ÁNGULOS

DEFINICIÓN:

Es aquella figura geométrica formada por la unión de dos rayos que tienen el mismo origen. La medida de un ángulo se expresa en grados sexagesimales.

O A

BNotación:

Ángulo AOB: m AOB

Elementos:

Lados: OA��������������

OB��������������

y

Vértice: O

CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS:

Según su medida:

Ángulo agudoCuando su medida es mayor que 0° y menor que

90°.

a 0° < a < 90°

Ángulo rectoCuando su medida es igual a 90°.

Ángulo obtusoCuando su medida es mayor que 90° y menor que 180°.

a 90°<a < 180°

Ángulo llanoCuando su medida es igual a 180°.

a

a = 180°

Según la posición de sus lados Ángulos adyacentes

Son dos ángulos que tienen el mismo vértice y además están situados a distintos lados de un lado común.

O A

BC

Ángulos adyacentes suplementariosLos ángulos AOB y BOC son adyacentes.

O A

B

C aba + b = 180°

O A

BCDD

abq

m

Ángulos consecutivos en un mismo semiplanoLos ángulos AOB, BOC, COD y DOE son consecutivos.

O B

C

DE

Fa

bq

ma + b + q + m = 180°

Ángulos coplanares alrededor del vértice

° + ° + ° + ° = 360°

A

B

C

D

O

Ángulos opuestos por el vértice

ab a = b

Bisectriz de un ángulo.

O

A

B

C

a

a

Ejercicios resueltos.

1. Se tiene os ángulos consecutivos : AOB; BOC Y COD tal que 2 , 5m AOB x m BOC x y 3m COD x

Hallar la medida de los ángulos BOC, si el ángulo AOD es llano

Desarrollo:

O A

BC

D

2x5x

3x

3x + 5x + 2x = 180°

X = 18° El ángulo BOC = 90°

2. Se tiene dos ángulos complementarios tal que uno es los 4/5 del otro. ¿ Cuánto mide el mayor de ellos?

Desarrollo:

x

4

5x

4/5 x + x = 90°

x = 50°

3.Dos ángulos adyacentes suplentarios difieren en 40°. Hallar la medida del mayor ángulo.

4. ¿Cuánto mide un ángulo, si la diferencia entre su suplemento y su complemento es 6 veces el ángulo?

Desarrollo:

aa + 40°

a + 40° + a = 180°

a = 70° Entonces la medida del ángulo mayor es : 110°

Desarrollo:

Sea «a» el ángulo.

El suplemento será: 180° - a

El complemento será: 90° - a

( 180° - a ) – ( 90° - a ) = 6a

180° - a – 90° + a = 6a

a = 15°

5. Tres ángulos consecutivos suma 130°; el ángulo intermedio mide 20°. Halla la medida del ángulo formado por las bisectrices del primero y el tercer ángulo.

Desarrollo:

20° a

a

bb

2b + 2 a + 20° = 130°

a + b = 55°

El ángulo pedido será: 75°

6.Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC, tal que el ángulo AOC es recto Halla la medida del ángulo AOB, si dichos ángulos AOB y BOC están en relación de 4 a 5.

Desarrollo:

O A

BC

a

b

4

5K

4

5

K

K

4K + 5K = 90°

K = 10°

40m AOB

7. Se tiene los ángulos adyacentes AOB y BOC de manera que:

80m AOB m AOC Halla m AOM , siendo

bisectriz del ángulo BOC

Desarrollo:

O A

CB

OM��������������

M

a a

80m AOB m AOC

x

X + x + 2 a = 80°

2x + 2a = 80°

40m AOM