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Como es sabido para la mayoría de las personas, las matemáticas representan un estudio bastante pesado e incluso llega a ser hasta odioso. Esto puede deberse principalmente a la formación mal orientada en los primeros años de estudios. Además, a esto se le suma los exigentes y recios profesores co los que algunos se cruan. !in embargo, alrededor de las matemáticas tambi"n existe un mundo amable que no todos conocen, un mundo apartado de esa cortina de humo compuesta por fórmulas, grá#cas y demostraciones, un mundo donde podrás encontrardesde poemas hasta problemas matemáticos, pasando por chistes, curiosidades, pensamientos, historias, etc. !i bien no resulta fácil cruar esa enigmática cortina de humo susodi in$itamos, queridos alumnos, a que se esfuercen por ingresar amable de las matemáticas. %ucho dependerá de la predisposici mani#esten. &EC'E&(E) * Así como es imposible aprender a nadar sin sumergirse en el agua, así tambi"n será imposible percibir la bellea de las matemátic empaparse completamente de ellas. +Crucen la cortina de humo y tengan la segurida de que no saldrán decepcionados CAPACITACION EN EL AREA DE MATEMATICA 151

Angulos II Sencico

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MATEMATICA

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CAPACITACION EN EL AREA DE MATEMATICA

Imaginemos que Lorenita prepara una deliciosa torta de chocolate y la va a compartir con algunos de sus amiguitos. As pues, estn reunidos alrededor de la torta, esperando recibir su porcin.Lleg el momento tan esperado: Lorenita agarra el cuchillo y, desde el centro de la torta, empieza a dividirla en tajadas, dejando, por supuesto, la cuarta parte para su voraz profesor de geometra.

Veamos como Lorenita dividi su torta:

Observemos, queridos alumnos, que las tajadas ms grandes tiene una mayor abertura en el centro con respecto a las tajadas ms chicas. Por ejemplo: No es cierto que la tajada de Lorenita es ms estrecha que la de Fernandito?, Y qu puedes decir de la tajada del profe con respecto a la de Carlita?

Entonces, podemos concluir que, toda tajada, tiene una determinada aberturas. Es decir:

AHORA BIEN: Qu sistema se usa para medir las

aberturas de los ngulos?

En realidad, hay muchsimos sistemas de medidas angulares, sin embargo, para el desarrollo de nuestro curso. Utilizaremos el antiqusimo pero an til, SISTEMA SEXAGESIMAL.

Cmo se concibe el Sistema Sexagesimal?

El sistema sexagesimal se concibe dividiendo a la circunferencia en 360 partes iguales a partir del centro. A cada una de esas partes se le llama Grado Sexagesimal (1). Para ilustrarlo, imaginemos que Lorenita hubiese dividido su torta en 360 tajadas, todas iguales entre s, Puedes imaginarlo?. Pues bien, cada tajada representara un grado sexagesimal.

Debemos saber tambin, que cada grado sexagesimal se divide en 60 partecitas ms pequeas, todas iguales entre s, a las que llamaremos minutos (). A su vez, y aunque no lo crean, cada minuto se divide en 60 partecitas diminutas, todas iguales entre s, a las que llamaremos segundos ().

En resumen:

CLASIFICACIN DE LOS NGULOS SEGN SU MEDIDA

1. ngulo Nulo

2. ngulo de una vuelta

3. ngulo Llano o de Media Vuelta

4. ngulo Recto o de un Cuarto de Vuelta

5. ngulo Agudo

6. ngulo Obtuso

1. Indicar verdadero (V) o falso donde corresponda.

( La medida de un ngulo llano equivale a la medida

de los ngulos rectos.()

( Un ngulo obtuso es aquel mayor que 90 y

menor que 360()

( La medida del ngulo de una vuelta equivale a la

medida de dos ngulos llanos ()

a) VVV

b) VFV

c) FFF

d) VVF

e) VFF2. Relacione de manera conveniente ambas columnas. a) ngulo Obtuso ()180

b) ngulo Llano ()127

c) 3600()1

d) 60()1

3. Complete de manera adecuada. La unidad del sistema sexagesimal es el _______________ sexagesimal.

La medida de un ngulo cuantifica la _________________ entre sus lados.

Para medir un ngulo existen muchsimos ________________ pero el que usaremos en nuestro curso es __________________.

4. Indicar verdadero (V) o falso donde corresponda.

La suma de las medidas de dos ngulos agudos es equivalente a la medida de un ngulo obtuso. ()

La suma de las medidas de dos ngulos obtusos siempre es mayor que la medida de un ngulo llano.() Si tenemos 18 ngulos, cada uno de ellos con 20 de medida, entonces, la suma de sus medidas equivale a la medida de una vuelta.

()

5. A cunto equivale la medida de un ngulo si este es la quinta parte de la medida de un ngulo llano?a) 72

b) 30

c) 36

d) 40

e) N.A.

6. La suma de las medidas de dos ngulos que son proporcionales a 2 y 3 es equivalente a la medida de un ngulo recto. Calcular la medida del menor.

a) 54

b) 18

c) 27

d) 36

e) 30

7. La suma de las medidas de tres ngulos que son proporcionales a 2, 3 y 4 es equivalente a la medida de un ngulo llano. Calcular la medida del ngulo intermedio.

a) 20

b) 40

c) 80

d) 60

e) 100

8. Calcular x + y

a) 118

b) 128

c) 138

d) 15

e) 123

9. Calcular x + y

a) ngulo Agudo

d) ngulo Obtuso

b) ngulo Llano

e) ngulo de una

c) ngulo Recto

vuelta

10. Del grfico mostrado, calcular x. Si: mAOB = 37 ; OB OC

a) 63

b) 43

c) 53

d) 60

e) 37

11. Del grfico mostrado, calcular mBOC si los ngulos AOB y COD son rectos.

a) 30

b) 40

c) 50

d) 60

e) 70

12. Calcular y ( 2x

a) 30

b) 60

c) 90

d) 120

e) 150

13. Si: mAOB = 20. Calcular : mAOD; sabiendo adems: mBOC = 4mAOB

a) 20

b) 40

c) 60

d) 80

e) 100

14. Del grfico, calcular x.Si: OA OC y OB OD

a) 40

b) 25

c) 30

d) 50

e) Faltan datos

15. Calcular mBOC si la suma de las medidas de los ngulos AOC y BOC equivale a la medida de un ngulos llano.

a) 40b) 50c) 80d) 90e) 100

1. Indicar verdadero (V) o falso donde corresponda.

Nueve ngulos de 20 cada uno de ellos equivalen a la medida de un ngulo recto.

()

Cuatro ngulos rectos equivalen a la medida del ngulo de una vuelta.

()

El ngulo obtuso es aquel cuya medida es menor que 180()

2. Complete de manera adecuada.

La cuarta parte de una vuelta es un ngulo ________________________.

10 es la ______________ parte de un ngulo recto.

179 + 60 es un ngulo _______________.

3. Calcular la diferencia entre la dcima parte de un ngulo de una vuelta y la quinta parte de un ngulo recto.a) 36

b) 18

c) 27

d) 30

e) 38

4. En cunto excede el duplo de un ngulo recto a la tercera parte del ngulo de una vuelta?

a) 30

b) 40

c) 50

d) 60

e) 70

5. El doble de la octava parte del ngulo de una vuelta es:

a) ngulo Recto

d) ngulo Llano

b) ngulo Agudo

e) N.A.

c) ngulo Obtuso

6. Calcular x + y

a) 76

b) 66

c) 86

d) 96

e) N.A.

7. La mitad de un ngulo llano es equivalente a suma de las medidas de dos ngulos que son proporcionales a 4 y 11. Hallar la diferencia de las medidas de dichos ngulos. a) 6

b) 12

c) 24

d) 36

e) 42

8. Calcular y ( x

a) 126

b) 12

c) 24

d) 36

e) 42

9. Calcular mBOC; si OA OD y mAOB = mCODa) 40b) 20c) 50d) 60e) 7010. Relacione de manera conveniente ambas columnas.a) Rayos perpendiculares ()ng. Llano

b) El doble de 46()ng. Recto

c) Rayos opuestos () ng. Agudo

d) La mitad de 94() ng. Obtuso

11. Hallar y + z

a) 100

b) 200

c) 300

d) 310

e) 320

12. Cul es el ngulo que al sumarle la mitad de la medida de un ngulo recto equivale a un ngulo llano menos 80?

a) 45

b) 55

c) 65

d) 75

e) 85

13. Si: mAOB = mBOC = mCOD

Calcular : mAOC

a) 60b) 120c) 130c) 140

d) 150

14. Si: mAOB = mBOC = mCOD. Calcular: mAOC

a) 30

b) 40

c) 50

d) 60

e) 70

15. Cunto hay que quitarle a la octava parte de una vuelta para obtener 25?

a) 25

b) 20

c) 30

d) 40

e) 50

16. Los ngulos consecutivos AOB, BOC, COD y DOE son congruentes. Hallar x.

a) 10

b) 20

c) 30

d) 40

e) 50

17. Si al doble del complemento de 80 se le resta el suplemento de 170 se obtiene.

a) 50

b) 40

c) 30

d) 20

e) 10

18. Hallar x a partir del grfico.

a) 20

b) 30

c) 40

d) 50

e) 60

19. Se tienen los ngulos consecutivos AOB, BOC y COD proporcionales a 1, 2 y 3 respectivamente. Si el mayor mide 75. Calcular la medida del AOD.

a) 75

b) 100

c) 125

d) 150

e) 175

20. Hallar mEOF a partir del grfico mostrado.

a) 20

b) 30

c) 40

d) 50

e) 60

Queridos Alumnos:

La semana antepasada estudiamos la clasificacin de los ngulos segn la medida que tenan. Hoy da, vamos a clasificarlos segn la relacin que guarda entre s.

1. ngulos Adyacentes

Son dos ngulos que tienen el vrtice y un lado comunes.

2. ngulos Consecutivos

Son tres o ms ngulos de vrtice comn y adyacentes de dos en dos.

AOB, BOC, COD, DOE: Consecutivos

O : Vrtice Comn

3. Opuestos por el Vrtice

Son dos ngulos que sin ser adyacentes tiene un vrtice en comn. Los lados de uno de ellos son rayos opuestos de los lados del otro.

Los ngulos opuestos por el vrtice son congruentes.

4. ngulos Complementarios

Son dos ngulos cuya suma de sus medidas es 90.

Complemento de un ngulo (C)

Es lo que le falta a un ngulo para tener 90 como medida.

Ejemplos

C(40) = 90 ( 40 = 50

C(60) = 90 ( 60 = 30

C(2930) = 90 ( 2930

ngulos Suplementarios

Son dos ngulos cuya suma de sus medidas es 180.

Suplemento de un ngulo (S)Es lo que le falta a un ngulo para tener 180 como medida.

Ejemplos:

S(100) = 180 ( 100 = 80

S(130) = 100 ( 130 = 50

S(11732) = 180 ( 11732

Como es sabido para la mayora de las personas, las matemticas representan un estudio bastante pesado e incluso llega a ser hasta odioso. Esto puede deberse principalmente a la formacin mal orientada en los primeros aos de estudios. Adems, a esto se le suma los exigentes y recios profesores con los que algunos se cruzan.

Sin embargo, alrededor de las matemticas tambin existe un mundo amable que no todos conocen, un mundo apartado de esa cortina de humo compuesta por frmulas, grficas y demostraciones, un mundo donde podrs encontrar desde poemas hasta problemas matemticos, pasando por chistes, curiosidades, pensamientos, historias, etc.

Si bien no resulta fcil cruzar esa enigmtica cortina de humo susodicha, los invitamos, queridos alumnos, a que se esfuercen por ingresar al mundo amable de las matemticas. Mucho depender de la predisposicin que manifiesten.

RECUERDEN : As como es imposible aprender a nadar sin sumergirse en el agua, as tambin ser imposible percibir la belleza de las matemticas sin empaparse completamente de ellas.

Crucen la cortina de humo y tengan la seguridad

de que no saldrn decepcionados!

SUS PROFESORES DE MATEMTICAS

NIVEL: SECUNDARIASEMANA N 1PRIMER AO

NGULOS SEGN SU MEDIDA

El Profe de Geo.

Fernandito

Savitri.

Cesitar

Todo ngulo tiene una determinada medida

1 vuelta 360

160'

1 60

1 3600

O

w

57

x

y

5y

3y

y

2x

x

5y

C

B

x

D

O

A

120

O

C

B

A

D

x

x

x

y

O

C

B

O

A

D

x

50

D

C

B

O

A

O

C

80

A

B

124

x

270

y

2y

y

2x

99

x

D

C

B

20

O

A

z

y

4x

O

3x

2x

C

D

O

A

B

O

D

C

B

A

60

B

A

C

D

E

O

x

4x(10

150

D

C

E

60

B

20

F

A

NGULOS SEGN SU POSICIN Y

SEGN SU SUMA

O

B

A

C

AOB y BOC: Adyacentes

O : Vrtice Comn

OB : Lado Comn

C

B

D

A

E

O

a

b

a = b

17960(

11732

16232

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