Análisis de Fourier - Instituto Tecnológico de Querétaro · Análisis de Fourier del P. de Muestreo • La transformada de Fourier de un tren de pulsos de frecuencia fs es otro

Análisis de Fourier

2

Objetivo

Exponer las relaciones de la transformada de Fourier con las señales y los sistemas que las generan.

Interpretar el significado físico de la Transformada de Fourier y sus propiedades.

Representar las funciones racionales en el plano complejo y sus implicaciones en el comportamiento de las señales.

El alumno deberá entender las las diversas propiedades de la transformada de Fourier con particular atención en las interpretaciones físicas respectivas.

Al finalizar esta unidad el alumno deberá ser capaz de entender la importancia y utilidad las transformaciones directa e inversa de Fourier.

Composición de la Luz● Desde la antigüedad se cuestiona la naturaleza de la luz y de sus fenómenos ópticos, en particular el significado del arcoiris.

● Los antiguos griegos asumían que la luz viajaba en línea recta. Por su parte la corriente pitagórica sostenía que cada objeto emitía un flujo ininterrumpido de partículas. A su vez Aristóteles concluyó que la luz viajaba en ondas.

● En 1637 Descartes publica una teoría sobre la refracción la luz y su naturaleza ondulatoria en analogía a las propiedades de propagación del sonido en distintos medios y los cambios de velocidad al pasar por ellos.

Introducción

Composición de la Luz● En 1704 Newton publica en su obra «Opticks» su teorías sobre la reflexión y refracción de la luz, donde consideraba a esta última como un flujo de partículas y no como ondas.

● Sin embargo sus experimentos con prismas permitieron determinar que la luz está compuesta por componentes fundamentales « eigenvectores » los cuales combinados entre sí producen la luz blanca.

Introducción

Composición de señales● La noción general es que cualquier señal podría estar compuesta por multitud de elementos individuales, e.g. Instrumentos musicales:

Introducción

Propósito del análisis de Fourier● Ser capaz de expresar cualquier señal en términos de sus componentes básicos para su análisis o modificación.

● Cabe recordar que las señales son básicamente la descripción de un fenómeno físico.

● Resulta ser que las señales sinusoidales son justamente los componentes fundamentales de todas las señales existentes.

Introducción

Oscilaciones● Existe una gran cantidad de sistemas dinámicos con patrones de movimiento circular (oscilatorios).

Introducción

http://www.animations.physics.unsw.edu.au/jw/phasor-addition.html

Oscilaciones

Introducción

Oscilaciones

● Periodo (ts)

Introducción

Oscilaciones

● Periodo (ts)

● Frecuencia (1/ts)

Introducción

Facetas del análisis de Fourier● Análisis :

● Del dominio del Tiempo al de la Frecuencia

● Determinar la contribución de distintas frecuencias

● Descubrir propiedades ocultas en este dominio

● Síntesis :

● Del dominio de la Frecuencia al del Tiempo

● Crear o ajustar señales a componentes específicos de frecuencia

Introducción

Un problema típico

• Dada una señal de entrada x(t), ¿Cual es la señal de salida del sistema y(t) después de pasar por él?

Recurrimos a las transformaciones para evitarnos complicaciones

X(t)

t

Filtroy(t) ?

• Si tenemos un filtro pasa bajos de primer orden con un resistor R y un capacitor C:

• El sistema se describe mediante la ec. diferencial:

RCy' ( t )+y( t )=x ( t )

Un problema típico

Recurrimos a las transformaciones para evitarnos la integración de la respuesta del sistema

Convolución

• Operador matemático (*) que combina 2 funciones de entrada, e.g.: x(t) y h(t) para producir una tercera: y(t)

• La cual expresa la magnitud del traslape de la función x(t) y la función h(t) a medida que una señal se recorre sobre la otra.

dhtxthtxty )()()()()(

Suavizado

Convolución

* =

• La convolución es muy utilizada en el procesamiento de imágenes (e.g.: Difuminado gaussiano 2D)

Convolución

Delta de Dirac δ(t)

Convolución con la delta de Dirac δ(t)

• La convolución de una señal con la delta de Dirac (t) produce simplemente la misma señal a la salida

• La convolución con una delta recorrida (t-) produce un corriemiento (retardo) de la señal original (x(t-)).

(t-)

Convolución como operador de retardo

Propiedades de la Convolución

• Debido a que la convolution es un operador lineal, entonces posee las típicas propiedades lineales:

– Conmutatividad

– Asociatividad

– Distributividad

– Multiplicación escalar

Resolviendo usando la convolución

• El filtro pasa bajos de primer orden:

• El sistema se describe por su respuesta al impulso:

• Solución: Convolución con la respuesta al impulso x(t)

• La Convolución es tardada y costosa para calcularse.

• Sugerencias de salidas y(t).

Resolviendo usando la convolución

Interpretación Física

Jean-Baptiste Fourier en 1807:

Cualquier función periódica puede ser re-escrita como una suma ponderada de senos y cosenos de diferentes frecuencias.

Conocidas como Series de Fourier

Construcción: Pulsos cuadrados

Otros ejemplos

La T. de Fourier expande esta idea

• Cualquier señal (periódica y no-periódica) en el dominio del tiempo puede descomponenrse en series de senos y cosenos en el dominio de la frequencia.

T. de Fourier: Definición Formal

• Convención: Con Mayúsculas se identifican las variables transformadas al dominio de la frecuencia:

• Transformada directa: F{ x(t) } = X() or X(f) (=2f)

• Transformada Inversa: F-1{Y() or Y(f) }= y(t)

F (ω)=∫−∞

+∞

f (x )e− j ω x dx

f (x )=1

2π∫−∞

+∞F (ω)e j ω x d ω

TF entrega números complejos

• Se produce una salida con números complejos– Los coeficientes Coseno son reales

– Los coeficientes Seno son imaginaios

Planos Complejo

• Los números Complejos pueden representarse:

1) Combinación de parte real + parte imaginaria:

x +iy

2) Amplitud + Fase

A and

Representación alternativa de TF

• Los números complejos pueden también ser representados como: amplitud + fase.

Ejemplos de transformada de Fourier

Señales rápidas vs señales lentas

Dominio del tiempo t Dominio en la Frecuencia

Real

Real

Real




Función Coseno



Función Seno

Real

Real

« DC component »



Propiedades de la T de Fourier

• Aditividad

• Multiplicación escalar

• Convolución en el tiempo t

• Convolución en la frecuencia

)()()}()({ BAtbtaF

)()}({ kAtkaF

)()()}({)}({)}()({ HXthFtxFthtxF

F−1 {X (ω)∗H (ω) }=2πx ( t )h (t )

FT : dualidad tiempofrecuenciaDominio del Tiempo Dominio en Frecuencia

“Angosto” “Amplio”

“Amplio” “Angosto”

Multiplicación Convolución

Convolución Multiplicación

Box Sinc

Sinc Box

Gauss Gauss

Real + Par Real+Par (sólo cosenos)

Real + Inpar Im + Inpar (sólo senos)

Etc.. Etc..

Ejemplo : Transformada Fourier

¿ Que pasa cuando el ancho de banda |Y(f)| de una señal de voz (limitada a 5 kHz) se multiplica por un coseno f = 15 kHz?

(i.e.: Modulación en Amplitud radio AM )

Solución FT

Dominio del tiempo

Dominio de la frecuencia

FT Gaussian Blur

Dominio del espacio 2D


Teorema de muestreo

• Con el fin de ser utilizado dentro de un sistema digital, una señal continua debe ser convertida en una secuencia de valores discretos.

• Esto se hace mediante el muestreo de la señal continua en intervalos regulares de tiempo.

• Pero en qué intervalo?

• El muestreo puede realizarse al multiplicar la señal mediante un tren de pulsos (impulsos):

Teorema de muestreo

Aliasing• Si la frecuencia de muestreo es muy baja en comparación

de la frecuencia de la señal, ocurrirá el efecto aliasing: Una señal diferente será representada (i.e.: un alias)

Análisis de Fourier del P. de Muestreo

• La transformada de Fourier de un tren de pulsos de frecuencia fs es otro tren de pulsos con intervalo 1/fs , pero en el dominio del tiempo:


Dominio del tiempo

• El Aliasing ocurre si fs <2 fmax – Frecuencia de Nyquist = fs / 2


fmax -fmax


Dominio del tiempo

• El Aliasing ocurre si fs <2 fmax – Frecuencia de Nyquist = fs / 2


fmax -fmax


Dominio del tiempo

● El teorema de muestreo sirve de puente entre las señales analógicas y las digitales, al relacionar ambos tipos de señales bajo la siguiente fórmula:

Muestreo continuo : Nyquist & Shannon

x ( t )= ∑n=-∞

∞

x [n]sin (π(t−nT S)/T S)

π( t−nT S)/T S


Facetas del análisis de Fourier● Análisis :

● Del dominio del Tiempo al de la Frecuencia

● Determinar la contribución de distintas frecuencias

● Descubrir propiedades ocultas en este dominio

● Síntesis :

● Del dominio de la Frecuencia al del Tiempo

● Crear o ajustar señales a componentes específicos de frecuencia

Transformada Discreta de Fourier

Marco matemático● Aplicación en señales de longitud finita :

● Vectores / arreglos en ℂN

● El análisis de Fourier básicamente representa un cambio de sistema coordenado

● Dicho cambio permite observar el mismo fenómeno desde una perspectiva completamente distinta.

● Si el cambio de sistema coordenado es el adecuado, podemos descubrir características antes ocultas para el marco de referencia anterior.


Marco matemático


Marco matemático


Sistema coordenado para ℂN

● Se propone un sistema de coordenadas con N vectores

● Donde n representa el índice que apunta o recorre los N-elementos en cada vector, mientras que k es el índice que indica de cual vector del conjunto también N se está tratando.

● El sistema se propone como un sistema ortogonal


w k [n ]= ej

2 π

Nnk

n ,k=0,1,. .. , N−1


● Se propone un sistema de coordenadas con N vectores

● El elemento representa una exponencial compleja cuya frecuencia fundamental ω está definida por:


ej

2 πN

nk

ω =2 π

Nk El índice k determina la frecuencia

fundamental del vector ortogonal

w k [n ]= ej

2 π

Nnk

n ,k=0,1,. .. , N−1


● Usando la notación vectorial

con

se define el sistema de vectores ortogonales


wn(k )

= ej

2 π

Nnk

{w k} k=0,1,. .. , N −1



con


wn(k )

= ej

2 π

Nnk

{w k} k=0,1,. .. , N −1

Im

Re

1

-1

-1 1

2π/N

w1 [0]

w1 [1]

w1 [2]w

1 [3]

k = 1



con


wn(k )

= ej

2 π

Nnk

{w k} k=0,1,. .. , N −1

Im

Re

1

-1

-1 1

(2π/N)*2

w2 [0]

w2 [1]

w2 [2]

w1 [3]

k = 2

Sistema coordenado w(0) ∊ ℂN


Re

Im

N = 64



Re

Im

N = 64

wn(0)

= ej

2 π

Nn⋅0

= 1



Re

Im

N = 64



Re

Im

N = 64

ω =2 π

N(1)



Re

Im

N = 64



Re

Im

N = 64

ω =2 π

N(2)



Re

Im

N = 64



Re

Im

N = 64

ω =2 π

N(3)



Re

Im

N = 64



Re

Im

N = 64



Re

Im

N = 64



Re

Im

N = 64



Re

Im

N = 64

ω =2 π

64(16)= π

2



Re

Im

N = 64



Re

Im

N = 64



Re

Im

N = 64



Re

Im

N = 64



Re

Im

N = 64



Re

Im

N = 64

ω =2π64

⋅32 = π



Re

Im

N = 64



Re

Im

N = 64



Re

Im

N = 64



Re

Im

N = 64



Re

Im

N = 64



Re

Im

N = 64

Sistema coordenado: Ortogonalidad

● Prueba:


* : conjugado

⟨w (k ) ,w (h)⟩ = ∑

n=0

N−1

(e j2 π

Nnk )

*

ej

2 π

Nnh


● Prueba:


⟨w (k ) ,w (h)⟩ = ∑

n=0

N−1

(e j2 π

Nnk )

*

ej

2 π

Nnh

* : conjugado

⟨w (k ) ,w (h)⟩ = ∑

n=0

N−1

ej

2 π

N(h−k ) n


● Prueba:


⟨w (k ) ,w (h)⟩ = ∑

n=0

N−1

ej

2 π

N(h−k ) n

I) h=k → ej

2π

N(0)n


● Prueba:


I) h=k → ej

2πN

(0)n

= 1+ i0

⟨w (k ) ,w (h)⟩ = ∑

n=0

N−1

ej

2 π

N(h−k ) n


● Prueba:


I) h=k → ej

2πN

(0)n

= 1+ i0

∑n=0

N −1

= N

⟨w (k ) ,w (h)⟩ = ∑

n=0

N−1

ej

2 π

N(h−k ) n


● Prueba:


⟨w (k ) ,w (h)⟩ = ∑

n=0

N−1

ej

2 π

N(h−k ) n

II) h≠k usamos la propiedad : ∑n=0

N −1

an=

1−aN

1−a1


● Prueba:


⟨w (k ) ,w (h)⟩ = ∑

n=0

N−1

ej

2 π

N(h−k ) n


N −1

an=

1−aN

1−a1

∑n=0

N −1

ej

2 πN

n

=1−e j 2π (h−k )

1−ej

2πN

(h−k )


● Prueba:


⟨w (k ) ,w (h)⟩ = ∑

n=0

N−1

ej

2 π

N(h−k ) n


N −1

an=

1−aN

1−a1

∑n=0

N −1

ej

2 πN

n

=1−e j 2π (h−k )

1−ej

2πN

(h−k )


● Prueba:


⟨w (k ) ,w (h)⟩ = ∑

n=0

N−1

ej

2 π

N(h−k ) n


N −1

an=

1−aN

1−a1

∑n=0

N −1

ej

2 πN

n

=1−e j 2π (h−k )

1−ej

2πN

(h−k )

1


● Prueba:


⟨w (k ) ,w (h)⟩ = ∑

n=0

N−1

ej

2 π

N(h−k ) n


N −1

an=

1−aN

1−a1

∑n=0

N −1

ej

2 πN

n

=1−e j 2π (h−k )

1−ej

2πN

(h−k )

0


● Prueba:


⟨w (k ) ,w (h)⟩ = ∑

n=0

N−1

ej

2 π

N(h−k ) n

⟨w (k ), w(h )⟩ =

N para h=k 1−e j 2 π (h−k )

1−ej

2 π

N(h−k )

= 0 para h≠k


● La definición de N vectores ortogonales forman el sistema coordenado para el espacio ℂN

● El espacio aún no es ortonormal ya que los vectores no están normalizados.

● El factor de normalización deberá ser : 1 / √N


⟨w (k) ,w (k)⟩ = N

Sistema coordenado

● Notación de la señal :

● Notación vectorial :


{w (k)} k=0,1,. .. , N−1 con wn

(k)= e

j2π

Nnk

w k [n ]= ej

2π

Nnk

n , k=0,1,. .. , N −1

Expansión del Sistema

● Análisis :

● Síntesis :


x =1N ∑

k=0

N −1

X k w (k)

X k = ⟨w (k) , x⟩


● Análisis :

● Síntesis :


x =1N ∑

k=0

N −1

X k w (k)

X k = ⟨w (k) , x⟩

Ya que el sistema NO está normalizado, se incluye 1/N en la fórmula de Síntesis


● Señal en notación vectorial :


x̄ = ∑ xk e−(k)




δ [n−k ]

x̄ = ∑ xk e−(k)




x̄ = ∑ xk e−(k)




x̄ = ∑ xk e−(k)

x̄ =1N ∑

k=0

N−1

X k w(k)

Síntesis




x̄ = ∑ xk e−(k)

x̄ =1N ∑

k=0

N−1

X k w(k)

Síntesis




x̄ = ∑ xk e−(k)

x̄ =1N ∑

k=0

N−1

X k w(k)

Síntesis

Componentes sinusoidales




x̄ = ∑ xk e−(k)

x̄ =1N ∑

k=0

N−1

X k w(k)

Síntesis

Componentes sinusoidales

Xk = coeficientesobtenidos duranteel análisis

Expansión del Sistema: Forma matricial

● Análisis :

● Síntesis :


x =1N

W H X

X = W x


● Si se define :

● Se puede definir la matriz W, con W [k,n] =


W = [1 1 1 1 … 11 W 1 W 2 W 3 … W (N−1 )

1 W 2 W 4 W 6 … W 2 (N−1 )

…

1 W N−1 W 2 (N−1 ) W 3(N −1) … W (N−1 )2 ]

WN = e− j 2π

N

W Nkn

Conjugado de cada vector en cada renglón



X = W x



X = W x 0 → DC

-1/8 → 1/8 fc

-2/8 → 1/4 fc

-3/8 → 3/8 fc

-4/8 → 1/2 fc

-5/8 → 5/8 fc

-6/8 → 3/4 fc

-7/8 → 7/8 fc

+f

-f


● Análisis :

● Síntesis :


x =1N

W H X

X = W x


● Análisis :

● Síntesis :


x =1N

W H X

XNx1 ← WNxN xNx1

X = W x

xNx1 ← W NxNH X Nx1

Expansión del Sistema: Viendo la señal

● Análisis :

● Síntesis :


X [ k ]= ∑n=0

N −1

x [n ]e−j

2 π

Nnk

, k=0,1,2,. .. , N−1

Señal de N puntos en el dominio de la frecuencia

x [n ] =1N ∑

k =0

N−1

X [k ] ej2 π

Nnk

, n=0,1,2,. .. , N−1

Señal de N puntos en el dominio del tiempo

DFT de x[n] = δ[n], x[n] ∈ ℂN


X [ k ]= ∑n=0

N −1

δ[n ] e− j

2 π

Nnk

N=16

DFT de x[n] = 1, x[n] ∈ ℂN


X [ k ]= ∑n=0

N −1

e− j

2 π

Nnk

= N δ[ k ]

N=16

DFT de x[n] = 3cos(2πn/16), x[n] ∈ ℂ64


x [n ] = 3cos (2π

16n) N=64

ω=2π/64

x [n ] = 3cos (2π

644n)

x [n ] =32

[e j2π

644n

+e− j

2 π

644n]

x [n ] =32

( w4[n ]+w60[n ])

cos ω=e j ω

+ e− j ω

2

=32

[e j2 π

644n

+ej

2 π

6460n ]



X [ k ]= ⟨w k [n ] , x [n ]⟩

= ⟨ w k [n ] ,32

(w4 [n ]+ w60 [n ])⟩= ⟨ w k [n ] ,

32

w4 [n ]⟩+ ⟨ w k [n ] ,32

w60[n ] ⟩X [ k ]= 96 para k = 4 ,60

0 para los demás



Re

Im

DFT de x[n]=3cos(2πn/16 + π/3), x[n] ∈ ℂ64


x [n ] = 3cos (2π

16n + π

3 ) N=64ω=2π/64

x [n ] = 3cos (2π

644n + π

3 )

x [n ] =32

[e j2π

644n

ej π

3+e− j

2 π

644n

e− j π

3 ]

x [n ] =32

[e j π3 w4 [n ]+e

− j π3 w60 [n ]]



X [ k ]= ⟨w k [n] , x [n ]⟩

X [ k ]= ⟨ wk [n ],32

ej π

3 w4[n ]⟩+ ⟨ w k[n ] ,32

e− j π

3 w 60[n ] ⟩

X [ k ]= 96 e jπ /3 para k = 4 96 e− jπ /3 para k = 60 0 para los demás



Re

Im


|x[k]|

∠x[k]




2π64

6 <2 π

10<

2 π

647

N=64ω=2π/64

Matlab / Octave

N=64;

n=[0:N-1];

x=3*cos((2*pi*n)/10);

res=fft(x);

Debido a que no coincide con los componentes primarios del espacio, se necesita hacer la transformación numérica



Re

Im

6 y 7 58 y 59



|x[k]|

∠x[k]

6 y 7 58 y 59

DFT de Escalón de longitud-M ∈ ℂ64


N=64

M=4X [ k ]= ∑

h=0

M −1

δ[n−h ] , n=0,1,. .. N−1


●Aplicando la transformada:


X [ k ]= ∑h=0

M −1

δ[n−h] , n=0,1,. .. N−1

X [ k ]= ∑n=0

N −1

x [n ]e−j

2 π

Nnk

= ∑n=0

M−1

e− j

2 π

Nnk

X [ k ]=1−e

−j2 π

NkM

1−e− j

2 π

Nk

∑n=0

M −1

an=

1−aM

1−a



X [ k ]= 1−e−j

2 π

NkM

1−e− j

2 π

Nk

X [ k ]=e− j π

NkM [ e j π

NkM

−e−j π

NkM ]

e− j π

Nk [ e j π

Nk

−e− j π

Nk ]

X [ k ]=

sin (πN

Mk )sin(

πN

k )e− j π

N(M−1)k

1−e− jα

e− j α

2 (ej α

2−e−j α

2 )

2j sin α2

RealImaginaria



X [ k ]=

sin (πN

Mk )sin(

πN

k )e− j π

N(M−1)k

∣ ∙ ∣= 1

X [0 ]= M, a partir de la definición de la sumatoria

X [ k ]= 0 si el factor Mk /N es entero (0≤k<N )

∠ X [k ] es linear para todo k (excepto en los cambios de signo en la parte real)


Re

Im

DFT de Escalón de longitud-4 ∈ ℂ64

NM

= 1616 32 48



|x[k]|

∠x[k]

NM

= 1616 32 48



● La fase en realidad no se limita a un intervalo de 2π sino que progresa junto con la magnitud de la señal.

● Muchos paquetes (e.g. Matlab/Octave) la representan sin embargo alrededor del intervalo [ -π, π ]

● La fase pude extenderse adicionando múltiplos de 2π

∠x[k]


Interpretación de la Transformada

|x[k]|

0

frecuencias < π (ccw)

N-1N/2



|x[k]|

0

frecuencias > π (cw)

N-1N/2



|x[k]|

0

bajas frecuencias

N-1N/2

bajas frecuenciasAltas frecuencias



0

bajas frecuencias

N-1N/2


DFT de x[n] = 1 (mínima vel.), x[n] ∈ ℂ64

|x[k]|



0

bajas frecuencias

N-1N/2


(máx. vel.), x[n] ∈ ℂ64

|x[k]|

DFT de x[n] = cos(πn)

DFT de x[n] =(-1)n

Distribución de Energía● Teorema de Parseval:

La magnitud cuadrática del k-ésimo coeficiente de la DFT es proporcional a la energía de la señal contenida en la frecuencia ω = (2π / N) k


∥x∥2= ∑∣αk∣

2

∑n=0

N −1

∣x [n ]∣2 =1N ∑

k=0

N −1

∣X [k ]∣2

Distribución de Energía

La energía está concentrada en los 2 componentes de la DFT (4:CCW y 60:CW) que corresponden a la única frecuencia de la señal.



4 60

|x[k]|

Distribución de Energía

La energía está distribuida principalmente en las bajas frecuencias aunque se aprecia que casi TODOS los componentes de la DFT participan en la señal.


DFT de x[n] = escalón M=4, x[n] ∈ ℂ64

|x[k]|

Simetría de los Coeficientes


0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4

N=6, Longitud par N=5, Longitud impar

∣X [ k ]∣=∣X [N−k ]∣ para k=1,2,. .. ,[N /2 ]

Correspondencia de los coeficientes

Simetría de los Coeficientes

Para determinar representar la magnitud en realidad sólo es necesario emplear [N/2]+1 coeficientes


0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4

N=6, Longitud par N=5, Longitud impar

FT Gaussian Blur

* =

Dominio del espacio 2D


Which Transform to Use?

ApplicationContinuous

DomainDiscreteDomain

Signal Processing Fourier T. Discrete F.T.

(DFT/FFT)

Control Theory Laplace T. z-Transform

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