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7/21/2019 Ángulos y rectas.docx
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Ángulos y rectas
Relaciones entre parejas de ángulos
En casi todas las figuras geométricas donde intervengan rectas aparecen ángulos, los cuales es posible relacionaren cuanto a sus dimensiones y a su posición en el plano.
Así, dos ángulos pueden ser entre sí complementarios, suplementarios o adyacentes.
Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es90°
α + β son complementarios
α + β= 90°
Dos ángulos son suplementarios si lasuma de sus medidas es !0°
α + β son suplementarios
α + β = !0°
Dos ángulos son adyacentes si tienenun lado en com"n y los otros dos están
en la misma recta.
a es adyacente con b # A, $, % soncolineales &están en la misma recta', $(
lado com"n para a y b
"os ángulos adyacentes sonsuplementarios.
Rectas secantes y paralelas%omo ya vimos, por definición, un ángulo es una figura geométrica formada en una superficie por dos líneas rectas)ue parten de un mismo punto.
*i+ando nuestra atención en las rectas, sabemos )ue estas pueden ser secantes #$ue se cortan% o paralelas #$ueno se cortan nunca%.
(os rectas secantes se cortan en un punto y determinan cuatro ángulos. %ada ángulo tiene dos lados y un vértice.
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Esta construccción en el plano nos permite relacionar entre sí los ángulos así formados.
Ángulos opuestos por el &'rtice
on los ángulos formados por dos rectas )ue se cortan enun punto llamado &'rtice #(%.
α es opuesto por el vértice con β
) es opuesto por el vértice con *
%omo podemos verificar en la fígura- "os ángulos
opuestos por el &'rtice son iguales
Ángulos determinados por dos rectas paralelas y una secante
(os rectas paralelas cortadas por una tercera determinan ocoángulos-
Esta distribución numérica nos permite carecteri/ar pare+as deángulos seg"n su posición, aciendo notar )ue los ángulos , 1,2 y 3 son interiores #o internos% y )ue los ángulos , 4, 5 y !
son eteriores #o eternos% respecto a las rectas-
Ángulos internos #, -, y /%
6os ángulos internos a un mismo lado de la transversal a dos rectas paralelas son suplementarios &suman !07'
Ángulos y son suplementarios #suman !0% Ángulos - y / son suplementarios #suman !0%
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Ángulos eternos #, 1, 2 y !%
6os ángulos e8ternos a un mismo lado de la transversal a dos rectas paralelas son suplementarios.
Ángulos y 2 son suplementarios #suman !0% Ángulos 1 y ! son suplementarios #suman !0%
Ángulos correspondientes-
on a)uellos )ue están al mismo lado de las paralelas y al mismo lado de la transversal.
y son ánguloscorrespondientes
#iguales%, ∠ = ∠
1 y / son ánguloscorrespondientes
#iguales% ∠ 1 = ∠ /
y 2 son ánguloscorrespondientes
#iguales% ∠ = ∠ 2
- y ! son ánguloscorrespondientes
#iguales% ∠ - = ∠ !
Esta relación da pie para formular el siguiente postulado-
3i dos rectas paralelas son cortadas por una trans&ersal, entonces cada par de ángulos correspondientes escongruente entre s4.
Ángulos alternos internos-
on a)uellos ángulos interiores )ue están a distinto lado de la transversal y a distinto lado de las paralelas.
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y / son ángulos alternos internos ∠ = ∠ / - y son ángulos alternos internos ∠ - = ∠
Esta relación da pie para formular el siguiente postulado-
3i dos rectas paralelas son cortadas por una trans&ersal, entonces cada par de ángulos alternos internos escongruente entre s4.
Ángulos alternos eternos5
on a)uellos ángulos e8teriores )ue están a distinto lado de la transversal y a distinto lado de las paralelas.
y ! son ángulos alternos eternos ∠ = ∠ ! 1 y 2 son ángulos alternos eternos ∠ 1 = ∠ 2
Esta relación da pie para formular el siguiente postulado-
3i dos rectas paralelas son cortadas por una trans&ersal, entonces cada par de ángulos alternos eternos escongruente entre s4.
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Ángulos en un triágulo
6os ángulos )ue se forman en un triángulo se relacionan entre sí cumpliendo con las siguientes propiedades ocaracterísticas-
.6 "a suma de los ángulos internos de untriágulo es igual a dos ángulos rectos7 es decir,
suman !0.
En la figura, α + ) + 8 = !0. ecordar )ue ) = β y)ue 8 = * por ser ángulos alternos internos.
1.6 "a suma de los ángulos agudos de un triángulorectángulo es igual a 90.
En la figura, α + β = 90
.6 n todo triángulo, la medida de un ánguloeterno es igual a la suma de las medidas de los
ángulos internos no contiguos #opuestos%.
En la figura, β = α + 8
-.6 n todo triángulo la medida de un ánguloeterno es mayor $ue la de cual$uier ángulo
interior no adyacente.En la figura,
β : #es mayor $ue% α
β : #es mayor $ue% e
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.6 "a suma tres ánguloseteriores de cual$uier triángulo
&ale cuatro ángulos rectos7 esdecir, suman /0.
En la figura, α + β + ) = /0
Ángulos en la circun;erencia
(ibu+ando líneas )ue estén dentro de una circun;erencia o )ue tengan relación con ellapodemos definir distintos tipos de ángulos, como se aprecia en la figura a la dereca-
(onde-
* #delta% = ángulo inscrito &5,157', con el &'rtice sobre la circunferencia y con lados )ueson cuerdas de la misma.
α #al;a% = ángulo semiinscrito &1,3!7' , cuyo &'rtice está en la circunferencia y tiene unlado )ue es tangente en dico vértice y el otro )ue es una cuerda.
) #gama% = ángulo central o del centro &12,147', con el &'rtice en el centro de lacircunferencia y con sus lados coincidentes con radios.
β #<eta% = ángulo interior &15,7', con sus lados )ue son cuerdas de la circunferencia y con el &'rtice situado en elinterior de la misma.
A continuación veremos algunas características de estos ángulos y anali/aremos ciertas relaciones entre ellos.
Ángulo inscrito en la circun;erenciaEl ángulo inscrito en una circunferencia es a)uel )ue tiene su vértice sobre la circunferenciay cuyos lados son dos cuerdas de la misma &si las cuerdas se prolongan, diremos )ue sondos rectas secantes'.
En la figura a la i/)uierda, vemos varios ángulos inscritos )ue abarcan o subtienden el arcoD.
:odos miden lo mismo &5,157', por ello, podemos afirmar )ue >los ángulos inscritos $uea<arcan el mismo arco son iguales?.
En nuestro e+emplo, son iguales los ángulos de vértices @, A, B, C.
:ambién debemos recordar )ue un ángulo inscrito &ale la mitad del arco $ue a<arca .
El ángulo se e8presa en grados. El valor de un arco se e8presa en grados ycoincide con el valor del ángulo del centro correspondiente.
%uando el arco comprendido entre los radios tiene la longitud de éstos, el valor del ángulocentral es un radián, una circunferencia tiene pues 1 radianes.
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Ángulo central o del centro en la circun;erenciaEl ángulo central o del centro es el )ue tiene el vértice en el centro de la circunferencia,siendo sus lados dos radios.
En la figura a la dereca, vemos )ue el ángulo del centro dibu+ado, con vértice en ;, abarcao subtiende el arco B.
Al respecto, debemos reiterar )ue >l ángulo del centro mide lo mismo $ue el arco $uea<arca?.
En la misma figura de la dereca se dibu+ó un ángulo inscrito #α = 2,% )ue subtiende oabarca el mismo arco )ue el ángulo del centro #) = 2-,/%< en dica situación &y los valoresindicados lo confirman', =Euando un ángulo inscrito y un ángulo del centro de unacircun;erencia a<arcan el mismo arco, el ángulo inscrito &ale la mitad $ue el delcentro?.
(er5 F3G5 Beometr4a7
Fregunta 0/H100
Fregunta 0H100
Es importante notar )ue dospuntos, A y @, sobre una
circunferencia determinan dosarcos y, por tanto, dos ángulos
centrales-
uno cInca&o #α = 0,/!% y
uno con&eo #β = 119,1% ,
o los dos iguales, )ue sumarán/0.
6os ángulos inscritos #) = /,-y * = -,// en la ;igura de laderecJa% )ue subtienden los
mismos arcos )ue subtienden losángulos del centro mencionados,
serán suplementarios, puessumarán siempre !0.
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Ángulo semiinscrito en la circun;erencia
El ángulo semiinscrito tiene el vértice A en la circunferencia, siendo sus lados la recta t tangente en A y la cuerda A@ &figura a la i/)uierda'.
6a tangente, )ue es perpendicular al radio, es lado de dos ángulos semiinscritos y cada unosubtiende un arco diferente.
>n ángulo semiiscrito &en la figura es * = /2,' vale la mitad )ue el ángulo del centro &α =' )ue abarca el arco A@.
?ótese )ue en la figura están dados los valores de los ángulos y es fácil comprobar lo antesdico, pero para comprobarlo de modo general, sin saber los valores, calculamos el valor delángulo central así-
,
por pertenecer al triángulo isIsceles A@E &recordar )ue los ángulos interiores de cual)uiertriángulo suman !07, y )ue el triángulo isósceles tiene dos ángulos iguales'.
Entonces, calculamos el valor del ángulo * semiinscrito-
El ra/onamiento es el mismocuando el ángulo semiiscrito
#K #Leta% = 1,% abarca elotro arco definido por A@.
Ángulo interior en la circun;erenciaEl ángulo interior α tiene el vértice en un punto interior de la circunferencia, en el c4rculo.us lados son dos rectas secantes.
El ángulo interior , siendo * y 8 los ángulos centrales de los arcos &A% y($' definidos por las rectas secantes.
@amos a comprobarlo-
%onsideramos el triángulo escaleno ABD-
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el ángulo , pues es el ángulo inscrito )ue abarca el arco AE<
el ángulo , pues es el ángulo inscrito )ue abarca el arco D@<
entonces el ángulo , por lo tanto,
Ángulos eteriores a la circun;erencia
El ángulo eterior 8 tiene el vértice &A' en un punto e8terior a la circunferencia. us ladosson dos rectas secantes #A@ y AE%.
El ángulo e8terior , siendo α y β los ángulos centrales de los dos arcosdefinidos por las dos rectas secantes.
@amos a comprobarlo-
%onsideramos el triángulo escaleno AD@5
el ángulo , pues es el ángulo inscrito )ue abarca el arco D<
el ángulo , pues es el ángulo inscrito )ue abarca el arco @E<
el ángulo , suplementario de ED@<por lo tanto, el ángulo
ay otros dos casos de ángulos e8teriores, seg"n sus lados sean secantes o tangentes a lacircunferencia-
El ángulo eterior circunscrito α &figura de la i/)uierda' tiene los dos lados tangentes a lacircunferencia< α = !0 M ), siendo ) el ángulo central @NE definido por las tangentes.
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@amos a comprobarlo-
El cuadrilátero A@NE cumple, como tal, )ue la suma de sus ángulos interiores es 307.
iendo dos de sus ángulos rectos #β y *% , resulta )ue !0 = α + ),
luego α = !0 M ).
El ángulo eterior circunscrito ) tiene un lado secante y otro tangente a la circunferencia&figura a la dereca'.
El ángulo eterior , siendo α y β los ángulos centrales de los arcosdefinidos por sus lados.
@amos a comprobarlo-
%onsideramos el triángulo escaleno A@E-
el ángulo , pues es el ángulo inscrito )ue abarca el arco ED<
el ángulo , pues es el ángulo suplementario de *, ángulosemiinscrito )ue abarca el arco $%<
el ángulo
uente Onternet5
Jttp5PPQQQ.educared.orgPQiiducaredPSES!ngulosHenHlasHcircun;erencias.Jtml
"os contenidos de Tiillerato están disponi<les <ajo una licencia de Ereati&e Eommons. Fueden utiliLarse yredistri<uirse li<remente siempre $ue se reconoLca su procedencia
jercicios de geometr4a !
jercicio %
i
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calcular-
jercicio 1%
i bisectri/ del , calcular
jercicio %
i
encuentre la medida de
jercicio -%
En la figura, , entonces cuál&es' de las siguientes relaciones son siempreverdaderas-
Alternati&as
a' solo Bb' solo BBc' solo BBBd' B, BB y BBBe' B y BB
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