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7/24/2019 ngulos en Relacin Con La Circunferencia
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CICLO: ABRIL- AGOSTO 2005-II PAG. 4
GEOMETRIAngulos en Relacin con la Circunferencia
1 Angulo central ( m = medida)
2 Angulo Inscrito
3 Angulo Interior
4 Angulo Seminscrito
5 Angulo Exinscrito
6 Angulo exterior
1. En la figura mostrada, calcular x.
a) 20 b) 30 c) 36
d) 45 e) 35
2. En la figura mostrada calcular . Adems Oes centro.
a) 1830 b) 2230 c) 30
d) 37 e) 45
3. En la figura mostrada, AO = DC y O escentro de la circunferencia. Calcular x, siendo
T un punto de tangencia.
a) 41 b) 48 c) 51
d) 64 e) 69
= m AB
=2
mAB
=2
mCDmAB
=2
mAB
=
2
mABC
=2
mBDmAB
=2
mBDmAB
+ = 180
x
3x
P
F
Q
E
3
A BO
D
C
O
A
rB
r
O
A
B
C
D
B
A
A
B
AC
B
B
AD
C
B
A
C
T
E
AB
D
O
x
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7/24/2019 ngulos en Relacin Con La Circunferencia
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CENTRO PREUNIVERSITARIO GEOMETRIA - TRIGONOMETRIA
CICLO: ABRIL-AGOSTO 2005 II Pg. 2
4. En la figura mostrada, AB = BC y la medidadel arco BE = 70. Calcular .
a) 30 b) 20
c) 35 d) 40 e) 25
5. En la figura mostrada, DP // AC y T es punto
de tangencia. Calcular x.
a) 40 b) 30
c) 45 d) 35 e) 60
6. Si medida del arco AB ms la medida del
arco PS es igual a + 40 y la medida delarco CD ms la medida del arco RQ es
igual a 80 + , calcular .
a) 40 b) 60c) 90 d) 120 e) 150
7. En el grafico - =20, hallar x.
a) 10 b) 15
c) 20 d) 25 e) 5
8. Del grafico, C y T son puntos de tangencia.Hallar x.
a) 20 b) 2230
c) 15 d) 18 e) 30
9. Del grafico, calcular x.
a) 30 b) 40
c) 45 d) 50 e) 65
B
A
E
C D
CD
P
T
OA B
x
20
B
A
C
Q
PR
S
D
O
x
AB C
T
x
2x
25 x
Y
XCB
P
A
T
7/24/2019 ngulos en Relacin Con La Circunferencia
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CENTRO PREUNIVERSITARIO GEOMETRIA - TRIGONOMETRIA
CICLO: ABRIL-AGOSTO 2005 II Pg. 3
10.Del grafico, calcular x.
a) 50 b) 60
c) 70 d) 80 e) 90
11.Del grafico, calcular x.
a) 2230 b) 26c) 30 d) 27 e) N. A.
PRACTICA DOMICILIARIA
12.Del grafico mostrado, calcular x.
a) 30 b) 35
c) 40 d) 45 e) 50
13.Del grafico P, Q y T son puntos de tangencia.Hallar x.
a) 15
b) 20
c) 25
d) 30
e) 40
TRIGONOMETRIA
REDUCCION AL PRIMER CUADRANTE
A la comparacin entre los valores de las razones trigonomtricade un ngulo de cualquier medida con respecto a otra cuyongulo es agudo se denomina reduccin al primer cuadrante.
Ejemplo. 33 Tag4Tag
y se expresan como una razn
trigonomtrica de ( xk21
), donde kZ.
Primer Caso
RT(90+) = () CRT()
RT(180+) = () RT()
RT(270+) = () CRT()
RT(360+) = () RT()Aqu se debe tener en cuenta dos aspectos:
1 La medida de se debe considerar como un ngulo agudoaunque no lo sea.
2 El signo + que se debe elegir para el segundo miembro
depende del cuadrante asumido para el ngulo a reducir ydel operador trigonomtrico.
Segundo CasoLas razones trigonomtricas de un ngulo no sealteran porque se le suma o resta al ngulo cualquier
mltiplo de 360 0 2.
RT(360k+ ) = RT() kZ
Sugerencia
Cuando se reduce al primer cuadrante la RT de unngulo mayor que una vuelta se divide dichos ngulosentre 360, donde la razn trigonomtrica de dichongulo ser igual a la misma en la divisin planteada.
Propiedades
1) Si + = 180 se verifica:Sen= Sen Cot= Cot
Cos= Cos Sec= Sec
Tan= Tan Csc= Csc
120
x
C
PQ
A
B
140
2x
3x
A BO
A
x
70B
C
T
B
A
C
P
Qx
T
O
20
90 +
180 -
IIC
180 +
270 -
IIC
270 +
360 -
IIC
90 +
IIC
7/24/2019 ngulos en Relacin Con La Circunferencia
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CENTRO PREUNIVERSITARIO GEOMETRIA - TRIGONOMETRIA
CICLO: ABRIL-AGOSTO 2005 II Pg. 4
2) Si + = 360 se verifica:
Sen= - Sen Cot= - Cot
Cos= Cos Sec= Sec
Tan= - Tan Csc= - Csc
Tercer Caso(Arcos Negativos)
Sen(-) = - Sen Cot(-) = - Cot
Cos(-) = Cos Sec(-) = SecTan(-) = - Tan Csc(-) = - Csc
Observacin 1:
Sen (-) = -Sen(-)
Cos (-) = Cos(-)
Tan (-) = -Tan(-)
Ctg (-) = -Ctg(-)
Sec (-) = Sec(-)
Csc(-) = -Csc(-)
Observacin2:
Propiedades:
RT[k] = () RT()
RT[(2k+1)/2 ] = () RT()
Recordar que el signo en el segundo miembrodepende de la RT inicial y del cuadrante al cualpertenece el ngulo a reducir.
1. Calcular el valor de
2 3 5. . c
3 4 65 2 3
sec . cos .6 3 4
tg ctg sc
Q
sen
p p p
p p p=
A) 2 B) 2 2 C) 6 2
D) 2 6 E) 8 2
2. Simplificar:
3( ) cos( )
2
(270 ). (360 )
tg x x
R ctg x sen x
pp + -
= + -
A)1 B)-1 C)0 D)2 E)-2
3. Reducir la expresin:
T=
2
2
3cos( ). ( ). ( )
23
( )2
x sen x sen x
ctg x
pp p
p
- + +
-
A)1 B) 2sen x C) 4cos x D) 4sen x E) 2cos x
4. Simplificar: 40 220 320130 230 310
sen sen senRsen sen sen
- -=+ -
A) 2tg40 B) 2tg50 C) 3tg50D) 3tg60 E) 3tg40
5. Calcular el valor de:
( )(2 ) 2
cos(2 )cos( )2
sen xsen x
Kxx
p
pp p
+-
= +-+
A)0 B)1 C)2 D)-2 E)-16. Reducir:
( ) cos( )2
3
( ) c (2 )2
sen x x
M
tg x tg x
pp
p
p
+ - -=
- + -
A) cos x B)tg x C)-sec xD)sen x E) sen x
7. Simplificar:2 23 300 6 cos 240 cos( 360 )M tg= - + -
A)6 B)10 C)17/2 D)15/2 E)19/2
8. Del grfico calcular: tg tg q a+
A)5/6 B)1/5 C) -5/6 D)6/5 E)2/5
9) Simplificar:
R=2 2
2 2
810 4 390 . cos 540 cos 630
1140 9 sec 900 . 1470
x sen xy sen y ec
y tg x tg
- -
-
A)3
yx + B) ( )
3
x y+ C)
3
yx -
D)( )
3
x y- E)
x
y
10) Calcular: P= 235 629
sec . cos3 6
ecp p
A)-1 B)1 C)-2 D)2 E)4
11) Calcular: K= 1935 cos 2760 3570sen tg
A)1
2
- B)3
4
C)6
12
D)2
2
E)3
3
12) Simplificar: E=( 20 ) ( 30 ) ( 40 )
(200 ) (300 ) (400 )
Sen Cos T g
Sen Cos T g
- - -+ +
A)3
2 B) 2 C)
1
4 D) 3 E)
3
4
PRACTICA DOMICILIARIA
13) Si: Sen 2000=k. Hallar: Cos 560
A) 21 k- B) 2 1k - C) 21 k- -
D) 2 1k- - E)21 k
k
-
PRQF
-2;-3
2k+ /2 (4k + 1)/2
(2k + 1) 2k
2k+3 /2 (4k -3)/2