análisis de estructuras - Universidad ORT Uruguayfa.ort.edu.uy/10649/8/analisis-de-estructuras---arq-julio-bort... · análisis de estructuras Universidad ORT Uruguay Facultad de

anlisis de

estructuras

Facultad de Arquitectura

Arq. Julio C. Borthagaray

ISBN 978-9974-8379-4-2

Empresa Grfica Mosca

Depsito Legal: 342.010

Esta publicacin es entregada en forma gratuita, como material didctico de apoyo a carreras y cursos dictados por la Universidad ORT Uruguay.

Toda referencia a marcas registradas espropiedad de las compaas respectivas. Diciembre 2006.

anlisis de

estructuras

Universidad ORT UruguayFacultad de Arquitectura

Facultad de ArquitecturaDecano: Arq. GAstn Boero

secretaria Docente: Arq. GrAziellA BlenGio

Catedrtico del rea tecnologa: Arq. wAlter GrAio

editor tcnico: Arq. Julio C. BorthAGArAy

Corrector tcnico: Arq. hAroutun ChAmliAn

Correccin: ren fuentes

Diseo y armado: PABlo Gonzlez

Arq. Julio C. BorthAGArAy

Facultad de Arquitectura - Universidad ORT Uruguay

ndice

Prlogo.......................................................................................................................................................................................... 1

1...Estudio.de.estructuras.hiperestticas.planas............................................................................................... 2

Clculo.de.deflexiones.en.estructuras.de.alma.llena.y.en.estructuras.reticulares..............................................................12

Clculo.de.estructuras.hiperestticas.planas.de.alma.llena.y.estructuras.hiperestticas.planas.y.reticuladas..................20

2...Trazado.de.las.lneas.elsticas.de.estructuras.planas..........................................................................41

3...Deformaciones.elsticas.en.estructuras.reticuladas.planas.............................................................59

4...Estudio.sobre.vigas.continuas.............................................................................................................................. 68

Arquitectura MANUAL.indd 1 22/02/2007 04:16:28 p.m.

Facultad de Arquitectura - Universidad ORT Uruguay


Facultad de Arquitectura - Universidad ORT Uruguay -

Arq. Julio C. BorthAgArAy

Despus de haber ejercido la profesin de arquitecto, desde 1962 hasta

1996, y la docencia, desde 1962 hasta la fecha, hoy decido publicar este

modesto estudio. Reno aqu el material en que bas mis clases sobre el anli-

sis y el clculo de las estructuras hiperestticas planas reticuladas y de alma

llena, clculo de corrimientos y un estudio sobre vigas continuas, aplicable a

computadoras.

Quienes me permitieron lanzarme a esta aventura fueron dos maravillosos

profesores, a quienes debo mi formacin tcnica, el Ing. Flix de Medina y el

Arq. Alberto Sayagus Laso. A la memoria de ellos, mi reconocimiento.

............................................Julio.C..BorThagaray

Prlogo


- Facultad de Arquitectura - Universidad ORT Uruguay

anlisis.DE.EsTruCTuras

P1P2

P3

MVF

P1P2

P3

X2

X1

X3

P1

P2

P3

X1X2

X3Mo M1 M2 M3

1.0 Estudiodeestructuras hiperestticasplanas

El mtodo general que vamos a utilizar para estudiar estructuras hiperestticas, cualquiera

sea su grado de hiperestaticidad, ser el conocido como mtodo de las fuerzas. Tendremos que basarnos en dos principios fundamentales:

1) Todo cuerpo ligado al suelo puede considerarse como libre, reemplazando los vnculos por fuerzas y momentos adecuados, llamados reacciones o fuerzas y momentos reactivos para distinguirlos de las fuerzas activas o directamente aplicadas.

2) Las solicitaciones (M, V, F) en una estructura que corresponde a los estados de carga superpuestos (P1 + P2 + P3) son la suma algebraica [(M1+ M2+ M3), (V1 + V2 + V3), (F1+ F2 + F3)] de las solicitaciones para cada estado considerado aisladamente. En las cargas se consideran las directamente aplicadas y las reactivas.

Veamos el ejemplo siguiente:

Nuestro problema radica en la determinacin de las incgnitas hiperestticas X1, X2, X3.Para ello vamos a aplicar el mtodo de los Trabajos virtuales. Es el medio ms general

y ms exacto para el estudio de los sistemas rgidos y, especialmente, los elsticos. Antes de entrar en su anlisis con detenimiento, vamos a repasar algunos conceptos bsicos vistos en los cursos de Fsica Aplicada. El primero de ellos es el concepto de trabajo.

TraBaJo

En la vida corriente, la palabra trabajo se aplica a cualquier forma de actividad que requiera el ejercicio de una actividad muscular o intelectual. En Fsica, la acepcin es otra. Tomemos un cuerpo que se mueve en el plano horizontal (XX). Sobre l acta una fuerza F, que abre un ngulo con la direccin del movimiento.




El trabajo (dT) realizado por la fuerza F mientras el cuerpo se ha desplazado una distancia dx, se define como el producto del des-plazamiento, por la componente de la fuerza en la direccin del movi-miento.

dT = F cos dx

El trabajo T ejecutado en un desplazamiento finito desde la abscisa X1 hasta la X2 ser:

T =

En el caso ms general, tanto la direccin de la fuerza dada por el ngulo como su inten-sidad pueden variar a lo largo del movimiento. Para calcular la integral es preciso conocer F y en funcin de X.

Cuando la fuerza F permanece constante en magnitud y direccin

T = F cos = F cos (X2 X1) Si la fuerza es constante y la direccin es la del movimiento = 0; cos = 1 T = F (X2 X1)Es decir, en este caso especial, el trabajo realizado por la fuerza es igual al producto de sta

por el desplazamiento.Vamos a ver ahora qu sucede cuando aplicamos una fuerza a una pieza elstica de estructura

capaz de deformarse:

La fuerza exterior realiza un trabajo al desplazarse su punto de aplicacin. Debemos tener en cuenta que el desplazamiento del punto B es funcin de la carga P y de las caractersticas geomtrico-mecnicas de la pieza (E, I).

= P ( depende de la forma y del ma-

terial que constituye la barra.)

P

A

B

=

2

1cos

x

xdxFdT

2

1

x

xdx




Calculamos el trabajo de la fuerza aplicada estticamente; esto es, el de una fuerza que crece al desarrollarse las deformaciones, muy lentamente desde su valor inicial hasta su valor final.

Desde P = 0 hasta P = P final

dT = (P + dP) d de donde dT = P d + dP d dP d cantidad despreciable por ser infinitsimo de 2 ordendT = P d como = P d = dP

dT = P dP de donde T = =

PfinalPdPdT

0

Pfinal T = [P2/2]

0 de donde T = Pfinal2

2 Pfinal PfinalP

final = f como T = = f Pf

2 2

Se dice entonces que el trabajo de deformacin de una fuerza aplicada estticamente (cre-ciendo lentamente) a una barra elstica es igual al producto del valor final de la fuerza por el desplazamiento o deformacin final dividido 2.

Vamos a introducir ahora el concepto de TRABAJO VIRTUAL. Para ello nos basamos en el principio de los desplazamientos virtuales, presentado en 1717, por Johanes Bernoulli (1667-1748). Este principio establece: Dado un cuerpo rgido mantenido en equilibrio por un sistema de fuerzas y/o pares, el trabajo virtual total efectuado por este sistema de fuerzas y/o pares durante un desplazamiento virtual es nulo. (Kinney, 1960, pg. 76).

Trabajo virtual = Fuerza real * desplazamiento virtualTrabajo virtual = Fuerza virtual * desplazamiento real

El desplazamiento se mide a lo largo de la trayectoria de la fuerza, y debemos efectuar una aclaracin importante: el desplazamiento virtual es causado por una accin diferente de las cargas que mantienen el cuerpo en equilibrio.

Trabajo virtual = P * (aplicable a estructuras elsticas) Trabajo virtual = P * (aplicable a estructuras rgidas)

Efectuemos la demostracin aplicada a los cuerpos rgidos; que por ser rgidos no puede haber movimientos relativos entre los puntos.

EsTuDio.DE.EsTruCTuras.hiPErEsTTiCas.Planas




Se aplica un sistema de cargas (P1) (P2) (P3) (P4)... etc. y momen-tos (M1) (M2)... etc. Estas cargas se descomponen en las direcciones paralelas a los ejes (X Y) elegidos. Partimos, adems, de que el cuerpo se encuentra en equilibrio, por lo cual se debe cumplir:

Px =0 Py =0 M + Px * y + Py *x =0

La proyeccin de las fuerzas, segn el eje de las X, debe ser cero. La proyeccin de las fuerzas, segn el eje de las Y, debe ser cero. La suma de los momentos actuantes ms los que generan las Px y las Py, respecto a un punto cualquiera, tambin debe ser igual a cero.

Si el cuerpo se desplaza rgi-damente en forma paralela una dimensin A A, ese desplazamiento es constante e igual para todos los puntos del cuerpo.

Ese desplazamiento AA puede descomponerse en y y x.

Evaluemos entonces el trabajo virtual realizado por el sistema de fuerzas P y de momentos M en el desplazamiento AA.

T virtual = x Px + y Py

Pero como Px = 0 y Py = 0, porque las fuerzas estn todas en equilibrio, quedar:

T virtual = x * 0 + y * 0 = 0

De lo cual se deduce que: el trabajo virtual de un sistema de fuerzas en equilibrio efectuado por un sistema de fuerzas durante un desplazamiento virtual es nulo.

P1P2

P4P3

Y

XY2

X2

M1 M2

P2x

P2y

A

A'

y

x

Y

X

Y

X

Y

X




Veamos ahora qu pasa si el cuerpo gira un pequeo ngulo alrededor de un punto de origen O (que puede ser cualquiera):

Tomando un punto cualquiera y considerando un giro muy pequeo, se puede confundir el arco con el seno o la tangente del ngulo .

x x B A A

y

y B

Entonces: AA = x = y tg y

BB = y = x tg x

Planteamos la ecuacin del trabajo virtual en la rotacin del cuerpo:

Trabajo virtual = M + Px * x + Py *y = 0

Trabajo virtual = M + Px * y + Py * x = 0

Como el ngulo de giro es constante, lo sacamos fuera del smbolo de la sumatoria como factor comn.

A

A'

O x

y

y

x

x

y

OA = x + y2 2

AA' = x + y2 2

= x + y2 2

x

y x + y

22

=x y

= x + y2 2

y

x x + y

22

=y x

22 yxOA +=

22*' yxAA +=

OA

y

AAx ='

OA

AA

yx '=

22

22*

yx

yx

yx

+

+=

yx * =

22

22*

yx

yx

xy

+

+=

yy * =





Trabajo virtual = M + Px * y + Py * x = 0

Trabajo virtual = [ M + Px * y + Py * x] = 0

La cantidad encerrada dentro del parntesis es igual a cero, debido al equilibrio de mo-mentos.

Se puede decir entonces:El trabajo virtual de un sistema de fuerzas y momentos en equilibrio aplicados a un

cuerpo rgido durante una rotacin virtual es igual a cero.

Generalizando las dos expresiones, podemos establecer:El trabajo virtual de un conjunto de fuerzas y pares en equilibrio aplicado a un cuerpo

rgido durante un movimiento roto-traslatorio virtual es igual a cero.

Vamos a generalizar el principio aplicndolo a los cuerpos elsticos. Para ello tomaremos un cuerpo elstico vinculado y sometido a un sistema de cargas P. En los vnculos aparecern reacciones, que llamaremos C y equilibrarn a las cargas P. El conjunto entonces se encuentra en equilibrio.

Por consecuencia de la accin de las carga P y reacciones C en la estructura, se van a producir los tres parmetros de solicitacin para las estructuras consideradas en el plano. Ellas son M, V y F: momento flector virtual, esfuerzo cortante virtual y esfuerzo axial virtual.

Para poner esto de manifiesto, analizaremos la partcula A, am-plindola en su dimensin.

Consideremos ahora la misma estructura con los mismos vnculos y sometida a un sistema de cargas rea-les cualesquiera (q), uniformemente repartidas y (Q) concentradas.

P1P2

CbCa

MN

A

Q1Q2

RbRa

A B

A

q




En los vnculos A y B aparecern las reacciones Ra y Rb, que dejarn a la estructura en perfecto equilibrio. Interiormente, se producirn par-metros de solicitacin (M, V y F). El cuerpo, al ser elstico y al estar some-tido al sistema de cargas reales, sufri-r deformaciones en todos sus puntos. Los puntos del permetro exterior donde se aplican las cargas sufrirn corrimientos . Los puntos interiores, tales como el A, sern pasibles de desplazarse paralelamente, girar y luego deformarse elsticamente. La partcula A pasa de la posicin 1 a la 2 por traslacin rgida, de la posicin 2 a la 3 por giro alrededor del punto O en forma rgida. Una vez que la part-cula A est en la posicin 3, se dilata elsticamente una cantidad , pasan-do de la posicin 3 a la 4 por efecto del esfuerzo axil F. De la posicin 4 pasa a la posicin 5, producindose una distorsin angular debido al efecto del esfuerzo cortante real V. De la posicin 5 pasa a la posicin 6 a travs de un giro , producido por el momento flector real M.

Evaluemos ahora el trabajo virtual que provocan las fuerzas exteriores a la estructura.

Trabajo virtual exterior = P + C c

ste ser igual a la suma del trabajo virtual que provoca el sistema de cargas P en el despla-zamiento de sus puntos de aplicacin a lo largo de la trayectoria de las P, ledos en la estruc-tura real; esto es, provocados por el sistema de cargas reales, ms el trabajo de las reacciones virtuales C (que surgen de la aplicacin del sistema P) a lo largo del posible movimiento o cedimiento de los apoyos c en la estructura real, medidos a lo largo de la trayectoria de las reacciones virtuales C.

1

2

34

5

6O

V

V+dV

M+dM

F+dFF

M

Punto A





El trabajo virtual de P1 ser igual al producto de su mdulo por el vector MM, proyeccin

del desplazamiento del punto M a lo largo de la trayectoria de la carga P1 (a la proyeccin la

llamamos ). Haciendo una consideracin similar para las reacciones C, el Trabajo virtual total de las fuerzas exteriores ser:

Trabajo virtual exterior = P + C c

Se acredita a Clapeyron (1799-1864), que conjuntamente con G. Lam (1795-1870) en 1833 enunciaron el teorema de igualdad de los trabajos externos e internos de una estructura sujeta a esfuerzos. (Kinney, 1960, pg. 27).

Podemos decir entonces que el trabajo total (sea virtual o real) de las fuerzas que actan externamente en una estructura, debe ser igual al trabajo (virtual o real) de las solicitaciones internas que se producen en ella, como consecuencia de su aplicacin.

Esto nos permite establecer que el trabajo virtual interno de las solicitaciones virtuales (M, V, F) a lo largo del desplazamiento roto-traslatorio deformacional real de las partculas tales como la A, ser igual al producto de las solicitaciones virtuales por el correspondiente desplazamiento. Como el desplazamiento total es la suma de un movimiento rgido (rotacin y traslacin) y una deformacin elstica (alargamiento, distorsin y giro), el trabajo virtual interno ser:

Trabajo virtual interno = Parmetros virtuales x (desplazamiento rgido + deformacin elstica) (debido a las cargas reales)

Ya demostramos, por el principio de Bernoulli, que el trabajo virtual de un sistema de fuerzas en equilibrio en un movimiento roto-traslatorio rgido es igual a cero. Por eso entonces el

Trabajo virtual interno = Parmetros virtuales x deformaciones elsticas (debido a las cargas reales)

P1

Ca

M

trayectoria de P

MM"

M'

paralela a latrayectoria de P

MM' = corrimiento real del punto M

MM" = proyeccin del corrimiento real del punto M

en la direccin paralela a la trayectoria de P


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Como el anlisis lo estamos haciendo para una partcula diferencial como la A, lo que ten-dremos ser un trabajo virtual interno diferencial. Nos quedar:

dTv interno = (M + V + F ) ds

Para obtener el Trabajo virtual interno total, tendremos que integrar; y la expresin nos quedar:

++= dsFVMTvInterno )( Como Tv interno = Tv externo, nos quedar:

=+ cCP

Las solicitaciones reales en la estructura provocan internamente parmetros de solicitacin real, los cuales nos dan deformaciones unitarias:

EI

M=

GA

V* =

EA

F=

El valor es el factor de cortadura, que para secciones rectangulares vale 1,2 de acuerdo con deducciones realizadas en Ciencia de la Construccin, Tomo 1 pginas 241 y 243, de Odone Belluzzi.

La ecuacin general del trabajo virtual queda:

=+ cCP

++ dsEAFF

dsGA

VVds

EI

MM)()()(

Expresin conocida como ecuacin de Maxwell-Mohr. James Clerk Maxwell (1830-1879), Otto Mohr (1835-1918). (Kinney, 1960, pg. 29).

En esta ecuacin no han sido consideradas las deformaciones por cambio de temperatura. De esta ecuacin se deduce que:

El trabajo virtual externo de las cargas dadas y reacciones emergentes (virtuales) a lo largo de los desplazamientos de sus puntos de aplicacin (provocados por las cargas reales) es igual al trabajo virtual interno que generan los parmetros virtuales (que sur-gen como consecuencia de la aplicacin de las cargas P externas) en las deformaciones elsticas (, , ) provocadas por las cargas reales.


++ dsFVM )(




El teorema ser aplicado a dos problemas diferentes:1) Clculo de corrimientos y/o giros en estructuras de alma llena y estructuras reticuladas.2) Resolucin de estructuras hiperestticas (externas o internas) de alma llena o reticuladas

de cualquier grado de hiperestaticidad.De la expresin general haremos ciertas puntualizaciones.Cuando se trata de estructuras de alma llena, la solicitacin que tiene mayor importancia es

la provocada por el momento flector; entonces despreciamos los sumandos correspondientes a las deformaciones provocadas por el cortante y el axial. La expresin quedar:

=+ cCP

dsEIMM

)(

Si en cambio se tratara de estructuras de reticulado, donde por lo general las cargas estn aplicadas sobre los nudos y el peso propio de las barras se puede despreciar, no existira solici-tacin de momento flector y esfuerzo cortante, restando nicamente el esfuerzo axial.

La expresin del trabajo virtual quedar:

=+ cCP Si tenemos un reticulado al que aplicamos un sistema de cargas P (virtuales) surgirn en los

apoyos reacciones C (virtuales) y esfuerzos internos en las barras F, que son constantes a lo largo de toda la barra. Siendo as, es factible sacar estos valores fuera del smbolo de .

En forma anloga se puede razonar para la estructura sometida a fuerzas reales Q, y por consecuencia, a esfuerzos internos F (reales). Siendo constante el esfuerzo a lo largo de toda la barra, puede salir fuera del smbolo . Como adems es normal que la seccin A se mantenga constante y que sta sea del mismo material E, pueden salir como constantes de la integral.

La expresin del trabajo virtual quedar:

=+ dsEAFF

cCP

El valor de ds es igual a la superficie de la barra; pero considerando las barras a eje de la estructura, lo que cuenta es la longitud L de la barra. Entonces la expresin final quedar:

=+n

LEA

FFcCP

1

*

La sumatoria del 2 miembro hay que realizarla para las n barras que tenga el reticulado.Vamos a ver a continuacin cmo aplicamos una u otra expresin, segn se trate de calcular

la deformacin o deflexin de cualquier punto de una estructura de alma llena o reticulada.

dsEAFF

)(




1.1 Clculo de corrimientos en estructuras de alma

llena y en estructuras reticulares

a) Estructuras de alma llena.

=+ EIMdsM

cCP

(a)

Tomemos la estructura indicada en el grfico, sometida a un sistema de cargas Q (reales).

Lo primero que debemos hacer es hallar las reacciones y luego de esto estamos capacitados para determinar los momentos flectores en cualquier punto de la misma. Si deseamos evaluar el corrimiento de un punto como el M en una direccin deseada, que puede ser cualquiera, aplicamos en el punto una carga unitaria.

La expresin (a) nos quedar:

==+ EIMdsM

cC 1*1

Si los apoyos (A) y (B) no sufren cedimientos reales c, el trabajo virtual de las reacciones

CA y C

B ser nulo, por lo cual el primer miembro nos quedar:

== EIMdsM1*1

(c)

Expresin que nos determina el valor del corrimiento en la direccin buscada. El signo que nos d EI

MdsM

, nos estar diciendo si el signo elegido es el correcto, o por el contrario, hay que cambiarlo. En el primer caso, el signo ser (+) y en el 2 caso ser (-).

Como ejemplo evaluemos el corrimiento del extremo de una viga en mnsula, sometida a una carga Q en su extremo. La viga tiene luz L y su seccin recta es constante a lo largo de todo el tramo. La viga, es adems, toda del mismo material.

==+ EIMdsM

cC 1*1

Q1Q2

A

P = 1

M




ds = dx

Sustituyendo los valores y efectuando la integral entre los lmites 0 y L, tendremos:

=L

EIxQxdx

0

de donde

EI

QLx

EI

Qdxx

EI

QLL

33

3

0

3

0

2 =

==

Q P = 1

L

E I = cte

Mmax = Q L

M(x) = Q x

M max = 1 L

M(x) = 1 x

x x

EI

QL

3

3

=

= EIMdsM




Evaluaremos ahora la mxima deflexin en una viga similar, pero con carga uniformemente repartida q.

=L

dxEI

xqx

0

2

2

Lx

EI

q

0

4

42

=

Veremos ahora el siguiente ejemplo:

Prtico simplemente apoyado de seccin constante (30 x 60) de hormign armado, solicitado por una carga concentrada P = 1000 daN en la mitad de la luz de la viga.

P = 1

L

E I = cte

Mmax = q L

M(x) = q x

M max = 1 L

M(x) = 1 x

x x

q

2

2 2

2

=L

dxxEIq

0

3

2

EI

qL

8

4

=

2/000.200 cmdaNE = 2/000.000.000.2 mdaNE = .

ClCulo.DE.DEflExionEs.En.EsTruCTuras.DE.alma.llEna.y.rETiCularEs




=I

000.54012

6030 3=

x cm

4

=I

43

0054.012

60.030.0m

x=

Nuestro problema ser determinar el corrimiento del apoyo B, por efecto de la carga aplicada en la estructura.

P = 1000 daN

6.00 6.00

4.0

0

A

C

D

B

6.00 6.00

4.0

0

A

C

D

B

3.50

4.0

0




Aplicamos la ecuacin de Maxwell-Mohr:

Como la resolucin de las integrales es algo complicado, aplicamos sumatorias de elementos finitos; y la expresin anterior quedar:

A la carga 1=P , aplicada en B, se le opone una reaccin 1=C , aplicada en A.Como el apoyo A es una articulacin fija, el cedimiento c = 0, por lo que el segundo sumando

del primer miembro es nulo. El primer sumando, como 1=P , nos quedar igual a .La frmula de Maxwell quedar:

= sEIMM

Para la resolucin de esa ecuacin, procederemos de la siguiente forma:1) Dividimos la estructura en eslabones o dovelas s (de ser posible del mismo largo). En

el caso del ejemplo, el largo s vale 1 mt. Determinamos el valor del momento en el centro de cada eslabn producido por la carga P=1000 daN. Ese momento se expresar en daN*m.

2) A continuacin, aplicando una carga P (virtual) = 1 en la direccin del corrimiento en el punto B, con el sentido que intuimos va a tener el corrimiento. La reaccin en el apoyo A tendr la misma direccin y un sentido contrario a la fuerza en B. Evaluamos los momentos provocados por esas fuerzas virtuales de valor unitario. El momento virtual en el centro de cada eslabn ser el valor de la cota y, siendo su unidad (m).

6.00 6.00

4.0

0

A

C

D

B P = 1C = 1

=+ EIMdsM

cCP *

=+ sEIMM

cCP *





3) Confeccionamos una planilla Excel. 4) En la primera columna numeramos los eslabones o dovelas.5) En la segunda columna anotamos la cota X del centro de cada eslabn.6) En la tercera columna anotamos la cota Y del centro de cada eslabn.7) En la sexta columna anotamos el valor de los momentos reales M, producidos por las

cargas exteriores.8) En la sptima columna anotamos el valor del momento virtual M producido por la carga

virtual 1=P .9) En la octava columna se obtiene el producto de los valores de la sexta columna por los

valores de la sptima columna.10) Realizamos la sumatoria de la octava columna.11) El valor obtenido se multiplica por el valor de s y se divide entre EI .12) El valor del cociente es el valor del corrimiento. Hay que ser cuidadoso en las unidades

a adoptar, para que los resultados sean coherentes.

m

mm

daNmdaNm

00666.00054.0*000.000.000.2

1*72000

42

2

==

El corrimiento del apoyo B es de 6,66 mms.

Nuestro prximo ejemplo ser determinar el valor del corrimiento del nudo E en una estruc-tura de reticulado, aplicando la ecuacin de Maxwell-Mohr. Las barras AC CB DC EC son de madera, de 10 x 15 cms.

. Eslabn. Cota.x(mt). Cota.y(mt). Carga.vertical. Carga.horizontal.. momentos.reales. momentos.de.. Producto.de

. . . . en.a(dan). en.a(dan). (dan*m). P=1(mts). m*m(1)(dan*m2)

. 1. 0. 0,5. 500. 1. 0. 0,5. 0

. 2. 0. 1,5. 500. 1. 0. 1,5. 0

. 3. 0. 2,5. 500. 1. 0. 2,5. 0

. 4. 0. 3,5. 500. 1. 0. 3,5. 0

. 5. 0,5. 4. 500. 1. 250. 4. 1000

. 6. 1,5. 4. 500. 1. 750. 4. 3000

. 7. 2,5. 4. 500. 1. 1250. 4. 5000

. 8. 3,5. 4. 500. 1. 1750. 4. 7000

. 9. 4,5. 4. 500. 1. 2250. 4. 9000

. 10. 5,5. 4. 500. 1. 2750. 4. 11000

. 11. 6,5. 4. 500. 1. 2750. 4. 11000

. 12. 7,5. 4. 500. 1. 2250. 4. 9000

. 13. 8,5. 4. 500. 1. 1750. 4. 7000

. 14. 9,5. 4. 500. 1. 1250. 4. 5000

. 15. 10,5. 4. 500. 1. 750. 4. 3000

. 16. 11,5. 4. 500. 1. 250. 4. 1000

. 17. 12. 3,5. 500. 1. 0. 3,5. 0

. 18. 12. 2,5. 500. 1. 0. 2,5. 0

. 19. 12. 1,5. 500. 1. 0. 1,5. 0

. 20. 12. 0,5. 500. 1. 0. 0,5. 0

. . . . . . . . 72000

. . . .Corrimiento.(mts)=.0,00666667. . .




Emadera = 100.000 daN / cm2

El resto de las barras sern de acero de seccin circular, de 5 cm2 de rea.

Eacero = 2.100.000 daN /cm2

Resueltos los dos diagramas de Cremona, determinaremos los esfuerzos en las barras del reticulado:

P = 1000 daN

A BC

D E

2.00 2.00 2.00 2.00

4.00 4.00

2.24

1.0

0

Ra=500 daN Rb=500 daN

a b

c

de

f

a

c

b





Barra Luz Mdulo E rea F F F F L / EA

1 400 100000 150 -10000 -0.5 0.133333

2 400 100000 150 -10000 -1.5 0.4

3 224 2100000 5 11180 1.6771 0.399999

4 400 2100000 5 20000 1 0.761904

5 224 2100000 5 11180 0.559 0.133325

6 224 100000 150 -11180 -0.559 0.093327

7 224 100000 150 -11180 -0.559 0.093327

2.015218

= EALFF

cm== 015218.2

A BC

D E

a

b

c

de

f

1

0.750.25

a

b

c

d

ef




1.2 Clculo de estructuras hiperestticas planas de alma llena y estructuras hiperestticas planas y reticuladas

Vamos a aplicar el teorema de Maxwell-Mohr a la resolucin de estructuras hiperestticas planas de alma llena y reticuladas.

Primer ejemplo:Resolucin de un prtico plano, biarticulado, de seccin constante y de un mismo ma-

terial. El prtico est representado en la figura que aparece a continuacin:

Para resolver el ejemplo, aplicaremos la frmula general que expresa el teorema de Maxwell-Mohr:

P = 1000 daN

1000 daN/m2000 daN/m

A

C

D

E

B

3.50 3.50

3.0

02

.00

E I = cte

+++=+ dstFdsGAVV

dsEA

FFds

EI

MMcCP t ***




P = 1000 daN


A

C

D

E

B

E I = cte

P = 1000 daN


A

C

D

E

B

E I = cte

A

C

D

E

B

E I = cte

= +

A la estructura original le sustituimos el apoyo en B por una articulacin deslizante ms una fuerza de valor desconocido X, aplicada en el apoyo B, que impida cualquier tipo de co-rrimiento de dicho apoyo.

Hiperesttico de 1er Gdo. Sistema isosttico Sistema solicitado por X

El artificio est en aplicar una carga P=1

Esa carga producir M, V, F, si la carga en vez de ser =1 es igual a X, los valores de M, V y F se vern multiplicados por X.

Las expresiones de las solicitaciones sern:

MXMM += 0 FXFF += 0

VXVV += 0La clave estar en resolver la tercera parte del problema, donde le aplicamos al sistema una

carga P = 1 siguiendo la direccin de X.Los valores M, F y V, producto de la carga P = 1 sern proporcionales a los producidos por

la carga X.En la expresin de MaxwellMohr sustituimos los valores de M V y F hallados, y nos queda

entonces:

Realizando operaciones y sacando X de factor comn, la expresin nos queda:

X

Analicemos el primer miembro de la ecuacin.Actuando una carga P = 1 aparece una reaccin C = 1 en sentido contrario. Si llegan a produ-

cirse un descenso vertical en el apoyo A, el trabajo de la fuerza C = 1 (horizontal) o un posible corrimiento C vertical sera nulo. Si no existe corrimiento, el trabajo tambin ser nulo.

=+ cCP +dsEI

M 2 + dstFdsEAFF

to ++ dsEI

MM o +dsEAF 2 dsGA

V 2 +dsGAVVo

+

++

++

+=+ dstFds

EA

FFXFds

GA

VVXVds

EI

MMXMcCP ot

ooo )()()(

GA

V* =




En el apoyo B, acta la carga P = 1. El trabajo ser igual al producto del mdulo de la fuerza o el corrimiento del apoyo B. Como el apoyo no sufre corrimiento alguno, el trabajo ser nulo, por lo tanto la ecuacin de MaxwellMohr quedar:

0=X +dsEI

M 2 +dsEIM 2 dsGA

V 2 ++ dsEIMM o +dsGA

VVo

Por lo cual podemos despejar el valor de X.

+dsEI

MM o +dsGAVVo + dstFdsEA

FFt

o X =

+dsEI

M 2 +dsEAF 2

dsGAV 2

Si luego de realizar todas estas operaciones llegamos a que el valor de X nos da negativo, significa que el sentido que debimos tomar para la carga P = 1 es el contrario al elegido.

Teniendo en consideracin que los trminos debidos al esfuerzo cortante y al esfuerzo axial tienen menor trascendencia respecto al trmino debido al momento flector, los podemos des-preciar y nos queda la ecuacin de MaxwellMohr de la siguiente forma:

X =

El efecto de la temperatura tambin puede ser despreciado, ya que las variaciones de tem-peratura que se producen en nuestro pas no son muy grandes.

La expresin final de MaxwellMohr queda: X =

Si el prtico es del mismo material y las barras son de seccin constante, el trmino EI podra sacarse del factor comn en el numerador y en el denominador y simplificarse.

Luego de simplificar el procedimiento, en lugar de tomar elementos infinitesimales ds di-vidimos a las barras de la estructura en partes finitas s.

La ecuacin de Maxwell queda:

X =

=sM

sMMX o

2

+ dstFdsEAFF

to

+dsEIMM o dstF t

dsEI

M 2

=

dsEIM

dsEI

MM

X

o

2

hiPErEsTTiCas.Planas.DE.alma.llEna.y.rETiCulaDas




Si los elementos finitos s son iguales, tambin los podemos sacar del factor comn en el numerador y en el denominador. Al simplificarlos, nos queda la expresin:

X =

Volviendo a la resolucin del ejercicio propuesto, debemos evaluar la dimensin finita de largo s y los momentos que provocan en la estructura las cargas exteriores en el centro de cada eslabn y los momentos que provocan en la estructura una carga P = 1.

1) Se divide al prtico en eslabones y los numeramos. Dividimos las patas en tres eslabones de 1 mt de largo c/u.

Los tramos inclinados se dividen en cuatro eslabones, cuya longitud es:

00778.1)5.32(

4

1 22 =+=s mts

Evaluamos las cotas X e Y del centro de cada eslabn y las transcribimos en la planilla Excel de la pgina 25.

2M

MMX o=

cota X

cota Y

0.50

1.50

2.50

3.25

3.75

4.25

4.75

0.43

75 1.31

25 2.18

75 3.06

25

0.00

3.93

75

4.81

25

5.68

75

6.56

25

7.00




2) Evaluamos los momentos flectores, que provocan en la estructura isosttica las cargas exteriores, y los transcribimos:

3) Calculamos los momentos que provocan la fuerza aplicada en el apoyo B, cuyo valor es X y la correspondiente reaccin que aparecer en el apoyo A, cuyo valor tambin valdr X.

3

1.5

.5

2.5

33.25

3.75

4.25

4.75

5 5

4.75

4.25

3.75

3.25

3

M

32.5

1.5

.5

P = 1C = 1


3000

1500

500

2500

30004631

7318

924010396

10687 106

8710

737

1069

195

51

6879

2687

Mo

2676




El resumen de todos los valores estn indicados en la planilla Excel adjunta:

Hechos todos los clculos, obtenemos cul es el valor de la fuerza incgnita que se aplica en el nudo B de la estructura.

Adjuntamos solamente el diagrama final de momentos flectores que actan en el prtico. Queda para quien quiera calcular los cortantes y esfuerzos axiales, y luego graficarlos.

5391

4492

2695

898

2391

1992

1195

399

5391

3164

141

1914

1702

2156

2391

1209

580

1603

19251702

M= Mo + X M

s largo cota.x cota.y. m mo M^2* s MMos mo m x mo.+..xm

1 1 0 0,5 0,5 500 0,25 250 500 0,5 -1797 -398

2 1 0 1,5 1,5 1500 2,25 2250 1500 1,5 -1797 -1195

3 1 0 2,5 2,5 2500 6,25 6250 2500 2,5 -1797 -1992

4 1,007 0,437 3,25 3,25 4631 10,644 15167,417 4631 3,25 -1797 -1209

5 1,007 1,312 3,75 3,75 7318 14,171 27657,421 7318 3,75 -1797 580

6 1,007 2,187 4,25 4,25 9240 18,203 39576,611 9240 4,25 -1797 1603

7 1,007 3,062 4,75 4,75 10396 22,738 49767,611 10396 4,75 -1797 1861

8 1,007 3,937 4,75 4,75 10691 22,738 51179,391 10691 4,75 -1797 2156

9 1,007 4,812 4,25 4,25 9551 18,203 40906,705 9551 4,25 -1797 1914

10 1,007 5,687 3,75 3,75 6879 14,171 25996,647 6879 3,75 -1797 141

11 1,007 6,562 3,25 3,25 2676 10,644 8763,965 2676 3,25 -1797 -3164

12 1 7 2,5 2,5 0 6,25 0 0 2,5 -1797 -4492

13 1 7 1,5 1,5 0 2,25 0 0 1,5 -1797 -2695

14 1 7 0,5 0,5 0 0,25 0 0 0,5 -1797 -898

149,015 267765,771

Valor.de.x.=-1796,897




Veremos a continuacin otro ejemplo de estructura hiperesttica.

Se trata de un prtico con tensor.En la resolucin de este tipo de problema debemos considerar dos elementos de la estructura:1) el prtico propiamente dicho y2) el tensor.

Tomemos un prtico de diseo similar al ya estudiado:Consta de dos partes:Las barras AC- CD- DE- y EB tienen la misma seccin y el mismo material, o sea EI = cte.La barra CE es un tensor con rea At y mdulo de Young Et.Es un caso donde el apoyo A permanece fijo, mientras que el punto B puede sufrir un des-

plazamiento, ya que el tensor es elstico.

Aplicando el principio de superposicin, desdoblamos la estructura en una estructura isosttica si quitamos el tensor ms otra estructura donde acta una fuerza incgnita X en la ubicacin del tensor.

P = 1000 daN


A

C

D

E

B

3.50 3.50

3.0

02.0

0

E I = cte

tensor





MXMM += 0

Como en el caso anterior, aplicamos las expresiones de Maxwell-Mohr, pero con la parti-cularidad de considerarlas en el prtico y en el tensor.

prtico tensor

Considerando la dxAE

FF

tt en el tensor, sabemos que tt yAEFF ,, son constantes;

entonces las podemos sacar fuera de la integral y de la sumatoria. Nos queda entonces la ex-presin:

dxAEFF

tt

=

LAE

FF

tt

(siendo L la luz del tensor).

Considerando ahora la parte anelstica del tensor, tendremos:

tdxF tt donde tF tt son constantes y las podemos sacar fuera del smbolo de integral y de la sumatoria. Nos queda entonces la siguiente expresin:

= tLFdxtF tttt

La expresin de Maxwell-Mohr nos queda:

=+ cCP ++++ LtFLAE

FFtdsFds

EA

FFds

EI

MMt

ttt

P = 1000 daN


A

C

D

E

B

E I = cte

P = 1000 daN


A

C

D

E

B

E I = cte

A

C

D

E

B

E I = cte

X

= +

X

++++ tdxFdxAE

FFtdsFds

EA

FFds

EI

MMtt

ttt =+ cCP




Analicemos el primer miembro:Haciendo un corte en el tensor, aparecern dos fuerzas X iguales y contrarias. Estas dos

fuerzas X a la altura de los apoyos no generan reacciones, ya que son iguales y contrarias. El apoyo A est fijo, por tanto el desplazamiento ser nulo. El trabajo tambin ser nulo.

El apoyo B puede sufrir un desplazamiento, ya que es un apoyo deslizante, pero como la fuerza es nula, el trabajo tambin es nulo.

Por tanto, el primer miembro es igual a cero. La ecuacin de Maxwell-Mohr nos queda:

0 = ++++ LtFLAE

FFtdsFds

EA

FFds

EI

MMt

ttt

No teniendo en cuenta los factores anelsticos tanto en el tensor como en las barras del prtico, y considerando como esfuerzo principal en la estructura el momento flector frente a la solicitacin que provoca el esfuerzo axil y el cortante, la ecuacin nos queda:

0 =

+ LAEFF

dsEI

MM

tt

Por aplicacin del principio de superposicin, el valor del esfuerzo MXMM += 0 ;

;Tomando dovelas de dimensin finita, la ecuacin de Maxwell-Mohr queda:

despejamos X

XF =

1=F

++= t

tt

LAE

Xs

EI

MMXM )(0 0

++= ttt

LAE

Xs

EI

MXMM 20 )(0

++= t

tt

LAE

Xs

EI

MXs

EI

MM 200

=X

+

tt

t

AEL

sEIM

sEI

MM

2

0





Los esfuerzos M0 en el centro de las dovelas sern los mismos que en el ejemplo del prtico

biarticulado, ya analizado en el ejemplo anterior.

Los momentos M son los que se detallan en el siguiente grfico:

00.25

0.75

1.25

1.75

2 2

1.75

1.25

0.75

0.25

0

M

P = 1C = 1

3000

1500

500

2500

30004631

7318

924010396

10687 106

8710

737

1069

195

51

6879

2687

Mo26

76




Para el caso que nos ocupa, consideramos que el prtico est construido del mismo material y la seccin es constante, por eso en la ecuacin de Maxwell podemos realizar la siguiente simplificacin:

Multiplicamos los dos miembros de la ecuacin por (E I), por lo cual queda:

En la planilla Excel que aparece a continuacin est el clculo de la fuerza X, que se ejerce en el tensor metlico y los momentos en los centros de las dovelas.

El tensor estar sometido a una tensin.

El diagrama de momentos final es el que se indica a continuacin. Queda para los usuarios diagramar las solicitaciones de cortante y el esfuerzo axil.

tt

t

AEEIL

sM

sMMX

+

=

2

0

2

2/1290

4

5161cmdaN

cm

daN==

s largo cota x cota y M Mo M^2* s MMos Mo M X Mo + XM1 1 0 0,5 0 500 0 0 500 0 5161 500

2 1 0 1,5 0 1500 0 0 1500 0 5161 1500

3 1 0 2,5 0 2500 0 0 2500 0 5161 2500

4 1,007 0,437 3,25 -0,25 4631 0,062 -1166,72 4631 -0,25 5161 3341

5 1,007 1,312 3,75 -0,75 7318 0,566 -5531,48 7318 -0,75 5161 3447

6 1,007 2,187 4,25 -1,25 9240 1,574 -11640,18 9240 -1,25 5161 2788

7 1,007 3,062 4,75 -1,75 10396 3,086 -18335,44 10396 -1,75 5161 1364

8 1,007 3,937 4,75 -1,75 10691 3,086 -18855,57 10691 -1,75 5161 1659

9 1,007 4,812 4,25 -1,25 9551 1,574 -12031,38 9551 -1,25 5161 3099

10 1,007 5,687 3,75 -0,75 6879 0,566 -5199,33 6879 -0,75 5161 3008

11 1,007 6,562 3,25 -0,25 2676 0,062 -674,15 2676 -0,25 5161 1386

12 1 7 2,5 0 0 0 0,00 0 0 5161 0

13 1 7 1,5 0 0 0 0,00 0 0 5161 0

14 1 7 0,5 0 0 0 0,00 0 0 5161 0

10,581 -73434,25Luz del tensor 7 mtsrea tensor 0,0004 m2 tomo 2 barras de 16 mm de dimetroInercia port 0,00208 m4 tomo seccin de 0.20 x 0.50E prtico 210000 daN/cm2

E tensor 2100000 dan/cm2

Valor de X = 5161,413





Veamos ahora un nuevo ejemplo de prtico con tensor. A diferencia del ejemplo anterior, el tensor se ubicar a la altura de los apoyos.

3000

1500

500

2500

30003341

3447

27881364

36536

516

59

3099

3008

1386

Mo + X M

P = 1000 daN


A

C

D

E

BE I = cte

Tensor




Los datos de geometra de la pieza (inercias, mdulos de elasticidad del prtico y del tensor, rea del tensor) son similares a los del ejemplo anterior. Para resolver el problema, procedemos como lo hicimos antes. Debemos aplicar el principio de superposicin y luego el teorema de Maxwell-Mohr.

Los valores de los momentos M0 y de los momentos M son los mismos que en el caso del

prtico biarticulado que aparece en la pgina anterior.

Aplicando la frmula de Maxwell-Mohr

=+ cCP ++++ LtFLAE

FFtdsFds

EA

FFds

EI

MMt

ttt

tendremos:

=P trabajo de la fuerza 1=P por el desplazamiento real del punto de aplicacin A.

Como el apoyo A no tiene posibilidad de corrimiento, el trabajo ser = 0.

=cC Trabajo de la fuerza 1=C por el desplazamiento real del punto de aplicacin B.El punto B se corre hacia la derecha, lo que permite el alargamiento del tensor.

Como el alargamiento tiene sentido contrario a la fuerza 1=P , el trabajo vale:

=

tt

t

AE

LXcC

*

**1

P = 1000 daN


A

C

D

E

B

E I = cte

P = 1000 daN


A

C

D

E

B

E I = cte

A

C

D

E

B

E I = cte

X= +

X

tt

t

AE

XLc =





La ecuacin de Maxwell-Mohr queda:

Eliminando los factores anelsticos, dejando solamente el trmino correspondiente al momento flector y tomando elementos finitos de longitud s, la ecuacin queda:

=tt

t

AELX *

1

sEIMM

Como M = M0 + X M

X = -

Expresin similar a la obtenida en pgina 28.

Si en esta expresin numerador y denominador se multiplican por (E I), la ecuacin queda:

tt

t

AEEIL

sM

sMMX

+

=

2

0

++++ LtFLAE

FFtdsFds

EA

FFds

EI

MMt

ttt =

tt

t

AELX *

1

+ sEI

MXs

EI

MM 20 *

+

tt

t

AEL

sEIM

sEI

MM

2

0

=tt

t

AELX *

1

=tt

t

AELX *

1

+ sEIMMXM *)( 0




Adjuntamos ahora los resultados obtenidos que se expresan en una planilla Excel:

Graficamos solamente el diagrama de momentos, dejando, para que los interesados realicen los diagramas de esfuerzos axiles y esfuerzos cortantes.

5391

4492

2695

898

2391

1992

1195

399

5391

3164

141

1914

1702

2156

2391

1209

580

1603

19251702

M= Mo + X M

9847,1753

0004,0*210000000208333.0*210000*7

015577.149

772,267765=

+

=X

Prtico atensorados largo cota x cota y M Mo M^2* s MMos Mo M X Mo + XM

1 1 0 0,5 -0,5 500 0,25 -250 500 -0,5 1754 -377

2 1 0 1,5 -1,5 1500 2,25 -2250 1500 -1,5 1754 -1131

3 1 0 2,5 -2,5 2500 6,25 -6250 2500 -2,5 1754 -1885

4 1,007 0,437 3,25 -3,25 4631 10,644 -15167,417 4631 -3,25 1754 -1069

5 1,007 1,312 3,75 -3,75 7318 14,171 -27657,421 7318 -3,75 1754 741

6 1,007 2,187 4,25 -4,25 9240 18,203 -39576,611 9240 -4,25 1754 1786

7 1,007 3,062 4,75 -4,75 10396 22,738 -49767,611 10396 -4,75 1754 2065

8 1,007 3,937 4,75 -4,75 10691 22,738 -51179,391 10691 -4,75 1754 2360

9 1,007 4,812 4,25 -4,25 9551 18,203 -40906,705 9551 -4,25 1754 2097

10 1,007 5,687 3,75 -3,75 6879 14,171 -25996,647 6879 -3,75 1754 302

11 1,007 6,562 3,25 -3,25 2676 10,644 -8763,965 2676 -3,25 1754 -3024

12 1 7 2,5 -2,5 0 6,25 0 0 -2,5 1754 -4385

13 1 7 1,5 -1,5 0 2,25 0 0 -1,5 1754 -2631

14 1 7 0,5 -0,5 0 0,25 0 0 -0,5 1754 -877

149,015 -267765,771

Luz del tensor 7 mtsrea tensor 0,0004 m

2

Inercia port 0,00208 m4

E prtico 210000 daN/cm2

E tensor 2100000 daN/cm2

Valor de X =1753,985





Veremos ahora, como ltimo ejemplo, el caso de un arco biempotrado:

El arco tiene una longitud de 12 mt. Dividimos la estructura en 12 dovelas de 1 mt de

longitud.

En el dibujo anterior se detallan las cotas (X) e (Y) del centro de cada dovela.

11.46

radi

o=11

.46

mt

6060A

B

P = 10.000 daN

E I = constante

11.46

radi

o=11

.46

mt

60A

P = 10.000 daN

0.0

00.4

386

1.3

44

2.2

839

3.2

5

4.2

3

5.2

3

5.7

3

6.2

3

7.2

3

8.2

1

1.53261.43821.2651.013

0.666

0.245

60

B

9.1

761

10.1

16

11.0

214

11.4

6




La estructura es hiperesttica en tercer grado. Tiene tres apoyos superabundantes, por lo que aplicando el principio de superposicin la podemos desdoblar de la siguiente forma:

A BM1

X1

A B

P = 10.000 daN

X1 X2

X3

A BMo

P = 10.000 daN

A B

X2M2





El empotramiento en el punto A se sustituye por dos fuerzas (X1 y X2) y una carga mo-mento (X3).

Debemos aplicar el teorema de Maxwell-Mohr tres veces. Una vez para cada fuerza incg-nita (X1, X2 y X3).

=+ sEI

MMcCP

Vamos a considerar exclusivamente el efecto del momento flector, no teniendo en cuenta la

colaboracin del esfuerzo axil ni del esfuerzo cortante.Por aplicacin del principio de superposicin, el valor genrico del momento flector en

cualquier punto ser la suma de M0 + X1M1 + X2M2 + X3M3.

3322110 *** MXMXMXMM +++=

Aplicamos una carga 1=P en la direccin y sentido de X1 en el apoyo A. En el apoyo B aparecer una reaccin 1=C en la misma direccin y sentido contrario a la carga. Como el apoyo A y el apoyo B no tienen posibilidad de movimiento, el primer miembro de la ecuacin de Maxwell ser igual a cero.

= sEI

MM 10

+++= sEI

MXMXMXMM )(0 33221101

Tomando elementos s de la misma dimensin, del mismo material y de igual momento de inercia, sacamos el factor comn fuera del smbolo de la sumatoria.

Como EI

s es distinto de cero, ser igual a cero el resto, por lo cual la ecuacin nos queda de la siguiente forma:

A B

X3M3

133122

211010 MMXMMXMXMM +++=




Como podemos ver, tenemos una ecuacin lineal con tres incgnitas (X1, X2 y X3).Si aplicamos una carga 1=P en la direccin y sentido de X2 en el apoyo A, en el apoyo B

aparecer una reaccin 1=C , en la misma direccin y en sentido contrario a la carga. Como el apoyo A y el apoyo B no tienen posibilidad de movimiento, el primer miembro de la ecuacin de Maxwell-Mohr ser igual a cero.

= sEI

MM 20

+++= sEI

MXMXMXMM )(0 33221102

Como

EI

s es distinto de cero, el que ser igual a cero ser el resto; por lo que la ecuacin

nos quedar de la forma siguiente:

233222121020 MMXMXMMXMM +++=

Como podemos ver, tenemos una ecuacin lineal con tres incgnitas (X1, X2 y X3).

Si aplicamos una carga momento 1=P en la direccin y en el sentido de X3 en el apoyo A, en el apoyo B aparecer una reaccin 1=C , en la misma direccin y en el sentido contra-rio a la carga. Como el apoyo A y el apoyo B no tienen posibilidad de movimiento, el primer miembro de la ecuacin de Maxwell ser igual a cero.

= sEI

MM 30

+++= sEI

MXMXMXMM )(0 33221103

Como

EI

s es distinto de cero, ser igual a cero el resto, por lo cual la ecuacin nos queda

de la forma siguiente:

233232131030 MXMMXMMXMM +++=

Como podemos ver, tenemos una ecuacin lineal con tres incgnitas (X1, X2, X3)Nos queda un sistema de tres ecuaciones a resolver:

133122

211010 MMXMMXMXMM +++=

233222121020 MMXMXMMXMM +++=

233232131030 MXMMXMMXMM +++=





Los coeficientes los tomamos de la planilla Excel que est en la pgina 40.El sistema nos queda:

137717.999 + 15.0961 X1 70.5984506 X

2 + 12.3208 X

3 = 0

-1686299.702 70.5984505 X1 + 529.519706 X

2 68.7604 X

3 = 0

+176035 + 12.3208 X1 68.7604 X

2 + 12 X

3 = 0

Resuelto el sistema, tendremos:

X1 = 17589.378

X2 = 5000.06

X3 = -4078.6317

Agregamos los diagramas con los cuales fueron calculados esos momentos en el centro de cada una de las doce dovelas en que est dividida el arco.

11.46

radi

o=11

.46

mt

6060A

B

P = 10.000 daN

0.00

0.43

86

1.34

4

2.28

39

3.25

4.23

5.23

5.73

6.23

7.23

8.21

9.17

61

10.1

16

11.0

214

11.4

6

1.53261.43821.2651.013

0.666

0.245

mom Mo

mom M1

mom M2

mom M3




Como ejemplo adjuntamos el diagrama corregido de los momentos flectores. Tambin de-jamos que los usuarios evalen los diagramas de cortantes y esfuerzos axiles.

A

B

5724

3271

-68

-1922-2320

-924

1962

4079

P = 10.000 daN

3271

-68

-1922-2320

-924

1962

4079

Diagrama de Momentos

. . . . . . . . . . . . . . . . .............m=mo+x1m1+x2m2+x3m3

. eslabn. cota.x. cota.y. .Ds. mo. m1. m2. m3. m1^2. m2^2. m3^2. mo*m1. mo*m2. mo*m3. m1*m2. m1*m3. m2*m3. m2*m3.

. 1. 0,438. 0,245. 1. 0. -0,245. 0,438. -1. 0,060. 0,192. 1. 0. 0. 0. -0,107. 0,245. -0,438. -0,438. 1962

. 2. 1,344. 0,666. 1. 0. -0,666. 1,344. -1. 0,444. 1,807. 1. 0. 0. 0. -0,896. 0,666. -1,344. -1,344. -924

. 3. 2,283. 1,013. 1. 0. -1,013. 2,283. -1. 1,026. 5,216. 1. 0. 0. 0. -2,313. 1,013. -2,283. -2,283. -2320

. 4. 3,25. 1,265. 1. 0. -1,265. 3,25. -1. 1,600. 10,562. 1. 0. 0. 0. -4,111. 1,265. -3,25. -3,25. -1922

. 5. 4,23. 1,438. 1. 0. -1,438. 4,23. -1. 2,068. 17,892. 1. 0. 0. 0. -6,083. 1,438. -4,23. -4,23. -68

. 6. 5,23. 1,532. 1. 0. -1,532. 5,23. -1. 2,348. 27,352. 1. 0. 0. 0. -8,015. 1,532. -5,23. -5,23. 3271

. 7. 6,23. 1,532. 1. -5000. -1,532. 6,23. -1. 2,348. 38,812. 1. 7663. -31150. 5000. -9,548. 1,532. -6,23. -6,23. 3271

. 8. 7,23. 1,438. 1. -15000. -1,438. 7,23. -1. 2,068. 52,272. 1. 21573. -108450. 15000. -10,398. 1,438. -7,23. -7,23. -68

. 9. 8,21. 1,265. 1. -24800. -1,265. 8,21. -1. 1,600. 67,404. 1. 31372. -203608,000. 24800. -10,385. 1,265. -8,21. -8,21. -1922

. 10. 9,176. 1,013. 1. -34461. -1,013. 9,176. -1. 1,026. 84,200. 1. 34908,993. -316217,582. 34461. -9,295. 1,013. -9,176. -9,176. -2320

. 11. 10,116. 0,666. 1. -43860. -0,666. 10,116. -1. 0,444. 102,333. 1. 29237,076. -443687,759. 43860. -6,743. 0,666. -10,116. -10,116. -926

. 12. 11,021. 0,245. 1. -52914. -0,245. 11,021. -1. 0,060. 121,471. 1. 12963,93. -583186,359. 52914. -2,700. 0,245. -11,021. -11,021. 1962

. . . . . . . . . 15,096. 529,519. 12. 137717,999. -1686299,701. 176035. -70,598. 12,321. -68,760. -68,760

Diagrama de momentos





2.0 Trazadodelaslneaselsticas deestructurasplanas

En la actualidad, el trazado de las lneas elsticas en estructuras planas puede realizarse sin ninguna dificultad, utilizando programas de computadora, como P-Plan u otro tipo. No obstante, creo que para la formacin de un estudiante de arquitectura es absolutamente imprescindible amasar el barro con las manos, para lograr entender a cabalidad el comportamiento del conjunto de los elementos constitutivos de una estructura. sta es la razn que ha impulsado a reeditar viejos, pero no menos fecundos, procedimientos grficoanalticos para el estudio de deformaciones de estructuras planas.

En una estructura cualquiera, sometida a un sistema de cargas, si por hiptesis se conocieran los vectores corrimientos de cada uno de los puntos en su dimensin, direccin y sentido, se puede definir como lnea elstica, con respecto a una cierta direccin, a la poligonal o curva que resulta de tomar a partir de una lnea de referencia las componentes de los vectores corrimientos, segn la direccin considerada. Se define como corrimiento de un punto en una determinada direccin a la proyeccin sobre sta del corrimiento total del punto.

q (k/m)

a

bc

d

M

M'

linea

de

cier

re

els

tica

horiz

onta

l

linea de cierre

elstica vertical

90

Mv

Mh

lnea.de.cierre

elstica.vertical

el

stic

a.h

orizontal

lnea.d

e.c

ierr

e




M

M

M

El punto M se corre a M. El descenso ser M.

Veremos ahora la base terico-matemtica del sistema de los pesos elsticos, que analiza-remos posteriormente.

Un punto M gira alrededor de un punto O con un cierto ngulo en radianes. Suponiendo que es muy pequeo, un infinitsimo, porque las deformaciones por giro en las barras son muy pequeas, vemos que el punto M pasa a M. Asimilando el arco a la cuerda por ser defor-maciones pequeas, el corrimiento de M ser MM.

O (xo;yo) X

M (x;y)

M' M"Y

R

x

y

x

y

TrazaDo.DE.las.lnEas.ElsTiCas.DE.EsTruCTuras.Planas




Sus componentes sern x y y.

OMMM *' w=

'

1

MM

OM=

w

"'MMx =

"MMy =

Considerando el punto R, nos quedan dos tringulos semejantes en los cuales podemos establecer la siguiente relacin:

w1

"'"'===

MM

RM

MM

OR

MM

OM

A nosotros nos interesa determinar el valor MM y MM

"'

1

MM

RM=

w

de donde RMMM *"' w= w *)( 0xxx =

"

1

MM

OR=

w de donde ORMM *" w=

Podemos concluir lo siguiente:El corrimiento de un punto, segn una direccin dada, es igual al momento esttico

con respecto a dicha direccin de una fuerza ficticia que es igual en magnitud al giro () que se produce en el punto de reduccin.

Consideremos ahora una barra A B, como la de la figura 3, a la que se le aplica un momento M. Esa barra sufre una deformacin cuyo valor es posible de evaluar por medio de las ecua-ciones de la lnea elstica.

w *)( 0yyy =

Mx

y

B

B'

w = M

L

L/2

bA

Figura 3

MLE I

z




Para la barra AB ser:

EI

M

dx

zd=

2

2

Si integramos, nos da:

1CEI

Mx

dx

dz+=

dx

dz es el ngulo que forma la tangente a la elstica con el eje de la barra.

Para X = 0 de donde C1 = 0.

Integrando nuevamente

Z es el descenso de un punto cualquiera. Para el caso de que X = 0

Z = 0 de donde C2 = 0

Para X = L en las dos ecuaciones anteriores nos dar:

bEI

ML

dx

dz ==

2*

2*

2 LL

EI

Mz bb ==

El descenso, en el punto B de la barra, es numricamente igual al momento esttico respecto a B del vector giro

b aplicado en L/2.

Al valor

gEI

L= lo llamamos masa elstica.

Al valor

w === gMLEI

Mb ** lo llamamos peso elstico.

0=

dx

dz

2

2

2* C

X

EI

Mz +=





Por tanto, concluimos que para poder evaluar el descenso en un punto de la barra elstica debemos calcular el momento esttico en ese punto de las fuerzas ficticias (giros) aplicadas en el centro de cada uno de los eslabones que componen esa barra elstica. sa es la razn por la cual dividimos la barra en trozos s, muy pequeos.

Veremos a continuacin ejemplos aclaratorios:

Calculamos la lnea elstica de una viga en voladizo.

La primera operacin que se realiza es dividir la barra AB en una serie de eslabones els-ticos, que llamaremos s. Luego en el centro elstico de cada eslabn se aplica la carga del peso elstico correspondiente.

1.00 1.00 1.00

P = 5 T P = 5 T P = 5 T

A B

sEI

M=w




Para evaluar esa carga, debemos tener dibujado el diagrama de momen-tos flectores. Para eso tenemos que trazar la funicular para ese fin.

Leemos el valor del momento de cada eslabn en la funicular trazada para ese fin.

Consideremos que el momento es constante en el intervalo del eslabn. Es as como podemos evaluar el rea multiplicando M por s y luego di-vidindolo por EI, as obtenemos el peso elstico en cada eslabn de la funicular.

La segunda operacin consiste en calcular el momento de un sistema de vectores que representan a los pesos elsticos; de esta forma, por defini-cin, se obtienen los descensos.

Si todos los w son del mismo sig-no, es indiferente el sentido con que se toman en la dinmica. Si stos son

de signo contrario, los positivos se toman hacia abajo y los negativos hacia arriba.Veremos algunas simplificaciones que se pueden realizar al mtodo de los pesos elsticos.

Si consideramos que E es constante, es posible considerar como masas elsticas I

sg

= y

peso elstico w = M * g.La elstica hallada en esta hiptesis est multiplicada por E.

Si MN es la imagen del descenso en B

E

HmmMN

Em

MNb

.213==

Eligiendo H = E o a una cierta escala H = m4 E y sustituyendo nos quedar:

4

21

4

21 .mmm

MN

EEm

mmMN

b ==

A B

P1=5 ton

P2=5 ton

P3=5 ton

1=

2=

3=

P1

P2

P3

H

M1

M3

M2

EI

EI

EI

s

s

s

1

1

2 2

3

3

4

4

H'

b

M

N





Si consideramos que EI = cte, las masas elsticas sern:

sg = y el peso elstico ser: w = M * g.

La elstica calculada en esta hiptesis est multiplicada por EI si MN es la imagen del descenso del punto B.

EI

HmmMN

EIm

MNb

.213==

Eligiendo H = EI o a una cierta escala m4

H = m4 EI sustituyendo en la expresin anterior nos quedar:

4

21

4

21213 *.mmm

MN

EIEImmmMN

EIHmmMN

EIm

MNb ====

Si consideramos

.cteEI

s=

las masas elsticas sern

EI

sg

= y los pesos elsticos

gM *=w

La elstica en esta hiptesis estar multiplicada por

EIs

1 . Debemos, por lo tanto, elegir un H que nos simplifique las operaciones.

Tomamos entonces:

EIs

mH

=1

4 el valor del descenso en el punto B valdr:

4

21

4

21213 * m

mmMN

sEI

sEI

m

mmMN

sEI

HmmMN

sEI

m

MNb =

=

=

=

El mtodo de los pesos elsticos nos permite, adems de evaluar los corrimientos horizontales y verticales en prticos y/o vigas, la resolucin de estructuras hiperestticas.




Veremos a continuacin cmo se ataca un prtico biarticulado por este mtodo. La primera operacin que debemos realizar es aplicar el principio de superposicin y desdoblar el problema hiperesttico en:

1) Prtico isosttico, donde el apoyo B sufre un corrimiento b1

.2) Prtico isosttico, donde el apoyo B sufre un corrimiento

b2. En sentido contrario al

b1 producido ste por una carga X tal que b1

+ b2

= 0

El valor de la carga X se determina de la siguiente manera:1) Se calcula el corrimiento

b1 que producen las cargas exteriores en el prtico isosttico.

2) Se calcula el corrimiento b2

que provoca una carga P = 1. Si la carga actuante en vez de ser P = 1 hubiese sido X, los corrimientos seran proporcionales. Esto es: X

b2.

La suma de los dos corrimientos debe ser nula, ya que el apoyo B est impedido de desli-zarse.

b1

+ X b2

= 0

2

1

b

bX

=

= iib z*1 w

EI

sM ii

= *w

= EI

sZM iib1

= ihb z*2 w

i

Phh zM *

1==w

ih ZPM *1== de donde:

EI

szih

= *w

A B

A B

A B

B'

B" X





= ihb z*2 w =

EIs

zi *2

021 =+ bb X

EIs

z

EIs

zMX

i

ii

=

2

s

.constEI

s=

=

2i

ii

z

zMX

Veamos ahora un par de ejemplos de aplicacin del mtodo de los pesos elsticos.

1) trazado de la elstica de un arco parablico de 12 mts de luz y 2.50 mts de flecha. El arco es de hormign armado y su seccin 30 cm x 45 cm.

Momento de Inercia = 228.000 cm4

Eh = 200.000 daN/cm

2

2

1

b

bX

=

12.00

2.5

0

q = 1000 daN / m

A B




Lo primero que debemos hacer es determinar la longitud de la lnea media del arco para-blico.

Para eso tenemos que hallar la ecuacin del arco parablico.

La ecuacin general de la parbola es CBxAxy ++= 2

Cuando X = 0 Y = 0

De donde: CBA ++= 0*0*0 C=0

La ecuacin quedar:

BxAxy += 2 Debemos determinar los parmetros A y B

Para X = 6 Y = 2.5 de donde

Para X = 12 Y = 0 de donde

X

Y

x = 0 x = 6 x = 12

y = 0

y = 2.5

y = 0

y = -0.069444 x2 + 0.8333 x

6*6*5.2 2 BA += 6*36*5.2 BA +=

12*12*0 2 BA += 12*144*0 BA +=





Debemos resolver el sistema de ecuaciones.

0694444.0432

30

6*14412*36

6*05.2*12

12144

636

120

65.2

=

=

==A

83333333.0432

360

6*14412*36

5.2*1440*36

12144

636

0144

5.236

=

=

==B

La ecuacin del arco parablico quedar: xxy 83333.00694444.0 2 +=

22 dxdyds += dx* derivada 1 de la funcin

X

Y

y = -0.069444 x2 + 0.8333 x

dsdy

dx

=

dx

dy

12

+

=

dx

dyds




y = - 0.069444 x2 + 0.83333 x

833333.00694444.0*2 += x

dx

dy

833333.01388888.0 += xdx

dy

La longitud de la curva es la integral entre 0 y 12 de ds.

+==12

0

212

01

dx

dydsS dx*

La solucin de la integral:

22

22212

0

22

22auuL

aau

uduau ++++=+

=u

833333.01388888.0 += xdx

dy ( )22 83333.013888.0 += Xu

a = 1

dxdu 138888.0= de donde 138888.0

dudx =

++++=+ 222

2222

22auuL

aau

uduau

El largo de la curva ser la integral definida entre 0 y 12.

=++ dxX 22 1)83333.013888.0(138888.0 12

0

22 1)8333.013888.0()8333.013888.0(2

11)8333.013888.0(

2

83333.013888.0(

+++++++

+= XXLX

X

Largo

mts271.13138888.0

9215913.09215913.0=

=

Esta curva la dividimos en doce dovelas . El largo s de cada dovela ser:

1059.1

12

271.13==s

12 =a





Para hallar los momentos en el centro de cada eslabn o dovela utilizamos la viga equi-valente:

12.00

2.5

0

q = 1000 daN / m

A B

12.00

2.5

0

q = 1000 daN / m

A B0.3432

0.99

1.5445

1.99342.3125

2.4789

.4429 1

.3403

2.2

992

3.3

068

4.3

648

5.4

569

corrimiento horizontal6.7212 cms




Los valores de los momentos ledos en el trazado parablico adjunto nos dan los siguientes resultados:

En el centro de dovela 1) ................2559 daN*mEn el centro de dovela 2) ................7144 daN*mEn el centro de dovela 3) .............. 11152 daN*mEn el centro de dovela 4) ..............14373 daN*mEn el centro de dovela 5) ..............16663 daN*mEn el centro de dovela 6) ..............17852 daN*mEn el centro del arco ...................18000 daN*mEn el centro de dovela 7) ..............17852 daN*m En el centro de dovela 8) ..............16663 daN*mEn el centro de dovela 9) ..............14373 daN*mEn el centro de dovela 10) ............ 11152 daN*mEn el centro de dovela 11) ..............7144 daN*mEn el centro de dovela 12) ..............2559 daN*m

Con el valor de los momentos calculados, procedemos a determinar el valor de los pesos elsticos para cada dovela.

s

EI

M=w

eslabn s E I s/EI Mi i cota X cota Y

1 110 200000 228000 0,000 255931,979 0,000 44,29 34,32

2 110 200000 228000 0,000 714359,795 0,001 134,03 99

3 110 200000 228000 0,000 1115203,967 0,002 229,92 154,45

4 110 200000 228000 0,000 1437333,688 0,003 330,68 199,34

5 110 200000 228000 0,000 1666306,048 0,004 436,48 231,25

6 110 200000 228000 0,000 1785252,119 0,004 545,69 247,89

7 110 200000 228000 0,000 1785252 0,004 545,69 247,89

8 110 200000 228000 0,000 1666306 0,004 436,48 231,25

9 110 200000 228000 0,000 1437334 0,003 330,68 199,34

10 110 200000 228000 0,000 1115204 0,002 229,92 154,45

11 110 200000 228000 0,000 714360 0,001 134,03 99

12 110 200000 228000 0,000 255932 0,000 44,29 34,32

0,033

iA 0,016





12.00

2.5

0

q = 1000 daN / m

A B0.3432

0.99

1.5445

1.99342.3125

2.4789

.4429 1.3

403

2.2

992

3.3

068

4.3

648

5.4

569

corrimiento horizontal6.7212 cms

Una vez evaluados los pesos elsticos en el centro de cada dovela, y de acuerdo con lo establecido anteriormente, podemos resolver el problema del trazado de la elstica hacindolo en forma analtica o por medio de una representacin grfica.

1) Resolucin grficaEl arco lo representamos a una escala (m

1). En nuestro ejemplo lo dibujamos a la escala

1/100. A cada peso elstico lo representamos con un vector a una cierta escala (m2).

En nuestro ejemplo, la escala

cmk

cmm

*000.000:1

12 =

Elegimos el valor de H tal que sea igual a s

EI

o a una cierta escala (m

4)

En nuestro ejemplo =H

s

EI

=

110

000.228*000.200=

810*14545,4

Por lo tanto, para tener H = 4,14545 cms, la escala m4 deber ser

810

1

84 10

1=m

El resultado lo leemos en el trazado funicular a la escala

4

21

m

mm

8101

000.000:11

*100

1

= 1

Las flechas en cualquier punto del arco se determinan leyendo en el trazado funicular a la es-cala 1/1. O sea, ese trazado funicular es la representacin de la lnea elstica. Ver pgina 57.

daN*cm




Si deseamos evaluar los corrimientos horizontales, tenemos que trazar una funicular cuyos rayos sean perpendiculares a los rayos tomados para determinar los corrimientos verticales.

Este trazado es el que puede observarse en la primera figura de la pgina 56. En nuestro caso, el mximo corrimiento es el del apoyo B, y su valor es de 6.7212 cms.

2) Resolucin analticaPara resolver el problema analticamente, aplicamos en el centro de cada dovela el peso

elstico i, cuyo valor se encuentra en la planilla de la pgina 55.

H = 4.1455 cms

flecha mxima = 6.1532 cms

H = 5 cms





Tomamos momentos de los vectores que representan a los pesos elsticos (incluyendo la reaccin en el apoyo A) en ejes tales como el representado en lnea punteada, como la que pasa por C. Evaluamos el corrimiento vertical de cada uno de los puntos centro de cada dovela, con lo cual podemos dibujar la lnea que representa la deformacin del arco en vertical.

El corimiento del punto C ser:

Grficamente, el valor hallado es 6,1532 cms. El error es del 0.4%.

De esta forma se puede calcular el corrimiento para cualquier punto, aplicando el mismo procedimiento.

12.00

A B

0.0

0061738

0.0

0172324

0.0

0269

0.0

03467

0.0

0402

0.0

04306

5.45

4.36

3.30

2.30

1.34

0.44

0.0

168242

C

0.0

168242

128012.6=c




Calcularemos ahora el corrimiento horizontal de los puntos del arco:

Para hallar el corrimiento del punto B, trazamos un eje (lnea punteada que une A con B).

Tomamos momentos de los vectores que representan los pesos elsticos respecto a ese eje.

Como los pesos elsticos son simtricos, al producto de los momentos lo multiplicamos por 2.

El corrimiento del punto B ser:

Grficamente, el corrimiento horizontal nos dio 6,7212 cms. Tenemos una diferencia en los clculos de 2%. Con esto damos por finalizado el anlisis de las deformaciones en estructuras de alma llena.

Pasaremos ahora a estudiar las deformaciones en estructuras reticuladas de 1 y 2 es-pecie.

12.00

A B0.0336484

0.00269

0.00172324

0.0034670.00402

0.004306

0.00061738

2.4

789

2.3

125

1.9

934

1.5

445

0.9

900

0.3

442

[ ]89,247*00430653.025,231*0040196.034,199*00346725.045,154*00269.099*00172324.042,34*00061738.0*2 +++++=B

cmsB 5901,6=





3.0 Deformacioneselsticasen estructurasreticuladasplanas

ConsiDEraCionEs.gEnEralEs

Problemas generales de deformaciones elsticas nos obligan a determinar qu forma adop-tan los sistemas reticulares del caso, sometidos a sistemas de cargas. Conocida la geometra de las piezas, y una vez avaluados los esfuerzos en las barras del reticular, por el mtodo de Cremona, Culmann o Ritter, podemos evaluar las deformaciones en cada una de las barras en forma aislada.

Lo que no podemos todava es determinar la deformacin de conjunto.Una barra de longitud L y de seccin A, sometida a un esfuerzo axil F, sufre una

deformacin unitaria.

E

=

EA

F=

La deformacin total ser

EA

LFLL

** ==

A estos valores deberemos ponerle signo positivo o negativo, segn la barra sufra alarga-miento o acortamiento.

Adems, las barras pueden estar sometidas a efectos de temperatura, que hacen variar sus dimensiones. Las deformaciones anelsticas se obtienen con la expresin:

LL ttt **=

en donde

t = coeficiente de dilatacin trmica del material. = t aumento o disminucin de temperatura.

=L longitud de la barra.

tfinalLLL +=




B polo O B

AB B B1

a

A Oa = A A1A

1 Ob = B B

1

Si se considera una barra AB aislada, que compone un sistema reticulado, sta puede sufrir:1) una traslacin paralela hasta A

1 B;

2) un acortamiento o alargamiento (AB

) con signo positivo o negativo, de BB;3) una rotacin de ngulo muy pequeo (de B a B

1) en la que se llega a la posicin final

A1 B

1.

Como el giro es muy pequeo, el arco BB1 puede sustituirse por la normal a la recta

A1B tomada desde el punto B.Esto mismo puede observarse si se toma un polo fijo O. Por l se traza un vector, a una

escala conveniente, con la misma direccin y sentido al corrimiento AA1. De esta forma se fija

la posicin del punto a. A partir de este punto se traza el vector ab que representa, a la misma escala anterior, la dilatacin

AB de la barra AB.

El siguiente paso consiste en efectuar una rotacin angular (muy pequea), tomando como centro de rotacin el punto a. Como la rotacin es muy pequea, en lugar de trazar el arco, trazamos la tangente al arco, que es perpendicular a la recta ab, con lo que determinamos el punto b. El vector Ob nos determina el corrimiento real del punto. Veremos ahora el diagrama de deformaciones de un sistema de barras.

Tomemos por ejemplo un sistema compuesto por dos barras (AB) y (BC) que concurren al nudo C. C

1

1

1 90

C

2

C C

2 O (a,b) C

-

2 90 (1) (2) corrimiento del nudo C

A B La barra AC sufre un alargamiento

1 desde C hasta C

1.

La barra CB sufre un acortamiento 2 desde C hasta C

2.

DEformaCionEs.ElsTiCas.En.EsTruCTuras.rETiCulaDas.Planas

90b

b

AB




Los puntos A y B permanecen fijos. Si se suelta el nudo C y se deja dilatar a la barra AC, ste se ubicar en C

1. Si se deja contraer la barra CB, el nudo C se ubicar en C

2.

Si permitimos rotar la barra AC (dilatada) respecto al punto A y a la barra CB (contrada) respecto al punto B, y a las rotaciones las sustituimos por las cuerdas desde C

1 y C

2, el punto

de encuentro ser el C, posicin final del punto C. La deformacin final del punto C estar dada por el vector CC. Se puede llevar a un polo fijo O estas variaciones

1 y -

2en magnitud,

direccin y sentido.Los vectores son trazados por los extremos y luego haciendo centro en O arcos de circunfe-

rencia. Donde stos se corten, nos darn la ubicacin del punto C. El desplazamiento del punto C estar dado por el vector OC. Como los desplazamientos son muy pequeos, en vez de trazar los arcos, se sustituyen por las cuerdas; esto es, las normales a los vectores corrimientos, y donde estas normales se interceptan, se obtiene el punto buscado con un error absolutamente despreciable.

Debe tenerse especial cuidado con el sentido de los corrimientos al ser colocados en la dinmica. Si suponemos fijo el punto A, la barra se dilatar en el sentido de AC; esto es, para la barra BC el acortamiento de la barra ser en el sentido .

A este procedimiento se le llama DIAGRAMA DE WILLIOT, quien en 1877 lo public en su Notions pratiques sur la Statique graphique, en los Annales du Genie Civil, 2nde srie, 6me anne, pg. 713.

Veremos ahora un ejemplo para aclarar el procedimiento:Tomemos la marquesina A B C D E sometida a un sistema de cargas P en sus nudos. Cono-

cidos los valores de los esfuerzos en las barras (calculados por el procedimiento de Cremona, Culmann, Ritter o Henneberg), se obtiene fcilmente el valor de las deformaciones en todas y cada una de las barras.

A

B

CD

E

(+)

(+)(+)

(-)

(-) (-)

P

P

P

O ( a' e' )

b'1b'2d'1

b'

d'2d'

c'1 c'2

c'

B'

C'D'




Como en el caso anterior, debemos partir de dos nudos cuya posicin sea conocida para fijar un tercero, y as sucesivamente.

En el ejemplo partimos de los nudos A y E, que permanecen fijos. Debemos ubicar el nudo B. En la dinmica, tomamos las deformaciones de las barras AB y EB a una escala conveniente. Por sus extremos trazamos las normales, y en el cruce de ellas est la imagen del punto B. El corrimiento est indicado por el vector trazado Ob.

Conocida la posicin del nudo B, podemos ubicar la nueva posicin del punto D despus de la deformacin. Ahora tomamos como puntos fijos el punto E y el B.

En la dinmica, por los puntos e y b, imgenes de los nudos E y B, se trazan las deforma-ciones de las barras ED y BD. Por sus extremos se trazan las normales y donde stas se cruzan se encuentra el punto d, imagen del nudo D. El corrimiento del nudo D est representado por el vector O d. Este corrimiento se compone de dos movimientos: uno debido a la elasticidad de las barras (es el bd) y otro debido a la traslacin paralela del reticulado en la anterior de-formacin (la del nudo B).

De esta forma se contina. Nos basamos ahora en los nudos B y D que han sufrido el pro-ceso de deformacin, yendo a ocupar la posicin B D. Tomndolos como fijos, procedemos a ubicar la posicin del nudo C. A partir del punto b, colocamos la deformacin de la barra BC, obteniendo el punto c

2 A partir del punto d, colocamos la deformacin de la barra DC y

obtenemos el punto c1.

Trazamos los arcos (los sustituimos por las cuerdas) y as obtenemos el punto C. De esta forma se resuelven los reticulares de 2 especie; esto es, aqullos en que se conoce la posicin de dos de sus nudos fijos y se pasa a ubicar un tercero, y as sucesivamente.

analizarEmos.ahora.los.rETiCularEs.DE.PrimEra.

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