EL MODELO ELECTROMAGNÉTICO

Electromagnetismo Estudio de los fenómenos eléctricos y

magnéticos causados por cargas eléctricas en reposo o en movimiento

Enfoque deductivo Se postulan relaciones fundamentales

para un modelo idealizado. Enfoque inductivo A partir de la observación de

experimentos sencillos se derivan leyes y teoremas.

Pasos para desarrollar una teoría a partir de un

modelo idealizado Definir algunas cantidades básicas.

Especificar las reglas de operación (matemáticas) de estas cantidades.

Postular algunas relaciones fundamentales (basadas en observaciones experimentales).

Pasos aplicados a la teoría electromagnética Cantidades básicas.

Cantidades de fuente: cargas eléctricas en reposo o en movimiento. Unidad Coulomb (C).

Cantidades de campo: Campo eléctrico, campo magnético, E(V/m), D( C/m2 ), B (T), H (A/m).

Reglas de operación: Álgebra y cálculo vectorial

Ecuaciones diferenciales parciales Relaciones fundamentales: Campos electrostáticos: Ley de Coulomb.

Ley de Gauss. Ecuación de Laplace y de Poisson. Campos magnetoestáticos: Ley de Biot-

Savart. Ley de Ampere. Campos electromagnéticos: Ley de Faraday.

Ecuaciones de Maxwell.

Campo: Distribución espacial de una cantidad. Un

campo eléctrico variable con el tiempo está acompañado por un campo magnético y viceversa.

Constantes UniversalesConstanteConstante SímboSímbo

loloValorValor UnidaUnida

ddVelocidad de la Luz en Velocidad de la Luz en

el espacio libreel espacio librecc 3x3x108 m/sm/s

Permeabilidad del Permeabilidad del espacio libreespacio libre

μμ00 44 x x10-7

H/mH/m

Permitividad del Permitividad del espacio libreespacio libre

ε0 (1/36(1/36)x)x10-9 F/mF/m

Carga del electrónCarga del electrón e e 1,6x1,6x10-19 CC

Coordenadas cartesianas o rectangulares

Está definido por la intersección de tres planos mutuamente perpendiculares. A su vez cada plano es perpendicular a un eje coordenado.

Coordenadas cartesianas o rectangulares

El sistema de coordenadas es dextrógiro, es decir, si el dedo índice de la mano derecha apunta en la dirección de x y el dedo medio en la dirección de y, el pulgar indicará la dirección de z.

Coordenadas cartesianas o rectangulares

Las direcciones de las coordenadas se representan por los vectores unitarios ax, ay y az, cada uno de los cuales tiene una longitud unitaria y apunta en la dirección de uno de los ejes coordenados.

Los vectores unitarios siempre apuntan en la misma dirección y no cambian de dirección al pasar de un punto a otro.

Coordenadas cartesianas o rectangulares

Un volumen diferencial rectangular se forma cuando nos movemos desde un punto (x,y,z) pequeñas distancias dx, dy y dz en las tres direcciones coordenadas.

Coordenadas cilíndricas circulares

Está definido por la intersección de tres superficies: un cilindro circular de radio r, un plano a un ángulo constante a partir del eje x y un plano de z constante.

Coordenadas cilíndricas circulares

Los vectores unitarios ar, a y az son perpendiculares a cada una de las superficies. La dirección de az es independiente de la posición, pero a diferencia de los vectores unitarios rectangulares, la dirección de ar y a

cambia con el ángulo . La triada (r, , z) debe formar un sistema

de coordenadas dextrógiro. Es conveniente usar estas coordenadas

cuando existe una recta de simetría definida como el eje z

Coordenadas cilíndricas circulares Un diferencial de volumen se forma cuando nos movemos desde el punto (r, , z) diferenciales de distancia dr, rd y dz en las direcciones de los tres vectores unitarios.

Coordenadas esféricasLas coordenadas (R, Las coordenadas (R, , , ) se obtienen por la ) se obtienen por la intersección de una esfera de radio R, un cono intersección de una esfera de radio R, un cono con un ángulo θ y un plano a un ángulo con un ángulo θ y un plano a un ángulo constante constante del eje x como se definió para las del eje x como se definió para las coordenadas cilíndricas.coordenadas cilíndricas.

Coordenadas esféricas

Los vectores unitarios aR, a, y a son perpendiculares a cada una de estas superficies y cambian de dirección de un punto a otro.

La triada (R, , ) debe formar un conjunto de coordenadas dextrógiro.

Es importante en problemas que comprenden fuentes puntuales y regiones con contornos esféricos.

Coordenadas esféricas Un diferencial de volumen esférico se forma

cuando se mueve el punto (R, , ) diferenciales de distancia dR, Rd y R sen d.

Transformaciones entre sistemas de coordenadas

R = Cartesianas C = Cilíndricas E = Esféricas

zzx

ytan

xr

C R

1-

22

y

zz

sen r y

cosr x

RC

x

y tan

zyx

zcos

zyxR

ER

1-

222

1-

222

cos R z

sen sen R y

cos sen R x

RE

22

1-

22

zr

zcos

zrR

EC

cos Rz

sen Rr

CE

ÁLGEBRA VECTORIAL Escalar: elemento definido enteramente por

una magnitud. Vector: elemento definido por una magnitud,

dirección y sentido. Por lo tanto se necesitan tres direcciones coordenadas para describir un vector.

En coordenadas rectangulares el vector queda representado como:

Donde Ax, Ay y Az son escalares, luego la

magnitud de A es:

Multiplicación de un vector por un escalar

Se mantiene la misma dirección pero su magnitud queda multiplicada por K.

Adición y sustracción Si

Producto Escalar Está definido como: de donde

El producto escalar de un vector y de un unitario produce la

componente del vector en la dirección del vector unitario.

Es decir:

Si se aplica la definición del producto punto a los vectores unitarios se obtiene :

AB

BABABA cos zzyyxx

AB

Producto Vectorial

El producto vectorial de dos vectores da como resultado otro vector perpendicular al plano formado por los dos vectores. Su sentido queda definido por la regla de la mano derecha.

La magnitud del producto vectorial representa el área del paralelogramo formado por los dos vectores.

El producto vectorial es cero para vectores paralelos y máximo para vectores perpendiculares.

Esto quiere decir que para un sistema coordenado dextrógiro se cumple:

Producto escalar triple Representa el volumen del

paralelepípedo formado por los vectores A, B y C

Cálculo Vectorial

La variación de df en f para un cambio pequeño en la posición de (x, y, z) a (x+dx, y+dy, z+dz) viene dada por la regla de la cadena de derivación

dzz

fdy

y

f dx

x

fdf

Gradiente de un Campo Escalar

el vector desplazamiento diferencial dl está definido en coordenadas rectangulares como:

luego:

por abreviación el operador nabla () se usa en lugar de gradienteEste operador define la operación:

Cuando = 0 (dl es paralelo a f ) el cambio en la función f es máximo

El gradiente representa la magnitud y la dirección del máximo cambio en f, es decir cuando el diferencial de longitud dl está orientado en la dirección del gradiente f el cambio en f es máximo.

dzz

fd

fdr

r

fdf

Gradiente en Coordenadas Cilíndricas

El vector desplazamiento diferencial es:

df

df

dRR

fdf

Gradiente en Coordenadas Esféricas

El vector desplazamiento diferencial es:

En el estudio de campos vectoriales es conveniente representar gráficamente las variaciones de los campos mediante líneas de campo dirigidas, llamadas líneas de flujo.

Si el flujo que entra a una superficie es menor que el que sale de la superficie cerrada, el volumen contiene una fuente. Si por el contrario, el flujo saliente es menor que el entrante, el volumen contiene un sumidero.

Divergencia de un Campo Vectorial

x

Flujo entrante = Flujo saliente

Flujo entrante < Flujo saliente (Fuente)

Flujo entrante > Flujo saliente (Sumidero)

.

Solamente la componente del vector A perpendicular a la superficie contribuye al flujo.El flujo es positivo si sale de la superficie y negativo si entra.

El círculo alrededor de la integral indica que la integral debe aplicarse a toda la superficie S que encierra el volumen.

ds: vector cuya magnitud es el área del elemento diferencial y dirección normal a la superficie.

12

3

z

x

y

(x,y,z)∆y

∆x

∆z

dSy = ∆x ∆z

dS’x = - ∆y ∆z

dSx = ∆y ∆z

dS’y = - ∆x ∆z

dSz= ∆x ∆y

dS’z= - ∆x ∆y

∆V = ∆x ∆y ∆z

zyxz

(z)A-z)(zA

y

(y)A-y)(yA

x

x)-(xA-(x)A zzyyxx

Vz

A

y

A

x

A zyx

Para el volumen diferencial de la figura:

Como las superficies son de tamaño diferencial las componentes de A son aproximadamente constantes a través de cada superficie.

en el límite cuando x, y y z tienden a cero.

El término entre paréntesis se llama divergencia de A y se define como el producto escalar del operador y el vector A

La divergencia de un campo vectorial A en un punto es el flujo neto de salida por unidad de volumen conforme el volumen alrededor del punto tiende a cero.

Divergencia en Coordenadas Cilíndricas

Divergencia en Coordenadas Esféricas

Teorema de la Divergencia o Teorema de Gauss

se cancelan para todos los volúmenes interiores, contribuciones al flujo diferentes de cero se obtienen únicamente para aquellas superficies que limitan la superficie exterior del volumen.

Entonces en términos de la operación divergencia las contribuciones al flujo se suman para cada volumen diferencial.

Las contribuciones superficiales al flujo usando

La integral de línea de un vector alrededor de una trayectoria cerrada la denominamos circulación.

donde si C es el trabajo, el vector A debe ser la fuerza.

Rotacional de un campo Rotacional de un campo vectorialvectorial

Para el contorno infinitesimal rectangular de la figura, la integral se convierte en:

Las componentes de A son aproximadamente constantes sobre cada tramo de contorno de tamaño diferencial, así que:En el límite cuando x0 y y0

Si el contorno de la figura se encuentra en el plano xz o en el plano yz

Las expresiones de C son los componentes del producto vectorial entre el operador y el vector A. Esta operaciónse llama rotacional de A

y es también un vector

En términos del rotacional, la circulación para cualquier contorno es:

Donde ds = ds an es el elemento diferencial de área en la dirección del vector normal al plano del contornoComparando las dos expresiones de C se tiene que:

Donde el subíndice n indica la componente del rotacional perpendicular al contorno

Esta ecuación establece que el rotacional de un campo vectorial Aes un vector cuya magnitud es la circulación neta máxima de A por unidad de área conforme el área tiende a cero.

La dirección es normal al área cuando esta, está orientada de manera que la circulación neta sea máxima. La dirección de an se obtiene aplicando la regla de la mano derecha.

Una interpretación física del rotacional es: si A es el vector velocidad del flujo de un fluido A en el punto (x, y, z) nos da el eje en torno al cual el fluido está en rotación, así como su velocidad angular.

Rotacional en coordenadas cilíndricas

Rotacional en coordenadas esféricas

Este teorema convierte la integral de línea sobre el contorno frontera L del borde externo en una integral de superficie sobre cualquier área S limitada por el contorno, es decir:

Teorema de Stokes

Esto es válido porque la parte común de los contornos de dos elementos adyacentes es recorrida en direcciones opuestas por dos contornos y solo contribuye a la integral el contorno exterior L que limita toda el área S.

Si la superficie es cerrada no hay contorno externo que limite la superficie y

Identidades Útiles

El rotacional del gradiente es cero

Si el rotacional de un campo vectorial es nulo, entonces el campo vectorial puede expresarse como el gradiente de un campo escalar.

La divergencia del rotacional de un vector es cero

Si la divergencia de un campo vectorial es solenoidal , se puede expresar como el rotacional de otro campo vectorial, es decir: