ANALISIS-MATEMATICO-4

Universidad Nacional Del Centro Del Perú

ANALISIS MATEMATICO IV

1

1. Se tiene una calculadora que solamente hace operaciones de suma, resta y producto. El método de Newton y Raphson ayuda a salvar el problema porque puede usarse para determinar el reciproco de un número (esto es 1/n) sin hacer ninguna división. Utilice esta técnica para calcular 15/19 con un error de 0,5*10-4

1n=15

19

f ( x )=1n−15

19

F ' ( x )=−1n2

x i+1=x i−f (x)f ' (x)

ni+1=ni−

1ni

−1519

−1ni

i n error0 1 1 1.211 0.2112 1.2566 0.04553 1.2664 0.00984 1.2665 0.0001

n¿=1.2665

2.- para el sistema.Xey-1=0………………. (1)X2+4y2-4=0…………… (2)

a) Localizar todas las soluciones. b) Dar un algoritmo que permita calcular al menos una solución.

SOLUCIÓN:a) El sistema de ecuaciones puede escribirse de la forma siguiente.

Despejando variables:



2

A la ecuación 2 se le divide entre 4 y obtenemos la ecuación de la elipse como se muestra.

x=e− y

x2

22 + y2

12 =1

Por lo tanto graficando las ecuaciones se puede observar que existen dos soluciones, r1 y r2, los cuales están localizados en los intervalos.

(0,1) x (0,1) y (1,2) x (-1,0), respectivamente.

b) Para calcular la solución r1 empleamos el algoritmo siguiente.

Despejando tenemos de la forma:

x=e− y

y=12 √4−x2

Tomando valores (x0, y0)= (0.5 ,1):

i Xi Yi error Xi0 0.5 1

10.36789051

60.9829364

90.1321094

8

20.37422169

10.9823388

10.0063311

8

30.37444541

70.9823174

90.0002237

3

40.37445339

80.9823167

37.9807E-

06

50.37445368

30.9823167

12.8478E-

07

Par calcular la solución r2 empleamos el algoritmo siguiente.

y=−lnxx=2√1− y2

Tomamos los mismos valores (0.5 ,1), y hacemos la iteración como lo anterior.



3

3. la mama de Panchita hace pasteles y sólo cobra los ingredientes. La siguiente tabla muestra los pedidos de 4 amigas; los ingredientes en kg de cada pastel y el costo total.Amiga Huevos (Kg) Azúcar ( Kg) Harina (Kg) Manzanas

(Kg)Costos (S/.)

Blanca 1 0.4 1 0 16.4Denisse 2 0.8 3 1.2 55.8Estefany 0.5 0.2 1.5 0.8 25.2María 1.5 1 3 1 50.5

Encontrar el costo por kilogramo de cada ingrediente, para ello debe indicar el método que ésta utilizando.Solución Método utilizado: (partición de ecuaciones)Costo por kilogramo de cada producto

Huevo (kg) = a Azúcar ( Kg) = b Harina (Kg) = c Manzanas (Kg) = d

Entonces:1a + 0.4b + 1c + 0d = 16.4 ……………….. (1)2a + 0.8b + 3c +1.2d = 55.8 ……………….. (2)0.5a + 0.2b + 1.5c + 0.8d = 25.2 ……………….. (3)1.5a + 1b + 3c + 1d = 50.5 ……………….. (4)

(1) y (2)

(1a + 0.4b + 1c = 16.4) *(- 2) - 2a - 0.8b - 2c = - 33.82a + 0.8b + 3c + 1.2d = 55.8

C + 1.2d = 23 ……………….. (α) (α) en (2)

2a + 0.8b + 3c +1.2d = 55.82a + 0.8b + 3(23 - 1.2d) + 1.2d = 55.82a + 0.8b – 2.4d = - 13.2 ……………….. (x)

(α) en (3)



4

0.5a + 0.2b + 1.5c + 0.8d = 25.20.5a + 0.2b + 1.5 (23 - 1.2d) + 0.8d = 25.20.5a + 0.2b - 1d = - 9.3 ……………….. (y)

(α) en (4)

1.5a + 1b + 3c + 1d = 50.51.5a + 1b + 3(23 - 1.2d) + 1d = 50.51.5a + 1b - 2.6d = - 18.5 ……………….. (z)

(y) y (z)

(0.5a + 0.2b - 1d = - 9.3)*31.5a + 0.6b – 3d = - 27.91.5a + 1b - 2.6d = - 18.50.4b + 0.4d = 9.4 ……………….. (β)

(x) y (β)

2a + 0.8b – 2.4d = - 13.20.4b + 0.4d = 9.43.2d – 2a = 32 ……………….. (θ)

Despejando a, b y c respecto a “d”:C + 1.2d = 23 ……………….. (α) c = 23 - 1.2d

0.4b + 0.4d = 9.4 ……………….. (β) b= 9.4−0.4d

0.4

3.2d – 2a = 32 ……………….. (θ) a = 3.2d−32

2Reemplazando a, b y c en la ecuación (4)1.5a + 1b + 3c + 1d = 50.5

1.5 *(3.2d−32

2) + 1¿(

9.4−0.4 d0.4

) + 3 *(23 - 1.2d)+ 1d = 50.5

d = 15

Reemplazando “d” en (α), (β ¿ y (θ):

c = 23 - 1.2d ……………….. (α) c = 23 - 1.2(15)c = 5

b= 9.4−0.4d

0.4 ……………….. (β)

b= 9.4−0.4 (15)

0.4



5

b = 8.5

a = 3.2d−32

2 ……………….. (θ)

a = 3.2(15)−32

2a = 8

RESPUESTA:

Método utilizado: (partición de ecuaciones)Costo por kilogramo de cada producto:

Huevo (kg) = S/. 8 Azúcar (Kg) = S/. 8.5 Harina (Kg) = S/. 5 Manzanas (Kg) = S/. 15

4. utilizando el método de punto fijo multivariable, resolver el sistema de ecuaciones no lineales:x2−4 x+ y2=0 x2−x−12 y+1=0x+ y+z−6=0Nota: utilice como punto de inicio al vector (4,1,1 )T .SOLUCION:

i) Despejar las variables

x= x2+ y2

4

y= x2−x+1

12z=6−x− y

ii) Determinar las derivadas parciales en función de las incógnitas:dg1

dx= x

2dg1

dy= y

2dg1

dz=0

dg2

dx=

1(2x−1)2

dg2

dy=0

dg2

dz=0

dg3

dx=−1

dg3

dy=−1

dg3

dz=0

iii) Determinar las derivadas parciales.



6

|x2|+|2 x−112 |+|−1|

|42|+|2 (4)−1

12 |+|−1|=3,583˃1

| y2|+|0|+|−1|

|12|+|0|+|−1|=1,5˃1

|0|+|0|+|0|=0˂1

El sistema puede o no converger, puesto que la 1 y 2 condición no satisface por completo el criterio de convergencia.

iv) Ahora procedemos a realizar el proceso iterativo.

Primera iteración:

x1(1 )=42+12

4=4,25 y1

(1 )=42−4+112

=1,0833

z1(1)=6−4−1=1

Segunda iteración.

x1(2 )=4,252+1,08332

4=4,8090 y1

(2 )=4,252−4,25+112

=1,2344

z1(2)=6−4,25−1,0833=0,6667

Tercera iteración.

x1(3 )=4,80902+1,23442

4=6,1626 y1

(3 )=4,80902−4,8090+112

=1,609

z1(3)=6−4,8−1,2344=0,6667



7

i Xi Yi zi ε Xi εYi ε zi

0 4 1 1 -------- -------- -------

1 4,25 1,0833 1,0 0,25 0,0833 0

2 4,8090 1,2344 0,6667 0,559 0,1511 0,3333

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