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RESOLUCION DE TRIANGULOS
Angel MontesdeocaLa Laguna, 13 de Febrero del 2012
Version 2.120213842
~ Notaciones
En un triangulo ABC se designa por: a, b y c, las longitudes de los lados opuestos a los vertices A,B y C, respectivamente. A,B y C (o A, B, C) los angulos en los vertices A,B y C. ha, hb y hc, las alturas desde los vertices A,B y C, y por Ha, Hb y Hc sus pies. ma,mb y mc las medianas desde los vertices A,B y C, y por Ma,Mb y Mc sus pies. va, vb y vc, las bisectrices desde los vertices A,B y C, y por Va, Vb y Vc sus pies. wa, wb y wc, las bisectrices exteriores desde los vertices A,B y C, y por Wa,Wb y Wc sus pies. R, el radio de la circunferencia circunscrita. r, el radio de la circunferencia inscrita. ra, rb y rc los radios de las circunferencia exinscritas. s el semipermetro, s = (a+ b+ c)/2. el area. I el incentro, centro de la circunferencia inscrita I(r). Ia, Ib y Ic los centros de las circunferencias exinscritas. G el baricentro, punto de interseccion de las medianas. O el circuncentro, centro de la circunferencia circunscrita O(R). H el ortocentro, punto de interseccion de las alturas. N el centro de la circunferencia de los nueve puntos (circunferencia de Euler) N(R/2). K el simediano, interseccion de las rectas simetricas de las medianas respecto a la bisectrices
respectivas.
PQ la recta que pasa por los puntos P y Q o conjunto de todos sus puntos. PQ el segmento que une los puntos P y Q o distancia entre P y Q (d(P,Q)). d(P,Q), d(P,UV ), distancia entre dos puntos o de un punto a una recta. [num] para el caso num) en Fursenko ([4]). [-num-] para el caso Exercice num) en Lus Lopes ([7]).
La Laguna, 13 de Febrero del 2012 Pag. 1/9 Angel Montesdeoca
Resolucion de triangulos conocidos ciertos datos
[=num=] para el caso num. en W. Wernick ([11]). [*num*] para el caso num. en ([5]). |A| = n, si el cardinal del conjunto A es igual a n.
~ Resolucion de triangulos conocidos ciertos datos
(El orden de esta lista esta dado segun se han introducido las notaciones anteriores)
1) a b = 2a vc = AVc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24162) a b c [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1997
3) a b A [2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2024
4) a b C [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20165) a b ha [4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20016) a b hc [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20027) a b ma [6] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20178) a b mc [7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19909) a b vc [9] [4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201010) a b R [10] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2084
11) a b A B [1076] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208212) a b AB||IO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242413) a b AMa BMb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241514) a b AMcC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225615) a b R mnimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216616) a b MaVa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204917) a b McVc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2048
18) a A B [16] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2028
19) a A = 90 B [16] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2106
20) a A ha [17] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2005
21) a A hb [18][19] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217122) a A ma [19] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2109
23) a A mb [20] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1986
24) a A va [21][28] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198025) a A = 90 va [21] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2094
26) a A = 90 vb [22] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1978
27) a A R [23] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2156
28) a A r [24] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2110
29) a A 2s [27] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2013
30) a A = 90 2s [27]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1875
31) a A a b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215732) a A b c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216033) a A b+ c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2215
34) a A b+ 3c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2107
35) a A = 90 b/c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2332
36) a A u b+ v c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210837) a A AI/IVa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2146
38) a A = 90 AMa BMb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209839) a A BMb CMc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2152
La Laguna, 13 de Febrero del 2012 Pag. 2/9 Angel Montesdeoca
Resolucion de triangulos conocidos ciertos datos
40) a A = 90 Z BC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179941) a B C [29] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2088
42) a B ha [30] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2006
43) a B hb [31] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2148
44) a B hc [32][22] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217545) a B vb [37] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2159
46) a B 2s [44] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2038
47) a B b c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206248) a B = 90 b c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201149) a B b ha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212250) a B = 90 hb = HbMb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212951) a B Va . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243452) a ha hb [46] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200453) a ha ma [47]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202254) a ha R [51] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214755) a ha r [52][153] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217256) a ha b/c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214557) a hb hc [57]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200358) a hb mb [59] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203259) a hb vc [63] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203360) a ma mb [71] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198461) a mb mc [80] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198362) a va R [92][195] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217663) a va Va . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214464) a vb b = c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207465) a R r [106][215] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203666) a R B C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247167) a R OH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197568) a r |I(r) Ma(a/2)| = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211869) a AB = AC, a = BD = AD, a AC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248770) a 7BAMa = 7C = 2B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2274
71) a R = |a c| A C = 90 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240372) a P I(r) BC |I(r) Ma(a/2)| = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211973) A B C vertice A,B P (r1) vertice C P (r2) . . . . . . . . . 248174) A B ha [123] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2007
75) A B ma [125] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1998
76) A B va [128] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2034
77) A B wa [10] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216878) A B R [129] [12] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216979) A B r [130] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2072
80) A = 90 B r [130] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2067
81) A B ra [131] [14] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217082) A B 2s [133] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2061
83) A B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2112
84) A B a+ b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2217
85) A B a+ c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2216
86) A ha hb [135] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2009
87) A ha ma [136] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2056
La Laguna, 13 de Febrero del 2012 Pag. 3/9 Angel Montesdeoca
Resolucion de triangulos conocidos ciertos datos
88) A = 90 ha ma [136]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2065
89) A = 90 ha mb [137] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2012
90) A ha R [140] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2059
91) A = 90 ha r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2154
92) A ha 2s [144] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2086
93) A = 90 ha 2s [144] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2097
94) A hb hc [146] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2008
95) A ma mb [160] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1999
96) A = 90 ma va [161] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1856
97) A ma r [164] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2041
98) A ma ra [165] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2042
99) A mb mc [169]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1987
100) A = 90 mb 2s [178] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2023
101) A va R [181][101] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2177102) A va b+ c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2121
103) A va b+ c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2092
104) A va b c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2091105) A R r [195] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2037
106) A = 90 R O Y AC Z AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2018107) A = 90 R HaAMa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2096
108) A r 2s [202] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2060
109) A 2s P BC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2377110) A = 90 1/a2 + 1/b2 = 1/m2 1/a+ 1/b = 1/n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2369
111) A a+ b a+ c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2020
112) A a b c b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2043113) A b c BMb CMc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2158114) A b+ ha b = c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2153
115) A = 90 vertice : A ` vertice : B,C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1985116) A AMa BVb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2063117) A = 60 2s = 4ha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1624
118) A = 90 Va Vb Vc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1982119) ha hb hc [211] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1613120) ha hb ma [212] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2029121) ha hb mc [213] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2027122) ha ma b/c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2194123) ha ma mb [222] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1989124) ha ma va [223] [22] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2031125) ha ma r [226] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2138126) ha mb mc [231] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1988127) ha R r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2265128) ha r ra [262] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2140129) ha r b c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2137130) ha r I(r) BC Ia(ra) BC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2139131) ha BAMa = MaAHa = HaAC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2057132) ha OMa OMb OMc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2095133) ma mb mc [273][288] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1939134) va vb vc [313] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2035
135) va BAMa = MaAHa = MaHaC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2151
La Laguna, 13 de Febrero del 2012 Pag. 4/9 Angel Montesdeoca
Algunas construcciones basicas
136) R a+ ha b = c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2196137) R a+ ha b = c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1339138) R O X AH O(R) Y AG O(R) Z AI O(R) . . . . . 2030139) R Ha Ma vertice : A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2114140) R N O(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1798141) r BAMa = MaAHa = MaHaC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2150142) r IA IB IC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1976143) ra rb rc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2304144) ra rb [349] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2053145) 42367146) a = b = c P PA PB PC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2412147) A NP,B PMPM,C MN ;M BC , N C A, P
AB;AB||AB, BC||BC , CA||C A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2409
148) I IA IB IC Z BC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1974149) I G vertice : A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2164150) I O vertice : A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2040151) I O H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2130152) I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2093153) I Ma vertice : A d(I,Ma) = d(A, IMa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2163154) G vertice : A B p C q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2292155) G BC P AB Q AC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2125156) G BC P AB Q AC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2120157) O Ha Va . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2104158) O H vertice : A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2087159) O N Ma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2039160) O K vertice : A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2113161) O Va vertice : A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2179162) Ha Hb AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2090163) Ha Hb Hc [24] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1979164) Ha Hb Va . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2488165) H b = c AB X BC HXAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2071166) H Ma Mb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2375167) H Va Wa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2513168) Ma Mb Mc [23] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2089169) Ma Va Ea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2376170) Ma Wa Ea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2378171) X AX = p BX = q CX = r a = b = c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2374172) X BC Y CA Z AB BX : XC = p CY : Y A =
q AX : ZB = r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2136
Ver tambien la pagina WEB:http://webpages.ull.es/users/amontes/angel/pdf/ct.pdf.
~ Algunas construcciones basicas
Exponemos aqu ciertas construcciones (algunas poco justificas) que se utilizan frecuentementeen la resolucion de triangulo y que no siempre se detallan all.
C1. Construir un segmento de longitud k2
La Laguna, 13 de Febrero del 2012 Pag. 5/9 Angel Montesdeoca
Algunas construcciones basicas
Sobre la perpendicular en el extremo D de un segmento CD de longitud unidad, trazamos unsegmento DB de longitud k dada. La perpendicular a CB en B corta a la recta CD en A.
El triangulo ABC es rectangulo y se verifica que la altura relativa a la hipotenusa es mediaproporcional entre los dos segmento en que divide a la base; es decir,
BD2= CD DA, a2 = 1 k = k.
As, DA es el segmento buscado (Figura de la izquierda).
C2. Construir un segmento de longitudk
Sobre una misma recta se trazan dos segmentos contiguos BD de longitud k y DC de longitudunidad. Se traza la circunferencia de diametro BC y la perpendicular por D a BC. Ambas se
cortan en A y el triangulo ABC es rectangulo en A. La altura AD es media proporcional entrelos dos segmentos en que divide a la hipotenusa:
AD2= BD DC = k 1 = k.
Luego, AD es el segmento pedido de longitudk. (Figura de la derecha)
C3. Construir la races de la ecuacion de segundo grado x2 2Sx+ P = 0 (S > 0,P > 0)
C4. Arco capaz del angulo sobre el segmento BC
Es el lugar geometrico de los puntos desde los cuales se ve al segmento BC bajo el mismoangulo .
La Laguna, 13 de Febrero del 2012 Pag. 6/9 Angel Montesdeoca
Algunas construcciones basicas
/2
pi 2= 2
C5. Tangente a una circunferencia desde un punto exterior
Dada al circunferencia y punto P exterior, se traza la circunferencia de diametro el segmentoque une P con el centro de la circunferencia dada. Los puntos de corte de ambas circunferenciasson los de tangencia de las tangentes desde P .
C6. Cuarto armonico
Construir el punto Q armonicamente separado de P respecto a M y N .
Utilizamos el hecho de que en un cuadrivertice dos puntos diagonales estan separados armo-nicamente de los dos puntos en que la recta que los une corta a los dos lados opuestos delcuadrivertice que pasan por el tercer punto diagonal.
C7. Eje radical
El eje radical de dos circunferencias O1(R1) y O2(R2), cuando estas se cortan, es la recta quepasa por los puntos de interseccion de ambas.
La Laguna, 13 de Febrero del 2012 Pag. 7/9 Angel Montesdeoca
REFERENCIAS
Cuando las circunferencias son disjuntas, es decir, cuando sean exteriores una de la otra ocuando una esta contenida en la otra, acudimos al caso anterior sin mas que trazar una circun-ferencia que sea secante a las dos circunferencias dadas (no concentricas).
Construimos la interseccion de las dos circunferencia con la recta que une sus centros. Tomemosde estos puntos el segmento MN sobre la recta O1O2, de tal forma que el segmento O1O1quede en su interior. La circunferencia que pasa por O1 y O2 y de radio MN corta a las doscircunferencias O1(R1) y O2(R2), incluso cuando una esta contenida en la otra, puesto que suradio es R1 +R2 +O1O2.
Si ST es el eje radical de O1(R1) y y UV es el eje radical de O2(R2) y , la interseccion Pde estos dos ejes radicales pertenece pues al eje radical de las dos circunferencias dadas, el cuales ademas perpendicular a O1O2.
Referencias
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[2] Harold Connelly.- An extension of triangle constructions from located points. Forum Geo-metricorum, 9 (2009) 109112.
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[4] V. B. Fursenko.- Lexicographical account of constructional problems of triangle geometryproblems (en ruso). Mathematicals in schools, 1937 (5) pp. 4-30, 1937 (6) pp. 21-45, Moscow,USSR. Pag. WEB:
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[5] Ludi geometrici. Pag. WEB:
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[10] P. Puig Adam.- Curso de Geometra Metrica (2 vols.). Madrid. Ed. Euler, 1986
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[12] Paul Yiu.- Elegant Geometric Construct. Forum Geometricorum 5(2005) 75-96.
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Direcciones electronicas:
[14] Ricardo Barroso Campos.- Laboratorio virtual de triangulos con Cabri II, Pag. WEB:
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http://www.cut-the-knot.org/triangle/index.shtml#table
La Laguna, 13 de Febrero del 2012 Pag. 8/9 Angel Montesdeoca
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http://mathforum.org/library/drmath/sets/college_constructions.html
La Laguna, 13 de Febrero del 2012 Pag. 9/9 Angel Montesdeoca
Notaciones Resolucin de tringulos conocidos ciertos datos Algunas construcciones bsicas