ANÁLISIS ESTRUCTURAL II

Semana 1_11 Set 1

Análisis Estructural II (IC-0804)Prof.: Ing. Ronald Jiménez Castro

III Cuatrimestre, 2019

Profesor: Ing. Ronald Jiménez Castro

Correo electrónico: rojica06@gmail.com

Página de Internet: www.rojica.jimdo.com

SEMANA I

Discusión del programa del curso

I. Descripción del curso:

Este curso muestra a los estudiantes de Ingeniería Civil losconceptos, principios fundamentales y métodos de cálculo delanálisis estructural, para luego aplicar estos conceptos al usode programas de cómputo para el análisis de todo tipo deestructuras.

II. Objetivo general:

Introducir conceptos básicos del análisis lineal por computadora.Familiarizar al estudiante con el uso de microcomputadoras y suaplicación en el área de Mecánica Estructural. Se dará especial énfasis en el estudio del método automático de rigidez.

III. Objetivos específicos:

Al aprobar el curso el estudiante será capaz de:• Diferenciar los principales tipos de estructuras (armaduras,vigas, marcos y mallas), así como las cargas a que sonsometidas.• Adquirir la destreza para intuir la condición deformada de lasestructuras sometidas a esfuerzos externos.• Manejar eficientemente los conceptos de transformacioneslineales que se aplican en el análisis estructural.• Revisar y afirmar los conceptos clásicos de la mecánicaestructural.• Definir y cuantificar las características de los grupos deelementos estructurales como unidades aisladas.• Adquirir las destrezas necesarias para utilizar el método derigidez directo, tanto manualmente como semiautomáticamentepor medio de un computador.• Conocer los procesos que se utilizan en los métodosautomáticos de análisis y manejar programas que lo utilizan.

IV. Contenidos

1.1. Introducción• Algebra matricial• Procedimientos generales del método de elemento finito• Métodos de análisis• Aplicaciones del método de elemento finito

1.2. Introducción al método de rigidez• Definición de matriz de rigidez• Derivación de la matriz de rigidez para elementos• Ensamblaje de sistemas con varios grados de libertad

1.3. Armaduras• Derivación de la matriz de rigidez• Transformación de vectores en dos dimensiones• Matriz de rigidez global• Armaduras en tres dimensiones• Método de Energía Potencial

1.4. Simetría y ancho de banda• Uso de la simetría en estructuras• Utilización del ancho de la banda

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Semana 1_11 Set 2

1.5. Elementos tipo viga• Derivación de la matriz de rigidez• Análisis de vigas por medio del método de rigidez directo• Cargas sobre los elementos

1.6. Marcos planos y mallas• Derivación de la matriz de rigidez para elementos tipo marco• Derivación de la matriz de rigidez para elementos tipo malla

1.7. Introducción al método de elemento finito• Definición de esfuerzos y deformaciones planas• Esfuerzos y deformaciones en un plano - Triángulo deDeformaciónConstante(TDC)• Derivación de la matriz de rigidez para el TDC• Distribución de cargas en el TDC

1.8. Análisis de estructuras por medio del SAP2000• Descripción del programa SAP2000• Modelaje de estructuras• Introducción de datos• Revisión de datos de salida

V. Metodología:El curso se desarrollará en 15 semanas, a razón de 4 horas porsemana. Las lecciones serán magistrales por parte del profesor,pero a partir del tema VIII estas se impartirán en las salas decómputo. Los temas se complementarán con ejemplosilustrativos para aplicar los conceptos.Para el análisis de estructuras por computadora se utilizará laversión educacional del programa SAP2000.

VI. Estrategias de aprendizaje:

Resolución de problemasAnálisis de casosExposicionesGiras técnicas dirigidasInvestigación BibliográficaInvestigación en Internet

VIII. Evaluación:

Tareas / Quices (10%)

Primer parcial (35%): Semana 6 (16 octubre)

Segundo parcial (35%): Semana 15 (18 diciembre)

Proyecto grupal (20%): Semana 15 (18 diciembre)

VII. Recursos didácticos:Equipo de Multimedia, pizarra acrílica y computadoras.

IX. Bibliografía:

• Hibbeler, R.C. (2012). Análisis Estructural. Octava edición,México, D.F., México, Editorial Pearson Educación.

• McCormac, J. (2011). Análisis De Estructuras Métodos Clásico yMatricial. Cuarta edición. Editorial Alfaomega.

X. Cronograma:Sesión Contenido Asignación

Sesión 1 Tema 1.1

Sesión 2 Temas 1.2 y Tema 1.3

Sesión 3 Tema 1.4

Sesión 4 (2 oct)

- Se repone con Capacitación del programa SAP

Sesión 5 Tema 1.5

Sesión 6 - Primer parcial

Sesión 7 Tema 1.6

Sesión 8 (30 oct)

- Se repone con Gira el 12 de Octubre (Área de Salud de San Isidro)

Sesiones 9, 10 y 11

Tema 1.7

Sesión 12 (27 nov)

- Se repone con Gira el 23 de Noviembre (Condominio Torres de La Montaña,

Desamparados)

Sesiones 13 y 14

Tema 1.8

Sesión 15 - Segundo parcial / Proyecto Grupal

XI. Disposiciones generales:

Se debe respetar todas las normas establecidas en el Reglamento de Régimen Académico de la Universidad Latina de Costa Rica.

XII. Notas sobre convalidación y otros:

Este curso es convalidable: sí Este curso se puede presentar por suficiencia: sí Este curso tiene examen de ampliación: sí

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Semana 1_11 Set 3

TEMA 1: ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADASIntroducción:

El Análisis Estructural es lapredicción del desempeño deuna estructura ante cargasprescritas y/o efectos externos,tales como movimientos en losapoyos y cambios detemperatura.

Para efectos del DiseñoEstructural, los parámetros demayor interés son: fuerzasinternas (axial, cortante ymomento), deflexiones yreacciones en los apoyos.

Antecedentes históricos

Catedral de Milán (Inicio construcción: 1386)

Se considera que a mediados del siglo XVII, se empezó a aplicarel conocimiento de la mecánica (matemáticas y ciencias) en elcálculo de estructuras. Previamente, éstas fueron diseñadas aprueba y error usando reglas empíricas basadasfundamentalmente en experiencias previas.

Galileo Galilei (1564-1642) es considerado como el iniciador dela teoría de las estructuras. En su libro “Dos nuevas ciencias”(1638), analizó la falla de un tipo de estructuras simples,incluyendo una viga en voladizo (aunque con algunos erroresconceptuales).

El avance de la Mecánica Estructural continuó durante el restodel siglo XIX y la primera mitad del XX, en los que se desarrollóla mayoría de los métodos clásicos de análisis estructural.

En esta etapa destaca Hardy Cross quien en 1924, desarrolló elMétodo de la Distribución de Momentos con el cual fue posibleel diseño de los primeros rascacielos.

Empire State (Nueva York)

(Construcción 1930-1931)

Los cimientos teóricos para de los métodos matriciales en elanálisis de estructuras se le atribuyen a James C. Maxwell(quien en 1864 introdujo el Método de las DeformacionesConsistentes) y en George A. Maney quien desarrolló el Métodode Pendiente-Deflexión.

De hecho, estos métodos se consideran los precursores de losmétodos matriciales de Flexibilidad (S. Levy, 1947) y Rigidez(R. K. Livesley, 1954) respectivamente. En la época “pre-computadoras”, la principal desventaja era que requerían laresolución de múltiples ecuaciones simultáneas de formamanual.

La invención de las computadoras a finales de la década de1940, revolucionó sin duda el Análisis Estructural. Loa anteriordebido a que se puede resolver grandes cantidades de sistemasde ecuaciones simultáneas y los análisis que antes tomabanvarios días o incluso semanas, ahora se ejecutan en segundos.

En 1956, M.T. Turner, R.W. Clough, H.C. Martin y L.J Topp,introdujeron el Método de Rigidez Directo, ampliamenteutilizado hoy en día y que es la base de múltiples programascomerciales.

Animación por computadora de la deformación por carga

gravitacional de un edificio con estructura a base de armaduras

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Semana 1_11 Set 4

Métodos de Flexibilidad y de Rigidez

Se pueden usar dos métodos para el análisis matricial deestructuras: Método de Flexibilidad y Método de Rigidez .

El Método de Flexibilidad (también llamado Método delas Fuerzas) es esencialmente una generalización enforma matricial del método clásico de las DeformacionesConsistentes en el cual las principales incógnitas son lasfuerzas redundantes. Éstas fuerzas se calculanresolviendo las ecuaciones que surgen de lacompatibilidad de la estructura. Una vez que seobtienen estas fuerzas, se calculan los desplazamientosmediante las ecuaciones de equilibrio y las relacionesfuerza-desplazamiento apropiadas.

Método de Rigidez (también llamado Método de losDesplazamientos) tiene su origen en el método clásicode Pendiente-Deflexión.En este caso, las incógnitas son los desplazamientos enlos nodos que se calculan a través de las ecuaciones deequilibrio de la estructura. Posteriormente, se hallan lasfuerzas desconocidas mediante los criterios decompatibilidad y de relación fuerza-deformación.

En este curso se estudiará únicamente el Método de Rigidezpor su facilidad para ser implementado en rutinas de cómputo.

A modo de resumen, la siguiente tabla establece unacomparación entre ambos métodos:

Método de Flexibilidad Método de Rigidez

Incógnitas Fuerzas redundantes Desplazamientos nodales

Ecuaciones

De compatibilidad geométrica en las

“liberaciones”

De equilibrio en los nodos

Bases para

describir la

estructura en

las ecuaciones

Coeficiente de flexibilidad

(desplazamientos causados por fuerzas

unitarias)

Coeficiente de rigidez (fuerzas causados por

desplazamientos unitarios)

Métodos clásicos vs métodos matriciales:

Los métodos matriciales no aportan ningún nuevo principiofundamental de la estructuras. La diferencia básica con relacióna los métodos clásicos es que las relaciones de equilibrio,compatibilidad y esfuerzo-deformación se expresan medianteecuaciones matriciales. Esto permite que los cálculos numéricosse puedan efectuar eficientemente en una computadora.

La mayoría de los métodos clásicos fueron desarrollados paraanalizar un tipo particular de estructuras y dado que los cálculoseran manuales, a menudo debían partir de ciertas suposicionesde manera que se redujera el número de variables y/oecuaciones.

Un ejemplo muy evidente de lo anterior es el Método deDistribución de Momentos que aplica para vigas y marcos condeformaciones por flexión únicamente, se desprecian lasdeformaciones axiales.

Si bien es cierto el hecho de despreciar las deformaciones porcarga axial simplifica los cálculos, se plantea una dificultadadicional: la necesidad de dibujar la “deformada” o curvaelástica del marco para cada grado de libertad asociado a undesplazamiento lateral y poder así estimar las magnitudesrelativas de los momentos de empotramiento de los elementos.

“Deformada” del marco debido al

desplazamiento lateral

Marco sin deformar

En contraste con los métodos clásico, los métodos matricialesson sistemáticos (pueden programarse) y generales (aplicanpara cualquier estructura tipo marco). Ésta última característicaproporciona versatilidad, lo cual hace atractivos estos métodos:en un programa que analiza cerchas tridimensionales puedenmodificarse ciertos parámetros para analizar una cerchabidimensional y viceversa.

Teatro Guthrie (Minneapolis, Estados Unidos)

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Semana 1_11 Set 5

Métodos clásicos vs Método de Elemento Finito

Los métodos matriciales únicamente pueden ser usados paraanalizar estructuras tipo marco (frame). El Método del

Elemento Finito (MEF), aunque surgió como una herramientapara el análisis de estructuras de superficie (placas, losas ymuros), se ha extendido para ser aplicado a casi cualquiertipología estructural.

Desde el punto de vista teórico, la diferencia básica entre losdos métodos es que en métodos matriciales, las relacionesfuerza-desplazamiento para un elemento están basados en lassoluciones exactas de ecuaciones diferenciales; mientras queen el Método de Elemento Finito, esas relaciones usualmenteson aproximadas y se derivan de los Principios Trabajo-Energíade funciones de desplazamiento o esfuerzo asumidas.

Debido a la naturaleza aproximada de las relaciones fuerza-desplazamiento, el MEF conduce a soluciones aproximadas.

Sin embargo, como se verá más adelante en el curso, en elcaso de análisis lineal de estructuras tipo marco compuestas demiembros prismáticos; ambos métodos conducen a resultadoscasi idénticos.

Modelo de Elementos

Finitos en una conexión

viga-columna de acero

Hipótesis

El Método de Rigidez se basa en una serie de hipótesis quedeben conocerse en detalle para no sólo aplicar de maneraapropiada el método sino también para interpretarcorrectamente los resultados.

Comportamiento elástico lineal: Se asume una relaciónlineal entre las cargas (fuerzas o momento) ydesplazamientos (traslaciones o rotaciones).

Ley de Hooke:

INTRODUCCIÓN AL MÉTODO DE RIGIDEZ Pequeñas deformaciones: No se cuantifican los efectos de

segundo orden como el llamado Efecto P-D.

Equilibrio: Se deben satisfacer las ecuaciones de equilibrio.

Compatibilidad: Se refiere a la relación entre las reaccionesen los apoyos y las deformaciones (desplazamientos y/orotaciones) en esos puntos.

Ecuaciones constitutivas: Establecen la relación entre lasfuerzas en los elementos y las deformaciones en susextremos (nodos).

A modo de resumen:

Las ecuaciones de compatibilidad relacionan las deformacionesde los elementos con los desplazamientos en los nodos.

Introduciendo estas relaciones en las ecuaciones constitutivas,se asocian las fuerzas en los extremos con los desplazamientosnodales. Finalmente, al incluir estas últimas relaciones en lasecuaciones de equilibrio, se dispone de un conjunto deecuaciones de las fuerzas en los nodos en términos de losdesplazamientos nodales.

La resolución de este sistema de ecuaciones permite obtener elvalor de las incógnitas (desplazamientos nodales) a partir de loscuales se obtienen tanto las fuerzas internas en los elementoscomo las reacciones en sus apoyos.

Conceptos básicos

Antes de abordar matemáticamente la resolución de estructurasindeterminadas es conveniente establecer una serie deconceptos teóricos que se seguirán empleando: Nodo (nudo): En términos generales corresponden a los

puntos donde convergen dos o más miembrosestructurales. Sin embargo, más adelante se verá queigual se consideran nodos puntos donde un elementopresenta cambios de sección u orientación.

Elemento: Componente de una estructura conpropiedades geométricas y físicas que le permitensoportar cargas sin provocar inestabilidad global.

Grado de libertad: Desplazamientos en los nudosindependientes (traslaciones y/o rotaciones) que sonnecesarias para especificar la deformada de unaestructura asociada a una carga arbitraria.

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Semana 1_11 Set 6

Definición de matriz de rigidez [k] ó [K]

Para un elemento dado, la matriz de rigidez es una matriztal que:

que relaciona los desplazamientos nodales en coordenadaslocales (x’, y’, z’) con sus correspondientes fuerzas .

Dicha definición pueden extrapolarse a una estructura demanera que la matriz de rigidez global , es una matriz talque:

que relaciona los desplazamientos nodales , en coordenadasglobales (X, Y, Z) con sus correspondientes fuerzas .

Deducción de la matriz de rigidez para un elemento tipo resorte

Esta es la forma más básica del análisis de la rigidez de unelemento.

Considérese un resorte lineal cuya constante es k y que sólopuede moverse en dirección x; es decir, un solo grado delibertad por nodo.

Nota: Se muestran las fuerzas y los desplazamientos en dirección

positiva (+)

La relación entre las fuerzas aplicadas en los extremos delresorte y los respectivos desplazamientos se expresa:

: Vector de fuerzas nodales (Tamaño mx1)

: Matriz de rigidez del elemento (Tamaño mxm)

: Vector de desplazamientos nodales (Tamaño mx1)

Empleando notación matricial:

La matriz de matriz de rigidez [k] de un elemento tipo resortelineal es:

Es importante notar las propiedades de la matriz de rigidez [k]:

Simétrica: Es decir: kij=kji.

Cuadrada: El número de filas m es igual al número decolumnas n.

Singular: Su determinante es nulo por lo que la matrizno posee inversa. Esta característica se revierte cuandose incorporan las condiciones de borde.

Diagonal principal positiva: Los términos de la diagonalson siempre positivos.

La derivación o deducción de la matriz de rigidez paradiferentes tipos de elementos es probablemente la parte máscompleja del Método. Sin embargo, una vez obtenida en suforma general, se pueden aplicar en cualquier estructura quecontenga ese tipo de elemento.

Las vigas continuas de este puente pueden analizarse

mediante métodos matriciales

Ensamblaje de matrices

Se define estructura como un conjunto de miembros unidos parasoportar cargas. Bajo este concepto, en el análisis de unaestructura (cercha, edificio, etc.) se requiere calcular la matriz derigidez total o global [K] que evidentemente se obtiene delaporte de la matriz de cada elemento individual [k]e:

De hecho el procedimiento general establece que una vez halladala matriz global, se imponen las condiciones de frontera (apoyoso restricciones) y se resuelven los desplazamiento nodales: {d}.

Finalmente, las fuerzas en los elementos se determinanaplicando la ecuación (1).

N: Número de elementos de la estructura