Análisis numérico de un modelo de difusión con saltos, aplicado a la valoración de opciones financieras

7/26/2019 Anlisis numrico de un modelo de difusin con saltos, aplicado a la valoracin de opciones financieras.

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UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID

TRABAJO DE FIN DE GRADO

Anlisis numrico de un Modelo de Difusincon Saltos, aplicacin a la valoracin deopciones financieras

Alumno: Gabriela Raluca Oros

Tutores: Juan Antonio Infante, Gerardo Oleaga


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ndice general

Resumen 1

1. Clculo estocstico y modelo de Black-Scholes 3

1.1. Paseo aleatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Movimiento browniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1. Movimiento browniano aritmtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.2. Movimiento browniano geomtrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3. Modelo de Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2. Modelo de difusin con saltos 11

2.1. Modelo de evolucin de precios de un activo . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2. Modelo de evolucin de precios de una opcin . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3. Valoracin de opciones europeas 21

3.1. Ecuacin de Black-Scholes-Merton para una opcin europea . . . . . . . . . 21

3.2. Condiciones iniciales y de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3. Solucin de la ecuacin de Black-Scholes-Merton para una opcin europea . 24

3.3.1. Mtodo de diferencias finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3.1.1. Mtodo explcito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3.1.2. Mtodo semi-implcito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3.1.3. Mtodo de Crank-Nicolson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4. Simulaciones y resultados 35

4.1. En ausencia de saltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2. Incorporando los saltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Conclusiones 40


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Resumen

El estudio se centra principalmente en la valoracin de opciones europeas utilizando laecuacin de Black-Scholes, cuando el precio del activo subyacente sigue un modelo de

difusin con saltos. El objetivo es simular el comportamiento del precio de la opcin.Se sigue la siguiente estructura. En el primer captulo se introducen herramientas del clculoestocstico y se estudian algunos modelos matemticos simples para describir el compor-tamiento del precio de las acciones, como el paseo aleatorio y el movimiento browniano,conceptos que se utilizarn a lo largo del trabajo y que ayudarn a hacerse una idea delproblema de valoracin. Tambin aqu se presenta el modelo estndar terico de valora-cin de opciones financieras, el modelo de Black-Scholes. En el segundo captulo asumimosque el precio del subyacente incorpora variaciones significativas en periodos discretos y sepresenta el modelo de difusin con saltos. En el tercer captulo se desarrolla la ecuacin endiferencias parciales de Black-Scholes para el caso en el que el subyacente siga un procesode difusin con saltos, y se busca una solucin numrica a la misma haciendo uso del m-

todo en diferencias finitas. El trabajo termina con un modelo numrico para la valoracinde una opcin europea de compra. En el cuarto captulo veremos un ejemplo de simulacinnumrica, variando el nmero medio de saltos esperados a lo largo de un ao, (parmetrode intensidad), y la desviacin tpica del proceso lognormal del tamao del salto.

El trabajo se basa sobre todo en los dos artculos siguientes: Option pricing when un-derlying stock returns are discontinuous [5], de Robert Merton, y Numerical Analysis ofJump Diffusion Models: A Partial Differential Equation Approach [9], de Daniel Duffy,aunque se han consultado otras referencias que se citarn a lo largo del trabajo.

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Summary

This work focuses on the valuation of European options using the Black-Scholes equation,when the price of the underlying asset follows a jump-duffusion model. The purpose is to

simulate the option price behavior.This is structured as follow. In the first chapter, stochastic tools and simple mathematicalmodels are introduced to describe the behavior of stock prices, as the random walk andBrownian motion. Also here, the Black - Scholes model is described, which gives a theore-tical estimate of the price of European options. In the second chapter, the jump-diffusionmodel is presented. In the third chapter, the Black-scholes partial diferential equations isderivated and solved. In the fourth chapter, an example of numerical simulation is seen.

This work is based on the following two articles: Option pricing when underlying stockreturns are discontinuous [5], by Robert Merton, and Numerical Analysis of Jump Dif-fusion Models: A Partial Differential Equation Approach [9], by Daniel Duffy, although

other references are cited along the work.

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Captulo 1

Clculo estocstico y modelo deBlack-Scholes

En este primer captulo comenzamos estudiando algunos modelos matemticos simples, elpaseo aleatorio (en tiempo discreto) y el movimiento browniano (en tiempo continuo), paradescribir el comportamiento del precio de las acciones y presentamos el denominado Mo-delo de Black-Scholes, bajo ciertas hiptesis del mercado, como un movimiento brownianogeomtrico. Este captulo se basa en el libro Financial Derivatives: Pricing, Applicationsand Mathematics, deJamil Baz y Georfe Chacko [1] aunque tambin se han consultadootras referencias, las cuales se han citado explcitamente a lo largo del captulo.

1.1. Paseo aleatorio

Imaginemos un objeto (una partcula, el precio de una accin,...) situado en una recta.En cada paso el objeto se desplaza hacia la derecha o hacia la izquierda una pequeacantidad xcon probabilidad p o q= 1 p, respectivamente. El recorrido que realizamoses aleatorio: es un paseo aleatorio (en ingls, random walk). De una manera ms formal,para cada paso i del paseo aleatorio, donde i= 1, 2, 3...hay una variable aleatoria Zi quepuede tomar los valores +11con probabilidad py q, respectivamente. Los valores Zison independientes e idnticamente distribuidos.

El objeto se mueve un paso por unidad de tiempo t. En el instante t = nt, es decirdespus den pasos, Xt, la posicin en el paseo aleatorio en el instantet, es la suma de losnpasos realizadosZ1, Z2,...,Zn :

Xt= Z1+ Z2+ ... + Zn.

Nos preguntamos: Dnde esperamos que el objeto est despus de npasos? Cmo de ale-jado estar del origen? Estas preguntas se pueden expresar matemticamente contestandoa: Cul es la esperanza de Xt, E[Xt]? y Cul es su varianza, Var(Xt)?.

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CAPTULO 1. CLCULO ESTOCSTICO Y MODELO DE BLACK-SCHOLES 4

La esperanza y varianza de cada paso individual i es:

E[Zi] = (p q)xVar(Zi) =E[Z2i] (E[Zi])2 = (x)2 [1 (p q)2] = 4pq(x)2.

Como el operador esperanza es aditivo, la distancia total esperada es n veces la esperanzadeZi:

E[Xt] =n E[Zi] =n(p q)x.

Conforme pasa el tiempo, la variable aleatoria tendr que alejarse del origen. Para compro-barlo calculamosV ar(Xt). ComoXtes la suma denvariables independientes con varianza4pq(x)2, la varianza de la suma es la suma de las varianzas de las variables:

Var(Xt) = 4npq(x)2

.

La varianza de la distancia desde el origen es por lo tanto proporcional al nmero depasos. Pero recordamos que cada paso corresponde exactamente a una unidad de tiempo.Se deduce entonces que la varianza de la posicin es proporcional al tiempo.

En el caso particular, cuando p= q= 1/2, tenemos que 4pq= 1. Si pensamos en ncomoel nmero de unidades de tiempo, V ar(Xt)se puede reescribir de la siguiente manera:

Var(Xt) =nmero de unidades de tiempo (x)2.

1.2. Movimiento browniano

Luis Bachelier, en su tesis doctoral La teora de la especulacin (1900), hizo el primeresfuerzo por utilizar las matemticas para predecir el comportamiento del mercado de ac-ciones. Desarroll el concepto de procesos estocsticos e intent valorar contratos comofuturos1 y opciones. En su tesis postula que los precios de los activos siguen un movi-miento browniano con una determinada tendencia o deriva y un factor, hoy muy popular,la volatilidad. La informacin (positiva y negativa) llega aleatoriamente a los mercadostirandando de los precios en ambas direcciones, con lo cual, la volatilidad mide la amplituddel impacto de la informacin recibida sobre los precios. [2]

1.2.1. Movimiento browniano aritmtico

Volvemos a la descripcin del paseo aleatorio simple. Recordamos que la esperanza y va-rianza de la posicin de un objeto en el instante t = nt, despus de n pasos, son:

E[Xt] = n(p q)xVar(Xt) = 4npq(x)2 = 4

t

tpq(x)2.

1Acuerdo para comprar o vender un activo en una fecha especfica en el futuro a un precio determinado.


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Fijmonos ahora en las propiedades de un paseo aleatorio en un tiempo continuo. Paraun t dado, la longitud del intervalo ty el tamao del pasoxse harn arbitrariamente

pequeos (tendern a cero), mientras que el nmero de pasos correspondientes nse harmuy grande (tender a infinito).

Cmo podemos calibrar los parmetros del paseo aleatorio (p,qy x) para obtener unadistribucin continua en el tiempo, Xt, con media y varianza2 instantneas constantespor unidad de tiempo?

E[Xt] = t

t(p q)x t (1.2.1)

Var(Xt) = 4 t

tpq(x)2 2t (1.2.2)

La solucin de (1.2.1) y (1.2.2), viene dada por:

p = 1

2+

t

2

q = 1

2

t

2 (1.2.3)

x =

t.

Obsrvese que todo est escrito en trminos del paso del tiempo.

El proceso lmite para t 0 de Xt se denomina movimiento browniano aritmtico con

deriva y volatilidad . ste es similar al paseo aleatorio en tiempo discreto discutidoantes:

MBA1. X(0) = 0.

MBA2. Los incrementos son independientes. Es decir, Xt X0 y Xt+h Xh sonindependientes para todo h >0.

MBA3. Xttiene mediat y varianza2tpor la construccin anterior.

Adems, se puede demostrar que Xt sigue una distribucin normal aplicando el TeoremaCentral del Lmite2. Demostraremos este resultado calculando la funcin generatriz de

momentos de Xt.

La funcin generatriz de momentos para un slo paso Zi es:

E[eZi ] =pex + qex.2

Teorema Central del Lmite. SeaX1, X2,...,Xnun conjunto de variables aleatorias, independientese idnticamente distribuidas con media y varianza 0 < 2 < . Sea Sn= X1+ ...+Xn entonces:

lmn

P r

Sn n

n z

= (z)

donde(z) es la funcin de distribucin de la normal estndar N(0,1), para cada nmero real z.


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Es fcil ver que la funcin generatriz de momentos de Xt es la n-sima potencia de laexpresin de arriba. Como Zi son independientes se tiene que:

E[eXt ] =E[e(Z1+...+Zn)] =E[eZ1 ] ... E[eZn] = (pex + qex)n.

Sustituyendo ahora en la expresin de arriba por los valores de p, qy xantes obtenidos(1.2.3), tenemos:

E[eXt ] =

(

1

2+

t

2 )e

t + (

1

2

t

2 )e

t

n(1.2.4)

Comot puede hacerse tan pequeo como deseamos, ser la unidad de tiempo ms pequeade inters para nosotros. Cualquier cantidad de orden (t)n con n >1 ser despreciada y

se denotar por o(t)que significa:

lmt0

o(t)

t = 0.

Por ejemplo: (t)2 = o(t) y (t)3/2 = o(t), pero

t= o(t) porque el cocientetiende a infinito cuandottiende a cero.

Explicado esto, escribimos el desarrollo de Taylor de las exponenciales que aparecen en laecuacin (1.2.4):

et = 1 +

t +

22t

2

+ o(t)

et = 1

t +

22t

2 + o(t).

Sustituyendo estos dos desarrollos de Taylor en (1.2.4) y realizando algunas operacionesaritmticas obtenemos:

E[eXt ] =

1 + ( +

22

2 )t + o(t)

n.

Pero t= tn . Como el nmero de pasos n y el incremento de tiempot 0, en ellmite a tiempo continuo la funcin generatriz de momentos se convierte en:

lmnE[e

Xt ] = lmn

1 +

( + 22

2 )t

n

n= e(+

22

2 )t.

Esto es precisamente la funcin generatriz de momentos de una distribucin normal conmedia t y varianza 2t. Por lo tanto, Xt se distribuye segn una normal y puede serestandarizada, restando su media y dividiendo por su desviacin tpica:

Xt t

t= Xt= t +

t. (1.2.5)


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donde N(0, 1)es una variable aleatoria normal estndar.Podemos reescribir el movimiento browniano aritmtico segn:

Xt= t + Wt (1.2.6)

dondeWtse denomina proceso de Wiener estndar, Wt =

t, que se distribuye normal-mente con:

E[Wt] =E[

t] =

t E[] = 0Var(Wt) =Var(

t) =t Var() =t.

La ecuacin (1.2.6) escrita en forma diferencial viene ser:

dXt= dt + dWt (1.2.7)

en la cual dXty dWtse definen como:

dXt = Xt+dt XtdWt = Wt+dt Wt =

dt.

La ecuacin (1.2.7) se denomina ecuacin diferencial estocstica.

1.2.2. Movimiento browniano geomtrico

La formulacin de Bachelier no resulta adecuada para describir los precios pues el procesoque l utiliza admite valores negativos. Sin embargo, realiza un aporte fundamental al serel primero en proponer la no predictibilidad del mercado utilizando un modelo estocsticocontinuo que es fundamental para construir otros modelos ms realistas.

Posteriormente, Paul Samuelson propuso el movimiento browniano geomtrico, que l llammovimiento browniano econmico. ste al modelizarse sobre las rentabilidad de los activosgarantiza la posibilidad de los precios. Samuelson postulaba el paradigma actual de que:Los rendimientos de los activos siguen un movimiento browniano con deriva, pero noidentifica qu deriva, lo que habra que esperar a los trabajos de Black, Scholes y Merton.[2]

Una variable Xtsigue un movimiento browniano geomtrico si verifica la siguienteecuacin diferencial estocstica:

dXt= Xtdt + XtdWt.

SeaStel precio de una accin a tiempo t. Entonces el proceso se reescribira:

dStSt

=dt + dWt. (1.2.8)


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Encontramos dos parmetros. Por una parte, tenemos la rentabilidad futura que vienedeterminada por , y por otra parte, la volatilidad que se denota por . Cuanto ms

grande es , mayor es la variacin de la rentabilidad, es decir, mayor es la incertidumbreque tenemos sobre los movimientos del activo. Los mercados voltiles son aquellos en losque se observan grandes oscilaciones, con gran incertidumbre.

Por ltimo, se puede observar que el rendimiento dStSt en el intervalo de tiempo dt sigueuna distribucin normal con media dt y varianza 2dt. Es decir:

dStSt

N(dt, 2dt)

Este modelo de precios es el que utilizaremos para deducir la ecuacin de Black-Scholes.

A continuacin vamos a resolver la ecuacin diferencial (1.2.8). Utilizando el lema de ItparaF(St, t) =log(St)se tiene:

dF = F

tdt +

F

SdSt+

2F

S2dS2t

donde

F

t = 0

F

S =

1

St2F

S2 =

1S2t

.

Entonces:

d(log(St)) = 0 + 1

St(Stdt + StdWt) +

1

2(1S2t

)S2t 2dt

= ( 2

2)dt + dWt.

La interpretacin de la ecuacin diferencial es:

log(St) log(S0) = t

0( 2

2)d+

t

0dW

= ( 2

2)t + Wt

Con lo cual la solucin de (1.2.8) viene dada por:

St= S0e

22

t+Wt

dondeWt=

tcon N(0, 1).


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La expresin anterior permite simular fcilmente evoluciones de precios para S0, y conocidos. El algoritmo es el siguiente:

Algoritmo 1.1Simulacin del Movimiento Browniano Geomtrico

V alores iniciales: t0 = 0, S0, , , dt,

para j = 1,2...

tj =tj1+ dt N(0, 1)Sj =Sj1exp(

2

2)dt +

dt

Veamos un ejemplo. Consideramos una accin que no paga dividendos con precio inicial50$, un rendimiento esperado de 10% anual y una volatilidad de 20% anual. Es decir,S0 = 50, = 0,1 y = 0,2 . En la figura (1.2.1) se puede ver una simulacin de 10trayectorias aleatorias que sigue el precio de esta accin a lo largo de 1 ao.

Figura 1.2.1: Simulacin de 10 trayectorias del movimiento browniano geomtrico


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1.3. Modelo de Black-Scholes

En la primavera de 1973, Fisher Black y Myron Scholes presentaron en el artculo ThePricing of Options and Coporate Liabilities [6], publicado en el Journal of Political Eco-nomy, el modelo estndar terico de valoracin de opciones financieras. El modelo asumeun conjunto de condiciones iniciales para el mercado del activo subyacente y de la opcin:

1. El precio del activo sigue un paseo aleatorio en tiempo continuo. Por lo tanto, ladistribucin de los posibles precios del activo al final de cualquier intervalo de tiempoes log-normal. La varianza del activo es constante.

2. La tasa de inters a corto plazo es conocida y constante a travs del tiempo.

3. El activo no paga dividendos, ni realiza otro tipo de distribucin de flujos.4. La opcin es europea, es decir, slo puede ser ejercida al vencimiento.

5. Mercado sin friccin, es decir, no existen costos de transaccin al comprar o venderel activo subyacente.

6. Es posible pedir prestada cualquier fraccin del valor de un activo a la tasa a cortoplazo.

7. Es posible vender corto (short selling).3

Algunos de estos supuestos han sido relajados para hacer el modelo aplicable a otros activoso para reconocer la realidad de los mercados, mientras que otros claramente fundamentanel modelo. El ms significativo de estos supuestos es el primero, el cual, asume que ladinmica de los precios sigue un movimiento browniano o de paseo aleatorio.

Asumir el movimiento browniano de los cambios de precios incluye, entre otros, los siguien-tes supuestos:

1. Los cambios en el precio de los activos son estacionarios, por lo que las caractersticasdel proceso (tendencia y volatilidad) no cambian en el tiempo.

2. Los cambios en el precio de los activos son independientes, por lo que no existe

correlacin con cambios anteriores.3. Los cambios en el precio de los activos son continuos, sin saltos.

Asumiendo estas condiciones iniciales, en el captulo 3 vamos a deducir la ecuacin deBlack-Scholes y dar una solucin para la misma.

3El inversor en lugar de pedir dinero prestado para comprar valores, puede pedir prestados valoresy comprar dinero. Es decir, puede vender los valores que le prestan y obtener dinero a cambio. Esto sellama vender corto y permite vender activos que no se poseen. Tambin se conoce como short selling oshorting.


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Captulo 2

Modelo de difusin con saltos

El proceso de difusin con saltos implica la posibilidad de que la rentabilidad de un activoexperimente, de vez en cuando, modificaciones significativas seguidas de perodos de pocavariacin. Analticamente, la tasa de variacin de los precios del activo se compone dedos trminos: el correspondiente a variaciones reducidas, que se modelan con un procesode difusin, y el correspondiente a las modificaciones importantes, es decir, los cambiosinesperados conocidos como saltos, que se modelan mediante un proceso de Poisson. For-malmente, un proceso de salto tiene trayectorias discontinuas con probabilidad 1, mientrasque un proceso de difusin tiene trayectorias continuas con probabilidad 1.

La figura (2.0.1) permite visualizar ms claramente las diferencias entre los tres procesos:

proceso puro de difusin, proceso puro de salto y proceso de difusin con salto.

Figura 2.0.1: Distintos comportamientos del precio de un activo

La trayectoria que sigue el precio de un activo en el proceso puro de difusin es continuacon una tendencia positiva o negativa, pero constante. En el proceso de difusin con saltosdesaparece la continuidad en aquellos momentos en el tiempo cuando se producen saltos ovariaciones significativas en el precio del subyacente, mientras que la tendencia se mantiene.Cuando no hay discontinuidades, la dinmica del activo subyacente es similar al de unproceso puro de difusin.

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CAPTULO 2. MODELO DE DIFUSIN CON SALTOS 12

El propsito de este captulo es estudiar la dinmica del precio del activo subyacente cuandosufre cambios. Este captulo se basa en el artculo Option pricing when underlying stock

returns are discontinuous, deRobert Merton [5], aunque tambin se han consultado otrasreferencias, las cuales se han citado explcitamente a lo largo del captulo.

2.1. Modelo de evolucin de precios de un activo

El cambio en el precio del activo se puede generar por dos tipos de variaciones:

1. Las variaciones normales del precio, que se deben a un desequilibrio entre la oferta yla demanda, cambios en las tasas de capitalizacin o la llegada de nueva informacinque producir un cambio marginal en el precio del activo subyacente. Este tipo de

cambio se modela mediante el movimiento browniano geomtrico estndar con unavarianza constante por unidad de tiempo y tiene trayectorias continuas.

2. Las variaciones anormales del precio, que se deben a la llegada de informacinnueva y significativa que producir un cambio no marginal de mayor magnitud. Estetipo de informacin llega a los mercados slo en algunos momentos en el tiempo. Semodela mediante procesos estocsticos de saltos, reflejando el impacto no marginalde la informacin.

Para ser coherente con la teora general de los mercados eficientes1, la dinmica de uncambio no esperado en el precio deber ser una martingala2, por lo tanto, dicho proceso en

que cambia el precio del activo debe ser un proceso de Wiener mientras que el salto serun proceso de Poisson.

Consideramos la evolucin del precio de un activo subyacente St dado por el movimientobrowniano geomtrico sin saltos:

dStSt

=dt + dWt (2.1.1)

dondeWtsigue un proceso de Wiener, tal que dWt=

dtcon N(0, 1). Es decir,dWttiene una distribucin normal con media cero y desviacin tpica

dt. Sabemos tambin

que(dWt)2 =dt y que dWtson todas independientes entre s.

La parte del salto se modeliza de la siguiente manera. Se asume que la variable que deter-

mina el nmero de saltos hasta tiempot es Jt, dondeJt= Jt+t Jtson los saltos en elintervalo[t, t + t], tiene distribucin de probabilidad:

Jt =

0 con probabilidad 1 t + o(t)1 con probabilidad t + o(t)

>1 con probabilidad o(t)

1Se pueden describir mediante dos conceptos: toda la informacin del activo est reflejada en el precioactual y que los mercados responden inmediatamente a cualquier informacin nueva acerca de un activo.

2Proceso estocstico caracterizado por no tener deriva, es decir, cuando su esperanza en tiempo futuroes precisamente el valor que la variable tiene en tiempo presente.


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con parmetro de intensidad o tasa 0. Este parmetro representa el nmero medioesperado de llegadas de informacin por unidad de tiempo.

Ms precisamente,

- La probabilidad de que no ocurra ningn salto en el periodo determinado es:1 dt + o(dt)

- La probabilidad de que ocurra slo un salto en el periodo determinado es:dt + o(dt)

- La probabilidad de que ocurra ms de un salto en el periodo determinado es:o(dt)

Por lo tanto, existe una probabilidad finita de que ocurra un salto en un tiempo finito.Notese que E[dJt] = dt. El salto ocurre con la llegada de informacin sobre el activo,asumiendo estas llegadas de informacin independientes e idnticamente distribuidas.

Suponiendo que ocurre un salto, es decir la llegada de nueva informacin, hay un ciertoimpacto en el precio del activo subyacente. Es decir, sea Stel precio del activo en el tiempot y sea Yt la variable aleatoria que representa este impacto, entonces el precio del activoen el tiempo t+ t viene dado por la variable aleatoria St+t = StYt asumiendo que lainformacin llega en el intervalo (t, t + t).Notese que Ytindica el salto a tiempo t como proporcin sobre el precio actual:

Yt=St+t

St

StSt

=St+t St

St=

St+tSt

1 =Yt 1

Vamos a modelizar el tamao de salto del precio, Yt, como una variable aleatoria no negativaque sigue una distribucin lognormal, es decir:

log(Yt) i.i.d. N(, 2).

Su funcin de densidad viene dada por:

fY(y) = 1

2exp

1

2

y

2

donde y son la media y desviacin tpica, respectivamente, de la variable Y.

Con lo cual, (Yt 1)es una variable lognormal con media: [12]

E[Yt 1] =e+2

2 1 :=.

Resumiendo, la variable Ytverifica las propiedades:


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P1. Yt 0. Cuando la variable es igual a 1 no hay saltos, si es menor que 1 el saltoes hacia abajo y si es mayor que 1 es hacia arriba.

P2. Ytes independiente deYtsi t =ty tienen idntica distribucin de probabilidad.P3. La distribucin deY condicionada a que haya salto (es decir,Y >0) es continua.

El proceso completo de difusin con saltos puede escribirse ahora como:

dStSt

=dt + dWt+ (Yt 1)dJt. (2.1.2)

Teniendo en cuenta que:St = St+t St

y por otro lado que:St= St[t + Wt+ (Yt 1)Jt]

la evolucin de Stviene dada por:

St+t= St[1 + t + Wt+ (Yt 1)Jt]. (2.1.3)

Al calcular el valor esperado en la medida neutral al riesgo obtenemos:

St= E[ St+t1 + rt

] St (1 + rt) = E[St+t]

Usando ahora la evolucin de St (2.1.3) y asumiendo conocido el estado del mercado atiempo t, tenemos que:

St(1 + rt) = E[St (1 + t + Wt+ (Yt 1)Jt)]= St E[1 + t + Wt+ (Yt 1)Jt]

ComoWt N(0,

t), la frmula de valoracin nos da:

rt= t + E[(Yt 1)Jt]

Calculamos entonces el segundo sumando. Para ello tenemos que condicionar a que secumpla el salto o no:

E[(Yt 1)Jt] = E[(Yt 1)Jt| salto] P(salto) + E[(Yt 1)Jt| no salto] P(no salto)= E[(Yt 1)Jt| Jt = 1] (t + o(t)) +

+E[(Yt 1)Jt| Jt= 0] 0

(1 t + o(t))


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Gracias a la propiedadP2 de Yt, definimos:

E[(Yt 1)Jt| Jt= 1] = E[Yt 1] =.Obtenemos as una condicin de compatibilidadque viene expresada por:

rt= t + [t + o(t)]

= r (2.1.4)

Incorporando la condicin (2.1.4) a la ecuacin (2.1.2), la ecuacin diferencial estocsticacon difusin de saltos para un activo subyacente bajo la medida neutral al riesgo vieneexpresada por:

dStSt = (r-)dt + dWt+ (Yt 1)dJt (2.1.5)

donde S, precio del activo subyacente

dW, proceso estandar de Weiner

dJ, proceso independiente de Poisson con intensidad de salto

dW y dJ se suponen independientes

r, tasa de inters libre de riesgo

,la volatilidad, la media de llegadas de informacin por unidad de tiempo

= E[Y 1],donde (Y 1)funcin impulso produciendo un salto de S a SYy E representa el valor esperado en la medida neutral al riesgo de la variablealeatoria.

Observamos que un proceso de difusin con saltos siempre contiene dos partes: una partede difusin y otra parte de salto. La parte de difusin viene determinada por el movimientobrowniano geomtrico que modela cambios pequeos en el precio del activo subyacente, los

cuales siempre estn presentes, y la parte de salto por el proceso de Poisson que modelacambios inesperados en el precio del subyacente, los cuales ocasionalmente ocurren.

La ecuacin (2.1.5) se puede reescribir:

dStSt

=

(r-)dt + dWt si el proceso de Poisson no sucede

(r-)dt + dWt+ (Yt 1) si el proceso de Poisson sucede

A continuacin vamos a resolver la ecuacin diferencial (2.1.2), aplicando el lema de ItparaF(St, t) = log(St).


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La parte de salto queda simplificada especialmente si consideramos que Yes lognormal, esdecir,Y =eN donde N es una variable aleatoria normal. En este caso:

F

StYt

St

=F(StYt) F(St) = log Yt= Nt

Para la parte difusa hacemos el clculo usual:

dF = F

tdt +

F

SdSt+

2F

S2dS2t

donde

F

t = 0

FS

= 1St

2F

S2 =

1S2t

Por lo tanto,

d(log(St)) = ( 2

2)dt + dWt+ NtdJt

La interpretacin de la ecuacin diferencial es:

ln(St) ln(S0) = t

0 ( 2

2)d+ t0 dW+

t0 NdJ

= ( 2

2)t + Wt+

i

Ni

= (r 2

2 )t + Wt+

i

Ni

donde i representan los tiempos en los que ocurren los saltos (una cantidad finita en elintervalo[0, t]).

Volviendo a la variable original, tenemos la solucin de la ecuacin (2.1.2):

St = S0e(r22)t+Wt+

dJti=1

Ni

donde Wt =

tcon N(0, 1) y Jt un proceso de Poisson que cuenta los saltos de S.Se puede observar de manera clara que este proceso es una combinacin de un movimientoBrowniano con deriva y un proceso de Poisson compuesto. [7, 8]

Veamos un ejemplo. En las figuras (2.1.1) y (2.1.2) se pueden observar varias simulacinesde un proceso de difusin de salto para distintos valores de, con los siguientes parmetros:S0 = 100, K= 110, r = 10 %, = 25 %, T = 1, = 0,5y = 0,1. Como se observa paravalores de >0las trayectorias presentan saltos en algunos periodos de tiempo discretos.


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Figura 2.1.1: Proceso de difusin con salto para = 0

Figura 2.1.2: Proceso de difusin con salto para = 0.5

Fijando los parmetros definidos antes y variando el valor de , se observa que a medidaque aumenta la intensidad de salto, aumenta el nivel de oscilaciones y por tanto, aumentael precio de accin.


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2.2. Modelo de evolucin de precios de una opcin

N. Wiener fue quin formaliz matemticamente el concepto browniano y lo present comopaso al lmite del paseo aleatorio, pero fue K. It quin desarroll el clculo diferencial eintegral asociado a los procesos brownianos, es decir, la teora que permite obtener quedistribucin de probabilidad tiene el proceso en cada instante de tiempo. Una de las mo-tivaciones de It para la creacin de todo este desarrollo de clculo fue dar sentido, a lavista de la teora ya creada por Wiener, a los desarrollos de Bachelier. [2]

El lema de It puede entenderse como un desarrollo de Taylor acompaado de una tablade multiplicacin.[1] La tabla de multiplicacin es la siguiente:

x 1 dW dt

1 1 dW dtdW dW dt 0

dt dt 0 0

Recordamos que cualquier cantidad que sea o(dt)3, se considera despreciable. A continua-cin vamos a demostrar las reglas de multiplicacin:

Regla 1: (dt)2 = 0

(dt)2 =o(dt)ya que lmt0

(t)2

t = 0

Regla 2: dW dt= dt dW = 0

dW dtes una variable aleatoria con:

E[dt dW] =dt E[dW] =dt E[

dt] = 0

Var(dt dW) = (dt)2 Var(dW) = (dt)2 Var(

dt) = (dt)3 =o(dt)

Regla 3: (dW)2 = 0

La esperanza y varianza de (dW)2son:

E[dW]2 =E[

dt]2 =dt

Var[(dW)2] =E[dW]4 (E[dW]2)2 = (dt)2 E[4] (dt)2 = 2(dt)2 =o(dt)Una variable aleatoria con varianza despreciable puede reemplazarse por su valor esperado,quedando as demostradas tanto la regla 2 como la regla 3.

3o(dt) es una funcin que tiende a cero ms rpido que dt ya que lmt0

o(t)t

= 0


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Explicado esto, a continuacin vamos a aplicar el lema de It para calcular el valor esperadodel diferencial de una funcin dependiente de St, es decir E[dVt], donde:

Vt= F(St)

y Stsigue el proceso de difusin con saltos:

dStSt

=dt + dWt+ (Yt 1)dJt. (2.2.1)

Asumiendo la evolucin con saltos de St:

St+t= St[1 + t + Wt+ (Yt 1)Jt]calculamos:

E[Vt+t] = E[F(St+t)]

= E[F(St(1 + t + Wt+ (Yt 1)Jt))].

Para calcular este valor esperado tenemos que condicionar a que se produzca o no el salto:

E[F(St+t)] = E[F(St+t) | Jt= 0] (1 t) + E[F(St+t) | Jt= 1] t (2.2.2)

El primer valor esperado es el que aparece en ausencia de saltos, mientras que el segundoes el que incorpora un salto.

En ausencia de saltos (Jt= 0):

Aplicando el lema de It se tiene:

F(St+t) =F(St) + F(St)St+

1

2F(St)(St)2. (2.2.3)

Sustituyendo el valor de St (2.2.1) en tiempo discreto en la ecuacin (2.2.3):

F(St+t) =F(St) + F(St)(Stt + StWt) +

1

2F(St)(Stt + StWt)2

y a partir de las reglas de multiplicacin establecidas anteriormente: (t)2 = 0, (Wt)2 =t y t Wt= 0, tenemos que:

F(St+t) =F(St) + F(St)(Stt + StWt) + F(St)2

2 S2

tt.

ComoWt N(0,

t)y asumiendo conocido el estado del mercado a tiempo t, tomandoahora el valor esperado se obtiene:

E[F(St+t) | Jt= 0] = E[F(St(1 + t + Wt+ (Yt 1)Jt)) | Jt= 0]= E[F(St) + F

(St)(Stt + StWt) + F(St)2

2S2tt | Jt= 0]

= F(St) + F(St)Stt + F(St)

2

2S2tt (2.2.4)


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Incorporando un salto (Jt= 0):

Aplicando el lema de It se tiene:

F(St+t) =F(StYt) + F(StYt)St+

1

2F(StYt)(St)2. (2.2.5)

Tomando ahora el valor esperado de (2.2.5) se obtiene:

E[F(St+t) | Jt= 1] = E[F(St(1 + t + Wt+ (Yt 1)Jt)) | Jt= 1]= E[F(StYt) + F

(StYt)Stt + F(StYt)2

2S2tt | Jt= 1]. (2.2.6)

El valor esperado de la ecuacin (2.2.2) al sustituir por (2.2.4) y (2.2.6) es:

E[F(St+t)] = E[F(St+t) | Jt = 1] t + E[F(St+t) | Jt= 0] (1 t)= E

F(StYt) + F

(StYt)Stt + F(StYt)2

2S2tt | Jt = 1

t +

+[F(St) + F(St)Stt + F(St)

2

2S2tt] (1 t). (2.2.7)

Realizando las operaciones, existen trminos que al ser multiplicados por tresultan serde orden t2. Por lo tanto, la expresin (2.2.7) se reduce a:

E[Vt+t] =F(St)+

E[F(StYt) F(St) | J= 1] + F(St)St+ F(St)

2

2S2t

t+o(t)

ComodVt = F(St+dt) F(St), lo de arriba es equivalente a:

E[dVt] =

E[F(StYt) F(St) | J= 1] + F(St)St+ F(St)

2

2S2t

t


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Captulo 3

Valoracin de opciones europeas

Las opciones financieras son instrumentos que forman parte de la familia de instrumentosderivados, es decir, son contratos financieros cuyos pagos dependen de un activo bsicoo subyacente y del tiempo. Hay dos tipos bsicos de opciones. Una opcin de compra oCall consiste en el derecho, pero no acarrea la obligacin de comprar un determinandoactivo a un precio especificado en el contrato, llamado precio de ejercicio o strike. Unaopcin de venta o Put es el derecho a vender un activo a un precio especificado.

Segn su vencimiento, las opciones se clasifican en americanas o europeas. Las opcio-nes americanas pueden ser ejercidas en cualquier momento de su vida hasta su fecha devencimiento, mientras que las europeas pueden ser ejercidas nicamente en su fecha de

vencimiento. [3]En este captulo vamos a deducir la ecuacin de Black-Scholes y dar una solucin a lamisma aplicando el mtodo en diferencias finitas. Para ello nos basamos en el artculoNumerical Analysis of Jump Diffusion Models: A Partial Differential Equation Approach[9], de Daniel Duffy.

3.1. Ecuacin de Black-Scholes-Merton para una opcin eu-

ropea

El precio de una opcin europea es una funcin explcita del precio del activo subyacentey del instante de tiempo V(St, t). Se asume que los precios son una funcin continua yderivable en un continuo de estados e instantes de tiempo y buscamos la ecuacin enderivadas parciales para V(St, t) basndonos en la frmula de valoracin neutral al riegoelemental.

Si St sigue el movimiento browniano geomtrico dado anteriormente tenemos:

V(St, t) = E

V(St+t, t + t)

1 + rt

21


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CAPTULO 3. VALORACIN DE OPCIONES EUROPEAS 22

Al ser1 + rtun valor determinista se tiene que:

(1 + rt) V(St, t) = E[V(St+t, t + t)]rt V(St, t) = E[V(St+t, t + t) V(St, t)] = E[V(St, t)]

es decir, en tiempo continuo:

E[dV(St, t)] =rdt V(St, t). (3.1.1)

Aplicando el lema de It generalizado, hemos desarrollado antes que:

E[dV(St, t)] =

V

t (St, t) dt + V

S(St, t) Stdt +2V

S2(St, t) S2

t

2

2 dt ++ E[V(StYt, t) V(St, t) | dJt = 1] dt. (3.1.2)

Igualando (3.1.1) y (3.1.2) se tiene la ecuacin buscada:

V

t(St, t)+St

V

S(St, t)+

2

2S2t

2V

S2(St, t)+E[V(StYt, t)V(St, t) | dJt= 1] = rV(St, t)

Utilizando la condicin de compatibilidad = r kobtenemos:V

t(St, t)+(rk)St V

S(St, t)+

2

2S2t

2V

S2(St, t)+E[V(StYt, t)V(St, t) | dJt= 1] =rV(St, t)

que nos lleva a la ecuacin en derivadas parciales de Black-Scholes de difusin con saltospara la valoracin de opciones:

V

t + (r k)St V

S +

2

2S2t

2V

S2 + E[V(StYt, t) | dJt= 1] = (r+ )V. (3.1.3)

Esta ecuacin en el caso particular= 0, coincide con laecuacin clsica de Black-Scholes:

V

t + rSt

V

S +

2

2S2t

2V

S2 =rV (3.1.4)

3.2. Condiciones iniciales y de contorno

Vamos a dar una solucin para la ecuacin (3.1.3), pero en primer lugar definimos lacondicin inicial y las condiciones de contorno.

Para una opcin de compra europea cuyo valor es denotado por C(S, t), con precio deejercicio o strike K y tiempo de ejercicio T, tenemos que en el instante t = T la condicinfinal es conocida por ser el pay-off:

C(S, T) = max(S K, 0)


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mientras que para una opcin de venta cuyo valor es denotado por P(S, t)es:

P(S, T) = max(K S, 0).Vamos a hacer un cambio de variable temporal considerando=Ttde modo que en lugarde considerar condiciones finales, haciendo abuso de notacin, consideramos condicionesiniciales:

C(S, = 0) = max(S K, 0) para S >0P(S, = 0) = max(K S, 0) para S >0

Veamos ahora las condiciones de contorno para S= 0y S .

La condicin de contorno izquierda se obtiene para S = 0, con lo cual sustituimoseste valor en la ecuacin diferencial parcial (3.1.4) obteniendo:

V

t(0, ) = rV(0, )

La solucin de esta ecuacin es:

V(0, ) =V(0, T)er.

Como consecuencia, para una opcin de venta se tiene:

P(0, ) =P(0, T)er =K er 0 T

y para una opcin de compra siSt= 0para algnt, el proceso implica que los preciosseguirn siendo nulos hasta tiempo T. En este caso la condicin de contorno es::

C(0, ) = 0 0 T

Para la condicin de contorno derecha observamos que cuando S toma valores muygrandes, es decir St , es cada vez ms improbable que una opcin de ventallegue a ejercerse. Esto nos lleva a que:

P(S, ) = 0 S

y utilizando la paridad de compra-venta1 se obtiene que:

C(S, ) =S Ker S

1Seac el valor de una opcin de compra y pel valor de una opcin de venta, ambas europeas. La relacin:

c+KerT =p+S0

se conoce como paridad de opciones de venta y compra. Muestra que el valor de una opcin de compraeuropea con determinado precio de ejercicio y fecha de ejercicio puede deducirse del valor de una opcinde venta europea con el mismo precio y fecha de ejercicio y viceversa (se supone en este caso que el activono paga dividendos).


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3.3. Solucin de la ecuacin de Black-Scholes-Merton para

una opcin europea

Teniendo en cuenta la ecuacin de Black Scholes de difusin con saltos (3.1.3) para unaopcin europea V(St, t), la reescribimos de la siguiente forma:

V

t + (r k)SV

S +

2

2S2

2V

S2 +

0

V(Sy,t)g(y)dy = (r+ )V (3.3.1)

para(S, t) [0, +) [0, T], dondeg(y)es la funcin de densidad de la amplitud de saltoYque satisface g(y) 0y 0 g(y)dy= 1.Aplicando un primer cambio de variable, =T

t, a nuestra ecuacin diferencial (3.3.1)

nos queda:

V

= (r k)SV

S +

2

2S2

2V

S2 (r+ )V +

0

V(Sy,)g(y)dy (3.3.2)

Para simplificar la ecuacin consideramos un segundo cambio de variable, W =log(S), de

modo que:

W

S =

1

SV

W =

V

S S

W =

V

SS

2V

W2 =

W(

V

W) =

W(

V

S S) =

2V

S2 S2 + V

S S

Luego,2V

W2 V

W =

2V

S2 S2

Sustituyendo en la ecuacin (3.3.2) queda:

V

= (r

k)

V

W

+2

2

(2V

W2

V

W

)

(r+ )V +

0

V(W+ log y, )g(y)dy

Reordenando:

V

=

2

2

2V

W2+ (r k

2

2)

V

W (r+ )V +

0

V(W+ log y, )g(y)dy

Modelizamos la variable Y de proporcin de salto mediante una distribucin lognormal, esdecir:

Y =eZ Z N(, )


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de este modo la ecuacin a resolver queda que es:

V =

2

2

2

VW2 + VW (r+ )V + + V(W+ Z, )

,(Z)dZ (3.3.3)

para(W, ) (, +)[0, T], donde,()es la funcin de densidad de la distribucinnormal con parmetros y .

Veamos ahora en que se transforman las condiciones inicial y de contorno al aplicar elsegundo cambio de variable.

Para una opcin de compra:

Condicin inicial:C(W, 0) = max(eW

K, 0)

W

R

Condiciones de contorno:

lmW

C(W, ) = 0 0 Tlm

W+C(W, ) = eW Ker 0 T

Para una opcin de venta:

Condicin inicial:

P(W, 0) = max(K eW, 0) W R

Condiciones de contorno:

lmW

P(W, ) = Ker 0 Tlm

W+P(W, ) = 0 0 T

3.3.1. Mtodo de diferencias finitas

Vamos a calcular de manera aproximada la solucin de la ecuacin de Black Scholes (3.3.3)

para una opcin europea usando el mtodo en diferencias finitas.La idea de este mtodo es sustituir las ecuaciones diferenciales por ecuaciones en diferencias.

V

=L(V) + I(V)

Consideramos:

L(V) = 2

2

2V

W2+

V

W ( + r)V (3.3.4)

I(V) =

+

V(W+ Z),(Z)dZ (3.3.5)


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donde L representa la parte diferencial e I la parte integral de la ecuacin. Vamos a re-emplazar L (V) por su aproximacin en diferencias finitas e I(V) por la aproximacin

del valor de la integral aplicando la regla del trapecio, para aplicar despus los mtodos:explcito, semi-implcito y de Crank-Nicolson.

Consideramos una discretizacin espacial para la variable W que se mueve en el intervalo[A, A] con A>0 y una discretizacin temporal donde la variable se mueve en [0, T].Tenemos as la siguiente malla uniforme [A, A] [0, T]donde:

h = W =2AM

dondeWj = A +jh paraj = 0, ...M

k = = TN

donden= nk paran = 0, ...N

El punto(j, n)en la malla es el punto que corresponde al precio del activoWj y el tiempon. Usaremos la variable Vnj para denotar el valor de la opcin en este punto.

Notacin:Vnj V(Wj, n) =V(A +jh, nk)Para el punto interior (j, n)de la malla, V,

VW y

2VW2

pueden ser aproximados mediantediferencias finitas. Para V se aplica diferencia progresiva en el tiempo:

V

(Wj, n) =

Vn+1j Vnjk

+ o(k) (3.3.6)

Para las derivadas con respecto a S aproximamos por diferencias centradas:

VW

(Wj , n) = Vnj+1 V

nj

2h + o(h2) (3.3.7)

2V

W2(Wj , n) =

Vnj+1 2Vnj + Vnj1h2

+ o(h2) (3.3.8)

Sustituyendo las aproximaciones (3.3.6), (3.3.7) y (3.3.8) en (3.3.4), la parte diferencial endiferencias finitas queda de la siguiente forma:

Lj(Vn) =

2

2

Vnj+1 2Vnj + Vnj1h2

+ Vnj+1 Vnj1

2h ( + r)Vnj

Reordenando los trminos la podemos expresar como:Lj(V

n) =xVnj1 yVnj + zVnj+1

con trminos constantes:

x = 2 h

2h2

y = 2

h2+ + r

z = 2 + h

2h2


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donde = r k 22, cuyas condiciones de contorno e iniciales para una opcin de compravienen dadas por:

C(Wj, n= 0) = max(eWj K, 0)

C(Wj = A, n) = 0C(Wj =A, n) = e

A Kern

y para una opcin de venta:

P(Wj, n= 0) = max(K eWj , 0)P(Wj = A, n) = Kern

P(Wj =A, n) = 0

Queda todava aproximar el trmino integral (3.3.5):

I(Vn) =

+

Vn(W+ Z),(Z)dZ .

Para aproximar el valor de la integral hacemos el cambio de variable U=W+ Zy tenemosque:

Ij(Vn) =

+

Vn(U),(U Wj)dU

Los valores discretos de Vn(U)son limitados por la finitud de los nodos Wj, lo suficientecomo para tener una buena aproximacin de los valores de contorno. Recordamos quenuestra discretizacin para la variable W se mueve en el intervalo [A, A]con A >0.

Para una opcin de compra:

Utilizando los valores de contorno tenemos que:

Cn(U) = 0 para U= ACn(U) = eU Kern para U=A

Esto quiere decir que:

Ij(Cn) =

+

Cn(U),(U Wj)dU

=

A

0 ,(U Wj)dU =0

+

+AA

Cn(U) ,(U Wj)dU (1)

+

+

+A

(eU Kern) ,(U Wj)dU

(2).


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El trmino (1) deIjes uno de tipo de convolucin discreta con la densidad de probabilidadnormal:

I[A,A]j = +AA

Cn(U),(U Wj)dU.

Para resolver esta integral vamos a aplicar la regla del trapecio. Supongamos f(U) =Cn(U),(U Wj) una funcin continua y positiva en el intervalo [A, A]de tal modoque la integral

+AA f(U)dU representa el rea de la regin delimitada por la grfica f

y el eje X desde U =A hasta U = A. Primero se divide el intervalo [A, A] en nsubintervalos, cada uno de ancho 2An . Entonces el valor aproximado de la integral vienedado por la siguiente frmula:

+A

A

f(U)dU 2An

f(A) + f(A)

2 +

n1

k=1fA + k

2A

n

.

Es decir,

I[A,A]j

2A

n [

Cn(A),(A Wj) + Cn(A),(A Wj)2

+

+n1k=1

Cn(A + k 2An

),(A + k 2An

Wj)].

Mientras que el trmino (2) de Ij se reduce a la resta de dos trminos analticos:

+

A

eU,(U

Wj)dU

+

A

Kern,(U

Wj)dU=

=

+A

eU 1

22e12

(UWj)2

2 dU Kern +A

,(U Wj)dU

= eWj++2

2

+A

122

e12

[U(Wj+2+)]2

2 dU Kern +A

,(U Wj)dU

= eWj++2

2 +A

,(U Wj 2)dU =1,(

A(Wj+2+)

)=,(

(Wj+2+)A

)

Kern +A

,(U Wj)dU =1,(

AWj

)=,(

Wj+A

)

= eWj++

2

2 ,(

(Wj+

A

+ ) Kern

,(

Wj+

A

).

donde , es la funcin de densidad de la normal y , la funcin de distribucin acu-mulada de la normal.

Con lo cual el valor aproximado de la parte integral de la ecuacin diferencial parcial (3.3.5)es:

Ij(Cn) I[A,A]j + eWj++

2

2 ,((Wj+ A

+ ) Kern,(

Wj+ A

)

donde,()es la funcin de distribucin de la normal.


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Para una opcin de venta

Utilizando los valores de contorno:Pn(U) = Kern para U= APn(U) = 0 para U=A

calculamos la parte integral I(P)que en este caso se expresa como:

Ij(Pn) =

+

Pn(U),(U Wj)dU

A

Kern,(U Wj)dU+ +AA

Pn(U) ,(U Wj)dU

=I[A,A]j+

I[A,A]j + KernA

,(U Wj)dU

I[A,A]j + Kern,(Wj A

)

donde , es la funcin de densidad de la normal y , la funcin de distribucin acu-mulada de la normal.

El trmino I[A,A]j se calcula, igual que para la opcin de compra, aplicando la regla deltrapecio.

El problema discreto se transforma en:Vn+1j Vnj

k =Lj(V

n) + Ij(Vn) (3.3.9)

paraj = 0, ...My n = 0,...N, cuyas condiciones de contorno e inicial para una opcin decompra vienen dadas por:

C0j = max(eA+jh K, 0)

Cn0 = 0

CnM = eA Kernk

y para la opcin de venta:

P0j = max(K eA+jh, 0)Pn0 = Ke

rnk

PnM = 0

El esquema theta est dado por:

Vn+1j Vnjk

=Lj(Vn+1) + (1 )Lj(Vn) + Ij(Vn+1) + (1 )Ij(Vn)

Existen diferentes casos del esquema theta:


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Para = 0se obtiene un esquema de diferencias finitas hacia delante en el tiempo,conocido como esquema completamente explcito, ya que los trminos del paso de

tiempo n + 1se obtiene de los trminos del paso anterior n. Es un esquema sencillo,el cual es condicionalmente estable cuando k h22.Para = 1se obtiene el esquema de diferencias finitas hacia atrs en el tiempo, cono-cido como esquema completamente implcito, el cual es incondicionalmente estable.

Para = 12 se obtiene un esquema de diferencias finitas conocido como esquemade Crank-Nicolson. Este esquema es tambin incondicionalmente estable y es el msusado de los tres.

Cuando = 12 el error del mtodo eso(h2, k2), mientras que en los dems casos eso(h2, k).

Se estudiarn tres mtodos: el explcito, el semi-implcito y el de Crank-Nicolson conside-rando la opcin de compra, aunque las soluciones que se obtendrn en cada caso se podrnaplicar a la opcin de venta con la condicin de utilizar las condiciones de contorno einiciales correspondientes.

3.3.1.1. Mtodo explcito

Para = 0se tiene el siguiente sistema explcito:

Cn+1j Cnjk

=Lj(Cn) + Ij(C

n)

que se puede reescribir de la siguiente manera:Cn+1j =C

nj + kLj(C

n) + kIj(Cn).

Sustituyendo la parte diferencial L(C)en la expresin de arriba se tiene:

Cn+1j =kxCnj1+ (1 ky)Cnj + kzCnj+1+ kIj(Cn)

paraj = 1,...,M 1, n = 0,...N 1.Aqu tenemos un valor desconocido expresado como funcin de tres valores conocidos.Esta ecuacin permite determinar de forma explcita el precio de la opcin en cada pasodel tiempo. Se observa que el trmino Cn+1j del paso de tiempon+1se evala utilizando

los trminos Cnj1, Cnj, Cnj+1 del paso de tiempo anterior n. Los valores C0j , Cn0 , CnM conj= 0,...,My n = 0,...,N se conocen por las condiciones iniciales y de contorno.

3.3.1.2. Mtodo semi-implcito

Vamos a aplicar el mtodo implcito para la parte diferencial L(C), es decir consideramos = 1, y para la parte integral I(C)el mtodo implcito, es decir = 0, obteniendo as elsiguiente sistema semi-implcito:

Cn+1j Cnjk

=Lj(Cn+1) + Ij(C

n)


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que se puede reescribir de la siguiente manera:

Cn

j

=Cn+1

j kLj(C

n+1)

kIj(Cn).

Sustituyendo el valor de la parte diferencial L(C)en la ecuacin de arriba se tiene:

Cnj = kxCn+1j1 + (1 + ky)Cn+1j kzCn+1j+1 kIj(Cn)

paraj = 1,...,M 1, n = 0,...N 1.Aqu tenemos tres valores desconocidos relacionados a un valor conocido, es decir, el tr-minoCnj del pasonse evala utilizando los trminosC

n+1j1, C

n+1j , C

n+1j+1 del paso de tiempo

n+1.

Si suponemos que

C0j

j=0,...,Mson conocidos (dados por la condicin inicial), en el si-

guiente paso del tiempo tenemos un conjunto de M 1ecuaciones con M+ 1incgnitasCn+10 ,...,Cn+1M . Para poder resolver el sistema necesitamos dos condiciones ms quesern las condiciones de contorno correspondientes a la opcin de compra:

Cn0 = 0

CnM = eA Kernk.

paran = 0, ...N.

Consideramos que X =kx, Y = 1 +ky , Z =kz. El sistema se puede descomponerpara cada j desde 1 hasta M 1de la siguiente forma:

j = 1 Cn1 = XCn+10 + Y Cn+11 + ZCn+12 kI1(Cn)j = 2 Cn2 = XC

n+11 + Y C

n+12 + ZC

n+13 kI2(Cn)

... ...

j=M 2 CnM2 = XCn+1M3 + Y Cn+1M2 + ZCn+1M1 kIM2(Cn)j=M 1 CnM1 = XCn+1M2 + Y Cn+1M1 + ZCn+1M kIM1(Cn)

Podemos reescribir el sistema de ecuaciones de forma matricial como sigue. Primero defi-nimos los vectores Cn paran = 0, ...N:

Cn = Cn1 ,...,CnM1T

y la matriz tridiagonal A de dimensiones(M 1) (M 1)que incorpora los parmetrosX, Y y Zque acompaan a las incgnitas

Cn+11 ,...,C

n+1M1

A=

Y ZX Y Z

. . . . . . . . .. . . . . . . . .

X Y ZX Y

.


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Finalmente definimos el vector que incorpora las condiciones de contorno y los valores dela parte integral I(C), cuya dimensin es (M 1) 1,

Bn+1 = Cn +

XCn+10 + kIn1kIn2

...

kInM2ZCn+1M + kInM1

.

Para cada paso de tiempo n+1, la solucin aproximada se puede obtener resolviendo elsistema de ecuaciones semi-implcito:

AC

n+1

=B

n+1

paran = 0, 1..., N 1.

3.3.1.3. Mtodo de Crank-Nicolson

Para = 12 se tiene el sistema de Crank-Nicolson:

Cn+1j Cnjk

=1

2

Lj(C

n+1) + Lj(Cn) + Ij(C

n+1) + Ij(Cn)

.

Igual que en el mtodo implcito consideramos que para la parte integral I(C)aplicamosel mtodo explcito. La ecuacin se puede reescribir de la siguiente manera:

Cn+1j Cnjk

=1

2

Lj(C

n+1) + Lj(Cn)

+ Ij(Cn).

Sustituyendo la parte diferencial L(C)en la ecuacin de arriba, se tiene:

kx2

Cn+1j1 + (1 +ky

2 )Cn+1j

kz

2 Cn+1j+1 =

kx

2 Cnj1+ (1

ky

2 )Cnj +

kz

2Cnj+1+ kI

nj.

Consideramos los siguientes parmetros:

XL = kx2 XR = kx2

YL = 1 + ky2 YR = 1 ky2

ZL = kz2 ZR = kz2

con lo cual la ecuacin queda de la siguiente forma:

XLCn+1j1 + YLCn+1j + Z

LCn+1j+1 =XRCnj1+ Y

RCnj + ZRCnj+1+ kI

nj

paraj = 1,...,M 1, n = 0,...N 1.


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Al igual que hemos hecho en el mtodo implcito, lo escribimos en forma matricula. Defi-nimos los vectores Cn de dimensin (M 1) 1para n = 0, ...N:

Cn =

Cn1 ,...,C

nM1

Ty las matrices tridiagonales AL y AR ambas de dimensin (M 1) (M 1) :

AL =

YL ZL

XL YL ZL

. . . . . . . . .. . . . . . . . .

XL YL ZL

XL YL

AR =

YR ZR

XR YR ZR

. . . . . . . . .. . . . . . . . .

XR YR ZR

XR YR

.

Se tiene entonces que:

X

L

C

n+1

00...

0

ZLCn+1M

+ AL Cn+1 =

X

R

C

n+1

00...

0

ZRCn+1M

+ AR Cn +

kI

n

1kIn2

...

kInM2kInM1

Ntese que XR = XL y ZR = ZL.Con lo cual para cada paso de tiempo n+1 la solucin aproximada se puede obtenerresolviendo el sistema de ecuaciones:

ALCn+1 =ARCn +Bn

donde el vector Bn, cuya su dimensin es(M1)1,contiene las condiciones de contornoy los valores de la parte integral I(C):

Bn =

XR(Cn+10 + Cn0) + kI

n1

kIn2...

kInM2ZR(Cn+1M + C

nM) + kI

nM1


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Al sumar las dos matrices tridiagonales se tiene:

AL

+ AR

= 2Id

con lo cual

AL(Cn+1 + Cn) = ALCn + ARCn + Bn

= 2Cn + Bn.

Considerando Un+1 = Cn+1 + Cn y Vn+1 = 2Cn + Bn el sistema a resolver ahora es:

ALUn+1 = Vn+1

paran = 0, ...N

1.

La solucin en este caso vendr dada por:

Cn+1 = Un+1 Cn.


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Captulo 4

Simulaciones y resultados

Con el propsito de obtener aproximaciones numricas y poder realizar una comparativade los precios de una opcin europea, los tres mtodos en diferencias finitas explicados enel captulo anterior se han implementado en Matlab.

Para las simulaciones hemos considerado una opcin de compra europea, sobre una accinque no paga dividendos en la que el precio de ejercicio es de 100$, con tasa de inters librede riesgo de un 5 % por ao y volatilidad de 20 % por ao. Consideramos que la vida de laopcin es de un ao y que el precio mximo alcanzado por la accin es de 200$. En estecaso, K= 100, r= 005, = 02, T = 1y Smax = 200. Para la discretizacin espacial deWy temporal de tomamos A = log(Smax), teniendo as la malla [A, A] [0, T] , conM= 300(particiones de W) y N= 500(particiones de ).

4.1. En ausencia de saltos

Para una primera simulacin consideramos ausencia de saltos en el precio del activo, esdecir = 0, y comparamos lo resultados que nos proporcionan los tres mtodos: explcito,semi-implcito y de Crank-Nicholson con los valores proporcionados por el comando deMatlab:

[call, put] =blsprice(S0,K,r,T,sigma)

que slo requiere el valor actual del activo, el precio de ejercicio (strike), el inters libre deriesgo, el instante de vencimiento y la volatilidad.

La evolucin del precio de la opcin con respecto al activo subyacente para la opcin decompra, se pueden observar en las siguientes figuras:

35


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CAPTULO 4. SIMULACIONES Y RESULTADOS 36

Mtodo explcito:

Figura 4.1.1: Evolucin del precio de una opcin Call (izq.) y Put (der.)

Mtodo semi-implcito:



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Mtodo de Crank-Nicolson:


Como se observa los valores obtenidos tras la simulacin se aproximan bastante a losobtenidos del comando blsprice. Veamos cuales son las mximas diferencias en cada caso.Para realizar la comparativa calculamos la norma infinita de la resta entre los preciosobtenidos por el comando blsprice de Matlab y los precios obtenidos al simular los tresmtodos en diferencias finitas, teniendo as las diferencias mximas siguientes:

M. Explcito M. Semi-implcito M. Crank-Nicolson

Opcin Call 0.0100 0.0128 0.0113

Opcin Put 0.0091 0.0120 0.0107

Cuadro 4.1: Diferencias mximas de precios de una opcin europea

Las diferencias para los tres mtodos en diferencias finitas son muy parecidos, ajustndosemuy bien los tres mtodos a la valoracin de blsprice.


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4.2. Incorporando los saltos

Supongamos ahora que el activo experimenta de vez en cuando modificaciones significativasen su precio, es decir, incorpora saltos. Recordamos que el salto propiamente dicho es unavariable aleatoria que sigue un proceso de Poisson con parmetro de intensidad, en estecaso, > 0, y que el tamao del salto del precio viene dado por la variable Yt que sigueuna distribucin lognormal:

log(Yt) i.i.d. N(, 2).

Vamos a realizar varias simulacines fijando(nmero medio esperado de saltos en un ao)y variando el valor de (desviacin tpica del proceso lognormal de saltos). Supongamospara todas las simulaciones = 0.

Supongamos un primer caso en el que el nmero medio de saltos en un ao es = 0,5.Para este caso realizamos las simulaciones aplicando el mtodo explcito. Vase lafigura (4.2.1). En la parte izquierda tenemos una opcin de compra y en la derechauna opcin de venta.

Figura 4.2.1: Mtodo explcito

Supongamos un segundo caso en el que el nmero medio de saltos en un ao es = 1.Para este caso realizamos las simulaciones aplicando el mtodo semi-implcito.


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Figura 4.2.2: Mtodo semi-implcito

Supongamos un tercer caso en el que el nmero medio de saltos en un ao es = 3.Para este caso realizamos las simulaciones aplicando el mtodo de Crank-Nicolson.

Figura 4.2.3: Mtodo de Crank-Nicolson

En los tres casos se observa que a medida que incrementamos la desviacin tpica delproceso lognormal de saltos, el precio de la opcin se aleja ms del pay-off.


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Conclusiones

Se ha presentado el modelo de evolucin del precio de un activo subyacente cuandoste presenta variaciones significativas en periodos discretos (modelo de difusin con

saltos).Se ha presentado la ecuacin de Black-Scholes cuando el precio del active subyacentesigue un modelo de difusin con saltos.

Se ha encontrado una solucin numrica a la ecuacin en derivadas parciales de Black-Scholes, a travs del mtodo en diferencias finitas, que modela el comportamiento delprecio de una opcin europea, tanto de compra como de venta.

Se han realizado varias simulaciones tanto en ausencia de saltos, como incorporandolos saltos. En ausencia de saltos, hemos comparado los diferentes mtodos numricosobservando que todos ellos se ajustan al comando blsprice. Para las simulaciones

que incorporaban saltos, hemos analizado el impacto que tienen algunos parmetros,como el nmero medio de saltos esperados a lo largo de un ao (parmetro deintensidad) y ladesviacin tpica del proceso lognormal del tamao del saltoY, enel precio de la opcin.

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Bibliografa

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[2] JOS LUIS FERNANDEZ, El valor de las matemticas. Una visin histrica del usode las matemticas ante el riesgo financiero, pag 37-67.

[3] GERARDO OLEAGA, Notas de clase. Grado en Ingeniera Matemtica: MatemticaFinanciera (2015)

[4] JOHN C. HULL, Options, Futures and other Derivatives, Pearson (2015).

[5] ROBERT C. MERTON, Option pricing when underlying stock returns are disconti-nuous, Journal of Financial Economics (1976).

[6] F. BLACK, M. SCHOLES, The pricing of Options and Corporate Liabilities, Journal

of Political Economy, Vol. 81 (Mayo/Junio 1973), pag 637-654.[7] RDIGER U. SEYDEL, Tools for Computational Finance, Universitext, 5Edicin

(2012), pag 1-52.

[8] RAMA CONT, PETER TANKOV, Financial Modelling with Jump Processes, Chap-man & Hall (2004).

[9] DANIEL J. DUFFY, Numerical Analysis of Jump Diffusion Models: A Partial Dif-ferential Equation Approach, Wilmott Magazine.

[10] K. IT, On a formula concerning stochastic differentials, Nogoya Mathematics Jour-

nal, 3, (1951) pp. 55-65.[11] P. SAMUELSON, Mathematics of Speculative Price, SIAM Review, Vol. 15, Nro. 1

(1973), pp. 1-42.

[12] KAZUHISA MATSUDA, Introduction to Merton Jump Diffusion Model

Documents

Análisis numérico de un modelo de difusión con saltos, aplicado a la valoración de opciones financieras