-
Trigonometra
Pgina 1
SEMANA 12
NGULO MITAD (ARCO)
1. Si: 1
cosx8
; x 180;270
Halle: x
H sen2
A) 1
2 B)
3
4 C)
5
7
D) 1
8 E)
1
5
RESOLUCIN
1
cosx ;8
180 x 270
x
90 1352
II c
x
H sen2
= ?
11
1 cosx 8H
2 2
9
H16
3
H4
RPTA.: B
2. Si: 4
cos ;5
180;270
Halle: cos 2
A) 10
10 B)
10
10 C)
1
2
D) 5
5 E)
5
6
RESOLUCIN
4
cos ;5
180,270
180 <
-
Trigonometra
Pgina 2
25
E 55
RPTA.: C
4. Calcule:
1 cos100 sen80
H2 2cos40
A) 1 B) -1 C) 0
D) 1
2 E)
1
2
RESOLUCIN
1 cos100 sen80
H2 2cos40
2sen40cos40
H cos502cos40
H cos50 sen40
H sen 40 sen40
H 0
RPTA.: C
5. Reduce:
x
A senx tgx ctg 12
A) tg x B) ctg x C) 1
D) 0 E) 1
2
RESOLUCIN
A senx tgx cscx ctgx 1
A senx tgxcscx 1 1
A senx cscx tgx
A = tg x
RPTA.: A
6. Si: tg 3; IIIc
Halle: H ctg 452
A) 1
3 B) 3 10
C) 3 10 D) 3 10
E) 1
RESOLUCIN Si: tg 3; IIIc
E ctg 452
E csc 90 ctg 90 E sec tg
10
E 31
E 3 10
RPTA.: D
7. Simplifique:
xcsc 2csc x
2A
x xsec ctg
2 4
A) 1 B) 1
2 C)
1
3
D) 0 E) -1
RESOLUCIN
csc 2csc2E
sec ctg2 4
sea: x2
1
3
1
10
-
Trigonometra
Pgina 3
csc x 2csc2x csc x tgx ctgxE
x secx csc x ctgxsec x ctg
2
xx ctg tgxctg tgx22E
secxcsc x secxctgx tgx ctgx csc x
xctg tgx
2E
xtgx ctg
2
E 1 RPTA.: A
8. Reduce:
xtg ctgx
2M
xctgx ctg
2
A) 1 B) -1 C) 0
D) 1
2 E)
1
3
RESOLUCIN
xctgx tg
2M
xctgx ctg
2
ctgx cscx ctgxM
ctgx cscx ctgx
ctgx cscx ctgx cscxM
ctgx cscx ctgx cscx
M = 1
RPTA.: A
9. Simplifique:
sen ctg 12
E
sen tg cos2
A) sen B) cos
C) tg2
D) ctg2
E) 1
RESOLUCIN
sen csc ctg 1
Esen csc ctg cos
1 sen ctg 1
E1 sen ctg cos
cossen
cossenE
cos 1 cos cos1 sen cos
sen
E cos
RPTA.: B
10. Reduce:
2x x
E ctg 2cos ctgx2 2
A) 1 B) cos x C) sen x D) tg x E) ctg x
RESOLUCIN
2x xE ctg 2cos ctgx
2 2
E cscx ctgx 1 cosx ctgx
E cscx ctgx ctgx cosxctgx
21 cosx 1 cosE cosx
senx senx senx
2sen xE
senx
E senx
RPTA.: C
-
Trigonometra
Pgina 4
11. Calcule: E sen11230'
A) 2 2
2
B)
2 2
2
C) 2 2 D) 1
E) 1
4
RESOLUCIN
E sen11230' ; x
11230'2
x = 224 60 x = 225
x 1 cosx
E sen2 2
1 cos225
E2
2
11 cos225 2 22E2 2 4
2 2
E2
RPTA.: B
12. Simplifique:
E secx 1 cscx csc2x csc4x ctg4x
A) 1 B) tg x C) ctg x
D) sen x E) cos x
RESOLUCIN
secx 1 csc x csc2x csc4x ctg4x
sec x 1 csc x csc2x ctg2x
secx 1 cscx ctgx
x
secx 1 ctg2
x x
E tg(x) tg ctg2 2
E tgx
RPTA.: B
13. Si: x x
tg tg 2cscx2 4
Halle: x
H cos2
A) 1
2 B)
4
5 C)
2
2
D) 2
3 E)
1
6
RESOLUCIN
x x
tg tg 2cscx2 4
x xcscx ctgx csc ctg 2cscx
2 2
x x
csc ctg cscx ctgx2 2
x x
tg ctg2 2
x x
90 x 902 2
x
E cos E cos452
2
E2
RPTA.: C
14. Si: tg5 ctg10
E1 cos20
B sen20cos10
Halle: A= B.E
A) 0 B) 1 C) 1
2
D) 1
3 E)
1
4
-
Trigonometra
Pgina 5
RESOLUCIN
tg5 ctg10 csc10 ctg10 ctg10E
1 cos20 1 cos20
2
csc10 1E
2cos 10 2cos10sen10cos10
1
Esen20cos10
Luego: B
1
A cos10sen20sen20cos10
A = 1 RPTA.: B
15. Si: x y sen x y ;
Halle: M tg4 2
A) y
x B)
x
y C)
y
x
D) x
y E) 1
RESOLUCIN
2tg tg4 2 2
1 cos2 1 sen
1 sen1 cos
2
,
Pero; x y
senx y
x y1
x y 2y ytg
4 2 2x xx y1
x y
RPTA.: C
16. Reduce:
E tg 2tg 4ctg4 2
A) tg B) tg2
C) ctg2
D) ctg4
E) 1
RESOLUCIN
E tg 2tg 2 2ctg4 2
E csc ctg 2tg2 2 2
2 ctg tg2 2
E csc ctg 2tg2 2 2
2ctg 2tg2 2
E csc ctg2 2
E ctg4
RPTA.: D
17. Simplifique:
2 1 cos 2 1 cos
R1 sen
A) 1 B) 2 C) 3
D) 1
2 E)
1
4
-
Trigonometra
Pgina 6
RESOLUCIN
2 2 2 2
1 cos 1 cos2 2R
1 sen
1 cos 1 cos2 2
2 2R1 sen
2 cos sen2 2
1 sen
2 1 sen
R1 sen
R = 2
RPTA.: B
18. Si: secx secy tgx tgy
Calcule: x y
M tg tg2 2
A) 1 B) -1 C) 2
D) -2 E) 1
2
RESOLUCIN secx tanx secy tgy 0
csc x ctg x csc y2 2 2
ctg y 02
x ytg tg 0
4 2 4 2
x ytg tg
4 2 2 4
x y x x1 tg tg 1 1 tg 1 tg
2 2 2 2x y x x
1 tg 1 tg 1 tg 1 tg2 2 2 2
y ytg 1 1 tg
2 2y y
1 tg tg 12 2
y2tg
2 x y2 tg tg 1x 2 2 2
2tg2
RPTA.: A
19. Si: y z cosA x, z x cosB y;
x y cosC z
Halle: 2 2 2A B C
M tg tg tg2 2 2
A) 1 B) 2 C) 3 D) x y z E) x + y + z
RESOLUCIN
2
x1
A 1 cosA y z xy ztg
x2 1 cosA x y z1
y z
Anlogamente: 2B z x y
tg2 x y z
,
2C x y z
tg2 x y z
Luego: y z x z x y
Mx y z x y z
x y z x y z
x y z x y z
M = 1 RPTA.: A
20. Si:
cscA cscB cscC ctgA ctgB ctgC
Calcule:
3 3 3A B Ctg tg tg2 2 2MA B C
tg tg tg2 2 2
-
Trigonometra
Pgina 7
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6
RESOLUCIN
cscA ctgA cscB ctgB cscC ctgC 0
A B C
tg tg tg 02 2 2
Si:
3 3 3a + b + c = 0 a b c 3abc
3 3 3A B C A B C
tg tg tg 3tg tg tg2 2 2 2 2 2
Luego:
A B C3tg tg tg
2 2 2M 3A B C
tg tg tg2 2 2
RPTA.: C
NGULO TRIPLE
21. Si: 1
senx4
; x es agudo .
Halle: sen 3 x
A) 1
8 B)
1
16 C)
11
16
D) 3
16 E)
9
16
RESOLUCIN
3sen3x=3senx-4sen x
31 1
sen3x=3 44 4
3 1
sen3x=4 16
11sen3x=
16
RPTA.: C
22. Si: 3 1
cos3
Halle: cos
A) 19
27 B)
20
27 C)
22
27
D) 23
27 E)
25
27
RESOLUCIN cos cos3
3cos 4cos 3cos
31 1
cos 4 33 3
23
cos27
RPTA.: D
23. Si: tg 2; halle tg3
A) 2
3 B)
2
4 C)
2
5
D)2
6 E)
2
7
RESOLUCIN
3
2
3tg tgtg3
1 3tg
3
2
3 2 2tg3
1 3 2
2
tg35
RPTA.: C
24. Reducir: 2sen3x
M 4sen xsenx
A) 1 B) 2 C) 3 D) - 1 E) 0
-
Trigonometra
Pgina 8
RESOLUCIN
2sen3x
E 2 2sen xsenx
E 2 1 cos2x 2cos2x 1 E 2 2cos2x 2cos2x 1
E= 3 RPTA.: C
25. Simplificar: 2 2
2 2
sen 3x cos 3xA
sen x cos x
A) 8 cos 2x B) 4 cos 2x C) 2 cos 2x D) 16 cos 2x
E) 1
RESOLUCIN
2 2sen3x cos3x
Asenx cosx
2 2
A 2cos2x 1 2cos2x 1
2
A 4 2cos2x 1
A 8cos2x
RPTA.: A
26. Si: 2
sen 30 a4
Halle: cos 3a
A) 3 2
8 B)
5 2
8 C)
7 2
8
D) 9 2
8 E)
11 2
8
RESOLUCIN Se pide:
cos3a sen 90 3a
3cos3a 3sen 30 a 4sen 30 a
3
2 2cos3a 3 4
4 4
5 2
cos3a8
RPTA.: B
27. Si: x72
Halle:
M 2sen12x 2cos8xcos4x cos4x
A) 3
2 B)
3
3 C)
3
6
D) 3
4 E)
3
12
RESOLUCIN
M 2sen12x cos4x 2cos8x 1
cos12x
M 2sen12x cos4xcos4x
M 2sen12x cos11x
M sen24x
3
M sen3 2
RPTA.: A
28. Halle: E ctg18 ctg36
A) 2 5 B) 3 5
C) 4 5 D) 5 5
E) 6 5
RESOLUCIN
cos18 cos36
Esen18 sen36
5 1cos36 4E
1 cos36 5 11
4
E 5 2
RPTA.: A
-
Trigonometra
Pgina 9
29. Calcule el valor de:
3M sec80 1 6sen10
A) 3 4 B) 3 4 C) 2 D) - 2 E) 1
RESOLUCIN
1
1 6sen10 2 3sen102
2 sen30 3sen10
31 6sen10 8sen 10
Luego: 33M sec80 8sen 10
2sen10 csc10
Luego: 33M sec80 8sen 10 2sen10 csc10
M = -2 RPTA.: D
30. Halle:
E ctg18 4cos18 3sec18
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
RESOLUCIN
cos18 3
E 4cos18sen18 cos18
2cos18 4cos 18 3
Esen18cos18
2cos54
Esen36
E 2 RPTA.: C
31. Si: tg3x mtgx, calcule:
M sen3x cscx cos3x secx
A) m 1
m 1
B)
2 m 1m 1
C) 2 m 1m 1
D)
m 1
2 m 1
E) 1
RESOLUCIN
sen3x cos3x
M 2cos2x 1senx cosx
2cos2x 1 4cos2x Pero:
tg3x 2cos2x 1 mm
tgx 2cos2x 1 1
4cos2x m 1 m 1
2cos2x2 m 1 m 1
m 1
M 2m 1
RPTA.: B
32. Reduce:
2V tg20 tg30 tg10 tg 50
A) tg 40 B) tg 50 C) tg 60 D) tg 10 E) tg 20
RESOLUCIN V tg20 tg30 tg10tg50
tg50tg70ctg70
V tg20 tg30 tg30tg50tg20
V tg50
RPTA.: B
33. Simplifique:
tg3x
R tg2x tgxcos2x
-
Trigonometra
Pgina 10
A) 2tg3x B) 4 tg 2x C) ctg x
D) 1 E) 1
2
RESOLUCIN
tg3x sen3x
Qcos2x cos2xcosx
sen3x 1 1
Qcos2x cos3x cosx
sen3x 2cos2xcosx
Qcos2x cos3xcosx
Q 2tg3x
RPTA.: A
34. Halle: m si: m ctg20
tg10 tg40
A) 3
3 B) 3 C) 1
D) 1
3 E)
1
2
RESOLUCIN
ctg20
m tg10tg40
m ctg20 ctg40 ctg80
m ctg60
3
m3
RPTA.: A
35. Reduce:
2sen3x senxsen 2x
Esenx sen2xcosx
A) sen 2x B) sen 4x C) cos 2x D) cos 4x
E) sen 8x
RESOLUCIN
3 2 23senx 4sen x senx 4sen x cos xE
senx 2senx cos x cos x
4
2
4cos x 1E
2cos x 1
2E 2cos x 1
E cos2x
RPTA.: C
36. Reducir:
H 1 cos40 1 cos80 1 cos160
A) 1
8 B) 2 C)
3
8
D) 4 E) 6
RESOLUCIN
1 cos40 1 cos80 1 cos160
2 2 22sen 20 2sen 40 2sen 80
2 2 21H 16sen 20sen 40sen 802
2
21 1 3H sen60
2 2 2
31 3H
2 4 8
RPTA.: C
37. Reducir:
G tg3x 2senxsec3x
A) 1 B) tg x C) ctg x
D) 0 E) 2tg x
RESOLUCIN
sen3x 2senx
Qcos3x cos3x
33senx 4sen x 2senx
Qcos3x
-
Trigonometra
Pgina 11
2senx 1 4sen x senxQ 1 2 1 cos2x
cos3x cos3x
senx senx cos3x
Q 2cos2x 1cos3x cos3x cosx
Q tgx
RPTA.: B
38. Si: tg 15 x 2 Halle: ctg 3x
A) 11
9 B)
13
9 C)
14
9
D) 16
9 E)
17
9
RESOLUCIN Si:
tg 30 x tg 45 15 x
tg45 tg 15 xtg 30 x
1 tg45tg 15 x
1
tg 30 x3
Se pide:
ctg3x tg 90 3x
3
2
3tg 30 x tg 30 xctg3x
1 3tg 30 x
13
ctg3x9
RPTA.: B
39. Reducir:
2E sec20 1 sec40 1 tg20 ctg 10
A) 1 B) 2 C) 3
D) 3
3 E)
1
3
RESOLUCIN
2E sec20 1 sec40 1 ctg 10 tg20 tg40
E tg20 tg10 ctg10 tg20tg80tg20
E tg20 tg40 tg80
E tg60 3
RPTA.: C
40. Si: x18
Reducir: 2tg8x tg2x
Gsec8x 1
A) 3 B) 1 C) 2
D) 2 3 E) 3
RESOLUCIN
2tg80 tg20
Gsec80 1
tg80 tg80 tg20
Gtg80
tg40
G = tg10 tg80 tg 80 tg20
tg 80
G tg20 tg40tg80
G tg60 3
RPTA.: A
