Embed Size (px)
Citation preview
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
UNIDAD PROFESIONAL ADOLFO LÓPEZ MATEOS
SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN
MAESTRÍA EN CIENCIAS EN INGENIERÍA DE
TELECOMUNICACIONES
ANÁLISIS PARA EL DISEÑO DE DIVISORES
ÓPTICOS PARA APLICACIONES FTTH USANDO
EL MÉTODO SPPS
T E S I S
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE
MAESTRA EN CIENCIAS EN INGENIERÍA DE
TELECOMUNICACIONES
P R E S E N T A
ING. IRINA CRESPO HUITRÓN
DIRECTOR DE TESIS:
DR. RAÚL CASTILLO PÉREZ
México D.F. enero 2014
I
II
III
AGRADECIMIENTOS
En especial a ese bello ángel que ilumina mi camino, que siempre ha estado conmigo en
todas las etapas de mi vida, gracias por su amor y su apoyo incondicional, gracias mamá
por guiarme hasta aquí.
A mis hermanos David, Guillermo, Omar, Ulises y a Alma Cerón que han sido un motor
para que yo siga adelante y han logrado robarme una sonrisa en los momentos más
difíciles.
A Isaías por contar siempre con su compañía y con su amor, gracias por hacerme saber que
eres feliz con cada uno de mis logros.
Al Dr. Raúl Castillo en el cual siempre vi a un ser admirable, responsable, apasionado por
su trabajo y lleno de mucha paciencia, gracias por ser un gran Maestro.
A mis amigos Dulce Salas, Elsa Cerón, Ricardo Jiménez, Enedina Flores, que se alegraron
cuando inicié este proyecto y siempre tuvieron una palabra de aliento para que yo
continuara.
A mis amigos de la maestría Solesito, Ivonne Alvarado, Carlitos Soria, Miguel Daniel,
Loyda Flores, Enrique Velazco, Luis Gustavo siempre estuvimos juntos ayudándonos como
familia, gracias por su apoyo.
A Vicky que desde un principio me aconsejó en esta etapa de la maestría y siempre conté
con ella, gracias.
IV
ÍNDICE
ÍNDICE ................................................................................................................................. IV
GLOSARIO .......................................................................................................................... VI
RELACIÓN DE FIGURAS............................................................................................... VIII
RELACION DE TABLAS .................................................................................................... X
OBJETIVO ........................................................................................................................... XI
JUSTIFICACIÓN ............................................................................................................... XII
RESUMEN ........................................................................................................................ XIV
ABSTRACT ....................................................................................................................... XV
INTRODUCCIÓN .................................................................................................................. 1
LOS DIVISORES ÓPTICOS EN FTTH ....................................................... 4 CAPÍTULO 1.
1.1 Introducción .................................................................................................................. 4
1.2 Red Óptica Pasiva (PON) ............................................................................................. 4
1.3 FTTH ........................................................................................................................... 9
1.4 Elementos de la red FTTH.......................................................................................... 11
1.5 Arquitectura ODN ...................................................................................................... 12
1.6 Arquitectura punto a multipunto ODN ....................................................................... 13
1.7 Divisores ópticos (Optical splitters) ........................................................................... 14
CURVAS DE REFLECTANCIA Y TRANSMITANCIA .......................... 20 CAPÍTULO 2.
2.1 Introducción ................................................................................................................ 20
2.2 Coeficientes de Reflectancia y Transmitancia........................................................... 20
2.3 Formulación y solución analítica del problema .......................................................... 23
2.4 Capas no homogéneas ................................................................................................ 27
2.5 La aproximación WKB ............................................................................................... 28
2.6 ALGUNAS SOLUCIONES EXACTAS .................................................................... 30
2.6.1 Capa Lineal .......................................................................................................... 30
2.6.2 Capa Exponencial ................................................................................................ 32
2.6.3 Capa hiperbólica .................................................................................................. 33
V
MÉTODO SPPS .......................................................................................... 34 CAPÍTULO 3.
3.1 Introducción ................................................................................................................ 34
3.2 Una representación de soluciones de la Ecuación de Sturm-Liouville. ..................... 34
3.3 Método numérico para el cálculo de la reflectancia y transmitancia ......................... 38
PROPUESTAS DE DIVISORES ÓPTICOS ............................................. 42 CAPÍTULO 4.
4.1 Introducción ................................................................................................................ 42
4.2 Método de modos acoplados ...................................................................................... 43
4.3 Gráficas resultantes..................................................................................................... 44
CONCLUSIONES ....................................................................................... 50 CAPÍTULO 5.
5.1 Aportaciones del Trabajo de Tesis ............................................................................. 51
REFERENCIAS ................................................................................................................... 52
Apéndice A ........................................................................................................................... 57
VI
GLOSARIO
FTTH (Fiber to the Home)
Red de acceso, definida como aquella que, desde un punto de
presencia del operador hasta la casa del subscriptor, está
soportada por cable y equipos de fibra óptica.
Divisor óptico (Optical Splitter)
Distribuye la señal a dos o más salidas. Se utiliza comúnmente
para distribuir las señales en sus respectivos puertos de salida, o
puede aceptar una señal de luz única y distribuirla a varios
puertos de salida.
FTTx
Generalización para varias configuraciones de despliegue de
fibra óptica de acceso de banda ancha sustituyendo total o
parcialmente el cobre (cable coaxial o par trenzado).
SPPS (Spectral Parameter Power
Series)
Series de Potencias de Parámetro Espectral. Método que permite
la construcción de soluciones para ecuaciones elípticas con base
en potencias formales basadas en un procedimiento de
integración recursiva.
Reflectancia Relación entre la potencia reflejada Pr y la potencia incidente Pi
en un puerto dado de un componente pasivo, para determinadas
condiciones de composición espectral.
Transmitancia Porcentaje de luz que pasa (fracción de la luz transmitida). Los
valores de transmitancia varían de 0 a 1 y también puede ser
expresada en porciento (0 a 100%).
Índice de refracción Una medida que determina la reducción de la velocidad de la luz
al propagarse en un medio. El índice de refracción n está
definido como el cociente de la velocidad c de un fenómeno
ondulatorio como luz en el medio de referencia respecto a la
velocidad de fase vp
VII
ODN (Optical Distribution
Network)
Arquitectura que distribuye las señales a los subscriptores,
emitidas desde la Oficina Central (CO) por medio de fibras y
dispositivos ópticos. Comprende además los siguientes
elementos: una Terminación de Línea Óptica (OLT) y una
Unidad de Red Óptica (ONU).
OLT (Optical Line Terminal) Filtra el tráfico que va dirigido hacia su grupo de abonados y lo
demultiplexa, ya que la línea desde la ONU (Unidad de Red
Óptica) hasta cada abonado es individual. Del mismo modo, en
sentido ascendente la ONU se encarga de recoger las señales de
todos los abonados a los que presta servicio y multiplexarlas,
componiendo la señal que se envía a la OLT. Constituye el
punto de interfaz entre la oficina central (CO) y la red de
distribución.
ONU (Optical Network Unit) Recibe la señal completa y la separa en las señales que van
dirigidas a cada uno de los abonados, haciendo el mecanismo de
demultiplexación de señales.
PON Es una red óptica pasiva. La fibra óptica se ramifica
sucesivamente, mediante acopladores/divisores ópticos, desde la
OLT hasta llegar a cada ONU.
VIII
RELACIÓN DE FIGURAS
Figura 1-1. Estructura general de una red PON [25]. ............................................................. 5
Figura 1-2. Configuraciones de una red FTTx. ...................................................................... 6
Figura 1-3. Tecnologías más destacadas a nivel mundial que ofrecen servicios de banda
ancha [38]. .............................................................................................................................. 9
Figura 1-4. Implementación Típica de una red PON............................................................ 12
Figura 1-5. Configuración de red punto a multipunto [25]. ................................................. 13
Figura 1-6. a) Distribución óptica con un splitter óptico pasivo, b) distribución óptica con
un multiplexor y demultiplexor de longitud de onda [25]. ................................................... 14
Figura 1-7. Topología de una red PON ramificada (1:N splitter). ........................................ 15
Figura 1-8. Splitter en forma de Y o splitter 1×2 [12]. ......................................................... 15
Figura 2-1. Transmitancia y Reflectancia de dos splitters ideales 50/50, longitudes de onda
de 1310 y 1550 nm y con un ancho espectral de ±40 nm. ................................................... 21
Figura 2-2. Transmitancia y Reflectancia de dos splitters ideales, longitudes de onda central
de 1310 y 1550 nm y con un ancho espectral de ±40 nm. ................................................... 21
Figura 2-3. Transmitancia y Reflectancia de un splitter ideal 40/60 y un intervalo de
longitudes de onda de 1260-1650 nm. .................................................................................. 22
Figura 2-4. Representación geométrica del perfil de índice de refracción. .......................... 24
Figura 2-5. Onda Incidente, reflejada y transmisión de las ondas. ...................................... 26
Figura 2-6. Índice de perfiles de algunas capas no homogéneas: L = lineal, E = exponencial,
H = hiperbólica. .................................................................................................................... 31
Figura 3-1. Error absoluto para u1 (curva continua) y u2 (curva punteada) en comparación
con soluciones exactas para un perfil lineal correspondiente a los siguientes valores: n1 =
1.0, n(0) = 1.6, n(d) = 2.7 y n2 = 1.8. .................................................................................... 40
Figura 4-1. Curvas de Reflectancia y Transmitancia con longitud de onda central. ............ 44
Figura 4-2. Curvas de Reflectancia y Transmitancia con una longitud de onda central de
850 nm y con un ancho espectral de ±10 nm. Se usó n2 = 2.3, n4 = 0.02, k = 6.75×106 y d =
184 nm. ................................................................................................................................. 45
Figura 4-3.Curvas de Reflectancia y Transmitancia con una longitud de onda central de
1310 nm y con un ancho espectral de ±20 nm. Se usó n2 = 1.25, n4 = 0.009, k = 4.52106 y
d = 524 nm. ........................................................................................................................... 46
Figura 4-4. Curvas de Reflectancia y Transmitancia con una longitud de onda central de
1310 nm y con un ancho espectral de ±10 nm. Se usó n2 = 2.4, n4 = 0.027, k = 4.39106 y d
= 272 nm. .............................................................................................................................. 46
Figura 4-5. Curvas de Reflectancia y Transmitancia con una longitud de onda central de
1310 nm y con un ancho espectral de ±20 nm. Se usó n2 = 1.4, n4 = 0.02, k = 3.51106 y d =
553 nm. ................................................................................................................................. 47
IX
Figura 4-6. Curvas de Reflectancia y Transmitancia con una longitud de onda central de
1310 nm y con un ancho espectral de ±20 nm. Se usó n2 = 2.05, n4 = 0.013, k = 3.85106 y
d = 378 nm. ........................................................................................................................... 48
Figura 4-7. Curvas de Reflectancia y Transmitancia con una longitud de onda central de
1310 nm y con un ancho espectral de ±40 nm. Se usó n2 = 1.5, n4 = 0.009, k = 3.85106 y d
= 516 nm. .............................................................................................................................. 48
X
RELACION DE TABLAS
Tabla 1-1. Evolución de la red PON..................................................................................... 11
Tabla 1-2. Información de hojas de especificaciones de los splitters que se encuentran en el
mercado ................................................................................................................................ 17
XI
OBJETIVO
Diseñar divisores ópticos para aplicaciones en redes FTTH mediante la simulación de
medios no homogéneos y su análisis por el método de SPPS. Mejorar las características
ópticas de los divisores (como la razón de acoplamiento, el ancho de banda y la longitud de
onda central) a través del análisis de diferentes perfiles propuestos.
XII
JUSTIFICACIÓN
Existen múltiples aplicaciones donde se busca, en función de cierta longitud de onda
considerada, hacer que una onda luminosa sea en cierta medida bloqueada o dejada pasar
por un dispositivo. Prácticamente en todos los sistemas ópticos modernos se hace uso de
dispositivos basados en capas ópticas no homogéneas. En las telecomunicaciones, por
ejemplo, este tipo de medios pueden utilizarse como capas antireflejantes, polarizadores,
filtros y capas dicroicas en pantallas personales, monitores de computadoras y televisores.
Son cada vez más las aplicaciones que se encuentran para los medios ópticos no
homogéneos, como el desarrollo de láseres semiconductores, dispositivos de compensación
de dispersión, guías de onda ópticas, sistemas ópticos de CD y DVD, y en redes de fibras
ópticas [7]. Especialmente en este último campo, tienen aplicación en las redes FTTH
(Fiber To The Home, fibra óptica hasta el hogar).
Estas redes actualmente han tenido un importante despliegue en distintos países debido a
su excelente viabilidad económica. Esto es posible a través del llamado modelo de red
compartida. Al compartir los elementos más caros, como la infraestructura de red y los
costos de la construcción civil, entre varios suscriptores, esto permite que la fibra óptica
llegue económicamente a cada suscriptor o cliente. Otra de sus cualidades es que
proporcionan banda ancha de alta capacidad [26].
El crecimiento en la implementación de estas redes es una de las razones por las cuales se
hace importante el análisis de todos y cada uno de los elementos que las constituyen, y de
particular interés en nuestro caso será analizar un divisor óptico (splitter), componente
imprescindible para este tipo de red [46], para optimizar y mejorar su rendimiento.
Por otra parte, se propone utilizar el método SPPS (Spectral Parameter Power Series, Series
de Potencias de Parámetro espectral) ya que permite calcular los coeficientes de
transmitancia y reflectancia en medios no homogéneos con índices de refracción que
dependen de una variable. Es decir, se propone estudiar splitters basados en capas no
homogéneas con este método, ya que ha probado recientemente ser una herramienta muy
útil para la solución de diversos tipos de problemas de la Física-Matemática, como
XIII
problemas con valores en la frontera, por ejemplo. Dicho planteamiento se utilizará para
realizar el cálculo de los coeficientes ya antes mencionados y así obtener las curvas (que
definen su comportamiento respecto a la longitud de onda) de la transmitancia y la
reflectancia que caracterizan a tales medios [6].
XIV
RESUMEN
El progresivo despliegue de la arquitectura de FTTH (Fiber To The Home, fibra óptica
hasta el hogar) ha hecho que con el fin de desarrollar todo su potencial, se busque mejorar a
todos y cada uno de sus componentes. Un componente necesario para este tipo de red son
los divisores ópticos (splitters). En este trabajo se denomina splitters o divisores ópticos a
los dispositivos que permiten dividir una señal óptica de entrada en N ramas de salida. En
ellas se distribuye la potencia óptica en una forma predeterminada, sin ninguna
amplificación, conmutación ni ningún otro tipo de modulación activa. Se considera que
estos elementos tienen pérdidas bajas debido a que se plantean capas delgadas que en
nuestro caso van de unos 13 m a unos 151 m de espesor.
Aquí se determinan las curvas de reflectancia y transmitancia a través del análisis del perfil
del índice de refracción de un dispositivo basado en una capa delgada no homogénea. Se
busca que estas curvas se aproximen a las ventanas ópticas, ancho espectral y razón de
acoplamiento que los proveedores y recomendaciones especifican como características más
comunes para describir un splitter.
Haciendo distintas propuestas de perfiles, se optimizan los valores de los parámetros para
longitudes de onda específicas y para distintas combinaciones de porcentaje de potencia en
sus puertos de salida (considerando un splitter básico con un puerto de entrada y dos de
salida). Todo esto se hace con la ayuda del método SPPS (Spectral Parameter Power
Series), desarrollado recientemente y basado en la teoría de funciones pseudoanalíticas.
Este método muestra un buen desempeño en términos de la precisión de los cálculos que se
realizan y de la velocidad con la que se llevan a cabo los cómputos necesarios. El método
SPPS permite llevar a cabo el proceso de evaluación en perfiles prácticamente arbitrarios y
se desarrolló numéricamente utilizando Matlab. Todo lo anterior nos hace considerar al
método propuesto tanto eficaz como eficiente para calcular los coeficientes de reflectancia
y transmitancia.
XV
ABSTRACT
The progressive deployment of the FTTH (Fiber to the Home) architecture implies that
with the goal of developing all of its potential, improvements for all and every one of its
components are sought. Optical splitters are mandatory components for this kind of
network. Splitters are devices that allow to divide an optical input signal into N output
branches. In them optical power is distributed in a predetermined manner, without any
amplification, switching or any other kind of active modulation. It is considered that these
elements have low losses due to the fact that thin layers are proposed, which in our case are
in the range from 13 m to 151 m thick.
Here reflectance and transmittance curves are determined through the analysis of a
refractive index profile of a device based on a thin inhomogeneous layer. We look for
curves approaching to the optical windows, spectral width and coupling rates that providers
and recommendations specify as the most common characteristics splitters commercially
available should have.
Different proposals for profiles have been done, trying to optimize the values of certain
parameters for specific wavelengths and for different combinations of power rates at their
output ports (considering a basic splitter with one input port and two output ports). All this
is achieved with the help of the SPPS (Spectral Parameter Power Series) method, recently
developed and based in the theory of pseudoanalytic functions. This method shows a good
performance in terms of accuracy of the calculations performed and of the speed with
which the necessary computations are performed. The SPPS method allows carrying out the
evaluation process in virtually arbitrary profiles and it was developed numerically using
Matlab. All this makes us consider the proposed method both effective and efficient for
calculating the reflectance and transmittance coefficients.
1
INTRODUCCIÓN
El creciente despliegue de las redes de acceso FTTH (fiber to the home, fibra óptica hasta
el hogar) es una de las razones por las cuales se hace necesario el análisis del diseño de los
divisores ópticos (splitters), componentes necesarios para este tipo de red, ya que es
creciente el interés en optimizar su rendimiento.
La red FTTH es capaz de transmitir datos con una mayor capacidad en comparación con la
tecnología basada en cables de cobre [17]. La red FTTH juega un papel importante en la
reducción y la solución del problema de los cuellos de botella del acceso final que se
presentan en las redes de acceso de banda ancha y más específicamente en la red de acceso
óptica [46]. Hoy en día, la red FTTH es reconocida como la solución más reciente para
varios tipos de servicios de comunicación y multimedia, incluyendo teléfono, acceso a
Internet de alta velocidad, televisión digital por cable (CATV) y video [34].
La red PON (Passive Optical Network, Red Óptica Pasiva), es la arquitectura en la que se
basa FTTH. Consta de una OLT, ubicada en las dependencias del operador, y las ONT
(Optical Network Terminal) que son básicamente cualquier dispositivo que convierta
señales ópticas en señales eléctricas. Estas últimas se encuentran situadas en el domicilio
del usuario y también son llamadas ONUs (Optical Network Units). Para conectar la OLT
con la ONU con datos, se emplea un cable de fibra óptica y splitters para subdividir la señal
óptica por distintas rutas físicas.
La manera más clásica de ver un divisor óptico es cuando se lleva la señal que va por una
fibra a otras dos salidas. La intensidad de la luz que emerge de esas dos fibras no tiene por
qué quedar dividida en dos partes iguales, sino que de acuerdo con el tipo de modelo, puede
repartirse en proporciones diferentes entre ambas. Estas salidas tendrán siempre las mismas
características, en cuyo caso nos encontramos con un divisor óptico pasivo, el cual es
recomendado para este tipo de redes.
La forma de fabricación de los divisores ópticos depende de las características que quieran
obtenerse, tanto en lo que se refiere al porcentaje de repartición de potencias entre ramas
2
como a su ancho de banda. En el mercado existen splitters con diferentes números de
puertos de entrada y de salida. En este trabajo nos basaremos en el esquema más simple
donde sólo hay una entrada y dos salidas, mismo que puede usarse posteriormente para
generar arreglos más complejos.
Los splitters son importantes porque, dependiendo de su capacidad, permiten tasas de datos
descendentes de hasta 50 Mbps para 200 usuarios, por lo que estos dispositivos son
ampliamente apreciados para la instalación de redes de alta capacidad de ancho de banda.
Para la fabricación de divisores ópticos puede utilizarse, por ejemplo, la técnica
convencional de un acoplador fundido. Pero también existen métodos basados en una capa
no homogénea que tienen bajo costo de fabricación y un excelente rendimiento en
comparación con las técnicas comunes. Por tal motivo aquí se propone el uso de tales
capas.
El análisis para el diseño de los splitters se llevará a cabo con el método SPPS, el cual nos
permite analizar perfiles arbitrarios (a diferencia de otros métodos), y entonces se podrá
utilizar para mejorar los diseños de los splitters en términos de sus parámetros ópticos más
relevantes operacionalmente.
En este trabajo se busca desarrollar perfiles de índice de refracción para una capa no
homogénea que permitan caracterizar el rendimiento del divisor óptico especificando
parámetros tales como su ancho de banda, longitud de onda central, capacidad para permitir
el paso de un determinado porcentaje de potencia y con ciertos niveles de pérdidas,
etcétera.
Particularmente aquí se propone su uso para el diseño y análisis de divisores ópticos, pero
igualmente el análisis y el método propuesto pueden ser utilizados para el desarrollo de
filtros ópticos, láseres basados en rejillas de Bragg, compensadores de dispersión, guías de
onda, sensores, etcétera.
Se incluye entonces en el Capítulo 1 la información concerniente a la importancia de los
divisores ópticos para el despliegue de redes FTTH, así como la descripción de sus
características más relevantes. En el Capítulo 2 se describe cómo el planteamiento de un
3
medio no homogéneo trae consigo variaciones en las curvas de transmitancia y reflectancia
y cómo se determinan éstas para los dispositivos planteados. A continuación, en el Capítulo
3 se describe el método SPPS y se explica cómo permite obtener las soluciones necesarias
para determinar las curvas de transmitancia y reflectancia requeridas. En el Capítulo 4 se
describen las propuestas de perfiles de índice de refracción analizados y se muestran los
resultados obtenidos al variar distintos parámetros que los definen. Finalmente se incluyen
las conclusiones.
4
LOS DIVISORES ÓPTICOS EN FTTH CAPÍTULO 1.
1.1 INTRODUCCIÓN
La industria de las comunicaciones ha experimentado cambios dramáticos durante la última
década desde la llegada de internet y del acceso de banda ancha. Se ha presentado una
creciente demanda de servicios en línea y aplicaciones de Internet, creando un mercado
sostenible para las redes de acceso con anchos de banda cada vez mayores. Actualmente los
usuarios pueden suponer que los servicios futuros serán más entretenidos y visualmente
atractivos. La prestación de servicios de triple play (voz, datos y video) se ha convertido en
un requisito para las redes de acceso de hoy [33, 9]. A continuación se describirán las redes
de acceso FTTx, de donde se deriva la red de acceso FTTH. Ésta tiene como principal
característica estar basada en un red PON, motivo por lo cual sus elementos serán
especificados. Por último se describirá a más detalle el divisor óptico, ampliamente
apreciado para la instalación de redes de alta capacidad.
1.2 RED ÓPTICA PASIVA (PON)
Las redes ópticas pasivas (PONs, Passive Optical Networks) pueden proporcionar servicios
de banda ancha de manera rentable. Las PONs son redes de acceso ópticas que se extienden
desde una oficina central del operador a viviendas individuales, edificios de apartamentos y
oficinas de negocios. Las PONs se caracterizan generalmente por la ausencia de
componentes activos, con la excepción de los sitios en los que son colocados la
Terminación de Línea Óptica (OLT, Optical Line Termination) y la ONU/ONT (Optical
Network Unit/Termination, Unidad/Terminación de Red Óptica).
Las longitudes de onda de los puertos de salida de la OLT usualmente proceden de un
divisor óptico (optical splitter) pasivo. Sin embargo, una red PON también puede incluir un
RE (Reach Extender, extensor de alcance), que contiene componentes activos, cuando se
5
requiere una larga distancia entre la OLT y la ONU. La red PON se basa generalmente en
una topología en forma de árbol. La estructura general de una red PON se muestra en la
Figura 1 [25].
FIGURA 1-1. ESTRUCTURA GENERAL DE UNA RED PON [25].
La red PON incluye un terminal OLT que normalmente se instala en la oficina central (CO,
Central Office). La OLT es la interfaz entre todos los usuarios conectados a la red PON y la
red metropolitana que conecta las centrales locales de una ciudad o región [3].
Los usuarios tienen acceso a los servicios ofrecidos por la red a través de la terminal de red
(NT, Network Terminal), y a la red de fibra óptica a través de la ONU/ONT.
La OLT y las unidades ONU están conectadas a través de una red de distribución óptica
(ODN), que en muchos casos tiene una configuración punto-a-multipunto (P2MP), la cual
incluye uno o más divisores. Los factores típicos de división de éstos son 1:16 / 1:32 / 1:64
o más, lo cual permite dirigir una sola entrada hacia varias salidas o viceversa. Los
divisores se utilizan para distribuir las señales a partir de un único nodo de servicio a
múltiples de ellos [35].
6
La red PON se muestra en la Figura 1-1. Es completamente pasiva y la distancia máxima
entre el terminal OLT y la Unidad ONU se limita típicamente a unos 20 km con las
relaciones de división más comunes. Sin embargo, también hay soluciones que incluyen el
despliegue de elementos activos en la estructura de la red (por ejemplo, amplificadores
ópticos). Esto ocurre cuando es necesario lograr un alcance más grande (por ejemplo, hasta
60 km) o para reducir el número de sitios de concentración de la CO, o para conectar un
mayor número de usuarios a un solo puerto OLT (por ejemplo, cuando se requiere un
presupuesto de potencia más alto debido a una mayor proporción de división). A este tipo
de soluciones se les llama “red PON de largo alcance” [25].
FTTx o Fiber-To-The-x, es el término genérico que suele aplicarse a una red PON que
provee conectividad de banda ancha a hogares y negocios. La “x” indica qué tan cerca del
usuario está el elemento final de la fibra.
FIGURA 1-2. CONFIGURACIONES DE UNA RED FTTX.
El término FTTx es una generalización para varias configuraciones de despliegue de fibra,
como se observa en la Figura 1-2. En dicha figura pueden verse las configuraciones más
comunes, las cuales se describen a continuación.
FTTH (Fiber To The Home, fibra hasta el hogar)
Se refiere a la entrega del cable de fibra óptica desde una central directamente al
hogar.
7
FTTB (Fiber To The Building, fibra hasta el edificio, negocio o sótano)
Se refiere a la entrega de la fibra óptica desde una central hasta el edificio de un
usuario corporativo o de negocios.
La diferencia entre FTTB y FTTH es que típicamente los negocios demandan mayor
ancho de banda sobre una gran parte del día a diferencia de los usuarios domésticos.
FTTC/FTTK( Fiber To The Curb/Kerb, closet o armario)
Se refiere a correr una línea de fibra óptica desde una central a un switch de
comunicación localizado a 300 metros del hogar o a la empresa del usuario. Un
cable coaxial, par trenzado de cobre o algún otro modo de transmisión es utilizado
para conectar desde el equipo de fibra al edificio del cliente.
FTTN (Fiber To The Neighborhood, fibra hasta el barrio o nodo)
Se refiere a una arquitectura de red óptica pasiva donde el área restante desde el
nodo destino a un individuo, a menudo llamado servicio “última milla", se puede
lograr con cobre u otros tipos de alambre. Sistemas de FTTN a menudo utilizan
cable coaxial o par trenzado con el fin de lograr la entrega de servicios de triple play
(voz, datos y video) a múltiples clientes. El nodo suele estar más lejos de los
abonados que en FTTH y FTTB
FTTO (Fiber To The Office, fibra hasta la oficina)
Es lo mismo que FTTB, en donde un camino de fibra óptica es previsto por toda la
ruta hacia el negocio del usuario.
FTTP (Fiber To The Premises, fibra hasta la unidad habitacional)
Se convierte en el término predominante que acompaña a varios conceptos FTTx. A
través de las arquitecturas FTTP se incluyen implementaciones FTTB y FTTH [2].
Una ONU se localiza en las instalaciones del suscriptor en FTTH, en FTTB o en FTTC. En
estos últimos casos, el enlace óptico se termina en la ONU. Entonces el último tramo hasta
las instalaciones del suscrito suele implementarse usando cobre como parte de la red, por
ejemplo, mediante líneas xDSL (Digital Subscriber Line, línea de suscripción digital)
existentes. Esto hace posible el acceso a la banda ancha. Éste fue un logro importante
porque permitió a la sociedad tener acceso a la banda ancha, proporcionando una vida útil
adicional a las líneas telefónicas [25, 26].
8
En un contexto global, actualmente Asia presenta el mayor crecimiento de número de líneas
FTTx, mientras que las de DSL se considera que tienen un tiempo de vida menor, además
de que éstas tienden a tener costos de gestión más elevados. Las estructuras HFC (Hybrid
Fibre-Coaxial, híbrida coaxial-fibra), comúnmente desplegadas por los operadores de
televisión por cable CATV (Community Antenna Television, Televisión por cable), al
agregar servicios de datos (TV por cable, datos, teléfono), no se consideran tan atractivas.
Esto sobre todo debido a los grandes OPEX (Operating expense, gastos operativos) /
CAPEX (CAPital EXpenditures, gastos de capital) que se deben considerar para tener una
red en estado óptimo, ya que se invierte continuamente en su mantenimiento. Los
operadores de Telecomunicaciones de Asia han comprendido que es esencial introducir
tecnologías de redes FTTx, las cuales se basan en la utilización de cables de fibra óptica y
sistemas de distribución ópticos. Han hecho una transición de DSL a FTTx. Una vez hecho
esto, se tiene en cada hogar una conexión de banda ancha, con datos bidireccionales, con
enlaces de al menos 100 Mbps. Este ancho de banda es suficiente para varios canales de
televisión de alta definición (HD, High Definition), Internet de alta velocidad, varios
servicios de video e incluso el servicio telefónico estándar (POTS, Plain Old Telephone
Service) puede implementarse como Voz sobre internet basada en un protocolo IP (VoIP,
Voice over Internet Protocol) [24].
El mercado asiático presenta el mayor despliegue de FTTx en el mundo, teniendo en los
Emiratos Árabes Unidos (EAU) un despliegue de 71.96% de penetración de fibra óptica en
los hogares (FTTH). Así mismo, otros países asiáticos encabezan los mayores porcentajes
de penetración de FTTH, como es el caso de Corea del Sur con 69.54% y Singapur con
22.64% [38].
El mercado de América (incluyendo EE.UU. y Canadá ) es más conservador, por lo que se
estima un valor de 9.62% de implementación de redes FTTH [38], aunque en los últimos
años se observó un aumento en el número de despliegues FTTx. Éste fue impulsado
principalmente por los proveedores de servicio no tradicionales, tales como las empresas de
servicios públicos, municipios y desarrolladores de vivienda, así como los operadores de
ámbito local (CLEC, Competitive Local Exchange Carrier) de nueva creación a partir de
9
los procesos de liberación. Hoy en día, FTTH se ha convertido en la tecnología preferida de
los ILEC (Incumbent Local Exchange Carriers), las cuales son compañías telefónicas ya
existentes en las épocas de los monopolios (como por ejemplo las Baby Bells [3]) las cuales
suelen implementar esta tecnología en las viviendas recién construidas, edificios de oficinas
o complejos comerciales. Canadá, por otra parte, a pesar de su baja densidad de población,
sigue siendo uno de los líderes mundiales en penetración de banda ancha, debido
principalmente a centenares de establecimientos que han implementado la banda ancha y a
programas impulsados por el gobierno [24].
Europa está generalmente atrás de Asia en términos de despliegue de FTTx. Sus principales
exponentes son Lituania, ubicada al norte de Europa, con una incursión de 31.3% y Rusia
(la parte que pertenece a Europa), que tiene 13.78% de FTTH [38]. La actual situación en
Europa se atribuye principalmente a la existencia de una alta calidad en el cobre y en la
infraestructura, lo que permite el despliegue de ADSL / ADSL + VDSL casi en cualquier
lugar, proporcionando alternativas mucho más atractivas que la apertura de zanjas en el
despliegue de la fibra y la creación de una nueva infraestructura de red [24].
En la Figura 1-3 se presenta el porcentaje que ocupan a nivel mundial las tecnologías FTTH
y FTTx (según datos obtenidos por organizaciones internacionales, [38]).
FIGURA 1-3. TECNOLOGÍAS MÁS DESTACADAS A NIVEL MUNDIAL QUE
OFRECEN SERVICIOS DE BANDA ANCHA [38].
10
1.3 FTTH
La red óptica pasiva (PON) es una tecnología económicamente viable para proporcionar
banda ultra-ancha a las redes de acceso FTTH. Sus primeros despliegues se cuentan a
principios de los 90’s. Se han unido operadores de telecomunicaciones, compañías ya
establecidas de líneas telefónicas, fabricantes de equipo, etcétera, para desarrollar
estándares que permitan tener una referencia para el control de procesos, técnicas de
medida y comunicación.
Si se sigue su evolución, en 1995 British Telecom (BT), Bell South, Bell Canada, Nippon
Telephone and Telegraph (NTT) y otras cinco empresas de telecomunicaciones
internacionales se reunieron para formar la red de acceso de servicio completo (FSAN).
Ésta fue creada para facilitar el desarrollo de normas y de equipos adecuados. En 1996, la
legislatura de EE.UU. firmó la Ley de Telecomunicaciones de “promover y reducir la
regulación con el fin de asegurar la reducción de los precios y ofrecer servicios de mayor
calidad para los consumidores estadounidenses de telecomunicaciones y fomentar el rápido
despliegue de las nuevas tecnologías de telecomunicaciones”. La Unión Internacional de
Telecomunicaciones (ITU) convirtió las especificaciones de FSAN en recomendaciones
para la normalización. La especificación FSAN de ATM-basada en PON (APON) se
convirtió en un estándar internacional en 1998 y fue adoptada por la UIT como las
recomendaciones G.983.1. En 2001, se formó el Consejo de FTTH para promover FTTH en
América del Norte y para asesorar al Congreso de los EE.UU. Esto dio lugar a la Ley de
Acceso a Internet de banda ancha de 2001, que ofrece incentivos fiscales a las empresas
que invierten en FSAN creando el desarrollo de normas para equipos de banda ancha de
próxima generación. En 2003, la Comisión Federal de Comunicaciones de EE.UU. (FCC)
eliminó los requisitos de separación de las redes FTTx, haciendo la tecnología más atractiva
para los principales operadores. Además de los EE.UU, muchos países asiáticos (China,
Japón, Corea y Taiwán) y Europa están actualmente probando y desplegando PONs, y el
Instituto de Ingenieros Electrónicos (IEEE), Comité 802.3ah, ha completado los estándares
de Ethernet PON (EPON) [14]. La Tabla 1-1 describe su evolución, ya antes mencionada,
y algunas de sus características principales.
11
TABLA 1-1. EVOLUCIÓN DE LA RED PON.
BPON GPON EPON
Ancho de banda
del flujo
descendente
622 Mbps/1.2
Gbps
2.4 Gbps 1.2 Gbps
Ancho de banda
del flujo
ascendente
155 Mbps/622
Mbps
1.2 Gbps 1.2 Gbps
Máx ONTS 32 128 256
Soporte
Multicast
Agregado en la
enmienda de
Mayo de 2005 de
la FSAN
Soporte Nativo Soporte Nativo
Control de
estándares
FSAN/Operadores
(ITU-T G.983)
FSAN/Operadores
(ITU-T G.984)
IEEE
1.4 ELEMENTOS DE LA RED FTTH
FTTH es una tecnología de red de acceso que se basa en la red óptica pasiva (PON). Ésta
consta de un módulo de terminal de línea óptica (OLT) el cual está conectado con múltiples
unidades de red óptica (ONUs) mediante una red de distribución óptica pasiva (ODN). Para
establecer la conectividad de punto a multipunto, se utilizan divisores ópticos pasivos
(véase Figura 1-4). En general, la terminal OLT se encuentra en una oficina central y
proporciona la interfaz entre la red de acceso y el nodo de servicio. Los elementos de esta
12
arquitectura están descritos por el estándar G.984.x de la ITU-T (Unión Internacional de
Telecomunicaciones) [30, 40, 41].
FIGURA 1-4. IMPLEMENTACIÓN TÍPICA DE UNA RED PON.
1.5 ARQUITECTURA ODN
Las arquitecturas de ODN más utilizadas incluyen punto a punto (P2P) y de punto a
multipunto (P2MP), cada una con ventajas y desventajas específicas. La arquitectura de
punto a multipunto parece ser en este momento la preferida en la mayoría de los casos,
sobre todo por su menor costo.
El siguiente análisis se centra principalmente en la arquitectura de punto a multipunto.
13
1.6 ARQUITECTURA PUNTO A MULTIPUNTO ODN
La configuración básica de una arquitectura de punto a multipunto ODN se muestra en la
Figura 1-5.
FIGURA 1-5. CONFIGURACIÓN DE RED PUNTO A MULTIPUNTO [25].
En la arquitectura ODN de punto a multipunto se coloca un componente de ramificación
óptico entre el terminal OLT y varias unidades ONU, conectadas de esta manera a la OLT.
Como consecuencia, la cantidad de fibra necesaria es menor en comparación con la
arquitectura punto-a-punto.
Las Redes de acceso óptico basadas en una arquitectura ODN punto-a-multipunto se
denominan generalmente redes ópticas pasivas (PONs).
La implementación práctica de una PON con frecuencia muestra una configuración de
múltiples etapas optimizando tanto el costo de la red como el número de abonados
alcanzados por puerto OLT. La configuración en varias etapas se basa en la inserción de
14
dos o más componentes ópticos de ramificación en cascada.
1.7 DIVISORES ÓPTICOS (OPTICAL SPLITTERS)
Dos tipos de componentes ópticos de ramificación se pueden utilizar en un ODN. Un tipo
tiene un multiplexor y demultiplexor de longitud de onda, el otro no.
Un componente de distribución óptica (no selectivo en longitud de onda) es un componente
pasivo sin un multiplexor de longitud de onda ni demultiplexor, que posee dos o más
puertos y que distribuye la potencia óptica entre sus puertos en una forma predeterminada,
sin ninguna amplificación, conmutación ni ningún otro tipo de modulación activa (véase la
Figura 1-7). También se conoce como un "divisor óptico" o un "acoplador óptico" y será de
nuestro interés ya que el análisis a continuación estará basado en este dispositivo [42].
FIGURA 1-6. A) DISTRIBUCIÓN ÓPTICA CON UN SPLITTER ÓPTICO PASIVO, B) DISTRIBUCIÓN ÓPTICA CON UN
MULTIPLEXOR Y DEMULTIPLEXOR DE LONGITUD DE ONDA [25].
La configuración básica de un divisor óptico (componente de ramificación con longitud de
onda no-selectiva) utilizada en una red PON se muestra en la Figura 1-6.
15
FIGURA 1-7. TOPOLOGÍA DE UNA RED PON RAMIFICADA (1:N SPLITTER).
Los divisores ópticos para redes PON se caracterizan en la Recomendación ITU-T G.671
[42] para el término de 1 × x, donde x = 4, 8, 16 ó 32 donde x determina el número de
puertos de salida. Es importante señalar que la pérdida de inserción aumenta a medida que
se incrementa el número de ramas.
Un divisor óptico es un componente de ramificación que divide una señal de luz en
caminos separados, pero no es un elemento electrónico y de ahí su denominación de
"pasivo". Su principio de funcionamiento se muestra en la Figura 1-8, donde se presenta la
división de una señal óptica en dos puertos de salida. El principio es extensible hasta
conseguir dividir la señal óptica en n salidas:
FIGURA 1-8. DIAGRAMA Y PRINCIPIO DE FUNCIONAMIENTO DE UN SPLITTER EN FORMA DE Y O SPLITTER 1×2
[12].
La capacidad de los splitters permitiría a una XGPON de 10 Gbps proveer una tasa de datos
16
descendente de 50 Mbps a 200 usuarios, por lo que estos dispositivos son ampliamente
apreciados para la instalación de redes de alta capacidad [15].
El avance en la tecnología de fabricación y empaque de los splitters fue impulsado por la
demanda del mercado, como respuesta a los requerimientos de aplicaciones de
telecomunicaciones, CATV y FTTx, así como la de sensores o equipos de medida y
monitorización de sistemas. Todos los modelos que se ofrecen comercialmente deben
cumplir con las normativas de Telecordia (Bellcore) GR-1209-CORE, GR-326-CORE y
GR-910-CORE [35, 36, 37], y con los principales estándares ópticos (ancho de banda,
pérdida de inserción y uniformidad), ambientales (cambios de temperatura y resistencia a la
humedad) y mecánicos (impacto, vibración y flexibilidad).
Otra de sus características fundamentales es la razón de acoplamiento, la cual determina
qué porcentaje de la potencia entrante se dirigirá a cada uno de sus puertos de salida.
Algunas de las razones de acoplamiento más usadas son: 1/99, 5/95, 10/90, 20/80, 30/70,
40/60 y 50/50.
El rendimiento de todos los divisores varía con la longitud de onda. Los divisores suelen
especificarse en una longitud de onda que es la longitud de onda central de funcionamiento
del splitter, mientras que la banda de paso es el intervalo de longitudes de onda sobre el que
se garantizan las especificaciones. Comercialmente existen splitters que utilizan 850, 980,
1310, 1480, 1550 y 1580 nm como longitudes de onda centrales, con anchos espectrales de
±20 ó ±40 nm. Otros ocupan intervalos más amplios de longitudes de onda como: 1260-
1650 ó 600-1650 nm. Estos criterios de la banda de paso se especifican en GR-1209-CORE
[35].
La siguiente tabla describe la información recolectada de hojas de especificaciones de
divisores ópticos que se encuentran actualmente en el mercado. Ahí se observan parámetros
de longitud de onda central, ancho de banda y razón de acoplamiento, información que
utilizaremos para analizar su comportamiento mediante sus respectivas curvas de
Transmitancia y Reflectancia consiguiendo que se encuentren en las ventanas ópticas, con
17
el ancho espectral y la razón de acoplamiento que los proveedores y las recomendaciones
especifican.
TABLA 1-2. INFORMACIÓN DE HOJAS DE ESPECIFICACIONES DE LOS SPLITTERS QUE SE ENCUENTRAN EN EL
MERCADO
MARCA
ACOPLADOR
LONGITUD
DE ONDA
CENTRAL
ANCHO
DE
BANDA
IMAGEN
GRUPO
COFITEL
[47]
Acoplador divisor
12 50/50 con conector
SM/SC/UPC.
Configuración: 1/99
5/95, 20/80, 40/60, 50/50
1310 &
1550nm
±40 nm
GRUPO
COFITEL
[48]
Acoplador divisor de
banda ancha, doble
ventana (conectores no
considerados)
1310 &
1550nm
± 40 nm
GRUPO
COFITEL
[49]
Splitters (acopladores
divisores) FTB (Fused
Biconic Taper) SM
Configuración : 12 14
18 116 132
1310 &
1550nm, o
sobre demanda
±40 nm
GRUPO
COFITEL
[50]
Splitters (acopladores
divisores) PLC
(Encapsulados) SM
12, 14, 18, 116,
132, 164
1260-1650
390 nm
18
A.C.-Óptica
[51]
Acoplador óptico del
divisor de fibra de un
solo modo
12,13,14,18,19,22
850, 980,
1310, 1480,
1550, 1585 nm
No
especificó
el
fabricante
CSYHT [52]
4 divisores ópticos de
fibra, acoplador de fibra
óptica 12; 14; divisor
18,116,136,1×N
Ración de acoplamiento
50/50, 40/60, 30/70.
20/80.
850 nm o 1310
nm o 1550 nm
±20 nm
±40 m
Govo [53]
Divisor óptico del
acoplador de fibra de
banda ancha de la Dual-
ventana 1×2, 2×2; 50/50.
1310/1550
±40
HY [54]
Divisor/acoplador
ópticos de fibra
1×2, 2×2.
1310/1550
±40
jassonfiber/O
EM [55]
Divisor del PLC,
acoplador óptico de fibra
del divisor de fibra 1×n,
12, 14, 18, 116,
132, 164 y de
acoplador 232, 264
1310/1550
±40
19
J-red [56]
Acoplador del
PLC/divisor óptico de
fibra
1310 ó
1550nm
±40 nm
Jshhdz [57]
Divisor/acoplador
ópticos de la fibra
1310,1490 y
1550 nm
1310±40
1490±10
1550±40
KINGTON
[58]
Divisor/acoplador de la
fibra 132
1280~1250 nm
30 nm
NAVEGA-
CIÓN [59]
Acoplador de fibra óptica
1260~1620 nm
360 nm
OEM [60]
Acoplador caliente de
fibra con conectores: SC,
UPC, SM 116
1260~1650 nm
390 nm
Una vez analizadas las aplicaciones en las redes FTTH de los divisores ópticos podemos
empezar a explicar las características que los definen, lo cual constituye el objeto del
siguiente capítulo.
20
CURVAS DE REFLECTANCIA Y CAPÍTULO 2.
TRANSMITANCIA
2.1 INTRODUCCIÓN
Si se hace pasar luz con un espectro de frecuencias amplio por un material, fenómenos tales
como las transiciones electrónicas o vibraciones del material y de impurezas, dopantes,
defectos o centros de color, etcétera, actúan de distinta manera sobre las diferentes
longitudes de onda que componen al haz, ya sea dejándolas pasar, reflejándolas o
absorbiéndolas. Una gráfica donde se representan las distintas longitudes de onda contra los
valores porcentuales de transmisión o reflexión de energía por parte de un medio o
dispositivo es lo que se conoce como sus curvas de transmitancia y reflectancia. Hay varias
maneras para determinar estas curvas para un dispositivo óptico. Los diversos métodos para
obtenerlas se basan en diferentes principios físicos. Por ejemplo, en medios compuestos por
capas delgadas puede emplearse un espectrofotómetro de reflectividad para medir la luz
reflejada.
En este capítulo se citarán ejemplos de curvas de reflectancia y transmitancia ideales y se
plantean los conceptos de coeficientes de reflectancia y transmitancia. También se explica
una capa no homogénea descrita por un perfil de índice n(x) con características específicas
en la cual se considera la propagación de la luz.
2.2 COEFICIENTES DE REFLECTANCIA Y TRANSMITANCIA
En las Figuras 2-1, 2-2 y 2-3 se muestran ejemplos de las curvas que idealmente se
esperaría tener en algunos splitters y que permitirían mediante un arreglo simple obtener la
luz reflejada y la transmitida como las señales en los puertos de salida de tales dispositivos.
21
FIGURA 2-1. TRANSMITANCIA Y REFLECTANCIA DE DOS SPLITTERS IDEALES 50/50, LONGITUDES DE ONDA DE
1310 Y 1550 nm Y CON UN ANCHO ESPECTRAL DE ±40 nm.
FIGURA 2-2. TRANSMITANCIA Y REFLECTANCIA DE DOS SPLITTERS IDEALES, LONGITUDES DE ONDA
CENTRAL DE 1310 Y 1550 nm Y CON UN ANCHO ESPECTRAL DE ±40 nm.
22
FIGURA 2-3. TRANSMITANCIA Y REFLECTANCIA DE UN SPLITTER IDEAL 40/60 Y UN INTERVALO DE
LONGITUDES DE ONDA DE 1260-1650 nm.
Existen métodos de fabricación de divisores ópticos pasivos basados en una capa no
homogénea que tienen bajo costo de fabricación y un excelente rendimiento en
comparación con la técnica convencional que utiliza un acoplador fundido para la
fabricación del divisor óptico [34], y es por ello que aquí se propone el uso de tales capas.
El análisis matemático de la curva de reflectancia obtenida a partir de ciertos perfiles de
índice de refracción puede desarrollarse utilizando múltiples modelos (ver, por ejemplo [5]
y las referencias ahí citadas), cada cual con ventajas y desventajas inherentes al método de
solución empleado.
El estudio de la propagación de ondas en el caso que se estudia se lleva a cabo utilizando la
forma armónica compleja en el tiempo de las ecuaciones de Maxwell. Para lo anterior se
necesita de soluciones sinusoidales de estado estable. Éstas se generan siempre que sus
fuentes de carga y de corriente tengan densidades que varíen sinusoidalmente con el
tiempo. Con las fuentes activas por tiempo suficiente las componentes de campos
transitorios decaen hasta niveles despreciables. Entonces se puede reemplazar a las
funciones del espacio y tiempo con productos de funciones complejas del espacio
solamente, multiplicadas por el factor complejo .
23
Distintos procedimientos se han planteado para la solución numérica para determinar la
reflectancia y la transmitancia, basados principalmente en métodos canónicos bien
conocidos como el método de diferencias finitas y el método de expansión en series de
potencias (véanse [19, 46, 18, 8]), o en la aproximación de una capa no homogénea por
una estructura que consta de muchas capas homogéneas (ver [20, 28, 10, 34]). Métodos
asintóticos tales como el método de perturbación o el método WKB son también aplicados
a este problema (véanse, por ejemplo, [28, 13, 39]), aunque cuando la capa no homogénea
es de una longitud finita la aplicación de la técnica WKB no parece ventajosa [7]. Sólo
algunos perfiles para capas no homogéneas tienen soluciones exactas [27, 46] (más
adelante se detallan en la Sección 2.3), las cuales se usan comúnmente para probar otros
métodos numéricos.
En trabajos anteriores [6, 5] se presentó una nueva perspectiva para el cálculo de la
reflectancia y la transmitancia en capas no homogéneas finitas. Representando las
soluciones de las ecuaciones de Sturm-Liouville, obtenidas en [18] y desarrolladas en [8],
en forma de una serie de funcionales cuya convergencia se calcula con facilidad, la
precisión resultante del método numérico propuesto resultó ser mejor que la de otras
técnicas (la comparación se hizo con la rutinas estándar de Matlab para resolver problemas
de valor inicial y frontera para las ecuaciones de Schrödinger y Sturm-Liouville
unidimensionales).
2.3 FORMULACIÓN Y SOLUCIÓN ANALÍTICA DEL PROBLEMA
Considerando lo anterior, es posible representar el fenómeno anteriormente descrito
mediante una ecuación de segundo grado: la ecuación de Helmholtz. Considere una onda
incidente en la región I (véase la Figura 2-4) representada por la función escalar u la cual
representa la componente transversal del campo eléctrico de una onda electromagnética
linealmente polarizada que satisface la ecuación de Helmholtz (con incidencia normal por
simplicidad)
( ) [ ( ) ] ( ) (2.1)
24
donde u representa la componente transversal del campo eléctrico, y en el caso de la
polarización p satisface la siguiente ecuación de Sturm-Liouville (véanse, por ejemplo, [16,
11]):
( ) .
( ) ( )/
[ ( ) ] ( ) (2.2)
donde
k es el número de onda del espacio vacío
n(x) es el perfil de índice de refracción que tiene valores constantes n1 y n3 en las regiones
x < 0 y x > d y que es una función continua arbitraria en el intervalo 0 x d.
En la Figura 2-4 puede observarse una representación de un medio compuesto por una
delgada capa no homogénea limitada por dos medios con índices de refracción constantes.
FIGURA 2-4. REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DEL PERFIL DE ÍNDICE DE REFRACCIÓN.
En la figura n es el índice de refracción el cual tiene valores constantes n1 y n2 en las
regiones donde x < 0 y x > d, respectivamente, y es una función continua arbitraria n(z) en
el intervalo de 0 < x < d (véase la Figura 2-4).
25
La constante de propagación β está relacionada con el ángulo de incidencia de la onda de la
siguiente manera: β = k sen θ (véase [16]), y β desaparece en el caso de incidencia normal.
Aunque las ecuaciones (2.1) y (2.2) describen el comportamiento de los diferentes
componentes de una onda electromagnética, correspondientes a un campo a eléctrico y un
campo magnético, respectivamente, existe una transformación simple a partir de (2.2) a
(2.1) y viceversa (ver, por ejemplo, [16]). Es decir, si v es una solución de (2.2) entonces U
= v / n es una solución de la ecuación
( ) [ ( ) ] ( )
donde
⁄ (
⁄ )
.
Defínanse √ y √
.
Se considera en este trabajo un medio sin pérdidas. La solución u junto con su primera
derivada deben ser continuas para toda x incluyendo los puntos x = 0 y x = d. Se supone que
la onda incidente en la Región I es normal (β = 0) y tiene la forma , donde k1 = kn1, y
junto con la onda reflejada la solución completa para x < 0 es la combinación
( )
donde:
R= Una constante llamada coeficiente de reflexión, para la cual R 1. La solución que
corresponde a la onda transmitida en la Región III tiene la forma
( )
donde T es el coeficiente de transmisión. En el caso de los medios no absorbentes para las
ondas normalmente incidentes se tiene que la relación de conservación de energía es la
siguiente:
⁄ . (2.3)
26
FIGURA 2-5. ONDA INCIDENTE, REFLEJADA Y TRANSMISIÓN DE LAS ONDAS.
Se propone que las dos soluciones linealmente independientes u1 y u2 de (2.1) en el
intervalo no homogéneo son conocidas, de tal manera que las siguientes
condiciones iniciales se satisfacen:
( ) ( ) (2.4)
y
( ) ( ) (2.5)
Entonces puede obtenerse una expresión analítica para R en términos de u1 y u2 (las
fórmulas indicadas a continuación también son ciertas para la ecuación (2.2), cuando uno
sustituye u1 y u2 con las soluciones v1 y v2 de (2.2) que satisfacen las condiciones iniciales
(2.4) y (2.5) respectivamente). La solución general de (2.1) tiene la forma
27
siendo c1 y c2 constantes arbitrarias. Si se tiene continuidad en u y u' en x = 0, se obtienen
las siguientes condiciones para c1 y c2:
( ) , (2.6)
( ) ( ) (2.7)
Por lo tanto, la solución u tiene la forma ( ) ( ) . El requisito de la
continuidad de u y en x = d lleva al siguiente par de igualdades:
( ) ( ) ( ) ( ) , (2.8)
( ) ( ) ( )
( ) . (2.9)
De este sistema se obtienen las expresiones para R y T [4],
( )
( ) ( ) ( )
[ ( ) ( )] [ ( )
( )]
y
[ ( )
( ) ( ) ( ) ]
[ ( ) ( )] [ ( )
( )]
2.4 CAPAS NO HOMOGÉNEAS
En esta sección se consideran estructuras "estratificadas" que consisten en capas cuyo
índice de refracción varía como una función de la profundidad de la capa [46]. Las capas
con índices de refracción que varían continuamente juegan un papel importante en filtros
espectrales y revestimientos anti reflejantes de banda ancha. Aquí se discute la propagación
de ondas en estas capas no homogéneas, así como las propiedades de reflexión y
transmisión de este tipo de estructuras. También se discuten varias estructuras que tienen
perfiles de índice que permiten soluciones exactas. Vamos a empezar con la aproximación
WKB, que es un enfoque general y se puede aplicar a cualquier perfil de índice.
28
2.5 LA APROXIMACIÓN WKB
Se considera la propagación de la luz en una capa no homogénea descrita por un perfil de
índice n(x). La ecuación de la onda de luz que se propaga a lo largo del eje x está dada por:
( ) (
)
( ) (2.10)
donde ω es la frecuencia angular y c es la velocidad de la luz en el vacío.
Cuando el perfil de índice n(x) es uniforme (es decir, n(x) = constante), la solución es la
bien conocida onda plana que, además de un factor constante, se puede escribir como
( ) [ ( )] (2.11)
donde (x) es la fase y se puede escribir como
( ) (2.12)
con k el número de onda. El número de onda está relacionado con el índice de refracción
por
(2.13)
donde recordamos que λ es la longitud de onda de la luz en el vacío.
Esta solución de (2.11) ya no es válida cuando el índice de refracción varía en el espacio.
Sin embargo, en el caso cuando el perfil de índice n(x) es una "función lentamente variable"
de x, la solución (2.11) puede considerarse como una primera aproximación. De la
sustitución de la ecuación. (2.11) en la ecuación de onda (2.10) se obtiene
(
) (
)
(
)
(2.14)
Si asumimos que (
) es pequeño, en otras palabras
|
| (
)
(2.15)
29
y la primera aproximación se convierte en
( )
∫ ( )
∫ ( ) (2.16)
La condición de la validez de la ecuación (2.15) (que (
) será pequeño en relación con
(nω/c)2) es entonces
|
| |
| |
|. (2.17)
Físicamente, esta condición lentamente variable significa que el cambio fraccional en el
índice de refracción en una longitud de onda debe ser pequeño en comparación con el
índice de refracción.
Una segunda aproximación ahora se puede conseguir por iteración. De la ecuación. (2.16),
obtenemos
. (2.18)
Sustituyendo esto para el término más pequeño de la ecuación. (2.14), obtenemos
(
)
(
)
(
), (2.19)
, (2.20)
( )
∫ ( )
( ). (2.21)
Las dos opciones de signo en la ecuación (2.21) darán dos soluciones aproximadas que se
pueden combinar para dar la solución general
( )
√ ( ), *
∫ ( ) + *
∫ ( ) +- (2.22)
donde A y B son constantes arbitrarias. Los signos menos y más obviamente corresponden a
las ondas viajando hacia la derecha y la izquierda respectivamente.
30
Hay una buena razón física para la amplitud √ en el denominador en la ecuación (2.22) en
relación con el transporte de la energía. En un medio sin pérdidas, el flujo de energía a lo
largo del eje x debe ser independiente de x. El vector de Poynting S promediado en el
tiempo está dado por
(2.23)
Dado que el índice de refracción n está variando en un medio no homogéneo, la amplitud
también debe variar correspondientemente para mantener constante el flujo de energía.
2.6 ALGUNAS SOLUCIONES EXACTAS
Ahora se discuten algunas soluciones de la propagación de ondas (ecuación (2.10)) para
varios perfiles de índice para los cuales se tienen soluciones de forma cerrada. Se adoptará
la descripción de la falta de homogeneidad utilizando el perfil de índice n(x) en lugar de
utilizar la constante dieléctrica ε(x).
2.6.1 CAPA LINEAL
Consideremos en primer lugar una capa dieléctrica cuyo perfil de índice es lineal y está
dado por
( )
(2.24)
donde n0 es el índice de refracción en x = 0; ns es el índice de refracción en x = L, y L es el
espesor de la capa. La Figura 2-5 muestra dicho perfil lineal.
31
FIGURA 2-6. ÍNDICE DE PERFILES DE ALGUNAS CAPAS NO HOMOGÉNEAS: L = LINEAL, E = EXPONENCIAL, H =
HIPERBÓLICA.
Mediante la introducción de una nueva variable
( ) (2.24)
con
, (2.25)
la ecuación de onda (2.10) se convierte en
(2.26)
La solución de la ecuación (2.26) consiste en funciones de Bessel de orden 1/4 y se puede
escribir como
√ * (
) (
)+ (2.27)
donde A y B son constantes arbitrarias y J¼ e Y¼ son funciones de Bessel de primera y
segunda clase, respectivamente.
32
2.6.2 CAPA EXPONENCIAL
Considere la posibilidad de una capa dieléctrica cuyo perfil de índice está dado por
( ) *
(
)+ (2.28)
donde, de nuevo n0, ns, y L son como se definió en la ecuación (2.24).
Sea la nueva variable
( )
(2.29)
con γ dada por
. (2.30)
Con la sustitución de la ecuación (2.29) en la ecuación de onda y el uso de
(2.31)
se obtiene
(2.31)
La solución de (2.31) se compone de funciones de Bessel de orden cero y se puede escribir
como
(
) (
) (2.32)
donde A y B son constantes arbitrarias.
33
2.6.3 CAPA HIPERBÓLICA
Considere finalmente la posibilidad de una capa dieléctrica cuyo perfil de índice viene dado
por
( )
[( ) ]
. (2.33)
La solución para este caso puede ser escrita como
√ ( ) √ ( ) (2.34)
donde A y B son constantes arbitrarias y m está dada por
(
)
(
)
(
)
(2.35)
En este capítulo se planteó el problema a resolver, así como todos los conceptos relevantes
para el entendimiento de las curvas que definen el funcionamiento de los divisores ópticos.
En el siguiente capítulo se presentaran los elementos más importantes que permiten
entender el método que se propone para resolver el problema antes mencionado.
34
MÉTODO SPPS CAPÍTULO 3.
3.1 INTRODUCCIÓN
El método que aquí se propone para calcular los coeficientes de reflectancia y transmitancia
se denomina SPPS (Spectral Parameter Power Series, Series de Potencias de Parámetro
Espectral) y se basa en la Teoría de Funciones Pseudoanalíticas, desarrollada por el
profesor Lipman Bers en la segunda mitad del Siglo XX, y en la Teoría de Funciones
Analíticas Generalizadas propuesta por el profesor Ilia Vekua. Ambas fueron desarrolladas
de manera independiente, pero vieron la luz de forma casi simultánea y existe entre ellas
una estrecha relación. La limitante que encontraron en la época en que se dieron a conocer,
fue que requerían el uso de algoritmos recursivos, y los dispositivos de cómputo
disponibles en ese entonces se encontraban en una etapa demasiado temprana para poder
usarlos en pos de un análisis más profundo de estos trabajos [31].
Para poder implementar el método SPPS es preciso conocer antes algunas definiciones
básicas del análisis y propiedades de las potencias formales. Éstas se presentarán a
continuación.
3.2 UNA REPRESENTACIÓN DE SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN DE
STURM-LIOUVILLE.
Considere la ecuación
( ) (3.12)
donde se supone que p, q, r y v son funciones de valores complejos de una variable real
independiente x ∈ [0, d] y β es un número complejo arbitrario. Se supone que los
coeficientes p, q y r son tales que existe una solución particular v0 de la ecuación
( ) (3.13)
35
de tal manera que las funciones y (
)⁄ son continuas en [0, d]. El siguiente
resultado se obtuvo en [21] en el caso de r ≡ 1 y fue generalizado en [22] para una r
arbitraria.
La solución general de (3.12) tiene la forma
(3.14)
donde c1 y c2 son constantes complejas arbitrarias y v1 y v2 se definen a continuación:
∑ ( ) ∑ ( )
(3.15)
donde ( )y ( )son introducidas por las siguientes igualdades recurrentes para n = 0
( ) ( ) (3.16)
y para ∈ ,
( )( )
{
∫ ( )( )
( )
∫ ( )( ) ( )
( )( )
{
∫ ( )( ) ( )
∫ ( )( )
( )
Otra representación de la solución general de (3.12) como una serie de potencias formales
ha sido conocida desde hace mucho tiempo (véase [29, Teorema 1]) y se utiliza para el
estudio cualitativo de las propiedades de las soluciones. El parámetro β participaba en la
representación de una manera tan complicada que hizo que la forma de la solución general
fuera demasiado difícil de utilizar para el análisis cuantitativo de los problemas de valores
espectrales y de contorno. Este no es el caso para las soluciones (3.14) y (3.15), las cuales,
al ser series de potencias de β, son atractivas para la solución numérica de problemas
espectrales, de valor inicial y de valores de frontera.
36
Ambas series en (3.15), que se llaman series de potencias de parámetro espectral (SPPS),
convergen uniformemente en [0, d] y como se demostró en [22] es fácil obtener una
estimación burda pero útil para del resto de la SPPS. Consideremos, por ejemplo, la serie
correspondiente a v1 y definimos v1,N = ∑ . Entonces [22],
| | | | | √ ∑
( ) | (3.19)
donde ( | |) ( |
|). Esta estimación nos da una sencilla herramienta para el
cálculo del número de potencias formales N que garantizará una precisión establecida a
priori | |.
Es fácil ver que, por definición, todas las ( )( ) y ( )( ) desaparecen a excepción de
( )( ) y ( )( ) que son iguales a 1.
Así
( ) ( ) ( )
( ) (3.20)
( ) ( )
( ) ( ) . (3.21)
Es importante tener en cuenta que la solución particular v0 no desvanesciente requerida, al
menos en el caso de una ecuación regular de coeficientes de valores reales, siempre existe y
puede ser fácilmente construida de la siguiente manera: simplemente se toma cualquier par
de soluciones linealmente independientes de (3.13) v0,1 y v0,2; luego sus ceros no coinciden
(de lo contrario su wronskiano se convierte en cero y no serían linealmente independientes)
y por lo tanto v0 puede ser elegido como . Por otra parte, v0 se puede
construir en una forma similar a las soluciones v1 y v2 teniendo en cuenta un caso especial
del resultado ya presentado donde ahora se considera q ≡ 0 y β = 1, que era conocido en
[45]. Es decir, sean 1/p y r continuas en [0, d], la solución general de la ecuación ( )
en (0, d) tiene la forma (3.14) donde c1 y c2 son constantes arbitrarias y v1, v2 se definen
por (3.15)-(3.18) con .
37
Como caso especial se mencionará también otra importante situación. En la teoría
electromagnética (véase, por ejemplo, [44]) con frecuencia es necesario resolver la
ecuación
( )
( ) ( ) (3.22)
para diferentes valores de la constante compleja k2. Su solución general, se puede
representar de la siguiente manera:
∑ ( )
∑ ( )
con ( ) y ( ) definidas por
( ) ( ) 1, (3.23)
y para ∈
( )( ) {∫ ( )( ) ( )
∫ ( )( )
(3.24)
( )( ) {∫ ( )( )
∫ ( )( ) ( )
(3.25)
Por lo tanto, una vez que ( ) y ( ) son calculadas hasta un cierto orden N, una solución
aproximada de (3.22) es simplemente un polinomio en k con los coeficientes calculados
( ) y ( ).
Se observa también que esto es válido en el caso de la solución (3.14) y (3.15) de la
ecuación (3.12). Además, esta propiedad es muy útil para la solución numérica de
problemas espectrales que luego se reducen a la búsqueda de ceros de polinomios con
respecto a k o β (ver [21, 22]).
38
3.3 MÉTODO NUMÉRICO PARA EL CÁLCULO DE LA REFLECTANCIA Y
TRANSMITANCIA
El método propuesto consiste en aplicar las fórmulas (3.10) y (3.11) en combinación con la
solución numérica de los problemas de valor inicial (3.4) y (3.5) utilizando SPPS.
Por medio de las fórmulas (3.10) y (3.11), las soluciones de los problemas correspondientes
de valor inicial (3.4) y (3.5) deben ser calculadas con una precisión mucho mayor que la
que se espera para R y T.
La razón es que los errores de aproximación en u1 y u2 se multiplican en (3.10) y (3.11)
empeorando la precisión de la aproximación de R y T por 2 a 3 órdenes de magnitud en
comparación con la de u1 y u2. De (3.20) y (3.21) tenemos que u1 y u2 son soluciones que se
obtienen de v1 y v2 definidas por (3.15) de la siguiente manera:
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ),
( ) ( ) ( ) ( ),
donde p ≡ 1 en el caso de la ecuación (3.1), ⁄ en el caso de la ecuación (3.2) y, para
la incidencia normal, v0 ≡ 1. Por lo tanto la exactitud de cálculo de u1 y u2 depende de la
precisión de cálculo de ∑ y ∑ ( )
, y la estimación
(3.19) nos dice qué tan grande N debe ser con el fin de lograr una precisión prescrita.
Además, una característica importante de la representación de SPPS es muy adecuada para
los cálculos simbólicos, en principio, en un caso general. Los coeficientes se pueden
interpolar de manera arbitraria con precisión por medio de polinomios o splines y luego
todas las integraciones se pueden hacer simbólicamente en un paquete como Mathematica o
Maple. En el trabajo [6] hicieron uso de Matlab 7 y, como primer paso compararon los
resultados con los de solucionadores ODE estándar de Matlab [1, 33]. Especialmente con
ode45 y en los ejemplos considerados, siempre se obtuvieron mejores resultados con SPPS
que con otros programas similares.
39
Considere el siguiente problema de valor inicial para (3.22): ( )
( ) en el intervalo (0, 1). Para c = 1 el error absoluto del resultado calculado por
ode45 (con una cierta tolerancia óptima elegida) era del orden de 10-9
y el error relativo del
orden de 10-6
. Por otro lado, el error absoluto del resultado calculado con la ayuda de la
representación SPPS con un número de potencias N desde 55 fue del orden de 10-16
y el
error relativo fue del orden de 10-14
. Tomando c = 10 en las mismas condiciones, los errores
absoluto y relativo de ode45 eran del orden de 10-6
y 10-5
respectivamente, mientras que el
algoritmo con SPPS dio valores del orden de 10-12
en ambos casos.
Para el problema de valor inicial ( ) ( ) en el intervalo (0, 1)
en el caso en que c = 1 los errores absoluto y relativo de ode45 son del orden de 10-8
,
mientras que en el método SPPS el valor es del orden de 10-15
para N = 50.
Para c = 10 los errores absoluto y relativo de ode45 eran del orden de 10-3
y 10-7
,
respectivamente, y en el caso del método SPPS los valores fueron del orden de 10-11
y 10-14
para N = 50.
Veamos otro ejemplo [6]. Sea ( ) . En este caso, se cuenta además con
la solución general (3.22), la cual tiene la forma
( )
⁄ . ∫
/
40
FIGURA 3-1. ERROR ABSOLUTO PARA U1 (CURVA CONTINUA) Y U2 (CURVA PUNTEADA) EN COMPARACIÓN CON
SOLUCIONES EXACTAS PARA UN PERFIL LINEAL CORRESPONDIENTE A LOS SIGUIENTES VALORES: n1 = 1.0,
n(0) = 1.6, n(d) = 2.7 Y n2 = 1.8.
Tomando las mismas condiciones iniciales que antes ( ) ( ) . Entonces,
mientras que para c = 1 los errores absoluto y relativo de ode45 son del orden de 10-8
, para
c = 30 el error absoluto fue de 0.28 y el error relativo fue del orden de 10-6
. El algoritmo
con SPPS (con N = 58) dio errores absoluto y relativo del orden de 10-15
para c = 1 y de
orden 10-9
y 10-15
, respectivamente, para c = 30. Todos los cálculos fueron realizados en
una PC normal con la ayuda de Matlab 7.
Los resultados de los experimentos numéricos de [6] muestran que de hecho las
representaciones de SPPS ofrecen un nuevo y poderoso método para la solución numérica
de problemas de valor inicial y de frontera para ecuaciones diferenciales ordinarias lineales
de segundo orden.
El cálculo numérico de las integrales que intervienen no presenta ninguna dificultad y se
puede hacer con una precisión notable.
Se probó en [6] el método de cálculo de la reflectancia y la transmitancia de capas no
homogéneas finitas con los siguientes perfiles de refracción (1) la forma exponencial
( ) ( ) *
(
( )
)+; (2) la forma lineal ( ) ( )
( ) ( )
; y (3) su forma
41
hiperbólica ( ) ( )
[ ( ) ( )
( )⁄
]
. En todas las simulaciones, se asumió incidencia
normal. En la Figura 3-1 se muestra la precisión del cálculo de u1 y u2 para el perfil líneal
como una función de d/λ obtenida por comparación con las soluciones exactas de [46]
mostradas en el Capítulo 2.
Como se ha mencionado anteriormente, el número potencias formales de SPPS necesarias
para una precisión requerida es calculado de forma automática con la ayuda de (3.19).
En base a este capítulo, donde se revisó la metodología con SPPS, se pudo crear un
algoritmo y en consecuencia un programa que permite proponer perfiles arbitrarios para su
estudio y análisis, lo cual se hará en el siguiente capítulo.
42
PROPUESTAS DE DIVISORES CAPÍTULO 4.
ÓPTICOS
4.1 INTRODUCCIÓN
Con la ayuda de Matlab es posible calcular mediante el método SPPS las propiedades de
capas no homogéneas definidas por sus perfiles de índice de refracción. Entre otros, los más
comunes incluyen perfiles exponenciales, lineales, hiperbólicos y sinusoidales (ver, por
ejemplo [46]). Estos últimos merecen particular atención por su utilidad para el diseño de
dispositivos ópticos. Estos perfiles tienen una forma como la siguiente
( ) ( )
donde n2 y n4 son constantes reales que representan el índice de refracción promedio del
medio y la amplitud de la modulación sinusoidal del índice respectivamente.
La constante n2 es el índice de refracción promedio del medio, n4 puede ser visto como la
profundidad del índice de modulación sinusoidal y al igual que k está relacionado con el
periodo del índice de refracción por K = 2/. La profundidad de modulación con
frecuencia es mucho más pequeña que el índice promedio (n4 << n2). Con base en este
perfil en [46] se detalla un ejemplo de cómo puede diseñarse un reflector de Bragg. Con tal
información se procedió a realizar pruebas con perfiles similares al descrito para calcular
curvas de reflectancia cercanas a las correspondientes a splitters ideales para algunos de los
valores comerciales ya mencionados. En las Figuras 4-2 a 4-6 se muestran algunas de las
curvas obtenidas utilizando el método SPPS y se mencionan los valores de los parámetros
n2, n4, K y d utilizados para obtenerlas.
43
4.2 MÉTODO DE MODOS ACOPLADOS
En este trabajo, uno de nuestros objetivos era que nuestras curvas de transmitancia y
reflectancia se localizaran en una longitud de onda central preestablecida. Para lograr esto
se recurrió al método de modos acoplados, el cual nos permitió obtener las longitudes de
onda centrales (veáse [35]) requeridas, y junto con los índices de refracción de nuestro
perfil se pudieron hacer varias pruebas para ajustar también las amplitudes de las curvas
calculadas, las cuales están asociadas a la razón de acoplamiento.
Para ilustrar el uso de la capa no homogénea, se considera el diseño de una rejilla de Bragg
con un ancho de banda de 40 nm, una longitud de onda central de 850 nm y una
reflectancia de 99%. Se propone el uso de un material con un índice de refracción n0 = 1.52
[46]. Para dicha capa, se emplearon los siguientes datos:
nm,
nm,
,
√
√
( )
( )( ) .
/
( )
Para nuestro algoritmo se usaron las variables (longitud de onda central), (ancho de
banda espectral), Pers (número de periodos), d (longitud de la rejilla –también designada
44
como L en la literatura–) y los índices de refracción. Al realizar los cálculos, como se
observa en la siguiente figura, se obtuvo la longitud de onda central deseada.
FIGURA 4-1. CURVAS DE REFLECTANCIA Y TRANSMITANCIA CON LONGITUD DE ONDA CENTRAL.
4.3 GRÁFICAS RESULTANTES
Cabe mencionar que el ancho espectral de las curvas se calculó con base a un valor 10%
más bajo con respecto al valor máximo, siendo el valor que se reporta para las razones de
acoplamiento el correspondiente a 5% por debajo de dicho valor máximo. De esta manera,
para los splitters que se obtuvieron, el valor de la potencia en cada puerto de salida,
corresponderá al porcentaje señalado con un margen de 5% para el ancho de banda
señalado en la longitud de onda central específica.
Debe señalarse que el método SPPS tuvo problemas para manipular la capa no homogénea
con el ancho original d que devolvía el análisis para el diseño. Por tal motivo se hicieron
pruebas donde se estudiaba sólo una fracción de todo ese rango disminuyendo la magnitud
del medio y sus oscilaciones, y después los resultados permitieron resolver el problema
45
para la longitud completa. En el límite se encontró que los mejores resultados se obtenían al
estudiar un solo periodo de oscilación del perfil de índice de refracción.
FIGURA 4-2. CURVAS DE REFLECTANCIA Y TRANSMITANCIA CON UNA LONGITUD DE ONDA CENTRAL DE 850
nm Y CON UN ANCHO ESPECTRAL DE ±10 nm. SE USÓ n2 = 2.3, n4 = 0.02, k = 6.75×106 Y d = 184 nm.
Las curvas mostradas en la Figura 4-2 podrían asumirse como cercanas a un splitter 15/85
de 10 nm para uso en la primer ventana óptica. Dentro de las curvas obtenidas esta es la
que tiene un mejor comportamiento dado que la transmitancia decrece rápidamente dentro
del intervalo en el que el funcionamiento del dispositivo está contemplado. En contraparte
la reflectancia crece rápidamente.
46
FIGURA 4-3.CURVAS DE REFLECTANCIA Y TRANSMITANCIA CON UNA LONGITUD DE ONDA CENTRAL DE 1310
nm Y CON UN ANCHO ESPECTRAL DE ±20 nm. SE USÓ n2 = 1.25, n4 = 0.009, K = 4.52106 Y d = 524 nm.
En la Figura 4-3 se muestran las curvas que se considerarán como un splitter de 20/80 de
20 nm para uso en segunda ventana óptica.
FIGURA 4-4. CURVAS DE REFLECTANCIA Y TRANSMITANCIA CON UNA LONGITUD DE ONDA CENTRAL DE 1310
nm Y CON UN ANCHO ESPECTRAL DE ±10 nm. SE USÓ n2 = 2.4, n4 = 0.027, k = 4.39106 Y d = 272 nm.
47
La Figura 4-4 muestra las curvas correspondientes a un splitter con una razón de
acoplamiento 10/90 y con un ancho espectral de 10 nm. También éste presenta un buen
comportamiento en términos de la rapidez de variación de sus curvas.
FIGURA 4-5. CURVAS DE REFLECTANCIA Y TRANSMITANCIA CON UNA LONGITUD DE ONDA CENTRAL DE 1310
nm Y CON UN ANCHO ESPECTRAL DE ±20 nm. SE USÓ n2 = 1.4, n4 = 0.02, k = 3.51106 Y d = 553 nm.
En la Figura 4-5 se muestran las curvas correspondientes a un splitter con una razón de
acoplamiento 50/50 y con un ancho espectral de 20 nm. . Dentro de las curvas obtenidas
esta igualmente tiene un buen comportamiento dado que la transmitancia decrece
rápidamente dentro del intervalo en el que el funcionamiento del dispositivo está
contemplado. En contraparte la reflectancia crece rápidamente.
48
FIGURA 4-6. CURVAS DE REFLECTANCIA Y TRANSMITANCIA CON UNA LONGITUD DE ONDA CENTRAL DE 1310
nm Y CON UN ANCHO ESPECTRAL DE ±20 nm. SE USÓ n2 = 2.05, n4 = 0.013, k = 3.85106 Y d = 378 nm.
FIGURA 4-7. CURVAS DE REFLECTANCIA Y TRANSMITANCIA CON UNA LONGITUD DE ONDA CENTRAL DE 1310
nm Y CON UN ANCHO ESPECTRAL DE ±40 nm. SE USÓ n2 = 1.5, n4 = 0.009, k = 3.85106 Y d = 516 nm.
49
Las Figuras 4-6 y 4-7 muestran las curvas correspondientes a divisores ópticos con una
razón de acoplamiento 5/95 y anchos espectrales de 20 nm y 40 nm respectivamente.
Dentro de las curvas obtenidas éstas son las que tienen el peor comportamiento dado que la
transmitancia decrece lentamente alrededor del intervalo de longitudes de onda en el que
operaría el dispositivo. Igualmente ocurre con el crecimiento de la reflectancia.
Los tiempos de cómputo empleados para cada uno de estos ejemplos también fueron
evaluados y son de alrededor de un poco más de 2 minutos por cada uno de ellos. Por
ejemplo, un perfil que se evaluó desde una longitud de onda de 1310 nm hasta 1790 nm en
pasos de 1 nm requirió de 2.08 minutos calculando 100 potencias formales en cada paso.
50
CONCLUSIONES CAPÍTULO 5.
Existen muchas aplicaciones en las comunicaciones ópticas donde surgen medios
conformados por capas no homogéneas y se consideró de gran utilidad para estudiarlos
aplicar el método SPPS.
La notable precisión de dicho método (de la cual se vieron ejemplos en la Sección 3.2), el
tiempo de cómputo (aproximadamente toma 0.26 segundos evaluar cada longitud de onda
considerada) y la relativa facilidad de su implementación lo convierten en una útil
herramienta para el cálculo de los coeficientes de reflectancia y transmitancia. Además
SPPS tiene como principal ventaja sobre otros métodos su capacidad de lidiar con perfiles
casi completamente arbitrarios, por lo que se considera un método eficaz y eficiente.
En las propuestas presentadas para la caracterización de medios compuestos por una
delgada capa no homogénea que permitiera aproximar un splitter, se aprovechó la facilidad
con que pueden realizarse los cambios en los parámetros considerados para evaluar
múltiples perfiles y elegir los más cercanos a dispositivos comerciales. Si bien se requiere
de aún más pruebas para aplanar las crestas de las curvas y ajustar las longitudes de onda de
corte, creemos que es posible obtener excelentes aproximaciones de divisores usando este
método. De hecho en los ejemplos mostrados al final del Capítulo 4 puede apreciarse lo
cercanos que son los valores de razón de acoplamiento y de ancho de banda obtenidos a
valores reales de dispositivos prácticos y además se logró tener completamente el control
de la longitud de onda central deseada.
Particularmente aquí se propone el uso del método SPPS para el diseño y análisis de
divisores ópticos, pero igualmente puede ser utilizado para el desarrollo de filtros ópticos,
láseres basados en rejillas de Bragg, compensadores de dispersión, guías de onda, sensores,
etcétera.
51
5.1 APORTACIONES DEL TRABAJO DE TESIS
Se plantea el uso de dispositivos basados en capas no homogéneas específicamente para el
diseño de divisores ópticos pasivos que son utilizados (entre otras aplicaciones) en las redes
FTTH. A partir de un perfil propuesto se pueden analizar sus características ópticas más
importantes y evaluar rápidamente su viabilidad práctica.
Un elemento novedoso de esta tesis es la utilización del método de Series de Potencias de
Parámetro Espectral (SPPS) en el análisis de los divisores ópticos cuya generación se
propone a partir de capas delgadas no homogéneas con diferentes perfiles de índice de
refracción sinusoidales (tipo rejillas de Bragg) aunque no limitados a éstos. El análisis se
hace en términos de parámetros que incluyen la razón de acoplamiento, el ancho de banda y
la longitud de onda central. Una ventaja que ofrece este método sobre otros similares es la
posibilidad de analizar numéricamente perfiles prácticamente arbitrarios con gran precisión,
en tiempos muy cortos y con una buena confiabilidad.
Los resultados obtenidos permitieron plantear muy diversos divisores ópticos, en los cuales
se tiene con este método la posibilidad de elegir la longitud de onda central arbitrariamente.
Otra característica lograda fueron las distintas razones de acoplamiento obtenidas, como
por ejemplo las de 50/50, 10/90 ó 20/80 obtenidas en los splitters mostrados al final del
Capítulo 4. El control del ancho de banda del dispositivo requiere de un número mayor de
pruebas, pero igualmente pudo manipularse para que fuese cercano a los valores de
dispositivos reales.
52
REFERENCIAS
[1] Ashino R., Nagase M. and Vaillancourt R. “Behind and beyond the Matlab ODE suite
Comput” Math. Appl. Vol. 40, pp. 491–512, 2000.
[2] Axtel, “Acceso Universal FTTH 10 Mbps” notas de clases, Universidad Axtel.
[3] Capmany J. y Ortega B., Redes Ópticas, Ed. México: Limusa, 2007.
[4] Castillo-Pérez R., “An application of formal power series for the development of optical
filters”, International Conference on the Applications of Computer Science and
Mathematics in Architecture and Civil Engineering, IKM 2009, pp. 1-8, 2009.
[5] Castillo-Pérez R., “A Method for Reflectance and Transmittance Calculation for
Inhomogeneous Media Proposed for Optical Communication Devices”, en 5º Congreso
Internacional de Ingeniería Electromecánica y de Sistemas, IPN, México D.F., pp.
1050-1055, 2008.
[6] Castillo-Pérez R., Khmelnytskaya K. V., Kravchenko V. V. y Oviedo-Galdeano H., “
Efficient calculation of the reflectance and transmittance of finite inhomogeneous
layers”, Journal of Optics A: Pure and Applied Optics, Vol. 11, pp. 1-6, March 2009.
[7] Cedillo-Díaz A. del C., “Análisis para el cálculo de la reflectancia y transmitancia en un
medio estratificado no homogéneo con punto de retorno”, Tesis de maestría UPIITA,
IPN, 2012.
[8] Chamanzar M., Mehrany K., and Rashidian “Legendre polynomial expansion for
analysis of linear one-dimensional inhomogeneous optical structures and photonic
crystals” J. Opt. Soc. Am. Vol. 23, pp. 969–77, 2006.
[9] Chiou R. N., “Bus FTTH networks”, en 13th International Conference on Advanced
Communication Technology (ICACT), 2011, pp. 464-469.
[10] De Caro L. and Ferrara M. “Simple method for the determination of optical parameters
of inhomogeneous thin films Thin Solid Films”, pp. 153–9, 1999.
[11] Felbacq D. and Zolla F. “Scattering theory of photonic crystals Introduction to
Complex Mediums for Optics and Electromagnetics, Ed. W. S. Weiglhofer y A.
Lakhtakia”, (Bellingham, WA: SPIE Press Optical Engineering) pp. 365–93, 2003.
[12] Freeman R., Fiber-Optic systems for telecommunications, United States of America:
Call-Wiley, 2002.
53
[13] Hall J. F. Jr. “Reflection coefficient of optically inhomogeneous layers” J. Opt. Soc,
Vol. 48, pp. 654–7, 1958.
[14] Hilmi S. Lee., BHL y Dimyati K., “Unlimited FTTH-PON Scaling by Exploiting the
AWG Free Spectral Range”, en 7th Malaysia International Conference on
Communication, 2005, Vol. 1, pp. 491-495.
[15] D. Hood y E. Trojer, Gigabit-Capable Passive Optical Networks, (Wiley, Nueva
Jersey), 431, (2011).
[16] Ishimaru A., Electromagnetic Wave Propagation, Radiation, and Scattering. Englewood
Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1991.
[17] Keiser G., Optical fiber communication. Nueva York: McGraw Hill, 2000.
[18] Khalaj-Amirhosseini “Analysis of lossy inhomogeneous planar layers using Taylor’s
series expansion” IEEE Trans. Antennas Propag. , Vol. 54, pp. 130–5, 2006.
[19] Kildemo M, Hunderi O and Dr´evillon “Approximation of reflection coefficients for
rapid real-time calculation of inhomogeneous films” J. Opt. Soc. Am. Vol. 14, pp. 931–
9, 1997.
[20] Knittl “A method of integration for the inhomogeneous layer” Czech. J. Phys., Vol. 18,
pp. 763–70, 1968.
[21] Kravchenko V. V. “A representation for solutions of the Sturm–Liouville equation”
Complex Var. Elliptic Equ., Vol. 53, pp. 775–89, 2008.
[22] Kravchenko V. V. and Porter R. M. “Spectral parameter power series for Sturm–
Liouville problems Math. Methods” Appl. Sci. at press (Kravchenko V V and Porter R
M 2008 arXiv:0811.4488) 2009.
[24] Lakic B. y Hajduczenia M., “On optimized Passive Optical Network (PON)
deployment”, en Second International Conference on Access Networks & Workshops,
2007, pp. 1-8.
[25] Maeda Y., Montalti F. et al, Optical fibres, cables and systems, ITU-T Manual, 2009.
[26] Mendes-Lima G.F., Lamounier E. A. y Barcelos S., “A TEO-Based Algorithm to
Detect Events Over OTDR Measurements in FTTH PON Networks” IEEE Latin
America Transactions, Vol. 11, No. 3, pp. 886-891, May 2013.
[27] Monaco S. “Reflectance of an inhomogeneous thin film” J. Opt. Soc. Vol. 51, pp. 280–
2, 1961.
54
[28] Montecchi “Characterization of inhomogeneous optical interference films using a
complex parabolic profile model” Pure Appl. Opt. Vol. 4, pp. 831–9, 1995.
[29] Pöschel J. and Trubowitz E. “Inverse Spectral Theory” (New York: Academic), 1987.
[30] Prat J., Next-Generation FTTH Passive Optical Networks. Barcelona, España:
Springer, 2008.
[31] Ramírez-tachiquín M. P. y Bernal-Flores E. “Tomografía por Impedancia Eléctrica:
¿una nueva rama de la Teoría del Caos?” Revista del centro de Investigación
Universidad la Salle Vol. 9, No. 34, pp. 13-20, Julio-Diciembre 2010.
[33] Shampine L. and Reichelt M. “ The Matlab ODE suite SIAM” J. Sci. Comput. Vol.
18, pp. 1–22, 1997.
[33] Soo-Jin P., Chang-Hee L., Ki-Tae J., Hyung-Jin P., Jeong-Gyun A. y Kil-Ho S. LT.,
“Fiber-to-the-Home Services Based on Wavelength-Division-Multiplexing Passive
Optical Network”, Jounal of Lightwave Technology, Vol. 22, No. 11, November 2004.
[34] Su P. et al “Explicit expression for the reflection and transmission probabilities
through an arbitrary potential barrier” J. Phys. A: Math. Theor., Vol. 41, 2008.
[34] SyuhaimiAb-Rahman M., “23 Optical Moderator Based on Planar Waveguide Device
for FTTH Application” en International Conference on Computer Technology and
Development, pp. 116-119, 2009.
[35] Telecordia, “GR-1209”, sep 2010. Disponible en línea; https://telecom-
info.telcordia.com/site-cgi/ido/docs.cgi?ID=SEARCH&DOCUMENT=GR-1209.
[36] Telecordia, “GR-326”, feb 2010. Disponible en línea: http://telecom-
info.telcordia.com/site-cgi/ido/docs.cgi?ID=SEARCH&DOCUMENT=GR-326.
[37] Telecordia, “GR-910”, http://telecom-info.telcordia.com/site-
cgi/ido/docs.cgi?ID=SEARCH&DOCUMENT=GR-910&.
[38] The LIGHT AGE communicating at the speed of light, Vol. 2, pp. 12-13, May 2013.
Disponible en línea: http://www.amginternational.net/amg/ezine/TLA/TLA2
/index.html.
[39] Tikhonravov A. V., Trubetskov M. K., Sullivan B. T. and Dobrowolski J. A.
“Influence of small inhomogeneities on the spectral characteristics of single thin films”
Appl. Opt, Vol. 36, pp. 7188–98, 1997.
[40] Unión Internacional de Telecomunicaciones, “ITU-G 983.5”, ene 2001. Disponible en
línea: https://www.itu.int/rec/T-REC-G.983.5/es.
55
[41] Unión Internacional de Telecomunicaciones, “ITU-G 983.2”, jul 2005. Disponible en
línea: https://www.itu.int/rec/T-REC-G.983.2/es.
[42] Unión Internacional de Telecomunicaciones, “ITU-G 671”, ene 2005. Disponible en
línea: http://www.itu.int/rec/T-REC-G.671-200501-S/es.
[44] Wait J. R. Electromagnetic Waves in Stratified Media (Piscataway, NJ: IEEE Press),
1996.
[45] Wey V, Math. Ann. 68, 220–269, (1910).
[46] Yeh P., Optical waves in layered media. Hoboken, Nueva Jersey: Wiley-Interscience,
Junio 2005.
[47] Hoja de especificación. Disponible en línea:
http://www.conectronica.com/en/Couplers-and- Splitters/Acopladores-divisores-inline-
del-Grupo-Cofitel.html 31/08/2012 02:47 a.m.
[48] Hoja de especificación http://spanish.alibaba.com/product-gs-img/single-mode-fiber-
optic-splitter-coupler-618463213.html 30/08/2012 10:20 a.m.
[49] Hoja de especificación http://spanish.alibaba.com/product-gs-img/1-4-fiber-optic-
splitter-optical-fiber-splitter-coupler-600760697.html 31/08/2012 01:47 a.m.
[50] Hoja de especificación http://spanish.alibaba.com/product-gs-img/dual-window-
wideband-fiber-optic-coupler-splitter-466737376.html 30/08/2012 10:59 p.m.
[51] Hoja de especificación http://spanish.alibaba.com/product-free-img/fiber-optical-
splitter-coupler-115388866.html 30/08/2012 10:29 p.m.
[52] Hoja de especificación http://spanish.alibaba.com/product-gs-img/plc-splitter-1xn-
fiber-optic-splitter-fiber-optic-coupler-594464784.html 28/08/2012 07:45 p.m.
[53] Hoja de especificación http://spanish.alibaba.com/product-gs-img/plc-coupler-fiber-
optic-splitter-270301684.html 28/08/2012 07:48 p.m.
[54] Hoja de especificación http://spanish.alibaba.com/product-gs-img/fiber-optical-
splitter-coupler-223921016.html 28/08/2012 7:51 p.m.
[55] Hoja de especificación http://spanish.alibaba.com/product-gs-img/1x32-fiber-splitter-
coupler-490811054.html 28/08/2012 07:18 p. m.
[56] Hoja de especificación http://spanish.alibaba.com/product-gs/1x2-fiber-optic-plc-
splitter-coupler-526505310.html 31/08/2012 02:14 a. m.
56
[57] Hoja de especificación http://spanish.alibaba.com/product-gs-img/hot-1x16-sc-upc-
sm-fiber-optic-splitter-coupler-578735696.html 31/08/2012 a. m.
[58] Hoja de especificación http://spanish.alibaba.com/product-gs-img/fiber-optic-splitter-
coupler-1x2-way-without-connector-577907364.html 28/08/2012 07:55 p.m.
[59] Hoja de especificación http://spanish.alibaba.com/product-gs-img/1x2-sm-dual-
window-fiber-optic-coupler-splitter-322803437.html 31/08/2012 08:36 a. m.
[60] Hoja de especificación http://spanish.alibaba.com/product-gs-img/fiber-optic-splitter-
coupler-1x2-fiber-optic-splitter-541883657.html 30/08/2012 10:35p. m.
57
APÉNDICE A Programa para calcular los coeficientes de Reflectancia y Transmitancia por el método
SPPS
clear all, clc format compact
reloj1 = clock; %tiempo de duracion de los
calculos SplineOrder = 3; %1 + Order of the spline used
to approximate function IntegrationSegments = 30000; %Número de segmentos en qué
intervalo se divide para la evaluación de la función LowerLimitOfInterval = 0; %definición del límite
inferior del intervalo format long %Establece el formato de
visualización de la pantalla como LONG (15 dígitos para DOUBLE) warning off CentralLambda = 1.55e-6; BandWidth = 60e-9; Reflectance = 0.9999999999999999; n1 = 1; %índice de refracción de la
región 1-constante- n2 = 1.4; %índice de refracción de la
región 1 -funcion n(0)- n2Prime = 3.0; %índice de refracción en el
extremo de la región 2 -funcion n(d)- n3 = 1; %índice de refracción de la
región 3 -constante- Lambda = CentralLambda/(2*n2); n4 = 1/2*n2*(BandWidth/CentralLambda) d = atanh(sqrt(Reflectance))*CentralLambda/(pi*n4); %definición del
límite superior del intervalo Pers = d/Lambda; Divisor = Pers/1; d=d/Divisor; K = 2*pi/Lambda;
lambda = CentralLambda-4*BandWidth:1e-9:CentralLambda+4*BandWidth;
%definición del intervalo de valores d/lambda que serán evaluados NumPows = 100;
fprintf('d = %2.1e, n1 = %1.1f, n2 = %1.1f, n2'' = %1.1f, n3 =
%1.1f,\n',d,n1,n2,n2Prime,n3) fprintf('LambdaIni = %2.2e, LambdaFin = %2.2ee\n', lambda(1),
lambda(end)) Xpoints = LowerLimitOfInterval:d/IntegrationSegments:d; % Definición de
los puntos de evaluación para las funciones for cont = 1:length(lambda) %se calculan R y T para
distintas d/lambda, con d fija k = 2*pi/lambda(cont); %cálculo del número de onda
qValues = -1*(k*(n2+n4*sin(K*Xpoints))).^2; % perfil sinusoidal
58
u1 = ones(1,length(Xpoints)); %Los valores de u1 se
inicializan a cero u2 = zeros(1,length(Xpoints)); %Los valores de u2 se
inicializan a cero u1Prime = zeros(1,IntegrationSegments+1); %Los valores de u1' se
inicializan a cero u2Prime = zeros(1,IntegrationSegments+1); %Los valores de u2 se
inicializan a cero
cont [XtilVal, XVal]=PowersXV6IrinaBragg(Xpoints,qValues,NumPows);
for n = 1:NumPows if rem(n,2) == 0 %Potencias calculadas hasta n u1 = u1 + XtilVal(n,:)/factorial(n); %generacion de la
funcion u1
u1Prime = u1Prime + XtilVal(n-1,:)/factorial(n-1);
%generacion de la function u1' else %Potencias calculadas hasta n
u2 = u2 + XVal(n,:)/factorial(n);
%generacion de la funcion u2 %nu2=nu2+1; %Xv = fnval(Xpows(n),Xpoints); if n == 1 u2Prime = u2Prime + ones(1,length(Xpoints));
%generacion de la funcion u2' else u2Prime = u2Prime + XVal(n-1,:)/factorial(n-1);
%generation of function u2' end
end end %*******Nuestro cálculo coeficientes de reflexión y
transmisión*************** k1 = k*n1; %Cálculo del coeficiente de
reflexión R k2 = k*n3; %Definición de Número de onda
constante párrafo la región 3 Rnum = -k1*k2*u2(IntegrationSegments+1) -
u1Prime(IntegrationSegments+1) - i*k2*u1(IntegrationSegments+1) +
i*k1*u2Prime(IntegrationSegments+1); Rden = u1Prime(IntegrationSegments+1) -
k1*k2*u2(IntegrationSegments+1) + i*(k2*u1(IntegrationSegments+1) +
k1*u2Prime(IntegrationSegments+1)); Rx(cont) = Rnum/Rden; %Cálculo del coeficiente de
reflexión R Tnum =
2*i*k1*(u1(IntegrationSegments+1)*u2Prime(IntegrationSegments+1) -
u1Prime(IntegrationSegments+1)*u2(IntegrationSegments+1))*exp(i*k2*d); Tden = u1Prime(IntegrationSegments+1) -
k1*k2*u2(IntegrationSegments+1) + i*(k2*u1(IntegrationSegments+1) +
k1*u2Prime(IntegrationSegments+1));
59
Tx(cont) = Tnum/Tden; %Cálculo del coeficiente de
transmisión T
end %Fin ciclo 'for' para calcular R y T para distintos d/lambda reloj2 = clock; ElapsedTime = etime(reloj2,reloj1); fprintf('Elapsed time = %3.2f minutes\n',ElapsedTime/60)
val = d./lambda; beep figure plot(lambda, (n3/n1)*abs(Tx).^2 + abs(Rx).^2,'k--','linewidth',1)
%graficamos conservación de la energía hold on grid on plot(lambda,abs(Rx).^2,'b','linewidth',2) plot(lambda,(n3/n1)*abs(Tx).^2,'r','linewidth',2) ylim([0 1.05]) title('Transmitancia y Reflectancia de perfil sinusoidal') xlabel('\lambda') ylabel('Intensidad') legend('suma','Reflectancia','Transmitancia');
hold off
Reflejado = abs(Rx).^2; Transmitido = (n3/n1)*abs(Tx).^2;
figure plot(lambda,1-Transmitido.^Divisor,'r','linewidth',2)%graficamos
reflectancia hold on grid on plot(lambda, (Transmitido.^Divisor),'linewidth',2)%graficamos
transmitancia ylim([0 1.05]) title('Transmitancia y Reflectancia de perfil sinusoidal') xlabel('\lambda') ylabel('Intensidad') legend('Reflectancia','Transmitancia'); save('ZnS1060_.mat','Transmitido','Reflejado');
Subprograma para el cálculo de los coeficientes de Reflectancia y Transmitancia por el
método SPPS
function [Xtilpval, Xpval]=PowersXV6IrinaBragg(x1,q1,N1) Xpval=zeros(N1,length(x1)); Xtilpval=zeros(N1,length(x1)); %XtilMenos2 = zeros(1,length(x1)); XMenos1 = ones(1,length(x1)); XtilMenos1 = ones(1,length(x1));
60
for cont = 1:N1 if rem(cont,2) == 0 %valueAt0 = 0; %if cont == 2 % valueAt0 = -1/2; %end %Integrand1 = cont*u01.^2 .*p1; Xtilp = ninteg(cont*XtilMenos1, x1(end) - x1(1)); %integral of X~^(n-1) even case Xp = ninteg(cont*XMenos1.*q1, x1(end) - x1(1)); %integral of X^(n-1) even case else %Integrand2 = p1.*u01.*du01; Xtilp = ninteg(cont*XtilMenos1.*q1, x1(end) - x1(1)); %integral of X~^(n-1) odd case Xp = ninteg(cont*XMenos1, x1(end) - x1(1)); %integral of X^(n-1) odd case end %XtilMenos2 = XtilMenos1; XtilMenos1 = Xtilp; XMenos1 = Xp; Xtilpval(cont,:) = XtilMenos1; Xpval(cont,:) = XMenos1; end
Subprograma para el cálculo de los coeficientes de Reflectancia y Transmitancia por el
método SPPS
function result = ninteg( dat, bminusa )
% Usage: ninteg(dat, intervallength ).
% Integrates list dat of n=5k+1 data points. Returns list of n points.
% Uses 5-point integrated interpolating polynomial,
% applied to points 1:6, 6:10, 11:16, etc.
% Supposes points equally spaced on interval.
%
n = length(dat); % dat is to be integrated
if n < 6
error( ['ninteg: requires at least 6 data points, received ' num2str(n) ] )
end
n2 = mod(n-1,5); % number of points to process at the beginning
n1 = n - n2; % number of points to process afterwards
intmat = [ [475,1427,-798,482,-173,27]/1440 % Formula for
[28,129,14,14,-6,1]/90 % numerical
3*[17,73,38,38,-7,1]/160 % integration
2*[7,32,12,32,7,0]/45 % A 6 x 5 matrix
5*[19,75,50,50,75,19]/288
] * bminusa/ (n-1); % Divide by interval length
inval = 0;
if n2 > 0
mdat = reshape( dat(1:5), 5, 1 );
row_n = mdat(1,:); % Create final row, so each column
row_n = [ row_n(2:length(row_n)), dat(6) ];% ends with start of next column
mdat = [ mdat', row_n' ]'; % Annex the row
m1 = intmat * mdat; % numerical integration, gives 5 values
incr = m1(5,:); % prepare to calculate cumulative sums
incr = cumsum( [ 0, incr(1:length(incr)-1) ] );
61
incr = [ incr; incr; incr; incr; incr ];
m1 = m1 + incr; % matrix now contains the integrals
result = reshape(m1,1,5); % convert to a single list of length n
tresult = result(1:n2); % take the first n2 values
inval = tresult(end);
end
% proceed the first part of the list
%if mod(n,5) == 1 % Verify n is 5k+1
mdat = reshape( dat(n2+1:n-1), 5, (n1-1)/5 ); % Break into 6 rows: first 5 here
row_n = mdat(1,:); % Create final row, so each column
row_n = [ row_n(2:length(row_n)), dat(n) ];% ends with start of next column
mdat = [ mdat', row_n' ]'; % Annex the row
m1 = intmat * mdat; % numerical integration, gives 5 values
incr = m1(5,:); % prepare to calculate cumulative sums
incr = cumsum( [ 0, incr(1:length(incr)-1) ] );
incr = [ incr; incr; incr; incr; incr ];
m1 = m1 + incr + inval; % matrix now contains the integrals
if n2 > 0
result = [0, tresult, reshape(m1,1,n1-1) ]; % convert to a single list of length n
else
result = [0, reshape(m1,n2+1,n-1) ]; % convert to a single list of length n
end
% else
% error( ['ninteg: requires 5k+1 data points, received ' num2str(n) ] )
% end
end
62
63
