PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE ÁNGULOS

1. Encontrar la medida de un ángulo; sabiendo que dicho ángulo es igual a un octavo de su suplemento.a. 10o b. 20o c. 25o d. 30o e. 45o

Resolución Sea “Ф” la medida del ángulo.

Suplemento de Ф = 180o – Ф ……………………. (1).Del dato:

…………………………….(2).Reemplazando (1) en (2):

Ф = 20o Rpta. B

2. La diferencia entre el suplemento y el complemento de la medida de un ángulo es igual al séxtuplo de la medida del ángulo. ¿Cuánto mide el ángulo?a. 10o b. 15o c. 20o d. 30o e. 60o

Resolución Sea “Ф” la medida de un ángulo.

Suplemento de Ф = 180o – Ф ……………………. (1).Suplemento de Ф = 90o – Ф ……………………. (2).

Del dato:Suplemento de Ф – complemento de Ф = 6. Ф……………….(3)Reemplazando (1) y (2) en (3):

(180o – Ф) – (90o – Ф) = 6. Ф180o – Ф – 90o + Ф = 6. Ф90o = 6. Ф Ф = 15o Rpta. B

3. El suplemento del complemento del suplemento de la medida de un ángulo es igual a ocho veces la medida del ángulo. Encontrar el suplemento del triple de la medida del ángulo.a. 100o b. 120o c. 60o d. 90o e. 80o

Resolución Sea “Ф” la medida de un ángulo.

Suplemento de Ф = 180o – Ф Complemento del Suplemento de Ф = 90o – (180o – Ф)

Suplemento del complemento del suplemento de Ѳ = 180o – [90o-(180o - Ѳ)] ……….. (1).Del dato:Suplemento del complemento del suplemento de Ѳ = 8.Ѳ……………(2).Reemplazando (1) en (2):180o – [90o - (180o - Ѳ)] = 8.Ѳ180o – [90o - (180o + Ѳ)] = 8.Ѳ

180o – 90o + 180o – Ѳ = 8.Ѳ 270o = 9.ѲѲ = 30o Rpta. 30o

Nos piden:Suplemento de 3.Ѳ = 180o – 3.ѲSuplemento de 3.Ѳ = 180o – 3.30o

Rpta. D

PROPIEDADES a. PROPIEDAD DEL ÁNGULO RECTO.- Cuando a un ángulo recto se le divide en varios ángulos

consecutivos, las medidas de dichos ángulos suman 90o.

b. PROPIEDAD DEL ÁNGULO LLANO.- Cuando a un ángulo llano se le divide en varios ángulos consecutivos, las medidas de dichos ángulos suman 180o.

c. PROPIEDAD DEL ÁNGULO DE UNA VUELTA.- Las medidas de los ángulos consecutivos que completan una vuelta suman 360o.

AB

C

D

α β

δ

α + β + δ = 90o

C

BD

Eα

β Ф

α + β + Ф + Ѳ = 180o

AѲ

O

α + Ф + δ + Ѳ + β = 360o

A

BC

D

E

α

β OѲ

Фδ

d. TEOREMA.- Las bisectrices de dos ángulos adyacentes suplementarios forman un ángulo que mide 90o.

SUPLEMENTO DE UN ÁNGULOEs lo que le falta al ángulo para ser igual a 180 o. Sea la medida de un ángulo igual a 86 o. Su suplemento es: Suplemento de 86 o = 180o – 86o = 94o. Suplemento de 86o = 94o

Se simboliza S86 = 94o

COMPLEMENTO DE UN ÁNGULOEl complemento de un ángulo es lo que le falta al ángulo para ser igual a 90o. sea la medida de un ángulo igual a 38o. Su complemento es: Complemento de 38 o = 90o – 38o = 52o. Complemento de 38o = 52o

Se simboliza S38 = 52o

SEGÚN SUS CARACTERÍSTICAS1. Ángulos Complementarios.

Son dos ángulos cuyas medidas suman 90o.

2. Ángulos Suplementarios.Son dos ángulos cuyas medias suman 180 o.

3. Ángulos Adyacentes.Son dos ángulos que tienen el vértice y un lado común, el lado común es intermedio.

M

Cα βA

O

βα

N

B

En general: Si θ es la medida de un ángulo su suplemento es:

Sθ = 180o - θ

En general: Si φ es la medida de un ángulo su complemento es:

Cφ = 90o - φ

BA

D

C

AB

CVértice común

Lado común

O

Los ángulos AOB Y BOC son adyacentes

4. Ángulos Consecutivos.Son dos o más ángulos adyacentes.

5. Ángulos Adyacentes Suplementarios.Son dos ángulos adyacentes y suplementarios.

6. Ángulos Opuestos por el Vértice. Son dos ángulos en los cuales los lados de uno de ellos, son las prolongaciones de los lados del otro, estos dos ángulos son congruentes.

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOSSegún su Medida 1. Ángulo Nulo.

Los dos lados coinciden, su medida de 0o.

2. Ángulos Convexos.

AC

B

DO

A

B

CO

A1

B1

A

B

O AB

Los ángulos AOB Y BOC, COD son consecutivos

O

B

A

a. Ángulo agudo.- Su medida es menor que 90o.

b. Ángulo recto.- Su medida es igual a 90o.

B

AO90o

B

AO

El cuadrado indica que el ángulo mide

O

B

A

C. Ángulo Obtuso.- Su medida es mayor que 90o, pero menor que 180o.

3. Ángulo Llano.La medida del ángulo llano es igual a 180o.

4. Ángulo no convexo.Su medida es mayor que 180o, pero menor que 360o.

5. Ángulo de una vuelta. La medida de un ángulo de una vuelta es igual a 360o.

BISECTRIZ DE UN ÁNGULOEs el rayo que partiendo del vértice, divide al ángulo en dos ángulos parciales congruentes.

CONGRUENCIA DE ÁNGULOSDos ángulos son congruentes cuando sus medidas son iguales.

Ejemplo. Al medir con un transportador encontrará que:

Se lee: “el ángulo AOB es congruente con el ángulo DEF”.

A BO

OA

B

O AB

F

A

BO

αα

A

BO

F

DE50o 50o

MEDIDA DE UN ÁNGULO

Los ángulos se miden en grados sexagesimales (o), la medida de un ángulo se encuentra usando un instrumento llamado transportador.

Cuando no se conoce la medida de un ángulo, se acostumbra escribir una variable (generalmente una letra griega) en la abertura, para indicar su medida.

DEFINICIÓN Y ELEMENTOSSe llama ángulo a la abertura que forman dos rayos que tienen el mismo origen. Los elementos de un ángulo son los siguientes:Lados.- Son los dos rayos.Vértice.- Es el origen de los dos rayos.

L

EFβ

B

A O

Se lee: “medida del ángulo AOB igual a alfa”.

α

Se lee: “medida del ángulo EFL igual a beta”

Algunas letras del alfabeto griego son:Símbolo Nombre

α alfaβ betaγ gammaθ thetaπ piσ sigmaφ phiω omega

B

AO60o

B

AO

Elementos:

Vértice: O

Designación: Ángulo AOB