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Análisis Matemático 2014

Prof.: María Angélica Netto; Olga Vazquez Página 1

PROGRAMA DE ANÁLISIS MATEMÁTICO E. P. E. T. N° 20 - 2014 UNIDAD N° 1: FUNCIONES REALES Estudio de funciones reales (lineal, cuadrática, cúbica, módulo, homográfica, trigonométricas, por partes) a partir de su gráfico: dominio, imagen, intersección con los ejes cartesianos, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, máximos, mínimos, intervalos de concavidad, puntos de inflexión. UNIDAD Nº 2: FUNCIÓN EXPONENCIAL .FUNCIÓN LOGARÍTMICA Función exponencial. Gráfico. Corrimientos. Logaritmo: definición. Propiedades. Función logarítmica. Gráfico. Corrimientos. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas. UNIDAD Nº 3: LÍMITES Límite de una función escalar. Propiedades de los límites. Límites infinitos. Indeterminaciones del tipo 0/0. Indeterminaciones del tipo . Continuidad

de una función en un punto. Discontinuidades. Asíntotas. UNIDAD Nº 4: DERIVADAS Concepto de derivada. Derivación de funciones elementales. Derivación de funciones compuestas. Recta tangente y recta normal. Extremos relativos. Concavidad. Optimización. Análisis y gráficos de funciones. UNIDAD Nº 5: INTEGRALES Integral indefinida. Propiedades de las primitivas. Integral indefinida de una

función. Integrales inmediatas: Tabla de primitivas. Reglas de integración.

Métodos de integración: por descomposición, por cambio de variables

(sustitución).Cálculo de la integral definida. Concepto y propiedades. Regla de

Barrow. Cálculo de áreas. Área encerrada entre dos curvas. Ejercicios de

aplicación.

BIBLIOGRAFÍA #Matemática 2 Activa. Polimodal. Editorial Puerto de Palos # Matemática/Polimodal: Funciones 1 y 2. Editorial Longseller

# Elementos de cálculo diferencial e integral (Tomo I y II). Rabuffetti, Hebe. Ed.

El Ateneo

# Matemática 5. De Simone-Turner. Ed. Az (Serie de Plata)



Unidad n°1: Funciones Reales

Contenidos de la unidad: Estudio de funciones reales (lineal, cuadrática, cúbica, módulo, homográfica, trigonométricas, por partes) a partir de su gráfico: dominio, imagen, intersección con los ejes cartesianos, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, máximos, mínimos, intervalos de concavidad, intervalos de positividad y negatividad; puntos de inflexión.

Introducción:

“Las funciones desempeñan en la actualidad un papel importante en las aplicaciones de la matemática a otras ciencias.

El término “función” (del latín functio, acto por realizar) lo utilizó por primera vez Gottfried Leibniz en 1694, referido a curvas. Un siglo más tarde, Leonbard Euler veía una función como una expresión formada por constantes y variables. Fue él quien puso de moda el símbolo f(x), introducido por Alexis Clairaut en 1734. La definición hoy aceptada la incorporó Gustav DIrichlet a mediados del siglo XIX.

El concepto matemático de función formaliza la idea de asignación, tan frecuente en nuestra experiencia cotidiana: asignamos a cada persona su edad, a cada círculo su área, a cada número su cuadrado, a cada mes su producción…Todas ellas atribuyen un número a elementos de muy distintas categorías.

La faceta fundamental de la investigación científica consiste en poner en relación diversos tipos de fenómenos que pueden ser plasmados en una fórmula y hacer predicciones con ellas.

Es así como el físico sabe lo que sucederá al lanzar una piedra, o el médico lo que ocurrirá si hace descender el nivel de glucosa en la sangre de un paciente.”(1)

Para poder comprender más acerca del concepto de función y sus elementos, vamos a resolver algunos problemas.

Problema 1

Esta gráfica muestra la evolución de la audiencia de una radio en una ciudad. El porcentaje se refiere a toda la población del lugar de 14 años o más.

a. ¿A qué hora hubo más audiencia? b. ¿Cuál es el período de menor audiencia?

¿por qué? c. Identifica las variables que se relacionan

Problema 2



Los teléfonos actuales tienen asignados a sus teclas letras y números, por lo que a muchas empresas que contratan el servicio de 0800 les asignan números fáciles de memorizar para sus clientes. Así, por ejemplo una escuela podría tener el 08003728352, que se corresponde con el 0800ESCUELA.

a. ¿Qué números habría que marcar para comunicarse con el 0800HELADOS? b. ¿A qué palabra corresponderá el 08001843367? c. Identifica las variables que se relacionan

En cada problema se relacionaron dos variables, por ejemplo: porcentaje de audiencia y hora del día. En este caso decimos que la hora del día es la variable independiente y el porcentaje de audiencia la variable dependiente (¿por qué reciben estos nombres?)

DEFINICIÓN 1: Una relación entre dos variables es una FUNCION si a cada valor de la

variable independiente le corresponde un único valor de la variable dependiente.

En funciones dadas por fórmulas se suele utilizar la siguiente notación:

f(x)=y x e y son variables (¿por qué?).

x es la variable independiente e y la variable dependiente

Observación: los nombres de las variables (x e y) o el nombre de la función (f) pueden variar

Actividad: dadas las siguientes relaciones dadas por fórmula decidir cuáles de ellas corresponden a funciones y cuáles no. Justifica tú respuesta

a.

b.

c.

d. +3

DEFINICION 2: El DOMINIO de una función es el conjunto de todos los valores que puede

tomar la variable independiente.

Se denota Dom f o Df

DEFINICION 3: La IMAGEN de una función f es el conjunto de todos los valores que toma la

variable dependiente. Se denota Im f o If

Como se vio en la actividad anterior las relaciones de los incisos a y b nos son funciones; sin

embargo podemos restringir el domino de cada una de ellas eliminando valores para que

verifiquen las condiciones necesarias para ser función. Por ejemplo:

f(x)=y

Ambos son imagen de x



Para que la relación sea función, basta con eliminar el valor x=0 del dominio; ya que

la división por cero no existe. Luego el dominio sería:

O lo que es lo mismo

También puede escribirse en forma de intervalo:

Restricciones al Dominio:

Las restricciones más comunes son:

- Los denominadores: deben ser distintos de cero

- Las raíces de índice par: el radicando debe ser mayor o igual a cero

- Los logaritmos: el argumento debe ser mayor que cero

- La tangente: la tangente de 90° y 270°, entre otras, no existe

Actividad:

Determinar el dominio de las siguientes relaciones para que sea función

a.

b. f(x)=3.x+1

c. f(x)=

d. f(x)=

e. f(x)=

f. f(x)= x.

g. f(x)=

h.

DEFINICIÓN 4:

Los CEROS O RAÍCES de una función son aquellos valores del dominio cuya imagen es cero.

Para hallar los ceros de una función debemos igualar la función a cero y resolver la ecuación.

Los valores de la VI que verifican la ecuación son los ceros o raíces de la función.

Ejemplo:

Hallar las raíces de la función

Estamos buscando los valores de x para los cuales y vale cero, por lo tanto simbólicamente

escribimos

Si resuelven la ecuación pueden verificar que x=2 y x=-2 son las raíces de la ecuación



Ampliación del análisis de una función de dominio real

Hasta ahora hemos visto que cuando se nos pide que analicemos una función definimos el

dominio; la imagen; raíces y ordenada al origen, pero analizar una función implica observar

otros aspectos además de los mencionados. En esta sección definiremos y

ejemplificaremos otros aspectos que deberán ser tenidos en cuenta al analizar una

función.

DEFINICION 5: Intervalos de crecimiento

Un intervalo de crecimiento de una función es un subconjunto I del dominio para el cual a

mayores valores de la variable independiente le corresponden mayores valores de la

variable dependiente.

Simbólicamente escribimos:

DEFINICION 6: Intervalos de decrecimiento

Un intervalo de decrecimiento de una función es un subconjunto I del dominio para el cual

a mayores valores de la variable independiente le corresponde menores valores de la

variable dependiente. En símbolos:

Para comprender estos conceptos resolveremos el siguiente problema:

La siguiente gráfica nos muestra la temperatura de un radiador desde que se enciende la

calefacción (8 h) hasta 14 horas más tarde.

a) Calcula el aumento de temperatura

por hora entre las 8 h y las 10 h. ¿Es el

mismo entre las 10 h y las 12 h?

b) ¿Cuál es el dominio de esta

función?



c) Di en qué intervalo es decreciente la función.

DEFINICION 7: Máximos y mínimos absoluto

La función f alcanza un MÁXIMO ABSOLUTO en el valor a del dominio si para todo x

perteneciente al mismo, x≠a, la imagen de x es menor que la imagen de a. Simbólicamente

escribimos:

La función f alcanza un MINIMO ABSOLUTO en el valor a del dominio si para todo x

perteneciente al mismo, x≠ la imagen de x es mayor que la imagen de . Simbólicamente

escribimos:

------------------------------------- --------------------------------------------

DEFINICION 8: Máximos y mínimos relativos

La función f alcanza un MÁXIMO RELATIVO en si existe un intervalo que contiene a

tal que para todo x perteneciente a dicho intervalo, x≠a, la imagen de x es menor que la

imagen de a.

Simbólicamente escribimos:

La función f alcanza un MINIMO RELATIVO en si existe un intervalo que contiene a

tal que para todo x perteneciente a dicho intervalo, x≠a, la imagen de x es mayor que la

imagen de a. Simbólicamente escribimos:

En el problema anterior se puede observar que en x=14 la temperatura alcanza su valor

máximo y es el único que puede observarse; luego x=14 determina un máximo absoluto.

Sin embargo los valores x=8 y x=22 determinan y=10°C e y=17°C respectivamente, cada uno

de ellos es un mínimo relativo. Como x=8 determina el menor valor de y en toda la imagen de

la función se dice que x=8 determina un mínimo absoluto.



Actividad: determina los máximos y mínimos relativos y absolutos del Problema 1 (página 1)

Conjuntos de positividad y negatividad

DEFINICION 9: El CONJUNTO DE POSITIVIDAD (C+) de una función es el subconjunto del

dominio cuyas imágenes son números positivos

En símbolos:

DEFINICION 10: El CONJUNTO DE NEGATIVIDAD (C-) de una función es el subconjunto del

dominio cuyas imágenes son números negativos

En símbolos:

Actividad: Determina los intervalos de positividad y negatividad en el siguiente gráfico

Corrimientos:

Actividad: Responde a las siguientes situaciones problemáticas



1. Una aerolínea registró la altura a la que vuela un avión que parte de un aeropuerto

ubicado a nivel del mar, durante un viaje. Lo representaron de la siguiente manera:

a. Si el avión parte de un aeropuerto que está a 1000m de altura respecto del nivel del

mar y realiza un viaje en las mismas condiciones que el anterior, ¿cómo será el gráfico

de la función que vincula su altura respecto del nivel del mar con el tiempo de viaje?

b. ¿cómo será el gráfico de otro avión desde el nivel del mar y realiza un viaje en las

mismas condiciones pero que parte20 minutos más tarde?

2. Un corredor está recorriendo una pista circular. El siguiente gráfico representa la

distancia hasta la largada en función del tiempo.

a. ¿Cómo será el gráfico de otro corredor que está recorriendo la misma pista

pero lo hace en la mitad del tiempo?

b. Compara ambos gráficos

Conclusiones de los problemas anteriores:

- El gráfico de f(x-a) es el gráfico de f(x) corrido a unidades hacia la derecha sobre el

eje x

- El gráfico de f(x)+a es el gráfico de f(x) corrido a unidades hacia arriba sobre el eje y

- El gráfico de f(ax) es el gráfico de f(x) “afinado ” o “ensanchado” a veces según sea a

mayor o menor que 1

f(x-a); f(x)+a y f(x)+a se llaman corrimientos de f(x)

Actividad: Indica todos los corrimientos posibles para f(x)



Observación: El objetivo de esta unidad es que puedas graficar a partir de los corrimientos de

una determinada función para luego realizar un análisis completo de ella.

Funciones polinómicas y racionales

Funciones polinómicas

Se denomina función polinómica a las funciones cuya fórmula es un polinomio de

grado n. Su fórmula general es la siguiente:

Toda función polinómica tiene como dominio al conjunto de los números reales (¿Por qué?).

La imagen varía de acuerdo a la función de que se trate

En este apartado estudiaremos solo aquellas funciones polinómicas de la forma

En años anteriores has estudiado funciones polinómicas con este formato, fueron los casos en

donde n=0; 1y 2

Si n=o , es la denominada función

constante



Si n=1 . Función

Lineal

Actividad: Indicar todos los posibles corrimientos de f(x)=x

Si n=2 Función Cuadrática

Actividad:

Hallar el vértice de las siguientes funciones, indicar cuáles son las traslaciones respecto

de la función y=x2.

¿Cuál es el eje de simetría en cada caso?

Grafica cada una de ellas

a. y=2(x-3)2+5 b. y= -2 (x+2)2-5 c. y=2(x+2)2-5 d. y=2(x-2)2

Otras funciones polinómicas:

Función cúbica:

Si n=3 Función Cúbica

Fórmula general a analizar:

Actividad:



1. Asígnale valores a los diferentes parámetros y grafica utilizando GRAPHMATICA.

Arma una tabla de valores que indique las características que deben tener los parámetros para

obtener los diferentes corrimientos.

Ejemplos:

Izquierda: se analiza la función

Derecha: se analiza la función

2. Grafica, en tú carpeta, las siguientes funciones y realiza un análisis completo de

ellas

a. f(x)=-5x3

b. g(x)=x3+3

c. h(x)=(x-1)3

d. i(x)=-3x3

e. k(x)=2(x-1)3+3

3. Graficar aproximadamente y dar la fórmula de las siguientes funciones cúbicas, a

partir de f(x)=x3

a. Se desplaza 3 unidades hacia arriba y ½ unidad hacia la izquierda

b. Se desplaza 5/2 hacia abajo

4. Observa qué sucede cuando aumentamos el valor de n en . Grafica en

GRAPHMATICA

Funciones racionales:



Son funciones de la forma , donde P(x) y Q(x) son polinomios, x es la variable

independiente y Q(x) debe ser distinto de cero (¿por qué?).

En esta sección nos interesa analizar la familia de las funciones de la forma:

a. b.

Función hipérbola:

Completa la siguiente tabla:

Responde:

a- ¿Qué sucede cuando x toma valores positivos cada vez más

grandes?

b- ¿y cuándo x toma valores cercanos a cero?

c- Analiza el comportamiento de f para valores negativos

(“grandes” y cercanos a cero)

d- ¿Cuál es el dominio y la imagen de la función?

e- Realiza un análisis completo

Asíntotas:

Definición 11: ASINTOTA horizontal

Una recta horizontal (y=k) es una asíntota horizontal de una función f(x) si a medida que los valores de x crecen o decrecen indefinidamente, f(x) se acerca a k

En símbolos:

Definición 12: ASINTOTA VERTICAL

Una recta vertical x=h se llama asíntota vertical de la función f(x) si k Dom f y a medida que x

toma valores cada vez más cercanos a h, f(x) crece o decrece indefinidamente

En símbolos:

Actividad: ¿cuáles son las asíntotas de la función f(x)=1/x?

X f(x)=1/x

1

10

100

1000

1/10

1/100

1/1000



Ampliaremos el estudio de este concepto en la unidad N°3; en esta unidad nos abocaremos

solo a la determinación de asíntotas verticales y horizontales a partir de los parámetros

(corrimientos) que afecten a la función y

Fórmula general:

modifica la curvatura de la función, cuanto mayor sea , menor será curvatura. Si

es menor que cero la gráfica cambia de cuadrantes

determina el desplazamiento a derecha o izquierda según el signo de .

Si la gráfica se desplaza hacia la izquierda

C determina los desplazamientos hacia arriba o abajo

Observación: visita la siguiente página

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0295-01/punto8/punto8.html

Para comprender el comportamiento y una de las tantas aplicaciones de esta función vamos a

resolver un pequeño problema

Un club dispone de $50000 mensuales para el sueldo de sus deportistas

a. Si el club tiene 100 deportistas y cobran todos lo mismo, ¿cuánto cobra cada uno? Arma una tabla de valores

b. Encuentra una fórmula que permita calcular lo que cobra cada uno en función de la cantidad de deportistas.

c. ¿Cuáles son las variables que intervienen en esta relación? d. ¿qué pasa si la cantidad de deportistas aumenta? e. Si de lo que cobra cada deportista debe pagar $20 en impuestos, ¿cuál es el número de

deportistas que debe tener el club para que cada uno cobre por lo menos $300?

Actividad: grafica y analiza las siguientes funciones

1.

2.

3.

4.

5.

Función

Es una función PAR (se llama así cuando el “eje y” actúa como espejo de la gráfica de la

función).

http://thales/



Presenta como asíntotas a x=0 e y=0 (explica por qué sucede esto)

Dom f= R-{0}

Im f= {x|x ϵ (0;+∞)}= {x|x>0}

Fórmula general:

Actividad:

A partir de la fórmula general indica todos los corrimientos posibles de f, grafica y

analiza

Función Módulo o Valor Absoluto

Definición “geométrica”: se puede definir el valor absoluto de un número como su distancia al

cero

Definición “algebraica”:

Observación: Para comprender mejor este concepto visita la siguiente página:

http://www.fca.unl.edu.ar/Limite/1.2%20Valor%20Absoluto.htm

La función módulo o valor absoluto es de la forma

Gráfica de f(x)=|x|:

|x|= x , si x≥0

-x, si x≤0

http://www.fca.unl.edu.ar/Limite/1.2%20Valor%20Absoluto.htm



Actividad: arma una tabla de valores para corroborar la gráfica

Ejemplo:

Dom f= R

Im f= {x|x ϵ [-4;+∞)}= {x|x≥-4}

Vértice: al igual que en la función

cuadrática se encuentra en (h;k).

Vértice: (1;-4)

Para calcular las raíces de una función V.A. se procede de la siguiente manera:

1° igualo la función a cero y comienzo a resolver la ecuación

sumando 4 y luego divido por 2

, la expresión queda de la siguiente manera:

, se lee así: “la distancia de un número a 1 es 2”

Para resolver esta última ecuación se aplica la siguiente propiedad:

Propiedad: Sea k R tal que k > 0, a k a k ó a k

Luego, (x-1)=2 o (x-1)=-2

Luego x=3 o x=-1 y por lo tanto las raíces de la función se ubican en los puntos (3;0) y (-1;0),

como se puede apreciar en la gráfica

Actividad:

1. Completa el análisis de la función trabajada en el ejemplo



2. Grafica y analiza 5 corrimientos posibles de la función valor absoluto

Funciones definidas por partes

En matemáticas, una función definida por partes (también conocida como función a trozos), es

una función cuya definición (la regla que define la dependencia) cambia dependiendo del valor

de la variable independiente.

La función valor absoluto es un ejemplo de este tipo de funciones

Ejemplos:

Actividad:

Grafica las siguientes funciones definidas por partes

1.

2.

3.

k(x)=

si x≤-2

; si -2<x≤1



4.

si x

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