 "Ø? ß @ Ù œ Ø? ß @ Ù

Entonces se tiene

l l l lØ? ß @ Ù Ø? ß @ Ù œ Ø? ß @ @ Ù Ø? ? ß @ Ù8 8 8 8 8w w w w w

" 8 8 " 8 " 8 8 "

Ÿ ? @ @ ? ? @l l l l l l l l8 8 8w w w

" "8 8 8 "

Como las sucesiones y son acotadas, basta por loe f e fl l l l? @8 8w

" "8œ" 8œ"_ _

tanto demostrar que

lim lim8Ä_ 8Ä_

8 88 8w w

" "l l l l? ? œ !ß @ @ œ !

Pero esto es una consecuencia del siguiente lema. (Pues l l l l l l? ? Ÿ ? ? ? ? Ä !8 88 8

w w! !! Ñ.

3 . Si es un sucesión de tal que. LEMA ÖA8 "8œ"

_™ V

lim8Ä_

8 !l lA œ !

y es una sucesión de Cauchy en , entoncese fA8 "8œ"_ V

lim8Ä_

8 "l lA œ !

DEMOSTRACIÓN. En primer lugar se tiene que

' 'H H

’ “ ’ “Œ ! c dÀ À À À`B `B `B `B

# #

5œ"

R

8 7#8 7 8 7

5 5 5 5 .B Ÿ A A .B

Así

.'H

’ “ l lÀ À`B `B

#

8 7 "#8 7

5 5 .B Ÿ A A

Ahora cada una de las sucesiones es una sucesiónš ›À`B 8œ"

_8

55 œ "ß #ßá ßR

de Cauchy en .P#a bHPor el teorema de Riesz-Fischer existen funciones tales queD ß D ßá ß D" # R

.lim8Ä_

À`B 5

!

#½ ½8

5 D œ !


Sea una función en con soporte compacto contenido en . Por la: V H"

desigualdad de Schwarz

º ºŠ ‹ ¹ ¹ ½ ½ l l'H

À À À`B `B `B5 5 ! 5

!!

8 8 8

5 5 5 D .B œ Ø D ß Ù Ÿ D Ä ! 8 Ä _: : : cuando

Por consiguiente

' 'H H

D .B œ .B58Ä_

À`B: :lim 8

5

Integrando por partes (recordando que )lim8Ä_

8A œ !

' 'H H

: :: À`B `B `B8 8 !

` `8

5 5 5.B œ A .B œ ØA ß Ù Ä !

cuando ; puesto que , cuando .8 Ä _ lA l Ä ! 8 Ä _8 !

Por consiguiente

'H

D .B œ !5:

Puesto que es una función arbitraria en con soporte compacto: V"contenido en , .H D œ !ß 5 œ "ß #ßáR5

Como por hipótesis

cuando l lA œ A .B Ä ! 8 Ä _8 !#

8#'

H

y

lim8Ä_

À`B

#

5#' '

H H

Š ‹8

5.B œ D .B œ !

entonces

cuando l l ” •!Š ‹A œ A .B Ä ! 8 Ä _8 8"#

8œ"

RÀ`B

##'

H

8

5

Retornando a la prueba del teorema, vemos que está bien definido yØ † Ù"es cuestión de rutina la verificación de que es un producto interno enØ † Ù"[".


Veamos ahora que es un subespacio, sean y en así existen[ [" "? @sucesiones y en , sucesiones de Cauchy con respecto aÖ? × Ö@ ×8 8 "8œ" 8œ"

_ _ V

la -norma ( ) y tales queV" "l l† lim lim

8Ä_ 8Ä_8 8! !l l l l? ? œ !ß @ @ œ !

Sean para A œ ? @ 8 œ "ß #ß $ßá ß A −8 8 8 8 "V

l l l l l lA A Ÿ ? ? @ @8 7 8 7 8 7" " "

Así es una sucesión de Cauchy con respecto a la norma yÖA × †8 8œ"_

"l ll l@ @ A Ä ! 8 Ä _ ? @ −8 "! cuando , por consiguiente (pues[l l l l l la b? @ ? @ Ÿ ? ? @ @ Ä ! 8 Ä _Ñ8 8 8 8! ! ! , cuando

Sea un número real, la sucesión es de Cauchy con respecto a la! !Ö ? ×8 8œ"_

norma y , cuando , por lo tanto . Porl l l l† ? ? Ä ! 8 Ä _ ? −" !8 "! ! ! [

lo tanto es un subespacio lineal de .[ [" !

Finalmente mostremos que es un espacio compacto.a b[" "ß Ø † Ù

Sea una sucesión de Cauchy en con respecto a la norma .Ö? × †8 "8œ"_

"[ l lPuesto que es obviamente denso en con respecto a la topologíaV [" "

inducida por para cada existe tal queØ † Ù 8 @ −" 8 "V

l l@ ? 8 8 ""8

ahora

l l l l l l l l@ @ Ÿ @ ? ? ? ? @8 7 8 8 8 7 7 7" " " "

así es una sucesión de Cauchy con respecto a la norma Ö@ × †7 7œ"_

"l lPuesto que entonces la sucesión es unal l l l@ @ Ÿ @ @ Ö@ ×8 7 8 7 8! " 8œ"

_

sucesión de Cauchy con respecto a la norma . Por el teorema del l† !

Riesz-Fischer existe tal que ( por la completez de )? − Ð Ñ[ ¿ H!#

lim8Ä_

8 !l l@ ? œ !

Por lo tanto . Ahora como? − ["

Ø? @ ß ? @ Ù œ Ø? @ ß ? @ Ù8 8 " 7 8 7 8 "7Ä_lim


se sigue que

lim8Ä_

8 "l l? @ œ !

Puesto que

l l l l l l l l? ? Ÿ ? @ @ ? Ÿ @ ?8 8 8 8 8" " " ""8

luego

lim8Ä_

8 "l l? ? œ !

Por lo tanto es completo con respecto a la norma [" "l l†

4. DEFINICIÓN 1. El espacio dado por el teorema anterior esa b[" "ß Ø † Ùllamado espacio simple de Sobolev .

§2. DESIGUALDAD DE POINCARÉ

5. 2. SDEFINICIÓN ea el conjunto de funciones continuamenteV‰

"

diferenciables con soporte compacto contenido en . es unH V"‰

subespacio de definido en el §1. Sea la adherencia de en ,V [ V [" " " "‰ ‰

esto es

[ V" "‰

œ‰ ["

5.1 DESIGUALDAD DE POINCARÉ

Sea , para . Si se extiende a porUÒ?Ó œ .B ? − UÒBÓ‰'

H

!Š ‹5œ"

R`?`B

#

" "5

V [

continuidad, existe una constante tal que< !!

< ? Ÿ UÒ?Ó ‡! !#l l a b

para todo .? −‰["


DEMOSTRACIÓN. Es suficiente mostrar que existe una constante tal que<!a b a b‡ ? − ‡‰

se tenga para , puesto que si se tiene entonces vale paraV"

? −‰[" por continuidad.

Probemos el resultado en dos dimensiones; puesto que es acotado,Hexiste un cuadrado cerrado y acotado , con los lados paralelos a losEejes coordenados conteniendo a en su interior.H

Ω

(-R,R) (R,R)

(-R,-R) (R,-R) figura 1

Sean los vértices de (ver ).a b a b a b a bVß V ß VßV ß VßV ß Vß V E figura1Sea , puesto que el soporte de está contenido en el interior de ? − ?

‰V H"

y ? − G Ðd Ñ" #

para ? Bß C œ ? =ß C .= ÐBß CÑ −a b a b'V

BB H

Por lo tanto

a b a b a ba b Š ‹ Š ‹Š ‹? Bß C œ " † ? =ß C .= Ÿ " .= ? =ß C .=#V V V

B B BB

## #

B' ' '

de donde

a b a b a b a ba b? Bß C Ÿ B V ? =ß C .= Ÿ #V ? =ß C .=#V V

B V

B B# #' '

usando integral iterada como producto de integrales tenemos

' ' ' ' 'V V V V V

V V V V V# # #B B? Bß C .B Ÿ #V ? =ß C .= .= œ #V .= ? =ß C .=a b a b a bŠ ‹Š ‹

œ #V #V ? =ß C .= œ %V ? =ß C .=a b a b a b' '

V V

V V

B B# # #

así


' 'V V

V V# # #Ba b a ba b? Bß C .B Ÿ %V ? Bß C .B

Integrando nuevamente con tenemosC

' ' ' 'V V V V

V V V V# # #B? Bß C .B .C Ÿ %V ? Bß C .B .Ca b a b

Ÿ %V ? Bß C ? Bß C .B .C œ %V ? Bß C ? Bß C .B.CE

# # # # # #V V

V V

B C B C' ' ' 'ˆ ‰ ˆ ‰a b a b a b a b

Pero

' ' ' ' ' 'E E

# # # #B C? Bß C .B .C œ ? Bß C .B .C Ÿ ? Bß C ? Bß C .B .Ca b a b a b a b ‘

H

œ ? Bß C ? Bß C .B .C œ UÒ?Ó' 'H

ˆ ‰a b a bB C# #

Por lo tanto si entonces< œ!"

%V#

.< ? Ÿ UÒ?Ó! !#l l

§3. SELECCIÓN DEL PRINCIPIO DE RELLICH

6. (Rellich).TEOREMA Sea una sucesión acotada con respecto ae f: [5 "5œ"_ §

‰

la norma . Existe una subsucesión de que converge enl l† Ö × Ö ×" 54 54œ"_ _: :

5œ"

[! con respecto a l l† !.

Antes de probar este teorema veamos primero el siguiente

6.1 . (Desigualdad de Friederich).LEMA Sea un dominio acotado (abiertoHconexo). Dado cualquier existen tales que% [ H ! A ßA ßá ßA − Ð Ñ" # 8 !

para todo a b a b!: : : % : : [ Hß Ÿ Ð ß A Ñ UÒ Ó − Ð Ñ "‰

5œ"

8

5 "#

Ø ß Ù œ ß œ .B ß − Ð Ñ: < : < :< : < [ H! !a b 'H

donde


si UÒ Ó œ .B −‰

: : V'H

:!Š ‹5œ"

R``B

#

"5

(ver §2) y definido por continuidad en .UÒ † Ó‰["

DEMOSTRACIÓN. Consideremos solamente el caso de dos dimensiones.

Sea un cuadrado de lados paralelos aW œ Ö Bß C Î ! Ÿ B Ÿ =ß ! Ÿ C Ÿ =×a blos ejes. Si entoncesa b a bB ß C ß B ß C − W" " # #

k k a b a ba b a b ¹ ¹: : : :B ß C B ß C œ Bß C .B B ß C .C# # " " B " C #B C

B C' '" "

# #

Elevando al cuadrado tenemos

k k a b a ba b a b ¹ ¹: : : :B ß C B ß C œ Bß C .B B ß C .C# # " " B " C ##

B C

B C #' '" "

# #

Ÿ # Bß C # B ß C .CŠ ‹ Š ‹a b a b' 'B C

B CB " C #

# #

" "

# #: :

6.2 . Sabemos que NOTA ! Ÿ Ð+ ,Ñ œ + #+, , Í #+, Ÿ + ,# # # # #

Í + #+, , Ÿ #+ #, Í + , Ÿ #+ #,# # # # # ##a btómese

y + œ Bß C .B , œ B ß C .C' 'B C

B CB " C #

" "

# #: :a b a b

Por el binomio de Newton tenemos

: : : :# ## # " " # # "a b a b a b a bB ß C # B ß C B ß C B ß C Ÿ

"

Ÿ # Bß C .B # B ß C .CŠ ‹ Š ‹a b a b' 'B C

B CB " C #

# #

" "

# #: :

Por la desigualdad de Schwarz se tiene

Š ‹a b a b a b a b' ' ' 'B B B B

B B B BB " " # " "

#

B B# #

" " " "

# # # #: : :Bß C .B Ÿ .B Bß C .B œ B B Bß C .B

Ÿ = Bß C .B'!

=

B#

": a bLuego tenemos

: : : :# ## # " " # # "a b a b a b a bB ß C # B ß C B ß C B ß C Ÿ

"


Ÿ #= Bß C .B #= B ß C .C' '! !

= =

B C# #

" #: :a b a bIntegrando con los dos lados tenemosB"

' ' '! ! !

= = =# ## # " # # " " " " ": : : :a b a b a b a bB ß C .B # B ß C B ß C .B B ß C .B Ÿ

"

Ÿ #= Bß C .B #= B ß C .C# # # #! !

= =

B C" #' ': :a b a bde donde

= B ß C # B ß C B ß C .B B ß C .B Ÿ: : : :# ## # # # " " " " "! !

= =a b a b a b a b' '"

Ÿ #= Bß C .B #= B ß C .C# # # #

! !

= =

B C" #' ': :a b a bintegrando una vez más con los dos lados recibimosB#

= B ß C .B # B ß C B ß C .B .B = B ß C .B' ' ' '! ! ! !

= = = =# ## # # " " # # " # " ": : : :a b a b a b a b

"

Ÿ #= Bß C .B #= B ß C .C .B$ # # #! ! !

= = =

B C" # #' ' ': :a b a bAhora integrando con obtenemosC"

= B ß C .B # B ß C .B B ß C .B .C = B ß C .B .C# # #! ! ! ! ! !

= = = = = =# # # # # # " " " " " " "' ' ' ' ' 'a b a b a b a b: : : :

"

Ÿ #= Bß C .B.C #= B ß C .C .B œ #= U Ò Ó$ # $ # $! ! ! !

= = = =

B C" " # # W' ' ' ': : :a b a b

Finalmente integrando con se tieneC#

= B ß C .B .C # B ß C .B .C B ß C .B .C# #! ! ! ! ! !

= = = = = =# # # # # # # # " " " "' ' ' ' ' ': : :a b a b a b

= B ß C .B .C Ÿ #= U Ò Ó# # %! !

= =" " " " W

' ' : :a bPero esto es completamente lo mismo que

#= Bß C .B.C # Bß C .B.C Ÿ #= U Ò Ó# # %

W W

#

W' ' ' ': : :a b a b

De donde se obtiene que


' ' ' 'W W

# BßC= =

#

=W: :a b Bß C .B .C Ÿ .B.C U Ò Ó:a b %

#

Así tenemos

' ' ' 'W W

# #BßC=

#

W: :a b a b» »Bß C .B .C Ÿ .B.C = U Ò Ó #:a b

Para probar la desigualdad de Friedrich, sea un cuadrado conteniendo aE

H : V H : H c. Si , entonces en . Definiendo una partición en − Ð Ñ œ ! E E‰

"

por cuadrados congruentes a de lados paralelos a los ejesW 5

coordenados. Aplicando a cada uno de los cuadrados obtenemosa b# W 5

a b a b: : : :ß Ÿ ßA = U Ò ÓW W5 = 5#

5 55

donde

en fuera de

A œW

! W5

"= 5

5 5

Sumando sobre el número de la partición se obtiene5 c

a b a b!: : : :ß Ÿ ßA = U Ò Ó5œ"

8

5# #

c

tomando de manera que obtenemos la desigualdad % %= "# a b

7. . TEOREMA DE RELLICH Sea una sucesión acotada con respectoÖ × §‰

: [5 "5œ"_

a la norma . Existe una subsucesión de que convergel l† Ö × Ö ×" 5œ"54 54œ"_ _: :

en con respecto a la norma[! .l l† !

DEMOSTRACIÓN. Sea una sucesión en que es acotada conÖ ×‰

: [5 "5œ"_

respecto a la norma . En particularl l† "

, a b ¡: : : : :5 5 5 5 5!ß œ ß Ÿ E UÒ Ó Ÿ E


para alguna constante positiva . Sean con E A 4 œ "ß #ßá ßR 774a b

elementos de para los cuales se satisface la desigualdad de[ H!a bFriederich con y .% œ 4 œ "ß #ßá ßR 7"

7 a bDenotemos con a la sucesión de para la cualÖ × Ö ×: :"5 55œ" 5œ"

_ _

Ö ßA × 4 œ "ß #á ßR " "a b a b a b:"5 "4 5œ"_ con cumplen la desigualdad , entonces

Ö ß A ×a b:"5 "4 5œ"_ es convergente puesto que de

k k k k l l l l l la b a b a b: : : : : :"5 "4 "ß5 "4 "5 "5 "4 "5 "5 "4 "4! ! !ß A ßA œ ßA Ÿ A Ÿ #E Aw w w

se deduce que la sucesión es una sucesión de Cauchy deÖ ß A ×a b:"5 "4 5œ"_

números reales.

Supongamos elegida la subsucesión de y porÖ × Ö ×: :7"ß5 55œ" 5œ"_ _

recurrencia sea la sucesión de tal que Ö × Ö × ß A: : :7 5 5 7ß5 75œ" 5œ"_ _

5œ", ˜ ™ˆ ‰4

_

es convergente para .4 œ "ß #ßá ßR 7a bSe toma ahora la sucesión diagonal

< :5 5ß5œ 5 œ "ß #ßá

una vez más por la desigualdad de Friederich tenemos

a b c d a b!ˆ ‰< < < < < < < <5 5 5 5 5 5 7 5 54œ"

7# "

7" # " # " # 4 " # ß Ÿ ßA U %

Por recibimosa b$ U Ÿ #U #U Ÿ %Ec d c d c d< < < <5 5 5 5" # " #

Así dado se escoge como el más grande entero tal que% % ! 7Ð Ñ

"7Ð Ñ )E"%

%Ÿ#

Puesto que la suma de la sumatoria en es finita existe tal quea b a b% 5 −%

si entonces tenemos5 ß 5 5Ð Ñ" # %

! a b4œ"

R 7Ð Ñ

5 5 7ß4#

#

a b%%< <

" #

#

ß A Ÿ

así siempre que . Por lo tanto es unal l e f< < % % <5 5 " # 5! 5œ"_

" # Ÿ 5 ß 5 5Ð Ñ

sucesión de Cauchy con respecto a , como es completo, entoncesl l† ! ![


e f e f< :5 55œ" 5œ"_ _ es una subsucesión de la cual es convergente en normal l† !.

§4. . LA ALTERNATIVA DE FREDHOLM EN ESPACIOS DE HILBERT

Sea un espacio de Hilbert y un operador completamenteL X À L L⎯→continuo.

8. . TEOREMA Sea el operador lineal adjunto entonces esX À L L X‡ ‡ ‡ ‡⎯→completamente continuo, es de dimensión finita y ademásR M Xa b(aquí, indica el núcleo de )R M X M Xa b a b a b a b" R M X œ R M Xdim dim ‡

es cerrado (donde es el recorrido de )V M X V M X M Xa b a b a b a b a b# V M X œ R M X ‡ ¼

a b a b a b$ V M X œ R M X‡ ¼

Si , entonces es una biyección ydim dimR M X œ R M X œ ! M Xa b a b‡además es acotado.a bM X "

Probaremos el teorema inicialmente en el caso de un espacio de Hilbert,pues el teorema es verdadero en espacios de Banach como lo veremosposteriormente en 4.1.

8.1 . LEMA 1 Sea un operador lineal y completamente continuo,X À L L⎯→entonces es completamente continuoX ‡ .

DEMOSTRACIÓN. Sea una sucesión acotada en . El lema se sigue alÖB × L8 8œ"_

demostrar la existencia de una subsucesión de tale f e fX B X B‡ ‡8 85œ" 5œ"

_ _5

que sea convergente. Porque de esta afirmación se siguee fa bX X B‡ 8 5œ"_

5

que

¼ ¼ ˆ ‰ ˆ ‰ ¡X B X B Ÿ X B B ß X B B‡ ‡ ‡ ‡8 8 8 8 8 8

#: ; : ; : ;

œ B B ß X X B B Ÿ B B X X B X X B ¡ˆ ‰ ¼ ¼¼ ¼ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ˆ ‰ ˆ ‰8 8 8 8 8 8 8 8‡ ‡ ‡

: ; : ; : ; : ;

Puesto que es acotada independiente de y , y ¼ ¼ a ba bB B : ; ÖX X B ×8 8 8‡

; : 5

es una sucesión de Cauchy, es una sucesión de Cauchy. AsíÖX B ×‡ _8 5œ"5


e fX B X‡ ‡8 5œ"

_5

es convergente y es completamente continua. Finalmenteveamos la afirmación, se tiene

l l l ll l l ll lX B Ÿ X B œ X B‡ ‡5 5 5

entonces es acotada ya que es continua luego acotada yÖX B × X‡ _5 5œ"

ÖB × X5 5œ"_ es una sucesión acotada. Así, como es completamente continuo

se sigue que existe una subsucesión de tal queÖX B × ÖX B ×‡ _ ‡ _7 55œ" 5œ"5

ÖX X B ×a b‡ _7 5œ"5

es convergente como se queria.

8.2 . LEMA 2 Sea es un operador lineal completamenteX À L L⎯→continuo, es de dimensión finita yR M Xa b dim dimR M X œ R M Xa b a b‡DEMOSTRACIÓN. Supongamos por contradicción que no esdimR M Xa bfinito, entonces existe una sucesión ortogonal tal que Ö × œ X: : :8 8 88œ"

_

para todo . Por lo tanto para cada 8 7 Á 8

l l l lX X œ œ #: : : :8 7 8 7# #

pero esta es una contradicción contra el hecho de que algunaa bposubsucesión de es convergente.ÖX ×:8

Para la segunda parte del lema es suficiente demostrar que

dim dimR M X R M Xa b a b‡

Pues en estas condiciones se tiene la otra desigualdad así

dim dim dimR M X œ R M X R M Xa b a b a b‡‡ ‡

Para mostrar la afirmación consideremos dos casos, cuando es deLdimensión finita y cuando es de dimensión infinita.L

Supongamos entonces que es de dimensión finita, digamos queLdimL œ 7. En estas condiciones

7 œ V M X R M X œ V M X R M Xdim dim dim dima b a b a b a b‡ ‡

Sean ahora entonces tenemos la existencia deB − V M X ß C − R M Xa b a b‡algún tal queA − L


B œ M X Aa bademás

ØBß CÙ œ M X Aß C œ Aß M X C œ ! ¡ ¡a b a b‡Por consiguiente , asíB − R M Xa b‡ ¼

V M X § R M Xa b a b‡ ¼

y

dimVa bM X Ÿ R M X œ 7 R M X œ V M Xdim dim dima b a b a b‡ ‡ ‡¼

Por simetría (pues yV M X § R M X œ R M Xa b a b a b‡ ‡‡ ¼

dimV M X Ÿ âa b‡ )

dim dimV M X Ÿ V M Xa b a b‡

Por consiguiente

dim dimV M X œ V M Xa b a b‡

Así,

dim dim dim dimR M X œ 7 V M X œ 7 V M X œ R M Xa b a b a b a b‡ ‡

Supongamos ahora que no es de dimensión finita, pero separable. SeaLÖ ß ßá ß × R M X: : :" # 5 una base ortonormal para .a bComo se está suponiendo que es separable existenL

Ö ß ßá×: :5" 5#

tales que es una base ortonormal para (en el sentido de queÖ × L:7 7œ"_

para todo en , )B L B ØBß Ù œ !limRÄ_ 4œ"

4 4¿ ¿!R : :

Sea , claramente : B œ ØBß Ù : œ :8 5 5 85œ"

8

8‡! : :

Para cada sea7


L œ 1/8Ö ß ßá ß ×7 " # 7: : :

el subespacio generado por . Claramente se tieneÖ ß ßá ß ×: : :" # 7

y : X: L § L : X : L § L 7 7 7 7 7 7 7 7‡ "a b

además

a b: X: œ : X :7 7 7 7‡ ‡

Denotemos por

yW œ M : X: W œ M : X :7 7 7 7 7L L

7‡ ‡a b a b¹ ¹

7 7

Para , para , pues7 5 W œ ! 4 œ "ß #ßá ß 57 4:

a b a bŒ !M : X: œ : X Ø ß Ù œ : X œ œ !7 7 4 4 7 4 5 5 4 7 4 4 45œ"

7

: : : : : : : : :

. .a b Œ ! ! ! ! !¢ £"

7 7 3 3 7 3 3 5 5 7 5 5 6 6 73œ" 3œ"

7 7 7 7 7

5œ" 5œ" 6œ"

: : X: œ : X ß œ : œ − L! : ! : : : ! : ! :

. .

Así existen soluciones independientes de en5 ß ßá ß W B œ !) ) )7 7 7 7‡

" # 5

L7 y podemos suponer que

e f) ) )7 7 7" # 5ß ßá ß

es un conjunto ortonormal para cada . Ahora cada una de las 7 5sucesiones

˜ ™: 4 œ "ß #ßá ß 57 7 7œ5"

_)

4

son acotadas; así, como es completamente continuo, podemosX ‡

suponer sin pérdida de generalidad que

lim7Ä_

‡7 7 4X : œ Z 4 œ "ß #ßá ß 5)

4

Pero

: X : Z œ : X : Z M : Z Ä ! 7 Ä _7 7 7 4 7 7 7 4 7 4‡ ‡ ‡) )

4 4ˆ ‰ a b a b, cuando


Como entoncesl l: Ÿ "7

lim7Ä_

7 7 7 4‡: : œ Z 4 œ "ß #ßá ß 5X )

4

. .a ba bŒ ‡

7Ä_ 7Ä_ 7Ä_7 7 5 5

5œ"

7

aA − L M : A œ A : A œ A ØAß Ù œ !lim lim liml l l la b ¾ ¾! : :

. .

Así

lim lim7Ä_ 7Ä_

7 7 7 7 4‡) )

4 4œ : X : œ Z 4 œ "ß #ßá ß 5 %a b

(recuerde que )W œ ! œ M : X :7‡ ‡

7 7 7 7) )4 4

a b

Puesto que

cuando : Z œ : Z : Z Z Ä ! 7 Ä _7 7 4 7 7 4 7 4 4) )4 4

ˆ ‰ a bentonces

lim7Ä_

7 7 4: œ Z 4 œ "ß #ßá ß 5)4

Por lo tanto

lim7Ä_

‡ ‡7 7 4X : œ X Z 4 œ "ß #ßá ß 5)

4

Ahora como antes

: X : X Z œ : X : X Z M : X Z Ä ! 7 Ä _7 7 7 4 7 7 7 4 7 4‡ ‡ ‡ ‡ ‡) )

4 4ˆ ‰ a b a b

Así

lim7Ä_

7 7 7 4‡ ‡: X : œ X Z 4 œ "ß #ßá ß 5)

4

Por consiguiente

Z œ X Z 4 œ "ß #ßá ß 54 4‡

y puesto que


ØZ ß Z Ù œ Ø ß Ù œ%

3 4 7 7 347Ä_

a blim ) ) $

3 4

Luego

dim dimR M X 5 œ M Xa b a b‡

8.3 . LEMA 3 Sea un operador lineal y completamente continuoX À L L⎯→entonces V M Xa b œ R M Xa b‡ ¼.

DEMOSTRACIÓN. Sea así para . SeaA − VÐM XÑ A œ ÐMXÑ@ @ − LC − R M Xa b‡ entonces

ØAß CÙ œ M X @ß C œ @ß M X C œ ! ¡ ¡a b a b‡por lo tanto

y A − RÐM X Ñ V M X § RÐM X Ñ‡ ¼ ‡ ¼a b

Antes de mostrar la otra inclusión veamos que es cerrado. ParaV MXa besto sea una sucesión en y supongamos queÖA × VÐM XÑ7 7œ"

_

l l l lA A Ä ! 7 Ä _ < A Ÿ <7 7cuando , así existe una constante tal que para todo , ahora como7 œ "ß #ßá

VÐM XÑ § R M X a b‡ ¼

para cada existe un único tal que , puede7 @ − R M X A œ M X @7 7 7¼a b a b

suponerse que la sucesión es acotada, puesto que supongamosÖ@ ×7 7œ"_

por contradicción que existe una subsucesión tal que ÖA × @ Ä _7 75œ"_

5 5¼ ¼

cuando . Si denotamos por entonces y7 Ä _ D œ @ D œ "5 7 7 7"

@5 5 575¼ ¼ l l

a bM X D œ † A7 7"

@5 575¼ ¼ . Por lo tanto

lim7 Ä_

75

5a bM X D œ !

Puesto que y completamente continuo podemos suponer,l lD œ " X75

sin pérdida de generalidad que . Por lo tantolim7 Ä_

75

5X D œ ?

lim lim7 Ä_ 7 Ä_

7 75 5

5 5D œ XD œ ?


también se tiene que , y por lo tanto .lim7 Ä_

75

5X D œ X? ? œ X?

Puesto que entonces por continuidad de para todo se tienel lD œ " X 77 55

que .l l? œ "

Pero y es cerrado así y porÖD × § R M X R M X ? − R M X7 5œ"_ ¼ ¼ ¼

5a b a b a b

otra parte , así . Por lo tanto obteniendoa b l lM X ? œ ! ? − RÐM XÑ ? œ !ß

una contradicción.a bpo

Esta contradicción prueba la acotación de la sucesión . Por laÖ@ ×7 7œ"_

continuidad completa de existe una subsucesión de X Ö@ × Ö@ ×7 75œ"_ _

7œ"5

tal que la sucesión converge. Como entoncesÖX@ × @ œ X@ A7 7 7 7œ"_

5 5 5 5klim lim7 Ä_ 7 Ä_

7 75 5

5 5@ œ X@ A así este límite existe, denotémoslo por

@ œ @lim7 Ä_

75

5

entonces

si y sólo si y @ œ X@ A A œ M X @ A − V M Xa b a besto prueba que es cerrado.V M Xa bPara ver la otra parte del lema supongamos que

V M X Á R M Xa b a b‡ ¼

Puesto que existeV M X § R M Xa b a b‡ ¼

con @ − V M X R M X @ Á !a b a b l l¼ ¼‡

Sea entonces y se tieneA − L M X A − V M Xa b a b ¡ ¡a b a bM X Aß @ œ Aß M X @ œ !‡

Por lo tanto

para todo ¡a bAß M X @ œ ! A − L‡

así para todo , entonces peroa bM X @ œ ! A − L @ − RÐM X Ñ‡ ‡

@ − RÐM X Ñ @ œ ! @ œ ! @ Á ! po‡ ¼ en ese caso así , y como l l l l a b


obtenemos una contradicción. Esta contradicción prueba completamenteel lema.

Veamos finalmente la , primero mostremos que sialternativa de FredholmR M X œ Ö!× V M X œ La b a b, entonces

Si el operador es uno a uno, de manera que siR M X œ !ß M Xa bsuponemos podemos pensar que la cadenaV M X Á La b donde L ¨ L ¨ L ¨ L ¨ â L œ M X L" # $ 5" 5a bˆ ‰consta de infinidad de subespacios, pero esto es imposible pues vamosa demostrar la existencia de un tal que para todo .4 − L œ L 5 4 5" 5

Luego .V M X œ La bPara ver la afirmación suponemos que no existe tal , es evidente que4todos los son distintos. En este caso podemos construir una sucesiónL5

ortonormal tal que y son ortogonales a ÖB × B − L ß B Â L L5 5 55œ"_ 5 5" 5"

Para se tiene6 5

XB XB œ B B M X B M X B6 5 5 6 5 6c da b a ben consecuencia, ya quel l a bXB XB "6 5

"

B M X B M X B − L6 5 45"a b a b

Luego, de la sucesión no se puede extraer ninguna subsucesiónÖXB ×5 5œ"_

convergente, lo cual contradice al hecho de ser completamenteXcontinuo. Recíprocamente mostremos que si , se tieneV M X œ La bR M X œ Ö!×a b .

Como , tenemos en virtud del lema 3. queV M X œ La bV M X œ R M X œ L R M X œ Ö!×a b a b a b‡ ‡¼ entonces , pero por el lema 2.dim dimR M X œ R M X œ ! R M X œ Ö!×a b a b a b‡ , por lo tanto lo cualqueriamos demostrar.

. .Para aclarar usando la ortogonalidad se tieneß

l l l la b a bXB XB œ ØB ß B Ù B M X B M X B "6 5 5 5 5 5 6# #

. .


4.1 .ALTERNATIVA DE FREDHOLM PARA ESPACIOS DE BANACH

9. . PROPOSICIÓN Sea un espacio de Banach y supóngase que „ „ „X À ⎯→es un operador compacto y , es sobre si y sólo si- ‚ - -− Á ! M Xa ba b-M X es uno a uno.

DEMOSTRACIÓN. Sabemos por el corolario de 48 del cápitulo 1. que VÐ M XÑ œ R M X- -a b‡ ¼

VÐ M X Ñ œ R M X- -‡ ¼a by además supongamos que es sobre. Si no es uno a uno,a b a b- -M X M Xexiste , tal que con . Ya que es0 − M X 0 œ ! 0 Á ! M X! ! !„ - -a ba b a bsobreyectivo existe tal que además tenemos0 − M X 0 œ 0 Á !" " !„ -a ba b a b a b a ba b a ba ba ba b- - - -M X 0 œ M X M X 0 œ M X 0 œ !#

" " !

entonces

y 0 − RÐ M XÑ 0 Â RÐ M XÑ" "#- -

Por la misma razón existe tal que , así0 − M X 0 œ 0 Á !# # "„ -a ba b a b a b a b a b a b a ba ba b- - - -M X 0 œ M X M X 0 œ M X 0 œ !$ # #

# # "

entonces , además0 − RÐ M XÑ#$-

a b a b a ba b- -M X 0 œ M X 0 œ 0 Á !## " !

Por inducción existe una sucesión tal que˜ ™08 8œ"

_

y a b a b a b a b a ba b- - -M X 0 œ 0 Á ! M X 0 œ M X 0 œ !8 8"8 ! 8 !

esto quiere decir que

0 − RÐ M XÑ • 0 Â RÐ M XÑ- -8" 88

para todo entero positivo . Entonces8

R M X Á RÐ M XÑa b- -8 8"

lo cual contradice la proposición 49 del Capítulo 1.


Recíprocamente, supongamos que es uno a uno, esto quierea b-M X

decir que es sobreyectivo ( pues ). Por loa b a b a b- - -M X V M X œ R M X‡ ‡ ¼

anterior tenemos que es uno a uno y comoa b-M X ‡

V M X œ R M Xa b a b- - ‡ ¼

entonces es sobreyectivo.a b-M X

10. . Si es un dominio acotado en y entoncesEJERCICIO H ! "d ! "R

la inyección

3 À Ð Ñ Ð Ñ? Ä 3 ? œ ?

V H V H" !⎯→ a bes una aplicación lineal compacta

NOTA. diámetro del? B ? C l l? B ? C l l? B ? C llBCl lBCl lBCl

a b a b a b a b a b a b! " "œ lB Cl Ÿ †" ! " !a bH

§5. TEOREMA DE LAX MIGRAM

11. . LEMA Sea una forma bilineal definida en un espacio de HilbertF Bß Ca breal . SupóngaseL

a b a b l ll l" F Bß C Ÿ G B C Bß C − L para todo #

a b a b l l# F Bß B G B G ! B − L" "# para todo .

Sea un funcional lineal continuo en . Existen aplicaciones linealesP LX À L L W À L L⎯→ ⎯→ tales que

para todo F XBß C œ ØBß CÙ Bß C − La b para todo F Cß WB œ ØBß CÙ œ ØCß BÙ Bß C − La bAdemás, y son biyecciones y ( el operador adjunto de )X W X œ W X X‡ ‡

DEMOSTRACIÓN. Para fijo, se define . Por es+ − L P B œ F +ß B " P B+ +a b a b a b a bun funcional lineal acotado en por el teorema de Riesz-Frechet existeLun único elemento tal que, − L


para todo .F +ß C œ Ø,ß CÙ C − La bDenotando por entonces así la aplicación, F +ß C œ Ø +ß CÙ) )a b)

): es una aplicación uno a uno. Más aún por la hipótesis L L #+ Ä +⎯→ a b

se tiene que

l l a b l ll la b a b) ) )+ œ F +ß + Ÿ G + +#"

así

l l l l)+ Ÿ G +#

obteniéndose así que es continua.)

Veamos ahora que el rango de es cerrado, así supongamos que ) Ö, ×7 7œ"_

es una sucesión en el rango de tal que)

lim7Ä_

7l l, , œ ,

para algún , ahora para y . Por se, − L , œ + 7 œ "ß #ßá + − L #7 7 7) a btiene que

G + + Ÿ F + + ß + + œ + + ß + +" ; : ; : ; : ; : ; :#l l a b a b ¡)

œ , , ß + + Ÿ , , + + ¡ l ll l; : ; : ; : ; :

de donde se obtiene la desigualdad

l l l l+ + Ÿ , ,; : ; :"G"

siguiéndose que es una sucesión de Cauchy en , así existeÖ+ × L7 7œ"_

+ − L + + œ ! tal que .lim7Ä_

7l lPor la continuidad de se recibe)

) )+ œ + œ , œ ,lim lim 7Ä_ 7Ä_

7 7

se sigue entonces que (Rango de ) y es cerrado. sea también, − V) ) )a bsobre, porque si suponemos que no es sobre entonces existe tal) A − Lque y , teniéndose quel lA Á ! A − VÐ Ñ) ¼

F AßA œ Ø AßAÙ œ !a b )


Por la desigualdad se tienea b# G A Ÿ F AßA"

#l l a bDe aquí se sigue que , llegando a una contradicción. Estal lA œ !

contradicción muestra que es sobreyectiva.)

Puesto que es uno a uno, sobre y continua, entonces tiene un inverso) )continuo que es una biyección, denotemos con .X œ )"

Si , entonces Bß C − L ØBß CÙ œ XBß C œ F XBß C ¡ a b)

La existencia de es probada en forma similar, dados se sigueW Bß C − Lde la definición de y queW X

¡ ¡a bXBß C œ F XBß WC œ Bß WC

Por lo tanto X œ WÞ‡

12. (Lax Milgram).TEOREMA Sea satisfaciendo las mismas hipótesis delFlema de 11. Sea una función lineal continua de . Existen únicosP Lelementos y en tales que@ A L

para todo F @ß œ P œ F ßA − La b a b a b: : : :

DEMOSTRACIÓN. Por el teorema de Riesz-Frechet existe un único talB − Lque

P œ ØBß Ù a − La b: : :

Sea , donde y son dados por el lema, si se@ œ XB A œ WB X W − L:

tiene

F @ß œ ØBß Ù œ Pa b a b: : :

y

F ßA œ ØBß Ù œ Pa b a b: : :


Para la unicidad supongamos que y . Entonces si@ œ XB @ œ XB" "

F @ß œ F @ ßa b a b: :" se sigue que

, de donde ØB Ù œ ØB ß Ù ØB B ß Ù œ ! a − L: : : :" "

por lo tanto

así B œ B @ œ XB œ XB œ @" " "

Análogamente se muestra que es único.A

§6. SOLUCIONES GENERALIZADAS DE PROBLEMAS CON VALORES DE FRONTERAPARA ECUACIONES ELIPTICAS DE SEGUNDO ORDEN.

13. Denotemos como es costumbre por

PÒ?Ó œ H + H ? , H ? -? œ 0 3 34 4 3 3a bdonde , son funciones acotadas y medibles en un dominioH œ + ß , ß -3 34 3

``B3

H § dR .

Como ya lo habíamos definido en varias ocasiones es un operadorPelíptico cuando

salvo para a b a bM + B ! œ !ß 4 œ "ß #ßá ßR34 3 4 4% % %

También recordamos que es fuertemente elíptico cuandoP

a b a b Œ !MM + B +34 3 4 !3œ"

R

3#% % %

Considérese la ecuación

PÒ?Ó œ 0

y supóngase que son funciones reales, continuas y de clase en + ß ,34 3"V H

además medible y acotada entonces y real.- 0 − Ð ÑV H#

14. . DEFINICIÓN 1 Se dice que una función a valor real es una : función deprueba si y tiene soporte compacto contenido en : V :− Ðd Ñ# R .H


Multiplicando a la izquierda la ecuación por una función dePÒ?Ó œ 0prueba obtenemos:

: : : : : : :PÒ?Ó œ 0 Í PÒ?Ó œ H + H ? , H ? -? œ 03 34 4 3 3a bintegrando sobre se obtieneH

' ' ' 'H H H H

: : : :P?.B œ H + H ? .B , H ?.B -? .B3 34 4 3 3a bpero integrando por partes la primera integral, teniendo en cuenta que=9: §: H es compacto, obtenemos

H + H ? .B œ + H ? H .B' 'H H

: :3 34 4 34 4 3a b a b a bLuego

' 'H H

: : : :P?.B œ + H ? H , H ? - ? .B "c d a ba b a b a b34 4 3 3 3

Nótese además que

' ' 'H H H

+ H ? H .B œ + H H ? .B œ ?ÒH + H Ó.B34 4 3 34 3 4 4 34 3a b a b a b a b a ba b: : :

y

(se ha integrado por partes)' 'H H

a b a b a b: :, H ? .B œ ?H , .B3 3 3 3

Luego se puede escribir en la formaa b" ' ' '

H H H

: : : : :P?.B œ ?Ò H + H H , -Ó .B œ ?P .B4 34 3 3 3‡a b a ba b

donde

P œ H + H H , -‡4 34 3 3 3: : : :a b a ba b

P P‡ es llamado el " " de adjunto formal

La anterior ecuación puede ser escrita en la forma

a b a b a b a bMMM P?ß œ F ?ß œ ?ÞP: : :‡


donde

F ?ß œ + H H ? , H ? - ? .Ba b c da ba b a ba b a b: : : :'H

34 3 4 3 3

y

para a b?ßA œ ?A.B ?ßA − Ð Ñ'H

_ H#d

Si para y entonces, œ ! 3 œ "ß #ßá ßR + œ + 3ß 4 œ "ß #ßá ßR3 34 43

P œ P: :‡

(pues y ) y en este casoP œ H + H - P œ H + H -: : : : : :3 34 4 4 34 3‡a b a b

se dice que es , además se tiene que es un funcionalP Fauto-adjuntobilineal en y tal que? :

.F ?ß œ F ß ?a b a b: :

15. . DEFINICIÓN 2 Supóngase que y . Sea + ß , − Ð Ñ -ß 0 − Ð Ñ ? − Ð Ñ34 4" # #V H _ H _ H

se dice que es una de? solución débil

P? œ 0 # a bsi para toda función de prueba se tiene:

a b a b a b3@ ?ß P œ 0ß‡: :

Por otra parte es una de? solución débil

P ? œ 0 $‡ a bsi para toda función de prueba se tiene:

a b a b a b3@ P ß ? œ Þ0‡ : :

Nótese además que si se supone que los y son medible y acotados+ ß , -34 4

en , entonces la forma bilineal es acotada en y puedeH V VF ‚" "

extenderse por continuidad a ver §1. teniéndose[ [" "‚ a b16. . DEFINICIÓN 3 Sea se dice que es una de la? − ?[" solución débilecuación si para toda función ver § . se tiene queP? œ 0 − #

‰: [" a b


a b a b a b@ F ?ß œ 0ß: :

Ahora se dice que es de la ecuación si? P ? œ 0solución débil ‡

para todo a b a b a b@3 F ß ? œ ß 0 −‰

: : : ["

17. . PROPOSICIÓN Si para entonces las+ ß , − 3ß 4 œ "ß #ßá ßR34 3"V Ha b

definiciones y son equivalentesa b a b# $ .

DEMOSTRACIÓN. Supóngase que para y+ ß , − Ð Ñ 3ß 4 œ "ß #ßá ßR34 3"V H

supongase que es una solución de en el sentido de la definición? − #[" a b3. Si es una función de prueba entonces y tiene soporte: : V :− Ðd Ñ# R

compacto contenido en por lo tanto ; puesto que existeH : [ [− ? −‰" "

una sucesión tal que? − Ð Ñ8"V H

cuando l l? ? Ä ! 8 Ä _8 "

Por la continuidad de se sigue queF

lim8Ä_

8F ? ß œ F ?ß œ 0ßa b a b a b: : :

Integrando por partes tenemos

a b a ba b a ba b? ß P œ ? ß H + H H , -8 8 4 34 3 3 3‡: : : :

œ ? H + H H , - .B'H

8 4 34 3 3 3a ba b a ba b: : :

œ ? H + H .B ? H , .B ? - .B' ' 'H H H

8 4 34 3 8 3 3 8a b a ba b: : :

œ + H H ? .B , H ? .B ? - .B' ' 'H H H

34 3 4 8 3 3 8 8a b a b a b: : :

œ + H H ? , H ? ? - .B'H

a ba b a b a b34 3 4 8 3 3 8 8: : :

œ F ? ßa b8 :

Puesto que convergencia débil con respecto a la -norma implical l† "

convergencia débil respecto a la -norma se sigue quel l† !

a b a b a b?ß P œ ? ßP œ F ? ß‡ ‡

8Ä_ 8Ä_8 8: : :lim lim

y así

a b a b?ß P œ 0ß‡: :

de donde es una solución en el sentido de la definición 2.?Análogamente si es una solución de en el sentido de la definición 3.? $a b


entonces es solución de en el sentido de la definición 2., basta ver? $a bque en forma totalmente análogaa b a bP ß ? œ F ß ?: :8 8

a b a b a ba bP ß ? œ ? H + H .B ? , H .B - ? .B œ: : : :8 8 3 34 4 8 3 3 8' ' 'H H H

œ + H ? H , ? H - ? .B'H

a ba b a b a b34 3 8 4 3 8 3 8: : :

œ F ß ?a b: 8

Ahora supongamos que es una solución de en el sentido de la? #a bdefinición 2. Sea , no es difícil demostrar que existe una sucesión: [−

‰"

Ö × − Ðd Ñ: : V :7 7 77œ"_ # R tal que y teniendo soporte compacto contenido

en además . AhoraH : :lim7Ä_

7 "l l œ !

a b a b a b@33 ?ß P œ 0ß‡7 7: :

más aún

a b a b?ß P œ F ?ß‡7 8: :

para esto como existe una sucesión tal que? − Ö? × § Ð Ñ[ V H" 8 8œ"_ "

lim8Ä_

8 "l l? ? œ !

y así para fijo8

a b a b a b a b?ß P œ ? ßP œ F ? ß œ F ?ß‡ ‡7 8 7 8 7 7

8Ä_ 8Ä_: : : :lim lim

Ahora teniendo en cuenta tenemosa b@33

F ?ß œ 0ßa b a b: :7 7

Puesto que y el producto interno son continuos, se sigue queF

F ?ß œ F ?ß œ 0ß œ 0ßa b a b a b a b: : : :lim lim7Ä_ 7Ä_

7 7

de donde es una solución de en el sentido de la definición 3.? #a bUtilizando tecnicas análogas se prueba que si es solución de en el? $a bsentido de la definición 2., entonces es solución de en el sentido de? $a bla definición 3.


18. Consideremos ahora el caso particular del Laplaciano, esto es laecuación diferencial parcial

PÒ?Ó œ ? œ H ? 3 œ "ß #ßá ßR?a b #3

Esto es caso en el cual el operador es auto-adjunto. En esteP? œ P ?‡

caso si es una función de prueba entonces:

Ø?ß Ù œ F ?ß œ H H ? .B 3 œ "ß #ßá ßR: : :" 3 3a b a b a b'H

Así según la definición 3., es una solución débil de si? − Ð Ñ P ? œ 0[ H" a bpara toda se tiene: [ H− Ð Ñ

‰"

F ?ß œ 0ßa b a b: :

pero

F ?ß œ H H ? .B œ Øf?ßf Ù.Ba b a b a b: : :' 'H H

3 3

o sea

, ' 'H H

Øf? f Ù .B œ 0ß œ 0 .B: : :a bLuego es una solución débil de cuando para toda? − Ð Ñ PÒ?Ó œ 0[ H"

? − Ð Ñ‰[ H" se tiene

.'H

ˆ ‰ ¡f?ßf 0 .B œ !: :

19. . Sea un dominio acotado, para cada el APLICACIÓN H _ H§ d 0 − Ð ÑR #

problema

a b a b a b¹M

PÒ?Ó œ ? B œ 0 B B −

? œ !

? H

`H

tiene una única solución débil .? − Ð Ñ‰[ H"

DEMOSTRACIÓN. Sea , consideremos el funcional0 − Ð Ñ_ H#

0 À Ð Ñ ds ‰[ H" ⎯→


dado por . Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz0 œ 0 .Bsa b: :'H

resulta

½ ½a b l l l l l l l lº º È0 Ÿ 0 .B Ÿ 0 Ÿ 0 -s : : : :'H

! ! ! "

la última desigualdad se sigue de la desigualdad de §2 . LuegoPoincaré a b0s es un funcional lineal acotado, por el teorema de representación deRiesz-Frechet existe un único tal que? − Ð Ñ

‰[ H"

0 œ 0 .B œ Ø?ß Ù œ Þf?ßf .Bsa b ¡: : : :' 'H H

"

Luego para todo se tiene: [ H− Ð Ñ‰"

'H

ˆ ‰ ¡f?ßf 0 .B œ !: :

lo cual demuestra que es una solución débil del problema y por el? Ma bmismo teorema de Reisz-Frechet es única.

20. . DEFINICIÓN Supongamos que es una región en para ,H !d ! "R

se dice que es de clase si para todo existe un abierto ` : − ` KH V H#!

en y un abierto en tal que para existe un enterod Z d : − KR 8"

" Ÿ 5 Ÿ R 2 − y una función tal queV H#!a b = y

` K B ßá ß B ßáBB ßá ß B ß B ßá ß B − ZB œ 2 B ßá ß B ß B ßá ß B

H Ÿa b‚ a ba b" 5 R" 5" 5" R

5 " 5" 5" R

21. .TEOREMA DE SCHAUDER Si es una región en , es de clase ,H H Vd `R #!

H es acotado

PÒ?Ó œ + B , B - B ?!! !a b a b a b4œ"3œ" 3œ"

R R R

34 3` ? `?

`B `B `B

#

3 4 3

para todo es uniformemente elíptico, y? − ß P + ß , ß - − G Ð ÑV H H #34 3a b !

- Ÿ ! 5 ! 0 − Ð Ñ; entonces existe una constante tal que para todo el" V H !

problema


en en a b œMPÒ?Ó œ 0

? œ ! `

HH

tiene una única solución en ; y ademásV H#!Ð Ñ

l l l l? Ÿ 5 0# "! !

22. Tomando

•V H V H# #

`

! !

HÐ Ñ œ ? − Ð Ñ ? œ !š ‚ ¹ ›

obtenemos claramente un espacio de Banach cerrado.

Consideremos el operador

•P À Ð Ñ Ð Ñ

? Ä PÒ?ÓV H V H#! !⎯→

lo que dice el teorema de Schauder es que es un operador uno a uno yPsobre (es decir, es una biyección).P

Por las definiciones resulta que es uno a uno ya que entoncesP P ? œ !a bpor el principio del máximo débil . Así? œ !

•P À Ð Ñ Ð Ñ" #

V H V H! !⎯→

es acotado.

l l l ll la bP 0 Ÿ P 0" "#!

basta para tener la desigualdad deseada tomar 5 œ P""l l

Como tenemos . Resta mostrar que el operadorP 0 œ ? ? Ÿ 5 0"# "a b l l l l! !

es sobre.

Supongamos que ? − Ð Ñ : !ß : − dV H#

l l !! !¹ ¹ ¹ ¹? œ l?l .B#ß:4œ"3œ" 3œ"

R R` ? `?

`B `B `B

: ::'

H

#

3 4 3

":

R

23. . Para , si se toman las condicionesDESIGUALDAD DE SOBOLEV ! "!

del teorema de Schauder y es suficientemente grande tal que:


a b a b+ " œ :ßPß entonces existe una constante tal que! œ œ HR:

23.1l l l l a b? Ÿ ?" #ß:! œ

a b l l l l a b, ? Ÿ - 0 23.2#ß: " !

a b l l l l a b- ? Ÿ 5 0 23.3" #! !

También se tiene que

l l l l l l? Ÿ - 0 Ÿ - 0" _! !

En general se tiene que

l l l l l l? Ÿ - ? Ÿ -- 0" #ß:! "! !

24. . La inyección es compacta3 À Ð Ñ Ð Ñ? Ä 3 ? œ ?

V H V H#! !⎯→a b

DEMOSTRACIÓN. Supongamos que es una sucesión acotada dee f?5 5œ"_

V H #!

Ð Ñ < !, esto quiere decir que existe tal que

l l l l ! !!½ ½ ½ ½? œ ? Ÿ <5 5#3œ" 4œ"3œ"

R R R`? ` ?`B `B `B! !

! !

5 5

3 3 4

#

entonces tenemos que la sucesión , cuandoe f š › š ›? ß5 5œ"_ `? ` ?

`B `B `B5œ" 5œ"

_ _5 5

3 3 4

#

" Ÿ 3ß 4 Ÿ R Ð Ñ son sucesiones acotadas en . Cada una de estasV H!

sucesiones estan en las hipótesis del teorema de Arzela-Ascoli, así existeuna función definida en y una subsucesión de tal que? ? ?H e f e f8 58œ" 5œ"

_ _

? Ä ?ß Ä ß Ä8`? ` ?`B `B `B `B `B `B

`? ` ?? 8

3 3 3 4 3 4

# #

uniformemente en , para todo .H " Ÿ 3ß 4 Ÿ R

Por la desigualdad 23.1 de Sobolev tenemosa b ( pués )l l ½ ½ ½ ½? ? Ä ! Ä !ß Ä !8 #ß:

`? ` ?`B `B `B `B `B `B

`? ` ?

#ß: #ß:

8 8

3 3 3 4 3 4

# #

y

l l l l? ? Ÿ - ? ?8 8" #ß:!


por lo tanto

, y , l l l l l l? ? Ä ! ? ? Ÿ ? ? Ä !8 8 8" "! ! !

por lo tanto cuando . Luego es un operadorl l? ? Ä ! 8 Ä _ 38 !

compacto como queriamos demostrar.

EJERCICIO. •P À Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ

3" #V H V H V H! !!

⎯→ ⎯→

V œ P ß X œ 3 ‰ V À Ð Ñ Ð Ñ" V H V H! !⎯→

entonces demostrar que es compacto.X

24. . TEOREMA Supongamos que es un dominio en acotadoH dR

PÒ?Ó œ + B , B - B ?! ! !a b a b a b4œ" 3œ" 3œ"

R R R

34 3` ? `?

`B `B `B

#

3 4 3

para todo , tenemos que el operador es? − Ð Ñ + ß , ß - − Ð Ñ PV H V H# #34 3

uniformemente elíptico, además es de clase . Si` H V #!

•

P À Ð ÑV H V H#! !⎯→ ˆ ‰es uno a uno, donde

•V H V H# #

`

! !

HÐ Ñ œ ? − Ð Ñ ? œ !š ‚ ¹ ›

entonces el problema

¹P Ò?Ó œ 1

?

en H

` œ!H

tiene una solución única para cada , además existe? − Ð Ñ 1 − Ð ÑV H V H#! !

una constante tal que5 !#

l l l l? Ÿ 5 PÒ?Ó ? − Ð Ñ# ##

! !!para todo V H


NOTA. Este es el mismo teorema de Schauder donde se ha cambiado lacondición por en uno a uno.- Ÿ ! P

DEMOSTRACIÓN. Se selecciona tal que para todo . ! -ÐBÑ . Ÿ ! B − H

(esto se puede hacer pues es continua y compacto) y se defineP H

RÒ?Ó œ PÒ?Ó .?

para todo . Por el teorema de existencia de Schauder para cada? − Ð ÑV H#!

0 − Ð Ñ ? − Ð ÑV H V H! ! existe una única función tal que#

RÒ?Ó œ 0

en además existe tal queH 5 !

l l l l a b? Ÿ 5 RÒ?Ó "#! !

Se define para cada , donde es la única función tal0 − Ð Ñ V 0 œ ? ?V H! a bque en , ( en otras palabras ) y tomemosRÒ?Ó œ 0 ? − Ð Ñ V œ R H V H# "!

X œ 3 ‰ V œ 3 ‰ R"

donde es la inclusión (o inyección ) teniéndose el3 À Ð Ñ Ð ÑV H V H#! !⎯→siguiente diagrama

ΩC ( ) C ( )Ωα 2+α

C ( )Ω α

N−1

ιT

demostraremos que el operador lineal es compacto (lo cual se puedeXhacer como ejercicio). Si en , esto es equivalente a quePÒ?Ó œ 0 H

RÒ?Ó œ 0 .?

esto es equivalente a

? œ X 0 .X ?a b a b


la cual puede escribirse también en la forma

? .X ? œ X 0a b a bSi denotamos por , entoncesO œ .X

? O ? œ X 0 Í M O ? œ X 0a b a b a b a bLo anterior quiere decir que

PÒ?Ó œ 0 Í ÒM OÓ ? œ X 0 a b a bDemostraremos que es uno a uno. Para demostrarMO À Ð Ñ Ð ÑV H V H! !⎯→esto supongamos que

a ba bM O @ œ ! @ − Ð Ñ V H!

Pero esto equivale a @ O@ œ ! Í @ œ O@ œ .X @ a bDe donde se tiene que , entonces se tiene queQÒ@Ó œ .QX @ œ .@a b .@ œ Q @ œ PÒ@Ó .@a besto es , ya que es uno a uno, tenemos que . Por lo tantoPÒ@Ó œ ! P @ œ ! tenemos que

a bM O À Ð Ñ Ð ÑV H V H! !⎯→

es uno a uno, por el teorema de la alternativa de Fredholm el operadorlineal es sobre, esto es para todo existe tala bM O 0 − Ð Ñ ? − Ð ÑV H V H! !

que (aplicando la definición de sobre a ), esto esa ba b a b a bM O ? œ X 0 X 0equivalente a en , .PÒ?Ó œ 0 ? − Ð Ñß ?l œ ! H V H#

`!

H

Ya que el operador es operador lineal continuo,M O À Ð Ñ Ð ÑV H V H! !⎯→uno a uno y sobre entonces es acotado (Teorema de Banacha bM O "

para operadores lineales) esto es existe una constante tal que5 !$

para todo l l l la ba bMO @ Ÿ 5 @ @ − Ð Ñ! !!

$ V H

Además por el teorema de existencia de Schauder existe tal que5 !

para todo .l l l la b? Ÿ 5 R ? ? − Ð Ñ##

! !!V H


Si en , para , entonces se tiene que•PÒ?Ó œ 0 ? − Ð Ñ 0 − Ð Ñ H V H V H#! !

a ba b a b a b a ba bM O ? œ X 0 ? œ M O X 0 en , tomando inverso , tenemosH "

l l a b a b l l l ll l a b¼ ¼a b a b? œ M O X 0 Ÿ 5 X 0 Ÿ 5 X 0 #! ! !!"

$ $

Además RÒ?Ó œ PÒ?Ó .? œ 0 .?

Por lo tanto tenemos que

l l l l l l a ba b l l l l? Ÿ 5 R ? œ 5 0 .? Ÿ 5 0 . ?#! ! ! !

Ÿ 5 0 5 X 0 œ 5 " 5 X 0a b a bl ll l l ll l l l! ! !$ $

haciendo obtenemos5 œ 5 " 5 0# $a bl l l l l l? Ÿ 5 0# #! !

NOTA. En resumen se considera el siguiente diagrama conmutativo

ΩC ( ) C ( )Ωα 2+α

C ( )Ω α

N−1

ιT

Se toma RÒ?Ó œ PÒ?Ó .? - B . Ÿ !a basí es equivalente a de dondePÒ?Ó œ 0 ? .X ? œ X 0 a b a b ? O? œ X 0 • O œ .0 Í M O ? œ X 0a b a ba b a b

Supongamos ahora que es un dominio acotado en , de claseH Hd `R

V V H !#34 3

! !ß + ß , ß - − Ð Ñ ! " con

PÒ?Ó B œ + , - B ? Ba b a b a b! ! !4œ" 3œ" 3œ"

R R R

34 3` ? `?

`B `B `B

#

3 4 3


para todo es uniformemente elíptico y? − Ð Ñß PV H#

0 À ‚ d dBß = Ä 0 Bß =

H ⎯→a b a bes una función de clase en . Consideremos el siguiente problemaV H" ‚ d

en

Ÿa b a b c da b a ba b¹M

PÒ?Ó B œ 0 Bß ? B 2 B

? œ !

H

` H

donde .2 − Ð ÑV H!

25. . DEFINICIÓN Una función se denomina @ − Ð Ñ Ð ÑV H V H# supersolución( ) o solución superior del problema sia bM PÒ@Ó B Ÿ 0 Bß @ B 2 B ßa b c da b a ba b en H

.@ÐBÑ ! ` en H

Si una función satisface las siguientes desigualdadesA − Ð Ñ Ð ÑV H V H#

en PÒAÓ B 0 BßA B 2 Ba b c da b a ba b H

en A B Ÿ ! à b H

en este caso a se le denomina del problema .A Msubsolución a b26. . TEOREMA Si existen dos funciones y tales que es una@ A @supersolución de , una subsolución de y en a b a bM A M AÐBÑ Ÿ @ÐBÑ H

entonces existe tal que es solución de y? − Ð Ñ ? MV H#! a b@ B Ÿ ? B Ÿ A Ba b a b a b en H

DEMOSTRACIÓN. Se selecciona tal queP !

+ para todo yP H`0 Bß=

`=a b ! B −

y en A B Ÿ = Ÿ @ B - B Ÿ !a b a b a bP H

Se define para todo .QÒ?Ó œ PÒ?Ó ? ? − Ð Ñ P V H#

Por el teorema de existencia de Schauder existe una función ? − Ð Ñ!#V H!

tal que


en en œ a b a b a ba bQÒ? Ó œ Ò0 BßA B 2 B A B Ó

? œ ! `

!

!

P HH

Por el mismo teorema existe tal que? − Ð Ñ"#V H!

en en œ a b a b a ba bQÒ? Ó œ Ò0 Bß ? B 2 B ? B Ó

? œ ! `

" ! !

"

P HH

Usando inducción podemos asegurar que existe una sucesión ene f?7 7œ"_

V H#!Ð Ñ tal que

en en œ c da b a ba bQÒ? Ó œ 0 Bß ? B 2 B ?

? œ ! `

7 7" 7"

7

P HH

para todo 7 œ "ß #ßá

Demostremos seguidamente que

A B Ÿ ? B Ÿ ? Ÿ @ Ba b a b a b7 7"

para todo . Para ver esto recordemos que para se tiene:B − A BH a b en

en œ a b c da b a b a b a ba ba bQ A B 0 BßA B 2 B A BA B Ÿ ! `

P HH

Además tenemos

en en a b œ a b c da b a b a ba b

MMQÒ? Ó B œ 0 BßA B 2 B A B

? œ ! `!

!

P HH

Restando tenemos

en en œ a bQÒA ? Ó B !

A ? Ÿ ! `!

!

HH

Por el principio del máximo débil en esto esA ? Ÿ !! H

en A B Ÿ ? Ba b a b! H

Además para tenemos@ Ba b en

œ a b c da b a b a ba bQÒ@Ó B Ÿ 0 Bß @ B @ B 2 B@l !

P H

`H


Restando esta última con recibimosa bMM

Q ? @ 0 Bß @ B 0 BßA B @ B A Bc d a b a b c da b a b a b a b! P

para todo œ Bß B @ B A B ! B −a b" Š ‹a b a ba b a b a b`0

`0 0 P H

y .a b? @ l Ÿ !! `H

Otra vez por el principio del máximo débil y las anteriores desigualdadespodemos concluir que

en ? B Ÿ @ B!a b a b H

suponiendo que A ? Ÿ ? Ÿ @ 5 œ "ß #ßá ß 8 "5 5"

.a b" Aplicando el teorema del valor medio .

las otras desigualdades se demuestran en la misma forma.

Por lo anterior podemos concluir que

AÐBÑ Ÿ ? ÐBÑ Ÿ ? ÐBÑ Ÿ @ÐBÑ8 8"

para todo entero positivo . Por lo tanto el existe para todo8 ? Blim8Ä_

8a bB − ? B œ ? B B −H H. Se define para todo a b a blim

8Ä_8

Denotemos por

1 B œ 0 Bß ? B 2 B ? B7 7" 7"a b c da b a b a ba b P

y

1 B œ 0 Bß ? B 2 B ? Ba b c da b a b a ba b P

Ya que es de clase tenemos que0 V"

lim lim7Ä_ 7Ä_

7 7" 7"1 B œ 0 Bß ? B 2 B ? Ba b c da b a b a ba b

P

para todo œ 1 B B −a b H

Así existe tal que y para todo < ! 1 Ÿ < 1 Ÿ < 7 œ !ß "ß #ßál l l l7 _ _


Tomemos suficientemente grande tal que . Ya que: " ! R:

lim 7Ä_

7 71 B œ 1 B 1 Ÿ <a b a b l l y se tiene, integrado, que

cuando Œ k k l la b a b'H

1 B 1 B .B œ 1 1 Ä ! 7 Ä _7 7:

:

":

además se tiene que

l l l l l l l l ‘? ? Ÿ - ? ? Ÿ - - 1 1 1 1 Ä !7 8 " 7 8 " # 7 8" #ß: : :!

cuando y . Lo anterior quiere decir que es una7 Ä _ 8 Ä _ Ö? ×7 7œ"_

sucesión de Cauchy en -norma. Entonces converge a enV H"7

!Ð Ñ ? ?

V H"!Ð Ñ-norma.

En lo que sigue demostremos que converge en . Para estoÖ1 × Ð Ñ7 7œ"_ V H!

denotemos por

1 B œ 1 B 1 B œ 0 Bß ? B 0 Bß ? B ? B ? B78 7 8 7" 8" 7" 7a b a b a b c da b a b a ba b a b a b a bP

Ya que y son funciones uniformemente continuas en0 f

y converge en -norma tenemos queH V HH H

‚ Aß @ Ö? × Ð Ñ– —inf sup 7 7œ"_ !

si , existe tal que % % % ! R 8ß7 RÐ Ña b sup

H%k ka b a ba b a bf0 Bß ? B f0 Bß ? B 7" 8"

y

supHP %l l l lf? f? Ÿ < ? ? 7" 8" 7" 8" "!

tenemos

l l l la b a b a ba b1 B 1 C œ f1 B C78 78 78 0

Ÿ f0 ß ? f0 ß ? f ? ? lB ClŠ ‹k k a ba ba b a ba b a b ¹ ¹0 0 0 0 P 07" 8" 7" 8"

Ahora


supB Á CBß C − H

l la b a b1 B 1 ClBCl

78 78! Ÿ #."!

donde es el diámetro de teniéndose que. H

l l l l a b a b1 1 œ 1 1 L 1 1 # . œ " #.7 8 8 7 7 8_" "

!! !% % %

Luego , cuando .l l1 1 Ä ! 8ß7 Ä _7 8 !

Por el teorema de existencia de Schauder existe tal que5 !

l l l l l la b? ? Ÿ 5 Q ? ? Ÿ 5 1 1 Ä !ß 8ß7 Ä _7 8 7 8 7 8#! ! !

Esto quiere decir que converge a en entoncesÖ? × ? Ð Ñ8 8œ"_ #V H!

lim8Ä_

8Q ? œ Q ?a b a b QÒ?Ó B œ QÒ? Ó B œ Ò 0 Bß ? B ? B 2 B Óa b a b a b a b a ba blim lim

7Ä_ 7Ä_7 7" 7"P

œ Ò0 Bß ? B ? B 2 B Óa b a b a ba b P

pero

QÒ?Ó B œ PÒ?Ó B ? B œ 0 Bß ? B ? B 2 Ba b a b a b a b a b a ba bP P

Luego es solución de?

en

Ÿa b a b c da b a ba b¹M

PÒ?Ó B œ 0 Bß ? B 2 B

? œ !

H

` H

BIBLIOGRAFIA

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[8] Sánchez,J.D., Ensayo de una solución de un problema de EcuacionesDiferenciales. Aportes en Matemática Virtual, programa de Aprendizaje enel ciberespacio 2006

A‘’LLƒ

Espero que el lector haya obtenido provecho de este trabajo en el aprendizaje del análisis no lineal.

Agradezco a mi hijo Juan Armando quien todavía le queda paciencia para ayudarme a colocar estos trabajos en internety darme ánimo para continuar con ellos. También a Nohora y a la Ingeniera Esperanza Nieto quienes leyeron losoriginales y cuidaron, en lo posible, del buen manejo del lenguaje español.

Exitos y bienvenidos a la investigación por internet. Cualquier comentario favor hacerlo llegar a: [email protected],[email protected]@yahoo.com Copyright© Darío Sánchez Hernández

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Analisis Funcional Para Las Ecuaciones Diferenciales