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ANÁLISIS TERMODINÁMICO-MECÁNICO DE UN PROTOTIPO DE MOTOR STIRLING DE CONFIGURACIÓN GAMMA DE BAJA POTENCIA
MARIO SUÁREZ LÓPEZ
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE OCCIDENTE FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE ENERGÉTICA Y MECÁNICA PROGRAMA DE INGENIERÍA MECANICA
SANTIAGO DE CALI 2015
ANÁLISIS TERMODINÁMICO-MECÁNICO DE UN PROTOTIPO DE MOTOR STIRLING DE CONFIGURACIÓN GAMMA DE BAJA POTENCIA
Trabajo de grado para optar por el título de Ingeniero Mecánico
Director ELVER MAURICIO BARRERA
Ingeniero Mecánico
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE OCCIDENTE FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE ENERGÉTICA Y MECÁNICA PROGRAMA DE INGENIERÍA MECANICA
SANTIAGO DE CALI 2015
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Nota de aceptación: Aprobado por el Comité de Grado en cumplimiento de los requisitos exigidos por la Universidad Autónoma de Occidente para optar al título de Ingeniero Mecánico
DUCARDO LEÓN MOLINA JURADO
JUAN RICARDO VIDAL JURADO
Santiago de Cali, Junio 13 de 2013
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MIS MÁS SINCEROS AGRADECIMIENTOS A:
Dios que ha sido fuente inagotable de amor, fortaleza y sabiduría.
Mi madre por su incansable e incondicional colaboración y comprensión.
Mi Padre y hermanos por su valioso apoyo en todo momento.
Esa amiga por su sincera amistad y ayuda oportuna.
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CONTENIDO
pág. RESUMEN ............................................................................................................. 13 INTRODUCCIÓN ................................................................................................... 14 1. ANTECEDENTES ........................................................................................... 15 1.1 DESCRIPCION DEL PROTOTIPO EXISTENTE ......................................... 16 2. JUSTIFICACIÓN ............................................................................................. 18 3. OBJETIVOS ..................................................................................................... 19 3.1 OBJETIVO GENERAL ................................................................................. 19 3.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ........................................................................ 19 4. MARCO TEÓRICO .......................................................................................... 20 4.1 CICLO STIRLING ........................................................................................ 20 4.2 MOTOR STIRLING TIPO ALFA .................................................................. 24 4.3 MOTOR STIRLING TIPO BETA .................................................................. 25 4.4 MOTOR STIRLING TIPO GAMMA .............................................................. 26 4.5 MECANISMO BIELA MANIVELA ................................................................ 26 4.5.1 Estudio cinemático .............................................................................. 27 5. METODOLOGÍA .............................................................................................. 29 6. FORMULACIÓN DEL ANÁLISIS MECÁNICO ................................................ 32
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6.1 PARÁMETROS CINEMÁTICOS .................................................................. 32 6.2 CINEMÁTICA DEL MECANISMO ............................................................... 34 6.3 ANGULO DE TRANSMISIÓN ...................................................................... 37 6.4 MASAS EQUIVALENTES ............................................................................ 39 6.4.1 Modelo dinámicamente equivalente biela. ......................................... 39 6.4.2 Modelo estáticamente equivalente de manivela................................ 40 6.5 FUERZAS DEINERCIA Y DE SACUDIMIENTO .............................................. 43 7. FORMULACIÓN DEL ANALISIS TERMODINÁMICO ..................................... 46 7.1 VARIACIÓN DE VOLÚMENES DE COMPRESIÓN Y EXPANSIÓN ........... 48 7.2 EXPRESIÓN PARA LA PRESIÓN .............................................................. 53 8. PARES DE TORSIÓN ...................................................................................... 55 8.1 PAR DE TORSIÓN DEL GAS ...................................................................... 55 8.2 PARES DE TORSIÓN DE INERCIA Y SACUDIMIENTO ............................ 58 8.3 TORQUE DE LA FUERZA DEL GAS Y EFECTO DEL DESCENTRADO .. 59 8.4 TORQUETOTAL DEL MOTOR .................................................................... 59 9. IMPLEMENTACIÓN HOJA DE CÁLCULO .................................................... 61 9.1 VARIABLES ................................................................................................. 61 9.2 DESCRIPCIÓN DE HOJA DE CÁLCULO .................................................. 63 10. ANÁLISIS DE RESULTADOS ......................................................................... 70 11. CONCLUSIONES ............................................................................................ 83
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BIBLIOGRAFÍA ...................................................................................................... 85
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LISTA DE FIGURAS
pág. Figura 1. Fotografía del prototipo de motor Stirling existente 17 Figura 2. Dos pistones y un cilindro del motor prototipo de motor Stirling 17 Figura 3. Motor Original de Robert Stirling 21 Figura 4 Diagrama P-V y T-S del ciclo Stirling 22 Figura 5. Procesos del ciclo Stirling 23 Figura 6. Motor tipo alfa con disposición en V 24 Figura 7. Esquema del motor Stirling tipo alfa 25 Figura 8. Esquema del Motor Stirling tipo Beta 25 Figura 9. Esquema del Motor Stirling tipo gamma 26 Figura 10. Mecanismo biela manivela 27 Figura 11. Diagrama de flujo para la metodología 31 Figura 12 Parámetros geométricos del mecanismo manivela -biela- pistón 33 Figura 13. Parámetros geométricos del mecanismo manivela - biela - desplazador 33
Figura 14. Geometría del mecanismo 35 Figura 15. Esquema para ángulo de transmisión µ en un mecanismo biela-manivela 38 Figura 16. Modelos dinámicos de masa concentrada de la biela 41 Figura 17. Dinámico masa concentrada estáticamente equivalente de manivela 41
Figura 18. Masa concentrada de manivela-biela para pistón y desplazador 43
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Figura 19. . Modelo dinámico masa concentrada de mecanismo biela- manivela con h=0 44 Figura 20. Diagrama de cuerpo libre de un mecanismo biela manivela con h=0 45 Figura 21. Parámetros geométricos y termodinámicos 47 Figura 22. Volúmenes de trabajo para el análisis de termodinámico 49 Figura 23. Diagrama de fasores para desplazamientos del pistón y desplazador 51 Figura 24. Diagrama fasores para volúmenes de desplazamiento de pistón y desplazador 52 Figura 25. Presión y fuerza del gas sobre el pistón 56 Figura 26. Diagrama cuerpo libre análisis de fuerza del gas mecanismo manivela-corredera 56
Figura 27. Pantalla principal hoja de calculo 62 Figura 28 Bloque de variable dimensional para los mecanismos manivela biela del pistón y desplazador. 64 Figura 29. Bloque de variable dimensional para los mecanismos manivela biela del pistón y desplazador 65 Figura 30. Bloque correspondiente a las dimensiones del pistón, desplazador y sus volúmenes muertos. 65
Figura 31 Asignación de variables en celdas de hoja de cálculo para espacios de pistón y desplazador. 66 Figura 32. Bloque de propiedades del gas de trabajo 67 Figura 33. Bloque para variables de propiedades del gas de trabajo 67 Figura 34. Ubicación de las componentes de las masas equivalentes para los puntos A, A’, B, B’ en el modelo del mecanismo manivela pistón. 68 Figura 35. Valores iníciales para análisis de configuraciones del motor 70
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Figura 36. Presión del gas para la primera configuración del motor con h = 0 m. 71 Figura 37. Valores para el torque en la primera configuración del motor con h = 0 71 Figura 38. Valores para la segunda configuración h=0,01 m 72 Figura 39. Curva del gas de trabajo para la segunda disposición h = 0,01 m. 72
Figura 40. Curva del torque para segunda disposición del motor con h = 0,01 m 73 Figura 41. Comportamiento de la presión para h= 0,02m 73 Figura 42. Comportamiento del torque para h= 0,02m 74 Figura 43. Comportamiento de la presión para h=0,04 m 74 Figura 44. Comportamiento del torque total para h=0,04 m 75 Figura 45. Parámetros geométrico para la quita configuración 75 Figura 46. Comportamiento de la presión para h=0,055 m 76 Figura 47. Comportamiento del torque total para h=0,055 m 76 Figura 48. Curva de presión para el sexto arreglo con biela = 0,14 77 Figura 49. Comportamiento del torque total para h=0,14 m 77
Figura 50. Variables para séptimo arreglo a comparar diámetro desplazador = 0,1 m 78 Figura 51. Curva de presión séptimo arreglo diámetro desplazador = 0,1 m 78 Figura 52. Curva de torque séptimo arreglo diámetro desplazador = 0,1 m 78 Figura 53. Variables para el octavo arreglo del motor Stirling a comparar 79
Figura 54. Curva de presión para un desplazador < pistón 79
Figura 55. Curva del torque para un desplazador < pistón 80
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Figura 56. Valores que caracterizan la novena configuración del motor. 80 Figura 57. Curva de presión para la novena configuración 81 Figura 58. Curva de torque total para la novena configuración 81 Figura 59. Parámetros que caracterizan la décima configuración 82 Figura 60. Curva de presión para densidad del aire = 1,7 Kg/m3 82 Figura 61. Curva de torque para densidad del aire = 1,7 Kg/m3 82
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LISTA DE ANEXOS Anexo A. Análisis termodinámico-mecánico de un prototipo de motor Stirling de configuración gamma y de baja potencia (ver en cd)
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RESUMEN El presente documento de grado, ha sido desarrollado con la pretensión de poner a consideración de la academia, un análisis termodinámico-mecánico de un prototipo de motor stirling de configuración gamma de baja potencia, procedimiento llevado a cabo por el autor de este proyecto. En consecuencia, la primera actividad que se realizó, fue la de describir del prototipo existente, para exhibir los diferentes compuestos y partes de dicho prototipo en aras de contextualizar al lector. Tomando como referente que el propósito capital de este análisis era brindar una interpretación de la condición de funcionamiento actual de un prototipo de motor Stirling tipo Gamma de baja potencia construido por el autor, a partir de un análisis de ingeniería, se formuló un modelo termodinámico/mecánico de apoyo sobre el funcionamiento del prototipo del motor Stirling objeto de este proyecto. Para tal final, se hizo una selección de las variables relevantes en el funcionamiento del motor y también del rango de sus valores En la parte final del documento, se propone un plan sistemático de simulaciones utilizando el modelo matemático formulado, orientado a interpretar el funcionamiento del prototipo.
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INTRODUCCIÓN El consumo de energía es necesario para el desarrollo económico y social. Sin embargo, en los últimos años, las concentraciones de gases con efecto invernadero están creciendo rápidamente en el planeta como consecuencia del uso generalizado de los combustibles fósiles, provocando cambios drásticos en el clima mundial y haciéndolo cada vez más impredecible.1 El desarrollo de fuentes energéticas renovables y el perfeccionamiento de tecnologías que permitan su utilización en los diferentes escenarios industriales pueden marcar la pauta en el camino hacia un uso sostenible de los recursos del medio ambiente. Por ello hay un interés a nivel mundial por el desarrollo de nuevas tecnologías que permitan la generación de potencia en forma limpia y económica. En este contexto emergen las posibilidades que ofrece el motor tipo Stirling. Como éste necesita solamente una fuente de calor externa es posible usar una gran variedad de fuentes energéticas (energía solar, biomasa, energía geotérmica, etcétera), lo que ha motivado el estudio de su desempeño a través de modelos matemáticos. Dado que el ciclo Stirling puede adaptarse a una variedad de configuraciones mecánicas para obtener trabajo útil, cualquier intención de diseño debe estar respaldada por un análisis termodinámico-mecánico, aplicado a algún caso particular. Así, este trabajo propone realizar un análisis tal a un prototipo de motor Stirling tipo Gamma de baja potencia, construido por el autor de este trabajo de grado, del cual puedan obtenerse conclusiones sobre su puesta en marcha.
1 Es tiempo de cambiar sustentabilidad a partir de energías limpias [en línea]. En: revista de humanidades. 2009 [consultado 20 de marzo de 2015]. Disponible en Internet: http://www.up.edu.mx/files_uploads/20150_Revista_Humanidades_UP_2009.pdf
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1. ANTECEDENTES
El gran desarrollo de los motores de combustión interna a partir de la mitad del siglo XIX y la mejora experimentada en el refinamiento de los derivados del petróleo, colocó a los motores alternativos de combustión externa en gran desventaja. Este hecho, acompañado de la invención de los motores eléctricos, consiguió que desde principios del siglo XX, la máquina de vapor y los motores Stirling y Ericsson fueran dejados de lado en la carrera por la industrialización.[A] Hacia mediados del siglo XX aparece un renovado interés en estos dispositivos para nuevas aplicaciones como refrigeración, calefacción y generación eléctrica – incluso automoción-, a partir de fuentes de calor alternativas a los combustibles fósiles. Martini [A] preparó un documento donde se sistematiza la información al respecto, y ante todo, las estrategias de modelado que marcan la pauta en los estudios más recientes. Este trabajo ha sido incluso reeditado [B]; Por la manera en que está estructurado el trabajo de Martini[A] y otros trabajos que se citan como referencia central [H] puede decirse que ofrece una estrategia plausible para lo que se propone mediante este trabajo. Una muestra de la literatura reciente con respecto al diseño de motores Stirling [C, D, E, F] confirma que, un principio subyacente a cualquier esfuerzo sistemático por lograr su funcionamiento confiable, es trabajar sobre la base de algún modelo que tenga forma matemática. Como motivación importante para este documento se considera el trabajo realizado por Robson y colaboradores [G], donde se toma un prototipo de motor Stirling como un sistema dinámico conformado por unidades de compresión, expansión, movimiento del pistón de desplazamiento libre y pistón de potencia de salida. Las predicciones logradas fueron consideradas satisfactorias por sus autores. Por otra parte, alrededor del año 2008, Al cursar la materia “Proyecto integrador” en la Universidad Autónoma de Occidente, el objetivo general de dicho curso fue la construcción de un motor Stirling. En este momento el autor elaboró un prototipo de dicha máquina a partir de la teoría del ciclo termodinámico del mismo nombre. En algún momento de la experimentación con el modelo, éste funcionó por un tiempo corto y desde entonces no ha sido posible reanudar su funcionamiento, a pesar de una serie de variaciones realizadas.
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Finalmente, y en virtud de la consulta bibliográfica llevada a cabo, se piensa que debería formularse un análisis de tipo termodinámico-mecánico, por el que pueda darse una interpretación lógica a las dificultades observadas con este prototipo. A continuación se presenta una descripción del prototipo objeto de estudio. 1.1 DESCRIPCION DEL PROTOTIPO EXISTENTE El modelo de motor Stirling construido por el autor, tiene una configuración gamma que dispone de dos pistones de movimiento horizontal y paralelo unidos a un cigüeñal por dos bielas, ver figura 1. Los dos pistones tienen un diámetro de 15mm y al igual que los cilindros son de vidrio; la longitud del pistón del lado caliente es de 64mm mientras que. El pistón lado frío es de 40mm y se muestran en la figura 2. Las bielas son fabricadas en aluminio y tienen una serie de perforaciones para reducir su peso. El eje del cigüeñal es de acero inoxidable con 6mm de diámetro y 73mm de longitud y rueda en dos cojinetes de bolas. Adicionalmente el prototipo cuenta con un volante fabricado en bronce con un peso de 80 gr. La recámara caliente está compuesta por dos elementos: el elemento que recibe el calor, fabricado en cobre, y su parte posterior, en teflón, que es el dispositivo encargado de alojar el cilindro de vidrio. La recámara del lado frío es una sola pieza, construida en cobre y provista de aletas para ayudar a disipar de calor. El chasis de este prototipo de motor Stirling es un bloque realizado en láminas de acero inoxidable atornillado a una base de madera. Estas láminas están separadas por un bloque de empack D usado en este caso como un aislante térmico. La fuente de calor es un mechero que usa como combustible alcohol industrial. Este motor opera en un ciclo cerrado que usa aire como fluido de trabajo, desplazándose alternativamente entre el lado frío y el lado caliente del motor. Al hacerlo pasa por un regenerador fabricado en lámina de cobre enrollada dentro de un tubo -también de cobre- de 10mm de diámetro y 17mm de longitud.
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Figura 1. Fotografía del prototipo de motor Stirling existente
Figura 2. Dos pistones y un cilindro del motor prototipo de motor Stirling
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2. JUSTIFICACIÓN Hoy día el agotamiento de las fuentes de energía no renovables y el alto nivel de contaminación del medio ambiente en el planeta, reclaman procesos industriales cada vez más eficientes y limpios. En este contexto los motores de combustión eficiente pueden alcanzar grandes ahorros energéticos y reducciones en las emisiones de CO2. Dadas las características de su funcionamiento, los motores Stirling pueden cumplir con tales requerimientos. Por este motivo se ha despertado un interés en la industria y la academia de todo el mundo para desarrollar programas de cara al diseño y experimentación de motores Stirling suficientemente eficientes para competir con las soluciones actuales a la crisis energética. Dado que los países latinoamericanos no se escapan a los problemas energéticos del planeta, es necesario promover también la investigación acerca de estos motores. Ello implica, en primer lugar, tener un prototipo respaldado por un análisis desde el punto de vista de las ciencias de la ingeniería (mecánica y termodinámica), que ayude a participar de manera activa en las discusiones sobre el tema.
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3. OBJETIVOS 3.1 OBJETIVO GENERAL Dar una interpretación de la condición de funcionamiento actual de un prototipo de motor Stirling tipo Gamma de baja potencia construido por el autor, a partir de un análisis de ingeniería. 3.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS Formular un modelo termodinámico/mecánico de apoyo sobre el funcionamiento del prototipo del motor Stirling objeto de este proyecto. Hacer una selección de las variables relevantes en el funcionamiento del motor y también del rango de sus valores Proponer y llevar a cabo un plan sistemático de simulaciones utilizando el modelo matemático formulado, orientado a interpretar el funcionamiento del prototipo.
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4. MARCO TEÓRICO En 1816 Robert Stirling, reverendo de origen escocés proyecta el motor Stirling con el objetivo de lograr un motor menos peligroso que la máquina de vapor que trabajaban a altas presiones. El motor Stirling es un dispositivo que opera entre una fuente a temperatura alta y un sumidero a baja temperatura. Es decir, es necesaria la presencia de una diferencia de temperaturas entre dos focos, lo cual lo caracteriza como un motor térmico. El calor que toma de la fuente a alta temperatura lo convierte en trabajo, usando como medio de trabajo un gas en un ciclo termodinámico cerrado conocido como el ciclo Stirling. Este motor continúa siendo investigado debido a la gran variedad de fuentes de energía que pueden ser utilizadas para su funcionamiento como la energía solar, geotérmica, biomasa, etc. La figura 3 muestra el esquema de un motor Stirling original y la empleamos para explicar su funcionamiento. Un cilindro vertical es calentado en su parte superior por el flujo de gases calientes provenientes de la caldera. En el interior del cilindro se encuentra un pistón de potencia y un desplazador. El desplazador es liviano y no es buen conductor de calor; al medio del desplazador existe un anillo de material capaz de absorber y ceder calor que es el regenerador. Cuando el desplazador se mueve hacia abajo, la mayor parte del aire que se encuentra dentro del cilindro queda en la zona caliente y se expande, empujando el pistón de trabajo hacia abajo. Aquí se entrega trabajo al exterior y gira el volante. Al suceder esto, una serie de bielas mueven el desplazador hacia arriba, desplazando la mayor parte del aire a través del regenerador hacia la zona fría donde se comprime el aire y se inicia nuevamente el ciclo. 4.1 CICLO STIRLING El ciclo Stirling ideal consiste de dos procesos isotérmicos totalmente reversibles y dos procesos reversibles a volumen constante. La figura 4. Muestra los procesos del ciclo en una curva p-v y en un cura T-s. Durante el proceso de expansión 3-4 el calor es suministrado a temperatura constante TH y durante el proceso 1-2 el calor es rechazado a temperatura constante TL. De 2-3 el calor interactúa a volumen constante al igual que de 4-1. La cantidad de calor en estos dos procesos es esencialmente igual, pero en dirección opuesta; este proceso de intercambio necesita ser realizado por un regenerador. La función del regenerador
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es actuar como un reservorio temporal, capaz de absorber calor durante el proceso de 4-1 y entregar idealmente la misma cantidad de calor durante el proceso de 2-3. Figura 3. Motor Original de Robert Stirling
Fuente: El motor sterling [en línea]. Chile: Universidad de Chile, 1998 [consultado 20 de marzo de 2015]. Disponible en Internet: http://www.cec.uchile.cl/~roroman/cap_10/STRLNG2.HTM
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Figura 4 Diagrama P-V y T-S del ciclo Stirling
Fuente: SAAD, Michael. Thermodynamics principles and practice. México: Prentice Hall, 1997. capítulo 7. En la figura 5 se representa un sistema que puede ejecutar los diferentes procesos del ciclo Stirling. Al fluido de trabajo se le añade calor isotérmicamente de una fuente externa de temperatura TH durante el proceso 1-2, y se rechaza también isotérmicamente en un sumidero externo a temperatura TL durante el proceso 3-4. En un proceso isotérmico reversible, la transferencia de calor se relaciona con el cambio de entropía. En una carrera permanente por realizar mejoras al motor Stirling se han generado innumerables arreglos los cuales se clasifican dentro de tres grupos principales que son los motores tipo alfa, beta y gamma.
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Figura 5. Procesos del ciclo Stirling
Fuente: SAAD, Michael. Thermodynamics principles and practice. Mèxico: Prentice Hall, 1997. capítulo 7.
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4.2 MOTOR STIRLING TIPO ALFA Es posible que esta sea la configuración más sencilla de las tres, siendo conformada por dos pistones en cilindros diferentes conectados en serie mediante un regenerador. Uno de los cilindros está conectado a un calentador y el otro a un enfriador. Richard Wheeler2 desarrolló un motor tipo alfa con disposición en V, este se muestra en la figura 6 Figura 6. Motor tipo alfa con disposición en V
Fuente: Stirling engines - mechanical configurations [en línea]. Ohio: Universidad de Ohio [consultado 20 de marzo de 2015]. Disponible en Internet: http://www.ohio.edu/mechanical/stirling/engines/engines.html Un diagrama esquemático de esta configuración se muestra en la figura 7, donde se observa la disposición de los elementos termodinámicos de la configuración alfa, es de notar el regenerador entre el intercambiador de calor caliente y el frío.
2 Stirling engines - mechanical configurations [en línea]. Ohio: Universidad de Ohio [consultado 20 de marzo de 2015]. Disponible en Internet: http://www.ohio.edu/mechanical/stirling/engines/engines.html
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Figura 7. Esquema del motor Stirling tipo alfa
Fuente: Stirling engines - mechanical configurations [en línea]. Ohio: Universidad de Ohio [consultado 20 de marzo de 2015]. Disponible en Internet: http://www.ohio.edu/mechanical/stirling/engines/engines.html 4.3 MOTOR STIRLING TIPO BETA El motor Stirling original de acuerdo a la patente del dibujo de 1816, se muestra un tipo beta. En esta configuración el pistón y el desplazador se encuentran en un mismo cilindro el cual tiene en un extremo la zona caliente y en el otro la zona fría. El oficio del desplazador es impulsar el gas de la zona fría a la caliente y viceversa. Un esquema de esta configuración lo vemos en la figura 8. Figura 8. Esquema del Motor Stirling tipo Beta
Fuente: Stirling engines - mechanical configurations [en línea]. Ohio: Universidad de Ohio [consultado 20 de marzo de 2015]. Disponible en Internet: http://www.ohio.edu/mechanical/stirling/engines/engines.html
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4.4 MOTOR STIRLING TIPO GAMMA El motor tipo Gamma tiene una configuración similar a la máquina del tipo beta, sin embargo el desplazador y el pistón se encuentran en distintos cilindros. Esto permite una separación completa entre el cilindro del desplazador y el cilindro que contiene el pistón, lo cual hace que los intercambiadores de calor estén separados el uno del otro, por lo tanto, tienden a tener un poco más grandes los volúmenes de las zonas muertas que cualquiera de los motores alfa o beta. Ver figura 9. Figura 9. Esquema del Motor Stirling tipo gamma
Fuente: Stirling engines - mechanical configurations [en línea]. Ohio: Universidad de Ohio [consultado 20 de marzo de 2015]. Disponible en Internet: http://www.ohio.edu/mechanical/stirling/engines/engines.html 4.5 MECANISMO BIELA MANIVELA El mecanismo de biela - manivela es un mecanismo que transforma un movimiento circular en un movimiento de traslación, o viceversa. El ejemplo actual más común se encuentra en el motor de combustión interna de pistones, en el cual el movimiento lineal del pistón producido por la explosión del combustible, se trasmite a la biela y se convierte en movimiento circular en el cigüeñal.
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4.5.1 Estudio cinemático. Definimos la dirección de la coordenada X de manera paralela a la dirección del movimiento cruceta - pistón y definimos el origen de coordenadas correspondiente en el centro de rotación de la manivela; el problema consiste en hallar las funciones que determinan la posición, la velocidad lineal y la aceleración también lineal de la cruceta en función de la velocidad angular ω de la manivela y del ángulo α de rotación de la misma. Siendo: R = Longitud de la manivela L = Longitud de la biela Ө = Ángulo de rotación descripto por la manivela Ø = Ángulo de rotación descripto por la biela alrededor de su articulación con la cruceta o pistón. Las ecuaciones para el desplazamiento, velocidad y aceleración se obtienen a partir de la figura 10. Figura 10. Mecanismo biela manivela
Fuente: NORTON, Robert. Diseño de maquinaria. Cuarta edición México: Prentice Hall, 2011. 584 p. X = R + L – RcosӨ – Lcos Ø (3.1) X = R( 1 – cosӨ) + L(1 - cos Ø) (3.2)
𝑋 = 𝑅(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃) + 𝐿 (1 − √1 − (𝑅 𝐿⁄ )2𝑠𝑒𝑛2𝜃) (3.3)
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Si tiene en cuenta que
√1 − (𝑅 𝐿⁄ )2𝑠𝑒𝑛2𝜃 = 1 −
1
2(𝑅
𝐿)2
𝑠𝑒𝑛2𝜃 (3.4) La ecuación (15) se puede simplificar: 𝑋 = 𝑅(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃) +
𝑅2
2𝐿𝑠𝑒𝑛2𝜃 (3.5)
Donde debido a que se toma como constante. La velocidad y la aceleración serán: 𝑉 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 𝑅𝑤 (𝑠𝑒𝑛𝜃 +
𝑅
2𝐿𝑠𝑒𝑛2𝜃) (3.6)
𝐴 =
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2= 𝑅𝑤2 (𝑐𝑜𝑠𝜃 +
𝑅
𝐿𝑐𝑜𝑠2𝜃) (3.7)
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5. METODOLOGÍA La formulación del modelo termodinámico-mecánico de un prototipo de motor Stirling tipo gamma inició por la parte mecánica, tomando como patrón el análisis dinámico de un mecanismo manivela-deslizador que se presenta en el texto “Diseño de Maquinaria” de Norton, indicado en la bibliografía al final del informe. Dicho análisis viene precedido por un análisis cinemático, en el cual se establecen expresiones para la posición, velocidad y aceleración del deslizador dada una posición angular de la manivela. A diferencia del estudio presentado en el texto del profesor Norton, el análisis que se desea hacer al prototipo incluye un desfase u “Offset”, que es la longitud del segmento que parte del eje de la manivela y es perpendicular a la línea de eje del deslizador, cuando se mira al mecanismo perpendicular al plano descrito por la rotación de la manivela. Luego, la obtención de una expresión acorde con las simplificaciones que presenta el profesor Norton en su texto (omisión de términos armónicos de alto orden) obligó a una reformulación propia. El análisis dinámico, en cuanto a las expresiones para el torque de gas y el torque de inercia, no presenta variaciones con respecto de la referencia utilizada, a excepción del valor de la presión del gas, que fue el objeto del análisis termodinámico. El análisis termodinámico es el que se presenta bajo el nombre de Gustav Schmidt, tal como se expone en el portal “Stirling cycle machine analysis” de la universidad de Ohio (EEUU), cuyo enlace se indica en la bibliografía al final de este documento. Se trata de un análisis donde se asume un régimen isotérmico para el gas en los espacios de compresión y expansión tanto barridos por el desplazador y el pistón, como los correspondientes a volúmenes muertos. Así mismo, se asume un perfil lineal de temperatura a través del regenerador, o zona que media entre los volúmenes de aire frío y caliente. El análisis Schmidt produce como resultado un perfil de presión de trabajo en función de la coordenada angular de la manivela. Este resulta altamente dependiente de la fase que se tenga entre el movimiento del pistón y el del desplazador, que a su vez va a incidir en la variación periódica del volumen de compresión. Esta relación se hace evidente a través del denominado “diagrama fasor”, que aunque está disponible en la referencia indicada, hubo necesidad de reformularlo para hacer evidente los términos que representan los parámetros de diseño en el presente trabajo. Esta acción simplifica la implementación de las expresiones resultantes en hoja de cálculo y
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también la explicación a quien no estuviera familiarizado con el funcionamiento del motor Stirling. La expresión para la presión del gas, que resulta del análisis termodinámico, se reemplaza en su lugar correspondiente en la del torque de gas; esta última sumada al torque de inercia resulta en la curva de torque total. Dichas expresiones muestran las siguientes cantidades como parámetros de diseño: longitud de manivela y de biela del lado del pistón de potencia y del desplazador, masas equivalentes en los mecanismos de manivela-deslizador del lado del pistón de potencia y del desplazador, diámetros del pistón de potencia y del desplazador, longitudes de los tramos muertos de compresión y de expansión, longitud y diámetro del regenerador, temperaturas de lado frío y de lado caliente, y densidad y presión del aire en la cámara a temperatura ambiente (condición de inicio del motor) La curva de presión de gas y la de torque total, se pueden utilizar para estudiar el efecto de estos parámetros en el tamaño del volante requerido y en el trabajo neto de salida del motor. Con el fin de sintetizar la metodología expuesta en la figura 11 se presenta un diagrama de flujo con los pasos que se sigue en este proyecto para lograr los objetivos.
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Figura 11. Diagrama de flujo para la metodología
Mecanismo a considerar
hlrx
hlrx
hlrx
,,,
,,,
,,,
Análisis cinemático: posición, velocidad y aceleración
Modelo dinámico de masas concentradas
INERCIAT
Motor Stirling tipo Gamma
pPresión al
interior de la cámara
Torque debido a las fuerzas de
inercia del mecanismo
GAST
Torque debido a la acción del gas sobre el
pistón
INERCIAGASTOTAL TTT
ANALISIS TERMODINÁMICO
ANALISIS MECÁNICO
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6. FORMULACIÓN DEL ANÁLISIS MECÁNICO 6.1 PARÁMETROS CINEMÁTICOS El mecanismo de un motor Stirling de configuración gamma está constituido por un pistón y un desplazador, cada uno de estos elementos posee una biela y una manivela las cuales los unen a un mismo eje. Para realizar el análisis cinemático del motor se asume que: -Las bielas del pistón y del desplazador tienen las mismas longitudes. -Las manivelas del pistón y del desplazador tienen las mismas longitudes. -La presión del gas de trabajo se ejerce solamente sobre el pistón. Para este estudio se eligió una configuración de manivela-biela descentrada, es decir que el eje de la corredera no está centrado con el pivote de la biela, esto con el fin de abarcar una mayor cantidad de configuraciones para dicho motor. En las figuras 12 y 13 se muestran los mecanismos manivela - biela para el pistón y el desplazador en la configuración propuesta, donde r es la longitud de la manivela, l la longitud de la biela y h es distancia entre el eje de la corredera y el eje de la manivela. Las longitudes r, l y h son variables de entrada para el análisis y es necesario que al darle valores se configure un mecanismo que al girar la manivela no presente posición de agarrotamiento y sea capaz de dar una revolución completa alrededor de su eje
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Figura 12 Parámetros geométricos del mecanismo manivela -biela- pistón
Figura 13. Parámetros geométricos del mecanismo manivela - biela - desplazador
La condicione básica para que la ecuación de desplazamiento de la corredera (esta se verá en el siguiente numeral) no quede indeterminada es que los valores dados a las variables r, hy l cumplan con: Si h es diferente de cero: 𝑟+ℎ
𝑙< 1 (6.1)
Si h es igual a cero: 𝑟
𝑙< 1 (6.2)
34
6.2 CINEMÁTICA DEL MECANISMO Por parámetros cinemáticos se entienden los que resultan del análisis del mecanismo cuando el propósito es obtener expresiones para la posición, velocidad y aceleración del deslizador en función de la posición angular de la manivela. Un mecanismo de biela y corredera puede ser analizado empleando los métodos usados en el análisis de mecanismos de cuatro barras con juntas de pasadores. En la figura 14 se observa la geometría de un mecanismo de corredera manivela de cuatro barras descentrado lo cual significa que el eje de la corredera no pasa por el punto de pivote de la manivela. Este mecanismo se puede representar por cuatro vectores de posición R1, R2, R3, R4, donde R1 equivale a la posición de la corredera con magnitud X. R4 corresponde a una magnitud constante h la cual define el descentre entre el eje de la corredera y el pivote de la biela. El vector R2 define la longitud de la manivela r y el vector R3 representa la magnitud L dela biela que es elemento acoplador entre la manivela y el pistón. Para el análisis se crea un eje de coordenadas paralelo al eje de deslizamiento de la corredera. El vector R3 que representa el acoplador se coloca con su origen en la corredera. El ángulo ɵ es el ángulo de la manivela y para una velocidad angular constante w este ángulo está dado por ɵ= wt. El ángulo formado por la biela con el eje x es Ø De la figura 14 se construye el triángulo rsq y el triángulo ul(q-h)y por geometría se tiene que: 𝑞 = 𝑟 sin 𝜃 = (𝑙 sin ∅) + ℎ (6.3) De (6.3) se despeja senØ y se tiene: sin ∅ =
𝑟 sin𝑤𝑡−ℎ
𝑙 (6.4)
35
Figura 14. Geometría del mecanismo
De Figura 14 también se tiene que: 𝑠 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡 y 𝑢 = 𝑙 cos ∅ y𝑋 = 𝑆 + 𝑈 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡 + 𝑙𝑐𝑜𝑠∅ (6.5) De la identidad trigonométrica se tiene que: 𝑐𝑜𝑠∅ = √𝑙 − 𝑠𝑒𝑛2∅ (6.6) Reemplazando (6.4) en (6.6)
𝑐𝑜𝑠∅ = √1 − (𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡−ℎ
𝑙)22
(6.7) Reemplazando (6.7) en (6.5)
𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡 + 𝑙√1 − (𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡−ℎ
𝑙)2
(6.8) El radical de la ecuación (6.8) es
√1 − (𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡−ℎ
𝑙)2
(6.9)
36
La ecuación (6.9) se expresa como:
(1 − (𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡−ℎ
𝑙)2
)1/2
(6.10)
= (1 − (𝑟
𝑙𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡 −
ℎ
𝑙)2
)1/2
(6.11) Se emplea el teorema binomial para expandir el radical de la ecuación (6.8) que nos da la posición pistón. La forma general del teorema binomial ó del también llamado binomio de Newton expresa la enésima potencia de un binomio como un polinomio:
(𝑎 + 𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 + 𝑛𝑎𝑛−1𝑏 +𝑛(𝑛 − 1)
2!𝑎𝑛−2𝑏2 +
𝑛(𝑛 − 1)(n − 2)
3!𝑎𝑛−3𝑏3 +⋯
Para la expansión binomial de (6.11) se tiene que:
a=1, 𝑏 = −(𝑟𝑙𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡 −
ℎ
𝑙)2
, n= ½ Entonces (6.11) se expande a:
1 −1
2(𝑟
𝑙𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡 −
ℎ
𝑙)2
+ 1
8(𝑟
𝑙𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡 −
ℎ
𝑙)4
−1
16(𝑟
𝑙𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡 −
ℎ
𝑙)6
+⋯ (6.12) Desarrollando los cuatro primeros términos de la expresión binomial se tiene que: 1 −
1
2(𝑟2
𝑙2𝑠𝑒𝑛2𝑤𝑡 −
2𝑟
𝑙𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡 +
ℎ2
𝑙2) +
1
𝟖𝒍𝟒(𝑟4𝑠𝑒𝑛4𝑤𝑡 − 4𝑟3ℎ𝑠𝑒𝑛3𝑤𝑡 + 6𝑟2ℎ2𝑠𝑒𝑛2𝑤𝑡 −
4𝑟ℎ3𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡 + ℎ4) −1
𝟏𝟔𝒍𝟔(𝑟6𝑠𝑒𝑛6𝑤𝑡 − 6𝑟5ℎ𝑠𝑒𝑛5𝑤𝑡 + 15𝑟4ℎ2𝑠𝑒𝑛4𝑤𝑡 − 20𝑟3ℎ3𝑠𝑒𝑛3𝑤𝑡 +
15𝑟2ℎ4𝑠𝑒𝑛2𝑤𝑡 − 6𝑟ℎ5𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡 + ℎ6) (6.13) Si se tiene en cuenta que l siempre será mayor que r, es decir que la relación 𝑟 𝑙⁄ será menor que uno. Entonces para (6.13) los elementos a partir del tercer término se harán cada vez muy pequeños por lo que la podemos simplificar a: 1 −
1
2(𝑟2
𝑙2𝑠𝑒𝑛2𝑤𝑡 −
2𝑟
𝑙𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡 +
ℎ2
𝑙2) (6.14)
Se reemplaza la expresión (6.14) en la ecuación (6.8) y se tiene que:
37
𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡 + 𝑙 (1 −1
2(𝑟2
𝑙2𝑠𝑒𝑛2𝑤𝑡 −
2𝑟
𝑙𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡 +
ℎ2
𝑙2)) (6.15)
En la ecuación (6.15) se sustituye: 𝑠𝑒𝑛2𝑤𝑡 = 1−𝑐𝑜𝑠2𝑤𝑡
2 (6.16)
𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡 + 𝑙 −
𝑟2
4𝑙+𝑟2
4𝑙𝑐𝑜𝑠2𝑤𝑡 + 𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡 −
ℎ2
2𝑙 (6.17)
La ecuación (6.17) es un modelo matemático bastante aproximado para describir el desplazamiento del pistón en la corredera. Una expresión para la velocidad del pistón se encuentra derivando la ecuación (6.17) 𝑥 ′ = −𝑟𝑤𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡 −
𝑟2𝑤
2𝑙𝑠𝑒𝑛2𝑤𝑡 + 𝑟𝑤𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡 (6.18)
La aceleración de un punto en x se obtiene derivando la ecuación de velocidad (6.18) 𝑥 ′′ = −𝑟𝑤2𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡 −
𝑟2𝑤2
𝑙𝑐𝑜𝑠2𝑤𝑡 − 𝑟𝑤2𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡 (6.19)
Del análisis presentado es claro que además de la posición angular de la manivela reflejada por el término t , se tiene el largo de la manivela r y el de la biela l como parámetros cinemáticos. 6.3 ANGULO DE TRANSMISIÓN El ángulo de transmisión definido como el ángulo formado entre los eslabones acoplador y de salida en un mecanismo de cuatro barras, es una forma rápida de apreciar la eficiencia con la que la potencia es transmitida. Este ángulo varia continuamente entre un valor mínimo y un valor máximo conforme el eslabonamiento pasa por su intervalo en movimiento. En la figura 15 se muestra un mecanismo de cuatro barras donde la barra 4 es la motriz, la barra 3 es el elemento acoplador y la barra 2 es el eslabón de salida. Por lo tanto el ángulo de transmisión es el formado entre las barras 2 y 3.
38
Figura 15. Esquema para ángulo de transmisión µ en un mecanismo biela-manivela
De la ecuación (6.4) se despeja Ø para obtener: ∅ = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (
𝑟 sin𝑤𝑡−ℎ
𝑙) (6.20)
Ø corresponde al ángulo menor que se pueda formar entre el elemento acoplador y la horizontal en el origen del vector R4 que corresponde al pistón. El ángulo entre la manivela y la biela está dado por: 𝜇 = 180 − (𝜃2 − ∅31) (6.21) Por lo que el ángulo de transmisión está dado por:
𝜇 = 180 − (𝜃2 − (𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (𝑟 sin𝑤𝑡−ℎ
𝑙))) (6.22)
Una implementación en hoja de cálculo permitirá visualizar aquellas configuraciones del mecanismo (a través de la posición angular de la manivela) donde la cercanía de µ a 0° o 180° indica una transmisión poco eficiente del movimiento.
39
6.4 MASAS EQUIVALENTES La biela o acoplador del mecanismo manivela-deslizador tiene un movimiento plano, lo que asociado a su naturaleza de cuerpo rígido, hace complicado considerar un modelo en términos de su momento de inercia y del movimiento de su centro de gravedad. Por lo anterior se considera la representación del mecanismo como un sistema de masas puntuales equivalentes. A continuación se establecen los detalles de dicha formulación y se concluye señalando los parámetros inerciales de diseño del motor. En el caso del mecanismo de manivela-corredera, la manivela está en rotación pura y el pistón en traslación pura y sus movimientos cinemáticos son fáciles de determinar. La biela está en movimiento complejo y para realizar un análisis dinámico se debe determinar la aceleración lineal de su CG en todas las posiciones para lo cual se requiere un modelo simplificado de esta biela. Los requerimientos para obtener un modelo dinámicamente equivalente son: La masa del modelo debe ser igual a la masa del cuerpo original. El centro de gravedad debe estar en el mismo lugar que el del cuerpo original. El momento de inercia de masa debe ser igual al del cuerpo original. 6.4.1 Modelo dinámicamente equivalente biela. En la figura 16.se muestra un modelo genérico de dos masas de la biela. Una masa mt se localiza a una distancia lt
del CG de la biela original y la segunda masa mp a una distancia lp del CG. La masa de la pieza original es m3 y su momento de inercia con respecto a su CG es IG3. Una expresión matemática para los requisitos de la equivalencia dinámica en función de estas variables es: 𝑚𝑝 +𝑚𝑡 = 𝑚3 (6.23) 𝑚𝑝𝑙𝑝 = 𝑚𝑡𝑙𝑡 (6.24) 𝑚𝑝𝑙𝑝
2 +𝑚𝑡𝑙𝑡2 = 𝐼𝐺3 (6.25)
40
Se elige la distancia lt igual a la distancia del pasador del pistón lb como se muestra en la figura 16.c. Al resolver las ecuaciones (6.23), (6.24), (6.25) se obtiene una expresión para las dos masas concentradas. 𝑚𝑝 = 𝑚3
𝑙𝑏
𝑙𝑝+𝑙𝑏 (6.26)
𝑚𝑏 = 𝑚3
𝑙𝑝
𝑙𝑝+𝑙𝑏 (6.27)
6.4.2 Modelo estáticamente equivalente de manivela. Puede generarse un modelo para la manivela, su CG se localiza a cierta distancia rG2 del pivote O2 sobre la línea del muñón de la manivela A como se muestra en la figura 17. Para facilitar el análisis se plantea un modelo como una masa concentrada en A unida a una masa en el pivote O2 unidas por una barra sin masa.
41
Figura 16. Modelos dinámicos de masa concentrada de la biela
Fuente: NORTON, Robert. Diseño de maquinaria. Cuarta edición México: Prentice Hall, 201. p. 584. Figura 17. Dinámico masa concentrada estáticamente equivalente de manivela
Fuente: NORTON, Robert. Diseño de maquinaria. Cuarta edición México: Prentice Hall, 2011. p. 584.
42
Dado que se asume que la velocidad angular w de la manivela como constante, es posible emplear un modelo estáticamente equivalente debido a que la aceleración es cero y las condiciones que debe cumplir son: La masa del modelo debe ser igual que la del cuerpo original El centro de gravedad debe estar en el mismo lugar que el del cuerpo original
Esto se puede escribir de la siguiente manera. 𝑚2 = 𝑚2 +𝑚2𝑂2 (6.28) 𝑚2𝑎𝑟 = 𝑚2𝑟𝐺2 (6.29) 𝑚2𝑎 = 𝑚2
𝑟𝐺2
𝑟 (6.30)
El muñón de la manivela tiene dos masas concentradas en el punto A, la masa equivalente a la manivela 2 esm2A y la masa de la biela 3 esm3A. El total de estas masas es: 𝑚𝐴 = 𝑚2𝐴 +𝑚3𝐴 (6.31) En el punto B se concentran las masas del pistón 4 es m4y la masa del modelo de la biela 3 es m3B. La masa total en este punto es 𝑚𝐵 = 𝑚3𝐵 + 𝑚4 (6.32) En la figura 18 se representan las masas totales en los puntos A y B. Nombrando la manivela del desplazador como barra 5, la biela del desplazador como barra 6 y el desplazador como barra 7. Se tiene que el muñón entre la manivela y la biela del desplazador sea el punto A’ y el muñón entre la biela y la extensión del desplazador sea el punto B’. En A’ se tiene que la masa equivalente de la manivela del desplazador es m5A’ y la masa equivalente de la biela es m6A’. La masa total en este punto es: 𝑚𝐴′ = 𝑚5𝐴′ +𝑚6𝐴′ (6.31’)
43
En B’ la masa equivalente a la biela es m6B’ y la masa equivalente al desplazador y su extensión es m7. La masa total en este puto es: 𝑚𝐵′ = 𝑚6𝐵′ + 𝑚7 (6.32’) En la figura 18 se exponen las masa equivalentes en mA, mB, mA’ y mB’ Figura 18. Masa concentrada de manivela-biela para pistón y desplazador
De la discusión en esta sección del informe, queda claro que los parámetros inerciales de diseño son las masas puntuales m2a, m3a, m3b, m4, m5a, m6a’, m6b’y m7 que junto con los parámetros cinemáticos r y l se pueden utilizar para establecer una forma física para la manivela y la biela; en este punto las limitaciones vienen por cuenta de la facilidad de fabricación y por los esfuerzos que tengan lugar al interior de las mismas, que ya no son el tema de este proyecto. 6.5 FUERZAS DEINERCIA Y DE SACUDIMIENTO Utilizando el modelo simplificado de masa concentrada del mecanismo manivela corredera para h=0 como el de la figura 19 es posible desarrollar una expresión para las fuerzas y pares de torsión generados por las aceleraciones de las masas presentes en el sistema. El método de d’Alembert permite visualizar los efectos de estas masa en movimiento en el sistema del plano de la bancada.
44
Figura 19. . Modelo dinámico masa concentrada de mecanismo biela-manivela con h=0
Fuente: NORTON, Robert. Diseño de maquinaria. Cuarta edición México: Prentice Hall, 2011. p. 523 Los diagramas de cuerpo libre de la figura 20 muestran las fuerzas de inercia de d’Adembert que actúan en las masas localizadas en los puntos A y B. Se ignoran las fricciones. La aceleración del punto A en rotación se obtiene al diferenciar dos veces el vector de posición RA, con w constante se tiene: 𝑅𝐴 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡𝒊 + 𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡𝒋 (6.33) 𝑎𝐴 = −𝑟𝑤
2𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡𝒊 − 𝑟𝑤2𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡𝒋 (6.34) La fuerza de inercia total Fi es la suma de la fuerza centrífuga en el punto A y la fuerza de inercia en el punto B 𝐹𝑖 = −𝑚𝐴𝑎𝐴 −𝑚𝐵𝑎𝐵 (6.35) Sustituyendo la ecuación (6.34) en (6.35) se tiene que: 𝐹𝑖 = −𝑚𝐴(−𝑟𝑤
2𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡) − 𝑚𝐵𝑎𝐵 (6.36)
45
Figura 20. Diagrama de cuerpo libre de un mecanismo biela manivela con h=0
Fuente: NORTON, Robert. Diseño de maquinaria. Cuarta edición México: Prentice Hall, 2011. p. 523 𝑎𝐵 es la aceleración del pistón que está dada por la ecuación (6.19), reemplazándola en (6.36): 𝐹𝑖 = −𝑚𝐴(−𝑟𝑤
2𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡) − 𝑚𝐵(−𝑟𝑤2𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡 −
𝑟2𝑤2
𝑙𝑐𝑜𝑠2𝑤𝑡 + 𝑟𝑤2𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡) (6.37)
Esta es la ecuación para la fuerza de sacudimiento que se define como la suma de las fuerzas que actúan en el plano de la bancada.
46
7. FORMULACIÓN DEL ANALISIS TERMODINÁMICO El motor Stirling tipo gamma tiene un pistón desplazador y un pistón de potencia en cilindros diferentes, lo que le permite una separación completa entre el intercambiador de calor de la zona caliente y el intercambiador de calor de la zona fría. El pistón desplazador se mueve en el volumen asociado con el lado caliente y el pistón de potencia se mueve en el volumen de compresión asociado con el lado frio. El volumen que se encuentra en el cilindro caliente y delante del desplazador es considerado como volumen de expansión y se suponen a una misma temperatura Tc. El volumen que comprende desde el cilindro caliente por la parte posterior del desplazador hasta el volumen barrido por el pistón se considera volumen de compresión y se suponen a una misma temperatura Tf. El cuerpo del desplazador se considera un elemento poroso que hace las veces de regenerador, esta porosidad puede contener una cantidad de gas que corresponde a un porcentaje del volumen total del cuerpo del desplazador. La fórmula para la variación de la presión con la posición angular de la manivela, resultado del análisis de Schmidt3, indica que dicha dependencia se da a través de la variación de los volúmenes de compresión Vcy de expansión Ve; luego estos volúmenes pasan a considerarse como parámetros de diseño surgidos del análisis termodinámico del motor Stirling tipo gamma. Antes de entrar a detallar las formulaciones correspondientes que se obtienen mediante el denominado diagrama de fasor, es necesario esclarecer los parámetros geométricos y termodinámicos que se utilizarán para caracterizar el motor y su fluido de trabajo (aire). En estos parámetros se citamos las variables que tienen que ver con el análisis termodinámico del motor y que son datos de entrada como son las temperaturas y las dimensiones de los distintos elementos que conforman las zonas donde se realiza el intercambio de calor como se muestra en la figura 21. Dd = diámetro del elemento desplazador Dp = diámetro del pistón en el lado frío 3 Sinusoidal volume variations [en línea]. Ohio: Universidad de Ohio [consultado 20 de marzo de 2015]. Disponible en internet: http://www.ohio.edu/mechanical/stirling/engines/volumes.html
47
Ddt = diámetro del ducto que comunica los cilindros Ld = longitud del desplazador Lp = longitud del pistón Figura 21. Parámetros geométricos y termodinámicos
Ldt = longitud del ducto que une los cilindros Lcled = longitud del volumen muerto en la zona de expansión o lado caliente del desplazador Lclcd = longitud del volumen muerto en la zona de compresión al lado del desplazadoro lado frío del desplazador Lclcp = longitud del volumen muerto en la zona del pistón Tf = temperatura del lado frío
48
Tc = temperatura del lado caliente Tr = temperatura del regenerador que hace las veces de elemento desplazador %Vd = porcentaje del volumen del desplazador ocupado por el regenerador
7.1 VARIACIÓN DE VOLÚMENES DE COMPRESIÓN Y EXPANSIÓN
Para analizar el motor Stirling tipo gamma es necesario hallar una expresión que ayude a determinar la variación de sus volúmenes con respecto al ángulo ɵ, para lo cual nos basaremos en un estudio realizado por Gustav Schmidt del Instituto Alemán Politécnico de Praga en el año de 18714. Dicho razonamiento parte de la suposición, de que, la temperatura en todo el intercambiador de calor del lado caliente, se encuentra a una misma temperatura superior y que todo el intercambiador de calor del lado frio se encuentra a una misma temperatura inferior. También se supone que la masa de aire contenida en los volúmenes es constante durante su funcionamiento. En esta configuración los espacios de trabajo del motor en cuestión son los volúmenes donde se desplazan el pistón, el desplazador y gas que en este caso es aire. Estos espacios o volúmenes se muestran en la figura 22 y se nombran según las características del aire contenido en él, así: Vcled = volumen muerto en el lado caliente Vda = mitad del volumen barrido por el desplazador en el lado caliente Vclcd = volumen muerto en el lado frío correspondiente al desplazador
4 Ibíd., http://www.ohio.edu/mechanical/stirling/engines/volumes.html
49
Figura 22. Volúmenes de trabajo para el análisis de termodinámico
Vclcp = volumen muerto correspondiente al lado del pistón Vpa = mitad del volumen barrido por el pistón Xdmin = valor mínimo que alcanza el desplazador en la dirección X Xdmax = valor máximo que alcanza el desplazador en la dirección X Xpmin = valor mínimo que alcanza el pistón en la dirección X Xpmax = valor máximo que alcanza el pistón en la dirección X Xpa = longitud efectiva del volumen de comprimido por el pistón
𝑋𝑝𝑎 =𝑋𝑝𝑚𝑎𝑥−𝑋𝑝𝑚𝑖𝑛
2−𝐿𝑝
2 (7.1)
Xda = longitud efectiva del volumen recorrido por el desplazador en la zona de
expansión:
𝑋𝑑𝑎 =𝑋𝑑𝑚𝑎𝑥−𝑋𝑑𝑚𝑖𝑛
2−𝐿𝑑
2 (7.2)
50
Ap= área de la sección del pistón y es igual a: 𝐴𝑝 =
𝜋
4𝐷𝑝2 (7.3)
Ad = área de la sección del desplazador y está dada por: 𝐴𝑑 =
𝜋
4𝐷𝑑2 (7.4)
Adt = área de la sección del ducto que comunica los cilindros: 𝐴𝑑𝑡 =
𝜋
4𝐷𝑑𝑡2 (7.5)
El volumen barrido por el desplazador en la zona de expansión es: 𝑉𝑑𝑎 = 𝐴𝑑𝐿𝑑𝑎 (7.6)
El volumen barrido por el pistón a partir de un punto medio hasta el límite superior de la carrera es: 𝑉𝑝𝑎 = 𝐴𝑝𝐿𝑝𝑎 (7.7)
Volumen muerto en el lado caliente o volumen muerto en la zona de expansión: 𝑉𝑐𝑙𝑒𝑑 = 𝐴𝑑𝐿𝑐𝑙𝑒𝑑 (7.8)
Volumen muerto en el lado frio correspondiente al cilindro del desplazador: 𝑉𝑐𝑙𝑐𝑑 = 𝐴𝑑𝐿𝑐𝑙𝑐𝑑 (7.9)
Volumen muerto en el lado del pistón: 𝑉𝑐𝑙𝑐𝑝 = 𝐴𝑝𝐿𝑐𝑙𝑐𝑝 (7.10)
Volumen del ducto que comunica los cilindros 𝑉𝑑𝑡 = 𝐴𝑑𝑡𝐿𝑑𝑡 (7.11)
Volumen total del cuerpo del desplazador 𝑉𝑑 = 𝐴𝑑𝐿𝑑 (7.12)
Volumen del regenerador:
51
𝑉𝑟 =(%𝑉𝑑)𝑉𝑑
100 (7.13)
Vcoes es la suma de volúmenes de compresión comprendidos entre el lado del pistón y del lado caliente en la parte inferior del desplazador, esto incluye los volúmenes muertos. 𝑉𝑐𝑜 = 𝑉𝑑𝑎 + 𝑉𝑐𝑙𝑐𝑑 + 𝑉𝑑𝑡 + 𝑉𝑝𝑎 + 𝑉𝑐𝑙𝑐𝑝 (7.14)
Veo es la suma del volúmenes de expansión en la zona caliente incluyendo el volumen muerto. 𝑉𝑒𝑜 = 𝑉𝑑𝑎 + 𝑉𝑐𝑙𝑒𝑑 (7.15)
Se designa φ como el ángulo de avance del desplazador con respecto al pistón. En la figura 23 se presenta el diagrama de fasores para los vectores Xpa que representa el desplazamiento del pistón y el vector Xda que representa el desplazamiento del elemento desplazador y entre ellos el ángulo φ marcando el desfase entre los vectores. Figura 23. Diagrama de fasores para desplazamientos del pistón y desplazador
En la figura 24 se observa que el comportamiento volumen Vpa es inversamente proporcional al desplazamiento del pistón; es decir que cuando el pistón se desplaza en sentido positivo el Vpa disminuye. Este comportamiento ubica los vectores Xpa y Vpa con un desfase de 180 grados. De igual manera, se observa que el desplazamiento positivo del desplazador proporciona un incremento del Vda en el lado frío lo que hace que tengan un comportamiento lineal sin desfase con el vector Xda. Cuando el volumen Vda del lado
52
frío se incrementa, el volumen Vda del lado caliente disminuye por lo que existe un desfase de 180 grados entre los vectores de Vda del lado frío y Vda del lado caliente. Estas condiciones las podemos expresaren un diagrama de fasores como se muestra en la figura 24, donde Vca es la suma de los volúmenes o espacios en los que se desplazan el pistón y el desplazador, esto no incluye los volúmenes muertos. Este volumen se encuentra desplazado con respecto al pistón un ángulo δ. El volumen de comprensión Vc en un instante dado en función del ángulo 𝜃 está dado por: 𝑉𝑐 = 𝑉𝑐𝑜 − 𝑉𝑝𝑎𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑉𝑑𝑎𝑐𝑜𝑠(𝜃 + 𝜑) (7.16) Figura 24. Diagrama fasores para volúmenes de desplazamiento de pistón y desplazador
Expandiendo la ecuación (7.16) 𝑉𝑐 = 𝑉𝑐𝑜 + (𝑉𝑑𝑎𝑐𝑜𝑠𝜑 − 𝑉𝑝𝑎)𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑉𝑑𝑎𝑠𝑒𝑛𝜑𝑠𝑒𝑛𝜃 (7.17) Otra forma de expresar Vc es: 𝑉𝑐 = 𝑉𝑐𝑜 + 𝑉𝑐𝑎𝑐𝑜𝑠(𝜃 + 𝛿) (7.18) Expandiendo (7.18) se tiene: 𝑉𝑐 = 𝑉𝑐𝑜 + 𝑉𝑐𝑎(𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝛿 − 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝛿) (7.19)
53
Igualando términos para las ecuaciones (7. 17) y (7.19) se tienen las siguientes igualdades: 𝑉𝑐𝑎𝑐𝑜𝑠𝛿 = 𝑉𝑑𝑎𝑐𝑜𝑠𝜑 − 𝑉𝑝𝑎 (7.20) 𝑉𝑐𝑎𝑠𝑒𝑛𝛿 = 𝑉𝑑𝑎𝑠𝑒𝑛𝜑 (7.21) Donde podemos despejar 𝛿: 𝛿 = 𝑇𝑎𝑛−1 (
𝑉𝑑𝑎𝑠𝑒𝑛𝜑
𝑉𝑑𝑎𝑐𝑜𝑠𝜑−𝑉𝑝𝑎) (7.22)
𝑉𝑐𝑎 = √𝑉𝑝𝑎2 − 2𝑉𝑝𝑎𝑉𝑑𝑎𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑉𝑑𝑎
2 (7.23)
𝑉𝑐 = (𝑉𝑐𝑙𝑐𝑑 + 𝑉𝑐𝑙𝑐𝑟 + 𝑉𝑐𝑙𝑐𝑝) + (𝑉𝑝𝑎2 − 2𝑉𝑝𝑎𝑉𝑑𝑎 + 𝑉𝑑𝑎
2 )12⁄ (1 + 𝑐𝑜𝑠(𝜃 + 𝛿)) (7.24)
El volumen de expansión Ve está dado por: 𝑉𝑒 = 𝑉𝑐𝑙𝑒𝑑 + 𝑉𝑑𝑎(1 + 𝑐𝑜𝑠(𝜃 + 𝜑 + 𝜋)) (7.25) 7.2 EXPRESIÓN PARA LA PRESIÓN La suposición de un sistema isotérmico hace que sea posible generar una expresión sencilla para la presión del gas de trabajo en función de las variaciones de volumen. De la ley de los gases ideales se tiene que: 𝑀 =
𝑃𝑉
𝑅𝑇 (7.26
Para cada uno de los volúmenes de trabajo se tiene 𝑀 =
𝑃
𝑅(𝑉𝑐𝑙𝑒𝑑
𝑇𝑐+𝑉𝑑𝑎
𝑇𝑐+𝑉𝑟
𝑇𝑟+𝑉𝑑𝑎
𝑇𝑓+𝑉𝑐𝑙𝑐𝑑
𝑇𝑓+𝑉𝑐𝑙𝑐𝑝
𝑇𝑓+𝑉𝑝𝑎
𝑇𝑓) (7.27)
𝑀 =
𝑃
𝑅(𝑉𝑐𝑙𝑒𝑑+𝑉𝑑𝑎
𝑇𝑐+𝑉𝑟
𝑇𝑟+𝑉𝑑𝑎+𝑉𝑐𝑙𝑐𝑑+𝑉𝑐𝑙𝑐𝑝+𝑉𝑝𝑎
𝑇𝑓) (7.28)
El regenerador se encuentra entre el lado caliente y el lado frío del motor, se supone que éste tiene un comportamiento ideal y que tiene un perfil de temperatura lineal
54
entre la temperatura Tf frío y la temperatura Tc caliente. Por estas suposiciones la media de la temperatura en el regenerador está dada por: 𝑇𝑟 =
𝑇𝑐−𝑇𝑓
𝑙𝑛(𝑇𝑐 𝑇𝑓⁄ ) (7.29)
Se reemplaza (7.24) en (7.23)
𝑀 =𝑃
𝑅(𝑉𝑐𝑙𝑒𝑑+𝑉𝑑𝑎
𝑇𝑐+
𝑉𝑟𝑇𝑐−𝑇𝑓
𝑙𝑛(𝑇𝑐 𝑇𝑓⁄ )
+𝑉𝑑𝑎+𝑉𝑐𝑙𝑐𝑑+𝑉𝑐𝑙𝑐𝑝+𝑉𝑝𝑎
𝑇𝑓) (7.30)
Despejando P: 𝑃 =
𝑀𝑅
(
𝑉𝑐𝑙𝑒𝑑+𝑉𝑑𝑎
𝑇𝑐+
𝑉𝑟𝑇𝑐−𝑇𝑓
𝑙𝑛(𝑇𝑐 𝑇𝑓⁄ )
+𝑉𝑑𝑎+𝑉𝑐𝑙𝑐𝑑+𝑉𝑐𝑙𝑐𝑝+𝑉𝑝𝑎
𝑇𝑓
)
(7.31)
𝑃 =
𝑀𝑅
(
𝑉𝑐𝑇𝑐 +
𝑉𝑟𝑇𝑐−𝑇𝑓
𝑙𝑛(𝑇𝑐 𝑇𝑓⁄ )
+ 𝑉𝑒𝑇𝑓
)
(7.32)
Se reemplazan las ecuaciones (7.24) y (7.26) en (7.32) para obtener una expresión que describe la presión en términos de la variación de los volúmenes. 𝑃 =
𝑀𝑅
(
(𝑉𝑐𝑙𝑐𝑑+𝑉𝑐𝑙𝑐𝑟+𝑉𝑐𝑙𝑐𝑝)+(𝑉𝑝𝑎
2 −2𝑉𝑝𝑎𝑉𝑑𝑎+𝑉𝑑𝑎2 )
12⁄(1+𝑐𝑜𝑠(𝜃+𝛿))
𝑇𝑐+
𝑉𝑟𝑇𝑐−𝑇𝑓
𝑙𝑛(𝑇𝑐 𝑇𝑓⁄ )
+𝑉𝑐𝑙𝑒+𝑉𝑑𝑎(1+𝑐𝑜𝑠(𝜃+∅+𝜋))
𝑇𝑓
)
(7.28)
55
8. PARES DE TORSIÓN 8.1 PAR DE TORSIÓN DEL GAS El torque de gas es el torque de salida (en el eje de la manivela) debido a la acción de la presión del gas sobre el pistón; la fuerza del gas se debe a la presión que ejerce este sobre el pistón en el proceso de expansión. Sea Fg la fuerza del gas, Pg la presión del gas, Ap el área del pistón y Dp el diámetro interior del cilindro que en este caso es igual al diámetro del pistón, por lo que el área del pistón es: 𝐴𝑔 =
𝜋
4𝐷𝑝2 (8.1)
La fuerza ejercida sobre esta área es: Fg = −PgAg (8.2) Al reemplazar el área se obtiene 𝐹𝑔 = −
𝜋
4𝑃𝑔𝐷𝑝
2 (8.3) Se reemplaza la ecuación (7.28) en (8.3) para obtener: 𝐹𝑔 = −
𝜋𝑀𝑅𝐷𝑝2
4
(
(𝑉𝑐𝑙𝑐𝑑+𝑉𝑐𝑙𝑐𝑟+𝑉𝑐𝑙𝑐𝑝)+(𝑉𝑝𝑎
2 −2𝑉𝑝𝑎𝑉𝑑𝑎+𝑉𝑑𝑎2 )
12⁄(1+𝑐𝑜𝑠(𝜃+𝛿))
𝑇𝑐+
𝑉𝑟𝑇𝑐−𝑇𝑓
𝑙𝑛(𝑇𝑐 𝑇𝑓⁄ )
+𝑉𝑐𝑙𝑒+𝑉𝑑𝑎(1+𝑐𝑜𝑠(𝜃+∅+𝜋))
𝑇𝑓
)
(8.4)
La fuerza del gas distribuida sobre la superficie del pistón se convierte en una sola fuerza Fg que actúa a través del centro de masa del pistón, el signo negativo se debe a la orientación de la fuerza contraria a la dirección positiva de x en la figura 25. Este par de torsión se debe a la fuerza del gas Fg que actúa en un brazo de momento con respecto al centro de la manivela O2. El brazo varía desde cero
56
Figura 25. Presión y fuerza del gas sobre el pistón
Hasta un máximo conforme voltea la manivela. Un análisis al sistema de fuerzas que concurren en el punto B de la figura 26 determina que: 𝐹𝑔14 = 𝐹𝑔𝑡𝑎𝑛∅ (8.5) 𝐹𝑔34 = −𝐹𝑔𝒊 − 𝐹𝑔𝑡𝑎𝑛∅𝒋 (8.6) Figura 26. Diagrama cuerpo libre análisis de fuerza del gas mecanismo manivela-corredera
Fuente: NORTON, Robert. Diseño de maquinaria. Cuarta edición México: Prentice Hall, 2011. p. 523
57
El par de torsión motriz Tg21 generado por la fuerza del gas puede determinarse a partir del producto de la fuerza Fg14 o Fg41 y la distancia x que es el brazo de momento instantáneo con respecto a O2. Tg21 = Fg41 . xk (8.6) Al sustituir la ecuación (6.17) y (8.2) en la ecuación (8.3) se tiene que: 𝑇𝑔21 = (𝐹𝑔𝑡𝑎𝑛∅) (𝑟𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡 + 𝑙 −
𝑟2
4𝑙+𝑟2
4𝑙𝑐𝑜𝑠2𝑤𝑡 + 𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡 −
ℎ2
2𝑙) (8.7)
Es posible expresar 𝑡𝑎𝑛∅ en términos de wt 𝑡𝑎𝑛∅ =
𝑞−ℎ
𝑢=
(𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡)−ℎ
𝑙𝑐𝑜𝑠∅ (8.8)
Reemplazando (6.7) en la ecuación (8.8) se tiene: 𝑡𝑎𝑛∅ =
𝑞−ℎ
𝑢=
(𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡)−ℎ
𝑙( √1−(𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡−ℎ
𝑙)22)
(8.10)
El radical de la ecuación (8.10) se reemplaza por la expresión (6.14) 𝑡𝑎𝑛∅ =
(𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡)−ℎ
𝑙(1−1
2(𝑟2
𝑙2𝑠𝑒𝑛2𝑤𝑡−
2𝑟
𝑙𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡+
ℎ2
𝑙2))
(8.10)
Desarrollando el denominador 𝑡𝑎𝑛∅ =
(𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡)−ℎ
𝑙−𝑟2
2𝑙𝑠𝑒𝑛2𝑤𝑡+𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡+
ℎ2
𝑙
(8.11)
Reemplazando (8.11) en (8.7) se obtiene: la ecuación para el par de torsión motriz Tg21 en términos de wt
𝑇𝑔21 = 𝐹𝑔 ((𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡)−ℎ
𝑙−𝑟2
2𝑙𝑠𝑒𝑛2𝑤𝑡+ 𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡−
ℎ2
2𝑙
)(𝑟𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡 + 𝑙 −𝑟2
4𝑙+𝑟2
4𝑙𝑐𝑜𝑠2𝑤𝑡 + 𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡 −
ℎ2
2𝑙) (8.12)
En la ecuación (8.12) se reemplaza la expresión para la fuerza (8.4) y se obtiene la ecuación para el par de torsión motriz debido al gas Tg21 en términos de wt
58
𝑇𝑔21 = −
(
𝜋𝑀𝑅𝐷𝑝2
4
(
(𝑉𝑐𝑙𝑐𝑑+𝑉𝑐𝑙𝑐𝑟+𝑉𝑐𝑙𝑐𝑝)+(𝑉𝑝𝑎
2 −2𝑉𝑝𝑎𝑉𝑑𝑎+𝑉𝑑𝑎2 )
12⁄(1+𝑐𝑜𝑠(𝜃+𝛿))
𝑇𝑐+
𝑉𝑟𝑇𝑐−𝑇𝑓
𝑙𝑛(𝑇𝑐 𝑇𝑓⁄ )
+𝑉𝑐𝑙𝑒+𝑉𝑑𝑎(1+𝑐𝑜𝑠(𝜃+∅+𝜋))
𝑇𝑓
)
)
∗
((𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡)−ℎ
𝑙−𝑟2
2𝑙𝑠𝑒𝑛2𝑤𝑡+ 𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡−
ℎ2
2𝑙
)(𝑟𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡 + 𝑙 −𝑟2
4𝑙+𝑟2
4𝑙𝑐𝑜𝑠2𝑤𝑡 + 𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡 −
ℎ2
2𝑙) (8.13)
8.2 PARES DE TORSIÓN DE INERCIA Y SACUDIMIENTO
El torque de inercia también llamado de sacudimiento es el torque debido a las fuerzas inerciales de los eslabones en movimiento. Su contribución neta al movimiento del mecanismo es cero, pero ayudan a que el mecanismo pueda pasar a través de sus puntos muertos (aquellas configuraciones en que el ángulo de transmisión se acerca o es igual a 0° o 180°). La expresión para el torque de inercia se aplica dos veces, ya que tanto el pistón como el desplazador juegan un papel en este sentido. En el punto A la componente tangencial tiene un brazo de momento de radio de manivela r, Si su w es constante la masa en A no aporta el par de torsión de inercia. El pistón tiene una componente de inercia en la dirección x, excepto cuando este se encuentra en PMS o PMI. De la figura 20 el par de torsión generado por esta fuerza puede expresarse como: 𝑡𝑔∅ =
𝐹𝑖41𝑚𝐵�̈�
⟹ 𝐹𝑖41 = 𝑡𝑔𝜙𝑚𝐵�̈� (8.14) 𝑇𝑖21 = (𝐹𝑖41 . 𝑥)𝒌 = (−𝐹𝑖14 . 𝑥)𝒌 (8.15) En (8.15) se sustituye la expresión (6.17) para x 𝑇𝑖21 = −(−𝑡𝑔𝜙𝑚𝐵�̈�) (𝑟𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡 + 𝑙 −
𝑟2
4𝑙+𝑟2
4𝑙𝑐𝑜𝑠2𝑤𝑡 + 𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡 −
ℎ2
2𝑙)𝒌 (8.16)
Al reemplazar la ecuación (8.11) de 𝑡𝑔𝜙 en (8.16) se tiene:
59
𝑇𝑖21 = −(−𝑚𝐵�̈�) [
(𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡)−ℎ
𝑙−𝑟2
2𝑙𝑠𝑒𝑛2𝑤𝑡+𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡+
ℎ2
𝑙
] (𝑟𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡 + 𝑙 −𝑟2
4𝑙+𝑟2
4𝑙𝑐𝑜𝑠2𝑤𝑡 + 𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡 −
ℎ2
2𝑙) 𝒌 (8.17)
𝑇𝑖21 = 𝑚𝐵 [(𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡)−ℎ
𝑙−𝑟2
2𝑙𝑠𝑒𝑛2𝑤𝑡+𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡+
ℎ2
𝑙
] (𝑟𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡 + 𝑙 −𝑟2
4𝑙+𝑟2
4𝑙𝑐𝑜𝑠2𝑤𝑡 + 𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡 −
ℎ2
2𝑙) ∗
(−𝑟𝑤2𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡 −𝑟2𝑤2
𝑙𝑐𝑜𝑠2𝑤𝑡 + 𝑟𝑤2𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡) 𝒌 (8.18)
8.3 TORQUE DE LA FUERZA DEL GAS Y EFECTO DEL DESCENTRADO La fuerza del gas que es perpendicular al área del pistón y paralela al eje de la corredera, actúa con el brazo h para generar un torque respecto al eje de la manivela como se aprecia en la figura (25), por lo que el torque está dado por: 𝑇𝑔ℎ = 𝐹𝑔ℎ (8.19) Reemplazando en (8.19) la expresión para Fg de (8.4) se tiene:
𝑇𝑔ℎ = −ℎ𝜋𝑀𝑅𝐷𝑝
2
4
(
(𝑉𝑐𝑙𝑐𝑑+𝑉𝑐𝑙𝑐𝑟+𝑉𝑐𝑙𝑐𝑝)+(𝑉𝑝𝑎
2 −2𝑉𝑝𝑎𝑉𝑑𝑎+𝑉𝑑𝑎2 )
12⁄(1+𝑐𝑜𝑠(𝜃+𝛿))
𝑇𝑐+
𝑉𝑟𝑇𝑐−𝑇𝑓
𝑙𝑛(𝑇𝑐 𝑇𝑓⁄ )
+𝑉𝑐𝑙𝑒+𝑉𝑑𝑎(1+𝑐𝑜𝑠(𝜃+∅+𝜋))
𝑇𝑓
)
(8.20) 8.4 TORQUETOTAL DEL MOTOR El par de torsión absoluto que se genera en el eje de la manivela es la suma de los pares debido a las fuerzas de inercia y los pares generados por la fuerza del gas: 𝑇𝑡 = 𝑇𝑔 + 𝑇𝑖 + 𝑇𝑔ℎ (8.21) Donde:
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𝑻𝒈𝒉 = −ℎ𝜋𝑀𝑅𝐷𝑝
2
4((𝑉𝑐𝑙𝑐𝑑+𝑉𝑐𝑙𝑐𝑟+𝑉𝑐𝑙𝑐𝑝)+(𝑉𝑝𝑎
2 −2𝑉𝑝𝑎𝑉𝑑𝑎+𝑉𝑑𝑎2 )
12⁄ (1+𝑐𝑜𝑠(𝜃+𝛿))
𝑇𝑐+
𝑉𝑟𝑇𝑐−𝑇𝑓
𝑙𝑛(𝑇𝑐 𝑇𝑓⁄ )
+𝑉𝑐𝑙𝑒+𝑉𝑑𝑎(1+𝑐𝑜𝑠(𝜃+∅+𝜋))
𝑇𝑓)
𝑻𝒊𝟐𝟏 = 𝑚𝐵 [(𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡) − ℎ
𝑙 −𝑟2
2𝑙𝑠𝑒𝑛2𝑤𝑡 + 𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡 +
ℎ2
𝑙
] (𝑟𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡 + 𝑙 −𝑟2
4𝑙+𝑟2
4𝑙𝑐𝑜𝑠2𝑤𝑡 + 𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡 −
ℎ2
2𝑙)
∗ (−𝑟𝑤2𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡 −𝑟2𝑤2
𝑙𝑐𝑜𝑠2𝑤𝑡 + 𝑟𝑤2𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡) 𝒌
𝑻𝒈 = −
(
𝜋𝑀𝑅𝐷𝑝2
4((𝑉𝑐𝑙𝑐𝑑+𝑉𝑐𝑙𝑐𝑟+𝑉𝑐𝑙𝑐𝑝)+(𝑉𝑝𝑎
2 −2𝑉𝑝𝑎𝑉𝑑𝑎+𝑉𝑑𝑎2 )
12⁄ (1+𝑐𝑜𝑠(𝜃+𝛿))
𝑇𝑐+
𝑉𝑟𝑇𝑐−𝑇𝑓
𝑙𝑛(𝑇𝑐 𝑇𝑓⁄ )
+𝑉𝑐𝑙𝑒+𝑉𝑑𝑎(1+𝑐𝑜𝑠(𝜃+∅+𝜋))
𝑇𝑓)
)
∗ ((𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡) − ℎ
𝑙 −𝑟2
2𝑙𝑠𝑒𝑛2𝑤𝑡 + 𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡 −
ℎ2
2𝑙
) ∗ (𝑟𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡 + 𝑙 −𝑟2
4𝑙+𝑟2
4𝑙𝑐𝑜𝑠2𝑤𝑡 + 𝑟𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡 −
ℎ2
2𝑙)
61
9. IMPLEMENTACIÓN HOJA DE CÁLCULO En la preparación de este análisis se han logrado expresiones con la finalidad de obtener un modelo matemático que describa aproximada y teóricamente el comportamiento de un motor Stirling de configuración gamma de baja potencia. Las ecuaciones que conforman este modelo están encaminadas a hallar la presión del gas (7.28)y el torque total que se ejerce sobre el eje de la manivela (8.1), por lo tanto estos serían el punto de análisis y de comparación para las diferentes arquitecturas que generan cada posible conjunto de variables. Dado que no es fácil fabricar una serie de motores Stirling con diferentes configuraciones para su respectivo análisis, se advierte que este modelo matemático ayuda a estudiar el comportamiento o las tendencias de las variaciones de los parámetros del motor. Montar y desarrollar estas ecuaciones en una hoja de cálculo como Microsoft office Excel 2007 permite tener una herramienta que se convierte en un simulador matemático con el cual es posible analizar y optimizar la presión del gas y torque total de un motor Stirling tipo gamma. En esta hoja de cálculo las celdas donde se digita el valor para las variables de entrada tienen fondo amarillo y se emplea el sistema internacional de unidades SI. En la figura 27 se ilustra la pantalla principal de esta hoja de cálculo. 9.1 VARIABLES Las variables creadas para esta hoja de cálculo son: r = longitud de la manivela Lb = longitud de la biela h = distancia entre el eje de la corredera y el eje de la manivela. Dd = es el diámetro del elemento desplazador Dp = es el diámetro del pistón en el lado frío Ddt = es el diámetro del ducto que comunica los cilindros
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Figura 27. Pantalla principal hoja de calculo
Ld = longitud del desplazador Lp = longitud del pistón Ldt = longitud del ducto que une los cilindros Lclde = longitud del volumen muerto en la zona de expansión o lado caliente del desplazador Lcldc = longitud del volumen muerto en la zona de compresión al lado del desplazadoro lado frío del desplazador Lclp = longitud del volumen muerto en la zona del pistón Lclp = longitud zona muerta lado del pistón Tf = temperatura del lado frío Tc = temperatura del lado caliente Tr = temperatura del gas en el regenerador.
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%Vd = porcentaje del volumen del desplazador por el gas en el regenerador R = constante de los gases ideales m2a = sección de masa equivalente de la manivela-pistón en el punto A m3a = sección de masa equivalente de la biela-pistón en el punto A m3b =sección de masa equivalente de la biela-pistón en el punto B m4 =masa del pistón en el punto B m5a’= sección de masa equivalente de la manivela-desplazador en el punto A m6a’ = sección de masa equivalente de biela - desplazador en el punto A m6b’ = sección de masa equivalente de biela – desplazador en el punto B m7 = masa del desplazador φ = ángulo de desfase del desplazador Ƿ = densidad del gas de trabajo 9.2 DESCRIPCIÓN DE HOJA DE CÁLCULO La hoja de cálculo consta de los siguientes bloques: Variables dimensionales de los mecanismos manivela biela. Se recuerda que estas dimensiones son idénticas para el pistón y el desplazador. Variables dimensionales del pistón, desplazador, y volúmenes muertos. Propiedades del gas de trabajo. Masas equivalentes para los mecanismos manivela biela del pistón y desplazador. Alertas por inconsistencias en valores asignados.
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Curva de presión del gas de trabajo y del torque toral. Cálculos generales. Variables dimensionales de los mecanismos manivela biela. La longitud de la manivela se digita en la celda C7, la altura de descentrado h en la celda C8 y la longitud de la biela en C9. La celda E7 contiene la velocidad angular y la casilla E8 contiene el ángulo de desplazamiento entre la manivela del pistón y la manivela del desplazador. En la celda E9 se realiza el chequeo de la restricción para las valores de r, L y h. Ver figura 28. En este bloque no es correcto digitar valores negativos. En la figura 28 se ilustra la correspondencia de estas variables en la hoja de cálculo con el modelo del mecanismo manivela biela de pistón y desplazador. Es de notar que las variables r, h y L solo se solicitan una vez dada la suposición de que son idénticas para el mecanismo del pistón y del desplazador. Figura 28 Bloque de variable dimensional para los mecanismos manivela biela del pistón y desplazador.
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Figura 29. Bloque de variable dimensional para los mecanismos manivela biela del pistón y desplazador
Variables dimensionales del pistón, desplazador, y volúmenes muertos. En este bloque se solicitan las dimensiones del pistón y desplazador, de los volúmenes muertos y del elemento que los comunica. En la figura 30 se presenta una ilustración de este bloque. Figura 30. Bloque correspondiente a las dimensiones del pistón, desplazador y sus volúmenes muertos.
En H7 y H8 se digitan los valores para la longitud del pistón y del desplazador. J7 y J8 contienen los diámetros del pistón y del desplazador. Las celdas H9 y J9 son la longitud y diámetro respectivamente del conducto que comunica el volumen de compresión del lado desplazador con el lado del pistón. L7 contiene la longitud del volumen muerto de compresión del lado pistón, L8 la longitud del volumen muerto de compresión lado desplazador y L9 es la longitud del volumen muerto del expansión
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lado desplazador. La figura 31 ilustraciones la asignación de variables en celdas de la hoja de cálculo según corresponde en los volúmenes del modelo planteado para el motor Stirling analizado en el presente informe. En este bloque no es correcto digitar valores negativos. Figura 31 Asignación de variables en celdas de hoja de cálculo para espacios de pistón y desplazador.
Propiedades del gas de trabajo. En este bloque se consignan las propiedades del gas de trabajo. La celda O7 contiene la temperatura del lado frio que corresponde al pistón y O8 la temperatura del lado caliente relacionada al desplazador. Q7 es la densidad del gas de trabajo y Q8 es la constante para los gases ideales. O9 almacena el porcentaje de gas que puede albergar el cuerpo del desplazador que a su vez es el regenerador. Ver figura 32.
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Figura 32. Bloque de propiedades del gas de trabajo
Masas equivalentes. En este bloque se introducen las masas equivalentes para los mecanismos manivela biela del pistón y desplazador. En la hoja de cálculo aparece como de muestra en la figura 33. Figura 33. Bloque para variables de propiedades del gas de trabajo
La figura 33 presenta un esquema de la ubicación de las componentes de las masas equivalentes para los puntos A, A’, B, B’ que son los puntos tenido en cuenta en esta hoja de cálculo. m2A masa de la manivela 2 del pistón concentrado en el punto A. m3A corresponde a la masa de biela 3 concentrada en el punto A. m3B masa de biela concentrada en el punto B equivalente al pistón. m4 masa de pistón concentrada en el eje de B. m5A’ masa de la manivela de desplazador concentrada en el pasador A’
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m6A’ masa de la biela del desplazador concentrada en el pasador A’ m6B’ masa de la biela del desplazador concentrada en el pasador B’ m7 masa del desplazador concentrada en el eje 7. Figura 34. Ubicación de las componentes de las masas equivalentes para los puntos A, A’, B, B’ en el modelo del mecanismo manivela pistón.
Alertas. Estas son elementos que se activan en el momento que se introducen algunos valores inconsistentes y se manifiestan colocando en rojo la casilla en la que se digito el valor errado, además se presenta un rótulo pidiendo verificar el error cometido. Las alertas que activa esta hoja de cálculo son: Verificar que (r+h)/L< 1 Que el cociente (r+h)/L sea menor que uno es una condición necesaria para la solución de la ecuación (6.8). Esta alarma advierte que se han digitado una configuración que no cumple esta condición y el programa detiene los cálculos. Se debe corregir esta situación cambiando valores de r, h y L hasta que se cumpla la condición (r+h)/L< 1 Verificar que Tf < Tc
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Esta alerta verifica que la temperatura relacionada con el desplazador sea siempre la caliente o la mayor de las dos y que la temperatura relacionada con el pistón sea siempre la menor o la temperatura fría. Curva de presión del gas de trabajo y del torque total. La hoja de cálculo presenta la curva del comportamiento de la presión del gas de trabajo con respecto a la posición de la manivela en la gráfica izquierda de la pantalla y el comportamiento del torque total del motor durante una revolución en el eje de la manivela en la gráfica derecha de la pantalla.
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10. ANÁLISIS DE RESULTADOS Variando los parámetros geométricos y termodinámicos es posible obtener una variedad de configuraciones para el motor Stirling estudiado en el presente informe. La hoja de cálculo permite analizar y comparar los efectos que causan en la presión del gas y el torque total para cada una de estas arquitecturas del motor Stirling. Manteniendo constantes las variables termodinámicas se analiza el comportamiento de la presión del gas y del torque según se varía la altura h. La temperatura del lado frío permanece en 28oC y la temperatura del lado caliente en 200oC, la densidad del aire está en 1,184 kg/cm3. Los valores para las masas equivalentes y los espesores del pistón y desplazador son como aparecen en la figura 35. Figura 35. Valores iníciales para análisis de configuraciones del motor
Primera configuración h = 0 Este arreglo de motor Stirling está caracterizado por las variables que se presentan en la figura 35. La presión del gas varia aproximadamente entre 114100 y 112800 Pas, ver figura 36. Esta presión alcanza su máximo valor a los 275 grados de giro de la manivela aproximadamente. El torque para esta primera configuración toma valores entre -0,8 y 0,7 Nm y su máximo valor se alcanza a los 90 grados de giro para la manivela como se muestra en la figura 37.
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Figura 36. Presión del gas para la primera configuración del motor con h = 0 m.
Figura 37. Valores para el torque en la primera configuración del motor con h = 0
Segunda configuración. h < r Sin variar los parámetros termodinámicos solamente se modifica la longitud de h a 0,01m que es la segunda configuración, los otros valores se muestran en la figura 38. Para esta segunda disposición la curva de presión se muestra en la figura 39 donde se nota que la presión del gas de trabajo no sufre cambios notables en comparación con la anterior configuración.
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Figura 38. Valores para la segunda configuración h=0,01 m
Los resultados para valores del torque se presentan el al figura 40 y se observa que estos oscilan entre -0,8 y 0,7 Nm aproximadamente. El valor máximo del torque se a los 90 grados de giro de la manivela. En comparación con la disposición anterior, se nota que al incrementar la longitud de la altura h de 0 m a 0,01m la presión en el gas de trabajo y el torque permanece relativamente constante. Figura 39. Curva del gas de trabajo para la segunda disposición h = 0,01 m.
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Figura 40. Curva del torque para segunda disposición del motor con h = 0,01 m
Tercera configuración. h = r La tercer configuración del motor Stirling se logra haciendo la longitud de h = 0,02m. Para esta disposición la curva de presión se presenta en la gráfica 10.7 y no se observa mayor variación en estos valores. Los valores del torque son muy similares oscilando entre -0,7 Nm y 0,7 Nm, la diferencia es que el área bajo la curva de valores positivos de toque se hace mayor, se puede concluir que en esta configuración el motor puede funcionar con mayor facilidad al lograr producir un torque mayor que el consumido para su funcionamiento. Figura 41. Comportamiento de la presión para h= 0,02m
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Figura 42. Comportamiento del torque para h= 0,02m
Cuarta configuración. h > r Una cuarta configuración del motor Stirling se establece con h=0,04m sin variar los otros parámetros geométricos. La figura 43 enseña la curva de presión para esta configuración donde se advierte un comportamiento muy similar a las anteriores comparaciones, lo que lleva a concluir que la presión del gas no es sensible a los cambios en la longitud de la altura h. La figura 44 exhibe la curva del toque total para esta configuración, los valores oscila entre -0,2 Nm y 0,9Nm y el punto máximo lo alcanza alrededor de los 110 grados de giro de la manivela. En esta curva de torque total el área bajo la curva de valores positivos se incrementó con respecto a la configuración anterior. Figura 43. Comportamiento de la presión para h=0,04 m
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Figura 44. Comportamiento del torque total para h=0,04 m
Quinta configuración. h > r Una quinta configuración se logra con h=0,055 m sin variar los demás parámetros geométricos como se muestra en la figura 45 y en la figura 46 se enseña la curva de presión en la que se observa un comportamiento muy similar a las anteriores configuraciones. La figura 47 exhibe la curva del toque total para esta disposición, los valores oscila entre 0,5 Nm y 1,3 Nm y el punto máximo lo alcanza entre los 110 y 200 grados de giro de la manivela. En esta curva no existen valores negativos por lo que el área bajo la curva se incrementa en gran proporción por lo tanto en este arreglo el motor puede brindar un mayor torque de trabajo. Los parámetros del mecanismo manivela corredera para esta configuración que hasta el momento ha sido la de mejores resultados en la generación de torque. Figura 45. Parámetros geométrico para la quita configuración
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Figura 46. Comportamiento de la presión para h=0,055 m
Figura 47. Comportamiento del torque total para h=0,055 m
Sexta configuración biela = 0,14 m Si la biela se hace menor a 0,08 m no cumple la restricción de la ecuación (6.1) Para conformar una nueva disposición se le da un valor de 0,14 m a la biela. Las curvas de presión y torque para este arreglo se muestran en las figuras 10.14, y 10.15 respectivamente. En la curva de torque de esta configuración se presentan valores negativos de hasta -0,2 Nm aproximadamente el área bajo la curva de valores positivos se hace más pequeña, lo que indica que una biela muy larga no beneficia el rendimiento del motor. Hasta el momento se observa que la presión no es función directa de las longitudes del mecanismo manivela corredera.
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Figura 48. Curva de presión para el sexto arreglo con biela = 0,14
Figura 49. Comportamiento del torque total para h=0,14 m
Séptima configuración Diámetro desplazador > diámetro pistón A partir de los valores de la quinta configuración que ha sido la mejor de las seis anteriores se procede a varia los diámetros de pistón y desplazador. El séptimo arreglo a comparar será con un desplazador de 0,1 m al diámetro mayor que el diámetro del pistón, las variables restantes se muestran en la figura 50. Las curvas de presión y el torque se comportan como lo muestran las figuras 51 y 52 respectivamente. El área bajo estas dos curvas disminuye levemente, esto indica que un desplazador de mayor diámetro que el pistón no mejora la eficiencia del motor Stirling estudiado en el presente informe
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Figura 50. Variables para séptimo arreglo a comparar diámetro desplazador = 0,1 m
Figura 51. Curva de presión séptimo arreglo diámetro desplazador = 0,1 m
Figura 52. Curva de torque séptimo arreglo diámetro desplazador = 0,1 m
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Octava configuración Diámetro desplazador < diámetro pistón Un octavo arreglo a comparar será con un diámetro de desplazador menor que el diámetro del pistón con los parámetros expresados en la figura 53. Las curvas de presión y el torque se comportan como lo muestran las figuras 54 y 55 respectivamente. El área bajo estas dos curvas sufre un notable incremento, esto indica que un diámetro en el desplazador menor que el diámetro del pistón incrementa la eficiencia del motor Stirling estudiado en el presente informe. Figura 53. Variables para el octavo arreglo del motor Stirling a comparar
Figura 54. Curva de presión para un desplazador < pistón
Dado que al presentarse un incremento notable en los valores de presión hasta 138000 Pa, un prototipo construido bajo estas especificaciones debe tener un sistema de sellado más eficiente para evitar fugas del gas de trabajo.
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Figura 55. Curva del torque para un desplazador < pistón
Novena configuración. Densidad aire < 1,184 La novena configuración a revisarse establece con una densidad de aire de menor valor, igual a 0,8 Kg/m3 y con los parámetros expresados en la figura 56. Las curvas de presión y de torque se muestran las figuras 57 y 10.24correspondientemente. El área bajo estas dos curvas sufre una notable reducción, esto indica que una densidad menor a 1,184 Kg/m3disminuye la eficiencia del motor Stirling estudiado en el presente informe. Figura 56. Valores que caracterizan la novena configuración del motor.
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Figura 57. Curva de presión para la novena configuración
Figura 58. Curva de torque total para la novena configuración
Decima configuración. Densidad del aire > 1,184 La décima configuración a revisar se establece con una densidad de aire de mayor valor igual a 1,7 Kg/m3 y con los parámetros expresados en la figura 59. Las curvas de presión y de torque se muestran las figuras 60 y 61 correspondientemente. El área bajo estas dos curvas se incrementa claramente, esto indica que una densidad mayor en el gas de trabajo mejora la eficiencia del motor Stirling.
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Figura 59. Parámetros que caracterizan la décima configuración
Figura 60. Curva de presión para densidad del aire = 1,7 Kg/m3
Figura 61. Curva de torque para densidad del aire = 1,7 Kg/m3
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11. CONCLUSIONES Existe un interés en la industria y la academia en desarrollar programas de cara al diseño y experimentación de motores Stirling que compitan con las soluciones actuales a la crisis energética. Tener un prototipo respaldado por un análisis mecánico y termodinámico es determinante para participar de manera activa en las discusiones sobre el tema En este trabajo, la formulación del modelo termodinámico-mecánico de un prototipo de motor Stirling tipo gamma inició por la parte mecánica valiéndose del análisis dinámico de un mecanismo manivela-deslizador. Se partió de un modelo cinemático, en el cual se establecen expresiones para la posición, velocidad y aceleración del deslizador dada una posición angular de la manivela. La consideración del desfase u “Offset”, que es la longitud del segmento que parte del eje de la manivela y es perpendicular a la línea de eje del deslizador, cuando se mira al mecanismo perpendicular al plano descrito por la rotación de la manivela, obligó a una reformulación propia de la simplificación que por medio de la teoría del binomio se aplica a la expresión para la posición del deslizador. El análisis de fuerzas se realizó sobre la base del concepto de masas puntuales para representar el mecanismo. Se produjeron expresiones para el torque de gas y el torque inercial o dinámico, dejando como entrada una expresión para la presión del gas, que se obtuvo como resultado de un análisis termodinámico. Dicho análisis es el que se presenta bajo el nombre de Gustav Schmidt, donde se asume un régimen isotérmico para el gas en los espacios de compresión y expansión tanto barridos por el desplazador y el pistón, como los correspondientes a volúmenes muertos. Así mismo, se asume un perfil lineal de temperatura a través del regenerador, o zona que media entre los volúmenes de aire frío y caliente. Se produce como resultado un perfil de presión de trabajo en función de la coordenada angular de la manivela, que resulta ser altamente dependiente de la fase que se tenga entre el movimiento del pistón y el del desplazador, que a su vez va a incidir en la variación periódica del volumen de compresión.
Se utilizó el modelo implementado en hoja de cálculo de Excel para examinar el efecto en las curvas de fuerza de gas y de torque total producido por las siguientes variables: magnitudes de manivela biela y Offset, diámetro del desplazador, diámetro del pistón, longitud del desplazador, longitud del pistón, volumen del lado caliente, volumen del lado frio, temperatura del lado caliente, temperatura del lado frio, densidad del gas de trabajo. Se encontró que los factores de mayor incidencia fueron: - La relación entre el tamaño de la manivela y la altura de descentrado offset, con una manivela de menor tamaño que el offset se mejora el toque de salida del motor.
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- Un pistón de mayor diámetro que el desplazador mejora la eficiencia del motor. - El toque total y la presión del gas son directamente proporcionales a la densidad del gas de trabajo. También se observó que temas como la longitud de las bielas, los volúmenes muertos de gas tuvieron poco efecto en los datos de salida. El modelo propuesto no considera procesos transigentes de transferencia de calor así como fenómenos de flujo del gas al interior de la cámara, perdidas por fricción, balanceo de volantes entre otros. Para llegar a conclusiones más aproximada sal comportamiento real del motor Stirling analizado en el presente trabajo se hace necesario incorporarle al modelo matemático obtenido ecuaciones que procesen estos temas. Los resultados producidos sugieren que sería interesante realizar un montaje donde se controlen las variables como el offset, diámetros de pistón y desplazador pues en el modelo matemático resultan ser determinantes en la producción de torque de salida en el motor Stirling considerado en este trabajo.
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