ANALISIS MATEMATICO

Excelencia Académica

TABLA DE CONTENIDO Presentación Programa General

UNIDAD TEMÁTICA I

Estudio de los números 07 Números reales 07 Eje numérico 09 Valor absoluto de un número real 10 Magnitudes 11 Coordenadas polares 12

UNIDAD TEMÁTICA II Funciones 17 Dominio 18 Paridad o Simetrías 20 Asíntotas 21 Puntos de corte con los ejes 23 Signo de la función 24 Máximos y Mínimos relativos de la función 25 Intervalos de crecimiento y decrecimiento 26 Gráfica de funciones 27

UNIDAD TEMÁTICA III Límites 33 Definición provisional 33 Definición 34 Teoremas sobre límites 35 Funciones continuas 37 Intervalos infinitos 37 Definición de una función contínua 38 Límite de una función en un punto 39 Propiedades 40

UNIDAD TEMÁTICA IV Límites en el infinito 43 Asíntotas de una curva 44 Cálculo de límites 49 Función contínua en un punto y en un intervalo 54 Operaciones con funciones contínuas discontinuidades 56

UNIDAD TEMÁTICA V Derivadas 59 Incrementos 59 Pendiente 60 Definición 61 Formulas de derivación 63

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UNIDAD TEMÁTICA VI

Diferenciales (segunda parte) 75 Derivada de orden superior 75 Derivada segunda 75 Derivación implícita 75 Teoría de máximos y mínimos 81 Crecimiento y decrecimiento de una función 81 Punto crítico 83 Extremos relativos 84 Teorema del valor extremo 86 Concavidad 86 Punto de inflexión 87 Criterio de primera y segunda derivada 88 Criterio de la primera derivada 88 Criterio de la segunda derivada 90 Trazado de curvas 91 Paso 1: Puntos críticos e intervalos de crecimiento y decrecimiento 91 Paso 2: Puntos de inflexión 91 Paso 3: Intervalos de concavidad 91 Paso 4: Determinación de máximos y mínimos 91 Paso 5. Tabla de valores 92

UNIDAD TEMÁTICA VII Aplicación de las derivadas (Primera parte) 97 Recta tangente 97 Recta Normal 98 Regla de la cadena 100 Aplicaciones Mecánicas de la derivada 101 Casos Aplicativos 103

UNIDAD TEMÁTICA VIII Aplicaciones de las diferenciales (segunda parte) 127 Aplicaciones de las derivadas en ciencias económico administrativas 127 Teoría de costos 127 Costo total 128 Costo margina 128 Costo medio 128 Ingreso total 128 Función de demanda 128 Ingreso marginal 128 Minimización del costo de producción 130 Maximización de la utilidad 132

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ESTUDIO DE LOS NÚMEROS En este UNIDAD TEMÁTICA, se estudiarán uno de los conceptos fundamentales de las matemáticas “el número”

Números reales Números racionales Números irracionales Propiedades de los Números Reales

Eje numérico Valor absoluto de un número Magnitudes Coordenadas polares

Al finalizar el estudio del presente UNIDAD TEMÁTICA, el estudiante: • Define el concepto de número • Interpreta los números reales • Define el valor absoluto • Aplica coordenadas polares

LOS NÚMEROS REALES Los números que se utilizan en el álgebra son los números reales. Hay un número real en cada punto de la recta numérica. Los números reales se dividen en números racionales, números irracionales y números enteros los cuales a su vez se dividen en números negativos, números positivos y cero (0), como podemos verlo en esta tabla:

7


Un número real es racional si se puede representar como cociente ab

, donde “ a ”

sea un entero y “b ” sea un entero no igual a cero ( 0b ≠ ). Los números racionales pueden escribirse en forma decimal.

Existen dos maneras:

* fracciones decimales finitas. Ejemplo: 2 0,45= ,

25 6,254= , etc.

* fracciones decimales indefinidas Ejemplo: 1 0,33333= ,

1 0,11119=

Los números reales que no pueden ser expresados en la forma ab

, donde “ a ”

y “b ” son enteros se llaman números irracionales. Los números irracionales no tienen decimales terminales ni decimales que se repiten infinitamente.

Ejemplo: 2 , π , 5− , etc.

Propiedades de los Números Reales:

• Conmutativa de adición:

La conmutatividad implica que no importa el orden de operación, el resultado siempre es el mismo.

x y y x+ = +

• Conmutativa de multiplicación:

. .x y y x=

• Asociativa de adición:

• La asociatividad implica que no importa el orden en que se agrupe, el resultado es el mismo.

( ) ( )x y z x y z+ + = + +

• Asociativa de multiplicación:

( ) ( ). . . .x y z x y z=

8


• Distributiva de multiplicación sobre adición:

( ). . .x y z x y x z+ = +

1.1

1. Defina subconjuntos con 10 elementos como mínimo cada uno, que

representen a los números reales, racionales e irracionales. 2. Demuestre numéricamente las propiedades de la adición 3. Demuestre numéricamente las propiedades de la multiplicación

Recta Numérica o eje numérico Para construir una recta numérica, primero se escoge un punto en la recta que será un punto arbitrario al que le llamaremos cero (0). Este punto es llamado el origen de la recta numérica. El origen separa la recta en dos partes, el lado positivo y el lado negativo. A la derecha del origen está el lado positivo y el negativo está a la izquierda. En el lado derecho van números enteros positivos (en orden sucesivo) y en el lado izquierdo se escriben los números enteros negativos (en orden sucesivo), estos se marcan en unidades equidistantes.

Es importante recordar que para cualesquiera dos números reales diferentes a los que llamaremos a y b , siempre uno es mayor que el otro.

• Si a - b es positivo, entonces a > b .

• Si b - a es positivo, entonces a < b .

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Valor Absoluto de un número Real Un número real no negativo, que satisface las condiciones:

, Si 0x x x= ≥

, Si 0x x x= − <

Se llama valor absoluto de un número real x, se denota por x

Ejemplos: 2 2= , 5 5− = , 0 0=

De la definición se deduce que para cualquier número “x” se verifica: x x≤

De la definición se deduce que para cualquier número “x” se verifica: x x≤

Propiedades:

1. El valor absoluto de la suma algebraica de varios números reales no es mayor que la suma de los valores absolutos de los sumandos:

x y x y+ ≤ + 2. El valor absoluto de la diferencia de dos números no es menor que la

diferencia de los valores absolutos del minuendo y sustraendo: x y x y− ≤ −

3. El valor absoluto del producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores:

xyz x y z= 4. El valor absoluto del cociente es igual al cociente de dividir el valor

absoluto del dividendo por el divisor: xx

y y=

Para todo: x, y, a∈ , se tiene: 5.

22 2x x x= =

6. 2x x=

7. ( )0x a a x a x a= ⇔ ≥ ∧ = ∨ = −

8. x y x y x y= ⇔ = ∨ = −

10


9. Si: 0a > , x a x a x a≥ ⇔ ≤ − ∨ ≥

10. Si: 0a > , x a a x a≤ ⇔ − ≤ ≤

Los propiedades 3 y 4, proviene de la definición de valor absoluto.

1.1 1. Comprueba las propiedades de la recta numérica 2. Demuestre las propiedades de valor absoluto

Magnitudes Las magnitudes pueden ser variables o constantes, al medir magnitudes físicas: tiempo, velocidad, presión, temperatura, etc., se obtienen sus valores numéricos. Las matemáticas tratan del estudio de las magnitudes haciendo abstracción de su contenido concreto. Magnitud variable: llamada también variable, por que puede tomar distintos valores numéricos. Notación: x, y, z, …, etc. Magnitud constante: son magnitudes cuyo valor numérico no se altera. Notación: a, b, c, …, etc.

En condiciones físicas concretas una misma magnitud puede ser constante en un fenómeno y variable en otro.

Las magnitudes cuyo valor numérico permanece invariable se denominan constantes absolutas. Ejemplo: π ( razón de la longitud de la circunferencia y su diámetro).

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1.2

1. Investigue el comportamiento de magnitudes 2. Indique tres casos de magnitudes absolutas.

Coordenadas polares La determinación de un punto en el plano se realiza comúnmente en función a sus distancias a dos rectas perpendiculares. (Abscisa y ordenada) La posición de un punto también se puede determinar por medio de un sistema de coordenadas polares. Definimos un punto fijo “O” en el plano, el cual se denominará “polo” y una recta fija OA, llamada “eje polar”. Por tanto las coordenadas de un punto “P” se representan por ( ),r φ , siendo “ r ”, la

distancia OP, y “φ ” el ángulo AOP.

P(r, )φ

r

O Aφ

La distancia “ r ” medida desde O hasta P, es positiva. El ángulo “φ ” girado en sentido antihorario se considera positivo, en caso contrario será negativo.

Observemos la relación que existe entre las coordenadas polares y las rectangulares cartesianas.

φ

P(x,y)

O X

Y

r

12


cosx r= φ y rsen= φ

2 2r x y= +

arctan yx

φ =

Para hallar la distancia entre dos puntos ( )1 1 1,P x y y ( )2 2 2,P x y , siga con el procedimiento indicado:

( )1 2

2 21 2 1 2 2 12 cosp pd r r r r= + − φ − φ

Observe el gráfico:

( −2φ φ )1

P (r , )2 2 2φ

O X

Y

r1P (r , )1 1 1φ

r2

Debe tener en cuenta el cuadrante donde se encuentra φ , para así considerar el signo correspondiente.

Ejemplo: Halle la distancia entre los puntos ( )6;15º y ( )8;75º Aplicando el método señalado:

( )( ) ( )2 26 8 2 6 8 cos 75º 15ºd = + − −

36 64 48d = + − 2 13d =

13


1.3

1. Halle el área del triángulo cuyos vértices son: ( )0;0 , ( )6;20º , ( )9;50º

2. Dada la ecuación 4

1 cosr =

− φ, expresarlo en coordenadas

rectangulares cartesianas.

Los números reales ( ) , son representados por: I= ∪ , siendo los números racionales e I los números irracionales. Es Importante saber: Q I∩ =∅ N Z Q R; I R⊂ ⊂ ⊂ ⊂ Los números reales pueden representarse como puntos sobre una recta. Para ello a cada punto de la recta le asociaremos un número real y viceversa.

0 1 2 31234 4

PositivosNegativos

El valor absoluto de un número real X, denotado por x , se define por la regla:

x, si: x 0x

x, si: x 0≥

= − <

Las coordenadas polares determinan un punto en el plano por su distancia al punto radio vector) y el ángulo φ , medido desde el eje positivo de las X (abscisas)

Joseph H. Kindle. Geometría Analítica. Editorial Mc Graw Hill. Quinta Edición 1998. N. Piskunov. Cálculo Diferencial e Integral. Editorial Mir Moscú Sexta Edición 1977 Larson E. Hostetler R. Cálculo y Geometría Analítica. Editorial Mc Graw Hill. Sexta Edición 2001. Aponte, Gladis. Fundamentos de Matemáticas Básicas. Editorial Addi-son Wesley Segunda Edición,1998. Bittinger, Marvin L. Cálculo para Ciencias Económico-Administrativas. Editorial Addison Wesley. Séptima Edición, 2002.

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En el siguiente UNIDAD TEMÁTICA, continuaremos con el estudio de las propiedades importantes de las funciones, analizaremos su comportamiento gráficamente; para luego definir el límite, concepto sobre el cual se basa el estudio de las derivadas. Se continúa posteriormente con las propiedades de las derivadas y las reglas de derivación.

Nº 1 Nombre_________________________________________________________ Apellidos______________________________Fecha ____________________ Ciudad _______________________________Semestre__________________ 1. Determine si las siguientes proposiciones son falsas o verdaderas. Justifique su

respuesta.

• Los números 1,3

, 25

; son racionales

• Los números 1,3333 , 7 ; son irracionales

• Los números i 2− , a , son reales 2. Grafique en la recta numérica: ] ];20−∞ ; ] [12;4− 3. Dado: 16 x 18− ≤ ≤ , y 7 y 24− ≤ ≤ . Halle: x y∩ , grafique en la recta numérica.

4. Dado: 1senx2

= . Halle los valores de “ x”, en [ ]x 0;2∈ π

5. Halle la ecuación de la recta que pase por el punto ( )4;30º y forme un ángulo de

150º con el eje polar.

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16


FUNCIÓN

En este UNIDAD TEMÁTICA, se estudiarán a las funciones, de gran importancia para las matemáticas y su aplicabilidad en el campo de la ingeniería. Al estudiar diversos fenómenos de la naturaleza y resolver problemas técnicos, y, por consiguiente, matemáticos, surge la necesidad de examinar la variación de una magnitud en dependencia de la variación de otra.

Como ejemplo citamos, el área de un círculo se expresa como: 2A rπ= , si el radio

“r” toma diversos valores numéricos, el área “A” tomará también valores diferentes. La variación de una magnitud causa la variación de otra; por tanto diremos que el área “A” está en función del radio “r”.

Al finalizar el estudio del presente UNIDAD TEMÁTICA, el estudiante: • Define el concepto de función • Interpreta dominio, paridad, asíntota, signos, máximos y mínimos. • Traza las gráficas de funciones primarias • Aplica los conceptos de función en solución de problemas.

Funciones y notación de funciones Si a cada valor de la variable “x”, perteneciente a cierto campo, le

corresponde un sólo valor determinado de otra variable “y”, entonces ésta será función de “x”. Cuya notación es:

( ), ( ), ( ), ( )y f x y p x y x y x= = = =ϕ µ , etc.

Consideremos una función ( )=y f x .

Las funciones pueden especificarse de muchas formas. En nuestro caso estudiaremos funciones dadas por ecuaciones que involucren dos variables, dependiente e independiente.

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Ejemplo 1: Ecuación implícita: 23 6 1x y− =

Ecuación en forma explícita: ( )21 3 16

y x= −

Notación como función: ( ) ( )21 3 16

f x x= −

Ejemplo 2: Dada la función f definida por: ( ) 216 4f x x= − Calcule:

a)12

f

b) 4

f π

Solución:

a) 21 116 4

2 2f = −

Sustituye por 12

1 02

f =

b) 2

16 44 4

f π π = −

sustituye por 4π

2

16 44 4

f π π = −

simplifique

2 44

f π = π −

Estudiaremos a continuación los pasos necesarios para representarla.

Todos los pasos son importantes, analizaremos con cuidado cada uno de ellos. Dominio: Son los valores de “x” que dan un valor real para “y”. Veamos distintos casos que se nos pueden presentar:

( )y q x= siendo ( )p x un polinomio = D

( )=y p x siendo ( )p x un polinomio

( ){ }/ 0= ∈ ≥D x p x

18


( )( )

=p xyq x

siendo ( )p x y ( )q x polinomios

( ){ }/ 0= ∈ ≠D x q x

( )( )y L p x= siendo ( )p x un polinomio

( ){ }/ 0= ∈ >D x p x

El dominio de una función puede escribirse explícitamente o implícitamente.

Ejemplo:

Dada la función: ( ) 21

2f x

x=

−, 2 4x≤ ≤

Tiene dominio explícito definido por: [ ]2,4x∈

Por otro lado, la función: ( ) 21

2g x

x=

−

Tiene por dominio implícito: { }2∈ − ±x

Ejemplo: Halle el dominio de las siguientes funciones:

1) 22( )

3 4+

=+ −xf x

x x 2) 4( ) 9g x x= +

Solución: 1) Se toma: 2x 3x 4 0+ − ≠ ⇒ ( )( )x 4 x 1 0+ − ≠ (factorizando) ⇒ x 4≠ − y x 1≠ ∴ { }4,1Domf = − − 2) Se toma: x 9 0+ ≥ ⇒ x 9≥ − ∴ [ 9,Domf = − +∞ >

1.1

4. Define el dominio de la función: ( ) 1f x x= −

19


5. Define el domino de la función: ( )1 si: 1

1 si: 1

x xg x

x x

− <= − ≥

6. Define el domino de la función: ( ) .cosh x senx x=

Paridad o Simetrías: • Decimos que una función es par cuando es simétrica respecto al eje vertical,

es decir, cuando ( ) ( )f x f x− = . • Decimos que una función es impar cuando es simétrica respecto del origen de

coordenadas, es decir, cuando ( ) ( )f x f x− = − .

Las funciones que no son pares ni impares no tienen simetrías con respecto a los ejes

Ejemplo: Determine si las funciones son par o impar: a) ( ) 3f x x x= − b) ( ) 1 cosg x x= + Solución: a) La función es impar, ya que: ( ) ( )f x f x− = −

( ) ( ) ( ) ( )3 3f x x x x x f x− = − − − = − + = −

b) La función es par, ya que: ( ) ( )g x g x− =

( ) ( ) ( )1 cos 1 cosg x x x g x− = + − = + = Existen algunas funciones que no son pares o impares, así tenemos como ejemplo: c) ( ) cosh x x senx= − Solución: c) La función no es par ni impar, ya que:

( )

( ) ( ) ( ) cosh x

h x cos x sen x x senx≠

− = − − − = +

20


Asíntotas: Son las rectas tangentes a la gráfica en el infinito. Pueden ser de tres tipos: • Asíntotas Verticales

Son paralelas al eje OY. Es decir se trata de ver para que valor finito de la variable x la y se va al infinito. Las que nosotros conocemos son de dos tipos:

En las fracciones es necesario además distinguir entre el comportamiento por la derecha y por la izquierda de la asíntota. Para ello calculamos

( )Lim f x∞→ ( )Lim f x−∞→

• Asíntotas horizontales Son paralelas al eje OX. Se trata de ver si la y se queda fija para un valor de x. Para buscarlas se calcula:

( )f x ∞→ ; ( )f x −∞→ Si estos límites son números reales (llamémoslo l), entonces y=l sería la asíntota horizontal.

• Asíntotas Oblicuas Son de la forma y mx n= + donde “m” es la pendiente y “n” la ordenada en el origen, por lo que para calcularlas haremos lo siguiente:

( )limf x

mx

= ( )( )limn f x mx= − , donde tanto “m” como “n” han de

ser números reales y además “m” no nula, ya que si fuera nula la recta sería horizontal, por lo que se cumpliría en el caso anterior.

Ejemplo:

Dada la función ( ) tanf x x= , evalúe sus asíntotas en el intervalo3 3,2 2π π −

Solución:

El domino de la función ( ) tanf x x= es: ( )2 1 ,2π ∈ − + ∈

x n n

Por tanto, cuando ( )2 12

x n π= + , es discontinuo o sea presenta asíntotas; por tanto:

322

n x π= − ⇒ = − asíntota

12

n x π= − ⇒ = − asíntota

21


02

n x π= ⇒ = asíntota

312

n x π= ⇒ = asíntota

En el intervalo analizado la función ( )f x presenta 4 asíntotas.

Para que sea visible y tenga la idea de asíntota, procederemos a graficar ( )f x , utilice el software Graph 3.3.1

f(x)=tan(x)

5/2 -2 -3/2 - -/2 /2 3/2 2

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

Asíntota es una recta que se presenta en el lugar donde la curva se va al infinito

1.2

3. Investigue qué es una recta ASINTOTA. 4. Encuentre cuantas asíntotas presenta la función: cot x en el intervalo [ ]3 ,3− π π

Puntos de corte con los ejes: Son los puntos en los que la gráfica de la función corta al eje OX o al eje OY.

OY cuando x=0 ( )f x corta al eje

OX cuando y=0

22


Ejemplo: Encuentre en cuantos puntos la función ( )f x senx= , corta al eje de las “x” en el intervalo [ ]0,6π Solución: Los puntos de corte con el eje “x” se logra haciendo: ( ) 0f x y= =

Entonces: 0senx = , ⇒ x n= π , n∈ Cuando { }0,1,2,3,4,5,6n = , x toma { }0, ,2 ,3 ,4 ,5 ,6π π π π π π

Por tanto ( )f x corta al eje de las “x” en siete puntos. Para que sea visible y tenga la idea de puntos de corte, procederemos a graficar ( )f x , utilice el software Graph 3.3.1

f(x)=sin(x)

Series 1

/2 3/2 2 5/2 3 7/2 4 9/2 5 11/2 6

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

Signo de la función:

Se trata de encontrar las zonas en las que la función tiene signo positivo o negativo. Para determinar estas zonas o intervalos debemos de tener en cuenta, dentro del dominio de la función, los puntos en que la curva atraviesa al eje OX y las asíntotas verticales, pues solamente en uno de estos lugares la función puede cambiar de signo.

23


Para ver el signo en cada uno de estos intervalos basta con sustituir en la función el valor de "x” por el de algún punto del intervalo a estudiar.

Ejemplo: Dada la función ( ) 2cos 1f x x= − Evalúe el signo de la función en el intervalo:

a) 0,4π

b)

3,2π π

Solución:

a) Cuando 0x = ⇒ ( ) ( )2cos0 1 2 1 1 1f x = − = − = + (Positivo)

b) Cuando x = π ⇒ ( ) ( )2cos 3 2 1 3 5f x = π − = − − = − (Negativo) Para que sea visible y tenga la idea del signo, procederemos a graficar ( )f x , utilice el software Graph 3.3.1

f(x)=2cos(x)-1

Sombra 1

Sombra 2

/2 3/2 2

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

24


Máximos y Mínimos relativos de la función: Los máximos son los puntos en que la función pasa de crecer a decrecer.

Los mínimos son los puntos en que la función pasa de decrecer a crecer.

X

Y

L

X

Y

Lf(x)

f(x)

Mirando a la gráfica observamos que en ambos casos hay una cosa común: la pendiente de la recta tangente es 0. Por esto, para calcular los máximos y mínimos de una función derivamos la función e igualamos la función derivada a cero. Para concretar si es máximo o mínimo derivamos otra vez y sustituimos en los puntos obtenidos antes. Si el valor es positivo es mínimo; si es negativo es máximo. Resolvemos ( ) 0f x′ = y obtenemos varios puntos 1 2, ,..., nx x x . Estos son los posibles máximos o mínimos. Derivamos otra vez y sustituimos:

si ( ) 0i if x x′′ > ⇒ es mínimo

si ( ) 0i if x x′′ < ⇒ es máximo

En el caso de que ( ) 0i if x x′′ = ⇒ puede ser máximo, mínimo o punto de inflexión. Para ver qué es seguimos derivando hasta que encontremos una derivada (n-ésima) en la que ( ) 0n

if x ≠ . Si “n” es par, entonces:

si ( ) 0ni if x x> ⇒ es mínimo

si ( ) 0ni if x x< ⇒ es máximo

Si “n” es impar, entonces es punto de inflexión. Ejemplo: Dada la función ( ) 3 24 3 2f x x x= − +

Obtener los ix donde ( )f x es máximo o mínimo correspondiente al evaluar la función. Solución:

25


Derivamos: ( ) 212 6 0f x x x′ = − = ⇒ 1 0x = , 212

x =

Donde 1x y 2x son los posibles máximo o mínimo. Volvemos a derivar: ( ) 24 6f x x′′ = − , sustituimos por:

1 0x = ⇒ ( ) ( )24 0 6 6 0f x′′ = − = − < ⇒ 1x (máximo)

212

x = ⇒ ( ) 124 6 6 02

f x ′′ = − = >

⇒ 2x (mínimo)

1.3

3. Calcule el mínimo valor de: ( ) cosg x senx x= +

4. Calcule el máximo valor de: ( ) 3 23 1f x x x= − +

Intervalos de crecimiento y decrecimiento: Los puntos en los que una función puede pasar de crecer a decrecer o viceversa son los máximos, mínimos y las asíntotas verticales. Por esto, para estudiar el crecimiento consideramos el dominio dividido en intervalos por estos puntos. Ahora solo nos falta ver que hace en un punto de cada uno de estos intervalos, pues lo que haga en un punto lo hará en todo ese intervalo. Como sabemos que la derivada de una función en un punto lo que nos da es la pendiente de la recta tangente a nuestra curva en ese punto, tenemos que:

si ( ) 0if x′ > ⇒ la función es creciente en dicho punto

si ( ) 0if x′ < ⇒ la función es decreciente en dicho punto Ejemplo: Dada la función: ( ) 34 2 6f x x x= − + , analice si es creciente o decreciente en el intervalo Solución: Derivamos ( ) 212 2f x x′ = − ,

para 1 2x = ⇒ ( ) ( )212 2 2 46 0f x′ = − = > ,función creciente para 1x

para 2 2x = − ⇒ ( ) ( )212 2 2 46 0f x′ = − − = > ,función creciente para 2x .

26


1.4

1. Dado: ( ) cosf x x= , ] [0,2x∈ π , indique el intervalo donde es decreciente..

2. Dado: ( ) tang x x= , indique si es creciente o decreciente en 1 2x π= − , y en

132

x π=

Estudio de Funciones básicas

Cons ta nte s :

( )f x a= , donde a R∈ Dominio: todos los reales. Imagen: el punto a. Crecimiento: ni creciente ni decreciente. Inyectividad: ni inyectiva ni sobreyectiva. Paridad: es par.

Ide ntida d:

( )f x x= Dominio: todos los reales. Imagen: todos los reales. Crecimiento: es creciente. Inyectividad: es biyectiva. Su inversa es ella misma. Paridad: es impar.

Potencias pares: 2( ) nf x x=

Dominio: todos los reales. Imagen: los reales mayores o iguales a cero. Crecimiento: son decrecientes en ( ,0)−∞ y

crecientes en (0, )+∞ Inyectividad: no son inyectivas ni sobreyectivas. Paridad: son pares.

27


P ote ncia s impa re s : 2 1( ) nf x x +=

Dominio: todos los reales. Imagen: todos los reales. Crecimiento: son siempre crecientes. Inyectividad: son biyectivas.

Su inversa es 1 2 1( ) nf x x− +=

Paridad: son impares.

Ra ice s pa res: 2( )f x ax bx c= + +

Dominio: reales positivos más el cero. Imagen: reales positivos más el cero. Crecimiento: son crecientes. Inyectividad: solo son inyectivas. Paridad: no son ni pares ni impares.

Ra ice s impa re s :

2 1( ) nf x x+= . Dominio: todos los reales. Imagen: todos los reales. Crecimiento: son crecientes. Inyectividad: son biyectivas.

Su inversa es 1 2 1( ) nf x x− +=

Paridad: son impares.

Loga ritmo:

( ) ( )f x Ln x= Dominio: los reales positivos. Imagen: todos los reales. Crecimiento: es creciente siempre. Inyectividad: es biyectiva.

Su inversa es 1( ) xf x e− = Paridad: no es ni par ni impar.

28


Expone ncia l:

( ) xf x e= Dominio: todos los reales. Imagen: reales positivos. Crecimiento: es creciente. Inyectividad: es inyectiva pero no sobreyectiva. Paridad: no es ni par ni impar.

Seno:

( ) ( )f x sen x= Dominio: todos los reales. Imagen: es el intervalo [-1, 1]. Crecimiento: es creciente y decreciente en varios intervalos. Inyectividad: no es ni inyectiva ni sobreyectiva. Paridad: es impar.

Cos e no:

( ) ( )f x cos x= Dominio: todos los reales. Imagen: el intervalo [-1, 1]. Crecimiento: es creciente y decreciente en varios intervalos. Inyectividad: no es ni inyectiva ni sobreyectiva. Paridad: es par.

Otras funciones importantes Line a le s no cons ta nte s :

( )f x ax b= +

con a distinto de cero. Al número a se lo denomina pendiente, y al b ordenada al origen. El dominio

y la imágen son los números reales. Son biyectivas, con inversa 1( ) x bf xa

− −= . La función es

creciente si la pendiente es positiva y decreciente en el caso contrario.

Cua drá tica :

29


2( )f x ax bx c= + +

con a distinto de cero. Tiene dominio igual a todos los reales. Su imágen es ,2ba

− +∞ si a

es positivo, o ,2ba

−∞ − si a es negativo. No es ni inyectiva ni sobreyectiva. Si a es positivo,

es decreciente en ,2ba

− +∞ y creciente en ,

2ba

− +∞ ; si a es negativo, es creciente en

,2ba

− +∞ y decreciente en ,

2ba

− +∞

Módulo: Es un caso particular de una función partida. Se define

como 2 : 0 : 0x si x

x xx si x− <

= ≥

El dominio de esta función son todos los reales, la imagen el intervalo [ [0,+∞ . No es inyectiva ni sobreyectiva. Es

decreciente en el intervalo ] [,0−∞ y creciente en

] [0,+∞ . Es una función par.

Función inyectiva: Es inyectiva o univalente si y sólo si para todo x1, x2 ∈Dom f , y se cumple: ( ) ( )1 2 1 2f x f x x x= ⇒ =

Una función f es inyectiva si cualquier recta horizontal corta a la gráfica de f en un solo punto.

Función sobreyectiva: Es sobreyectiva (suryectiva) si el rango de llegada coincide con el rango de f . Funcion biyectiva: Es biyectiva si f es inyectiva y sobreyectiva.

30


El dominio de una función son todos los valores de “x” donde “y” es continuo (existe un valor correspondiente) Su recorrido (rango o extensión) son todos los valores admisibles que puede tomar “y”, considerando su dominio. Decimos que una función es par si: ( ) ( )f x f x− = y es impar si: ( ) ( )xfxf −=− . Una asíntota es una recta que se presenta en los puntos de discontinuidad. El signo de una función se obtiene sustituyendo el valor de un ix , para el cual se desea analizar. Un máximo o mínimo se caracterizan por que el valor de su pendiente es cero. Si ( ) 0if x′ > ⇒ la función es creciente en ix

Si ( ) 0if x′ < ⇒ la función es decreciente ix

N. Piskunov. Cálculo Diferencial e Integral. Editorial Mir Moscú Sexta Edición 1977 Larson E. Hostetler R. Cálculo y Geometría Analítica. Editorial Mc Graw Hill. Sexta Edición 2001. Aponte, Gladis. Fundamentos de Matemáticas Básicas. Editorial Addi-son Wesley Segunda Edición,1998. Bittinger, Marvin L. Cálculo para Ciencias Económico-Administrativas. Editorial Addison Wesley. Séptima Edición, 2002.

En la siguiente UNIDAD TEMÁTICA, continuaremos con el estudio de algunas propiedades importantes de las funciones, para luego definir el límite, concepto sobre el cual se basa el estudio de las derivadas. Se continúa posteriormente con las propiedades de las derivadas y las reglas de derivación.

31


Nº 2 Nombre_________________________________________________________ Apellidos ______________________________Fecha ____________________ Ciudad _______________________________Semestre__________________ 6. Determine si las siguientes proposiciones son falsas o verdaderas. Justifique su

respuesta. • La función ( ) 312 1f x x= − es decreciente cuando 3x = −

• Dada la función ( )g x senx= su dominio es { },x n n∈ − π ∈

• El máximo valor de ( ) 36 5 24h x x x= − − , es 2

• La función ( ) 2j x x= , es impar

7. Dado la función ( ) 3 26 11 6f x x x x= − + −

Hallar: ( )1f − , ( )2f , ( )4f

8. ado: ( )2 3 2

1x xg x Log

x − +

= +

Halle su dominio

9. Dado la función ( ) 21f xx

= . Grafique e indique si presenta asíntota, cuantas y

en qué lugar de x. Nota: Para graficar utilice opcionalmente el software Graph 3.3.1.

32


LIMITES En este UNIDAD TEMÁTICA comenzamos con el estudio del cálculo diferencial, de gran importancia por sus aplicaciones en ingeniería, administración, economía, etc. Primero trabajaremos el concepto de límite y su relación con la derivada, la cual permite hallar la pendiente de la recta tangente para una curva en un punto.

Al finalizar el estudio del presente UNIDAD TEMÁTICA, el estudiante: • Comprende el concepto de límite. • Halla los límites, si existen, de una función continua • Define el límite de una función en un punto • Interpreta propiedades de límites

Entre todos los conceptos que se presentan en el cálculo infinitesimal, el de límite es, a no dudarlo, el más importante, y quizás el más difícil... lo que vamos a definir no es la palabra 'límite', sino la noción de función que tiende hacia un límite.

[... el análisis matemático moderno utiliza un método especial, que fue elaborado en el transcurso de muchos siglos, y constituye ahora su instrumento básico. Nos referimos al método de los infinitésimos o, lo que en esencia es lo mismo, de los límites. (Aleksandrov, 1, 108)

Definición provisional La función f tiende hacia el límite l cerca de “a”, si se puede hacer que ( )f x esté tan cerca como queramos de l haciendo que “x” esté suficientemente cerca de “a”, pero siendo distinto de “a”... solamente hace falta que ( )f x esté próximo a l cuando “x” está próximo a “a” pero es distinto de “a”.

33


Definición La función f tiende hacia el límite l en a significa: para todo ε >0, existe algún δ>

0 tal que, para todo x, si 0 x a< − < δ , entonces ( )f x l− < ε .

Esta función es importante (todo lo que emprendamos a partir de ahora va a depender de ella) que sería en vano pasar adelante sin saberla.

El número l al que tiende f cerca de “a” se designa por ( )limx a

f x→

Notación:

La expresión ( )limx a

f x→

, se lee, límite de ( )f x , cuando “x” tiende a “a” es l .

Algunas de las funciones carecen de límite cuando x a→ , pero aquellas que lo poseen no pueden tener límites diferentes cuando x a→ . Por tanto si el limite d una función, entonces es único.

Ejemplo:

Dado: ( )3

2 5 1xLim x→

− =

Halle δ tal que ( )2 5 1 0.01x − − < , siempre que 0 3x< − < δ

Solución:

Trabajaremos con el valor de 0,01ε = , para encontrar el valor de δ apropiado,

34


( )2 5 1 2 6 2 3x x x− − = − = −

De la desigualdad

( )2 5 1 0.01x − − < es equivalente a:

( )2 3 0,01x − <

Podemos escoger: ( )1 0,01 0,0052

δ = =

Cumpliendo con la condición: 0 3 0,005x< − <

Por tanto: ( ) ( )2 5 1 2 3 2 0,005 0,01x x− − = − < =

Teoremas sobre límites I. Si f (x) = c, constante, tendremos: ( )lim

x af x c

→=

Si ( )limx a

f x A→

= y ( )limx a

g x B→

= , resulta:

II. ( )limx a

kf x kA→

= , siendo k una constante.

III.

IV.

V.

VI. , siempre que sea un número real.

Ejemplos:

Dado: ( ) 3 1f x x= + . Halle el ( )2

limx

f x→

Solución:

( ) ( ) 3

2lim 2 2 1 9x

f x f→

= = + =

35


Dado: ( ) 2 4f x x= + . Halle el ( )2

limx

f x→

Solución: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2lim lim 2 4 2lim lim 4 2 2 4 8x x x x

f x x x→ → → →

= + = + = + =

Halle: ( )2

4lim 6 2 3x

x x→

+ −

Solución:

( ) ( ) ( ) ( )2 2

4 4 4 4lim 6 2 3 6lim 2lim lim 3x x x x

x x x x→ → → →

+ − = + −

( ) ( ) ( ) ( )2 2

4lim 6 2 3 6 4 2 4 3 101x

x x→

+ − = + − =

Halle: ( )

1

4lim

2x

xx→

−

−

Solución:

( ) ( )( ) ( )1 1 1

2 24lim lim lim 2

2 2x x x

x xxx

x x→ → →

+ −−= = +

− −

( )1 1 1

4lim lim lim2 1 2 3

2x x x

xx

x→ → →

−= + = + =

−

3.1

En las siguientes funciones, halle su límite correspondiente. 1. ( ) 6 23 12 7f x x x x= − + − , cuando( )2x →

2. ( )2

25 142 8

x xg xx x+ −

=+ −

, cuando( )2x →

3. ( ) ( )tanh x x= , cuando( )0x →

Funciones continúas Intuitivamente, una función f es continua si su gráfica no contiene interrupciones, ni saltos ni oscilaciones indefinidas. Aunque esta descripción es, por lo general, suficiente para decidir si una función es continua observando simplemente su gráfica, es fácil engañarse, y la definición rigurosa es muy importante. (Spivak, 132)

36


Las funciones continuas constituyen la clase básica de funciones para las operaciones del análisis matemático. La idea general de función continua viene a ser la de que su gráfica sea continua; esto es, que la curva pueda dibujarse sin separar el lápiz del papel. (Aleksandrov, 1, 117)

Veamos el siguiente ejemplo:

/2 3/2 2 5/2 3 7/2 4 9/2 5 11/2 6

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

x

y

Como observamos la gráfica corresponde a la función senx , cuyo periodo es 2π , la cual es una función continua. Es decir está definida para cualquier valor de “x”

Intervalos finitos

Sean a y b dos números tales que a b< . El conjunto de todos los números x comprendidos entre a y b recibe el nombre de intervalo abierto de a a b y se escribe a x b< < . Los puntos a y b reciben el nombre de extremos del intervalo. Un intervalo abierto no contiene a sus extremos.

0 ba

El intervalo abierto a x b< < junto con sus extremos a y b recibe el nombre de intervalo cerrado de a a b y se escribe a x b≤ ≤ .

37


0 ba

Sea a un número cualquiera. El conjunto de todos los números x tales que x < a recibe el nombre de intervalo infinito. Otros intervalos infinitos son los definidos por x ≤ a, x > a y x ≥ a.

Definición de función continúa La función f es continua en “a” si

.

Una función se dice continua en un intervalo dado si es continua en todo punto x de este intervalo... Así, para dar una definición matemática de esa propiedad de las funciones que viene caracterizada por el hecho de que su gráfica sea continua (en el sentido usual de la palabra), fue necesario definir primero la continuidad local (continuidad en el punto a ), y luego, a partir de ella, definir la continuidad de la función en todo el intervalo. Ejemplo:

Sea la función: ( ) xsenxf xx senx

=−

Determine el ( )lim f x , cuando x →π Solución: Como la función es contínua cuando x →π , entonces se tiene:

( )lim limx x

xsenx senf xx senx sen→π →π

π π= =

− π − π

( ) .0lim 00x

f x→π

π= =π −

Si x a= , y no pertenece al dominio de f , tal qie ( )f a produce una indeterminación, entonces: debe eliminar el factor que causa la indeterminación.

38


Límite de una función en un punto. Límite finito: Se dice que la función ( )y f x= tiene por límite l cuando “x” tiende hacia a , y se

representa por ( )limx a

f x l→

=

Si para cada 0ε > , existe 0δ > tal que si 0 x a< − < δ , entonces ( ) 1f x − < ε

Es decir, que si fijamos un entorno de l de radio ε , podemos encontrar un entorno de a de radio δ , que depende ε , de modo que para cualquier valor de “x” que este en el entorno ( );E a δ exceptuando a , se tiene que

su imagen ( )f a esta en el entorno ( );E l ε

Límite infinito:

Se dice que: ( )limx a

f x→

= +∞

Si para cada valor de k∈ existe ( )0/ 0 x a f x kδ > < − < δ⇒ >


f x→

= −∞

Si para cada valor de k∈ existe ( )0/ 0 x a f x kδ > < − < δ⇒ <

Propiedades.

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES.

1. ( ) ( ) ( ) ( )lim lim limx a x a x a

f x g x f x g x→ → →

± = ±

siempre que no aparezca la indeterminación∞ −∞ .

2. ( ) ( )lim limx a x a

f x f x→ →

λ = λ con 0λ ≠ .

39


3. ( ) ( ) ( ) ( )lim . lim .limx a x a x a

f x g x f x g x→ → →

=

siempre y cuando no aparezca la indeterminación 0.∞ .

4. ( )( )

( )( )

limlim

limx a

x ax a

f xf xg x g x

→

→→

=

siempre y cuando no aparezcan las indeterminaciones 00

e∞∞

.

5. ( ) ( )lim limkk

x a x af x f x

→ → =

con 0k ≠ ,

siempre y cuando tengan sentido las potencias que aparecen.

6. ( ) ( ) ( )( )lim

lim lim x ag xg x

x a x af x f x →

→ → =

siempre y cuando tengan sentido las potencias que aparecen y no nos encontremos con indeterminaciones de los tipos 0∞ , 00 , ó 1∞ .

El estudiante debe estudiar las indeterminaciones: 0.∞ , 00

, ∞∞

, 0∞ , 00 , 1∞ .

LIMITES LATERALES. 1.- Límite por la izquierda:


f x l−→

= , si para cada 0ε > existe

( )0/ 0 1x a f xδ > − δ < − < ⇒ − < ε

2.- Límite por la derecha:


f x l+→


( )0/ 0 1x a f xδ > < − < δ⇒ − < ε

40


Existe el límite si y solo si existen los limites

Si existe el límite, éste es único

Todo lo dicho anteriormente es también válido si consideramos que el límite vale +∞ ó −∞ en lugar de l .

3.2

Analice y halle los límites correspondientes 1.

2

lim tanx

x−π

→

2.

2

lim tanx

x+π

→

3. 32

lim secx

x−π

→

En este UNIDAD TEMÁTICA se estudió los conceptos fundamentales sobre los límites. Diremos que: ( )lim

x af x l

→= ; teniendo en cuenta que “ a ” no necesariamente

pertenece al dominio de f . Se presentaron los conceptos de funciones continuas y se analizaron intervalos finitos e infinitos, se analizó el concepto de un límite en un punto y las principales propiedades. Se desarrollaron ejercicios a aplicación a las diversas propiedades analizadas, para proponer las actividades al estudiante.

A. Pinzon. Calculo Diferencial I. Editorial Harla Segunda Edición 1998 N. Piskunov. Cálculo Diferencial e Integral. Editorial Mir Moscú Sexta Edición 1977 Larson E. Hostetler R. Cálculo y Geometría Analítica. Editorial Mc Graw Hill. Sexta Edición 2001. Aponte, Gladis. Fundamentos de Matemáticas Básicas. Editorial Addi-son Wesley Segunda Edición,1998. Bittinger, Marvin L. Cálculo para Ciencias Económico-Administrativas. Editorial Addison Wesley. Séptima Edición, 2002.

41


En el siguiente UNIDAD TEMÁTICA se continuará con el estudio de los límites y sus aplicaciones diversas. Se analizaran casos específicos para levantar indeterminaciones más utilizadas.

Nº 3 Nombre_________________________________________________________ Apellidos ______________________________Fecha ____________________ Ciudad _______________________________Semestre__________________

1. Dada la función ( )3

211

xf xx+

=+

. Halle ( )1

limx

f x→−

2. Calcule el siguiente límite

0

2 2limx

xx→

+ −

3. Demuestre los siguientes límites:

0lim 0x

senx→

=

0limcos 1x

x→

=

4. Analice y compare la relación

0 0

tanlim lim 1x x

x senxx x→ →

= =

5. Si: ( )2 3 3x nx x nf x

x n− + −

=−

.

Halle los valores de “n” tal que: ( ) 2lim 17

x nf x n

→= −

42


LÍMITES EN EL INFINITO ASÍNTOTAS DE UNA CURVA

En el presente UNIDAD TEMÁTICA continuaremos con el estudio de los límites, analizaremos el caso de límites en el infinito; buscando levantar las formas indeterminadas. También se desarrollarán sendos ejercicios de aplicación.

Al terminar el estudio del presente UNIDAD TEMÁTICA, el estudiante: • Analiza límites en el infinito • Calcula límites • Reconoce discontinuidades

Límites en el infinito 1.- Límites en el infinito

1.1.- Límite finito.

Se dice que el ( )limx

f x l→+∞


( )/ 1H x H f x∈ > ⇒ − < ε


f x l→−∞


( )/ 1H x H f x∈ < ⇒ − < ε

1.2.- Límite infinito.


f x→+∞

= +∞ , si para cada k∈ existe

( )/H x H f x k∈ > ⇒ >


f x→+∞

= −∞ , si para cada k∈ existe

( )/H x H f x k∈ > ⇒ <

43



f x→−∞

= +∞ , si para cada k∈ existe

( )/H x H f x k∈ < ⇒ >


f x→−∞

= −∞ , si para cada k∈ existe

( )/H x H f x k∈ < ⇒ <

Todo lo referente a las propiedades de los límites vistas en la apartado anterior es válido si escribimos +∞ ó −∞ en lugar de a . Hay casos que parecen indeterminaciones y no lo son realmente.

2.- Asíntotas de una curva

2.1.- Asíntotas verticales.

Se dice que ( )y f x= tiene una asíntota vertical en x a= si

( )limx a

f x→

= ±∞o alguno (o ambos) de los límites laterales vale ( )±∞ .

Es decir, puede haber asíntota vertical por la derecha, por la izquierda o por ambos lados. La posición de la curva respecto a la asíntota dependerá del signo de los límites laterales.

Como ejemplo, determinaremos la asíntota vertical y su posición con respecto a la gráfica de la función:

( )2 1

2x xf x

x+ +

=−

Solución: Graficando (utilice software Graph 3.3.1)

-10 -5 5 10 15

-40

-20

20

40

60

x

y

(2,0)

44


Como observamos el límite de la función ( )f x cuando x tiende a 2 por

la derecha su límite tiende +∞ , así: ( )2

limx

f x+→

= +∞ y cuando el

límite de la función ( )f x cuando x tiende a 2 por la izquierda su límite

tiende −∞ , así: ( )2

limx

f x−→

= −∞ .

2.2.- Asíntotas horizontales.

Se dice que ( )y f x= tiene una asíntota horizontal en y b= si

( )limx

f x b→±∞

= . La asíntota puede aparecer cuando x →+∞ ,

x →−∞ o en ambos casos. La posición de la gráfica de la función respecto a la asíntota vertical se determina estudiando si el signo de ( )f x b− es positivo o negativo cuando x →±∞ .

Como ejemplo, determinaremos la asíntota horizontal y su posición con respecto a la gráfica de la función

( )2

2 1x xf xx+

=+

Solución: Graficando (utilice software Graph 3.3.1)

-2.4 -1.8 -1.2 -0.6 0.6 1.2 1.8 2.4

-1.3

-0.65

0.65

1.3

1.95

2.6

x

y

Como se observa ( )f x no toma valores por encima de 1,3 y tampoco por debajo de -0,3.

45


2.3.- Asíntotas oblicuas.

Dada la función ( )y f x= , si se verifica que :

a) ( )limx

f x→±∞

= ±∞

b) ( )lim 0

x

f xm

x→±∞= ≠

c) ( )lim ,x

f x mx h h→±∞

− = ∈

entonces se dice que y mx h= + , es una asíntota oblicua de dicha función para x →±∞ . La asíntota puede aparecer cuando x →+∞ , x →−∞ o en ambos casos. Para estudiar la posición de la gráfica de la función con respecto a la asíntota basta estudiar el signo de ( ) ( )f x mx h− + .

Como ejemplo, determinaremos la asíntota oblicua y su posición con respecto a la gráfica de la función

( )3 2

23 2 5

1x xf x

x+ +

=+

-4.8 -3.6 -2.4 -1.2 1.2 2.4 3.6 4.8

1.3

2.6

3.9

5.2

6.5

7.8

x

y

46


Nótese que el ingreso marginal I’(q) en este caso es independiente del número de unidades vendidas.

Ejercicios de aplicación:

01 Halle: 3

21

1lim1x

xx→−

++

Solución: Por evaluación directa

( )( )

33

221

1 11 0lim 01 21 1x

xx→−

− ++= = =

+ − +

02 Halle: ( )2

2

1lim

1x

xx→∞

++

Solución: Desarrollando:

( )2 2

2 2

1 2 1lim lim1 1x x

x x xx x→∞ →∞

+ + +=

+ +

Dividiendo numerador y denominador por 2x 2

2 2 2 2

2

22 2

2 1 2 11lim lim 11 1x x

x xx x x x x

xxx x

→∞ →∞

+ + + +=

++

Por propiedad de límites: 1lim 0nx x→∞=

2

2

2 11 1 0 0lim 11 1 01xx x

x→∞

+ + + += =

++

03 Halle: Solución: Multiplicando por su conjugada

( )( )1 1

11 1lim lim1 1 1x x

xx xx x x→ →

+− −=

− − +

47


( )( )1 1

1 1lim lim1 1 1x x

x xx x x→ →

− −=

− − +

( ) ( )1 1

1 1 1 1lim lim1 21 1 1x x

xx x→ →

−= = =

− + +

04 Halle: 364

8lim4x

xx→

−−

Solución: Utilizaremos el método de cambio de variable, donde: 6x z= , donde 6 es el M.C.M de los índices de los radicales; donde: 3x z= , 23 x z= , además como 64x → , entonces como 6x z= , se concluye que: 2z → , por tanto reemplazando:

( )( )( )( )

23

2364 2 2

2 2 48 8lim lim lim4 2 24x z z

z z zx zz z zx→ → →

− + +− −= =

− − +−

( )( )

( ) ( )( )

2 23

22 2

2 4 2 2 2 48lim lim 34 2 2 2z z

z zzz z→ →

+ + + +−= = =

− + +

05 Halle: 31

1lim1x

xx→

−−

Solución: Hacemos cambio de variable: 6x y= , si 1x → , entonces 1y →

( )( )( )( )

26 3

261 1 13

1 11 1lim lim lim1 1 11y y y

y y yy yy y yy→ → →

− + +− −= =

− − +−

( )( )

( ) ( )( )

2 2

1

1 1 1 1 3lim1 1 1 2y

y yy→

+ + + += =

+ +

4.1

1. Halle: 27

2 3lim49x

xx→

+ −−

2. Halle: limx

x a x→+∞

+ −

48


3. Halle: 0

1 1limx

x xx→

+ − −

Cálculo de límites. En este apartado analizaremos las diversas indeterminaciones

1.- Indeterminación ∞ −∞

En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas. Ejemplo.-

2

21

1lim1 1x

x xx x→

+− − −

Solución: Al reemplazar directamente, se tiene: (por la derecha)

2

2 21 1

1 2 1lim lim1 1 1x x

x x xx x x+ +→ →

+ + − = = +∞ − − −

Y si tomamos por la izquierda:

2

2 21 1

1 2 1lim lim1 1 1x x

x x xx x x− −→ →

+ + − = = −∞ − − −

Observemos el gráfico:

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

49


Observamos que cuando 1x = , la función presenta una asíntota vertical, en este caso la gráfica tiende hacia el infinito ( )±∞ .

En otros casos, sobre todo en aquellos en que aparecen radicales, basta con multiplicar y dividir por la expresión radical conjugada. Ejemplo.-

( )2lim 1x

x x→∞

− +

Solución:

( ) ( )( )

( )( )

2 2 22

2 2

1 1lim 1 . lim

1 1x x

x x x xx x

x x x x→∞ →∞

+ + − +− + =

+ + + +

( )2

1lim 01x x x→∞

−=

+ +

Observemos gráficamente:

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

x

y

Cuando x →∞ , la función tiende a cero ( )0 .

2.- Indeterminación 0.∞

En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas. Ejemplo.-

50


2

20

1lim .1x

x xx x→

+ −

Solución:

( )( )0

0 11lim 11 0 1x

xx→

++ = = − − −

3.- Indeterminación 00

Cuando solo aparecen funciones racionales, basta con descomponer factorialmente el numerador y el denominador. Ejemplo.-

3

21

1lim241x

xx→

− −

Solución:

( )( )( )( )

23

21 1

1 1124lim 24lim1 1 1x x

x x xxx x x→ →

− + + −= − − +

( )( )

23

21 1

1124lim 24lim1 1x x

x xxx x→ →

+ + −= − +

Reemplazando:

( )( ) [ ] ( ) ( )

( )

2 2

1

1 1 1 124lim 24 36

1 1 1x

x xx→

+ + + += =

+ +

En aquellos casos en que aparecen funciones irracionales (radicales), basta con multiplicar y dividir por la expresión radical conjugada. Ejemplo.-

0

lim1 1x

xx→

− −

Solución:

( )( )

( )( )0 0

1 1 1 1lim lim

1 11 1 1 1x x

x x xxxx x→ →

+ − + − = − −− − + −

( )

( )( ) ( )

0 0 0

1 1 1 1lim lim lim 1 1

1 1x x x

x x x xx

x x→ → →

+ − + −= = + −

− −

Reemplazando:

51


( ) ( )0

lim 1 1 1 1 0 2x

x→

+ − = + − =

4.- Indeterminación ∞∞

En la mayoría de los casos basta con dividir el numerador y denominador por la mayor potencia de x del denominador. Ejemplo.-

2

24 1lim

1x

x xx→+∞

+ − +

Solución:

2

2 2 2 2 2

22

22 2

4 1 1 144 1lim lim lim 111 1x x x

x xx x x x x x x

xxxx x

→+∞ →+∞ →+∞

+ − + − + −= = + ++

( ) ( )( )

2

2

1 14 4 0 0lim 41 1 01x

x x

x→+∞

+ − + −= = + +

5.- Indeterminación 0 0 0 1∞∞

Para determinar estos límites tendremos en cuenta que:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )ln ln

g xf xg x f xg xf x e e

= =

de donde resulta que:

( ) ( ) ( ) ( )lim .lnlim x a

g x f xg x

x af x e →

→=

pudiendo aparecer otras indeterminaciones, que resolveremos por los métodos anteriores o por métodos que aprenderemos en temas posteriores.

En el caso de la indeterminación 1∞ podemos aplicar con mayor facilidad la siguiente igualdad:

( ) ( ) ( ) ( )lim .ln 1lim x a

g x f xg x

x af x e →

−

→=

Aplicar la igualdad anterior a la resolución del siguiente límite:

52


12

0

1lim1

x

x

xx→

+ −

Solución:

2 11 1 1 2

2 2

0 0

1 2lim lim 11 1

xx x x

x x

x x

x xx x

− −

→ →

+ = + − −

0

11x

Limxe e→ −= =

6.- Limites de Funciones Trigonométricas

En algunos casos podemos utilizar un límite muy conocido, que es:

0lim 0x

senx→

= 0

lim 1x

senxx→

= 0

lim 1x

xsenx→

=

0limcos 1x

x→

= 0

1 coslim 0x

xx→

−=

0lim 1x

tanxx→

= 0

lim 1tanx

xx→=

Ejemplo:

( )( )0

12lim

tan 4x

sen xx→

Solución:

( )( )0 0 0

12 2 12 cos4 16 8lim lim limtan 4 2 4 2 4x x x

sen x sen x x sen x sen xx sen x sen x→ → →

+= = =

0

2 8 cos8 2 4 cos4lim2 4x

sen x x sen x xsen x→

+=

0

2.2 4 cos4 cos8 2 4 cos4lim2 4x

sen x x x sen x xsen x→

+=

( ) ( )( ) ( )0

lim 2cos4 cos8 cos4 2 1 1 1 3x

x x x→

+ = + =

En los casos anteriores puede ocurrir que aplicando lo dicho anteriormente no podamos resolver la indeterminación. Estos casos, al igual que en el apartado (5), se resolverán aplicando la Regla de L'Hôspital.

53


4.2

1. Halle los siguientes límites:

cos coslimx a

x ax a→

−−

2

tanlim2x

xx→−

π+

2. Halle el límite (aplique el apartado 5) 21lim

3

x

x

xx

+

→∞

− +

Función continúa en un punto y en un intervalo Diremos que la función ( )y f x= es continua en x a= si:

a. Existe ( )f a , es decir, ( )f x está definida en x a= .

b. Existe el ( )limx a

f x→

.

c. Ambos valores coinciden, es decir ( ) ( )limx a

f a f x→

= .

Si tenemos en cuenta la definición de límite, podemos obtener la siguiente definición equivalente:

( )y f x= es continúa en x a= ⇔ para cada 0ε > existe

( ) ( )0/ x a f x f aδ > − < δ⇒ − < ε

Diremos que ( )y f x= es continúa en el ;a b si es continua en cada uno de los

puntos del intervalo abierto ;a b .

Diremos que ( )y f x= es continúa por la derecha en x a= , si

( ) ( )limx a

y f x f a+→

= = .

Diremos que ( )y f x= es continúa por la izquierda en x a= , si

54


( ) ( )limx a

y f x f a−→

= =

Diremos que ( )y f x= es continúa en el intervalo [ ];a b si:

a. ( )y f x= es continúa en el intervalo abierto ;a b ..

b. ( )y f x= es continúa por la derecha en x a= .

c. ( )y f x= es continúa por la izquierda en x b= .

TEOREMA: Si ( )y f x= es continúa en x a= , existe el ( )limx a

f x→

.

TEOREMA DE CONSERVACIÓN DEL SIGNO Sea ( )y f x= es una función continua en x a= , siendo ( )f a distinto de cero,

entonces existe un entorno de x a= en el que los valores de ( )f x tienen el mismo

signo que ( )f a .

Demostración: Supongamos que ( ) 0f a > (si fuese negativo, se razonaría de modo similar).

Tomemos ( )2

f aε = . Por la continuidad de ( )y f x= en x a= se tiene que:

Existe 0δ > tal que si ( ) ( )x a f x f a− < δ⇒ − < ε Es decir:

Si ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3; , ,

2 2f a f a

x a a f x f a f a

∈ − δ + δ ⇒ ∈ − ε + ε =

Por lo tanto: ( ) 0f x > . (Como se quería demostrar) TEOREMA DE ACOTACIÓN DE LA FUNCIÓN

Si ( )y f x= es continua en x a= entonces ( )y f x= está acotada en un cierto

entorno de ( )y f x= .

Demostración: Tomemos 1 0ε = > . Por la continuidad de ( )y f x= en x a= se tiene que:

Existe 0δ > tal que si ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ); , 1, 1x a a f x f a f a f a f a∈ − δ + δ ⇒ ∈ − ε + ε = − + de modo

55


que ( ) ( )( )1, 1f a f a− + es un intervalo acotado, por lo tanto ( )y f x= está

acotada en el entorno ( );a a− δ + δ de x a= .

Operaciones con funciones continuas. Sean ( )f x y ( )g x dos funciones continuas en x a= , se tiene entonces que:

a. ( ) ( )f x g x± es continua en x a= .

b. ( ) ( ).f x g x es continua en x a= .

c. ( )( )

f xg x

es continua en x a= si ( ) 0g a ≠ .

d. ( ) ( )g xf x es continua en x a= suponiendo que ( ) 0f a > (para que tenga sentido la potencia).

TEOREMA: Si ( )f x es continua en x a= y ( )g x es continua en

( )y f a= ( )( ).g f x⇒ es continua en x a= .

Demostración: Consideremos

( ) ( )f gx f x y g y→ = → siendo ( ).g fx g y→

Por ser g continúa en ( )f a entonces dado 0ε > existe

( ) ( ) ( )( )0/ si y f a g y g f aδ > − < δ⇒ − < ε

Por ser f continua en a entonces para δ anterior existe

( ) ( )0/ si x a f x f aγ > − < γ⇒ − < ε De lo dicho resulta que:

Dado: 0ε > existe ( ) ( ) ( )( ) ( )( )0/ si x a f x f a g f x g f aγ > − < γ⇒ − < δ⇒ − < ε

Discontinuidades

Se dice que una función ( )y f a= es discontinua en x a= si no es continua en dicho valor de x, es decir, no cumple alguna de las tres condiciones de continuidad.

56


TIPOS DE DISCONTINUIDADES

1. Evitable: Cuando existe el ( )limx a

f x→

pero no coincide con el valor de ( )f a

por una de estas dos razones, son distintos los valores o no existe ( )f a .

2. De salto: Cuando existe el límite por la derecha y por la izquierda (siendo ambos finitos) pero no coinciden.

3. Asintótica: Cuando alguno de los límites laterales (o ambos) no es finito. Puede ser asintótica por la derecha, por la izquierda o por ambos lados.

4. Esencial: Cuando no existe alguno de los límites laterales (o ambos). Puede serlo por la derecha, por la izquierda o por ambos lados.

Si ( )y f x= tiene una discontinuidad evitable en x a= , llamaremos verdadero valor

de la función en x a= al ( )limx a

f x→

. Dicho valor es el que convierte a la función en

continua.

Si ( )y f x= tiene una discontinuidad de salto en x a= , llamaremos salto de la

función en x a= al valor ( ) ( )lim limx a x a

f x f x+ −→ →

− .

En el presente UNIDAD TEMÁTICA se abordaron los conceptos básicos de la teoría de límites y sus aplicaciones en las diversas formas de indeterminaciones que se presentan. Se desarrollaron ejercicios de las indeterminaciones mas importantes, tratando de incidir en el método de cómo levantar dichas indeterminaciones. Si realizó un estudio de las funciones contínuas y discontínuas desde el punto de vista de los límites Para una mejor comprensión del estudio de las asíntotas se ha utilizado el software Graph 3.3.1 Build 204

Si g es continúa en a y f es continúa en ( )g a , la función

compuesta ( )( ) ( )( ).f g x f g x= es continúa en a

57


A. Pinzon. Calculo Diferencial I. Editorial Harla Segunda Edición 1998 N. Piskunov. Cálculo Diferencial e Integral. Editorial Mir Moscú Sexta Edición 1977 Larson E. Hostetler R. Cálculo y Geometría Analítica. Editorial Mc Graw Hill. Sexta Edición 2001. Aponte, Gladis. Fundamentos de Matemáticas Básicas. Editorial Addi-son Wesley Segunda Edición,1998. Bittinger, Marvin L. Cálculo para Ciencias Económico-Administrativas. Editorial Addison Wesley. Séptima Edición, 2002.

En el próximo UNIDAD TEMÁTICA habiendo comprendido los principios de continuidad, discontinuidad y las aplicaciones sobre los límites, comenzaremos el estudio de las derivadas y sus posteriores aplicaciones en la ingeniería y en las ciencias administrativas.

Nº 4 Nombre_________________________________________________________ Apellidos______________________________Fecha ____________________ Ciudad _______________________________Semestre__________________

1. Halle:

4

22 1

21lim

xx

x

xx

−

→∞

+

2. Evalúe: ( )tan

2

lim 1 cot x

xx

π→

+

3. Dado una función ( )f x continúa, cuando x →+∞ , entonces ( )f x es discontinúa. Analice

4. Dado la gráfica, indique:

• es continúa • es tanx • tiene asíntotas(cuantas)

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

58


DERIVADAS El cálculo se desarrolló a la sombra de cuatro problemas sobre los que estaban trabajando los matemáticos europeos en el siglo XVII.

1. El problema de la recta tangente

2. El problema de la velocidad y la aceleración

3. El problema de los máximos y mínimos

4. El problema del área

El conjunto de todas las funciones presenta una diversidad tal que es casi imposible descubrir propiedades generales interesantes que convengan a todas ellas. Puesto que las funciones continuas constituyen una clase restringida, cabría esperar que se hallaran algunos teoremas no triviales para ellas... Pero los resultados más interesantes y más penetrantes acerca de funciones sólo se obtendrán cuando limitemos aún más nuestra atención a funciones que tienen mayor derecho aún a recibir el nombre de 'razonables', con un comportamiento aún más regular que la mayor parte de las funciones continuas. (Spivak, 181-2)

Al terminar el estudio del presente UNIDAD TEMÁTICA, el estudiante: • Comprende y analiza el concepto de derivadas • Analiza la pendiente de una recta • Aplica diversas fórmulas de derivación.

Incrementos El incremento x∆ de una variable x es el aumento o disminución que experimenta, desde un valor 0x x= a otro 1x x= de su campo de variación. Así, pues,

1 2x x x∆ = −

o bien

1 0x x x= + ∆

59


Si se da un incremento x∆ a la variable x, (es decir, si x pasa de 0x x= a

0x x x= + ∆ , la función ( )y f x= se verá incrementada en

0 0( ) ( )y f x x f x∆ = + ∆ − a partir del valor 0( )y f x= . El cociente

recibe el nombre de cociente medio de incrementos de la función en el intervalo comprendido entre 0x x= a 0x x x= + ∆ .

Pendiente

Si 0h ≠ , entonces los dos puntos distintos ( )( );a f a y ( )( );a h f a h+ + determinan, como en la figura Nº 01, una recta cuya pendiente es:

( ) ( )f a h f ah

+ −

Figura Nº 01

Como indica la figura Nº 02, la tangente en ( )( );a f a parece ser el límite, en algún sentido, de estas secantes, cuando h se aproxima a 0. Hasta aquí no hemos hablado nunca del límite de rectas, pero podemos hablar del límite de sus pendientes: La pendiente de la tangente en ( )( );a f a debería ser:

( ) ( )limx a

f a h f ah→

+ −

60


Figura Nº 02

Definición La función f es derivable en a si:

0 0

( ) ( )lim limx h

y f a h f ax h∆ → →

∆ + −=

∆ existe.

En este caso el límite se designa por ( )f a y recibe el nombre de derivada de f en a . (Decimos también que f es derivable si f es derivable en a para todo a del dominio de f ).

Definimos la tangente a la gráfica de f en ( )( );a f a como la recta que pasa por

( )( );a f a y tiene por pendiente ( )f a . Esto quiere decir que la tangente en

( )( );a f a sólo está definida si f es derivable en a .

Para una función dada f , la derivada f ′ se designa a menudo por:

( )df xdx

No hace falta decir que las distintas partes de esta expresión carecen de todo significado cuando se consideran separadamente; las d no son números, no pueden simplificarse, y la expresión completa no es el cociente de otros dos números ( )df x y ( )d x . Esta notación se debe a Leibniz (generalmente

61


considerado como el codescubridor independiente del cálculo infinitesimal junto con Newton) y es llamada afectivamente notación de Leibniz.

Leibniz llegó a este símbolo a través de su noción intuitiva de la derivada, que él

consideraba no como el límite de los cocientes ( ) ( )f a h f a

h+ −

, sino como el valor

de este cociente cuando h es un número infinitamente pequeño. Esta cantidad infinitamente pequeña fue designada por ( )d x y la correspondiente diferencia

infinitamente pequeña ( ) ( )f x dx f x+ − por ( )df x . Aunque es imposible reconciliar este punto de vista con las propiedades de los números reales, algunos encuentran simpática esta noción de la derivada.

La derivada de ( )y f x= con respecto a x se puede representar por uno cualquiera de los símbolos:

, , , , ( ), ( )xd dx dy D y y f x f xdx dy dx

′ ′

En otras palabras, la derivada de una función en un punto nos da la pendiente de la tangente de dicha función en ese punto

Ejercicio:

Esboce las siguientes graficas: (utilizamos el software Graph. 3.3.1)

3 2( ) 2 4 3 5f x x x x= − + − . Representamos sobre la misma pantalla las gráficas de las rectas: 5y x= − , 2 5y x= − e 3 5y x= − .

f(x)=2x^3-4x^2+3x-5

f(x)=x-5

f(x)=2x-5

f(x)=3x-5

-3 -2 -1 1 2 3

-8

-6

-4

-2

2

x

y

62


Pareciera que las tres rectas son tangentes a la curva en el punto ( )0; 5− . En el gráfico observamos realmente que la recta realmente tangente a la curva es

3 5y x= − .

2.1

1. Trace la gráfica de la función y de la recta tangente en el punto dado. Obtenga la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos que correspondan a los valores de x indicados:

• f(x) = x3, (-2, -8); x = -2, x = -1

2. Determine la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función dada, en el punto indicado:

• f(x) = x2; (3, 9) • f(x) = x3; (1, f(1))

3. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función dada, en el valor de x indicado:

• f(x) = 1 - x2; x = 5 Utilice una calculadora gráfica o el software Graph 3.3.1

Fórmulas de derivación En esta parte obtendremos la derivada de algunas funciones básicas. Una vez que veamos cuáles son sus derivadas, utilizaremos los resulta-dos obtenidos como reglas de derivación. En las fórmulas siguientes u , v y w son funciones derivables de x.

1. , siendo c una constante.

2.

3.

4.

63


5.

6.

7.

8.

9.

10. m∈

11.

Si recordamos, en el movimiento rectilíneo se ve que la velocidad instantánea de una partícula está dada por:

( )0

( ) ( ) ( )limt

s t t s t df tv tt dt∆ →

+ ∆ −= =

∆

Ejercicios de aplicación: Derive las siguientes funciones: 1. 5 36 4 2 128y x x x= − + − Solución:

( ) ( ) ( )5 1 3 1 1 16 5 4 3 2 1 0y x x x− − −′ = − + − 4 230 12 2y x x′ = − +

2. ln 2yxπ

= +

64


Solución: 1 ln 2y x−= π +

( ) 1 11 0y x− −′ = π − +

2yxπ′ =

3. 33 2

a byx xx

= −

Solución: Le damos la forma:

2 43 3y ax bx

− −= −

Derivando: 2 41 13 32 4

3 3y a x b x

− − − − ′ = − − −

2 3 3 2

4 23 3

b ayx x x x

′ = −

4. 22 3

5 5xy

x x+

=− +

Solución:

( ) ( ) ( ) ( )( )

2 2

22

2 3 5 5 5 5 2 3

5 5

x x x x x xy

x x

′′+ − + − − + +′ =

− +

( )( ) ( )( )( )

2

22

2 0 5 5 2 5 0 2 3

5 5

x x x xy

x x

+ − + − − + +′ =

− +

( )2

22

2 6 25

5 5

x xyx x

− − +′ =− +

5. 7 xy x e= Solución:

( ) ( )7 7x xy x e e x′ ′′ = +

( ) ( )6 77 x xy x e e x′ = +

( )6 7xy e x x′ = +

65


6. 2

lnxy

x=

Solución:

( ) ( )( )

2 2

2

ln ln

ln

x x x xy

x

′ ′−′ =

( ) 2

2

12 ln

ln

x x xxy

x

− ′ =

( )2

2ln 1ln

x xy

x−

′ =

7. 3

3 ln3xy x x= −

Solución:

( ) ( ) ( ) ( )2

3 3ln ln 33xy x x x x′ ′′ = + −

( ) ( )2 3 213 lny x x x xx

′ = + −

23 lny x x′ =

8. ( )2021 3 5y x x= + − Solución:

( ) ( )20 12 220 1 3 5 1 3 5y x x x x− ′′ = + − + −

( ) ( )19220 1 3 5 0 3 10y x x x′ = + − + −

( ) ( )19220 1 3 5 3 10y x x x′ = + − −

9. 32 2

3 3y a x

= −

Solución: 3

2 2 23 3y a x

= −

66


3 12 2 2 223 3 3 33

2y a x a x

− ′ ′ = − −

1

2 2 123 3 33 20

2 3y a x x

− ′ = − −

1

2 2 2 2 23 3 3 3y a x x x

− − ′ = − −

1

2 23

1ayx

′ = − −

2

3 1ayx

′ = − −

10. xy xe x= + Solución:

( )12xy xe x= +

( ) ( )121

2x xy xe x xe x

− ′′ = + +

( ) ( )121 1

2x x xy xe x e e x

−′ = + + +

( )( )

1

2

x x

x

e e xy

xe x

+ +′ =

+

11. ( )3ln 2 8y x= + Solución:

67


( ) ( )33

1 2 82 8

y xx

′′ = ++

( ) ( )23

1 6 02 8

y xx

′ = ++

( )2

3

34

xyx

′ =+

12. ( ) ( )y a x a x= + − Solución:

( ) ( ) ( )( ) ( )y a x a x a x a x′′′ = + − + − +

( ) ( )( )

( ) ( )11 12

y a x a xa x

′ = − + − + −

( )3

2a xy

a x−′ =−

13.

2n xy x a−= Solución:

( ) ( )2 2n x x ny x a a x− − ′′′ = +

( ) ( )( )2 21 ln 2n x x ny nx a a a x x− − − ′′ = + −

( )21 22 lnn xy x a n x a− −′ = −

Nota: Use: ( ) ( )lnu ua a a u′ ′=

14. ( )( )

5

3

21

xy

x−

=+

Solución: ( ) ( )5ln 2 3ln 1y x x= − − +

68


( ) ( ) ( ) ( )5 32 12 1

y x xx x

′ ′′ = − − +− +

( ) ( ) ( ) ( )5 31 1

2 1y

x x′ = −

− +

22 11

2xy

x x+′ =

− −

Fórmulas de derivadas Trigonométricas

1. ( ) ( )cosd dsenu u udx dx

= ,

2. ( ) ( )d dcosu senu udx dx

= −

3. ( ) ( )2tan secd du u udx dx

=

4. ( ) ( )2t cscd dco u u udx dx

= −

5. ( ) ( )sec sec tand du u u udx dx

=

6. ( ) ( )sc csc td dc u uco u udx dx

= −

DERIVADAS IMPORTANTES

7. ( )1lnd du udx u dx

=

8. ( )u ud de e udx dx

=

9. ( )u ud da a Lna udx dx

=

10. ( ) ( )1 lnv v vd d du vu u u u vdx dx dx

−= +

Ejercicios de aplicación:

69


15. ( )4 3cosxy e x= Solución:

( ) ( ) ( )( ) ( )4 3 3 4cos cosx xy e x x e′′′ = +

( )( ) ( ) ( )( )( )( )4 3 3 2 44 cos 3x xy e x sen x x e′ = + −

( ) ( )( )4 3 2 34cos 3xy e x x sen x′ = −

16. cot coty x a= − Solución:

( ) ( )12

1 cot cot 02

y x x− ′′ = −

( ) ( )1

221 cot csc2

y x x−′ = −

2

12 cot

ysen x x

−′ =

17. 3 23

1cos

y sen xx

= +

Solución: 2

33 cosy sen x x−= +

( ) ( ) ( )1

432 3 cos cos3

y sen x senx x x− −′ ′′ = + −

( ) ( ) ( )1

432 cos 3 cos3

y sen x x x senx− −′ = + − −

( )( )43

2cos 3cos3

x senxyxsenx

′ = + − −

18. ( )2ln ln lny x x= − Solución:

( )1 12ln lnln

y x xx x

′′ = −

1 1 12lnln

y xx x x

′ = −

70


2ln 1ln

xyx x x

′ = −

19. ( )3 21 cos 3cos 515

y x x= −

Solución:

5 31 1cos cos5 3

y x x= −

( ) ( ) ( ) ( )4 21 15 cos cos 3 cos cos5 3

y x x x x′ ′′ = −

( ) ( )4 2cos cos sy x senx x enx′ = − − −

( )2 2cos cos 1y xsenx x′ = − +

2 3cosy xsen x′ = 20.

3 3 3tansen xy e x= + Solución:

( ) ( )( )3 3 3 3 2 3 3secsen xy e sen x x x′ ′′ = +

( )( ) ( )( )3 3 2 3 3 2 3 23 sec 3sen xy e sen x x x x′′ = +

( )( ) ( )( )3 3 2 3 2 2 3 23 3 sec 3sen xy e sen x x x x′ = +

3 32 2 3 2 2 39 3 secsen xy x e sen x x x′ = +

Después de factorizar la derivada, en cada caso se obtiene la misma función pero con el exponente disminuido en 1, multiplicada por un factor que es igual al producto del exponente original por la derivada de la función base.

71


5.2

1. Use la definición de la derivada para la función dada:

• ( ) 23xxf =

• 1−=

xxy

2. Determine la derivada de las funciones dada. • ( ) 1;74 2 −=+= xxxxf

• f xw xw x

( ) =−+

2 2

2 2

• f wx wx w

( ) =−+

2 2

2 2

• yx

xx

x= +

+ +

1 12

3

2

• P( xx z x a

x a)

( )( )

=− +

−2 2 2

2 2 2

• x y xy2 2 21 4( )− = +

• F xx

x( ) = −2

4 2

• yx

x=

+−

2 13

En este UNIDAD TEMÁTICA se presentó el concepto de la derivada y sus diversos casos. Se estudio las diferentes reglas de derivación aplicando cada caso con sendos ejercicios tipos. Se estudio el caso de las derivadas trigonométricas con sus aplicaciones en problemas tipos.

72


A. Pinzon. Calculo Diferencial I. Editorial Harla Segunda Edición 1998 N. Piskunov. Cálculo Diferencial e Integral. Editorial Mir Moscú Sexta Edición 1977 Larson E. Hostetler R. Cálculo y Geometría Analítica. Editorial Mc Graw Hill. Sexta Edición 2001. Aponte, Gladis. Fundamentos de Matemáticas Básicas. Editorial Addi-son Wesley Segunda Edición 1998. Bittinger, Marvin L. Cálculo para Ciencias Económico-Administrativas. Editorial Addison Wesley. Séptima Edición, 2002.

En el siguiente UNIDAD TEMÁTICA se continuará con el estudio de las derivadas, en particular con la derivación implícita, teoría de máximos y mínimos, criterios de primera y segunda derivada de una función.

Nº 5 Nombre________________________________________________________ Apellidos______________________________Fecha ____________________ Ciudad _______________________________Semestre__________________

1. Determine la derivada de la función dada.

• xx)x(f 2 −=

• 4x4x)x(g 2

2

−

+=

• )x1(Lny 3=

• x5e)x(f =

• 2x5e)x(f +=

73


• yx

xx

xx x

= −⋅

+⋅

−23

58

47

38

2 23 23

• x y x y y2 2 2 39 9( )+ = − • y u u= − +( )2 63 2 5

• g xxx

( ) =−+

41 2

2

• x2( y2 - 1) = xy2 + 1.

• P( wrw w

w) =

−2 2

• G x x( ) = +2 3

• K xx x

x( ) =

+ −−

6 11 103 2

2

2. Al Hallar la derivada de la función senx , se obtiene cos x , explique por que. 3. Grafique e interpreta la pregunta 2. (Utilice una calculadora programable)

74


DIFERENCIALES (SEGUNDA PARTE)

En el UNIDAD TEMÁTICA anterior se definió la derivada de una función a partir del concepto de límite y se dio una interpretación de la misma. Se presentaron algunas de las reglas típicas de la derivación aplicándolas a la resolución de algunos ejercicios, para hallar la derivada de funciones escritas o dadas en forma explícita, es decir en la forma ( )y f x= . Sin embargo, en algunos casos se tienen funciones dadas en forma implícita, es decir en la forma ( ), 0g x y = . Para las funciones dadas en forma implícita la variable dependiente no está “despejada” en términos de la variable independiente. El presente UNIDAD TEMÁTICA comienza con el estudio de las derivadas de orden superior, luego se hace una descripción del procedimiento para derivar funciones implícitas. Posteriormente se desarrollan los conceptos básicos de la teoría de máximos y mínimos, que junto a los criterios de la primera y segunda derivada se utilizan para realizar un análisis completo de diferentes funciones. Se finaliza el UNIDAD TEMÁTICA con el trazado de curvas, como una aplicación de los anteriores conceptos.

Al terminar el estudio del presente UNIDAD TEMÁTICA, el estudiante: • Reconoce funciones de orden superior. • Deriva funciones dadas en forma implícita. • Identifica los conceptos de crecimiento y decrecimiento, puntos críticos y de inflexión,

extremos (relativos y absolutos) y concavidad de una función. • Utiliza estos conceptos y los criterios de la primera y segunda derivada para el

trazado de gráficas de funciones polinómicas.

Derivada de orden superior En general reciben el nombre de derivadas de orden superior a la derivada segunda, tercera, etc., aplicada a una función. Derivada segunda Para una función cualquiera f , al tomar la derivada, obtenemos una nueva función f ′ (cuyo dominio puede ser considerablemente más pequeño que el de

75


f ). La noción de derivabilidad puede aplicarse a la función f ′ , por supuesto,

dando lugar a otra función ( )f ′′ , cuyo dominio consiste en todos los puntos tales

que f ′ es derivable en a . La función ( )f ′′ se suele escribir por lo general

simplemente f ′′ y recibe el nombre de derivada segunda de f . Si ( )f a′′ existe,

entonces se dice que f es dos veces derivable en a , y el número ( )f a′′ recibe el nombre de derivada segunda de f en a .

No existe razón alguna para detenerse en la derivada segunda; podemos definir

( )f f ′′′′ ′′= , ( )f f ′′′′′ ′′′= , etc. Esta notación se hace pronto difícil de manejar, por lo que se suele adoptar la siguiente abreviación (se trata en realidad de una definición recursiva):

( )1f f ′=

( ) ( )( )1k kf f+ ′=

Las distintas funciones ( )kf , para k ≥ 2, son a veces llamadas derivadas de orden superior de f .

Debemos mencionar también la notación de Leibniz para las derivadas de órdenes superiores. El símbolo natural de Leibniz para ( )f x′′ , se define:

( )df xddx

dx

,

Se abrevia poniendo

( )

2

2( )d f x

dx

o más frecuentemente 2

2( )d f x

dx.

Ejemplo: Dado la función: 6 2( ) 2 3 12f x x x= − + . Halle: ( )f x′′′ ´

76


Solución:

5( ) 12 6 0f x x x′ = − + 4( ) 60 6f x x′′ = −

3( ) 240f x x′′′ = Ejercicio: Halle: la sexta derivada de: ( ) 2f x sen x=

Solución:

1( ) 2cos2f x x= 2 ( ) 4 2f x sen x= − 3( ) 8cos2f x x= − 4 ( ) 16 2f x sen x= 5( ) 32cos2f x x= 6 ( ) 64 2f x sen x= −

6.1 En los siguientes ejercicios evaluar c 1. Halle y′′′ ´, dado: 3 25 7 2y x x x= − + −

2. Dado: ( )5( ) 2 3f x x= − , halle ( )f x′′′ ´, para 2x = Derivación implícita Dada una función como 5 3 13 6

4y x x x= − + − se dice que y está dada en forma

explícita, es decir y está completamente definida en función de x como ( )y f x= . En esta expresión y está “despejada” en función de x . Si se quiere encontrar la derivada ( )y f x′ ′= se aplican las reglas de derivación usuales. La derivada es, en este caso:

4 2 1' '( ) 5 3(3 ) (1)4

y f x x x= = − +

77


4 2 1' '( ) 5 94

y f x x x= = − +

Debe recordarse que la notación ( ) dyy f xdx

′ ′= = , significa derivada de y

respecto a x .

Considérese ahora una expresión como 3 2 ln 3 0yy e x x y− + − = , en donde se supone que y es función de x . La anterior ecuación relaciona las variables x e y , sin embargo, “ y ” no está dada de forma explícita respecto a “ x ”. Al intentar despejar “ y ” en términos de “ x ”, resulta muy complicado y en algunos casos imposible. Cuando se tiene este tipo de ecuaciones, se dice que “ y ” está dada en forma “implícita” en función de “ x ”. De manera formal podemos decir que si se tiene una ecuación de la forma ( ); 0g x y = donde y es función de x , entonces “ y ” está definida implícitamente

en función de “ x ”. Esto no es inconveniente para determinar la derivada de y

respecto a x . Al proceso de determinar dyydx

′ = a partir de una ecuación de la

forma ( ); 0g x y = , se le denomina “diferenciación implícita”. Se deben utilizar todas las reglas típicas de la derivación, teniendo siempre en cuenta que y es función de x . A continuación se muestra la aplicación de este procedimiento. Ejemplo

Dada la ecuación 4 23 6 0y x− + = , halle dydx

.

Al derivar en ambos lados de la ecuación obtenemos:

4 2(3 6) (0)d dy xdx dx

− + =

4 2(3 ) ( ) (6) 0d d dy xdx dx dx

− + =

Es importante tener en cuenta que la derivación se hace respecto a x; por lo tanto

4 3 3(3 ) 3(4 ) 3(4 ) 'd dyy y y ydx dx

= = . La expresión 3y4 corresponde a la derivada

de 4y respecto a y , mientras que y′ es la derivada de y respecto a y . En este caso se está aplicando el concepto de regla de la cadena.

78


34y Corresponde a la derivada de 4y respecto a “ y ”, no respecto a “x”.

Es decir 4(3 )d ydx

no es ( ) 33 4y pues “ y ” es variable dependiente y

“ x ” es la variable independiente.

Además: 2 d( ) 2 y (6) 0dx

d x xdx

= =

Sustituyendo en la ecuación original tenemos:

4 2(3 ) ( ) (6) 0d d dy xdx dx dx

− + =

( ) 33 4 ' 2 0 0y y x− + =

312 ' 2 0y y x− = En la última ecuación podemos despejar y’, para obtener:

312 ' 2y y x=

32'

12xyy

=

3'6

dy xydx y

= =

Ejemplo

Para la función 3 2 ln 3 0yy e x x y− + − = determinar dydx

.

Para encontrar dyydx

′ = , derivamos ambos lados de la ecuación “respecto a x ”

Obtenemos:

( )3 2 ln 3 0yd dy e x x ydx dx

− + − =

3 2( ) ( ) ( ln ) (3) 0yd d d dy e x x ydx dx dx dx

− + − =

Tenemos que:

• 3 2( ) 3 * 'd y y ydx

=

• ( ) ( ) ( ) * ' (1)y y y y yd d de x x e e x xe y edx dx dx

= + = + por la regla para derivar un

producto.

79


• 2 2 2 2 1( ln ) ln ( ) (ln ) 2 * ln * 'd d dx y y x x y x y x ydx dx dx y

= + = +

por la regla

para derivar un producto.

• (3) 0ddx

=

Sustituyendo en la ecuación

3 2( ) ( ) ( ln ) (3) 0yd d d dy e x x ydx dx dx dx

− + − =

Obtenemos:

2 2 13 . ' . ' (1) 2 .ln . ' 0y yy y xe y e x y x yy

− + + + =

Al simplificar, tenemos: 2

23 . ' . ' 2 .ln . ' 0y y xy y xe y e x y yy

− − + + =

Se pueden agrupar términos para factorizar los que tienen y’:

22' 3 2 .ln 0y yxy y xe e x y

y

− + − + =

Reescribiendo tenemos:

22' 3 2 * lny yxy y xe e x y

y

− + = −

Finalmente, despejando y’:

22

2 .ln'3

y

y

e x yyxy xey

−=

− +

3.1

En los siguientes ejercicios, hallar y′ , si se supone que y es función de x .

1. 2 33 6 0x y− + =

2.1

5 23 4 0x y y xy− + =

3. 2 3 55 6 5xe y y x+ − =

80


4. 3 4 23 ln 2x x y y− =

5.2 7 3ln 11 (y )

2 1 2xy x y

y+ −

= ≠−

Teoría de máximos y mínimos Al analizar una función de una variable es importante conocer cómo es su comportamiento, para diferentes valores de la variable independiente. Las derivadas son una herramienta poderosa para describir este comportamiento. Para esto se dan algunas definiciones y se establecen algunos criterios para el análisis de funciones y la construcción de sus gráficas. Un concepto básico para el análisis de funciones es el de continuidad de una función, fundamental para el estudio de la teoría de máximos y mínimos. Una función ( )y f x= es continua en un punto x c= de su dominio si:

( ) ( )x alim f x f a→

=

A continuación comenzamos el análisis de funciones a partir de la teoría de máximos y mínimos. Crecimiento y decrecimiento de una función Sea ( )y f x= una función que depende de x , donde ( )f x se supone continua, y sea I un intervalo sobre el eje x . Se dice que ( )f x es creciente en I si la gráfica de ( )y f x= ”asciende” cuando se recorre el intervalo I de izquierda a derecha. Es decir f(x) es creciente en I si, dados cualquier a y b en I con a b< entonces ( ) ( )f a f b< . En la figura Nº 1 se muestra una función creciente.

f(x)

f(a)

f(b)

a b

y

xI

De izquierda a derecha

81


Figura Nº 1

Se dice que ( )f x es decreciente en I si la gráfica de ( )y f x= desciende cuando I se recorre de izquierda a derecha. Es decir ( )f x es decreciente en I dados cualquier a y b en I con a b< entonces ( ) ( )f a f b< . La figura Nº 2 presenta una función decreciente en I .

f(x)

f(a)

f(b)

a b

y

xI

De izquierda a derecha Figura Nº 2

En los problemas de aplicación, por ejemplo para el análisis y trazado de la gráfica de una función, el siguiente teorema brinda un criterio para determinar dónde una función es creciente y dónde es decreciente. En otras palabras, los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Teorema: sea ( )f x una función diferenciable en un intervalo I . Entonces: • Si ( ) 0f x′ > para todo x en I , entonces ( )f x es creciente en I • Si ( ) 0f x′ < para todo x en I , entonces ( )f x es decreciente en I

Es decir, dada una función, en los intervalos donde la derivada ( )f x′ “sea positiva la función es creciente” y donde ( )f x′ “sea negativa ( )f x es decreciente”. Ejemplo Analizar la función mostrada en la figura 3.3: La función mostrada es creciente en los intervalos ( ; 1)−∞ − , ( )2;4 , ( )5;+∞ y decreciente en los intervalos ( )1;2− , ( )4;5 .

82


-12

y

x4

5

7

Figura Nº 3

Punto crítico De la interpretación geométrica de la derivada, recordemos que ( )f a′ representa el valor de la pendiente en el punto x a= . Si ( ) 0f a′ = la pendiente de la recta tangente en x a= es cero y la recta tangente es horizontal. Además pueden existir puntos en los cuales ( )f a′ no está definida o no existe. Lo anterior da lugar a la definición de punto crítico. Dado x c= tal que c está en el dominio de ( )f x . Si ( ) 0f c′ = ó ( )f c′ no existe a x c= se le denomina valor crítico. El punto con coordenadas ( ); ( )c f c se denomina punto crítico. Ejemplo Analizar la función de la figura Nº 4. Los puntos A, B, C, D y E son puntos críticos pues ( ) ( ) ( ) ( ) 0f a f b f c f e′ ′ ′ ′= = = = , (las tangentes son horizontales). Además

( )f d′ no está definida pues ( )f x no es derivable en x d= .

83


ae

y

xb

C

c

A

E

B

d

D

Figura Nº 4

Extremos relativos Adviértase que los puntos B y C (en la figura Nº 4) son puntos cuya ordenada es mayor respecto a puntos cercanos a ellos, mientras que los puntos A y E en la misma figura tienen ordenada menor respecto a puntos cercanos a ellos. Podemos decir entonces que los puntos B y C son “máximos relativos” de la función y los puntos A y E son “mínimos relativos” de la función. Formalmente lo podemos expresar mediante la siguiente definición: Dada ( )f x una función y x c= en el dominio de ( )f x , se tiene que ( )f c es un mínimo relativo de la función, si existe un intervalo abierto I tal que ( ) ( )f c f x≤ para toda x en I . De manera semejante se dice que ( )f c es un máximo relativo de ( )f x ; si existe un intervalo abierto I tal que ( ) ( )f c f x≥ para toda x en I .

A los máximos y mínimos relativos se les denomina extremos relativos. De manera semejante se pueden definir los extremos absolutos: • ( )f c es un mínimo absoluto de ( )f x si ( ) ( )f c f x≤ para toda x del dominio

de ( )f x .

84


• ( )f c es un máximo absoluto de ( )f x si ( ) ( )f c f x≥ para toda x del dominio de ( )f x .

Los extremos relativos están relacionados con los puntos críticos. El siguiente teorema establece esta relación. Teorema: si ( )f x tiene un extremo relativo en x c= entonces x c= es un punto crítico. • En otras palabras si ( )f c es un extremo relativo ( ) 0f c′ = o bien ( )f c′ no

existe. Ejemplo Al analizar la función en la figura mostrada se tiene:

Figura Nº 5

Una función ( )y f x= tiene un máximo (mínimo) relativo en un punto x a= , cuando

( )f a es mayor (menor) que los valores de la función para los puntos inmediatamente anteriores y posteriores al considerado.

El estudiante debe buscar otros intervalos en los que hay máximos y mínimos relativos. ¿Es x=c un mínimo relativo para el intervalo (a,e)?

• En x r= ( )f x tiene un mínimo absoluto porque ( ) ( )f d f x≤ para toda x en

los reales. • En x c= ( )f x tiene un máximo absoluto porque ( ) ( )f c f x≥ para toda x en los

reales.

Teorema del valor extremo

85


Si una función es continua en un intervalo cerrado, entonces la función debe tener un valor máximo y un valor mínimo en ese intervalo. Por ejemplo en la figura Nº 5 considérese el intervalo [ ];b s . La función tiene un máximo en x c= y un mínimo en x r= para dicho intervalo. El teorema del valor extremo, que se enuncia sin demostración, garantiza la existencia de tales puntos: Si una función ( )f x es continua en el intervalo cerrado [ ];a b entonces ( )f x tiene un valor máximo absoluto y un valor mínimo absoluto en ese intervalo. Concavidad Aunque la primera derivada puede brindar información sobre el comportamiento de una función respecto a su crecimiento, decrecimiento, extremos relativos y absolutos, esta información no es suficiente para conocer la forma real de la curva. Para ilustrar este hecho considérense las funciones mostradas en las figuras Nº 6 y 7.

Figura Nº 6

Figura Nº 7 Ambas curvas son crecientes en ( );a b y satisfacen ( )f a A= y ( )f b B= . Sin embargo su forma es diferente. En la figura Nº6 la función “abre” hacia abajo. Por su parte en la figura Nº 7 la función “abre” hacia arriba. La forma de la función se denomina “concavidad”. Esta concavidad puede ser hacia abajo (figura Nº 6) o hacia arriba (figura Nº 7). El siguiente teorema se utiliza para la determinación de la forma de la concavidad en diferentes intervalos.

y

B

A

x b= x a=

x

B

A

1( )f x

x b= x a= x

2 ( )f x

y

86


x d= x c= x b= x a=

( )y f x=

Teorema. Sea ( )f x una función con ( )f x′ diferenciable en el intervalo ( );a b ,

entonces: • Si ( ) 0f x′′ > para toda x en ( );a b , entonces ( )f x es cóncava hacia arriba en

( );a b .

• Si ( ) 0f x′′ < para toda x en ( );a b , entonces ( )f x es cóncava hacia abajo en

( );a b . Ejemplo Analizar la concavidad de la figura Nº 8: Al observar la función representada por la figura Nº 8 podemos ver que: • ( )y f x= es cóncava hacia arriba en ( );a−∞ ; ( );b c ; ( );d +∞ ). Se tiene que

( ) 0f x′′ > en estos intervalos. • ( )y f x= es cóncava hacia arriba en ( );a−∞ ; ( );b c ; ( );d +∞ . Para estos

intervalos ( ) 0f x′′ <

Figura 3.8 Nótese que en los puntos x a= , x b= , x c= y x d= la función ( )f x cambia la forma de la concavidad. A tales puntos se les denomina puntos de inflexión. Punto de inflexión Un punto de inflexión es aquel punto donde la función dada cambia de concavidad. Formalmente se dice que si ( )f x tiene un punto de inflexión en x a= entonces:

( ) 0f a′′ = ó ( )f a′′ no existe Criterio de la primera y la segunda derivada Para el trazado de curvas son útiles los llamados criterios o pruebas de la primera y segunda derivada que se definen a continuación. Criterio de la primera derivada

y

87


Este criterio aprovecha la primera derivada para determinar los puntos donde hay extremos relativos. La aplicación de este criterio requiere de una serie de pasos que se reseñan a continuación:

• Hallar ( )f x′ • Encontrar todos los puntos donde hay valores críticos para ( )f x . Es decir donde

( ) 0f x′ = • Los puntos hallados en el paso anterior determinan diferentes intervalos. En cada

uno de estos intervalos se determina si ( )f x′ crece o decrece. Recuerde que esto depende del signo de ( )f x′ .

• Para cada valor crítico x c= ( tal que ( )f x′ es continua en x c= ) se determina el cambio de signo de ( )f x′ al pasar por x c= , cuando se va de izquierda a derecha sobre el eje horizontal. Si ( )f x′ cambia de positivo a negativo en x c= , entonces hay un máximo relativo. De igual forma al pasar por x c= , si ( )f x′ cambia de negativo a positivo en x c= , entonces hay un mínimo relativo.

Ejemplo Determinar máximos y mínimos relativos para la función mostrada en la figura Nº 9. De la gráfica podemos concluir: • ( )f x es decreciente en ( ; )a−∞ y por tanto ( ) 0f x′ < ( ; )a−∞ . • ( )f x es creciente en ( );a b y por tanto ( ) 0f x′ > en ( );a b • En x a= ( )f x′ cambia de negativa a positiva, por el criterio de la primera

derivada ( )f x tiene un mínimo relativo en x a= .

Figura 3.9

• En x b= , ( )f x′ cambia de positiva a negativa pues ( )f x es decreciente en

( );b +∞ . Por lo tanto ( )f x tiene un máximo en x b= por el criterio de la primera derivada.

x

y

( )y f x=

x b=

x a=

88


Ejemplo Sea 3( ) 3f x x x= − , determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de

( )f x y los extremos relativos de ( )f x si los tiene, usando el criterio de la primera derivada. Para la primera parte hallamos ( )f x′ para encontrar los valores críticos:

3( ) 3f x x x= − 2( ) 3 3f x x′ = −

Factorizando obtenemos: 2( ) 3( 1) 3( 1)( 1)f x x x x′ = − = − + Para los valores críticos ( ) 0f x′ = entonces:

3( 1)( 1) 0x x− + = 1 0 ó x 1 0x − = + =

1x = 1x = − Luego f(x) tiene valores críticos en 1x = y 1x = − , estos valores dividen la recta real en los intervalos ( ; 1), (-1;1), (1;+ )−∞ − ∞ . De acuerdo con estos tres intervalos determinamos el signo de ( )f x′ en cada uno de ellos. Esto nos permite saber donde ( )f x′ es creciente y donde ( )f x′ es decreciente. Una manera sencilla de conocer el signo de ( )f x′ en cada intervalo, es elegir un valor arbitrario en ese intervalo y evaluar ( )f x′ en ese punto para conocer el signo de ( )f x′ en el intervalo respectivo. • En el intervalo ( , 1)−∞ − podemos tomar 3x = − entonces:

2( 3) 3( 3) 3 3(9) 3 27 3 24 0f ′ − = − − = − = − = > Como ( 3) 0f ′ − > entonces ( )f x′ es positiva en ( ; 1)−∞ − , por lo tanto f(x) crece en ( ; 1)−∞ − .

• En el intervalo ( )1;1− podemos tomar 0x = entonces: 2(0) 3(0) 3 3 <0f ′ = − = −

Como (0) 0f ′ < entonces ( )f x′ es negativa en ( )1;1− , por lo tanto ( )f x decrece

en( )1;1− .

• En el intervalo (1:+ )∞ podemos tomar 3x = entonces: 2(3) 3(3) 3 3(9) 3 24 0f ′ = − = − = >

Como (0) 0f ′ > entonces ( )f x′ es positiva en (1;+ )∞ , por lo tanto ( )f x crece en (1;+ )∞ .

• De acuerdo con lo anterior en 1x = − , ( )f x tiene un mínimo relativo pues ( )f x′ cambia de positivo a negativo en ese punto.

89


• Y ( )f x tiene un máximo relativo en 1x = pues ( )f x′ cambia de positivo a negativo en ese punto.

Criterio de la segunda derivada Una forma alterna de determinar si en un valor crítico x c= de una función hay un máximo o un mínimo de una función ( )f x , es el criterio de la segunda derivada: Sea x c= un punto del dominio de ( )f x tal que f ’ )c( =0 entonces: • Si ( ) 0f c′′ < entonces ( )f x tiene un máximo relativo en x c= • Si ( ) 0f c′′ > entonces ( )f x tiene un mínimo relativo en x c= Ejemplo

Dada la función 3 2

( ) 6 53 2x xf x x= + − + , hallar máximos y mínimos usando el

criterio de la segunda derivada. Derivamos para hallar puntos críticos:

2 21 1( ) 3 (2 ) 6 63 2

f x x x x x′ = + − = + −

Al hacer ( ) 0f x′ = tenemos: 2 6 0x x+ − =

( 3)( 2) 0x x+ − = Así que 3x = − y 2x = son puntos críticos. Se encuentra ( )f x′′

( ) 2 1f x x′′ = + ( 3) 2( 3) 1 6 1 5 0f ′′ − = − + = − + = − <

(2) 2(2) 1 5 0f ′′ = + = > • Como ( 3) 5 0f ′′ − = − < , en 3x = − hay un máximo por el criterio de la segunda

derivada. • Como (2) 5 0f ′′ = > , en 2x = hay un mínimo por el criterio de la segunda

derivada.

3.2 Hallar los puntos de inflexión, intervalos de concavidad, máximos y mínimos relativos de las siguientes funciones:

90


4. 10x22

x3

x)x(f23

+−−=

5. x15x5)x(f 3 +=

6. 35 x35x)x(f −=

Trazado de curvas Al utilizar adecuadamente toda la información que puede hallarse a partir de los criterios y teoremas enunciados anteriormente, puede darse una descripción del comportamiento de una función y realizar el trazado de su gráfica. A continuación se enuncian los pasos a seguir en este proceso: Paso 1: Puntos críticos e intervalos de crecimiento y decrecimiento Para esto se evalúa ( )f x′ . Se hallan los valores de x para los cuales ( ) 0f x′ = y los valores de x para los cuales ( )f x′ no existe. En los valores críticos hay posibles máximos o mínimos relativos. Se determina el signo de ( )f x′ en los diferentes intervalos definidos por los puntos críticos, y se determinan los intervalos donde

( ) 0f x′ > es decir donde ( )f x es creciente y los intervalos donde ( ) 0f x′ < es decir donde ( )f x es decreciente. Paso 2: Puntos de inflexión Se evalúa ( )f x′′ . Se encuentran los puntos donde ( ) 0f x′′ = ó no está definida. En estos puntos hay puntos de inflexión.

Paso 3. Intervalos de concavidad Se determinan los signos de ( )f x′′ en los diferentes intervalos definidos por los puntos de inflexión para conocer el tipo de concavidad. Paso 4. Determinación de máximos y mínimos Con los puntos críticos hallados y usando los criterios de la primera o la segunda derivada se encuentran los máximos y mínimos relativos de la función. Paso 5. Tabla de valores Es conveniente construir una tabla de valores en la que se consignen los diferentes valores de x hallados y el valor de la función en esos puntos. Es posible también incluir en esta tabla algunos otros valores.

Ejemplo Trazar la gráfica de la función: 3 2( ) 6 15 1f x x x x= − − + Usando los pasos enunciados anteriormente tenemos:

1. Puntos críticos e intervalos de crecimiento:

91


Se halla ( )f x′ : 2 2( ) 3 6(2 ) 15 3 12 15f x x x x x′ = − − = − −

Se encuentran los puntos críticos resolviendo la ecuación f ’(x)= 0 23 12 15 0x x− − =

23( 4 5) 0x x− − = 3( 5)( 1) 0x x− + =

Entonces los puntos críticos son: 5 x -1x = = Para determinar el crecimiento y decrecimiento utilizamos los tres intervalos determinados por los puntos críticos:

( ; 1), (-1;5), (5;+ )−∞ − ∞ En ( ; 1)−∞ − elegimos 2x = − , entonces:

2( 2) 3( 2) 12( 2) 15 3(4) 24 15f ′ − = − − − − = + − ( 2) 17f ′ − = entonces ( 2) 0f ′ − >

En ( 1; 5)− elegimos 0x = , entonces: 2(0) 3(0) 12(0) 15 15f ′ = − − = −

(0) 15f ′ = − entonces (0) 0f ′ < En (5; )∞ elegimos 6x = , entonces:

2(6) 3(6) 12(6) 15 3(36) 72 15f ′ = − − = − − (6) 21f ′ = entonces (6) 0f ′ >

De lo anterior podemos concluir que:

• ( )f x es creciente en ( ; 1)−∞ − pues ( ) 0f x′ > en ( ; 1)−∞ − • ( )f x es decreciente en( )1;5− pues ( ) 0f x′ < en ( )1;5− • ( )f x es creciente en (5; )+∞ pues ( ) 0f x′ > en (5; )+∞

2. Puntos de inflexión:

2( ) 3 12 15f x x x′ = − − Se evalúa ( )f x′′ :

( ) 6 12f x x′′ = −

Se encuentran puntos de inflexión al resolver ( ) 0f x′′ = 6 12 0x − =

6 12x = 12 26

x = =

Entonces x=2 es un punto de inflexión de ( )f x . Es decir en x=2 la función cambia de concavidad.

92


3. Intervalos de concavidad: x=2 determina los intervalos ( ;2)−∞ y (2; )+∞ utilizados para evaluar la concavidad de ( )f x . Eligiendo valores arbitrarios en cada intervalo para conocer el signo de ( )f x′′ en ese intervalo tenemos: • En ( ;2)−∞ elegimos x=0, entonces:

(0) 6(0) 12 12f ′′ = − = − por tanto; ( ) 0f x′′ < en ( ; 2)−∞ • En (2; )+∞ elegimos x=0, entonces:

(3) 6(3) 12 18 12 6f ′′ = − = − = por tanto; ( ) 0f x′′ > en (2; )+∞ De lo anterior podemos concluir que:

• ( )f x es cóncava hacia abajo en ( ;2)−∞ pues ( ) 0f x′′ < en ( ;2)−∞ • ( )f x es cóncava hacia arriba en (2; )+∞ pues ( ) 0f x′′ > en (2; )+∞

4. Determinación de máximos y mínimos:

Los puntos críticos hallados son x=5 y x= -1. Al evaluar f ‘’(x) en esos puntos tenemos:

(5) 6(5) 12 30 12 18 0f ′′ = − = − = > Entonces en x=5, ( )f x tiene un mínimo por el criterio de la segunda derivada

( 1) 6( 1) 12 6 12 18 0f ′′ − = − − = − − = − < Entonces en x=5, ( )f x tiene un máximo por el criterio de la segunda derivada

5. Tabla de valores: Podemos construir la siguiente tabla:

X -1 0 1 2 5 ( )f x 9 1 -19 -45 -99

Recuerde que para construir esta tabla se utiliza la función original. La función se muestra en la figura Nº 10. Para su construcción se tiene en cuenta la información obtenida en los pasos anteriores.

93


Figura Nº 10 Obsérvese que ( )f x crece en ( ;1) y (5;+ )−∞ ∞ y decrece en ( 1;5) − . Además

( )f x tiene un mínimo absoluto en x=5 y un máximo absoluto en x=-1. La concavidad cambia en x=2, de cóncava hacia abajo en ( ;2) −∞ a cóncava hacia arriba en (2;+ )∞ .

3.3

En los siguientes ejercicios halla la gráfica de la función. 1. 1x2x)x(f 2 +−=

2. 9x6x)x(f 2 ++=

3. f(x)= 1x3 −

4. 2x3

x)x(f3

+−=

5. 32 xx910)x(f ++=

y

x 1 3 -1

30

20

10

-100

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10 5 4 2

94


En este UNIDAD TEMÁTICA se estudió la derivación implícita para determinar

dyydx

′ = en expresiones de la forma ( ); 0g x y = , cuando y es función de la variable

x. Se presentaron los conceptos de crecimiento y decrecimiento de una función, extremos relativos y absolutos de una función, puntos de inflexión y tipos de concavidad. Se mostró la forma de utilizar las derivadas para encontrar los intervalos donde una función crece o decrece y donde es cóncava hacia arriba o hacia abajo. Se desarrollaron los criterios de la primera y segunda derivada, para la determinación de valores extremos de una función y se aplicaron todos estos conceptos para el trazado de las gráficas de funciones de una variable.

Bittinger, Marvin L. Cálculo para Ciencias Económico-Administrativas. Editorial Addison Wesley. Séptima Edición, 2002. Haeussler, Ernest F. Matemáticas para Administración, Economía, Ciencias Sociales y de la Vida. Editorial Prentice Hall. Octava Edición, 2001. Tam, S. Matemáticas para Administración y Economía. Editorial Thomson.1999

En el siguiente UNIDAD TEMÁTICA se abordarán las aplicaciones del cálculo diferencial a las ciencias económico administrativas, particularmente la teoría de máximos y mínimos para el análisis básico de costos.

95


Nº 6 Nombre________________________________________________________ Apellidos______________________________Fecha ____________________ Ciudad _______________________________Semestre__________________ 1.- Hallar y’ en las siguientes funciones si se supone que y depende de x.

2 33 5 2 0xy x y− + − =

ln 3 4xe y y xy− + =

1. Encontrar los intervalos donde la función 2 2 1y x x= − + es creciente y los intervalos donde la función es decreciente.

2. Encontrar los intervalos donde la función 3 1y x= − es cóncava hacia arriba y

donde es cóncava hacia abajo. 3. Para las funciones de los ejercicios 2 y 3, hallar los puntos críticos, puntos de

inflexión y valores extremos. Trazar la gráfica de cada una de estas funciones.

4. Dada la función 4 2 1y x x= − + hallar los intervalos donde la función crece y

decrece, los intervalos donde la función es cóncava hacia arriba y los intervalos donde la función es cóncava hacia abajo, los valores extremos de la función. Trace la gráfica de la función.

5. Dada la función 3 22 3 2 1y x x x= − + − hallar los intervalos donde la función

crece y decrece, los intervalos donde la función es cóncava hacia arriba y los intervalos donde la función es cóncava hacia abajo, los valores extremos de la función. Trace la gráfica de la función.

96


APLICACIONES DE LA DERIVADA

(PRIMERA PARTE) En el UNIDAD TEMÁTICA anterior se abordaron los conceptos de máximos y mínimos, como el concepto de funciones crecientes o decrecientes en relación con la aplicación de derivadas de orden superior. En la realidad una necesidad que enfrenta el hombre es interpretar el comportamiento del movimiento de un cuerpo (partícula), otro, es determinar la velocidad y aceleración, así como optimizar la cantidad de un recurso determinado para obtener el bien deseado. Esto se logrará a través de la aplicación de los principios de las derivadas.

Al terminar el estudio del presente UNIDAD TEMÁTICA, el estudiante: • Aplica derivadas en casos prácticos • Aplica derivadas en la mecánica • Reconoce casos de optimización con derivadas

Recta Tangente Si L es la recta tangente a la gráfica f en el punto ( ): ( )P a f a Entonces la pendiente de la recta ( )L m f a′= =

Utlizando la ecuación de la recta: ( )1 1y y m x x− = −

Reemplazamos, así:

( ): ( ) ( )L y f a f a x a′− = −

La cual es la ecuación de la recta tangente a ( )f x en el punto ( ): ( )P a f a , como observamos en la gráfica.

97


a x

y

Recta Normal Se llama recta normal a la gráfica de f en el punto ( ): ( )P a f a a la recta que pasa por P y que es perpendicular a L . Sea NL la recta normal, de tal forma que:

. 1N NL L m m⊥ ⇒ = − 1 1

( )Nmm f a−

⇒ = = −′

Dado la ecuación de la recta:

( )1 1Ny y m x x− = −

Reemplazamos, así:

( )1: ( )( )NL y f a x a

f a− = − −

′

Como observamos en la gráfica:

a x

y

98


Se denomina normal a la curva en un punto dado, a la recta que, pasando por éste, es perpendicular a la tangente trazada por el mismo punto.

Ejercicio: Halle la ecuación de la recta tangente y la recta normal a la gráfica ( )f x senx= , en

el punto cuya abscisa es 3π

.

Solución: Hallando el punto de tangencia: ( ): ( )P a f a

Donde: 3

a π= , entonces

3( )3 3 2

f senπ π= =

Entonces tenemos: ( ) 3: ( ) :3 2

P a f a P π

=

Dado: ( )f x senx= , hallamos ( ) ( )3

f x f π′ ′=

( ) cosf x x′ = Reemplazando:

1( ) cos3 3 2

f π π′ = =

Hallan la ecuación de la recta tangente: 3 ( )

2 3 3y f xπ π ′− = −

Reemplazando: 3 1

2 2 3y x π − = −

Operando:

2 33

y x π− = −

La ecuación de la recta tangente es:

: 2 3 03

L x y π− + − =

99


Hallando la ecuación de la recta normal es: 3 1

2 3( )3

y xf

π − = − − π ′

Reemplazando: 3 1

12 32

y x π − = − −

Operando: 3 2

2 3y x π − = − −

42 3 43

y x π− = − +

La ecuación de la recta tangente es:

4: 4 2 3 03NL x y π

+ − − =

7.1

1. Para el ejercicio anterior, dibuje la recta tangente y normal, además grafíquela

sobre el sistema coordenado. (Utilice el software Graph 3.3.1 o use una calculadora programable).

2. Dado la función ( ) cotf x x= . Halle la recta tangente y normal en el punto

cuya abscisa es 4π

.

Regla de la cadena Si ( )y f u= es una función derivable de u , y si además ( )u g x= es una función derivable de x , entonces ( ( ))y f g x= es una función derivable, con:

.dy dy dudx du dx

=

Bajo otra notación sería:

[ ]( ( )) ( ( )) ( )d f g x f g x g xdx

′ ′=

100


La derivada de ( )y f u= es la derivada de la función exterior ( )u . Multiplicada por la derivada de la función interior.

( ).y f u u′ ′ ′=

Ejemplo:

Halle dyydx

′ = , para ( )32 1y x= +

Solución: Definimos: 2 1u x= + Entonces tenemos:

( ) ( )22. 3 1 2dy dy du x x

dx du dx= = +

( )226 1dyy x xdx

′ = = +

Aplicaciones Mecánicas de la derivada El espacio s recorrido por un cuerpo en movimiento de trslación en función del tiempo t , se axpres de la siguiente forma:

( )s f t= Como es sabido la velocidad v de un cuerpo en un instante dado es igual a la primera derivada del espacio recorrido respecto del tiempo, así:

dsvdt

=

Supongamos que en un cierto instante t la velocidad del cuerpo era v . Si el movimiento no es uniforme, en el intervalo de tiempo t∆ a partir de t , la velocidad variará, recibiendo el incremento v∆ . Se denomina aceleración media en el tiempo t∆ a la razón del incremento de velocidad v∆ respecto al tiempo.

mvat

∆=∆

Se denomina aceleración instantánea al límite de la razón del incremento de la velocidad respecto al del tiempo, cuando éste tiende a cero.

101


0lim

t

vat∆ →

∆=

∆

Es decir, la aceleración instantánea es igual a la derivada de la velocidad respecto del tiempo:

dvadt

=

Pero como dsvdt

= , se tiene, por consiguiente:

2

2dv d ds d sadt dt dt dt

= = =

La aceleración del movimiento rectilineo es igual a la segunda derivada del espacio recorrido respecto al tiempo:

( )a f t′′=

Ejercicio: Halle la velocidad v y la aceleración a de un cuerpo que libremente en el espacio por efecto de la gravedad, si el espacio recorrido s depende del tiempo t , según la siguiente ecuación:

20 0

12

v gt v t s= + +

Donde: 29,8 /g m s= (aceleración de la gravedad)

0s es el recorrido en 0t = Solución: Derivando hallamos la velocidad

0dsv gt vdt

= = +

Derivando una vez más hallamos la aceleración: 2

2dv d sa gdt dt

= = =

102


7.3

1. El movimiento de una partícula está definido por la relación:

3 22 15 36 10s t t t= − + − . Halle: a) La posición b) La velocidad c) La aceleración Para 4t s=

Casos Aplicativos Existen en la práctica diversos casos que requieren del ingenio matemático para ser resueltos, esto se logra con la aplicación de las derivadas y sus principales propiedades. A continuación presentamos sendos casos a manera de ejercicios resueltos, para que Ud. se ilustre con ellos. 1. Una partícula se mueve en un circunferencia de acuerdo a la ley 3 22s t t= + ,

donde: s se mide en pies a lo largo del circunferencia, y t en segundos. Si la aceleración total de la partícula es 216 2 /pie s cuando 2t s= , calcular el radio de la circunferencia.

Solución

Datos: 3 22s t t= + s esta en pies y t en segundos 216 2 /Ta pie s=

2t s= . R = ? (radio del circunferencia)

Como: 3 2( 2 )ds d t tv

dt dt+

= =

23 4v t t= + .... (α)

Luego la 2(3 4 )

tdv d t tadt dt

+= =

6 4ta t= + .... (β)

Sabemos que: 2 2T N ta a a= +

2 2-N T ta a a= … (1)

103


además: 2

NvaR

=

por otro lado para un tiempo 2t s= , obtenemos en (α)

( ) ( )23 2 4 2v = +

v = 20 pies/s.

en (β) tenemos: ( )6 2 4a = +

at = 16 pies/s2 reemplazando at en (1):

2 2(16 2) -(16)Na = …. (2)

ahora igualando (1) = (2) para hallar "R"

2(20)16R

=

40016

R pies= → R = 25 pies

2. Una partícula se esta moviendo en un circulo de acuerdo a la ley 23 2x t tθ = + donde θ se mide en radianes y t en segundos. Calcular la

velocidad angular, la aceleración angular después de 4 s. Solución

Datos: 23 2x t tθ = + θ esta en radianes y t en segundos.

w = ? α = ? t = 4 s.

Hallando la velocidad angular w para t = 4s: 2(3 2 )d d t tw

dt dtθ +

= =

6 2w t= + Reemplazando para: 4t = s

( )6 4 2w = +

w = 26 rad/s.

104


Hallando la aceleración angular α

(6 2)dw d tdt dt

+α = =

Reemplazando para: 4t = s ∴ α = 6 rad/s2

3. Tomar un trozo de alambre de longitud dada “p”, de manera que forme un rectángulo cuya área sea la mayor posible.

Solución: Longitud: 2 2p x y= +

Despejando: 2

2p xy −

= ..... (1)

Sea el área del rectángulo: .A x y=

222

px xA −= ;

como nos piden el área máxima, hallamos los valores característicos derivando, de:

4 ' 02

p xA A−′ = ⇒ = obtenemos:

4 4p px y= ∧ =

4. ¿Cuál de los cilindros de volumen dado tiene menor superficie total?

105


Solución: Si: 2 2

cV r h x y= π = π ;

Sabiendo: h y r x= ∧ =

22 2tA x xy= π + π

Luego: 2cV x y= π

Despejando, tenemos:

2cVyx

=π

......(α );

Reemplazando ( )α en el tA

2 2 22 ' 2 4 2ct t

V yA x A y x xx x

= π + ⇒ = π + π + π −

Igualando 0tA′ = , para calcular los valores críticos, tenemos: 2' 0 2 2 4 0

2 2 0

tyA y x x

xy y x

= ⇒ π + π − + π =

∴ − + =

2y x⇒ =

Por lo tanto el cilindro que tiene su altura igual a su diámetro de su base, tiene menor superficie.

5. Inscribir en una esfera dada, un cilindro de volumen máximo.

Solución: Sean: R = radio de la esfera r = radio de la base del cilindro h = altura del cilindro

2 22h R r= − De la figura:

2 2 22 . 2cV B h r R r= = π −

106


( ) ( )1/ 22 2 2 2 21' 2 2 2

2cV r R r r R r r− ⇒ = π − + − −

Haciendo: ' 0cV =

22 2

2 2

2 2 2

2

2 2

rr R rR r

R r r

− =−

⇒ − =

Entonces: 2 22 2 223 3 3

Rr R h R R

= ⇒ = − =

Por tanto: 23

r R= y 2

3Rh =

6. Inscribir un rectángulo de la mayor área posible en el segmento de parábola 2 2y px= cortado por la recta 2x a= .

Solución: Si, la ecuación de la parábola:

2 2 2y px y px= ⇒ =

Siendo el área del rectángulo: ( )2 2A a x y= −

Reemplazando “y” en el A :

( )2 2A px a x= −

( ) ( )1/ 2 3/ 24 2 2 2A a p x p x= −

Hallando los valores críticos de A′ ; haciendo: 0A′ =

1/ 24 2 3 2 0

2a p p

x⇒ − = ;

[ ]2 2 3 0

23

A p a x

x a

′ = − =

⇒ =

107


Por tanto: 2 42 23 3 3

pay p a p a = ± = ± = ±

7. Una faja de hoja de lata de anchura a debe ser encorvada longitudinalmente en forma de canalón abierto. ¿Qué ángulo central ϕ debe tomarse para que el canalón tenga la mayor capacidad posible?

Solución: Sea, el área de la zona sombreada: As , donde:

.s cAs A A= − +

donde: A : área del triángulo ABC

. .s cA : área del sector circular. De la figura tenemos:

( ) 2

2 2sR Rsen

A R− ϕ ϕ

= +

( )2sRA sen= − ϕ + ϕ

Hallando los valores críticos de:

' 0ss

dAAd

= =ϕ

[ ]2

cos 1 0 cos 12

R− ϕ + = ⇒ ϕ = ;

Luego: ( )cos 1 0 2arϕ = = = π

8. Un recipiente abierto está formado por un cilindro, terminado, terminado por su parte inferior en una simiesfera; el espesor de sus paredes es constante. ¿Qué dimensiones deberá tener dicho recipiente para que, sin variar su capacidad, se gaste en hacerlo la menor cantidad de material?

Solución:

108


Si el área total: 22 2tA Rh R= π + π ;

Área del cilindro total: 3

2 23tRC R h π

= π + ⇒

3

2

23tRC

hR

π− =π

Luego: 3

22 2

2

22 432 2 2

3t

tt

RC C RA R R RR R

π− π= π + π = − + π

π

22 23

tt

CA RR

π= +

Calculando los valores críticos de

' 0tA = ; Luego: 32

2 4' 0 6 4 03

tt t

C RA C RR− π

= + = ⇒ + π =

3 32

tCR∴ = −π

Reemplazando 3R y 2R h

2 2

2 33 2 0

tt t

CCC Ch

R R

π − −π = = =π π

9. Un estudiante quiere conseguir la tabla (AB) mas corta posible a fin de llegar al

edificio; tal como se muestra en la figura (La tabla esta apoyada en un muro a una altura “h”). Calcular la longitud de dicha tabla.

109


Solución:

Longitud de: csc secAB L h d= = α + α .......(1)

( ) csc secL h dα = α + α

Para hallar: ( )L α → mínima

Derivamos: ( )' 0L α =

( csc .cot ) (sec .tan ) 0h d⇒ − α α + α α =

.sec .tan .csc .d h cotα α = α α 1 1 cos. . . .

cos cossend h

sen senα α=

α α α α

3

3.cossend hα

=α

3 3tan tanh hd d

α = ⇒ α =

Pero: 3

3tan h

hα = , con lo cual dibujamos:

110


α

Reemplazando en (1):

2 2 2 23 3 3 3

min 3 3. .d h d hL h d

h d+ +

= +

2 23 3min 3 3

h dL d hh d

= + +

1/ 22 / 3 2 / 3 2 / 3 2 / 3minL d h h d = + +

3/ 22 / 3 2 / 3minL h d = +

10. A un agricultor le ofrecen un terreno que tiene la forma de un sector circular. Le

dicen que escoja las dimensiones que quiera a condición de que el perímetro sea 300 metros. ¿Qué medida para el ángulo central de dicho sector le conviene al agricultor? Solución:

Perímetro: 300P r r r= + + θ =

300 2rr−

θ = ..........(1)

Al agricultor le conviene un terreno de área máxima; luego:

2

s 2crA A θ

= =

21 300 2.2

rA rr− =

( ) (150 )A r r r⇒ = −

2( ) 150A r r r= −

Para hallar: ( )A r → Máximo

Hacemos: '( ) 0A r =

150 2 0r− = ∴ 75r =

111


Reemplazando en (1) 300 2.75

75−

θ =

∴ 2radθ = 11. Calcular la longitud de la varilla más larga que puede pasar horizontalmente por

la esquina que une dos conectores perpendiculares de 8m y 1m de ancho respectivamente. Solución:

La varilla AB tendrá que ser la mas corta pero que pase rozando las paredes y la esquina (observe la figura). Luego:

( ) 1.sec 8.cscAB L= θ = θ + θ

( ) sec 8.cscL θ = θ + θ ...........(1) Para que ( )L θ → sea mínimo

'( ) 0L⇒ θ =

'( ) sec .tan 8( csc . ) 0L cotθ = θ θ + − θ θ =

1 1 cos. 8 . 0cos cos

sensen sen

θ θ− =

θ θ θ θ

2 2cos8

cossen

senθ θ=

θ θ

3

3 8cossen θ

=θ

3 8tg θ = ⇒ tan 2θ =

Si: 2tgθ =

Reemplazando en (1)

min5 58. 5 5

1 2L = + =

min 5 5L =

12. Hallar el mínimo valor de la fuerza aplicada al bloque (si esta expresado en Newton) y el ángulo correspondiente.

112


0

Solución: Para hallar la fuerza mínima entonces derivamos, '( ) 0f x =

cos2 ( 2 2 )2 ' cos 02 2

senf sen fθ − θ= − θ − ⇒ = − θ − =

2 cos 2 90osen θ = θ⇒ θ+ θ =

30oθ = Reemplazando:

mincos602 30

2

oof sen= − − −

min1 122 4

f = − −

min5 304

oF y= θ =

13. Un jardín rectangular de 200m2 de área debe cercarse. Hallar las dimensiones

que requieren la menor cantidad de cerco, si uno de los lados del jardín es colindante a una pared.

Solución:

Y

Y

XX

200....( 1 )xy = ⇒ 200y

x=

L: longitud de cerco: 2L x y= + .... (2)

De (1) en (2) 2002L x

x= + ⇒ minL si: 0dL

dx=

113


22002 0dL

dx x= − = ∴ x = 10 ; y = 20

Las dimensiones son : 10 y 20 14. Hallar el volumen del mayor cilindro recto que se puede inscribir en una esfera

de radio 3m Solución:

h/2

h/2

r

3

2V r h= π .......(1) 2

234hr= + ⇒

22 3

4hr = − ..... (2)

(2) en (1): 2

34hV h

= π −

........ (3)

Para: max 0dVVdh

⇒ =

3

34hV h π

= π − ⇒ 233 0

4dV hdh

π= π − = ⇒ 2h =

En (3): 342 3 4

4V V m = π − ∴ = π

15. Un fabricante de cajas de estaño desea emplear piezas de 8x15plg. Cortando

cuadrados iguales en las cuatro esquinas y doblando los lados. Calcule la longitud necesaria del lado cuadrado por cortar si se desea obtener de cada pieza de estaño una caja sin tapa del máximo volumen posible. Solución:

114


Sea: V(x): Volumen de la caja en función de x De tal manera que:

( ) (8 - 2 )(15 - 2 )V x x x x= ,

⇒ 3 2( ) 4 - 46 120V x x x x= + Como “x” no puede ser menor que 4, entonces el dominio de V, : [0 : 4]DomV “V” es una función polinomial, entonces “V” es continua en . Y por ende en [0;4] Por lo que, de acuerdo con el Teorema del valor extremo, “V” tiene un valor máximo absoluto en [0;4] . Veamos: 2'( ) 12 - 92 120 4(4 - 6)(3 - 5)V x x x x= + = '( )V x existe para todo x

'( ) 0V x = cuando 6x = ó, 53

x = ;

115


pero [ ]6 0,4∉ y [ ]5 0;43∈ .

Así: 53

; número crítico de “V” en [0,4]

Ahora: (0) 0V = (5/3) 90.74V ≈ Por lo tanto, el valor máximo absoluto de V en [0,4] ocurre en 5/3. Respuesta: La longitud x, del lado por cortar ha de ser 5/3 plg.

16. Si un lado de un campo rectangular va a tener como límite natural un río, halle las dimensiones del terreno rectangular más grande que puede cercarse usando 240m de valla para los otros tres lados. Solución:

Sea x: longitud del lado que es paralelo al río;

2402

x−∴ : Longitud de cada uno de los otros dos lados

Si A es el área del terreno, en función de x, entonces

116


( ) 2240 11202 2

xA x x x x− = = −

Como “x” no puede ser negativo ni menor que 240, entonces el dominio de A, es :[0;240]DomA , A es una función polinomial entonces A es continua en , y

por ende en [0;240] . Por lo que, de acuerdo con el Teorema del valor extremo, A tiene un valor máximo absoluto en [0;240] . Veamos: '( ) 120 -A x x= '( )A x existe para todo x '( ) 0A x = cuando x=120; y [ ]120 0;240∈ .

Así: 120: número crítico de A en [ ]0;240 Ahora: (0) 0A = (120) 7200A = (240) 0V = Por lo tanto, el valor máximo absoluto de A en [ ]0;240 ocurre en x=120 y 240 120 60

2−

= .

Respuesta: Las dimensiones del terreno han de ser de 120m de largo por 60m de ancho.

17. Halle el número en el intervalo [0;1] tal que la diferencia entre el número y su cuadrado sea un máximo. Solución: Sea x: número buscado x2: cuadrado del número si f es la diferencia entre el número y su cuadrado, en función de x, entonces

2( ) -f x x x= , :[0;1]Domf f es una función polinomial, entonces f es continua en , y por ende

en[0;1] . Por lo que, de acuerdo con el Teorema del valor extremo, f tiene un valor máximo absoluto en [0;1] . Veamos:

117


'( ) 1- 2f x x= ( )f x existe para todo x

( ) 0f x = cuando 12

x = ; y [ ]1 0;12∈ .

Así: 12

: número crítico de f en [0;1]

Ahora: (0) 0f =

1(1/ 2)4

f =

(1) 0f =

Por lo tanto, el valor máximo absoluto de f en [0;1] ocurre en 12

x = .

Respuesta: el número buscado es 12

.

18. Obtenga el área del rectángulo más grande que tenga dos vértices en el eje x y

los otros dos en o bien arriba del eje y que se encuentren en la parábola 29 -y x= .

Solución:

118


29 -y x= es par, por lo tanto, la gráfica de y no es simétrica con respecto al eje

y. Los puntos sobre el eje x (P y Q. Obsérvese la fig. 1) están a igual distancia del origen (son simétricos): de aquí que el lado del rectángulo que se encuentra sobre el eje x está dado por 2x . De tal forma que si A es el área del rectángulo, en función de x, 2 3( ) 2x (9 - ) 18 - 2A x x x x= = , :[-3;3]DomA A es continua en [-3;3] , por lo que se puede aplicar el Teorema del valor extremo. Veamos: 2 2'( ) 18 - 6 6(3 - )A x x x= = ; '( )A x siempre existe

'( ) 0A x = , cuando 3x = ± ; y [ ]3 3;3± ∈ −

3∴± : número críticos de A en [-3;3] Ahora: (-3) 0A =

( )3 12 3A − = −

( )3 12 3A =

(3) 0A =

119


El valor máximo absoluto de en [-3;3]ocurre en 3 y es de 12 3 Respuesta: El área del rectángulo más grande que cumple con las condiciones del problema es 12 3 unidades cuadradas. Los vértices coordenados del

rectángulo son ( )3;0P − , ( )3;0Q , ( )3;6R , y ( )3;6S −

19. Determine el área del mayor rectángulo que puede ser inscrito en una

circunferencia dada de radio r. Solución:

Sea 2x: ancho del rectángulo 2y: largo del rectángulo

xy ≥∴ Si: y=x, 045=α⇒

0 2452

ysenr

= = ,

2

2y r⇒ =

De lo anterior se concluye que “y” debe estar entre 2

2r y r; y “x” entre 0 y

22

r ; esto es:

Si A es el área del rectángulo, 4A xy= …. (1)

120


A partir del Teorema del Pitágoras se deduce que

2 2y r x= − ….. (2) Sustituyendo (2) en (1), se obtiene A en función de x:

( ) 2 24A x x r x= − , donde r es una constante

2: 0;

2DomA r

A es continua en su dominio; por lo que es aplicable el Teorema del Valor extremo. Veamos

( ) ( )2 2

2 2

4 2'

r xA x

r x

−=

−

( )'A x no existe para x=r pero r domA∉

( )' 0A x = , cuando 2

2x r= , y

22

r es uno de los extremos de

r

22,0

Ahora (0) 0A =

( ) 22 / 2 2A r r= : el valor absoluto de A en 20;

2r

ocurre en

22

x r= …. (3)

Al sustituir (3) en (2), se obtiene que 2

2y r= , esto es y x= .

Respuesta: el área A del mayor rectángulo que puede ser inscrito en una circunferencia es 22A r= , donde r es el radio de la circunferencia; además, el rectángulo es un cuadrado de lado igual a 2r .

20. Una isla está ubicada en el punto A, 6 km mar adentro del punto más cercano B en una playa recta. Una mujer que se encuentra en una isla desea ir hacia un punto C, 9 km playa debajo de B. La mujer entonces puede alquilar un auto con chofer a un costo de 12 dólares por kilómetro y recorrer un camino recto de P a C. Determine la ruta menos costosa a seguir del punto A al punto C. Solución:

121


Sea: x PC= , 9BP x⇒ = − 6AB = Del Teorema de Pitágoras se deduce que:

2 18 117AP x x= − + Si D representa el costo del viaje, en dólares, y si D es función de x, entonces

( ) 215 18 117 12D x x x x= − + +

[ ]: 0;9domD

( ) ( ) ( ) 2

2 2

15 9 15 9 12 18 117' 12

18 117 18 117

x x x xD x

x x x x

− − + − += + =

− + − +

( )'D x siempre existe porque 2x -18x+117>0; x ∀

122


( ) ( ) 2

2

15 9 12 18 117' 0

18 117

x x xD x

x x

− + − += =

− +

( )( )

2

2

15 9 12 18 117 0

5 9 4 18 117

x x x

x x x

⇒ − + − + =

⇔ − = − − +

( ) ( )2 2

2 2

25 9 16 18 117

25 450 2025 16 288 1872

x x x

x x x x

⇒ − = − +

⇔ − + = − + ( )( )

2

2

9 162 153 018 17 017 1 0

x xx xx x

⇒ − + =

⇔ − + =

⇔ − − =

21. El club privado cobra cuotas anuales por concepto de membresía de 100 dólares

por cada miembro, menos 50 centavos de dólar por cada miembro que pase de 600 y más 50 centavos de dólar por miembro si el número de ellos que 600. ¿Cuántos miembros proporcionarán al club el mayor ingreso por concepto de cuotas anuales? Solución:

Seax: número de miembros ( )I x : ingreso, en función de x, que el club recauda al año, en dólares

De tal manera que:

( )( ) [ ]( ) [ ]

100 600 0.5 , 0;600

100 600 0.5 , 600;800

x x si xI x

x x si x

+ − ∈ = − − ∈

( ) [ ][ ]

2

2

400 0.5 , 0;600400 0.5 , 600;800

x x si xI x

x x si x − ∈= − ∈

( ) [ ]2400 0.5 , 0;800I x x x si x⇒ = − ∈

123


I es continua en [ ]0;800 '( ) 400 -I x x= ( ) ( )' , ' 0I x x I x∃∀ = cuando [ ]400 0;800x = ∈ ;

400 es un número crítico de I en [ ]0;800 (0) 0I = (400) 80000I = : valor máximo absoluto Respuesta: el número ideal de socios para el club es de 400 miembros.

En este UNIDAD TEMÁTICA estudiamos lasa aplicaciones diversas a las derivadas en el campo de la ingeniería. Dichas aplicaciones se pueden observar en casos propuestos y minuciosamente resueltos.

LARSON, Roland E., HOSTETLER, Robert P. y EDWARDS, Bruce H. Cálculo y Geometría Analítica, Volumen 1 y 2, 6ª edición, Editorial McGraw-Hill.

LEITHOLD, Louis, El Cálculo, 7ª edición, Oxford University Press.

STEIN, Sherman K., BARCELLOS, Anthony, Cálculo y Geometría Analítica, Volumen 1 y 2, Editorial McGraw-Hill.

THOMAS, Geoge B., FINNEY, Ross L., Cálculo con Geometría Analítica, Volumen 1 y 2, Addison-Wesley Iberoamericana.

PURCELL, Edwin J., VARBERG, Dale, Cálculo con Geometría Analítica, Sexta Edición, Edición actualizada, Prentice-Hall Hispanoamericana, SA.

SWOKOWSKI, Earl W., Cálculo con Geometría Analítica, Grupo Editorial Iberoamérica.

En el siguiente UNIDAD TEMÁTICA estudiaremos las aplicaciones en la teoría de costos de la integral definida y el concepto de área bajo la curva en la función de distribución de probabilidad normal.

124


Nº 7 Nombre_________________________________________________________ Apellidos ______________________________Fecha ____________________ Ciudad _______________________________Semestre _____________________ 1. El movimiento de una partícula está definido por: 4 212 6 34x t t= − + m

Determine: a) su rapidez b) velocidad c) aceleración En el tiempo 1,5t s=

2. Dado la función y senx= , obtenga la y′ , y a) grafique y , y′ b) Halle el mínimo valor de y′ c) Halle el máximo valor de y

3. Grafique y halle la suma del máximo y mínimo valor de la función

( ) .cosf x senx x= 4. Calcule el área máxima de la región triangular ADC

A

B

C

D4

2

3

125


126


APLICACIONES DE LAS DIFERENCIALES

El cálculo ha sido considerado, durante mucho tiempo, como uno de los grandes avances de las matemáticas gracias, en parte, a las diversas contribuciones para el desarrollo de las ciencias puras y aplicadas. En particular para las ciencias económico administrativas en el modelamiento matemático de lo que se conoce como teoría de costos, al aprovechar los resultados del cálculo diferencial. La teoría de costos es el tema del presente UNIDAD TEMÁTICA.

Al terminar el estudio del presente UNIDAD TEMÁTICA, el estudiante: • Identifica los conceptos de costo total, costo promedio, función de demanda, costo

de producción mínimo y utilidad máxima. • Plantea y resuelve diferentes tipos de problemas de aplicación en las ciencias

económico administrativas. Aplicaciones de las derivadas en ciencias económico administrativas A continuación se presentan diferentes definiciones como costo total, costo marginal, ingreso total y función de demanda. Gracias a la teoría de máximos y mínimos se puede determinar el mínimo costo de producción y el valor máximo de la utilidad, si se conocen las funciones que lo definen. Teoría de costos Parte del funcionamiento económico de cualquier actividad puede describirse en términos de lo que se conoce como teoría de costos. Con esta teoría se aprovechan algunos resultados del cálculo diferencial para resolver problemas cuando se conocen las funciones que definen el comportamiento de los costos, ingresos y utilidades. Para ampliar esto, se presentan primero algunos conceptos básicos. Costo total Se puede definir la función C = C(q) que determina el costo total C de fabricar q unidades de un producto, como la función de costo total. Esta función se

127


considera generalmente para un determinado periodo de tiempo. Algunos autores denominan a esta función como “costo total del fabricante”.

Costo marginal Se define como la razón de cambio de la función C = C(q) con respecto a q; es decir:

Costo marginal = =dqdC C’(q) Ecuación No. 4.1

El costo marginal se puede interpretar como el costo aproximado de producir una unidad adicional, a un determinado nivel de producción. Es decir si se producen q unidades de producto, el costo marginal es el costo aproximado de producir las unidades q+1. En general las funciones de costo se componen de dos partes: costos fijos y costos variables. Los costos fijos se mantienen constantes mientras que los costos variables dependen, en general, del nivel de producción. El siguiente ejemplo ilustra los conceptos enunciados. Ejemplo Sea C(q)= 25 1.000.000q + la función de costo total para determinado producto, donde C(q) está en pesos y q es el número de unidades fabricadas. Observemos que:

• C(q) = costos variables + costos fijos • C(q) = 000.000.1q5 2 +

Podemos interpretar el valor 1.000.000 como el valor de los costos fijos y

25q como el valor de los costos variables. El costo marginal es: C’(q) = 5(2q) = 10q

Si se producen 1.000 unidades (q = 1.000), tenemos para el costo marginal: C’(1.000) = 10(1.000) = 10.000

Es decir el costo de producir la unidad 1.001 es de aproximadamente $10.000. El costo real de producir esta unidad adicional esta dada por:

Costo de producir 1.001 unidades – Costo de producir 1.000 unidades [ ] [ ]000.000.1)000.1(5000.000.1)001.1(5)000.1(C)001.1(C 22 +−+=−

005.10$)000.1001.1(5 22 =−

Otra observación que puede hacerse es que los costos fijos no influyen en el valor del costo marginal. Formalmente, esto se debe a que la derivada de una constante es cero (ver la definición de costo marginal). Costo medio El costo medio o promedio )q(C se define por:

128


q)q(C)q(C = Ecuación No. 4.2

Ejemplo Hallar el costo promedio de producir 500 unidades, si la función de costo total es:

000.000.1q5)q(C 2 += El costo promedio es:

q000.000.1q5

q000.000.1q5

q)q(C)q(C

2+=

+==

En q = 500 el costo promedio es:

500.4000.2500.2500

000.000.1)500(5)500(C =+=+= por unidad

Ingreso total De forma similar a la definición de función de costo total, se puede definir la función de ingreso total I(q) como el ingreso obtenido al vender q unidades de producto. El ingreso total es:

pq)q( I = Ecuación No. 4.3 donde p es el precio unitario Función de demanda Sea p el precio por unidad de producto, si q es el número de unidades de producto que se “demandarán” en el mercado y se venderán. Cuando p depende de q, es decir “p” es función de “q”, p y q están relacionados por la ecuación No. 4.4.

)q(fp = Ecuación No. 4.4 De lo anteriormente expuesto podemos concluir que

)q(fqqp)q( I ∗== Ecuación No. 4.5

Ingreso marginal Se define como la razón de cambio del ingreso respecto al número de unidades vendidas q y se puede interpretar como el ingreso aproximado por unidad adicional vendida.

Ingreso marginal = dqdI = I’(q) Ecuación No. 4.6

Ejemplo Si se venden q unidades de un producto q a un costo de 750 por unidad. Determine el ingreso marginal cuando el nivel de producción es q = 1.000 unidades. En este caso:

I = número de unidades x precio unitario

129


q750)750(q)q(I == El ingreso marginal es:

I’(q) = 750

Nótese que el ingreso marginal I’(q) en este caso es independiente del número de unidades vendidas.

4.1

4. La función de costo total para determinado producto es C(q) = 5000q12 3 + .

Donde q está en unidades de producto y C’(q) está en pesos. ¿Cuáles son los costos fijos?. ¿Cuál es el costo marginal cuando el nivel de producción es de q = 50 unidades?

5. La función de costo promedio para cierto producto es:

q400000q3q80)q(C 2 ++= donde )q(C está en pesos. Determine el costo

marginal cuando el nivel de producción es de 300 unidades. 6. Determine la función de ingreso total y el ingreso marginal para q unidades

vendidas de un producto cuyo precio unitario es $48. 7. Investigue las formas más usuales de la función de demanda y describa cómo

es su comportamiento. Trace una gráfica típica. Minimización del costo de producción Supóngase que se desea minimizar el costo de producción. Dada una función de costo total C = C(q), se busca el nivel de producción (q unidades producidas) donde C sea mínima. Para esto podemos aplicar la teoría de máximos y mínimos. Se encuentra C’(q) y se hallan valores críticos de C(q); el costo mínimo de producción ocurrirá en el valor crítico q=c tal que C’’(q) > 0 por el criterio de la segunda derivada. Ejemplo La función de costo total para cierto producto es:

C(q) = 300q50q5 2 +− donde C(q) está en pesos. Se desea hallar el nivel de producción para que el costo sea mínimo. Al derivar, para hallar un valor crítico de C(q); tenemos:

C’(q) = 5(2q) – 50 = 10q – 50

130


En C’(q) = 0 hay un valor crítico entonces:

050q10 =− 10q = 50

q = 5 unidades

Además C’’(q) = 10 > 0; por lo tanto en q = 5 unidades el costo es mínimo por el criterio de la segunda derivada. En q = 5 unidades se tiene:

300)5(50)5(5)5(C 2 +−= 300250125250)25(5)5(C +−=−=

175)5(C =

Es decir cuando se fabrican 5 unidades de dicho producto el costo total de producción es mínimo. Dicho costo es de C=175 pesos. Ejemplo

Para cierto fabricante la función de costo total está dada por 125q1025q)q(C

2++= .

Determinar el nivel de producción en el cual el costo promedio es mínimo. El costo promedio está dado por la función:

q125

qq10

q5

q

q)q(C)q(C

2

++==

q12510

5q)q(C ++=

El costo promedio mínimo puede hallarse determinando C ’(q). Al derivar tenemos:

C ’(q)= 2

2

2 q625q

q125

51 −

=−

Al resolver C ’(q) los puntos críticos de C (q):

0q

625q2

2=

−

0625q2 =− )25q)(25q( +−

131


Como q > 0 entonces q = 25

En q = 25 hay un valor crítico de C (q). , además:

C’(q)= 22 q125

51

q125

51 −−=−

Al derivar nuevamente:

C’’(q) 33

q250q)2(1250 =−−= −

Entonces tenemos que para q =25:

C’’(25) 025250

3 >=

Entonces por el criterio de la segunda derivada C (q) tiene un mínimo en q = 25 unidades. Maximización de la utilidad En ciencias económicas administrativas, una de las aplicaciones más importantes del cálculo es la maximización de las utilidades. Si I = I(q) representa la función de ingreso total y C=C(q) representa la función de costo total (en donde q representa el nivel de producción o número de unidades de producto), la utilidad U está dada por:

Utilidad =Ingreso total – Costo total

U = U(q) = I(q)-C(q) Ecuación No. 4.7 Nótese que U también es una función que depende de q. Es importante hacer notar que si p=f(q) es la función de demanda, representando p el precio por unidad; y q el número de unidades producidas y vendidas, la función de ingreso total estará dada por:

Ingreso total =precio*número de unidades Matemáticamente esto se puede expresar como: I(q)=q*p

I(q)=q*f(q) Ecuación No. 4.7

Al sustituir en la función de Utilidad tenemos:

U(q)= q*f(q)-C(q) Si se desea maximizar el nivel de utilidad, por la teoría de máximos y mínimos aplicada a la función de utilidad (que depende únicamente de la variable q) tenemos que se debe encontrar un número crítico de la función de utilidad U(q). Para esto derivamos la función de utilidad y se iguala a cero. Es decir se encuentran los valores de q tales que se satisface la ecuación:

132


U’(q)=0 Además, por el criterio de la segunda derivada, si q=c, es un número crítico de la función de utilidad, U(q) tendrá un máximo si

U’’(q)<0. Ahora bien, como la función de utilidad U está dada por

U=U(q)=I(q)-C(q) Al derivar, se obtiene:

U’(q)=I’(q)-C’(q) E igualando a cero tenemos:

I’(q)-C’(q)=0 La derivada de la función de ingreso total, es el ingreso marginal y la derivada de la función de costo total es el costo marginal; entonces la última ecuación, puede reescribirse como:

I’(q)=C’(q) Ecuación No. 4.8 Es decir:

Ingreso Marginal = Costo Marginal De lo anterior podemos concluir, que un número crítico de la función de utilidad ocurre en los valores de q donde el ingreso marginal y el costo marginal son iguales. En condiciones normales, precisamente en ese valor se obtiene el nivel de utilidad máxima. Es decir se satisface que U’’(q)<0 de acuerdo con el criterio de la segunda derivada. A continuación se muestra la aplicación de estos conceptos. Ejemplo La función de demanda para determinado producto está dada por p=f(q)=530-q. Además supóngase que la función de costo promedio está dada por

q90010q3.c ++= en donde q representa el número de unidades y las expresiones p

y c están dadas en dólares por unidad. Determinar la función de ingreso total, la función de costo total, el nivel de producción en el que ocurren las utilidades máximas y el precio por unidad para esta utilidad máxima. ¿Cuál es la utilidad máxima? La función de ingreso total I(q) es:

[ ] 2qq530q530*q)q(f*qp*q)q(I −=−=== La función de costo total estará dada por:

q*q

90010q3.q*c)q(C

++==

900q10q3. 2 ++=

133


Para poder conocer el nivel de las utilidades máximas, debemos definir la función de utilidad:

[ ] [ ]900q10q3.qq530)q(C)q(I)q(U 22 ++−−=−= 900q10q3.qq530)q(U 22 −−−−=

900q3.1q520)q(U 2 −−= Al derivar tenemos: q6.2520)q('U −= Igualando esta derivada a cero para obtener los valores críticos de U(q), tenemos:

0q6.2520 =− Al despejar q se obtiene:

q6.2520 =

q6.2

520=

q200 = Como U’’(q)=-2.6<0, U(q) tiene un máximo en q=200 por el criterio de la segunda derivada. El precio está dado por: p=f(q)=530-q p=f(200)=530-200= $330 dólares Finalmente la utilidad total 900q3.1q520)q(U 2 −−= será para q=200:

900)200(3.1)200(520)200(U 2 −−= 90052000104000)200(U −−=

dolares 51100 $)200(U = Es decir en un nivel de 200 unidades producidas y vendidas se obtiene una utilidad máxima de 51110 dólares. Ejemplo Un grupo editorial realiza un estudio de mercado con el fin de determinar el número de suscriptores necesarios para su próximo proyecto (la puesta en circulación de una revista mensual) de tal manera que se logren los máximos ingresos anuales. De acuerdo con el estudio, para un potencial de 5000 usuarios el valor de la suscripción anual es $ 65000 pesos. El estudio revela que, si se disminuye en $500 pesos la suscripción, el número de clientes aumenta en 50. Determinar el número de usuarios que maximicen los ingresos. Supóngase que se disminuye “x” veces el precio de la suscripción. Por lo tanto el precio de la suscripción individual será:

P = 65000 –500x El número N de usuarios será entonces de:

N = 5000 + 50x Por lo tanto el ingreso total I estará dado por:

134


I = NP I = (5000 + 50x)(65000-500x)

Como el precio no puede ser negativo debe tenerse que: 65000-500x > 0

Lo que implica que: 0 < x < 130

Para hallar el nivel de ingreso máximo se resuelve la ecuación I ‘(x) = 0 y se encuentran valores críticos de I(x). Por la regla del producto para derivar tenemos:

I ‘(x) = 50(65000 – 500x) + (5000 + 50x) (-500) Después de simplificar obtenemos:

I ‘(x) = 750000 – 50000x Entonces :

750000 – 50000x = 0 De donde.

x = 15 Además como I ‘’(x)= -50000 < 0, entonces en x=15 hay un máximo de la función de ingreso total. El número de suscriptores que maximizan el ingreso total es:

N = 5000 + 50(15) = 5750

4.2

3. Cierto fabricante ha determinado que la función de demanda para su producto

está dada por p=f(q)=500-q y que el costo promedio de producir q unidades se

rige por la función q

100050q5.0c ++= donde el costo promedio y la función

de demanda están dados en dólares por unidad.

• Determine las funciones de Ingreso total y Costo total. • Encuentre el nivel de producción que maximiza las utilidades, la utilidad

máxima y el respectivo precio unitario del producto.

4. La función de costo total para cierto fabricante es C(q)= 1250q1000q5.0 2 ++ . Determine el nivel de producción para el cual el costo promedio es mínimo.

En el presente UNIDAD TEMÁTICA se abordaron los conceptos básicos de la teoría de costos: costo total, promedio y marginal, ingreso total y marginal. Se definió la función de demanda.

135


Si C(q) es el costo total e I (q) es el ingreso total entonces la utilidad está dada por U(q)= I (q) – C(q). El ingreso I (q) depende del precio y el número de unidades I (q) = pq. Si se conoce la función de demanda p = f(q), el ingreso total está dado por I (q)=qp = q f(q). El mínimo del costo total de producción ocurre en q=c. Sí q’(c) = 0 y q’’(c) > 0.

El valor máximo de la utilidad generalmente se tiene cuando el ingreso marginal es igual al costo marginal.

Bittinger, Marvin L. Cálculo para Ciencias Económico-Administrativas. Editorial Addison Wesley. Séptima Edición, 2002. Haeussler, Ernest F. Matemáticas para Administración, Economía, Ciencias Sociales y de la Vida. Editorial Prentice Hall. Octava Edición, 2001. Tam, S. Matemáticas para Administración y Economía. Editorial Thomson.1999

En este UNIDAD TEMÁTICA se da por finalizado el estudio de las matemáticas básicas que involucran el cálculo diferencial. Este corresponde a una de las herramientas más poderosas que se pueden aplicar en la solución de diferentes problemas que van, desde la teoría de costos en economía, pasando por diferentes aplicaciones en las ciencias puras y sociales, hasta llegar al cálculo de probabilidades para distribuciones continúas.

136


Nº 8 Nombre_________________________________________________________ Apellidos ______________________________Fecha ____________________ Ciudad _______________________________Semestre__________________

1. La función de costo promedio para un producto es:

2. C (q)=q

2000q10q100 2 ++ Determine: el costo de producir 100 unidades, el

costo aproximado de producir la unidad 101, el costo real de producir esta unidad adicional y compare los resultados obtenidos. ¿Qué concluye?

3. El costo total de producir cierto producto está dada por:

q2006006

q)q(C2

++= . Determine el nivel de producción de tal forma que el

costo promedio por unidad sea mínimo.

4. Las funciones de demanda y costo promedio para cierto producto son

respectiva-mente: q22000)q(fp −== y C (q)=q

5000q500 ++ .

Hallar las funciones de ingreso y costo total, la función de utilidad y el nivel de producción que maximiza esta utilidad.

137

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ANALISIS MATEMATICO