ANÁLISIS LINEAL: TRANSFORMADA DE FOURIER

CONCEPTOS BÁSICOS

La idea de las series de Fourier vista en la clase anterior permite pensar en la representación de funciones no periódicas, asimilándolas a una periódica de período infinito. Con esta idea se llega a la transformada de Fourier de una función, definida por:

dtetfF ti)()(

En base a ella se puede representar a la función f mediante una integral, igual que antes lo hacíamos mediante una sumatoria en el caso de series de Fourier:

deFtf ti)(2

1)(

La F vendría a jugar, pues, el rol de un coeficiente . Ambas expresiones se suelen relacionar mediante la simbología:

)()( Ftf

En realidad, pocas veces se apela al cálculo directo para obtener una transformada, sino que se las genera a partir de otras conocidas (p. 264 Gabel) más el uso de las propiedades de la transformada (p. 275 Gabel). Iremos introduciendo algunas de estas propiedades en los ejemplos resueltos.

PROBLEMAS RESUELTOS

1.) Cálculo directo de una transformada. Calcular la transformada de Fourier de la función f dada por

casos demás02

7cos1

)(t

ttf

SOLUCIÓN

dtedtetfF titti2

7cos1)()(

Esta integral es fácil pero laboriosa. Una manera de resolverla con relativa practicidad es expresar el coseno en su forma compleja. Al hacer los cálculos queda:

32

2222

32

2222

449

2

7sen14

2

7cos1449

449

2

7sen14

2

7cos1449

)(

iie

iie

F

i

i

2.) Propiedad de simetría. Eligiendo el método más conveniente, calcular la transformada de Fourier de la función:

ittf

4

5)(

SOLUCIÓN

En las tablas encontramos que ia

tue at 1)( . Por lo tanto estamos tratando de

encontrar la transformada de una función que, si estuviera expresada en , sería la transformada de una función conocida. Para casos como éste cabe aplicar la propiedad de simetría, que expresa que si f(t)

F( ), entonces F(t)

2 f( ).

En nuestro caso, podemos escribir, aplicando la mencionada expresión de tablas y la

propiedad de linealidad: i

tue t

4

5)(5 4 . Por lo tanto por la propiedad de simetría

podemos escribir )(524

5 )(4 ueit

. Veamos que u( ) es la imagen especular

de u( ), y se puede expresar como u( ) = 1- u( ). Reescribiendo la expresión anterior tendremos finalmente:

)(1104

5 4 ueit

3.) Corrimientos. Aplicando propiedades de la transformada de Fourier, calcular y graficar el espectro de amplitud de la función f(t) = 6[u(t

3)

u(t

7)].

SOLUCIÓN

La función es un pulso de anchura 4 y amplitud 6 centrado en t = 5. Sabemos de tablas que si gT es un pulso de anchura T y amplitud 1 centrado en t = 0, la transformada de Fourier es GT( ) = Tsinc( T/2), donde sinc(x) = senx/x. Pero aquí el pulso está corrido en 5 unidades. Nuestra función puede decirse entonces que equivale a 6g4(t

5).

Para transformar esta última, recordemos la propiedad de retardo, que permite manejar funciones con corrimientos en la variable t. Ella expresa que si f(t)

F( ), entonces

)()( 00 Fettf ti . De esa manera, en nuestro caso particular tenemos:

)()2(sinc24)2(4sinc6)(6)5(6)( 554

54 FeeGetgtf iii

Para graficar el espectro de amplitud, tengamos en cuenta que la exponencial de un número imaginario puro tiene módulo igual a 1, según se deduce de la expresión de Euler. Tenemos así:

)2(sinc24)2(sinc24)2(sinc24)( 55 ii eeF

Y la gráfica será:

4.) Convolución. Un sistema lineal, causal e invariante en el tiempo tiene la función de respuesta en frecuencia H( ) = 1/(3 + i ). Para una cierta entrada x(t), se observa que la salida es y(t) = e-3tu(t)

e-4tu(t). Calcular la entrada.

SOLUCIÓN

La propiedad de convolución establece que:

)(

)()()()()()()()(

)()()()()()(

)()(caso nuestroen

H

YXYHXthtxty

GFtgtfGtg

Ftf

Nuestra estrategia será, entonces, encontrar la transformada de la entrada X( ), y luego antitransformarla para encontrar la función de entrada x(t). Para eso debemos conocer Y( ) y H( ). Esta última ya la tenemos; por lo tanto calcularemos la primera:

)(4

1

3

1)()(

4

1)( ;

3

1)( 434

tabla

3 Yii

tuetuei

tuei

tue tttt

Si ahora dividimos este resultado por H( ) para obtener X( ), tendremos:

ii

ii

i

i

i

iiH

YX

4

1

4

34

4

31

3

14

1

3

1

)(

)()(

Luego, antitransformando según tabla, se obtiene:

x(t) = e-4tu(t)

Nótese que de no haber hecho este proceso nos habríamos visto en figurillas para determinar la entrada.

5.) Propiedades varias. (i) Sabiendo que 21

2)( teF , usar propiedades de la

Transformada de Fourier para calcular las transformadas de las siguientes señales:

22 )1(

4)( ; )(

t

ttytetx t

(ii) La función g(t) está definida por

casos demás0

1)( 2

121 t

tg

Calcular la Transformada de Fourier de )6sen(410

52)( t

tgtx .

SOLUCIÓN

(i) Usamos la propiedad de diferenciación en frecuencia, que establece:

d

dFtitf

)()(

Aplicando esto a nuestra función x(t) tendremos:

)(1

4)(

1

4

1

222222

Xi

tetxd

dite tt

Para determinar la transformación de y(t), usemos la propiedad de simetría. Observemos que, despejando de la ecuación anterior:

)(2)(21

4)(

1

42222

tYieeit

ttyite t

(ii) La transformada de g la tenemos de tablas y es sinc( /2). Aplicaremos las propiedades de retardo, que expresa )()( 0

0 Fettf ti , y de corrimiento, que

establece a

Fa

atf1

)( . Tenemos entonces:

5sinc1010

5

2sinc)5( 505 ii e

tgetg

Usando ahora transformaciones de tablas para la función constante y para el seno, podemos afirmar:

6645sinc10)(4)6sen(410

52 50 iet

tg i