Anillos

De�nición 1 Se dice que la tripleta (R,+, ·) es un anillo si R es un conjunto, (R,+) es un grupo abeliano y laoperación · cumple con:

1. a · (b · c) = (a · b) · c (Asociativa)

2. a · (b+ c) = a · b+ a · c (Distributiva por izquierda)

(b+ c) · a = b · a+ c · a (Distributiva por derecha)

De�nición 2

1. Si · es conmutativo, R se llama anillo conmutativo

2. Si · tiene 1R tal que a · 1R = 1R · a = a, entonces R se llama anillo con identidad.

Ejemplo 3

1. Q, Z, Z/nZ son anillos conmutativos con identidad

2. 2Z = {2k/ k ∈ Z} es anillo conmutativo sin identidad

3. Los cuaterniones de Hamilton o cuaterniones racionales (reales)

H = {a+ bi+ cj + dk, a, b, c, d ∈ R}

con las operaciones así de�nidas:Suma:

(a+ bi+ cj + dk) + (a+ bi+ cj + dk) = (a+ a) + (b+ b)i+ (c+ c)j + (d+ d)k

Producto:

(a+ bi+ cj + dk) · (a+ bi+ cj + dk) =aa− bb− cc− dd+ i(ab+ ba+ cd− dc) + j(ac− bd+ ca+ db) + k(ad+ bc− cb+ da)

y las relaciones:

i2 = j2 = k2 = −1, ij = k, jk = i, ki = j, ik = −j, kj = −i, ji = −k

De�nición 4 Un anillo donde todo elemento no nulo tiene inverso respectoa · se dice anillo de división

Ejemplo 5

1. Q, H son anillos de división. Para H se tiene,

(a+ bi+ cj + dk)−1 =a− bi− cj − dka2 + b2 + c2 + d2

2. Z no es un anillo de división

1

Proposición 6 Sea R un anillo

1. 0 · a = a · 0 = 0

2. (−a) · b = a · (−b) = −ab

3. (−a)(−b) = ab

4. Si R tiene identidad 1R. Entonces existe −a = (−1R)a y 1R es único

De�nición 7 Sea R un anillo

1. Sea 0 6= a ∈ R y existe b 6= 0 tal que ab = 0, entonces a se llama divisor de cero. Un anillo que tiene talelemento a se dice anillo con divisores de cero

2. Sea u ∈ R y supongamos que R tiene identidad 1. Si existe v ∈ R tal que uv = vu = 1, entonces u se llamauna unidad de R y ponemos R× = {u ∈ R/u es unidad}

Ejemplo 8

i) en Z, Z× = {1,−1}

ii) en Q, Q× = Q− {0}

iii) en Z/nZ, (Z/nZ)× = {a / (a, n) = 1}

iv) ¾Z/nZ tiene divisores de cero? Respuesta: SI

(a, n) = d =⇒ a = dk, n = db

ab = dkn

d≡ 0modn

v) Sea D ∈ Z, libre de cuadrados Q ⊂ Q(√D) = {a+ b

√D/ a, b ∈ Q}

a) Se suman como términos semejantes

b) Producto termino a término

Ambas operaciones hacen de (Q(√D),+, ·) un anillo conmutativo con identidad. Además,

si a+ b√D ∈ Q(

√D), entonces:

(a+ b√D)−1 =

a− b√D

a2 − b2D

Con esto, Q(√D) es un cuerpo

De�nición 9

1. Si R es un anillo conmutativo, con identidad y sin divisores de cero, R se llama dominio de integridad ointegral

2. Si R es un dominio integral y R = R× ∪ {0}, entonces R se llama cuerpo o campo

Proposición 10 Sean a, b, c ∈ R, a no divisor de cero. Entonces si ab = ac⇒ a = 0 ∨ b = c

Corolario 11 Cualquier dominio integral �nito es un cuerpo

Dem. Sea R un dominio integral y sea a un elemento no cero de R. Por la ley de cancelación, la aplicación

x 7→ ax es inyectiva. Puesto que R es �nito, la aplicación también es sobreyectiva. En particular, existe un

elemento b ∈ R tal que ab = 1, es decir, a es una unidad en R y como a es un elemento arbitrario distinto de

cero, R es un cuerpo

2

De�nición 12 Un subanillo de un anillo R en un subgrupo de R que es cerrado bajo la multiplicación

Ejemplos de Anillos: Anillos de polinomios y Anillos de Matrices.Anillos de Polinomios:

Fijemos un anillo R con identidad y sean a0, a1, . . . , an ∈ R. Sea x una indeterminada. La suma formal

p(x) = anxn + an−1x

n−1 + . . .+ a1x+ a0

con n ≥ 1 se llama polinomio en x con coe�cientes en R. Si an 6= 0, el polinomio se dice que tiene grado n y se

anota grad(p(x)) = n. El polinomio es mónico si an = 1. El conjunto de estos polinomios se llama el anillo de

polinomios en la variable x con coe�cientes en R y se denota por R[x] La adición y multiplicación en R[x], es lausual para polinomios y se hereda de las operaciones en R

Proposición 13 Sea R un dominio integral y sea p(x), q(x) dos elementos no cero de R[x]. Entonces:

1. grad(p(x) · q(x)) = grad(p(x)) + grad(q(x))

2. Las unidades de R[x] son justamente las unidades de R

3. R[x] es un dominio integral

Dem. Si R no tiene divisores de cero, entonces tampoco los tiene R[x]; si p(x) y q(x) son polinomios con termino

principal anxn y bmx

m respectivamente, entonces el termino principal de p(x)·q(x) será an ·bmxm+n, y an ·bm 6= 0.Con esto hemos probado 1 y 2. Si p(x) es una unidad, entonces existe q(x) ∈ R[x] tal que p(x) · q(x) = 1 en R[x],entonces grad(p(x) · q(x) = 0, lo que implica que ambos p(x) y q(x) son elementos de R, es decir, son unidades

en RAnillos de Matrices:Fijemos un anillo R arbitrario y n un entero positivo. Sea Mn(R) el conjunto de todas las matrices de n × ncon entradas en R. Los elementos (aij) de Mn(R) es un arreglo cuadrado de n× n, con elemento s en R y cuya

entrada en la �la i y columna j es aij ∈ R. El conjunto de estas matrices forma un anillo con la suma y producto

usual de matrices. La adición es componente a componente: la entrada i, j de la matriz (aij) + (bij) es aij + bij

y la entrada i, j de la matriz producto (aij) × (bij) esn∑

k=1

aikbkj . Note que si R es cualquier anillo no trivial y

n ≥ 2 entonces Mn(R) es no conmutativo: si ab 6= 0 en R, sea la matriz A con a en la posición 1,1 y ceros en el

resto y sea B la matriz con b en la posición 1,2 y ceros en el resto; entonces el producto de las matrices AB sera

la matriz no cero, mientras que la matriz BA si será la matriz cero. Estas dos matrices muestran que Mn(R) es

no conmutativo y además posee divisores de cero con n ≥ 2.

Homomor�smos de Anillos y Anillos Cuocientes

De�nición 14 Sean R y S anillos

1. Un homomor�smo de anillos es una aplicación ϕ : R→ S que satisface

a) ϕ(a+ b) = ϕ(a) + ϕ(b), ∀a, b ∈ R (tal ϕ es un homomor�smo de grupos aditivos)

b) ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b), ∀a, b ∈ R

2. El kernel de un homomor�smo de anillos ϕ, denotado por ker(ϕ), es el conjunto de elementos de R que seaplican al cero de S (es decir, el kernel de ϕ visto como homomor�smo de grupos aditivos)

3. Un homomor�smo de anillos biyectivo es llamado un isomor�smo.

3

Proposición 15 Sean R y S anillos y sea ϕ : R→ S un homomor�smo. Entonces

1. La imagen de ϕ es un subanillo de S

2. El kernel de ϕ es un subanillo de R. Más aún, si α ∈ ker(ϕ), entonces rα y αr ∈ ker(ϕ) para todo r ∈ R,es decir, ker(ϕ) es cerrado bajo la multiplicación por elementos de R

Dem.

1. Si s1, s2 ∈ Im(ϕ), entonces s1 = ϕ(r1) y s2 = ϕ(r2), para algún r1, r2 ∈ R. Entonces ϕ(r1− r2) = s1− s2 y

ϕ(r1r2) = s1s2. Esto muestra que s1 − s2, s1s2 ∈ Im(ϕ). Así la imagen de ϕ es cerrada bajo la sustracción

y bajo multiplicación, lo que implica que sea un subanillo de S.

2. Si α, β ∈ ker(ϕ), entonces ϕ(α) = ϕ(β) = 0. Así ϕ(α − β) = 0 y ϕ(αβ) = 0 y ker(ϕ) es cerrado bajo la

sustracción y bajo multiplicación y con esto es un subanillo de R. De la misma forma, para cualquier r ∈ Rtenemos que ϕ(rα) = ϕ(r)ϕ(α) = ϕ(r) · 0 = 0, y ϕ(αr) = ϕ(α)ϕ(r) = 0 · ϕ(r) = 0. Así rα, αr ∈ ker(ϕ)

De�nición 16 Sea R un anillo, sea I un subconjunto de R y r ∈ R

1. rI = {ra| a ∈ I} y Ir = {ar| a ∈ I}

2. Un subconjunto I de R es un ideal izquierdo de R si:

i) I es un subanillo de R

ii) I es cerrado bajo la multiplicación izquierda por elementos de R, es decir, rI ⊆ I, ∀r ∈ R.Similarmente, I es un ideal derecho si se cumple i) y en vez de ii) tenemos

ii') I es cerrado bajo la multiplicación derecha por elementos de R, es decir, I ⊆ rI, ∀r ∈ R

3. Un subconjunto I que es ideal derecho e izquierdo se llama ideal bilateral de R(o simplemente ideal de R)

Proposición 17 Sea R un anillo y sea I un ideal de R. Entonces el grupo cuociente (aditivo) R/I es un anillobajo las operaciones:

(r + I) + (s+ I) = (r + s) + I

(r + I)× (s+ I) = (rs) + I

para todo r, s ∈ R.

De�nición 18 Cuando I es un ideal de R el anillo R/I con las operaciones antes de�nidas, se llama el anillocuociente de R por I

Teorema 19 Sean R y S anillos:

1. (Primer Teorema del Isomor�smo para Anillos) Si ϕ : R→ S es un homomor�smo de anillos, entonces elkernel de ϕ es un ideal de R, la imagen de ϕ es un subanillo de S y R/ker(ϕ) es isomorfo al anillo ϕ(R)

2. Si I es cualquier ideal de R, entonces la aplicación

R→ R/I de�nida por r 7→ r + I

es un homomor�smo sobreyectivo de anillos con kernel I (este homomor�smo es llamado la proyecciónnatural de R en R/I

3. (Segundo Teorema del Isomor�smo para Anillos) Sea A un subanillo y B un ideal de R. Entonces A+B ={a+ b| a ∈ A, b ∈ B} es un subanillo de R, A ∩B es un ideal de A y (A+B)/B ∼= A/(A ∩B)

4

4. (Tercer Teorema del Isomor�smo para Anillos) Sean I y J ideales de R con I ⊆ J . Entonces J/I es unideal de R/I y (R/I)/(J/I) ∼= R/J .

5. (Cuarto Teorema del Isomor�smo para Anillos) Sea I un ideal de R. La correspondencia

A↔ A/I

es una inclusión que preserva una biyección entre el conjunto de subanillos A de R que contienen a I y elconjunto de subanillos de R/I. Además, A (un subanillo que contiene a I) es un ideal de R si y sólo siA/I es un ideal de R/I

Proposición 20 Sea I un ideal de R

1. I = R si y sólo si I contiene una unidad.

2. Supongamos R conmutativo. Entonces R es un cuerpo si y sólo si los únicos ideales son R y 0

Dem.

1. Si I = R, entonces I contiene la unidad 1. Inversamente, si u es una unidad en I con inverso v, entoncespara algún r ∈ R

r = r · 1 = r(vu) = (rv)u ∈ Ientonces R = I

2. El anillo R es un cuerpo si y sólo si todo elemento no cero es una unidad. Si R es un cuerpo, todo ideal no

cero contiene una unidad, así por la primera parte, R es el único ideal no cero. Inversamente, si 0 y R son

los únicos ideales de R, sea u un elemento distinto de cero de R. Por hipótesis < u >= R y así 1 ∈< u >.Entonces existe algún v ∈ R tal que 1 = uv, es decir, u es una unidad. Todo elemento de R es por lo tanto

una unidad y así R es un cuerpo.

Corolario 21 Si R es un cuerpo entonces cualquier homomor�smo (no cero) de anillos de R en cualquier otroanillo es inyectivo

Dem. El kernel de un homomor�smo de anillos es un ideal. El kernel de un homomor�smo no cero es un ideal

propio, entonces el kernel es cero por la proposición anterior.

De�nición 22 Un ideal M en un anillo arbitrario S se llama un ideal maximal si M 6= S y los únicos idealesque contienen a M son M y S.

Proposición 23 En un anillo con identidad, todo ideal propio esta contenido en un ideal maximal

Proposición 24 Sea R un anillo conmutativo. El ideal M es maximal si y sólo si el anillo cuociente R/M esun cuerpo

Dem. El ideal M es maximal si y solo si no existen ideales I tales que M ⊂ I ⊂ R. Por el cuarto teorema del

isomor�smo para anillos, los ideales de R que contienen a M corresponden en biyeccion a los ideales de R/M ,

asi M es maximal si y sólo si los unicos ideales de R/M son 0 y R/M , es decir, R/M es un cuerpo.

De�nición 25 Sea R un anillo conmutativo. Un ideal P es llamado ideal primo si P 6= R y cada vez que elproducto de dos elementos a, b ∈ R, es un elemento de P , ab ∈ P , entonces al menos uno de los dos es unelemento de P (o a ∈ P o b ∈ P )

Proposición 26 Sea R un anillo conmutativo. Entonces el ideal P es un ideal primo de R si y sólo si el anillocuociente R/P es un dominio integral

Corolario 27 Sea R anillo conmutativo. Entonces todo ideal maximal de R es un ideal primo.

Dem. Si M es un ideal maximal, entonces R/M es un cuerpo, y un cuerpo es en particular un dominio integral

5