CIRCUNFERENCIA

Es una línea curva plana, donde cada uno de sus puntos equidistan de un punto interior llamado centro.

AB

C

d O

ELEMENTOS:

O

S

A B

C

D

E

T

Centro:

Diámetro:

Radio:

Cuerda:

Recta tangente:

Recta secante:

O

AB

OC

DE

T

S

PROPIEDADES EN LA CIRCUNFERENCIA

1.Todo diámetro divide a la circunferenciaen dos arcos congruentes, llamadas semicircunferencias.

A BO

180°

180°

2.Radio y tangente.-el radio trazado por el punto de tangencia es perpendicular a dicha recta.

o

A

B

3.Tangentes exteriores:

A

B

C

D

AC = BD

P

QR

S

QS = PR

A

B

P

PA = PB

5.Cuerda y mediatriz.la mediatriz «L» de una cuerda AB pasa por el centro de la circunferencia.

L

A

B

M

6.Si

O

A BM

P

A B

C D

AB

P

R

AM = MB

OP AB AM = MB

AP = PB

7.Si AB / / CD los arcos comprendidosson iguales.

8.Si las cuerdas son iguales los arcos no comprendidos son iguales.

9.Si AB = CD

O

A

B

C

D

a

a

10.Si A y B son puntos de tangencia

a aA B

Problemas resueltos

1.En la figura, a = b y MN = 10u , halla PC

Desarrollo:

Por propiedad: PC = 10u

2.En la figura halla BP, si el perímetro del triánguloABC = 24cm y AC = 7m

Desarrollo:

x x

a

a

b

b

Por propiedad de los tangentes:

24 = 2 a + 2 b + 2 x

12 = a + b + x

Pero a + b = 7

12 = 7 + x

X = 5

3.En la figura «o» es el centro y T es punto de tangenciahalla: m ATP

Desarrollo:

23°

Por radiotangente

67m ATP

4.En el grafico AB // CD y EB // ADhalla el arco EC.

Desarrollo:

Si AB // CD, sus arcos comprendidosson iguales.

X – 20° = 140° - x

X = 80°

Los arcos comprendidos entre lasparalelas AD Y EB son iguales

Rta: 60°

5.Halla «x» si A y B son puntos de tangencia.

Desarrollo:

9

37°

O

En el triángulo rectángulo PAOpor ángulos notables de 37° y 53°

X = 74°

6.Si a y b son puntos de tangencia, q = 85°halla la medida de a

aq

Por propiedad a = 85°

PROPIEDADES:

1.Angulo central

El ángulo central está formadopor el radio y mide igual que el arco.

O

A

B

a a

2.Ángulo inscrito.

El ángulo inscrito está formado pordos cuerdas y mide la mitad de su arco correspondiente.

A

B

C

2 aa

3.Angulo semi-inscrito

El ángulo semi-inscrito está formado por unacuerda y una recta tangente.Es la mitad del arco correspondiente.

A

T

B

2 a

a

4.Ángulo interior.

El ángulo interior está formadopor la intersección de dos cuerdasy es igual a la semisuma de los arcoscomprendidos.

A

B

C

D

a

b

q

2

a bq

4.Ángulos exteriores.

A

B

Pqa b

2

a bq

A

B

Pq

a

b

2

a bq

A

B

Pq

a

b

2

a bq

Además: a b 180

Problemas resueltos

1.En los siguientes gráficos encuentrael valor de «x»

a )

Por ángulo inscrito:

X = 220°

b)

Por ángulo inscrito:

X = 40°

C )

Por ángulo semi –isncrito:

X = 120°

d)

Por ángulo interior:

60 20

2x

X = 40°

e)

Por ángulo exterior:

100 60

2x

x = 20°

f)

78° + X = 180°

X = 102°

2.En el siguiente gráfico AB // CD, halla q .Si:

AB + CD = 260°

Desarrollo:

AB // CD entonces los arcos comprendidosson iguales.

xx

Sumando los arcos tenemos:

260° + 2x = 360°

X = 50°

Por ángulo interior:

100

2q

50q

3. En la figura, halla el arcoAB.

Desarrollo:

a b

Por ángulos internos:

502

a b

a + b =100°

Por ángulos exteriores:

102

a b

a – b = 20°

Sumando ambas ecuaciones:

a + b = 100°a – b = 20°

Resolviendo :

a = 60°

4. AB es diámetro y PQ//AB,halla el arco PT ( P punto de tangencia)

Desarrollo:

20°40°

x

X + 40°

2 x + 80° 180°

X = 50°

20mQAB Por alternos internos

Arco TB = 40° por ángulo inscrito.

Arco AP = X + 40° por propiedad de las paralelas

5.Halla «x» si arco AD = 70°

Desarrollo:

70°

Por ángulo interior:

7090

2

x

X = 110°